Ufafanuzi wa mzunguko wa Horner. Milinganyo katika hisabati ya juu zaidi. Mizizi ya busara ya polynomia

Slaidi ya 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - mtaalamu wa hisabati wa Kiingereza. Mzaliwa wa Bristol. Alisoma na kufanya kazi huko, kisha katika shule za Bath. Kazi za msingi kwenye algebra. Mnamo 1819 ilichapisha mbinu ya kukadiria hesabu ya mizizi halisi ya polynomial, ambayo sasa inaitwa njia ya Ruffini-Horner (njia hii ilijulikana kwa Wachina huko nyuma katika karne ya 13) Mpango wa kugawanya polynomial na binomial x-a inaitwa jina baada ya Horner.

Slaidi ya 4

MPANGO WA HORNER

Njia ya kugawanya polynomial ya shahada ya nth na binomial ya mstari - a, kwa kuzingatia ukweli kwamba coefficients ya mgawo usio kamili na salio inahusiana na coefficients ya polynomial inayogawanywa na kwa fomula:

Slaidi ya 5

Mahesabu kulingana na mpango wa Horner huwekwa kwenye meza:

Mfano 1. Gawanya Sehemu ya sehemu ni x3-x2+3x - 13 na iliyobaki ni 42=f(-3).

Slaidi 6

Faida kuu ya njia hii ni kuunganishwa kwa nukuu na uwezo wa kugawanya haraka polynomial kwenye binomial. Kwa kweli, mpango wa Horner ni aina nyingine ya kurekodi njia ya kambi, ingawa, tofauti na mwisho, sio ya kuona kabisa. Jibu (factorization) linapatikana hapa peke yake, na hatuoni mchakato wa kuipata. Hatutashiriki katika uthibitisho mkali wa mpango wa Horner, lakini tutaonyesha tu jinsi unavyofanya kazi.

Slaidi 7

Mfano 2.

Wacha tuthibitishe kuwa nambari ya polynomial P(x)=x4-6x3+7x-392 inaweza kugawanywa na x-7, na tupate mgawo wa mgawanyiko. Suluhisho. Kutumia mpango wa Horner, tunapata P (7): Kutoka hapa tunapata P (7) = 0, i.e. salio wakati wa kugawanya polima kwa x-7 ni sawa na sifuri na, kwa hiyo, polinomia P(x) ni mgawo wa (x-7). mgawo wa P(x) umegawanywa na (x-7), kwa hiyo P(x)=(x-7)(x3+x2+7x+56).

Slaidi ya 8

Weka alama ya polynomial x3 - 5x2 - 2x + 16.

Polynomia hii ina coefficients kamili. Ikiwa integer ni mzizi wa polynomial hii, basi ni mgawanyiko wa nambari 16. Kwa hivyo, ikiwa polynomial iliyotolewa ina mizizi kamili, basi hizi zinaweza tu kuwa namba ± 1; ±2; ±4; ±8; ±16. Kwa uthibitishaji wa moja kwa moja tuna hakika kwamba nambari 2 ndio mzizi wa polynomial hii, ambayo ni, x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2) Q (x), ambapo Q (x) ni polynomial ya shahada ya pili.

Slaidi 9

Nambari zinazosababisha 1, -3, -8 ni coefficients ya polynomial, ambayo hupatikana kwa kugawanya polynomial ya awali na x - 2. Hii ina maana kwamba matokeo ya mgawanyiko ni: 1 x2 + (–3) x + ( -8) = x2 - 3x - 8. Kiwango cha polinomia kinachotokana na mgawanyiko daima ni 1 chini ya shahada ya awali. Kwa hiyo: x3 - 5x2 - 2x + 16 = (x - 2) (x2 - 3x - 8).

Na kadhalika. ni ya elimu ya jumla na ni ya umuhimu mkubwa kwa kusoma kozi YOTE ya hisabati ya juu. Leo tutarudia hesabu za "shule", lakini sio "shule" tu - lakini zile ambazo zinapatikana kila mahali katika shida mbali mbali za vyshmat. Kama kawaida, hadithi itaambiwa kwa njia iliyotumiwa, i.e. Sitazingatia ufafanuzi na uainishaji, lakini nitashiriki nawe uzoefu wangu wa kibinafsi wa kuitatua. Taarifa hiyo inalenga hasa kwa Kompyuta, lakini wasomaji wa juu zaidi watapata pointi nyingi za kuvutia kwao wenyewe. Na bila shaka kutakuwa na nyenzo mpya ambayo huenda zaidi ya shule ya upili.

Kwa hivyo equation…. Wengi hukumbuka neno hili kwa kutetemeka. Je, ni milinganyo "ya kisasa" yenye thamani ya mizizi... ...sahau kuihusu! Kwa sababu basi utakutana na "wawakilishi" wasio na madhara zaidi wa aina hii. Au milinganyo ya trigonometriki ya kuchosha na njia kadhaa za suluhisho. Kwa kusema ukweli, mimi mwenyewe sikuwapenda ... Usiwe na wasiwasi! - basi wengi "dandelions" wanakungoja na suluhisho la wazi katika hatua 1-2. Ingawa "burdock" hakika inashikilia, unahitaji kuwa na lengo hapa.

Ajabu ya kutosha, katika hisabati ya juu ni kawaida zaidi kushughulika na hesabu za zamani kama vile. mstari milinganyo

Inamaanisha nini kutatua equation hii? Hii inamaanisha kupata thamani HIYO ya "x" (mizizi) ambayo inaigeuza kuwa usawa wa kweli. Wacha tutupe "tatu" kulia na mabadiliko ya ishara:

na kuacha "mbili" kwa upande wa kulia (au, kitu kimoja - zidisha pande zote mbili kwa) :

Ili kuangalia, hebu tubadilishe kombe lililoshinda kwenye mlinganyo wa asili:

Usawa sahihi unapatikana, ambayo ina maana kwamba thamani iliyopatikana ndiyo mzizi wa mlinganyo huu. Au, kama wanasema, inakidhi equation hii.

Tafadhali kumbuka kuwa mzizi unaweza pia kuandikwa kama sehemu ya decimal:
Na usijaribu kushikamana na mtindo huu mbaya! Nilirudia sababu zaidi ya mara moja, haswa, kwenye somo la kwanza algebra ya juu.

Kwa njia, equation pia inaweza kutatuliwa "kwa Kiarabu":

Na kinachovutia zaidi ni kwamba rekodi hii ni halali kabisa! Lakini ikiwa wewe sio mwalimu, basi ni bora kutofanya hivi, kwa sababu uhalisi unaadhibiwa hapa =)

Na sasa kidogo kuhusu

njia ya suluhisho la picha

Equation ina fomu na mzizi wake ni "X" kuratibu pointi za makutano grafu ya utendakazi ya mstari na grafu ya kitendakazi cha mstari (x mhimili):

Inaweza kuonekana kuwa mfano huo ni wa msingi sana hivi kwamba hakuna kitu zaidi cha kuchambua hapa, lakini nuance moja zaidi isiyotarajiwa inaweza "kufinya" kutoka kwake: wacha tuwasilishe equation sawa katika fomu na tuunda grafu za kazi:

Ambapo, tafadhali usichanganye dhana hizi mbili: mlinganyo ni mlinganyo, na kazi- hii ni kazi! Kazi msaada tu kupata mizizi ya equation. Ambayo kunaweza kuwa na mbili, tatu, nne, au hata nyingi sana. Mfano wa karibu zaidi katika maana hii ni unaojulikana sana mlinganyo wa quadratic, algorithm ya suluhisho ambayo ilipata aya tofauti fomula za shule "moto".. Na hii sio bahati mbaya! Ikiwa unaweza kutatua equation ya quadratic na ujue Nadharia ya Pythagorean, basi, mtu anaweza kusema, "nusu ya hisabati ya juu tayari iko katika mfuko wako" =) Inazidi, bila shaka, lakini si mbali na ukweli!

Kwa hivyo, tusiwe wavivu na kutatua equation ya quadratic kwa kutumia algorithm ya kawaida:

, ambayo ina maana kwamba equation ina mbili tofauti halali mzizi:

Ni rahisi kuthibitisha kuwa maadili yote mawili yaliyopatikana yanakidhi mlinganyo huu:

Nini cha kufanya ikiwa umesahau ghafla algorithm ya suluhisho, na hakuna njia / mikono ya kusaidia iliyo karibu? Hali hii inaweza kutokea, kwa mfano, wakati wa mtihani au mtihani. Tunatumia njia ya picha! Na kuna njia mbili: unaweza jenga nukta kwa nukta parabola , na hivyo kujua mahali inapokatiza mhimili (ikiwa itavuka kabisa). Lakini ni bora kufanya kitu cha ujanja zaidi: fikiria equation katika fomu, chora grafu za kazi rahisi - na "X" inaratibu maeneo yao ya makutano yanaonekana waziwazi!


