Nini cha kushangaza juu ya Maporomoko ya Escher. Escher - Msanii wa picha wa Uholanzi

Sanaa ya Hesabu ya Moritz Escher Februari 28, 2014

Asili imechukuliwa kutoka mim_omsu katika Sanaa ya Hisabati ya Moritz Escher

“Wanahisabati walifungua mlango unaoelekea kwenye ulimwengu mwingine, lakini wao wenyewe hawakuthubutu kuingia katika ulimwengu huu. Wanavutiwa zaidi na njia ambayo mlango umesimama kuliko bustani nyuma yake. "
(M.C Escher)

Lithograph "Hand with a Mirror Sphere", picha ya kibinafsi.

Maurits Cornelius Escher ni msanii wa picha wa Uholanzi anayejulikana kwa kila mtaalam wa hesabu.
Viwanja vya kazi za Escher vinajulikana na uelewa mzuri wa vitendawili vya kimantiki na vya plastiki.
Anajulikana, kwanza kabisa, kwa kazi ambazo alitumia dhana anuwai za hesabu - kutoka kikomo na ukanda wa Mobius hadi jiometri ya Lobachevsky.

Woodcut "Mchwa Mwekundu".

Maurits Escher hakupokea elimu maalum ya hisabati. Lakini tangu mwanzoni mwa kazi yake ya ubunifu, alikuwa na hamu ya mali ya nafasi, alisoma pande zake zisizotarajiwa.

"Mahusiano ya Umoja".

Escher mara nyingi alijishughulisha na mchanganyiko wa ulimwengu wa 2-D na 3-D.


Lithograph "Kuchora Mikono".

Lithograph "Reptiles".

Mimea.

Tiling ni mgawanyiko wa ndege kwa takwimu zinazofanana. Ili kusoma sehemu za aina hii, dhana ya kikundi cha ulinganifu hutumiwa kijadi. Wacha tufikirie ndege ambayo kuchora tiling fulani. Ndege inaweza kuzungushwa kuzunguka mhimili holela na kuhamishwa. Kukamilisha hufafanuliwa na vector ya kukabiliana, na mzunguko hufafanuliwa na kituo na pembe. Mabadiliko kama hayo huitwa harakati. Wanasema kwamba hii au harakati hiyo ni ulinganifu, ikiwa baada yake tiling hupita yenyewe.

Fikiria, kwa mfano, ndege, imegawanywa katika viwanja sawa - karatasi isiyo na mwisho ya daftari kwenye seli kwa pande zote. Ikiwa ndege kama hiyo inazungushwa nyuzi 90 (180, 270 au digrii 360) kuzunguka katikati ya mraba wowote, tiling itabadilika yenyewe. Pia hubadilika kuwa yenyewe wakati inahamishwa na vector inayofanana na moja ya pande za mraba. Urefu wa vector lazima iwe nyingi ya upande wa mraba.

Mnamo 1924, geometri George Polia (kabla ya kuhamia USA Gyorgy Polya) alichapisha karatasi juu ya vikundi vya ulinganifu, ambayo ilithibitisha ukweli wa kushangaza (ingawa tayari iligunduliwa mnamo 1891 na mtaalam wa hesabu wa Urusi Evgraf Fedorov, na baadaye alisahaulika salama) : kuna ulinganifu wa vikundi 17 tu, ambavyo ni pamoja na mabadiliko katika mwelekeo angalau mbili tofauti. Mnamo 1936, Escher, aliyevutiwa na mapambo ya Wamoor (kutoka kwa maoni ya kijiometri, anuwai ya kutengeneza), alisoma kazi ya Polia. Licha ya ukweli kwamba yeye, kwa kukubali kwake mwenyewe, hakuelewa hesabu zote nyuma ya kazi hiyo, Escher aliweza kufahamu kiini chake cha kijiometri. Kama matokeo, kulingana na vikundi vyote 17, Escher aliunda kazi zaidi ya 40.

Musa.

Woodcut "Mchana na Usiku".

"Kutengeneza mara kwa mara ndege IV".

Woodcut "Anga na Maji".

Mimea. Kikundi ni kitu rahisi, jenereta: ulinganifu wa utelezi na uhamisho wa sambamba. Lakini tiles za kutengeneza ni nzuri. Na pamoja na ukanda wa Mobius, ndivyo ilivyo.


Woodcut "Wapanda farasi".

Tofauti nyingine juu ya mada ya ulimwengu gorofa na wa pande tatu na miinuko.


Lithograph "Kioo cha Uchawi".

