Bidhaa ya dot ya vekta

Tunaendelea kukabiliana na vectors. Katika somo la kwanza Vectors kwa dummies tulichunguza dhana ya vector, vitendo na vectors, kuratibu za vector na kazi rahisi na vectors. Ikiwa umekuja kwenye ukurasa huu kwa mara ya kwanza kutoka kwa injini ya utafutaji, ninapendekeza sana kusoma makala ya utangulizi hapo juu, kwa sababu ili kujua nyenzo, unahitaji kuzunguka katika masharti na nukuu ninazotumia, kuwa na ujuzi wa msingi wa vectors na kuwa. uwezo wa kutatua shida za kimsingi. Somo hili ni mwendelezo wa kimantiki wa mada, na ndani yake nitachambua kwa undani kazi za kawaida ambazo bidhaa ya dot ya vekta hutumiwa. Hii ni shughuli MUHIMU SANA.... Jaribu kuruka mifano, wanaongozana na bonus muhimu - mazoezi yatakusaidia kuunganisha nyenzo ulizozifunika na kupata mikono yako juu ya suluhisho la matatizo ya kawaida katika jiometri ya uchambuzi.

Ongezeko la vekta, kuzidisha vekta kwa nambari…. Itakuwa ni ujinga kufikiri kwamba wanahisabati hawajapata kitu kingine chochote. Kwa kuongezea vitendo ambavyo tayari vimezingatiwa, kuna idadi ya shughuli zingine na vekta, ambazo ni: bidhaa ya dot ya vekta, bidhaa ya vector ya vekta na bidhaa mchanganyiko wa vekta... Bidhaa za scalar za vekta zinajulikana kwetu kutoka shuleni, bidhaa zingine mbili zinahusiana jadi na kozi ya hisabati ya juu. Mada ni rahisi, algorithm ya kutatua shida nyingi ni stereotyped na inaeleweka. Kitu pekee. Kuna habari nyingi nzuri, kwa hivyo haifai kujaribu kujua, kutatua kila kitu mara moja. Hii ni kweli hasa kwa teapots, niamini, mwandishi hataki kujisikia kama Chikatilo kutoka hisabati hata kidogo. Naam, na si kutoka kwa hisabati, bila shaka, pia =) Wanafunzi zaidi walioandaliwa wanaweza kutumia vifaa kwa kuchagua, kwa maana, "kupata" ujuzi uliokosekana, kwa ajili yako nitakuwa Hesabu isiyo na madhara Dracula =)

Hatimaye, hebu tufungue mlango kidogo na tuone kwa shauku nini kinatokea wakati vekta mbili zinapokutana….

Uamuzi wa bidhaa ya dot ya vekta.
Tabia za bidhaa za dot. Kazi za kawaida

Dhana ya bidhaa ya nukta

Kwanza kuhusu pembe kati ya vekta... Nadhani kila mtu anaelewa kwa usawa ni nini pembe kati ya vekta, lakini ikiwa tu, kwa undani zaidi. Fikiria vekta za nonzero za bure na. Ukiahirisha vekta hizi kutoka kwa hatua ya kiholela, unapata picha ambayo wengi tayari wamefikiria katika akili zao:

Ninakiri kwamba hapa nimeelezea hali hiyo kwa kiwango cha uelewa tu. Ikiwa unahitaji ufafanuzi mkali wa angle kati ya vectors, tafadhali rejea kwenye kitabu cha maandishi, lakini kwa matatizo ya vitendo sisi, kwa kanuni, hatuhitaji. Pia HAPA NA ZAIDI katika maeneo nitapuuza vekta sifuri kwa sababu ya umuhimu wao mdogo wa kiutendaji. Nilihifadhi mahususi kwa wanaotembelea tovuti mahiri ambao wanaweza kunilaumu kwa kutokamilika kwa kinadharia kwa baadhi ya taarifa zifuatazo.

Katika fasihi, ikoni ya pembe mara nyingi hupuuzwa na kuandikwa kwa urahisi.

Ufafanuzi: Bidhaa ya scalar ya vekta mbili ni NAMBA sawa na bidhaa ya urefu wa vekta hizi kwa cosine ya pembe kati yao:

Hii tayari ni ufafanuzi mkali kabisa.