Ikiwa inageuka kuwa mstari wa moja kwa moja unagusa parabola, basi equation ina mizizi miwili inayofanana (nyingi). Ikiwa inageuka kuwa mstari wa moja kwa moja hauingii parabola, basi hakuna mizizi halisi.

Ili kufanya hivyo, bila shaka, unahitaji kuwa na uwezo wa kujenga grafu za kazi za msingi, lakini kwa upande mwingine, hata mtoto wa shule anaweza kufanya ujuzi huu.

Na tena - equation ni equation, na kazi , ni kazi ambazo ilisaidia tu kutatua equation!

Na hapa, kwa njia, itakuwa sahihi kukumbuka jambo moja zaidi: ikiwa coefficients zote za equation zinazidishwa na nambari isiyo ya sifuri, basi mizizi yake haitabadilika..

Kwa hivyo, kwa mfano, equation ina mizizi sawa. Kama "ushahidi" rahisi, nitatoa mara kwa mara kwenye mabano:
na nitaiondoa bila maumivu (Nitagawanya sehemu zote mbili kwa "minus mbili"):

LAKINI! Ikiwa tutazingatia kazi , basi huwezi kuondokana na mara kwa mara hapa! Inaruhusiwa tu kutoa kizidishi kutoka kwenye mabano: .

Watu wengi hupuuza njia ya ufumbuzi wa graphical, kwa kuzingatia kuwa ni kitu "isiyo na heshima," na wengine hata kusahau kabisa juu ya uwezekano huu. Na hii kimsingi sio sawa, kwani kupanga njama wakati mwingine huokoa tu hali hiyo!

Mfano mwingine: tuseme hukumbuki mizizi ya equation rahisi zaidi ya trigonometric:. Fomula ya jumla iko katika vitabu vya kiada vya shule, katika vitabu vyote vya kumbukumbu juu ya hisabati ya msingi, lakini hazipatikani kwako. Walakini, kutatua equation ni muhimu (aka "mbili"). Kuna njia ya kutoka! - tengeneza grafu za kazi:


baada ya hapo tunaandika kwa utulivu viwianishi vya "X" vya sehemu zao za makutano:

Kuna mizizi mingi sana, na katika aljebra nukuu yao iliyofupishwa inakubaliwa:
, Wapi ( – seti ya nambari kamili) .

Na, bila "kwenda", maneno machache kuhusu njia ya graphical ya kutatua kutofautiana na kutofautiana moja. Kanuni ni sawa. Kwa hiyo, kwa mfano, suluhisho la usawa ni "x" yoyote, kwa sababu Sinusoid iko karibu kabisa chini ya mstari wa moja kwa moja. Suluhisho la kukosekana kwa usawa ni seti ya vipindi ambavyo vipande vya sinusoid viko juu ya mstari wa moja kwa moja. (mhimili wa x):

au, kwa kifupi:

Lakini hapa kuna suluhisho nyingi za ukosefu wa usawa: tupu, kwa kuwa hakuna hatua ya sinusoid iko juu ya mstari wa moja kwa moja.

Je, kuna kitu ambacho huelewi? Jifunze kwa haraka masomo kuhusu seti Na kazi grafu!

Wacha tupate joto:

Zoezi 1

Tatua milinganyo ya trigonometriki ifuatayo kwa mchoro:

Majibu mwishoni mwa somo

Kama unaweza kuona, kusoma sayansi halisi sio lazima hata kidogo kulazimisha formula na vitabu vya kumbukumbu! Aidha, hii ni mbinu ya kimsingi yenye kasoro.

Kama vile nilivyokuhakikishia mwanzoni kabisa mwa somo, milinganyo changamano ya trigonometric katika kozi ya kawaida ya hisabati ya juu inabidi kutatuliwa mara chache sana. Ugumu wote, kama sheria, huisha na hesabu kama , suluhisho ambalo ni vikundi viwili vya mizizi inayotokana na hesabu rahisi na . Usijali sana juu ya kutatua mwisho - angalia kwenye kitabu au uipate kwenye Mtandao =)

Mbinu ya suluhu la picha inaweza pia kusaidia katika hali ndogo. Fikiria, kwa mfano, mlinganyo wa "ragtag" ufuatao:

Matarajio ya suluhisho lake yanaonekana ... haionekani kama kitu chochote, lakini lazima tu ufikirie equation katika fomu, jenga. kazi grafu na kila kitu kitageuka kuwa rahisi sana. Kuna mchoro katikati ya kifungu kuhusu kazi zisizo na kikomo (itafungua kwenye kichupo kifuatacho).

Kutumia njia sawa ya picha, unaweza kujua kwamba equation tayari ina mizizi miwili, na moja yao ni sawa na sifuri, na nyingine, inaonekana, isiyo na mantiki na ni ya sehemu. Mzizi huu unaweza kuhesabiwa takriban, kwa mfano, mbinu tangent. Kwa njia, katika matatizo fulani, hutokea kwamba huna haja ya kupata mizizi, lakini ujue zipo kabisa?. Na hapa, pia, kuchora inaweza kusaidia - ikiwa grafu haziingiliani, basi hakuna mizizi.

Mizizi ya busara ya polynomials na coefficients integer.
Mpango wa pembe

Na sasa ninakualika uelekeze macho yako kwa Enzi za Kati na uhisi hali ya kipekee ya algebra ya kawaida. Kwa ufahamu bora wa nyenzo, napendekeza usome angalau kidogo nambari ngumu.

Wao ni bora zaidi. Polynomials.

Kitu cha maslahi yetu kitakuwa polynomials ya kawaida ya fomu na mzima mgawo Nambari ya asili inaitwa shahada ya polynomial, nambari - mgawo wa shahada ya juu (au mgawo wa juu zaidi), na mgawo ni mwanachama huru.

Nitaashiria kwa kifupi hii polynomial na .

Mizizi ya polynomial piga mizizi ya equation

Ninapenda mantiki ya chuma =)

Kwa mifano, nenda mwanzoni mwa kifungu:

Hakuna matatizo na kutafuta mizizi ya polynomials ya digrii 1 na 2, lakini unapoongeza kazi hii inakuwa ngumu zaidi na zaidi. Ingawa kwa upande mwingine, kila kitu kinavutia zaidi! Na hivi ndivyo sehemu ya pili ya somo itakavyotolewa.

Kwanza, nusu ya skrini ya nadharia:

1) Kulingana na muhtasari nadharia ya msingi ya algebra, digrii ya polynomial ina haswa changamano mizizi. Baadhi ya mizizi (au hata yote) inaweza kuwa hasa halali. Aidha, kati ya mizizi halisi kunaweza kuwa na mizizi inayofanana (nyingi). (chini mbili, vipande vya juu).

Ikiwa nambari changamano ndio mzizi wa polynomial, basi kuunganisha idadi yake pia ni lazima mzizi wa polynomial hii (kuunganisha mizizi tata ina fomu).

Mfano rahisi zaidi ni mlinganyo wa quadratic, ambao ulipatikana kwa mara ya kwanza mnamo 8 (kama) darasa, na ambalo hatimaye "tulimaliza" katika mada nambari ngumu. Acha nikukumbushe: equation ya quadratic ina mizizi miwili tofauti, au mizizi mingi, au kuunganisha mizizi changamano.

2) Kutoka Nadharia ya Bezout inafuata kwamba ikiwa nambari ndio mzizi wa equation, basi polynomial inayolingana inaweza kuzingatiwa:
, ambapo ni polynomial ya shahada.

Na tena, mfano wetu wa zamani: kwani ndio mzizi wa equation, basi. Baada ya hapo si vigumu kupata upanuzi unaojulikana wa "shule".

Mfuatano wa nadharia ya Bezout ina thamani kubwa ya vitendo: ikiwa tunajua mzizi wa equation ya digrii ya 3, basi tunaweza kuiwakilisha kwa fomu. na kutoka kwa equation ya quadratic ni rahisi kujua mizizi iliyobaki. Ikiwa tunajua mzizi wa equation ya shahada ya 4, basi inawezekana kupanua upande wa kushoto katika bidhaa, nk.