Escher alikuwa rafiki na mwanafizikia Roger Penrose. Wakati wake wa bure kutoka kwa fizikia, Penrose alikuwa akijishughulisha na utatuzi wa mafumbo ya hesabu. Siku moja alikuja na wazo lifuatalo: ikiwa unafikiria tiling iliyo na takwimu zaidi ya moja, je! Kikundi chake cha ulinganifu kitatofautiana na kile kilichoelezewa na Polia? Kama ilivyotokea, jibu la swali hili ni ndio - hii ndio jinsi mosaic ya Penrose ilizaliwa. Mnamo miaka ya 1980, ilifunuliwa kuwa inahusishwa na quasicrystals (Tuzo ya Nobel katika Kemia 2011).

Walakini, Escher hakuwa na wakati (au labda hakutaka) kutumia mosaic hii katika kazi yake. (Lakini kuna maandishi mazuri kabisa ya "Kuku wa Penrose," sio Escher aliwavuta.)

Ndege ya Lobachevsky.

Ya tano katika orodha ya muhtasari katika "Kanuni" za Euclid katika ujenzi wa Heiberg ni taarifa ifuatayo: ikiwa laini moja kwa moja ikikatiza mistari miwili iliyonyooka huunda pembe za ndani za upande mmoja chini ya mistari miwili iliyonyooka, basi, iliendelea bila kikomo, hizi mbili sawa mistari itakutana upande ambao pembe ni chini ya mistari miwili iliyonyooka. Katika fasihi ya kisasa, uundaji sawa na wa kifahari unapendelewa: kupitia hatua ambayo haiko kwenye mstari ulionyooka, kuna laini moja kwa moja inayofanana na ile iliyopewa, na, zaidi ya hayo, moja tu. Lakini hata katika uundaji huu, nadharia hiyo, tofauti na maagizo mengine ya Euclid, inaonekana kuwa ngumu na ya kutatanisha - ndio sababu, kwa miaka elfu mbili, wanasayansi wamekuwa wakijaribu kufikiria taarifa hii kutoka kwa axioms zingine. Hiyo ni, kwa kweli, geuza maandishi kuwa nadharia.

Katika karne ya 19, mtaalam wa hesabu Nikolai Lobachevsky alijaribu kufanya hivyo kwa kupingana: alidhani kuwa maandishi hayakuwa sahihi na alijaribu kupata utata. Lakini hakupatikana - na kwa sababu hiyo Lobachevsky aliunda jiometri mpya. Ndani yake, kupitia hatua ambayo haiko kwenye mstari ulionyooka, kuna seti isiyo na kipimo ya laini tofauti ambazo haziingiliani na ile iliyopewa. Lobachevsky hakuwa wa kwanza kugundua jiometri hii mpya. Lakini alikuwa wa kwanza aliyethubutu kuitangaza hadharani - ambayo, kwa kweli, alidhihakiwa.

Utambuzi wa baada ya kufa wa kazi za Lobachevsky ulifanyika, kati ya mambo mengine, kwa sababu ya kuibuka kwa mifano ya jiometri yake - mifumo ya vitu kwenye ndege ya kawaida ya Euclidean ambayo iliridhisha axioms zote za Euclidean, isipokuwa barua ya tano. Moja ya mifano hii ilipendekezwa na mtaalam wa hesabu na fizikia Henri Poincaré mnamo 1882 kwa mahitaji ya uchambuzi wa kazi na ngumu.

Wacha kuwe na duara, mpaka ambao tutauita kamili. "Pointi" katika mfano wetu zitakuwa alama za ndani za duara. Jukumu la "mistari iliyonyooka" huchezwa na miduara au mistari iliyonyooka inayohusiana kabisa (haswa, safu zao zinazoanguka ndani ya duara). Ukweli kwamba kwa "mistari iliyonyooka" kama hiyo ya tano haijatimizwa ni dhahiri. Ukweli kwamba waliobaki wengine wametimizwa kwa vitu hivi ni wazi kidogo, hata hivyo, hii ni hivyo.

Inatokea kwamba katika mfano wa Poincaré inawezekana kuamua umbali kati ya alama. Kuhesabu urefu inahitaji dhana ya kipimo cha Riemannian. Mali yake ni kama ifuatavyo: karibu zaidi jozi ya alama za "laini moja kwa moja" hadi kabisa, umbali mkubwa kati yao. Pia, pembe zinafafanuliwa kati ya "mistari iliyonyooka" - hizi ni pembe kati ya tangents mahali pa makutano ya "mistari iliyonyooka".

