Ukweli wa polynomial. Sehemu 1

Ukadiriaji ni hila inayofaa ya kutatua milingano tata na usawa. Wazo la kwanza ambalo linapaswa kukumbuka wakati wa kutatua milinganyo na usawa ambao kuna sifuri upande wa kulia ni kujaribu kuangazia upande wa kushoto kuwa sababu.

Wacha tuorodhe kuu njia za kutengeneza polynomial:

• mabano ya sababu ya kawaida
• kutumia fomula za kuzidisha zilizofupishwa
• na fomati ya ujanibishaji wa mraba wa mraba
• njia ya kupanga
• kugawanya polynomial na binomial
• njia isiyojulikana ya mgawo

Katika nakala hii tutakaa juu ya njia tatu za kwanza, tutazingatia zingine katika nakala zifuatazo.

1. Kuchukua sababu ya kawaida kutoka kwa mabano.

Ili kuzingatia sababu ya kawaida, lazima kwanza uipate. Sababu ya Kawaida sawa na mgawanyiko mkuu wa kawaida wa coefficients zote.

Sehemu ya barua sababu ya kawaida ni sawa na bidhaa ya misemo iliyojumuishwa katika kila kipindi na kiboreshaji kidogo.

Mpango wa kupata sababu ya kawaida unaonekana kama hii:

Tahadhari!
Idadi ya maneno katika mabano ni sawa na idadi ya maneno katika usemi wa asili. Ikiwa moja ya maneno yanaambatana na sababu ya kawaida, basi wakati wa kuigawanya na sababu ya kawaida, tunapata umoja.

Mfano 1.

Sababu ya polynomial:

Jumuisha sababu ya kawaida. Ili kufanya hivyo, kwanza tutapata.

1. Pata mgawanyiko mkuu wa kawaida wa coefficients zote za polynomial, i.e. nambari 20, 35 na 15. Ni sawa na 5.

2. Tunathibitisha kuwa kutofautisha kunapatikana kwa maneno yote, na ndogo zaidi ya vionyeshi vyake ni 2. Tofauti hiyo iko katika masharti yote, na ndogo zaidi ya vionyeshi vyake ni 3.

Tofauti hiyo inapatikana tu katika kipindi cha pili, kwa hivyo haijajumuishwa katika sababu ya kawaida.

Kwa hivyo sababu ya kawaida ni

3. Tunatoa sababu kutoka kwenye mabano kwa kutumia mpango uliopewa hapo juu:

Mfano 2. Tatua equation:

Suluhisho. Jadili upande wa kushoto wa equation. Wacha tuondoe sababu kutoka kwa mabano:

Kwa hivyo, tulipata equation

Wacha tulinganishe kila jambo kwa sifuri:

Tunapata - mzizi wa equation ya kwanza.

Mizizi:

Jibu: -1, 2, 4

2. Ukadiriaji kwa kutumia kanuni fupi za kuzidisha.

Ikiwa idadi ya maneno katika polynomial ambayo tutashughulikia ni chini ya au sawa na tatu, basi tunajaribu kutumia fomula za kuzidisha zilizofupishwa.

1. Ikiwa polynomial nitofauti ya maneno mawili, basi tunajaribu kuomba tofauti ya fomula ya mraba:

au fomula tofauti ya cubes:

Hapa barua na inaashiria nambari au usemi wa algebra.

2. Ikiwa polynomial ni jumla ya maneno mawili, basi labda inaweza kuzingatiwa kwa kutumia fomula za jumla za ujazo:

3. Ikiwa polynomial ina maneno matatu, basi tunajaribu kuomba fomula ya jumla ya mraba:

au fomula ya tofauti ya mraba:

Au kujaribu kujumuisha fomula ya mraba ya utatu wa mraba:

Hapa na ndio mizizi ya equation ya quadratic

Mfano 3.Sababu ya kujieleza:

Suluhisho. Mbele yetu kuna jumla ya maneno mawili. Wacha tujaribu kutumia fomula ya jumla ya cubes. Ili kufanya hivyo, kwanza unahitaji kuwakilisha kila muhula kwa njia ya mchemraba wa usemi fulani, halafu tumia fomula ya jumla ya cubes:

Mfano 4. Sababu ya kujieleza:

Tangazo. Tunayo mbele yetu tofauti ya mraba wa misemo miwili. Maneno ya kwanza:, usemi wa pili:

Wacha tutumie fomula ya tofauti ya mraba:

Wacha tufungue mabano na tupe maneno sawa, tunapata:

Kikokotoo cha mkondoni.
Uchaguzi wa mraba wa binomial na factorization ya trinomial mraba.