Tunazingatia habari muhimu:

Uteuzi: bidhaa ya nukta inaonyeshwa na au kwa urahisi.

Matokeo ya operesheni ni NUMBER: Vekta inazidishwa na vekta, na matokeo yake ni nambari. Hakika, ikiwa urefu wa vekta ni nambari, cosine ya pembe ni nambari, basi bidhaa zao pia itakuwa nambari.

Mifano michache tu ya joto-up:

Mfano 1

Suluhisho: Tunatumia formula ... Kwa kesi hii:

Jibu:

Thamani za cosine zinaweza kupatikana ndani meza ya trigonometric... Ninapendekeza kuichapisha - itahitajika karibu na sehemu zote za mnara na itahitajika mara nyingi.

Kwa mtazamo wa kihesabu, bidhaa ya dot haina kipimo, ambayo ni, matokeo, katika kesi hii, ni nambari tu na ndivyo hivyo. Kutoka kwa mtazamo wa matatizo ya fizikia, bidhaa ya scalar daima ina maana fulani ya kimwili, yaani, baada ya matokeo, kitengo kimoja au kingine cha kimwili kinapaswa kuonyeshwa. Mfano wa kisheria wa kuhesabu kazi ya nguvu inaweza kupatikana katika kitabu chochote cha maandishi (formula ni bidhaa ya dot). Kazi ya nguvu inapimwa katika Joules, kwa hiyo, na jibu litaandikwa kabisa hasa, kwa mfano,.

Mfano 2

Tafuta kama , na pembe kati ya vekta ni.

Huu ni mfano wa suluhisho la kufanya-wewe-mwenyewe, jibu liko mwishoni mwa mafunzo.

Pembe kati ya vekta na thamani ya bidhaa yenye nukta

Katika Mfano wa 1, bidhaa ya dot iligeuka kuwa chanya, na katika Mfano wa 2, ikawa mbaya. Hebu tujue ni nini ishara ya bidhaa ya dot inategemea. Tunaangalia formula yetu: ... Urefu wa vectors nonzero daima ni chanya :, hivyo ishara inaweza tu kutegemea thamani ya cosine.

Kumbuka: Kwa ufahamu bora wa habari hapa chini, ni bora kusoma grafu ya cosine kwenye mwongozo Grafu za kazi na mali... Tazama jinsi cosine inavyofanya kwenye sehemu.

Kama ilivyoelezwa tayari, pembe kati ya vekta inaweza kutofautiana ndani , na kesi zifuatazo zinawezekana:

1) Kama sindano kati ya vekta yenye viungo: (kutoka digrii 0 hadi 90), basi , na bidhaa ya nukta itakuwa chanya iliyoelekezwa pamoja, basi angle kati yao inachukuliwa kuwa sifuri, na bidhaa ya dot pia itakuwa chanya. Kwa kuwa, formula imerahisishwa :.

2) Kama sindano kati ya vekta mjinga: (kutoka digrii 90 hadi 180), basi , na vivyo hivyo, bidhaa ya nukta ni hasi:. Kesi maalum: ikiwa vekta mwelekeo kinyume, basi angle kati yao inazingatiwa kupelekwa: (nyuzi 180). Bidhaa ya dot pia ni hasi, tangu

Taarifa za mazungumzo pia ni kweli:

1) Ikiwa, basi angle kati ya vectors hizi ni papo hapo. Vinginevyo, vectors ni codirectional.

2) Ikiwa, basi pembe kati ya vekta zilizopewa ni butu. Vinginevyo, vekta zimeelekezwa kinyume.