Sasa hebu turudi kwenye mwelekeo. Je! Wataonekanaje ikiwa mfano wa Poincaré tayari umegawanywa katika poligoni za kawaida sawa (ambayo ni, polygoni zilizo na pande zote sawa na pembe)? Kwa mfano, poligoni zinapaswa kuwa ndogo kadiri zilivyo karibu kabisa. Wazo hili lilitekelezwa na Escher katika safu ya kazi "Limit-duara". Walakini, Mholanzi hakutumia vizuizi sahihi, lakini matoleo yao ya ulinganifu zaidi. Kesi ambapo uzuri ulikuwa muhimu zaidi kuliko usahihi wa hisabati.

Woodcut "Kikomo - Mzunguko wa II".

Woodcut "Kikomo - Mzunguko wa III".

Njia ya kuni "Mbingu na Kuzimu".

Takwimu zisizowezekana.

Ni kawaida kuita takwimu zisizowezekana udanganyifu maalum wa macho - zinaonekana kuwa picha ya kitu fulani chenye pande tatu kwenye ndege. Lakini juu ya uchunguzi wa karibu, utata wa kijiometri hufunuliwa katika muundo wao. Takwimu zisizowezekana zinavutia sio tu kwa wanahisabati - wanahusika katika wanasaikolojia na wataalamu wa muundo.

Babu-mkubwa wa takwimu zisizowezekana ni mchemraba anayeitwa Necker, picha inayojulikana ya mchemraba kwenye ndege. Ilipendekezwa na mchezaji wa kioo wa Uswidi Louis Necker mnamo 1832. Upekee wa picha hii ni kwamba inaweza kutafsiriwa kwa njia tofauti. Kwa mfano, kona iliyoonyeshwa kwenye takwimu hii na duara nyekundu inaweza kuwa karibu zaidi na sisi kutoka kila pembe ya mchemraba, na, kinyume chake, ni mbali zaidi.

Takwimu za kwanza zisizowezekana kama hizo ziliundwa na mwanasayansi mwingine wa Uswidi, Oskar Ruthersward, mnamo miaka ya 1930. Hasa, alikuja na wazo la kukusanya pembetatu kutoka kwa cubes, ambayo haiwezi kuwepo kwa maumbile. Kwa kujitegemea kwa Ruthersward, Roger Penrose aliyetajwa hapo juu, pamoja na baba yake Lionel Penrose, walichapisha katika Jarida la Saikolojia la Uingereza kitabu kilichoitwa Impossible Objects: A Special Type of Optical Illusion (1956). Ndani yake, Penrose alipendekeza vitu viwili kama hivyo - pembetatu ya Penrose (toleo thabiti la ujenzi wa cubes wa Ruthersward) na ngazi ya Penrose. Walimtaja Maurits Escher kama msukumo wa kazi yao.

Vitu vyote viwili - pembetatu na ngazi - baadaye zilionekana kwenye picha za Escher.

Lithograph "Uhusiano".

Lithograph "Maporomoko ya maji".

Lithograph "Belvedere".

Lithograph "Kupanda na Kushuka".

Kazi zingine zina maana ya hisabati:

Nyota poligoni:

Woodcut "Nyota".

Lithograph "Mgawanyiko wa ujazo wa nafasi".

Lithograph "Uso uliofunikwa na viboko".

Lithograph "Ulimwengu Tatu"

Mchoro wa uwongo una haiba fulani. Ndio ushindi wa sanaa nzuri juu ya ukweli. Kwa nini udanganyifu unapendeza sana? Kwanini wasanii wengi huwatumia katika sanaa zao? Labda kwa sababu hawaonyeshi kile kinachochorwa. Kila mtu huweka alama ya lithograph "Maporomoko ya maji" na Maurits C. Escher... Maji huzunguka hapa bila mwisho, baada ya kuzunguka kwa gurudumu inapita zaidi na inarudi mahali pa kuanzia. Ikiwa muundo kama huo ungejengwa, basi kutakuwa na mashine ya mwendo wa kudumu! Lakini kwa uchunguzi wa karibu wa uchoraji, tunaona kwamba msanii anatudanganya, na jaribio lolote la kujenga muundo huu halitofaulu.

Michoro ya isometriki

Ili kufikisha udanganyifu wa ukweli wa pande tatu, michoro za pande mbili (michoro kwenye uso gorofa) hutumiwa. Kawaida, udanganyifu unajumuisha kuonyesha makadirio ya takwimu thabiti, ambazo mtu hujaribu kuwakilisha vitu vyenye pande tatu kulingana na uzoefu wake wa kibinafsi.

