Jinsi ya kupata sufuri za chaguo za kukokotoa katika sehemu. Jinsi ya kupata sufuri za chaguo za kukokotoa

Kazi sufuri ni maadili ya hoja ambayo kipengele cha kukokotoa ni sawa na sifuri.

Ili kupata sufuri za chaguo za kukokotoa zilizotolewa na formula y=f(x), unahitaji kutatua equation f(x)=0.

Ikiwa equation haina mizizi, kazi haina zero.

Mifano.

1) Tafuta sufuri za kitendakazi cha mstari y=3x+15.

Ili kupata sufuri za chaguo za kukokotoa, suluhisha mlinganyo 3x+15=0.

Kwa hivyo, sifuri ya kazi y=3x+15 ni x= -5.

Jibu: x= -5.

2) Tafuta sufuri za chaguo za kukokotoa za quadratic f(x)=x²-7x+12.

Ili kupata sufuri za chaguo za kukokotoa, suluhisha mlinganyo wa quadratic

Mizizi yake x1=3 na x2=4 ni sufuri za chaguo hili la kukokotoa.

Jibu: x=3; x=4.

Maagizo

1. Sufuri ya chaguo za kukokotoa ni thamani ya hoja x ambapo thamani ya chaguo za kukokotoa ni sawa na sifuri. Hata hivyo, ni hoja hizo tu ambazo ziko ndani ya upeo wa ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zinazochunguzwa zinaweza kuwa sufuri. Hiyo ni, kuna maadili mengi ambayo chaguo la kukokotoa f(x) ni muhimu. 2. Andika kazi uliyopewa na ulinganishe na sifuri, sema f(x) = 2x?+5x+2 = 0. Tatua mlinganyo unaotokana na upate mizizi yake halisi. Mizizi ya mlinganyo wa quadratic huhesabiwa kwa usaidizi wa kutafuta kibaguzi. 2x?+5x+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;x1 = (-b+?D)/2*a = (-5+3)/2*2 = -0.5;x2 = (-b-?D)/2*a = (-5-3)/2*2 = -2. Kwa hiyo, katika kesi hii, mizizi miwili ya equation ya quadratic inapatikana, inayofanana na hoja za chaguo za kukokotoa za awali f(x). 3. Angalia thamani zote za x zilizogunduliwa kwa mali ya kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa ulilopewa. Jua OOF, ili kufanya hivyo, angalia usemi wa awali wa uwepo wa hata mizizi ya fomu?f (x), kwa uwepo wa sehemu katika kazi na hoja katika denominator, kwa uwepo wa logarithmic au trigonometric. maneno. 4. Wakati wa kuzingatia kazi na usemi chini ya mzizi wa digrii hata, chukua kama kikoa cha ufafanuzi hoja zote x, maadili ambayo haigeuzi usemi mkali kuwa nambari hasi (kinyume chake, kazi hufanya. haina maana). Angalia ikiwa sufuri zilizotambuliwa za chaguo za kukokotoa ziko ndani ya safu fulani ya thamani zinazokubalika za x. 5. Kiashiria cha sehemu hakiwezi kwenda hadi sifuri; kwa hivyo, ondoa hoja hizo x ambazo husababisha matokeo kama haya. Kwa idadi ya logarithmic, zile tu maadili ya hoja yanapaswa kuzingatiwa ambayo usemi wenyewe ni mkubwa kuliko sifuri. Sufuri za chaguo za kukokotoa zinazogeuza usemi wa sublogarithmic kuwa sufuri au nambari hasi lazima zitupwe kutoka kwa tokeo la mwisho. Kumbuka! Wakati wa kupata mizizi ya equation, mizizi ya ziada inaweza kuonekana. Hii ni rahisi kuangalia: badilisha tu thamani inayotokana ya hoja kwenye chaguo za kukokotoa na uhakikishe kama chaguo la kukokotoa linageuka kuwa sifuri. Ushauri wa manufaa Mara kwa mara kazi haionyeshwa kwa njia ya wazi kupitia hoja yake, basi ni rahisi kujua kazi hii ni nini. Mfano wa hii ni equation ya duara.