Lakini kesi ya tatu ni ya kuvutia sana:

3) Kama sindano kati ya vekta moja kwa moja: (digrii 90), basi bidhaa ya nukta ni sifuri:. Mazungumzo pia ni kweli: ikiwa, basi. Taarifa hiyo imeundwa kwa ukamilifu kama ifuatavyo: Bidhaa ya scalar ya vekta mbili ni sifuri ikiwa na tu ikiwa vekta hizi ni za orthogonal... Nukuu fupi za hisabati:

! Kumbuka : kurudia misingi ya mantiki ya hisabati: ikoni ya matokeo ya mantiki ya pande mbili kawaida husomwa "basi na kisha tu", "ikiwa na ikiwa tu". Kama unaweza kuona, mishale imeelekezwa kwa pande zote mbili - "kutoka hii inafuata hii, na kinyume chake - kutoka kwa kile kinachofuata kutoka kwa hii." Kwa njia, ni tofauti gani kutoka kwa ikoni ya kufuata njia moja? Ikoni inadai hiyo tu kwamba "hii inafuata kutoka kwa hili", na sio ukweli kwamba kinyume chake ni kweli. Kwa mfano: lakini si kila mnyama ni panther, hivyo icon haiwezi kutumika katika kesi hii. Wakati huo huo, badala ya icon unaweza tumia ikoni ya njia moja. Kwa mfano, kusuluhisha shida, tuligundua kuwa tulihitimisha kuwa vekta ni za orthogonal: - kiingilio kama hicho kitakuwa sahihi, na inafaa zaidi kuliko .

Kesi ya tatu ni ya umuhimu mkubwa wa vitendo. kwani hukuruhusu kuangalia ikiwa veta ni za orthogonal au la. Tutatua tatizo hili katika sehemu ya pili ya somo.

Tabia za bidhaa za dot

Hebu turudi kwenye hali wakati vectors mbili iliyoelekezwa pamoja... Katika kesi hii, pembe kati yao ni sawa na sifuri, na formula ya bidhaa ya dot inachukua fomu :.

Ni nini hufanyika ikiwa vekta inazidishwa yenyewe? Ni wazi kuwa vekta inajielekeza yenyewe, kwa hivyo tunatumia fomula iliyorahisishwa hapo juu:

Nambari inaitwa mraba wa scalar vekta, na kuashiria kama.

Kwa njia hii, mraba wa scalar wa vekta ni sawa na mraba wa urefu wa vekta iliyotolewa:

Kutoka kwa usawa huu, unaweza kupata formula ya kuhesabu urefu wa vekta:

Ingawa inaonekana kuwa haijulikani, lakini kazi za somo zitaweka kila kitu mahali pake. Ili kutatua matatizo, tunahitaji pia sifa za bidhaa za dot.

Kwa vekta za kiholela na nambari yoyote, sifa zifuatazo ni halali:

1) - inayoweza kuhamishwa au ya kubadilisha sheria ya bidhaa za scalar.

2) - usambazaji au kusambaza sheria ya bidhaa za scalar. Kwa urahisi, unaweza kupanua mabano.

3) - mchanganyiko au ushirika sheria ya bidhaa za scalar. Mara kwa mara inaweza kuchukuliwa kutoka kwa bidhaa ya dot.

Mara nyingi, kila aina ya mali (ambayo pia inahitaji kuthibitishwa!) Inachukuliwa na wanafunzi kama takataka isiyo ya lazima, ambayo inahitaji tu kukariri na kusahau salama baada ya mtihani. Inaweza kuonekana kuwa ni nini muhimu hapa, kila mtu anajua kutoka kwa daraja la kwanza kwamba bidhaa haibadilika kutoka kwa upangaji upya wa mambo :. Lazima nikuonye, ​​katika hisabati ya juu na mbinu hii, ni rahisi kuvunja kuni. Kwa hivyo, kwa mfano, mali ya uhamishaji sio halali kwa matrices ya algebra... Pia si kweli kwa bidhaa ya vector ya vekta... Kwa hivyo, angalau ni bora kuzama katika mali yoyote ambayo utapata wakati wa hesabu ya juu ili kuelewa ni nini kinaweza na kisichoweza kufanywa.

Mfano 3

.

Suluhisho: Kwanza, hebu tufafanue hali na vector. Hii ni nini hata hivyo? Jumla ya vekta na ni vector iliyofafanuliwa vizuri, ambayo inaonyeshwa na. Ufafanuzi wa kijiometri wa vitendo na vectors unaweza kupatikana katika makala Vectors kwa dummies... Parsley sawa na vector ni jumla ya vectors na.