Mtazamo wa kawaida ni mzuri katika kuiga ukweli kama picha ya "picha". Mtazamo huu haujakamilika kwa sababu kadhaa. Inatuzuia kuona eneo kutoka kwa maoni tofauti, kuikaribia, au kuangalia kitu kutoka pande zote. Haitupatii athari ya kina ambacho kitu halisi kitakuwa nacho. Athari ya kina inatokana na ukweli kwamba macho yetu huangalia kitu kutoka kwa maoni mawili tofauti, na ubongo wetu unachanganya kuwa picha moja. Mchoro wa gorofa unawakilisha eneo kutoka kwa mtazamo mmoja tu. Mfano wa kuchora kama hiyo itakuwa picha iliyopigwa na kamera ya kawaida ya monocular.

Wakati wa kutumia darasa hili la udanganyifu, kuchora huonekana kwa mtazamo wa kwanza kuwa mtazamo wa kawaida wa mwili thabiti. Lakini juu ya uchunguzi wa karibu, utata wa ndani wa kitu kama hicho huonekana. Na inakuwa wazi kuwa kitu kama hicho hakiwezi kuwepo katika hali halisi.

Udanganyifu wa Penrose

Maporomoko ya Escher yanategemea udanganyifu wa Penrose, wakati mwingine huitwa udanganyifu wa pembetatu haiwezekani. Udanganyifu huu umeonyeshwa hapa katika hali yake rahisi.

Inaonekana kwamba tunaona baa tatu za mraba zimeunganishwa kwenye pembetatu. Ikiwa utafunika kona yoyote ya sura hii, utaona kuwa baa zote tatu zimeunganishwa kwa usahihi. Lakini unapoondoa mkono wako kutoka kona iliyofungwa, udanganyifu unakuwa dhahiri. Baa hizo mbili zinazojiunga kwenye kona hii hazipaswi hata kuwa karibu na kila mmoja.

Udanganyifu wa Penrose hutumia "mtazamo wa uwongo". Mtazamo wa uwongo pia hutumiwa katika utoaji wa isometriki. Wakati mwingine mtazamo huu huitwa Kichina (dokezo la mtafsiri: Reutersvard iliita mtazamo huu kuwa Kijapani). Njia hii ya uchoraji mara nyingi imekuwa ikitumika katika sanaa ya macho ya Wachina. Kwa njia hii ya kuchora, kina cha kuchora ni cha kushangaza.

Katika michoro za isometriki, mistari yote inayofanana huonekana sawa, hata ikiwa imeelekezwa kwa heshima na watazamaji. Kitu kilichoelekezwa mbali na mtazamaji kinafanana kabisa na ikiwa kimeelekezwa kwa mtazamaji kwa pembe ile ile. Mstatili ulioinama katikati (takwimu ya Mach) inaonyesha wazi utata huu. Takwimu hii inaweza kuonekana kama kitabu wazi kwako, kana kwamba unatazama kurasa za kitabu, au inaweza kuonekana kama kitabu kilichofunguliwa kwako kama kifungo na unatazama jalada la kitabu. Takwimu hii inaweza pia kuonekana kuwa ni vielelezo viwili vilivyofanana, lakini watu wachache sana wataona takwimu hii kama viambishi.

Takwimu ya Thiery inaonyesha uwili huo huo

Fikiria udanganyifu wa ngazi ya Schroeder - mfano "safi" wa utata wa kina wa isometriki. Takwimu hii inaweza kuzingatiwa kama ngazi ambayo inaweza kupandwa kutoka kulia kwenda kushoto, au kama mtazamo wa chini wa ngazi. Jaribio lolote la kuweka upya mistari ya takwimu litaharibu udanganyifu.

Mchoro huu rahisi unafanana na laini ya cubes, iliyoonyeshwa kutoka nje na kutoka ndani. Kwa upande mwingine, mchoro huu unafanana na safu ya cubes iliyoonyeshwa kutoka juu na chini. Lakini ni ngumu sana kugundua uchoraji huu kama seti tu ya safu.

Wacha tupake rangi sehemu nyeusi. Parallelograms nyeusi zinaweza kuonekana kama tunawaangalia ama kutoka chini au kutoka juu. Jaribu, ikiwa unaweza, kuona picha hii tofauti, kana kwamba tunaangalia parallelogram moja kutoka chini, na nyingine kutoka juu, tukibadilisha. Watu wengi hawawezi kuona picha hii kwa njia hii. Kwa nini hatuwezi kutambua picha kwa njia hii? Ninaona hii kuwa ngumu zaidi kuliko udanganyifu rahisi.