Wale. shida zimepunguzwa kupata nambari \ (p, q \) na \ (n, m \)

Programu haitoi tu jibu la shida, lakini pia inaonyesha mchakato wa suluhisho.

Mpango huu unaweza kuwa muhimu kwa wanafunzi waandamizi wa shule za upili kujiandaa kwa vipimo na mitihani, wakati wa kuangalia maarifa kabla ya mtihani, kwa wazazi kudhibiti suluhisho la shida nyingi katika hesabu na hesabu. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mkufunzi au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kupata hesabu yako ya hesabu au algebra ifanyike haraka iwezekanavyo? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na suluhisho la kina.

Kwa njia hii, unaweza kufanya kufundisha kwako mwenyewe na / au kufundisha kaka au dada zako, wakati kiwango cha elimu katika uwanja wa shida zinazotatuliwa kinaongezeka.

Ikiwa haujui sheria za kuingia mraba wa mraba, tunapendekeza ujitambulishe nao.

Kanuni za kuingia polynomial mraba

Barua yoyote ya Kilatini inaweza kutumika kama tofauti.
Kwa mfano: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) nk.

Nambari zinaweza kuingizwa kama nambari kamili au sehemu ndogo.
Kwa kuongezea, nambari za sehemu zinaweza kuingizwa sio tu kwa njia ya desimali, lakini pia kwa njia ya sehemu ya kawaida.

Kanuni za kuingiza vipande vya decimal.
Katika vipande vya desimali, sehemu ya sehemu kutoka kwa nzima inaweza kutenganishwa na nukta au koma.
Kwa mfano, unaweza kuweka alama kama hii: 2.5x - 3.5x ^ 2

Kanuni za kuingiza sehemu za kawaida.
Nambari tu inaweza kutumika kama nambari, dhehebu na sehemu nzima ya sehemu.

Dhehebu haliwezi kuwa hasi.

Wakati wa kuingia sehemu ya nambari, nambari imetengwa kutoka kwa dhehebu na ishara ya mgawanyiko: /
Sehemu nzima imetengwa kutoka kwa sehemu na ampersand: &
Ingizo: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5x + 1 / 7x ^ 2
Matokeo: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) x + \ frac (1) (7) x ^ 2 \)

Wakati wa kuingiza usemi mabano yanaweza kutumika... Katika kesi hii, wakati wa kusuluhisha, usemi ulioingia unarahisishwa kwanza.
Kwa mfano: 1/2 (x-1) (x + 1) - (5x-10 & 1/2)

Mfano wa suluhisho la kina

Uteuzi wa mraba wa binomial.$ $ shoka ^ 2 + bx + c \ kulia punguza (x + p) ^ 2 + q $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$ $$ 2x ^ 2 +2 \ cdot 2 \ cdot \ kushoto ( \ frac (1) (2) \ kulia) \ cdot x + 2 \ cdot \ kushoto (\ frac (1) (2) \ kulia) ^ 2- \ frac (9) (2) = $$ $$ 2 \ kushoto (x ^ 2 + 2 \ cdot \ kushoto (\ frac (1) (2) \ kulia) \ cdot x + \ kushoto (\ frac (1) (2) \ kulia) ^ 2 \ kulia) - \ frac ( 9) (2) = $ $ $$ 2 \ kushoto (x + \ frac (1) (2) \ kulia) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ Jibu:$ $ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ kushoto (x + \ frac (1) (2) \ kulia) ^ 2- \ frac (9) (2) $$ Ukadiriaji.$ $ shoka ^ 2 + bx + c \ kulia punguza a (x + n) (x + m) $$ $$ 2x ^ 2 + 2x-4 = $$
$ $ 2 \ kushoto (x ^ 2 + x-2 \ kulia) = $$
$ $ 2 \ kushoto (x ^ 2 + 2x-1x-1 \ cdot 2 \ kulia) = $$ $$ 2 \ kushoto (x \ kushoto (x +2 \ kulia) -1 \ kushoto (x +2 \ kulia \ u003d \ u003d \ u003d $ $ $ $ 2 \ kushoto (x -1 \ kulia) \ kushoto (x +2 \ kulia) $$ Jibu:$ $ 2x ^ 2 + 2x-4 = 2 \ kushoto (x -1 \ kulia) \ kushoto (x +2 \ kulia) $$