Kwa hivyo, kwa hali inahitajika kupata bidhaa ya dot. Kwa nadharia, unahitaji kutumia formula ya kufanya kazi , lakini shida ni kwamba hatujui urefu wa vekta na angle kati yao. Lakini hali inatoa vigezo sawa kwa vekta, kwa hivyo tutaenda kwa njia nyingine:

(1) Misemo ya vekta mbadala.

(2) Tunapanua mabano kulingana na sheria ya kuzidisha polynomials, kizunguzungu cha lugha chafu kinaweza kupatikana katika kifungu hicho. Nambari tata au Ujumuishaji wa kipengele cha kukokotoa cha kimantiki... Sitajirudia =) Kwa njia, mali ya usambazaji wa bidhaa ya scalar inaruhusu sisi kupanua mabano. Tuna haki.

(3) Katika maneno ya kwanza na ya mwisho, tunaandika kwa ufupi miraba ya scalar ya vekta: ... Katika muda wa pili, sisi kutumia permutability ya bidhaa scalar :.

(4) Tunatoa masharti sawa:.

(5) Katika neno la kwanza, tunatumia fomula ya mraba ya scalar, ambayo ilitajwa si muda mrefu uliopita. Katika muda wa mwisho, kwa mtiririko huo, kitu kimoja kinafanya kazi :. Tunapanua muda wa pili kulingana na fomula ya kawaida .

(6) Tunabadilisha masharti haya , na kwa UMAKINI fanya mahesabu ya mwisho.

Jibu:

Thamani mbaya ya bidhaa ya dot inasema ukweli kwamba angle kati ya vectors ni butu.

Kazi ni ya kawaida, hapa kuna mfano wa suluhisho la kujitegemea:

Mfano 4

Pata bidhaa ya dot ya vekta na, ikiwa inajulikana kuwa .

Sasa kazi nyingine ya kawaida, kwa fomula mpya ya urefu wa vekta. Majina hapa yataingiliana kidogo, kwa hivyo kwa uwazi, nitaiandika tena kwa herufi tofauti:

Mfano 5

Tafuta urefu wa vekta ikiwa .

Suluhisho itakuwa kama ifuatavyo:

(1) Weka usemi wa vekta.

(2) Tunatumia fomula ya urefu:, wakati usemi wote hufanya kama vekta "ve".

(3) Tunatumia fomula ya shule kwa mraba wa jumla. Kumbuka jinsi inavyofanya kazi kwa kushangaza hapa: - kwa kweli, ni mraba wa tofauti, na, kwa kweli, ni. Wale wanaopenda wanaweza kupanga upya vekta katika maeneo: - ikawa sawa hadi upangaji upya wa masharti.

(4) Mengine tayari yanafahamika kutokana na matatizo mawili yaliyotangulia.

Jibu:

Kwa kuwa tunazungumza juu ya urefu, usisahau kuonyesha mwelekeo - "vitengo".

Mfano 6

Tafuta urefu wa vekta ikiwa .

Huu ni mfano wa suluhisho la kufanya-wewe-mwenyewe. Suluhisho kamili na ujibu mwishoni mwa somo.

Tunaendelea kubana vitu muhimu kutoka kwa bidhaa ya nukta. Wacha tuangalie fomula yetu tena ... Kulingana na sheria ya uwiano, wacha tuweke upya urefu wa veta kwa dhehebu la upande wa kushoto:

Na tutabadilisha sehemu:

Nini maana ya fomula hii? Ikiwa unajua urefu wa vectors mbili na bidhaa zao za dot, basi unaweza kuhesabu cosine ya angle kati ya vectors hizi, na, kwa hiyo, angle yenyewe.

Je, bidhaa ya nukta ni nambari? Nambari. Je, urefu wa nambari za vekta? Nambari. Kwa hivyo, sehemu pia ni nambari fulani. Na ikiwa cosine ya pembe inajulikana: , basi kwa kutumia kitendakazi cha kinyume ni rahisi kupata pembe yenyewe: .

Mfano 7

Pata pembe kati ya vekta na, ikiwa inajulikana kuwa.

Suluhisho: Tunatumia formula:

Katika hatua ya mwisho ya mahesabu, mbinu ilitumiwa - kuondoa ujinga katika denominator. Ili kuondoa kutokuwa na akili, nilizidisha nambari na denominator kwa.