Kielelezo upande wa kulia hutumia udanganyifu wa pembetatu isiyowezekana katika mtindo wa kiisometriki. Hii ni moja wapo ya mifumo ya kuandaa programu ya "hatch" ya AutoCAD (TM). Sampuli hii inaitwa "Escher".

Mchoro wa isometriki wa ujenzi wa mchemraba wa waya unaonyesha utata wa isometric. Takwimu hii wakati mwingine huitwa mchemraba wa Necker. Ikiwa nukta nyeusi iko katikati ya upande mmoja wa mchemraba, je! Upande huo ni mbele au nyuma? Unaweza pia kufikiria kwamba hatua hiyo iko karibu na kona ya chini ya kulia ya upande, lakini bado huwezi kujua ikiwa upande huo uko mbele au la. Pia huwezi kuwa na sababu yoyote ya kudhani kuwa hatua hiyo iko juu ya uso wa mchemraba au ndani yake, inaweza kuwa mbele ya mchemraba na nyuma yake, kwani hatuna habari juu ya vipimo halisi vya uhakika.

Ikiwa unafikiria kando ya mchemraba kama mbao za mbao, unaweza kupata matokeo yasiyotarajiwa. Hapa tulitumia uunganisho wa utata wa vipande vya usawa, ambavyo vitajadiliwa hapa chini. Toleo hili la takwimu linaitwa sanduku lisilowezekana. Ni msingi wa udanganyifu mwingi kama huo.

Sanduku lisilowezekana haliwezi kutengenezwa kutoka kwa kuni. Na bado tunaona hapa picha ya sanduku lisilowezekana lililotengenezwa kwa kuni. Huu ni uwongo. Moja ya baa za droo ambazo zinaonekana kupita nyuma ya nyingine kwa kweli ni baa mbili za mapumziko, moja iko karibu na nyingine mbali zaidi ya baa ya kuvuka. Takwimu hiyo inaonekana tu kutoka kwa mtazamo mmoja. Ikiwa tungetazama muundo halisi, basi kwa msaada wa maono yetu ya stereoscopic, tungeona ujanja, kwa sababu ambayo takwimu haiwezekani. Ikiwa tutabadilisha maoni yetu, basi ujanja huu ungeonekana zaidi. Ndio sababu, wakati wa kuonyesha takwimu zisizowezekana kwenye maonyesho na kwenye majumba ya kumbukumbu, unalazimika kuziangalia kupitia shimo ndogo kwa jicho moja.

Viunganisho visivyo sawa

Je! Udanganyifu huu unategemea nini? Je! Ni tofauti kwenye kitabu cha Mach?

Kwa kweli, ni mchanganyiko wa udanganyifu wa Mach na unganisho la utata wa mistari. Vitabu hivyo viwili vinashirikiana katikati ya takwimu. Hii inafanya mwelekeo wa kitabu kufunika utata.

Udanganyifu wa msimamo

Udanganyifu wa Poggendorf, au "mstatili uliokatizwa", unatupotosha ni ni yupi wa mistari A au B ni mwendelezo wa mstari C. Jibu lisilo na shaka linaweza kutolewa tu kwa kushikamana na mtawala kwa laini C na kufuatilia ni ipi ya mistari inayofanana na hiyo .

Fanya udanganyifu

Udanganyifu wa fomu unahusiana sana na udanganyifu wa msimamo, lakini hapa muundo wa kuchora hutulazimisha kubadilisha uamuzi wetu juu ya aina ya jiometri ya kuchora. Katika mfano hapa chini, mistari mifupi iliyopandikizwa inatoa udanganyifu kwamba mistari miwili mlalo imepindika. Kwa kweli, hizi ni mistari sawa sawa.

Mawazo haya hutumia uwezo wa ubongo wetu kuchakata habari inayoonekana, pamoja na nyuso zenye kivuli. Mfumo mmoja wa kutotolewa unaweza kuwa mkubwa sana hivi kwamba vitu vingine vya muundo vinaonekana kupotoshwa.

Mfano wa kawaida ni seti ya miduara iliyojaa na mraba uliowekwa juu yao. Ingawa pande za mraba ziko sawa kabisa, zinaonekana kuwa zimepindika. Ukweli kwamba pande za mraba ni sawa zinaweza kudhibitishwa kwa kuambatisha mtawala kwao. Mawazo mengi ya fomu yanategemea athari hii.