Na kuna maswali mawili hapa:

Swali moja. Jinsi ya kupata mzizi huu sana? Kwanza kabisa, hebu tufafanue asili yake: katika matatizo mengi ya hisabati ya juu ni muhimu kupata busara, hasa mzima mizizi ya polynomials, na katika suala hili, zaidi tutavutiwa nao .... ...ni wazuri sana, ni wepesi sana hivi kwamba unataka tu kuwapata! =)

Jambo la kwanza linalokuja akilini ni njia ya uteuzi. Fikiria, kwa mfano, equation. Kukamata hapa ni kwa neno la bure - ikiwa ingekuwa sawa na sifuri, basi kila kitu kingekuwa sawa - tunachukua "x" nje ya mabano na mizizi yenyewe "huanguka" juu ya uso:

Lakini neno letu la bure ni sawa na "tatu", na kwa hiyo tunaanza kubadilisha nambari mbalimbali katika equation inayodai kuwa "mizizi". Kwanza kabisa, uingizwaji wa maadili moja unajipendekeza yenyewe. Hebu tubadilishe:

Imepokelewa si sahihi usawa, kwa hivyo, kitengo "hakikufaa." Kweli, sawa, wacha tubadilishe:

Imepokelewa kweli usawa! Hiyo ni, thamani ni mzizi wa equation hii.

Ili kupata mizizi ya polynomial ya shahada ya 3, kuna njia ya uchambuzi (kinachojulikana formula za Cardano), lakini sasa tunavutiwa na kazi tofauti kidogo.

Kwa kuwa - ndio mzizi wa polynomial yetu, polynomial inaweza kuwakilishwa kwa fomu na kutokea Swali la pili: jinsi ya kupata "ndugu mdogo"?

Mazingatio rahisi zaidi ya aljebra yanapendekeza kwamba ili kufanya hivi tunahitaji kugawanya kwa . Jinsi ya kugawanya polynomial na polynomial? Njia sawa ya shule ambayo inagawanya nambari za kawaida - "safu"! Nilijadili njia hii kwa undani katika mifano ya kwanza ya somo. Mipaka Changamano, na sasa tutaangalia njia nyingine, ambayo inaitwa Mpango wa pembe.

Kwanza tunaandika polynomial "ya juu zaidi". na kila mtu , ikiwa ni pamoja na coefficients sifuri:
, baada ya hapo tunaingiza coefficients hizi (madhubuti kwa mpangilio) kwenye safu ya juu ya jedwali:

Tunaandika mzizi upande wa kushoto:

Mara moja nitafanya uhifadhi kwamba mpango wa Horner pia hufanya kazi ikiwa nambari "nyekundu". Sivyo ndio mzizi wa polynomial. Hata hivyo, tusikimbilie mambo.

Tunaondoa mgawo unaoongoza kutoka juu:

Mchakato wa kujaza seli za chini ni ukumbusho wa embroidery, ambapo "minus moja" ni aina ya "sindano" ambayo huingia katika hatua zinazofuata. Tunazidisha nambari "iliyobebwa" kwa (-1) na kuongeza nambari kutoka seli ya juu hadi kwa bidhaa:

Tunazidisha thamani iliyopatikana na "sindano nyekundu" na kuongeza mgawo wa equation ufuatao kwa bidhaa:

Na mwishowe, thamani inayosababishwa "inasindika" tena na "sindano" na mgawo wa juu:

Sufuri katika seli ya mwisho inatuambia kwamba polynomia imegawanywa katika bila kuwaeleza (kama inavyopaswa kuwa), ilhali migawo ya upanuzi "imeondolewa" moja kwa moja kutoka kwenye mstari wa chini wa jedwali:

Kwa hivyo, tulihama kutoka kwa equation kwenda kwa equation sawa na kila kitu kiko wazi na mizizi miwili iliyobaki. (katika kesi hii tunapata mizizi ngumu ya kuunganisha).

Equation, kwa njia, inaweza pia kutatuliwa graphically: njama "umeme" na uone kwamba grafu inavuka mhimili wa x () kwa uhakika. Au hila ile ile ya "ujanja" - tunaandika tena equation katika fomu, kuchora grafu za msingi na kugundua uratibu wa "X" wa sehemu yao ya makutano.

Kwa njia, grafu ya kazi-polynomial yoyote ya digrii ya 3 inapita mhimili angalau mara moja, ambayo inamaanisha kuwa equation inayolingana ina. angalau moja halali mzizi. Ukweli huu ni kweli kwa utendaji wowote wa polinomia wa digrii isiyo ya kawaida.

Na hapa ningependa pia kukaa hatua muhimu ambayo inahusu istilahi: polynomial Na kazi ya polynomial – si kitu kimoja! Lakini katika mazoezi mara nyingi huzungumza, kwa mfano, kuhusu "graph ya polynomial," ambayo, bila shaka, ni uzembe.

Walakini, wacha turudi kwenye mpango wa Horner. Kama nilivyosema hivi majuzi, mpango huu unafanya kazi kwa nambari zingine, lakini ikiwa nambari Sivyo ndio mzizi wa equation, kisha nyongeza isiyo ya sifuri (salio) inaonekana kwenye fomula yetu:

Hebu "tuendeshe" thamani "isiyofanikiwa" kulingana na mpango wa Horner. Katika kesi hii, ni rahisi kutumia meza sawa - andika "sindano" mpya upande wa kushoto, songa mgawo unaoongoza kutoka juu. (mshale wa kijani wa kushoto), na tunaondoka:

Ili kuangalia, hebu tufungue mabano na tuwasilishe maneno sawa:
, SAWA.

Ni rahisi kuona kwamba salio (“sita”) ndiyo thamani kamili ya nambari nyingi katika . Na kwa kweli - ni kama nini:
, na hata nzuri zaidi - kama hii:

Kutoka kwa mahesabu hapo juu ni rahisi kuelewa kwamba mpango wa Horner hauruhusu tu kuzingatia polynomial, lakini pia kutekeleza uteuzi "wa kistaarabu" wa mizizi. Ninapendekeza uunganishe algorithm ya hesabu mwenyewe na kazi ndogo:

Jukumu la 2

Kwa kutumia mpango wa Horner, tafuta mzizi kamili wa mlingano na ugeuze polimanomia inayolingana

Kwa maneno mengine, hapa unahitaji kuangalia kwa mpangilio nambari 1, -1, 2, -2, ... - hadi salio la sifuri "linachorwa" kwenye safu wima ya mwisho. Hii itamaanisha kwamba "sindano" ya mstari huu ni mzizi wa polynomial

Ni rahisi kupanga mahesabu katika meza moja. Suluhisho la kina na jibu mwishoni mwa somo.

Njia ya kuchagua mizizi ni nzuri kwa kesi rahisi, lakini ikiwa coefficients na / au shahada ya polynomial ni kubwa, basi mchakato unaweza kuchukua muda mrefu. Au labda kuna maadili kutoka kwa orodha sawa 1, -1, 2, -2 na hakuna maana ya kuzingatia? Na, zaidi ya hayo, mizizi inaweza kugeuka kuwa ya sehemu, ambayo itasababisha poking isiyo ya kisayansi kabisa.

Kwa bahati nzuri, kuna nadharia mbili zenye nguvu ambazo zinaweza kupunguza sana utaftaji wa maadili ya "mgombea" kwa mizizi ya busara:

Nadharia 1 Hebu tuzingatie isiyoweza kupunguzwa sehemu, wapi. Ikiwa nambari ni mzizi wa equation, basi neno la bure linagawanywa na mgawo unaoongoza umegawanywa na.

Hasa, ikiwa mgawo unaoongoza ni , basi mzizi huu wa busara ni nambari kamili:

Na tunaanza kutumia nadharia kwa maelezo haya ya kitamu tu:

Wacha turudi kwenye equation. Kwa kuwa mgawo wake unaoongoza ni , basi mizizi ya kimantiki ya dhahania inaweza kuwa kamili pekee, na neno huria lazima lazima ligawanywe katika mizizi hii bila salio. Na "tatu" inaweza tu kugawanywa katika 1, -1, 3 na -3. Hiyo ni, tuna "wagombea wa mizizi" 4 tu. Na, kulingana na Nadharia 1, nambari zingine za busara haziwezi kuwa mizizi ya mlingano huu KATIKA KANUNI.

Kuna "washindani" zaidi katika equation: neno la bure limegawanywa katika 1, -1, 2, - 2, 4 na -4.

Tafadhali kumbuka kuwa nambari 1, -1 ni "kawaida" ya orodha ya mizizi inayowezekana (matokeo dhahiri ya nadharia) na chaguo bora kwa majaribio ya kipaumbele.