Ilibainika kuwa hati zingine zinahitajika kusuluhisha shida hii hazikupakiwa, na mpango huo hauwezi kufanya kazi.
Labda una AdBlock imewezeshwa.
Katika kesi hii, imaze na uburudishe ukurasa.

Kwa sababu Kuna watu wengi ambao wanataka kutatua shida, ombi lako limepangwa.
Baada ya sekunde chache, suluhisho litaonekana hapa chini.
Subiri tafadhali sec ...

Ikiwa wewe niliona kosa katika suluhisho, basi unaweza kuandika juu ya hii katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua na nini ingia mashambani.

Michezo yetu, puzzles, emulators:

Nadharia kidogo.

Uchimbaji wa binomial mraba kutoka trinomial mraba

Ikiwa shoka kubwa ya mraba 2 + bx + c imewakilishwa katika fomu a (x + p) 2 + q, ambapo p na q ni nambari halisi, basi wanasema kuwa kutoka mraba trinomial mraba binomial.

Chagua kutoka kwa trinomial 2x 2 + 12x + 14 mraba wa binomial.

\ (2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x ^ 2 + 6x + 7) \)

Ili kufanya hivyo, tunawakilisha 6x kama bidhaa ya 2 * 3 * x, na kisha ongeza na kutoa 3 2. Tunapata:
$ $ 2 (x ^ 2 + 2 \ cdot 3 \ cdot x + 3 ^ 2-3 ^ 2 + 7) = 2 ((x + 3) ^ 2-3 ^ 2 + 7) = $ $ $$ = 2 ((x + 3) ^ 2-2) = 2 (x + 3) ^ 2-4 $ $

Kwamba. sisi ilichagua binomial ya mraba kutoka kwa trinomial ya mraba, na uonyeshe kuwa:
$$ 2x ^ 2 + 12x + 14 = 2 (x + 3) ^ 2-4 $$

Kuunda mraba wa mraba

Ikiwa shoka kubwa ya mraba 2 + bx + c inawakilishwa katika fomu a (x + n) (x + m), ambapo n na m ni nambari halisi, basi operesheni hiyo inasemekana ilifanywa mraba wa sababu ya mraba.

Wacha tuonyeshe na mfano jinsi mabadiliko haya yanafanywa.

Sababu ya mraba trinomial 2x 2 + 4x-6.

Wacha tuchukue mgawo a kutoka kwa mabano, i.e. 2:
\ (2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x ^ 2 + 2x-3) \)

Tunabadilisha usemi katika mabano.
Ili kufanya hivyo, tunawakilisha 2x kama tofauti 3x-1x, na -3 kama -1 * 3. Tunapata:
$ $ = 2 (x ^ 2 + 3 \ cdot x -1 \ cdot x -1 \ cdot 3) = 2 (x (x + 3) -1 \ cdot (x + 3)) = $ $
$ $ = 2 (x-1) (x + 3) $$

Kwamba. sisi sababu mraba mraba tatu, na uonyeshe kuwa:
$$ 2x ^ 2 + 4x-6 = 2 (x-1) (x + 3) $$

Kumbuka kuwa utaftaji wa trinomial ya quadratic inawezekana tu wakati hesabu ya quadratic inayolingana na utatu huu ina mizizi.
Wale. kwa upande wetu, kuorodhesha trinomial 2x 2 + 4x-6 inawezekana ikiwa hesabu ya quadratic 2x 2 + 4x-6 = 0 ina mizizi. Katika mchakato wa kusajili, tuligundua kuwa equation 2x 2 + 4x-6 = 0 ina mizizi miwili 1 na -3, kwa sababu kwa maadili haya, equation 2 (x-1) (x + 3) = 0 inakuwa usawa wa kweli.

Ukweli wa polynomials ni mabadiliko ya kitambulisho, kama matokeo ambayo polynomial inabadilishwa kuwa bidhaa ya sababu kadhaa - polynomials au monomials.