Mfano ufuatao unafanya kazi kwa kanuni hiyo hiyo. Ingawa duru zote mbili zina ukubwa sawa, moja yao inaonekana ndogo kuliko nyingine. Hii ni moja ya udanganyifu wa saizi nyingi.

Maelezo ya athari hii yanaweza kupatikana katika maoni yetu ya mtazamo kwenye picha na uchoraji. Katika ulimwengu wa kweli, tunaona kwamba mistari miwili inayofanana huungana kadiri umbali unavyoongezeka, kwa hivyo tunaona kuwa mduara unaogusa mistari uko mbali zaidi na sisi na kwa hivyo inapaswa kuwa kubwa.

Ukipaka rangi miduara nyeusi, miduara na maeneo yaliyofungwa na mistari yatafanya udanganyifu udhoofike.

Upana wa ukingo na urefu wa kofia ni sawa, ingawa haionekani kwa mtazamo wa kwanza. Jaribu kuzungusha picha nyuzi 90. Je! Athari imehifadhiwa? Huu ni udanganyifu wa vipimo vya jamaa ndani ya picha.

Viwiko vyenye utata

Miduara iliyoelekezwa inakadiriwa kwenye ndege na viwiko, na viwiko hivi vina utata wa kina. Ikiwa umbo (hapo juu) ni duara iliyoinama, basi hakuna njia ya kujua ikiwa safu ya juu iko karibu nasi au iko mbali zaidi na sisi kuliko safu ya chini.

Uunganisho wa utata wa mistari ni jambo muhimu katika udanganyifu wa pete isiyo na maana:

Pete isiyoeleweka, © Donald E. Simanek, 1996.

Ikiwa unafunika nusu ya picha, iliyobaki itafanana na nusu ya pete ya kawaida.

Nilipokuja na umbo hili, nilifikiri kuwa inaweza kuwa udanganyifu wa asili. Lakini baadaye, niliona tangazo na nembo ya shirika la fiber-optic, Canstar. Ingawa nembo ya Canstar ni yangu, zinaweza kuainishwa chini ya darasa moja la udanganyifu. Kwa hivyo, mimi na shirika tuliendeleza kwa uhuru kila mmoja takwimu ya gurudumu lisilowezekana. Nadhani ukienda ndani zaidi, pengine unaweza kupata mifano ya mapema ya gurudumu lisilowezekana.

Ngazi zisizo na mwisho

Mwingine wa udanganyifu wa kawaida wa Penrose ni ngazi isiyowezekana. Yeye mara nyingi huonyeshwa kama mchoro wa isometriki (hata katika kazi ya Penrose). Toleo letu la staircase isiyo na kipimo ni sawa na toleo la staircase ya Penrose (isipokuwa kwa kuchana).

Anaweza pia kuonyeshwa kwa mtazamo, kama inavyofanyika kwenye picha ya M. K. Escher.

Udanganyifu katika "kupaa na kushuka" kwa lithograph umejengwa kwa njia tofauti. Escher aliweka ngazi juu ya paa la jengo na akaonyesha jengo lililo chini kwa njia ya kuonyesha maoni.

Msanii alionyesha ngazi isiyo na mwisho na kivuli. Kama kivuli, kivuli kinaweza kuharibu udanganyifu. Lakini msanii aliweka chanzo cha nuru mahali ambapo kivuli kinachanganya vizuri na sehemu zingine za uchoraji. Labda kivuli kutoka ngazi ni udanganyifu yenyewe.

Hitimisho

Watu wengine hawavutiwi kabisa na picha za uwongo. "Ni picha mbaya tu," wanasema. Watu wengine, labda chini ya 1% ya idadi ya watu, hawawatambui kwa sababu akili zao haziwezi kubadilisha picha za gorofa kuwa picha za pande tatu. Watu hawa huwa na ugumu wa kuelewa michoro ya kiufundi na vielelezo vya takwimu za 3-D kwenye vitabu.

Wengine wanaweza kuona kuwa kuna "kitu kibaya" na uchoraji, lakini hawafikiri kuuliza jinsi udanganyifu unapatikana. Watu hawa kamwe hawana haja ya kuelewa jinsi maumbile yanavyofanya kazi, hawawezi kuzingatia maelezo kwa ukosefu wa udadisi wa kimsingi wa kielimu.

Labda kuelewa vitendawili vya kuona ni moja wapo ya sifa za aina ya ubunifu ambao wataalam bora wa hesabu, wanasayansi, na wasanii wanayo. Miongoni mwa kazi za M.C Escher (M.C Escher) kuna picha nyingi za uchoraji, pamoja na uchoraji tata wa jiometri, ambayo inaweza kuhusishwa zaidi na "michezo ya kihesabu ya kiakili" kuliko sanaa. Walakini, wanawavutia wanahisabati na wanasayansi.