Kazi sufuri Thamani ya abscissa ambayo thamani ya kazi ni sawa na sifuri inaitwa.

Ikiwa kazi inatolewa na equation yake, basi zero za kazi zitakuwa suluhisho kwa equation. Ikiwa grafu ya chaguo la kukokotoa imetolewa, basi sufuri za chaguo za kukokotoa ni thamani ambazo grafu huingiliana na mhimili wa x.

Kazi ni mojawapo ya dhana muhimu za hisabati. Kazi - utegemezi wa kutofautiana katika kutoka kwa kutofautiana x, ikiwa kila thamani X inalingana na thamani moja katika. Inaweza kubadilika X inayoitwa kigezo huru au hoja. Inaweza kubadilika katika inayoitwa kutofautisha tegemezi. Thamani zote za tofauti huru (variable x) kuunda kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa. Thamani zote ambazo kigezo tegemezi huchukua (variable y), tengeneza anuwai ya maadili ya chaguo la kukokotoa.

Grafu ya kazi piga seti ya alama zote za ndege ya kuratibu, abscissas ambayo ni sawa na maadili ya hoja, na waratibu ni sawa na maadili yanayolingana ya kazi, ambayo ni, maadili ya variable hupangwa pamoja na mhimili wa abscissa x, na maadili ya kutofautisha yamepangwa pamoja na mhimili wa kuratibu y. Ili kuchora kitendakazi, unahitaji kujua sifa za chaguo la kukokotoa. Mali kuu ya kazi itajadiliwa hapa chini!

Ili kuunda grafu ya chaguo la kukokotoa, tunapendekeza kutumia programu yetu - Vitendaji vya Kuchora mtandaoni. Ikiwa una maswali yoyote wakati unasoma nyenzo kwenye ukurasa huu, unaweza kuwauliza kila wakati kwenye jukwaa letu. Pia kwenye jukwaa watakusaidia kutatua matatizo katika hisabati, kemia, jiometri, nadharia ya uwezekano na masomo mengine mengi!

Tabia za msingi za kazi.

1) Kikoa cha kazi na anuwai ya utendakazi.

Kikoa cha chaguo za kukokotoa ni seti ya thamani zote halali za hoja x(kigeu x), ambayo kazi y = f(x) kuamua.
Masafa ya chaguo za kukokotoa ni seti ya thamani zote halisi y, ambayo kitendakazi kinakubali.

Katika hisabati ya msingi, kazi zinasomwa tu kwenye seti ya nambari halisi.

2) Kazi zero.

Chaguo za kukokotoa sifuri ni thamani ya hoja ambapo thamani ya chaguo za kukokotoa ni sawa na sifuri.

3) Vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya chaguo la kukokotoa.

Vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya chaguo za kukokotoa ni seti za thamani za hoja ambazo thamani za chaguo za kukokotoa ni chanya au hasi tu.

4) Monotonicity ya kazi.

Chaguo za kukokotoa zinazoongezeka (katika muda fulani) ni chaguo za kukokotoa ambapo thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa.

Chaguo za kukokotoa zinazopungua (katika muda fulani) ni chaguo za kukokotoa ambapo thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa.

5) Kazi ya hata (isiyo ya kawaida)..

Kitendakazi chenye usawaziko ni chaguo la kukokotoa ambalo kikoa chake cha ufafanuzi ni linganifu kwa heshima ya asili na kwa yoyote X kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa usawa f(-x) = f(x). Grafu ya kitendakazi sawasawa ina ulinganifu kuhusu kuratibu.

Chaguo za kukokotoa zisizo za kawaida ni chaguo za kukokotoa ambazo kikoa chake cha ufafanuzi ni linganifu kwa heshima na asili na kwa yoyote X kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi usawa ni kweli f(-x) = - f(x) Grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ina ulinganifu kuhusu asili.

6) Kazi ndogo na zisizo na kikomo.

Chaguo za kukokotoa huitwa bounded ikiwa kuna nambari chanya M ambayo |f(x)| ≤ M kwa thamani zote za x. Ikiwa nambari kama hiyo haipo, basi kazi haina ukomo.