Wacha tuendelee kwenye mifano yenye maana zaidi:

Tatizo 3

Suluhisho: kwa kuwa mgawo unaoongoza ni , basi mizizi ya kimantiki ya dhahania inaweza tu kuwa kamili, na lazima lazima iwe vigawanyiko vya neno huru. "Minus arobaini" imegawanywa katika jozi zifuatazo za nambari:
- jumla ya "wagombea" 16.

Na hapa mawazo ya kumjaribu yanaonekana mara moja: inawezekana kupalilia hasi au mizizi yote nzuri? Katika baadhi ya matukio inawezekana! Nitaunda ishara mbili:

1) Kama Wote Ikiwa coefficients ya polynomial sio hasi, basi haiwezi kuwa na mizizi nzuri. Kwa bahati mbaya, hii sio kesi yetu (Sasa, ikiwa tulipewa equation - basi ndio, wakati wa kubadilisha thamani yoyote ya polynomial, thamani ya polynomial ni chanya kabisa, ambayo inamaanisha kuwa nambari zote chanya. (na wasio na akili pia) haiwezi kuwa mizizi ya equation.

2) Ikiwa mgawo wa nguvu zisizo za kawaida sio hasi, na kwa nguvu zote hata (pamoja na mwanachama huru) ni hasi, basi polynomial haiwezi kuwa na mizizi hasi. Hii ni kesi yetu! Ukiangalia kwa karibu, unaweza kuona kwamba wakati wa kubadilisha "X" yoyote hasi kwenye equation, upande wa kushoto utakuwa hasi kabisa, ambayo inamaanisha kuwa mizizi hasi hupotea.

Kwa hivyo, kuna nambari 8 zilizobaki kwa utafiti:

"Tunawatoza" kwa mlolongo kulingana na mpango wa Horner. Natumai tayari umejua mahesabu ya kiakili:

Bahati ilingojea wakati wa kujaribu "mbili". Hivyo, ni mzizi wa equation inayozingatiwa, na

Inabakia kusoma equation . Hii ni rahisi kufanya kupitia kibaguzi, lakini nitafanya jaribio la kielelezo kwa kutumia mpango huo huo. Kwanza, hebu tukumbuke kwamba neno la bure ni sawa na 20, ambayo ina maana Nadharia 1 nambari 8 na 40 zinatoka kwenye orodha ya mizizi inayowezekana, na kuacha maadili ya utafiti (moja iliondolewa kulingana na mpango wa Horner).

Tunaandika coefficients ya trinomial katika safu ya juu ya meza mpya na Tunaanza kuangalia na "mbili" sawa. Kwa nini? Na kwa sababu mizizi inaweza kuwa nyingi, tafadhali: - equation hii ina mizizi 10 inayofanana. Lakini tusikengeushwe:

Na hapa, bila shaka, nilikuwa nikilala kidogo, nikijua kwamba mizizi ni ya busara. Baada ya yote, ikiwa hawakuwa na maana au ngumu, basi ningekabiliwa na hundi isiyofanikiwa ya nambari zote zilizobaki. Kwa hiyo, katika mazoezi, uongozwe na kibaguzi.

Jibu: mizizi ya busara: 2, 4, 5

Katika shida tuliyochambua, tulikuwa na bahati, kwa sababu: a) maadili hasi yalianguka mara moja, na b) tulipata mzizi haraka sana (na kinadharia tunaweza kuangalia orodha nzima).

Lakini kwa kweli hali ni mbaya zaidi. Ninakualika kutazama mchezo wa kusisimua unaoitwa "Shujaa wa Mwisho":

Tatizo 4

Pata mizizi ya busara ya equation

Suluhisho: Kwa Nadharia 1 vihesabu vya mizizi dhahania ya busara lazima vikidhi hali hiyo (tunasoma "kumi na mbili imegawanywa na el"), na madhehebu yanalingana na hali. Kulingana na hili, tunapata orodha mbili:

"orodha el":
na "orodha um": (kwa bahati nzuri, nambari hapa ni za asili).

Sasa hebu tufanye orodha ya mizizi yote inayowezekana. Kwanza, tunagawanya "el list" na. Ni wazi kabisa kwamba nambari sawa zitapatikana. Kwa urahisi, wacha tuwaweke kwenye meza:

Sehemu nyingi zimepunguzwa, na kusababisha maadili ambayo tayari yako kwenye "orodha ya mashujaa." Tunaongeza tu "wapya":

Vile vile, tunagawanya "orodha" sawa na:

na hatimaye

Kwa hivyo, timu ya washiriki katika mchezo wetu imekamilika:


Kwa bahati mbaya, polynomial katika tatizo hili haikidhi kigezo cha "chanya" au "hasi", na kwa hiyo hatuwezi kutupa safu ya juu au ya chini. Utalazimika kufanya kazi na nambari zote.

Unajisikiaje? Njoo, ongeza kichwa chako - kuna nadharia nyingine ambayo inaweza kuitwa kwa mfano "nadharia ya muuaji"…. ...“wagombea”, bila shaka =)

Lakini kwanza unahitaji kuvinjari mchoro wa Horner kwa angalau moja yote nambari. Kijadi, wacha tuchukue moja. Kwenye mstari wa juu tunaandika coefficients ya polynomial na kila kitu ni kama kawaida:

Kwa kuwa nne ni wazi si sifuri, thamani sio mzizi wa polynomial katika swali. Lakini atatusaidia sana.

Nadharia 2 Ikiwa kwa baadhi kwa ujumla thamani ya polynomial ni nonzero: , basi mizizi yake ya busara (kama wapo) kukidhi hali

Kwa upande wetu na kwa hiyo mizizi yote inayowezekana lazima ikidhi hali hiyo (wacha tuiite Condition No. 1). Wanne hawa watakuwa "muuaji" wa "wagombea" wengi. Kama onyesho, nitaangalia hundi chache:

Wacha tuangalie "mgombea". Ili kufanya hivyo, hebu tuwakilishe bandia kwa namna ya sehemu, ambayo inaonekana wazi kuwa. Wacha tuhesabu tofauti ya mtihani: . Nne imegawanywa na "minus mbili":, ambayo ina maana kwamba mzizi unaowezekana umepita mtihani.

Hebu tuangalie thamani. Hapa kuna tofauti ya mtihani: . Kwa kweli, na kwa hivyo "somo" la pili pia linabaki kwenye orodha.

Tovuti ya “Mkufunzi Mtaalamu wa Hisabati” inaendelea na mfululizo wa makala za mbinu kuhusu ufundishaji. Ninachapisha maelezo ya mbinu za kazi yangu na mada ngumu zaidi na yenye shida ya mtaala wa shule. Nyenzo hii itakuwa muhimu kwa walimu na wakufunzi katika hisabati kufanya kazi na wanafunzi katika darasa la 8-11 katika mpango wa kawaida na katika mpango wa madarasa ya hisabati.

Mkufunzi wa hesabu hawezi kueleza kila wakati nyenzo ambazo hazijawasilishwa vizuri kwenye kitabu cha kiada. Kwa bahati mbaya, mada kama hizi zinazidi kuwa nyingi, na makosa ya uwasilishaji kufuatia waandishi wa miongozo yanafanywa kwa wingi. Hii inatumika sio tu kwa wakufunzi wanaoanza hesabu na wakufunzi wa muda (wakufunzi ni wanafunzi na wakufunzi wa vyuo vikuu), lakini pia kwa waalimu wenye uzoefu, wakufunzi wa kitaalamu, wakufunzi wenye uzoefu na sifa. Sio wakufunzi wote wa hisabati walio na talanta ya kusahihisha kingo mbaya katika vitabu vya shule. Sio kila mtu pia anaelewa kuwa marekebisho haya (au nyongeza) ni muhimu. Watoto wachache wanahusika katika kurekebisha nyenzo kwa mtazamo wake wa ubora na watoto. Kwa bahati mbaya, wakati umepita ambapo walimu wa hisabati, pamoja na wataalamu wa mbinu na waandishi wa machapisho, walijadili kwa wingi kila herufi ya kitabu cha kiada. Hapo awali, kabla ya kutoa kitabu cha kiada shuleni, uchambuzi wa kina na masomo ya matokeo ya kujifunza yalifanywa. Wakati umefika kwa wasomi ambao hujitahidi kufanya vitabu vya kiada kuwa vya ulimwengu wote, kuvirekebisha kwa viwango vya madarasa yenye nguvu ya hisabati.