Inasemekana kuwa watu wanaoishi kwenye kisiwa cha Pasifiki au kirefu katika msitu wa Amazon, ambapo hawajawahi kuona picha, hawataweza kuelewa kwanza picha hiyo inapoonyeshwa. Ukalimani wa aina hii ya picha ni ujuzi uliopatikana. Watu wengine hujifunza ustadi huu vizuri, wengine mbaya zaidi.

Wasanii walianza kutumia mtazamo wa kijiometri katika kazi zao muda mrefu kabla ya uvumbuzi wa upigaji picha. Lakini hawangeweza kuisoma bila msaada kutoka kwa sayansi. Lenti zilipatikana kwa jumla tu katika karne ya 14. Wakati huo, zilitumika katika majaribio na kamera zenye giza. Lens kubwa iliwekwa kwenye shimo kwenye ukuta wa chumba chenye giza ili picha iliyogeuzwa ilionyeshwe kwenye ukuta ulio kinyume. Kuongeza kioo kulifanya iweze kutupwa picha kutoka sakafuni hadi dari ya kamera. Kifaa hiki mara nyingi kilitumiwa na wasanii wakijaribu mtindo mpya wa "Uropa" katika sanaa. Kufikia wakati huo, hesabu tayari ilikuwa sayansi ngumu ya kutosha kutoa msingi wa nadharia wa mtazamo, na kanuni hizi za nadharia zilichapishwa katika vitabu kwa wasanii.

Kwa kujaribu tu kuteka picha za uwongo peke yako unaweza kufahamu hila zote muhimu ili kuunda udanganyifu kama huo. Mara nyingi asili ya udanganyifu huweka mapungufu yake, ikitia "mantiki" yake kwa msanii. Kama matokeo, uundaji wa uchoraji unakuwa vita ya akili ya msanii na ugeni wa udanganyifu usio na mantiki.

Sasa kwa kuwa tumejadili kiini cha udanganyifu, unaweza kuzitumia kuunda udanganyifu wako mwenyewe, na pia kuainisha udanganyifu wowote unaokutana nao. Baada ya muda, utakuwa na mkusanyiko mkubwa wa udanganyifu, na utahitaji kuwaonyesha kwa namna fulani. Nilibuni kesi ya kuonyesha glasi kwa hili.

Onyesho la udanganyifu. © Donald E. Simanek, 1996.

Unaweza kuangalia muunganiko wa mistari kwa mtazamo na mambo mengine ya jiometri ya kuchora hii. Kwa kuchambua picha kama hizo, na kujaribu kuchora, unaweza kujua kiini cha udanganyifu uliotumiwa kwenye picha. MC Escher alitumia ujanja sawa katika uchoraji wake "Belvedere" (hapa chini).

Donald E. Simanek, Desemba 1996. Ilitafsiriwa kutoka Kiingereza

Maurits Cornelis Escher ni msanii wa picha wa Uholanzi ambaye amefanikiwa na picha zake za dhana, ukataji wa mbao na uchapishaji wa chuma, na pia vielelezo vya vitabu, mihuri, frescoes na tapestries. Mwakilishi mashuhuri wa sanaa ya sanaa (onyesho la takwimu zisizowezekana).

Maurits Escher alizaliwa Uholanzi katika jiji la Louvander katika familia ya mhandisi George Arnold Escher na binti ya Waziri Sarah Adriana Gleichmann-Escher. Maurits alikuwa mtoto wa mwisho na wa nne katika familia. Alipokuwa na umri wa miaka 5, familia nzima ilihamia Arnhem, ambapo alitumia ujana wake mwingi. Wakati wa kuingia shule ya upili, msanii wa baadaye alifanikiwa kufaulu mitihani, ambayo alipelekwa Shule ya Usanifu na Sanaa za Mapambo huko Haarlem. Mara moja katika shule hiyo mpya, Maurits Escher aliendelea kukuza ubunifu wake, njiani akionyesha michoro na linocuts kwa mwalimu wake Samuel Jessern, ambaye alimchochea kuendelea kufanya kazi katika aina ya mapambo. Baadaye, Escher alimtangazia baba yake kuwa anataka kusoma sanaa ya mapambo na kwamba kwa kweli hakuwa na hamu ya usanifu.