7) Muda wa kazi.

Chaguo za kukokotoa f(x) ni za mara kwa mara ikiwa kuna nambari isiyo ya kawaida T ili kwa x f(x+T) = f(x) yoyote. Nambari hii ndogo zaidi inaitwa kipindi cha chaguo la kukokotoa. Kazi zote za trigonometric ni za mara kwa mara. (Fomula za Trigonometric).

Baada ya kusoma mali hizi za kazi, unaweza kuchunguza kazi kwa urahisi na, kwa kutumia mali ya kazi, unaweza kujenga grafu ya kazi. Pia angalia nyenzo kuhusu jedwali la ukweli, jedwali la kuzidisha, jedwali la mara kwa mara, jedwali la derivatives na jedwali la viambatanisho.

Kazi sufuri

Je, zero za utendaji ni nini? Jinsi ya kuamua zero za kazi kwa uchanganuzi na graphically?

Kazi sufuri- hizi ni maadili ya hoja ambayo kazi ni sawa na sifuri.

Ili kupata sufuri za chaguo za kukokotoa zilizotolewa na formula y=f(x), unahitaji kutatua equation f(x)=0.

Ikiwa equation haina mizizi, kazi haina zero.

1) Tafuta sufuri za kitendakazi cha mstari y=3x+15.

Ili kupata zero za kazi, suluhisha equation 3x+15 =0.

Kwa hivyo, sifuri ya kazi ni y=3x+15 - x= -5.

2) Tafuta sufuri za chaguo za kukokotoa za quadratic f(x)=x²-7x+12.

Ili kupata sufuri za chaguo za kukokotoa, suluhisha mlinganyo wa quadratic

Mizizi yake x1=3 na x2=4 ni sufuri za chaguo hili la kukokotoa.

3) Pata zero za kazi

Sehemu inaeleweka ikiwa denominator sio sifuri. Kwa hivyo, x²-1≠0, x² ≠ 1, x ≠±1. Hiyo ni, kikoa cha ufafanuzi wa kazi fulani (DO)

Kati ya mizizi ya equation x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4, ni x=-4 pekee ndio imejumuishwa katika kikoa cha ufafanuzi.

Ili kupata sufuri za chaguo za kukokotoa zilizotolewa kwa mchoro, unahitaji kupata pointi za makutano ya grafu ya kazi na mhimili wa abscissa.

Ikiwa grafu haiingiliani na mhimili wa Ox, chaguo la kukokotoa halina sufuri.

kazi ambayo grafu imeonyeshwa kwenye takwimu ina zero nne -

Katika algebra, shida ya kupata zero za kazi hufanyika kama kazi ya kujitegemea na wakati wa kutatua shida zingine, kwa mfano, wakati wa kusoma kazi, kutatua usawa, nk.

www.algebraclass.ru

Sheria ya sifuri ya kazi

Dhana za kimsingi na sifa za kazi

Kanuni (sheria ya) mawasiliano. Kazi ya monotoniki .

Utendaji mdogo na usio na kikomo. Kuendelea na

kazi zisizoendelea . Kazi za usawa na zisizo za kawaida.

Utendaji wa mara kwa mara. Kipindi cha kazi.

Kazi sufuri . Asymptote .

Kikoa cha ufafanuzi na anuwai ya thamani za chaguo la kukokotoa. Katika hisabati ya msingi, kazi zinasomwa tu kwenye seti ya nambari halisi R . Hii inamaanisha kuwa hoja ya chaguo za kukokotoa inaweza kuchukua tu zile thamani halisi ambazo kazi yake imefafanuliwa, i.e. pia inakubali tu maadili halisi. Kundi la X thamani zote halali za hoja x, ambayo kazi y = f (x) hufafanuliwa, huitwa kikoa cha chaguo la kukokotoa. Kundi la Y maadili yote halisi y, ambayo kazi inakubali, inaitwa safu ya utendakazi. Sasa tunaweza kutoa ufafanuzi sahihi zaidi wa kazi: kanuni (sheria) ya mawasiliano kati ya seti X Na Y , kulingana na ambayo kwa kila kipengele kutoka kwa seti X unaweza kupata kipengele kimoja na kimoja tu kutoka kwa seti Y, inaitwa kazi .