Mbio za kuongeza idadi ya habari husababisha tu kupungua kwa ubora wa uigaji wake na, kwa sababu hiyo, kupungua kwa kiwango cha maarifa halisi katika hisabati. Lakini hakuna mtu anayezingatia hii. Na watoto wetu wanalazimishwa, tayari katika daraja la 8, kusoma kile tulichosoma katika taasisi hiyo: nadharia ya uwezekano, kutatua hesabu za kiwango cha juu na kitu kingine. Urekebishaji wa nyenzo katika vitabu kwa mtazamo kamili wa mtoto huacha kuhitajika, na mwalimu wa hesabu analazimika kushughulikia hii kwa njia fulani.

Wacha tuzungumze juu ya mbinu ya kufundisha mada mahususi kama "kugawanya polynomial kwa polynomial kwa kona," inayojulikana zaidi katika hisabati ya watu wazima kama "nadharia ya Bezout na mpango wa Horner." Miaka michache tu iliyopita, swali halikuwa kubwa sana kwa mwalimu wa hesabu, kwa sababu halikuwa sehemu ya mtaala mkuu wa shule. Sasa waandishi wanaoheshimiwa wa kitabu cha kiada, kilichohaririwa na Telyakovsky, wamefanya mabadiliko kwa toleo la hivi karibuni la kile, kwa maoni yangu, kitabu bora zaidi, na, baada ya kukiharibu kabisa, aliongeza tu wasiwasi usio wa lazima kwa mwalimu. Waalimu wa shule na madarasa ambayo hayana hadhi ya hisabati, kwa kuzingatia uvumbuzi wa waandishi, walianza mara nyingi zaidi kujumuisha aya za ziada katika masomo yao, na watoto wanaouliza, wakiangalia kurasa nzuri za kitabu chao cha hesabu, wanazidi kuuliza. mwalimu: "Hii mgawanyiko wa kona ni nini? Je, tutapitia hili? Jinsi ya kushiriki kona? Hakuna kujificha kutoka kwa maswali ya moja kwa moja tena. Mkufunzi atalazimika kumwambia mtoto kitu.

Lakini kama? Labda nisingeelezea njia ya kufanya kazi na mada ikiwa ingewasilishwa kwa ustadi katika vitabu vya kiada. Kila kitu kinaendeleaje na sisi? Vitabu vya kiada vinahitaji kuchapishwa na kuuzwa. Na kwa hili wanahitaji kusasishwa mara kwa mara. Je, walimu wa vyuo vikuu wanalalamika kwamba watoto wanawajia wakiwa watupu, bila maarifa na ujuzi? Je, mahitaji ya maarifa ya hisabati yanaongezeka? Kubwa! Wacha tuondoe mazoezi kadhaa na badala yake tuweke mada ambazo zinasomwa katika programu zingine. Kwa nini kitabu chetu cha kiada ni kibaya zaidi? Tutajumuisha sura zingine za ziada. Watoto wa shule hawajui sheria ya kugawanya kona? Hii ni hisabati ya msingi. Fungu hili linapaswa kuwa la hiari, lenye kichwa “kwa wale wanaotaka kujua zaidi.” Wakufunzi dhidi yake? Kwa nini tunajali waalimu kwa ujumla? Wataalamu wa mbinu na walimu wa shule pia wanapinga hilo? Hatutachanganya nyenzo na tutazingatia sehemu yake rahisi.

Na hapa ndipo inapoanzia. Urahisi wa mada na ubora wa uigaji wake upo, kwanza kabisa, katika kuelewa mantiki yake, na sio katika kutekeleza, kulingana na maagizo ya waandishi wa vitabu, seti fulani ya shughuli ambazo hazihusiani wazi na kila mmoja. . Vinginevyo, kutakuwa na ukungu katika kichwa cha mwanafunzi. Ikiwa waandishi wanalenga wanafunzi wenye nguvu (lakini wanasoma katika programu ya kawaida), basi hupaswi kuwasilisha mada katika fomu ya amri. Tunaona nini kwenye kitabu cha maandishi? Watoto, lazima tugawanye kulingana na sheria hii. Pata polynomial chini ya pembe. Kwa hivyo, polynomial ya awali itakuwa factorized. Hata hivyo, si wazi kuelewa kwa nini masharti chini ya kona yanachaguliwa hasa kwa njia hii, kwa nini lazima iongezwe na polynomial juu ya kona, na kisha kuondolewa kutoka salio la sasa. Na muhimu zaidi, haijulikani kwa nini monomia zilizochaguliwa lazima ziongezwe na kwa nini mabano yanayotokana yatakuwa upanuzi wa polynomial ya awali. Mwanahisabati yeyote anayestahiki ataweka alama ya swali nzito juu ya maelezo yaliyotolewa kwenye kitabu cha kiada.

Ninawaletea wakufunzi na waalimu wa hesabu suluhisho langu kwa shida, ambayo kwa kweli hufanya kila kitu kilichosemwa kwenye kitabu kionekane wazi kwa mwanafunzi. Kwa kweli, tutathibitisha nadharia ya Bezout: ikiwa nambari a ndio mzizi wa polynomial, basi polynomial hii inaweza kugawanywa katika sababu, moja ambayo ni x-a, na ya pili inapatikana kutoka kwa ile ya asili kwa moja ya njia tatu: kwa kutenga sababu ya mstari kupitia mabadiliko, kwa kugawanya kwa kona, au kwa mpango wa Horner. Ni kwa uundaji huu kwamba itakuwa rahisi kwa mwalimu wa hesabu kufanya kazi.

Mbinu ya ufundishaji ni nini? Kwanza kabisa, hii ni utaratibu wazi katika mlolongo wa maelezo na mifano kwa misingi ambayo hitimisho la hisabati hutolewa. Mada hii sio ubaguzi. Ni muhimu sana kwa mkufunzi wa hisabati kumtambulisha mtoto kwa nadharia ya Bezout kabla ya kugawanyika kwa kona. Ni muhimu sana! Ni bora kupata uelewa kwa kutumia mfano maalum. Wacha tuchukue polynomial na mzizi uliochaguliwa na tuonyeshe mbinu ya kuiweka kwa sababu kwa kutumia njia ya mabadiliko ya kitambulisho, ambayo inajulikana kwa watoto wa shule kutoka darasa la 7. Kwa maelezo yanayoambatana, msisitizo na vidokezo kutoka kwa mwalimu wa hisabati, inawezekana kabisa kuwasilisha nyenzo bila hesabu za jumla za hisabati, mgawo wa kiholela na digrii.

Ushauri muhimu kwa mwalimu wa hisabati- fuata maagizo kutoka mwanzo hadi mwisho na usibadilishe mlolongo huu.

Kwa hivyo, wacha tuseme kwamba tunayo polynomial. Ikiwa tutabadilisha nambari 1 badala ya X yake, basi thamani ya polynomial itakuwa sawa na sifuri. Kwa hivyo x=1 ndio mzizi wake. Wacha tujaribu kuitenganisha kwa maneno mawili ili moja wao ni bidhaa ya usemi wa mstari na fulani wa monomial, na ya pili iwe na digrii moja chini ya . Hiyo ni, hebu tuwakilishe kwa fomu

Tunachagua monomial kwa sehemu nyekundu ili ikizidishwa na neno linaloongoza, inalingana kabisa na neno kuu la polynomial asili. Ikiwa mwanafunzi si dhaifu zaidi, basi atakuwa na uwezo kabisa wa kumwambia mwalimu wa hesabu usemi unaohitajika: . Mkufunzi anapaswa kuulizwa mara moja kuiingiza kwenye uwanja nyekundu na kuonyesha nini kitatokea wakati watafunguliwa. Ni bora kusaini polynomial hii ya muda ya kawaida chini ya mishale (chini ya picha ndogo), ikionyesha kwa rangi fulani, kwa mfano, bluu. Hii itakusaidia kuchagua neno kwa sehemu nyekundu, inayoitwa salio la uteuzi. Ningeshauri wakufunzi waeleze hapa kwamba salio hili linaweza kupatikana kwa kutoa. Kufanya operesheni hii tunapata:

Mkufunzi wa hesabu anapaswa kuvuta usikivu wa mwanafunzi kwa ukweli kwamba kwa kubadilisha moja katika usawa huu, tunahakikishiwa kupata sifuri upande wake wa kushoto (kwani 1 ndio mzizi wa polynomial asili), na kwa upande wa kulia, ni wazi, sisi. pia itaondoa muhula wa kwanza. Hii ina maana kwamba bila uthibitisho wowote tunaweza kusema kwamba moja ni mzizi wa "salio la kijani".

Wacha tushughulikie kwa njia ile ile kama tulivyofanya na polynomial asili, tukitenga kutoka kwake sababu sawa ya mstari. Mkufunzi wa hesabu huchora fremu mbili mbele ya mwanafunzi na kuwataka wajaze kutoka kushoto kwenda kulia.