Hivyo kama , basi:

Thamani za utendakazi kinyume cha trigonometric zinaweza kupatikana kwa meza ya trigonometric... Ingawa hii hutokea mara chache. Katika shida za jiometri ya uchanganuzi, aina fulani ya dubu dhaifu huonekana mara nyingi zaidi, na thamani ya pembe inapaswa kupatikana takriban kwa kutumia kikokotoo. Kweli, tutaona picha kama hiyo zaidi ya mara moja.

Jibu:

Tena, usisahau kuonyesha mwelekeo - radians na digrii. Binafsi, ili "kufuta maswali yote" kwa kujua, napendelea kuashiria yote hayo na hayo (isipokuwa, kwa kweli, kwa hali, inahitajika kuwasilisha jibu tu kwa radians au digrii tu).

Sasa utaweza kukabiliana na kazi ngumu zaidi peke yako:

Mfano 7 *

Imepewa urefu wa vekta, na pembe kati yao. Pata pembe kati ya vekta,.

Kazi sio ngumu hata kama hatua nyingi.
Wacha tuchambue algorithm ya suluhisho:

1) Kulingana na hali hiyo, inahitajika kupata pembe kati ya vekta na, kwa hivyo, unahitaji kutumia formula. .

2) Tafuta bidhaa ya nukta (ona Mifano No. 3, 4).

3) Tafuta urefu wa vekta na urefu wa vekta (tazama Mifano No. 5, 6).

4) Mwisho wa suluhisho sanjari na Mfano Nambari 7 - tunajua nambari, ambayo inamaanisha kuwa ni rahisi kupata pembe yenyewe:

Suluhisho fupi na jibu mwishoni mwa somo.

Sehemu ya pili ya somo inazingatia bidhaa sawa ya nukta. Kuratibu. Itakuwa rahisi zaidi kuliko katika sehemu ya kwanza.

Bidhaa ya dot ya vekta,
inayotolewa na kuratibu kwa misingi ya kawaida

Jibu:

Bila kusema, kushughulika na kuratibu ni ya kupendeza zaidi.

Mfano 14

Pata bidhaa ya dot ya vekta na, ikiwa

Huu ni mfano wa suluhisho la kufanya-wewe-mwenyewe. Hapa unaweza kutumia ushirikiano wa operesheni, yaani, usihesabu, lakini mara moja uhamishe mara tatu kutoka kwa bidhaa ya scalar na kuzidisha kwa mwisho. Suluhisho na jibu mwishoni mwa somo.

Mwishoni mwa aya, mfano wa uchochezi wa kuhesabu urefu wa vekta:

Mfano 15

Tafuta urefu wa vekta , kama

Suluhisho: tena njia ya sehemu iliyotangulia inajipendekeza:, lakini kuna njia nyingine:

Tafuta vekta:

Na urefu wake kulingana na formula isiyo na maana :

Bidhaa ya nukta haizungumzii hapa hata kidogo!

Kama nje ya biashara ni wakati wa kuhesabu urefu wa vekta:
Acha. Kwa nini usichukue faida ya mali dhahiri ya urefu wa vector? Vipi kuhusu urefu wa vekta? Vekta hii ni ndefu mara 5 kuliko vekta. Mwelekeo ni kinyume, lakini haijalishi, kwa sababu majadiliano ni kuhusu urefu. Kwa wazi, urefu wa vector ni sawa na bidhaa moduli nambari kwa urefu wa vekta:
- ishara ya moduli "hula" minus inayowezekana ya nambari.

Kwa njia hii:

Jibu:

Fomula ya cosine ya pembe kati ya vekta, ambayo hutolewa na kuratibu

Sasa tunayo habari kamili ya kuelezea fomula iliyopatikana hapo awali ya cosine ya pembe kati ya vekta kulingana na kuratibu za vekta:

Cosine ya pembe kati ya vekta za ndege na kutolewa kwa misingi ya kawaida, iliyoonyeshwa na fomula:
.

Cosine ya pembe kati ya vekta za nafasi kutolewa kwa misingi ya kawaida, iliyoonyeshwa na fomula:

Mfano 16

Wima tatu za pembetatu zinatolewa. Tafuta (pembe ya vertex).