Kutoka kwa ufafanuzi huu inafuata kwamba chaguo la kukokotoa linazingatiwa kufafanuliwa ikiwa:

- uwanja wa ufafanuzi wa kitendakazi umebainishwa X ;

- safu ya utendaji imebainishwa Y ;

- sheria (sheria) ya mawasiliano inajulikana, na vile vile kwa kila mmoja

thamani ya hoja, thamani moja tu ya chaguo za kukokotoa inaweza kupatikana.

Mahitaji haya ya upekee wa kazi ni ya lazima.

Kazi ya monotoniki. Ikiwa kwa maadili yoyote mawili ya hoja x 1 na x 2 ya hali x 2 > x 1 inafuata f (x 2) > f (x 1), kisha kitendakazi f (x) inaitwa kuongezeka; ikiwa kwa yoyote x 1 na x 2 ya hali x 2 > x 1 inafuata f (x 2)

Kazi iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 3 ni mdogo, lakini sio monotonic. Kazi katika Mchoro wa 4 ni kinyume chake, monotonic, lakini ukomo. (Fafanua hili tafadhali!).

Kazi zinazoendelea na zisizoendelea. Kazi y = f (x) inaitwa kuendelea kwa uhakika x = a, Kama:

1) kazi hufafanuliwa wakati x = a, i.e. f (a) ipo;

2) ipo yenye mwisho kikomo lim f (x) ;

Ikiwa angalau moja ya masharti haya haipatikani, basi kazi inaitwa kulipuka kwa uhakika x = a .

Ikiwa kitendakazi kinaendelea wakati kila mtu pointi za kikoa chake cha ufafanuzi, basi inaitwa kazi inayoendelea.

Kazi za usawa na zisizo za kawaida. Ikiwa kwa yoyote x kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zifuatazo zinashikilia: f (— x) = f (x), basi kazi inaitwa hata; ikitokea: f (— x) = — f (x), basi kazi inaitwa isiyo ya kawaida. Grafu ya utendaji sawa ulinganifu kuhusu mhimili wa Y(Mchoro 5), grafu ya kazi isiyo ya kawaida Sim metric kwa heshima na asili(Mchoro 6).

Utendaji wa mara kwa mara. Kazi f (x) — mara kwa mara, ikiwa kitu kama hicho kipo isiyo ya sifuri nambari T kwa nini yoyote x kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zifuatazo zinashikilia: f (x + T) = f (x) Hii angalau nambari inaitwa kipindi cha kazi. Kazi zote za trigonometric ni za mara kwa mara.

Mfano 1. Thibitisha dhambi hiyo x ina muda wa 2.

Suluhu: Tunajua kwamba dhambi ( x+ 2 n) = dhambi x, Wapi n= 0, ± 1, ± 2, ...

Kwa hivyo, nyongeza 2 n sio kwa hoja ya sine

inabadilisha thamani yake e. Kuna nambari nyingine na hii

Hebu kujifanya hivyo P- nambari kama hiyo, i.e. usawa:

halali kwa thamani yoyote x. Lakini basi imekuwa

mahali na x= / 2, i.e.

dhambi (/2 + P) = dhambi / 2 = 1.

Lakini kulingana na formula ya kupunguza dhambi (/ 2 + P) = cos P. Kisha

kutoka kwa usawa mbili za mwisho inafuata kwamba cos P= 1, lakini sisi

tunajua kuwa hii ni kweli wakati tu P = 2 n. Tangu ndogo

nambari isiyo ya sifuri kutoka 2 n ni 2, basi nambari hii

na kuna dhambi ya kipindi x. Inaweza kuthibitishwa kwa njia sawa kwamba 2

pia ni kipindi cha cos x .

Thibitisha kuwa kazi tan x na kitanda x kuwa na kipindi.