Kuna njia kadhaa za kushughulikia polynomials.

Njia ya 1. Kuchukua sababu ya kawaida kutoka kwa mabano.

Mabadiliko haya yanategemea sheria ya kuzidisha usambazaji: ac + bc = c (a + b). Kiini cha mabadiliko ni kuchagua sababu ya kawaida katika vitu viwili vinavyozingatiwa na "kuiondoa" kwenye mabano.

Sababu ya polynomial 28x 3 - 35x 4.

Suluhisho.

1. Pata msuluhishi wa kawaida wa vipengee 28x 3 na 35x 4. Kwa 28 na 35 hii itakuwa 7; kwa x 3 na x 4 - x 3. Kwa maneno mengine, sababu yetu ya kawaida ni 7x 3.

2. Kila moja ya vitu inawakilishwa kama bidhaa ya sababu, moja wapo
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x.

3. Jumuisha sababu ya kawaida
7x 3: 28x 3 - 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 - 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 - 5x).

Njia ya 2. Kutumia njia fupi za kuzidisha. "Ustadi" wa kudhibiti njia hii ni kugundua katika fasili moja ya fomula za kuzidisha kwa kifupi.

Sababu ya polynomial x 6 - 1.

Suluhisho.

1. Kwa usemi huu, tunaweza kutumia fomula ya tofauti ya mraba. Ili kufanya hivyo, tunawakilisha x 6 kama (x 3) 2, na 1 kama 1 2, i.e. 1. Maneno yatachukua fomu:
(x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1).

2. Kwa usemi unaosababishwa, tunaweza kutumia fomula ya jumla na tofauti ya cubes:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Kwa hivyo,
x 6 - 1 = (x 3) 2 - 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 - 1) = (x + 1) ∙ (x 2 - x + 1) ∙ (x - 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Njia ya 3. Vikundi. Njia ya kupanga inajumuisha kuchanganya vifaa vya polynomial kwa njia ambayo ni rahisi kufanya vitendo kwao (kuongezea, kutoa, kuondoa jambo la kawaida).

Sababu ya polynomial x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

Suluhisho.

1. Wacha tuweke kikundi kwa njia hii: 1 na 2, na 3 na 4
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15).

2. Katika usemi unaosababisha, weka sababu za kawaida nje ya mabano: x 2 katika kesi ya kwanza na 5 - kwa pili.
(x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3).

3. Toa sababu ya kawaida x - 3 na upate:
x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) (x 2 + 5).

Kwa hivyo,
x 3 - 3x 2 + 5x - 15 = (x 3 - 3x 2) + (5x - 15) = x 2 (x - 3) + 5 (x - 3) = (x - 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Wacha turekebishe nyenzo.

Sababu ya polynomial 2-7ab + 12b 2.

Suluhisho.

1. Wacha tuwakilishe 7ab ya monomial kama jumla ya 3ab + 4ab. Maneno yatachukua fomu:
2 - (3ab + 4ab) + 12b 2.

Wacha tufungue mabano na upate:
2 - 3ab - 4ab + 12b 2.

Wacha tuweke kikundi cha polynomial kama ifuatavyo: 1 na 2 na 3 na 4. Tunapata:
(2 - 3ab) - (4ab - 12b 2).

3. Wacha tuondoe sababu za kawaida kutoka kwenye mabano:
(2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) = a (a - 3b) - 4b (a - 3b).

4. Toa sababu ya kawaida (a - 3b):
a (a - 3b) - 4b (a - 3b) = (a - 3 b) ∙ (a - 4b).

Kwa hivyo,
2 - 7ab + 12b 2 =
= 2 - (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= 2 - 3ab - 4ab + 12b 2 =
= (2 - 3ab) - (4ab - 12b 2) =
= a (a - 3b) - 4b (a - 3b) =
= (a - 3 b) ∙ (a - 4b).

tovuti, na kunakili kamili au sehemu ya nyenzo, kiunga kwa chanzo kinahitajika.

Dhana za "polynomial" na "factorization ya polynomial katika sababu" katika algebra ni kawaida sana, kwa sababu unahitaji kuzijua ili kufanya mahesabu kwa urahisi na nambari kubwa za nambari nyingi. Nakala hii itaelezea njia kadhaa za mtengano. Zote ni rahisi kutumia, inabidi uchague moja sahihi katika kila kesi maalum.