Mwanafunzi humchagulia mwalimu monomia moja kwa sehemu nyekundu ili, inapozidishwa na neno kuu la usemi wa mstari, itoe muhula kuu wa polynomial inayopanuka. Tunaiweka kwenye sura, fungua mara moja mabano na uangaze kwa bluu usemi ambao unahitaji kupunguzwa kutoka kwa kukunja. Kufanya operesheni hii tunapata

Na hatimaye, kufanya vivyo hivyo na salio la mwisho

tutaipata hatimaye

Sasa hebu tutoe usemi kutoka kwenye mabano na tutaona mtengano wa polynomial asili katika vipengele, mojawapo ni "x minus mzizi uliochaguliwa."

Ili mwanafunzi asifikirie kuwa "salio la kijani" la mwisho liliharibiwa kwa sababu zinazohitajika, mwalimu wa hisabati anapaswa kuonyesha mali muhimu ya mabaki yote ya kijani - kila mmoja wao ana mzizi wa 1. Tangu digrii za masalio haya hupungua, basi kiwango chochote cha awali haijalishi ni kiasi gani cha polynomial tumepewa, mapema au baadaye tutapata "salio la kijani" la mstari na mzizi 1, na kwa hivyo itatengana na kuwa bidhaa ya kitu fulani. nambari na usemi.

Baada ya kazi hiyo ya maandalizi, haitakuwa vigumu kwa mwalimu wa hisabati kueleza mwanafunzi kile kinachotokea wakati wa kugawanya kwa kona. Huu ni mchakato sawa, tu kwa fomu fupi na ngumu zaidi, bila ishara sawa na bila kuandika tena maneno sawa yaliyoangaziwa. Polynomial ambayo sababu ya mstari hutolewa imeandikwa upande wa kushoto wa kona, monomia nyekundu zilizochaguliwa hukusanywa kwa pembe (sasa inakuwa wazi kwa nini wanapaswa kuongeza), ili kupata "polynomia za bluu", "nyekundu". ” lazima ziongezwe na x-1, na kisha ziondolewe kutoka kwa zilizochaguliwa kwa sasa jinsi hii inafanywa katika mgawanyiko wa kawaida wa nambari kwenye safu (hapa kuna mlinganisho na kile kilichosomwa hapo awali). "Mabaki ya kijani" yanayotokana yanakabiliwa na kutengwa mpya na uteuzi wa "monomials nyekundu". Na kadhalika mpaka kupata sifuri "usawa wa kijani". Jambo muhimu zaidi ni kwamba mwanafunzi anaelewa hatima zaidi ya polynomia zilizoandikwa hapo juu na chini ya pembe. Kwa wazi, haya ni mabano ambayo bidhaa ni sawa na polynomial asili.

Hatua inayofuata ya kazi ya mwalimu wa hisabati ni uundaji wa nadharia ya Bezout. Kwa kweli, uundaji wake na njia hii ya mkufunzi inakuwa dhahiri: ikiwa nambari a ndio mzizi wa polynomial, basi inaweza kuzingatiwa, moja ambayo ni , na nyingine inapatikana kutoka kwa ile ya asili kwa moja ya njia tatu. :

• mtengano wa moja kwa moja (sawa na njia ya kikundi)
• kugawanya kwa kona (katika safu)
• kupitia mzunguko wa Horner

Inapaswa kusema kuwa sio wakufunzi wote wa hisabati wanaoonyesha wanafunzi mchoro wa pembe, na sio walimu wote wa shule (kwa bahati nzuri kwa waalimu wenyewe) huenda kwa undani katika mada wakati wa masomo. Walakini, kwa mwanafunzi wa darasa la hesabu, sioni sababu ya kuacha katika mgawanyiko mrefu. Aidha, rahisi zaidi na haraka Mbinu ya mtengano inategemea kwa usahihi mpango wa Horner. Ili kuelezea mtoto ambako inatoka, inatosha kufuatilia, kwa kutumia mfano wa mgawanyiko na kona, kuonekana kwa coefficients ya juu katika mabaki ya kijani. Inakuwa wazi kwamba mgawo unaoongoza wa polynomial ya awali inachukuliwa ndani ya mgawo wa "monomia nyekundu" ya kwanza, na zaidi kutoka kwa mgawo wa pili wa polynomial ya juu ya sasa. kukatwa matokeo ya kuzidisha mgawo wa sasa wa "monomia nyekundu" kwa. Kwa hiyo inawezekana ongeza matokeo ya kuzidisha kwa . Baada ya kulenga usikivu wa mwanafunzi kwenye ubainifu wa vitendo vilivyo na mgawo, mkufunzi wa hesabu anaweza kuonyesha jinsi vitendo hivi kwa kawaida hufanywa bila kurekodi viambajengo vyenyewe. Ili kufanya hivyo, ni rahisi kuingiza mzizi na mgawo wa polynomial asili kwa mpangilio wa utangulizi katika jedwali lifuatalo:

Ikiwa digrii yoyote haipo katika polynomial, mgawo wake wa sifuri unalazimishwa kwenye jedwali. Coefficients ya "polynomials nyekundu" imeandikwa kwa zamu katika mstari wa chini kulingana na sheria ya "ndoano":

Mzizi huzidishwa na mgawo wa mwisho nyekundu, ulioongezwa kwa mgawo unaofuata kwenye mstari wa juu, na matokeo yameandikwa chini ya mstari wa chini. Katika safu ya mwisho tumehakikishiwa kupata mgawo wa juu zaidi wa "salio la kijani" la mwisho, yaani, sifuri. Baada ya mchakato kukamilika, nambari iliyowekwa kati ya mzizi uliolingana na salio la sifuri kugeuka kuwa coefficients ya sababu ya pili (isiyo ya mstari).

Kwa kuwa mzizi a hutoa sifuri mwishoni mwa mstari wa chini, mpango wa Horner unaweza kutumika kuangalia nambari kwa kichwa cha mzizi wa polynomial. Ikiwa nadharia maalum juu ya uteuzi wa mzizi wa busara. Wagombea wote wa jina hili waliopatikana kwa usaidizi wake wanaingizwa kwa zamu kutoka upande wa kushoto hadi kwenye mchoro wa Horner. Mara tu tunapopata sifuri, nambari iliyojaribiwa itakuwa mzizi, na wakati huo huo tutapata coefficients ya factorization ya awali ya polynomial kwenye mstari wake. Raha sana.

Kwa kumalizia, ningependa kutambua kwamba ili kuanzisha mpango wa Horner kwa usahihi, na pia kuunganisha mada hiyo, mwalimu wa hisabati lazima awe na idadi ya kutosha ya saa zake. Mkufunzi anayefanya kazi na serikali ya "mara moja kwa wiki" haipaswi kujihusisha na mgawanyiko wa kona. Juu ya Mtihani wa Jimbo Pamoja katika Hisabati na Chuo cha Jimbo la Hisabati katika Hisabati, hakuna uwezekano kwamba katika sehemu ya kwanza utawahi kukutana na mlinganyo wa shahada ya tatu ambayo inaweza kutatuliwa kwa njia kama hizo. Ikiwa mkufunzi anamtayarisha mtoto kwa mtihani wa hisabati katika Chuo Kikuu cha Jimbo la Moscow, kusoma mada hiyo inakuwa ya lazima. Walimu wa vyuo vikuu, tofauti na wakusanyaji wa Mtihani wa Jimbo la Umoja, wanapenda sana kujaribu kina cha maarifa ya mwombaji.

Kolpakov Alexander Nikolaevich, mwalimu wa hisabati Moscow, Strogino

Mpango wa Horner - njia ya kugawanya polynomial

$$P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n)+a_(1)x^(n-1 )+a_(2)x^(n-2)+\ldets+a_(n-1)x+a_n$$

kwenye binomial $x-a$. Utalazimika kufanya kazi na jedwali, safu ya kwanza ambayo ina mgawo wa polynomial fulani. Kipengele cha kwanza cha mstari wa pili kitakuwa nambari $a$, iliyochukuliwa kutoka kwa binomial $x-a$:

Baada ya kugawanya polynomial ya shahada ya nth na binomial $x-a$, tunapata polynomial ambayo shahada yake ni moja chini ya ile ya awali, i.e. ni sawa na $n-1$. Utumiaji wa moja kwa moja wa mpango wa Horner ni rahisi kuonyesha kwa mifano.

Mfano Nambari 1

Gawanya $5x^4+5x^3+x^2-11$ kwa $x-1$ ukitumia mpango wa Horner.