Mfano 2. Nambari gani ni kipindi cha utendaji dhambi 2 x ?

Suluhu: Zingatia dhambi 2 x= dhambi (2 x+ 2 n) = dhambi [ 2 ( x + n) ] .

Tunaona kwamba kuongeza n kwa hoja x, haibadiliki

thamani ya kazi. Nambari ndogo isiyo ya sifuri

kutoka n ni , hivyo hiki ndicho kipindi cha dhambi 2 x .

Kazi sufuri. Thamani ya hoja ambayo kazi ni sawa na 0 inaitwa sufuri ( mzizi) kazi. Chaguo la kukokotoa linaweza kuwa na sufuri nyingi. Kwa mfano, kazi y = x (x + 1) (x- 3) ina sifuri tatu: x = 0, x = — 1, x= 3. Kijiometri null kazi – hii ni abscissa ya hatua ya makutano ya grafu ya kazi na mhimili X .

Mchoro wa 7 unaonyesha mchoro wa chaguo za kukokotoa na sufuri: x = a , x = b Na x = c .

Asymptote. Ikiwa grafu ya chaguo la kukokotoa inakaribia mstari fulani kwa muda usiojulikana inaposogea mbali na asili, basi mstari huu unaitwa. kutokuwa na dalili.

Mada ya 6. "Njia ya muda."

Ikiwa f (x) f (x 0) kwa x x 0, basi kitendakazi f (x) kinaitwa kuendelea kwa uhakika x 0.

Ikiwa kipengele cha kukokotoa kinaendelea katika kila hatua ya muda wa I, basi inaitwa kuendelea kwa muda Mimi (muda ninaoitwa muda wa mwendelezo wa chaguo za kukokotoa). Grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye muda huu ni mstari unaoendelea, ambao wanasema unaweza "kuchorwa bila kuinua penseli kutoka kwenye karatasi."

Mali ya kazi zinazoendelea.

Ikiwa kwa muda (a ; b) kazi f inaendelea na haipotei, basi inabaki na ishara ya mara kwa mara kwenye muda huu.

Njia ya kutatua usawa na tofauti moja, njia ya muda, inategemea mali hii. Acha chaguo la kukokotoa f(x) liendelee kwenye kipindi cha I na kitoweke kwa idadi fulani ya alama katika muda huu. Kwa mali ya kazi zinazoendelea, pointi hizi hugawanya I katika vipindi, katika kila ambayo kazi inayoendelea f (x) c inashikilia ishara ya mara kwa mara. Ili kubainisha ishara hii, inatosha kukokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa f(x) katika hatua moja kutoka kwa kila kipindi kama hicho. Kulingana na hili, tunapata algorithm ifuatayo ya kutatua usawa kwa kutumia njia ya muda.

Njia ya muda kwa usawa wa fomu

Mbinu ya muda. Kiwango cha wastani.

Je, ungependa kujaribu nguvu zako na kujua matokeo ya jinsi ulivyo tayari kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja au Mtihani wa Jimbo la Umoja?

Utendakazi wa mstari

Kazi ya fomu inaitwa linear. Wacha tuchukue kazi kama mfano. Ni chanya katika 3″> na hasi kwa. Nukta ni sufuri ya chaguo za kukokotoa (). Wacha tuonyeshe ishara za kazi hii kwenye mhimili wa nambari:

Tunasema kwamba "kazi hubadilisha ishara wakati wa kupitia hatua".

Inaweza kuonekana kuwa ishara za kazi zinafanana na nafasi ya grafu ya kazi: ikiwa grafu iko juu ya mhimili, ishara ni "", ikiwa chini yake ni "".

Ikiwa tutafanya jumla ya sheria inayotokana na chaguo la kukokotoa la mstari kiholela, tunapata algoriti ifuatayo:

Utendaji wa Quadratic

Natumaini unakumbuka jinsi ya kutatua usawa wa quadratic? Ikiwa sivyo, soma mada "Kukosekana kwa Usawa wa Quadratic." Acha nikukumbushe aina ya jumla ya utendaji wa quadratic:.