Dhana ya Polynomial

Polynomial ni jumla ya monomials, ambayo ni, misemo iliyo na operesheni ya kuzidisha tu.

Kwa mfano, 2 * x * y ni monomial, lakini 2 * x * y + 25 ni polynomial ambayo ina monomials 2: 2 * x * y na 25. Polynomials kama hizo huitwa binomials.

Wakati mwingine, kwa urahisi wa kutatua mifano na maadili anuwai, usemi lazima ubadilishwe, kwa mfano, kuoza kuwa idadi fulani ya mambo, ambayo ni, nambari au maneno kati ya ambayo hatua ya kuzidisha hufanywa. Kuna njia kadhaa za kusababisha polynomial. Inafaa kuzingatiwa kuanzia na ya zamani zaidi, ambayo hutumiwa hata katika darasa la msingi.

Kuweka kikundi (kurekodi jumla)

Njia ya kuoza polynomial katika sababu na njia ya kupanga kwa ujumla inaonekana kama hii:

ac + bd + bc + tangazo = (ac + bc) + (ad + bd)

Inahitajika kupanga kikundi cha monomials ili jambo la kawaida lionekane katika kila kikundi. Katika bracket ya kwanza ni sababu c, na kwa pili ni d. Hii lazima ifanyike ili kuiweka nje ya mabano, na hivyo kurahisisha mahesabu.

Algorithm ya kuoza kwa mfano maalum

Mfano rahisi zaidi wa kuingiza polynomial katika sababu kwa kupanga imeonyeshwa hapa chini:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Katika bracket ya kwanza, unahitaji kuchukua masharti na sababu a, ambayo itakuwa kawaida, na kwa pili - na sababu b. Angalia ishara + na - katika usemi uliomalizika. Sisi kuweka mbele ya monomial ishara ambayo ilikuwa katika kujieleza ya awali. Hiyo ni, unahitaji kufanya kazi sio na usemi 25a, lakini na usemi -25. Ishara ya kuondoa ni kama "kushikamana" na usemi ulio nyuma yake na kila wakati uzingatie mahesabu.

Katika hatua inayofuata, unahitaji kuchukua sababu, ambayo ni ya kawaida, nje ya mabano. Hii ndio maana ya kikundi. Kuweka nje ya mabano kunamaanisha kuandika mbele ya mabano (kuacha ishara ya kuzidisha) sababu zote hizo ambazo hurudiwa kwa usahihi katika maneno yote yaliyo kwenye mabano. Ikiwa hakuna 2, lakini maneno 3 au zaidi katika mabano, sababu ya kawaida lazima iwe katika kila moja yao, vinginevyo haiwezi kutolewa kwenye mabano.

Kwa upande wetu - maneno 2 tu kwenye mabano. Sababu ya kawaida inaonekana mara moja. Mabano ya kwanza ni a, ya pili ni b. Hapa unahitaji kuzingatia coefficients ya dijiti. Katika bracket ya kwanza, coefficients zote mbili (10 na 25) ni nyingi za 5. Hii inamaanisha kuwa sio tu, lakini pia 5a inaweza kutolewa nje ya bracket. Andika 5a kabla ya mabano, kisha ugawanye kila moja ya maneno kwenye mabano kwa sababu ya kawaida ambayo ilitolewa, na pia andika mgawo katika mabano, bila kusahau ishara + na - Fanya vivyo hivyo na mabano ya pili, toa 7b, pamoja na 14 na 35 nyingi ya 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Ilibadilika maneno 2: 5a (2c - 5) na 7b (2c - 5). Kila moja yao ina sababu ya kawaida (usemi wote katika mabano ni sawa hapa, ambayo inamaanisha ni jambo la kawaida): 2c - 5. Inahitaji pia kutolewa kwenye mabano, ambayo ni, maneno 5a na 7b kubaki katika mabano ya pili:

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Kwa hivyo usemi kamili ni:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Kwa hivyo, polynomial 10ac + 14bc - 25a - 35b imeozewa kwa sababu mbili: (2c - 5) na (5a + 7b). Ishara ya kuzidisha kati yao inaweza kuachwa wakati wa kuandika