Baada ya kumaliza masomo yake, Maurits Escher alienda kusafiri kwenda Italia, ambapo alikutana na mkewe wa baadaye Getta Wimker. Wanandoa wachanga walikaa Roma, ambapo waliishi hadi 1935. Wakati huu, Escher alisafiri mara kwa mara kwenda Italia na akafanya michoro na michoro. Wengi wao baadaye walitumiwa kama msingi wa kuunda njia za kuni.

Mwishoni mwa miaka ya 1920, Escher alikuwa maarufu sana nchini Uholanzi, na ukweli huu uliathiriwa sana na wazazi wa msanii huyo. Mnamo 1929, alifanya maonesho matano huko Holland na Uswizi, ambayo ilipokea hakiki za kupendeza kutoka kwa wakosoaji. Katika kipindi hiki, uchoraji wa Escher uliitwa kwanza mitambo na "mantiki". Mnamo 1931, msanii huyo aligeukia kukomesha kuni. Kwa bahati mbaya, mafanikio ya msanii hayakumletea pesa nyingi, na mara nyingi alikuwa akimwendea baba yake kwa msaada wa kifedha. Wazazi katika maisha yao yote walimuunga mkono Maurits Escher katika juhudi zake zote, kwa hivyo wakati baba yake alipokufa mnamo 1939 na mama yake mwaka mmoja baadaye, Escher hakuhisi kwa njia bora zaidi.

Mnamo 1946, msanii huyo alivutiwa na teknolojia ya uchapishaji ya intaglio, ambayo iligundulika na ugumu fulani katika utekelezaji. Kwa sababu hii, hadi 1951 Escher alifanya maonyesho saba tu kwa njia ya mezzotinto na hakufanya kazi katika mbinu hii tena. Mnamo 1949, Escher na wasanii wengine wawili waliandaa maonyesho makubwa ya kazi zake za picha huko Rotterdam, baada ya machapisho kadhaa ambayo Escher alijulikana sio tu Ulaya, bali pia Amerika. Aliendelea kufanya kazi kwa njia iliyochaguliwa, akiunda kazi mpya zaidi na mpya na wakati mwingine zisizotarajiwa za sanaa.

Moja ya kazi maarufu zaidi ya Escher ni lithograph ya maporomoko ya maji kulingana na pembetatu isiyowezekana. Maporomoko ya maji hucheza jukumu la mashine ya mwendo wa kudumu, na minara inaonekana kuwa ya urefu sawa, ingawa moja yao ni sakafu moja chini ya nyingine. Uchoraji mbili baadaye za Escher za takwimu zisizowezekana - "Belvedere" na "Kushuka na Kushuka" ziliundwa kati ya 1958 na 1961. Miongoni mwa kazi za burudani pia ni pamoja na michoro "Juu na Chini", "Uhusiano", "Metamorphoses I", "Metamorphoses II", "Metamorphoses III" (kazi kubwa zaidi - mita 48), "Anga na Maji" au "Wanyama watambaao" ...

Mnamo Julai 1969, Escher aliunda mkato wa mwisho wenye jina la Nyoka. Na mnamo Machi 27, 1972, msanii huyo alikufa na saratani ya matumbo. Wakati wa uhai wake, Escher aliunda picha za kuchapisha 448, kuchapisha na kukata miti na zaidi ya michoro na michoro 2,000 tofauti. Kipengele kingine cha kupendeza ni kwamba Escher, kama watangulizi wake wakuu (Michelangelo, Leonardo da Vinci, Durer na Holben), alikuwa mkono wa kushoto.

Katika kazi hii ya Escher, kitendawili kinaonyeshwa - maji ya kuanguka ya maporomoko ya maji huendesha gurudumu ambalo linaelekeza maji juu ya maporomoko ya maji. Maporomoko ya maji yana muundo wa pembetatu "isiyowezekana" ya Penrose: lithograph iliundwa kulingana na nakala katika Jarida la Uingereza la Saikolojia.

Muundo huo umeundwa na mihimili mitatu, iliyowekwa juu ya kila mmoja kwa pembe za kulia. Maporomoko ya maji katika lithography hufanya kazi kama mashine ya mwendo wa kudumu. Kulingana na mwendo wa macho, inaonekana kwa njia mbadala kwamba minara yote miwili ni sawa na kwamba mnara upande wa kulia ni sakafu moja chini ya mnara wa kushoto.

Andika maoni juu ya kifungu "Maporomoko ya maji (lithography)"

Vidokezo

Viungo

• Tovuti rasmi: (Kiingereza)

Sehemu kutoka kwa Maporomoko ya maji (lithograph)