Sasa hebu tukumbuke ni ishara gani kazi ya quadratic inachukua. Grafu yake ni parabola, na kazi inachukua ishara "" kwa wale ambao parabola iko juu ya mhimili, na "" - ikiwa parabola iko chini ya mhimili:

Ikiwa kazi ina sifuri (maadili ambayo), parabola huingilia mhimili kwa pointi mbili - mizizi ya equation ya quadratic inayofanana. Kwa hivyo, mhimili umegawanywa katika vipindi vitatu, na ishara za kazi hubadilika wakati wa kupitia kila mzizi.

Inawezekana kwa namna fulani kuamua ishara bila kuchora parabola kila wakati?

Kumbuka kwamba trinomial ya mraba inaweza kuwa factorized:

Wacha tuweke alama kwenye mizizi kwenye mhimili:

Tunakumbuka kuwa ishara ya kazi inaweza kubadilika tu wakati wa kupita kwenye mzizi. Wacha tutumie ukweli huu: kwa kila moja ya vipindi vitatu ambavyo mhimili umegawanywa na mizizi, inatosha kuamua ishara ya kazi katika sehemu moja tu iliyochaguliwa kiholela: katika sehemu zilizobaki za muda ishara itakuwa sawa. .

Katika mfano wetu: kwa 3″> misemo yote miwili kwenye mabano ni chanya (badala, kwa mfano: 0″>). Tunaweka ishara "" kwenye mhimili:

Kweli, wakati (badala, kwa mfano), mabano yote mawili ni hasi, ambayo inamaanisha kuwa bidhaa ni nzuri:

Ndivyo ilivyo njia ya muda: kujua ishara za mambo kwa kila muda, tunaamua ishara ya bidhaa nzima.

Wacha pia tuzingatie kesi wakati kazi haina zero, au moja tu.

Ikiwa hawapo, basi hakuna mizizi. Hii ina maana kwamba hakutakuwa na "kupita kwenye mizizi". Hii ina maana kwamba chaguo za kukokotoa huchukua ishara moja tu kwenye mstari mzima wa nambari. Inaweza kuamuliwa kwa urahisi kwa kuibadilisha kuwa chaguo la kukokotoa.

Ikiwa kuna mizizi moja tu, parabola inagusa mhimili, hivyo ishara ya kazi haibadilika wakati wa kupitia mizizi. Je, tunaweza kutunga sheria gani kwa hali kama hizi?

Ikiwa utazingatia kazi kama hiyo, unapata sababu mbili zinazofanana:

Na usemi wowote wa mraba sio hasi! Kwa hiyo, ishara ya kazi haibadilika. Katika hali kama hizi, tutaangazia mzizi, wakati wa kupita ambayo ishara haibadilika, kwa kuzunguka na mraba:

Tutaita mzizi kama huo nyingi.

Mbinu ya muda katika kutofautiana

Sasa usawa wowote wa quadratic unaweza kutatuliwa bila kuchora parabola. Inatosha tu kuweka ishara za kazi ya quadratic kwenye mhimili na kuchagua vipindi kulingana na ishara ya usawa. Kwa mfano:

Wacha tupime mizizi kwenye mhimili na tuweke ishara:

Tunahitaji sehemu ya mhimili na ishara ""; kwa kuwa usawa sio mkali, mizizi yenyewe pia imejumuishwa kwenye suluhisho:

Sasa zingatia usawa wa kimantiki - ukosefu wa usawa, ambao pande zote mbili ni misemo ya busara (ona "Milingano ya Rational").