Wakati mwingine kuna maoni ya aina hii: 5a 2 + 50a 3, hapa unaweza kuweka nje ya bracket sio tu au 5a, lakini hata 5a 2. Unapaswa kujaribu kila wakati kujua sababu kubwa zaidi ya kawaida. Kwa upande wetu, ikiwa tutagawanya kila neno kwa sababu ya kawaida, tunapata:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(wakati wa kuhesabu mgawo wa digrii kadhaa na besi sawa, msingi huhifadhiwa, na kielelezo hutolewa). Kwa hivyo, kitengo kinabaki kwenye mabano (kwa hali yoyote, usisahau kuandika kitengo, ikiwa utachukua moja ya masharti kwenye mabano) na mgawo wa mgawanyiko: 10а. Inageuka kuwa:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Njia za mraba

Kwa urahisi wa mahesabu, fomula kadhaa zimetolewa. Wanaitwa fomula za kuzidisha zilizofupishwa na hutumiwa mara nyingi. Fomula hizi husaidia sababu za polynomials zilizo na digrii. Hii ni mbinu nyingine yenye nguvu ya ujasusi. Kwa hivyo, hizi hapa:

• 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - 2 fomula, inayoitwa "mraba wa jumla", kwani kwa sababu ya upanuzi wa mraba, jumla ya nambari zilizofungwa kwenye mabano huchukuliwa, ambayo ni kwamba, thamani ya jumla hii imeongezwa yenyewe mara 2, ambayo inamaanisha ni kuzidisha.
• 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - fomula ya mraba wa tofauti, ni sawa na ile ya awali. Matokeo yake ni tofauti, iliyofungwa kwenye mabano, yaliyomo kwenye nguvu ya mraba.
• 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- hii ndiyo fomula ya tofauti ya mraba, kwani mwanzoni polynomial ina mraba 2 wa nambari au misemo, kati ya ambayo utoaji unafanywa. Labda, kati ya tatu zilizotajwa, hutumiwa mara nyingi.

Mifano ya kuhesabu fomula za mraba

Mahesabu kwao ni rahisi sana. Kwa mfano:

1. 25x 2 + 20xy + 4y 2 - tunatumia fomula "mraba wa jumla".
2. 25x 2 ni mraba wa 5x. 20xy ni bidhaa maradufu ya 2 * (5x * 2y), na 4y 2 ni mraba wa 2y.
3. Kwa hivyo 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y). Polynomial hii imegawanywa kuwa sababu mbili (sababu ni sawa, kwa hivyo imeandikwa kama kielelezo na nguvu ya mraba).

Vitendo kulingana na fomula ya mraba wa tofauti hufanywa kwa njia ile ile. Fomula inabaki kuwa tofauti ya mraba. Mifano ya fomula hii ni rahisi sana kutambua na kupata kati ya misemo mingine. Kwa mfano:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Tangu 25a 2 = (5a) 2, na 400 = 20 2
• 36x 2 - 25y 2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Tangu 36x 2 = (6x) 2, na 25y 2 = (5y 2)
• c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). Tangu 169b 2 = (13b) 2

Ni muhimu kwamba kila moja ya maneno ni mraba wa usemi fulani. Halafu hii polynomial inakabiliwa na sababu na fomula ya tofauti ya mraba. Kwa hili, sio lazima kwamba digrii ya pili inapaswa kuwa juu ya nambari. Kuna polynomials ambazo zina digrii kubwa, lakini bado zinafaa fomula hizi.

8 + 10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2 * 4 * 5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

Katika mfano huu, 8 inaweza kuwakilishwa kama (a 4) 2, ambayo ni, mraba wa usemi fulani. 25 ni 5 2, na 10a 4 - hii ni bidhaa maradufu ya maneno 2 * a 4 * 5. Hiyo ni, usemi huu, licha ya uwepo wa digrii na vionyeshi vikubwa, unaweza kuoza kuwa sababu mbili ili ufanye kazi nao baadaye.