Hebu tufanye jedwali la mistari miwili: katika mstari wa kwanza tunaandika coefficients ya polynomial $5x^4+5x^3+x^2-11$, iliyopangwa kwa utaratibu wa kushuka wa nguvu za kutofautiana $x$. Kumbuka kwamba polynomial hii haina $x$ hadi digrii ya kwanza, i.e. mgawo wa $x$ kwa nguvu ya kwanza ni 0. Kwa kuwa tunagawanya kwa $x-1$, tunaandika moja katika mstari wa pili:

Hebu tuanze kujaza seli tupu kwenye mstari wa pili. Katika seli ya pili ya mstari wa pili tunaandika nambari $5$, tukisonga kutoka kwa seli inayolingana ya mstari wa kwanza:

Wacha tujaze kisanduku kifuatacho kulingana na kanuni hii: $1\cdot 5+5=10$:

Wacha tujaze kisanduku cha nne cha mstari wa pili kwa njia ile ile: $1\cdot 10+1=11$:

Kwa kisanduku cha tano tunapata: $1\cdot 11+0=11$:

Na hatimaye, kwa seli ya mwisho, ya sita, tuna: $1\cdot 11+(-11)=0$:

Shida imetatuliwa, kilichobaki ni kuandika jibu:

Kama unavyoona, nambari zilizo katika mstari wa pili (kati ya moja na sifuri) ni coefficients ya polynomia iliyopatikana baada ya kugawanya $5x^4+5x^3+x^2-11$ na $x-1$. Kwa kawaida, kwa kuwa kiwango cha polima asili $5x^4+5x^3+x^2-11$ kilikuwa sawa na nne, kiwango cha matokeo ya polinomia $5x^3+10x^2+11x+11$ ni moja. kidogo, yaani. sawa na tatu. Nambari ya mwisho katika mstari wa pili (sifuri) inamaanisha salio wakati wa kugawanya $5x^4+5x^3+x^2-11$ na $x-1$. Kwa upande wetu, salio ni sifuri, i.e. polynomials zinagawanywa kwa usawa. Matokeo haya pia yanaweza kubainishwa kama ifuatavyo: thamani ya polinomia $5x^4+5x^3+x^2-11$ kwa $x=1$ ni sawa na sifuri.

Hitimisho pia linaweza kutayarishwa kwa namna hii: kwa kuwa thamani ya polinomia $5x^4+5x^3+x^2-11$ katika $x=1$ ni sawa na sifuri, basi umoja ndio mzizi wa upolimia. $5x^4+5x^3+ x^2-11$.

Mfano Nambari 2

Gawanya $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ya polinomia kwa $x+3$ ukitumia mpango wa Horner.

Hebu tuweke masharti mara moja kwamba usemi $x+3$ lazima uwasilishwe katika fomu $x-(-3)$. Mpango wa Horner utahusisha hasa $-3$. Kwa kuwa kiwango cha polima asilia $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ ni sawa na nne, basi kama matokeo ya mgawanyiko tunapata polynomial ya shahada ya tatu:

Matokeo yake yanamaanisha hivyo

$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^ 3+4x-17)+4$$

Katika hali hii, salio unapogawanya $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ kwa $x+3$ ni $4$. Au, ni nini sawa, thamani ya polinomia $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ kwa $x=-3$ ni sawa na $4$. Kwa njia, hii ni rahisi kuangalia mara mbili kwa kubadilisha moja kwa moja $x=-3$ kwenye polynomial iliyotolewa:

$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdoti (-3)^3-5 \cdoti (-3)-47=4.$$

Wale. Mpango wa Horner unaweza kutumika ikiwa unahitaji kupata thamani ya polynomial kwa thamani fulani ya kutofautisha. Ikiwa lengo letu ni kupata mizizi yote ya polynomial, basi mpango wa Horner unaweza kutumika mara kadhaa mfululizo hadi tumemaliza mizizi yote, kama ilivyojadiliwa katika mfano Na.

Mfano Nambari 3

Pata mizizi yote kamili ya polynomial $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ukitumia mpango wa Horner.

Vigawo vya polinomia vinavyohusika ni nambari kamili, na mgawo wa nguvu ya juu zaidi ya kigezo (yaani, $x^6$) ni sawa na moja. Katika kesi hii, mizizi kamili ya polynomial lazima itafutwa kati ya wagawanyiko wa neno la bure, i.e. kati ya wagawanyiko wa nambari 45. Kwa polynomial iliyotolewa, mizizi hiyo inaweza kuwa namba $ 45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ na $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Wacha tuangalie, kwa mfano, nambari $1$:

Kama unavyoona, thamani ya polinomia $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ na $x=1$ ni sawa na $192$ (nambari ya mwisho kwenye mstari wa pili), na sio $0 $, kwa hivyo umoja sio mzizi wa polynomial hii. Kwa kuwa hundi ya moja imeshindwa, hebu tuangalie thamani $x=-1$. Hatutaunda meza mpya kwa hili, lakini tutaendelea kutumia meza. Nambari 1, akiongeza mstari mpya (wa tatu) kwake. Mstari wa pili, ambao thamani ya $1$ iliangaliwa, itaangaziwa kwa rangi nyekundu na haitatumika katika majadiliano zaidi.

Unaweza, bila shaka, kuandika tena meza tena, lakini kuijaza kwa mikono itachukua muda mwingi. Zaidi ya hayo, kunaweza kuwa na nambari kadhaa ambazo uthibitishaji wake utashindwa, na ni vigumu kuandika meza mpya kila wakati. Wakati wa kuhesabu "kwenye karatasi", mistari nyekundu inaweza kuvuka tu.

Kwa hivyo, thamani ya polinomia $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ katika $x=-1$ ni sawa na sifuri, i.e. nambari $-1$ ndio mzizi wa polynomial hii. Baada ya kugawanya $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ ya polinomia kwa minomial $x-(-1)=x+1$ tunapata $x ya polinomia ^5+x ^4-22x^3+2x^2+69x+45$, migawo ambayo inachukuliwa kutoka safu mlalo ya tatu ya jedwali. Nambari 2 (tazama mfano No. 1). Matokeo ya mahesabu yanaweza pia kuwasilishwa katika fomu hii:

\anza(equation)x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x^3+2x^2) +69x+45)\mwisho(mlinganyo)

Wacha tuendelee kutafuta mizizi kamili. Sasa tunahitaji kutafuta mizizi ya polynomial $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Tena, mizizi kamili ya polynomial hii inatafutwa kati ya vigawanyiko vya muda wake wa bure, nambari $45$. Hebu tujaribu kuangalia nambari $-1$ tena. Hatutaunda jedwali jipya, lakini tutaendelea kutumia jedwali lililotangulia. Nambari 2, i.e. Wacha tuongeze mstari mmoja zaidi kwake:

Kwa hivyo, nambari $-1$ ndio mzizi wa polynomial $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Matokeo haya yanaweza kuandikwa kama hii:

\anza(equation)x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45=(x+1)(x^4-22x^2+24x+45) \mwisho(mlinganyo)

Kwa kuzingatia usawa (2), usawa (1) unaweza kuandikwa upya katika fomu ifuatayo:

\anza(equation)\anza(iliyopangwa) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)(x^5+x^4-22x ^2+2x^2+69x+45)=\\ & =(x+1)(x+1)(x^4-22x^2+24x+45)=(x+1)^2(x^ 4-22x^2+24x+45)\mwisho(zilizopangiliwa)\mwisho(mlinganyo)

Sasa tunahitaji kutafuta mizizi ya polynomial $x^4-22x^2+24x+45$, kwa kawaida, kati ya vigawanyiko vya muda wake wa bure (nambari $45$). Wacha tuangalie nambari $-1$ tena:

Nambari $-1$ ndio mzizi wa polynomial $x^4-22x^2+24x+45$. Matokeo haya yanaweza kuandikwa kama hii:

\anza(equation)x^4-22x^2+24x+45=(x+1)(x^3-x^2-21x+45) \mwisho(mlinganyo)

Kwa kuzingatia usawa (4), tunaandika upya usawa (3) katika fomu ifuatayo:

\anza(equation)\anza(iliyopangwa) & x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45=(x+1)^2(x^4-22x^3) +24x+45)= \\ & =(x+1)^2(x+1)(x^3-x^2-21x+45)=(x+1)^3(x^3-x^ 2-21x+45)\mwisho(zilizopangiliwa)\mwisho(mlingano)

Sasa tunatafuta mizizi ya polynomial $x^3-x^2-21x+45$. Wacha tuangalie nambari $-1$ tena:

Cheki iliisha bila kushindwa. Wacha tuangazie mstari wa sita kwa nyekundu na jaribu kuangalia nambari nyingine, kwa mfano, nambari $3$:

Salio ni sifuri, kwa hivyo nambari $3$ ndio mzizi wa polynomial inayozungumziwa. Kwa hivyo $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Sasa usawa (5) unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo.