Mfano:

Mambo yote isipokuwa moja ni "mstari" hapa, ambayo ni, yana kigezo kwa nguvu ya kwanza tu. Tunahitaji mambo kama hayo ya mstari ili kutumia njia ya muda - ishara hubadilika wakati wa kupitia mizizi yao. Lakini kizidishio hakina mizizi hata kidogo. Hii ina maana kwamba daima ni chanya (angalia hii mwenyewe), na kwa hiyo haiathiri ishara ya usawa mzima. Hii ina maana kwamba tunaweza kugawanya pande za kushoto na za kulia za ukosefu wa usawa nayo, na hivyo kuiondoa:

Sasa kila kitu ni sawa na ilivyokuwa kwa usawa wa quadratic: tunaamua kwa pointi gani kila sababu inakuwa sifuri, alama pointi hizi kwenye mhimili na kupanga ishara. Ningependa kuteka mawazo yako kwa ukweli muhimu sana:

Katika kesi ya nambari hata, tunafanya sawa na hapo awali: tunazunguka hatua na mraba na usibadilishe ishara wakati wa kupita kwenye mizizi. Lakini katika kesi ya nambari isiyo ya kawaida, sheria hii haitumiki: ishara bado itabadilika wakati wa kupita kwenye mizizi. Kwa hivyo, hatufanyi chochote cha ziada na mzizi kama huo, kana kwamba sio nyingi. Sheria zilizo hapo juu zinatumika kwa nguvu zote sawa na zisizo za kawaida.

Tunapaswa kuandika nini katika jibu?

Ikiwa ubadilishaji wa ishara umekiukwa, unahitaji kuwa mwangalifu sana, kwa sababu ikiwa usawa sio mkali, jibu linapaswa kujumuisha. pointi zote zenye kivuli. Lakini baadhi yao mara nyingi husimama kando, yaani, hawajajumuishwa katika eneo la kivuli. Katika kesi hii, tunawaongeza kwa jibu kama vidokezo vya pekee (katika braces curly):

Mifano (amua mwenyewe):

Majibu:

1. Ikiwa kati ya mambo ni rahisi, ni mzizi, kwa sababu inaweza kuwakilishwa kama.
   .

2. Hebu tupate zero za kazi.

f(x) kwa x .

Jibu f(x) kwa x .

2) x 2 >-4x-5;

x 2 +4x +5>0;

Hebu f(x)=x 2 +4x +5 basi Tutafute x kama hizo ambazo f(x)>0,

D=-4 Hakuna sufuri.

4. Mifumo ya kutofautiana. Ukosefu wa usawa na mifumo ya kutofautiana na vigezo viwili

1) Seti ya suluhisho kwa mfumo wa usawa ni makutano ya seti za suluhisho kwa usawa uliojumuishwa ndani yake.

2) Seti ya suluhu za ukosefu wa usawa f(x;y)>0 inaweza kuonyeshwa kwa taswira kwenye ndege inayoratibu. Kwa kawaida, mstari unaofafanuliwa na equation f(x;y) = 0 hugawanya ndege katika sehemu 2, moja ambayo ni suluhisho la kutofautiana. Ili kubaini ni sehemu gani, unahitaji kubadilisha viwianishi vya sehemu ya kiholela M(x0;y0) ambayo haiko kwenye mstari f(x;y)=0 katika ukosefu wa usawa. Ikiwa f(x0;y0) > 0, basi suluhisho la ukosefu wa usawa ni sehemu ya ndege iliyo na uhakika M0. ikiwa f(x0;y0)<0, то другая часть плоскости.

3) Seti ya ufumbuzi wa mfumo wa kutofautiana ni makutano ya seti za ufumbuzi wa usawa uliojumuishwa ndani yake. Wacha, kwa mfano, tupewe mfumo wa kukosekana kwa usawa:

.

Kwa usawa wa kwanza, seti ya ufumbuzi ni mduara wa radius 2 na unaozingatia asili, na kwa pili, ni nusu ya ndege iko juu ya mstari wa moja kwa moja 2x + 3y = 0. Seti ya ufumbuzi wa mfumo huu ni makutano ya seti hizi, i.e. nusu duara.

4) Mfano. Suluhisha mfumo wa usawa:

Suluhisho la usawa wa 1 ni seti , ya 2 ni seti (2;7) na ya tatu ni seti .

Makutano ya seti hizi ni muda (2;3], ambayo ni seti ya ufumbuzi wa mfumo wa kutofautiana.