Njia za mchemraba

Njia hizo hizo zipo kwa kugundua polynomials zilizo na cubes. Ni ngumu kidogo kuliko zile zilizo na mraba:

• 3 + b 3 = (a + b) (2 - ab + b 2)- fomula hii inaitwa jumla ya cubes, kwani katika fomu yake ya kwanza polynomial ni jumla ya misemo au nambari mbili zilizofungwa kwenye mchemraba.
• 3 - b 3 = (a - b) (2 + ab + b 2) - fomula inayofanana na ile ya awali imewekwa kama tofauti ya cubes.
• 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - mchemraba wa jumla, kama matokeo ya mahesabu, jumla ya nambari au misemo hupatikana, iliyofungwa kwenye mabano na kuzidisha yenyewe mara 3, ambayo iko kwenye mchemraba
• 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - fomula hiyo, iliyoandaliwa kwa kufanana na ile ya awali na kubadilisha tu ishara kadhaa za shughuli za kihesabu (pamoja na minus), inaitwa "mchemraba wa tofauti".

Njia mbili za mwisho hazijatumika kwa kusudi la kuingiza polynomial katika sababu, kwa kuwa ni ngumu, na polynomials ambazo zinahusiana kabisa na muundo kama huo hazijakutwa mara chache ili ziweze kuoza kulingana na fomula hizi. Lakini bado unahitaji kuwajua, kwani watahitajika wakati wa kufanya mambo kwa upande mwingine - wakati wa kupanua mabano.

Mifano ya fomula za mchemraba

Wacha tuangalie mfano: 64a 3 - 8b 3 = (4a) 3 - (2b) 3 = (4a - 2b) ((4a) 2 + 4a * 2b + (2b) 2) = (4a - 2b) (16a 2 + 8ab + 4b 2) ).

Hapa tumechukua nambari rahisi, kwa hivyo unaweza kuona mara moja kuwa 64a 3 ni (4a) 3, na 8b 3 ni (2b) 3. Kwa hivyo, polynomial hii imeharibika kulingana na fomula tofauti ya cubes na sababu mbili. Vitendo kulingana na fomula ya jumla ya cubes hufanywa kwa kufanana.

Ni muhimu kuelewa kwamba sio polynomials zote zinaweza kuharibiwa kwa njia moja. Lakini kuna maneno ambayo yana nguvu zaidi kuliko mraba au mchemraba, lakini zinaweza pia kuoza kwa fomu za kuzidisha zilizofupishwa. Kwa mfano: x 12 + 125y 3 = (x 4) 3 + (5y) 3 = (x 4 + 5y) * ((x 4) 2 - x 4 * 5y + (5y) 2) = (x 4 + 5y (x 8 - 5x 4 y + 25y 2).

Mfano huu una digrii 12. Lakini hata inaweza kuzingatiwa kwa kutumia fomula ya jumla ya cubes. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuwakilisha x 12 kama (x 4) 3, ambayo ni kama mchemraba wa usemi fulani. Sasa, badala ya a, unahitaji kuibadilisha katika fomula. Kweli, usemi wa 125y 3 ni mchemraba 5y. Ifuatayo, unapaswa kutunga bidhaa kulingana na fomula na ufanye mahesabu.

Mara ya kwanza, au ikiwa kuna shaka, unaweza kuangalia kwa kuzidisha nyuma kila wakati. Unahitaji tu kupanua mabano katika usemi unaosababisha na fanya vitendo na maneno kama haya. Njia hii inatumika kwa njia zote hapo juu za kupunguza: zote kufanya kazi na sababu ya kawaida na kupanga kikundi, na kwa vitendo kwenye fomula za cubes na digrii za mraba.

Katika somo hili, tutakumbuka njia zote zilizosomwa hapo awali za kusoma habari za polynomial katika sababu na kuzingatia mifano ya matumizi yao, kwa kuongeza, tutajifunza njia mpya - njia ya kutenga mraba kamili na kujifunza jinsi ya kuitumia katika kutatua shida anuwai.

Mada:Ukweli wa polynomials

Somo:Ukweli wa polynomials. Njia kamili ya kuchagua mraba. Mchanganyiko wa njia

Wacha tukumbuke njia kuu za kusoma polynomial katika sababu ambazo zilisomwa hapo awali:

Njia ya kuweka sababu ya kawaida nje ya mabano, ambayo ni, sababu kama hiyo ambayo iko katika suala zima la polynomial. Wacha tuangalie mfano:

Kumbuka kuwa monomial ni bidhaa ya digrii na nambari. Katika mfano wetu, washiriki wote wana vitu sawa, sawa.