Rudi mbele

Makini! Onyesho la kuchungulia la slaidi ni kwa madhumuni ya habari pekee na huenda lisiwakilishe vipengele vyote vya wasilisho. Ikiwa una nia ya kazi hii, tafadhali pakua toleo kamili.

Aina ya somo: Somo la kufahamu na kuunganisha maarifa ya msingi.

Kusudi la somo:

• Wajulishe wanafunzi dhana ya mizizi ya polynomia na wafundishe jinsi ya kuipata. Boresha ustadi wa kutumia mpango wa Horner wa kupanua polynomial kwa mamlaka na kugawanya polynomial na binomial.
• Jifunze kupata mizizi ya equation kwa kutumia mpango wa Horner.
• Kuza mawazo ya kufikirika.
• Kukuza utamaduni wa kompyuta.
• Maendeleo ya uhusiano kati ya taaluma mbalimbali.

Wakati wa madarasa

1. Wakati wa shirika.

Fahamisha mada ya somo, tengeneza malengo.

2. Kukagua kazi za nyumbani.

3. Kusoma nyenzo mpya.

Acha Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - polynomial kwa x ya shahada n, ambapo 0 , a 1 ,..., n hupewa nambari, na 0 si sawa na 0. Ikiwa herufi F n (x) imegawanywa na salio na binomial x-a. , kisha mgawo (mgawo ambao haujakamilika) ni polynomial Q n-1 (x) ya digrii n-1, R iliyobaki ni nambari, na usawa ni kweli. F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R. Nambari ya aina nyingi F n (x) inaweza kugawanywa kwa binomial (x-a) katika hali ya R=0 pekee.

Nadharia ya Bezout: R iliyosalia kutoka kwa kugawanya polinomia F n (x) na binomial (x-a) ni sawa na thamani ya polinomia F n (x) kwa x=a, i.e. R=Pn(a).

Historia kidogo. Nadharia ya Bezout, licha ya usahili na udhahiri wake, ni mojawapo ya nadharia za msingi za nadharia ya polynomia. Nadharia hii inahusiana na sifa za aljebra za polimanomia (ambazo huruhusu polimanomia kushughulikiwa kama nambari kamili) na sifa zake za utendaji (ambazo huruhusu polimanomia kushughulikiwa). Njia moja ya kusuluhisha milinganyo ya digrii ya juu ni kuangazia polynomial upande wa kushoto wa mlinganyo. Hesabu ya mgawo wa polynomial na salio imeandikwa kwa namna ya jedwali linaloitwa mpango wa Horner.

Mpango wa Horner ni algorithm ya kugawanya polynomial, iliyoandikwa kwa kesi maalum wakati mgawo ni sawa na binomial. x–a.

Horner William George (1786 - 1837), mtaalamu wa hisabati wa Kiingereza. Utafiti mkuu unahusu nadharia ya milinganyo ya aljebra. Ilitengeneza mbinu ya takriban suluhu ya milinganyo ya shahada yoyote. Mnamo 1819 alianzisha njia muhimu ya algebra ya kugawanya polynomial na binomial x - a (mpango wa Horner).

Utoaji wa fomula ya jumla ya mpango wa Horner.

Kugawanya nambari f(x) na salio kwa binomial (x-c) kunamaanisha kupata nambari q(x) na nambari r kiasi kwamba f(x)=(x-c)q(x)+r

Wacha tuandike usawa huu kwa undani:

f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r

Wacha tulinganishe coefficients kwa digrii sawa:

xn:	f 0 = q 0	=> q 0 = f 0
xn-1:	f 1 = q 1 - c q 0	=> q 1 = f 1 + c q 0
xn-2:	f 2 = q 2 - c q 1	=> q 2 = f 2 + c q 1
...		...
x0:	f n = q n - c q n-1	=> q n = f n + c q n-1.

Maonyesho ya mzunguko wa Horner kwa kutumia mfano.

Zoezi 1. Kwa kutumia mpango wa Horner, tunagawanya polynomial f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 na salio na binomial x-2.

f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2)(x 2 -3x-6)-4, ambapo g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 salio.

Upanuzi wa polynomial katika nguvu za binomial.

Kwa kutumia mpango wa Horner, tunapanua polynomial f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 katika uwezo wa binomial (x+2).

Kwa hivyo, tunapaswa kupata upanuzi f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1) )(x+ 2)-2)+12 = (((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2(x+2)+12

Mpango wa Horner hutumiwa mara nyingi wakati wa kutatua equations ya digrii ya tatu, ya nne na ya juu, wakati ni rahisi kupanua polynomial kwenye x-a ya binomial. Nambari a kuitwa mzizi wa polynomial F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ikiwa saa x=a thamani ya polynomial F n (x) ni sawa na sifuri: F n (a)=0, i.e. ikiwa polynomial inaweza kugawanywa na binomial x-a.

Kwa mfano, nambari 2 ni mzizi wa polynomial F 3 (x) = 3x 3 -2x-20, tangu F 3 (2) = 0. inamaanisha. Kwamba uboreshaji wa polynomial hii ina sababu x-2.

F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).

Aina yoyote ya F n(x) ya digrii n 1 hawezi kuwa na zaidi n mizizi halisi.

Kizizi chochote kamili cha mlingano chenye hesabu kamili ni kigawanyo cha neno lake lisilolipishwa.

Ikiwa mgawo unaoongoza wa equation ni 1, basi mizizi yote ya busara ya equation, ikiwa ipo, ni nambari kamili.

Ujumuishaji wa nyenzo zilizosomwa.

Ili kuunganisha nyenzo mpya, wanafunzi wanaalikwa kukamilisha nambari kutoka kwa kitabu cha kiada 2.41 na 2.42 (uk. 65).

(Wanafunzi 2 wanatatua kwenye ubao, na wengine, baada ya kuamua, angalia kazi kwenye daftari na majibu ubaoni).

Kufupisha.

Baada ya kuelewa muundo na kanuni ya uendeshaji wa mpango wa Horner, inaweza pia kutumika katika masomo ya sayansi ya kompyuta, wakati suala la kubadilisha nambari kutoka kwa mfumo wa nambari ya decimal hadi mfumo wa binary na kinyume chake inazingatiwa. Msingi wa kuhamisha kutoka kwa nambari moja hadi nyingine ni nadharia ya jumla ifuatayo

Nadharia. Ili kubadilisha nambari nzima Ap kutoka uk- mfumo wa nambari hadi mfumo wa nambari ya msingi d muhimu Ap gawanya kwa mpangilio na salio kwa nambari d, iliyoandikwa sawa uk mfumo wa -ary mpaka mgawo unaotokana unakuwa sawa na sifuri. Salio kutoka kwa mgawanyiko huo watakuwa d- tarakimu za nambari Tangazo, kuanzia kategoria ya vijana hadi ya wakubwa zaidi. Vitendo vyote lazima vifanyike ndani uk- mfumo wa nambari. Kwa mtu, sheria hii ni rahisi tu wakati uk= 10, i.e. wakati wa kutafsiri kutoka mfumo wa desimali. Kwa ajili ya kompyuta, kinyume chake, ni "rahisi zaidi" kwa ajili yake kufanya mahesabu katika mfumo wa binary. Kwa hiyo, kubadili "2 hadi 10", mgawanyiko wa mlolongo na kumi katika mfumo wa binary hutumiwa, na "10 hadi 2" ni kuongeza ya nguvu za kumi. Ili kuboresha mahesabu ya utaratibu wa "10 kwa 2", kompyuta hutumia mpango wa kompyuta wa kiuchumi wa Horner.

Kazi ya nyumbani. Inapendekezwa kukamilisha kazi mbili.

1. Kwa kutumia mpango wa Horner, gawanya polima f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 na binomial (x-3).

2. Tafuta mizizi kamili ya polynomial f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6. (ikizingatiwa kuwa mzizi kamili wa mlinganyo wenye vibali kamili ni kigawanyo cha neno lake lisilolipishwa)

Fasihi.

1. Kurosh A.G. "Kozi ya Algebra ya Juu."
2. Nikolsky S.M., Potapov M.K. Daraja la 10 "Aljebra na mwanzo wa uchambuzi wa hisabati."
3. http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.