5. Kutatua usawa wa busara kwa kutumia njia ya muda

Njia ya vipindi inategemea mali ifuatayo ya binomial (x-a): hatua x = α inagawanya mhimili wa nambari katika sehemu mbili - kulia kwa uhakika α binomial (x-α)>0, na kwa kushoto kwa uhakika α (x-α)<0.

Hebu iwe muhimu kutatua ukosefu wa usawa (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, ambapo α 1, α 2 ...α n-1, α n zimerekebishwa. nambari, kati ya ambayo hakuna sawa, na vile kwamba α 1< α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 kwa kutumia njia ya muda endelea kama ifuatavyo: nambari α 1, α 2 ...α n-1, α n zimepangwa kwenye mhimili wa nambari; katika muda wa kulia wa mkubwa wao, i.e. nambari α n, weka ishara ya kujumlisha, katika muda unaofuata kutoka kulia kwenda kushoto weka ishara ya kuondoa, kisha ishara ya kuongeza, kisha ishara ya minus, nk. Kisha seti ya masuluhisho yote ya ukosefu wa usawa (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 itakuwa muunganisho wa vipindi vyote ambamo ishara ya kuongeza imewekwa, na seti. ya masuluhisho ya ukosefu wa usawa (x-α 1 )(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Kutatua usawa wa kimantiki (yaani ukosefu wa usawa wa fomu P(x) Q(x) ziko wapi polynomia) inatokana na sifa ifuatayo ya chaguo la kukokotoa linaloendelea: ikiwa kitendakazi kinachoendelea kitatoweka katika nukta x1 na x2 (x1; x2) na hakina mizizi mingine kati ya nukta hizi, basi katika vipindi (x1; x2) chaguo za kukokotoa huhifadhi ishara yake.

Kwa hivyo, ili kupata vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya chaguo za kukokotoa y=f(x) kwenye mstari wa nambari, weka alama kwenye alama zote ambapo chaguo la kukokotoa la f(x) hutoweka au halitatumika. Pointi hizi hugawanya mstari wa nambari katika vipindi kadhaa, ndani ya kila ambayo kazi f (x) inaendelea na haipotezi, i.e. huokoa ishara. Kuamua ishara hii, inatosha kupata ishara ya kazi katika hatua yoyote ya muda unaozingatiwa wa mstari wa nambari.

2) Kuamua vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya kazi ya busara, i.e. Ili kutatua usawa wa busara, tunaweka alama kwenye mstari wa nambari mizizi ya nambari na mizizi ya denominator, ambayo pia ni mizizi na vizuizi vya kazi ya busara.

Kutatua usawa kwa kutumia njia ya muda

3. < 20.

Suluhisho. Anuwai ya maadili yanayokubalika imedhamiriwa na mfumo wa kukosekana kwa usawa:

Kwa kazi f(x) = - 20. Tafuta f(x):

kutoka wapi x = 29 na x = 13.

f(30) = – 20 = 0.3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10< 0.

Jibu:. Njia za msingi za kutatua equations za busara. 1) Rahisi zaidi: kutatuliwa na kurahisisha kawaida - kupunguzwa kwa dhehebu la kawaida, kupunguzwa kwa maneno sawa, na kadhalika. Milinganyo ya quadratic ax2 + bx + c = 0 hutatuliwa kwa...

X hubadilika kwa muda (0,1], na hupungua kwa muda = ½ [
-(1/3)
], pamoja na | z|< 1.

b) f(z) = - ½ [
+
] = - (
), saa 1< |z| < 3.

na) f(z) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, na |2 - z| < 1

Ni mduara wa radius 1 unaozingatia z = 2 .

Katika baadhi ya matukio, mfululizo wa nguvu unaweza kupunguzwa kwa seti ya maendeleo ya kijiometri, na baada ya hii ni rahisi kuamua eneo la muunganisho wao.

Na kadhalika. Chunguza muunganiko wa mfululizo

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Suluhisho. Hii ni jumla ya maendeleo mawili ya kijiometri na q 1 = , q 2 = (). Kutoka kwa masharti ya muunganiko wao inafuata < 1 , < 1 или |z| > 1 , |z| < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z| < 2 .