Kwa hivyo, wacha tuondoe sababu ya kawaida kutoka kwa mabano:

;

Kumbuka kwamba kwa kuzidisha kuzidisha kwa mabano, unaweza kuangalia usahihi wa utoaji.

Njia ya vikundi. Haiwezekani kila wakati kuchukua sababu ya kawaida katika polynomial. Katika kesi hii, inahitajika kugawanya washiriki wake katika vikundi ili kwamba katika kila kikundi inawezekana kuchukua sababu ya kawaida na kujaribu kugawanya ili baada ya sababu kutolewa katika vikundi, jambo la kawaida linaonekana kwa jumla kujieleza, na upanuzi unaweza kuendelea. Wacha tuangalie mfano:

Wacha tuweke kikundi cha kwanza na cha nne, cha pili na cha tano, na cha tatu, mtawaliwa, na cha sita:

Wacha tuchukue sababu za kawaida katika vikundi:

Usemi una sababu ya kawaida. Wacha tuiondoe:

Kutumia njia fupi za kuzidisha. Wacha tuangalie mfano:

;

Wacha tuandike usemi huo kwa undani:

Kwa wazi, mbele yetu tuna fomula ya mraba wa tofauti, kwani kuna jumla ya mraba wa misemo miwili na bidhaa zao mbili hutolewa kutoka kwake. Wacha tuanguke na fomula:

Leo tutajifunza njia nyingine - njia ya kuchagua mraba kamili. Inategemea fomula za mraba wa jumla na mraba wa tofauti. Wacha tuwakumbuke:

Fomula ya mraba wa jumla (tofauti);

Upekee wa fomula hizi ni kwamba zina viwanja vya misemo miwili na bidhaa yao maradufu. Wacha tuangalie mfano:

Wacha tuandike usemi:

Kwa hivyo usemi wa kwanza ni huu, na wa pili ni.

Ili kutunga fomula ya mraba wa jumla au tofauti, bidhaa mbili za misemo haitoshi. Inahitaji kuongezwa na kutolewa:

Wacha tuangushe mraba kamili wa jumla:

Wacha tubadilishe usemi unaosababisha:

Tunatumia fomula ya tofauti ya mraba, kumbuka kuwa tofauti kati ya mraba wa misemo miwili ni bidhaa na jumla kwa tofauti yao:

Kwa hivyo, njia hii ina, kwanza kabisa, kwa ukweli kwamba ni muhimu kutambua misemo a na b ambayo iko kwenye mraba, ambayo ni, ni kuamua ni mraba gani wa misemo iko katika mfano huu. Baada ya hapo, unahitaji kuangalia uwepo wa bidhaa maradufu na ikiwa haipo, kisha uiongeze na uiondoe, maana ya mfano haitabadilika kutoka kwa hii, lakini polynomial inaweza kuangaziwa kwa kutumia fomula za mraba wa jumla au tofauti na tofauti ya mraba, ikiwa kuna uwezekano kama huo.

Wacha tuendelee kutatua mifano.

Mfano 1 - sababu:

Wacha tupate misemo iliyo mraba:

Wacha tuandike bidhaa yao mara mbili inapaswa kuwa:

Ongeza na toa mara mbili ya bidhaa:

Wacha tuangushe mraba kamili wa jumla na tupe sawa:

Wacha tuandike fomula ya tofauti ya mraba:

Mfano 2 - Tatua mlingano:

;

Kuna utatu upande wa kushoto wa equation. Tunahitaji kuijadili. Tunatumia fomula ya mraba wa tofauti:

Tunayo mraba wa usemi wa kwanza na bidhaa maradufu, mraba wa usemi wa pili haupo, ongeza na uondoe:

Wacha tukunje mraba kamili na tupe maneno sawa:

Wacha tutumie fomula ya tofauti ya mraba:

Kwa hivyo, tuna equation

Tunajua kuwa bidhaa ni sifuri ikiwa sababu moja tu ni sifuri. Kwa msingi huu, tunatunga hesabu:

Wacha tusuluhishe equation ya kwanza:

Wacha tutatue mlingano wa pili:

Jibu: au

;

Tunaendelea vile vile kwa mfano uliopita - chagua mraba wa tofauti.