Suluhisho: Kulingana na hali hiyo, mchoro hauhitajiki kufanywa, lakini bado:

Pembe inayohitajika imewekwa na arc ya kijani. Tunakumbuka mara moja jina la shule la pembe: - tahadhari maalum kwa wastani barua - hii ni vertex ya kona tunayohitaji. Kwa ufupi, inaweza pia kuandikwa kwa urahisi.

Kutoka kwa mchoro ni dhahiri kabisa kuwa pembe ya pembetatu inalingana na pembe kati ya veta na, kwa maneno mengine: .

Inapendekezwa kujifunza jinsi ya kufanya uchambuzi uliofanywa kiakili.

Tafuta vekta:

Wacha tuhesabu bidhaa ya nukta:

Na urefu wa veta:

Cosine ya pembe:

Huu ndio utaratibu wa kukamilisha kazi ambayo ninapendekeza kwa teapots. Wasomaji wa hali ya juu zaidi wanaweza kuandika hesabu "katika mstari mmoja":

Huu hapa ni mfano wa thamani "mbaya" ya cosine. Thamani inayosababishwa sio ya mwisho, kwa hivyo hakuna uhakika katika kuondoa ujinga katika dhehebu.

Wacha tupate kona yenyewe:

Ikiwa unatazama mchoro, matokeo yanawezekana kabisa. Kwa kuangalia, angle inaweza pia kupimwa na protractor. Usiharibu kifuniko cha mfuatiliaji =)

Jibu:

Katika jibu, usisahau hilo aliuliza juu ya pembe ya pembetatu(na sio juu ya pembe kati ya vekta), usisahau kuonyesha jibu kamili: na takriban thamani ya pembe: kupatikana na Calculator.

Wale ambao wamefurahia mchakato wanaweza kuhesabu pembe na kuhakikisha kwamba usawa wa kisheria ni kweli

Mfano 17

Pembetatu hufafanuliwa katika nafasi na kuratibu za wima zake. Pata pembe kati ya pande na

Huu ni mfano wa suluhisho la kufanya-wewe-mwenyewe. Suluhisho kamili na ujibu mwishoni mwa somo

Sehemu fupi ya mwisho itatolewa kwa makadirio, ambayo bidhaa ya scalar pia "imechanganywa":

Makadirio ya Vekta-kwa-vekta. Makadirio ya vekta kwa shoka za kuratibu.
Kosini za mwelekeo wa vekta

Fikiria vekta na:

Tunatengeneza vector kwenye vector, kwa hili tunaacha kutoka mwanzo na mwisho wa vector perpendiculars kwa kila vekta (mistari yenye alama za kijani). Hebu fikiria miale ya mwanga inayoanguka perpendicular kwa vector. Kisha sehemu (mstari nyekundu) itakuwa "kivuli" cha vector. Katika kesi hii, makadirio ya vector kwenye vector ni LENGTH ya sehemu. Yaani MRADI NI NAMBA.

NUMBER hii imeashiriwa kama ifuatavyo:, "vekta kubwa" inaashiria vekta AMBAYO mradi, "vekta ndogo ya usajili" inaashiria vekta KWENYE ambayo inakadiriwa.

Rekodi yenyewe inasomeka kama hii: "makadirio ya vekta" a "kwenye vekta" bh "".

Ni nini hufanyika ikiwa vekta "bs" ni "fupi sana"? Tunatoa mstari wa moja kwa moja ulio na vector "kuwa". Na vector "a" itaonyeshwa tayari kwa mwelekeo wa vekta "bh", kwa urahisi - kwenye mstari wa moja kwa moja ulio na vector "kuwa". Vile vile vitatokea ikiwa vekta "a" itaahirishwa katika ufalme wa thelathini - bado itaonyeshwa kwa urahisi kwenye mstari wa moja kwa moja ulio na vekta "bh".

Ikiwa pembe kati ya vekta yenye viungo(kama kwenye picha), basi

Ikiwa vekta ya orthogonal, basi (makadirio ni hatua ambayo vipimo vinachukuliwa kuwa sifuri).

Ikiwa pembe kati ya vekta mjinga(katika takwimu, kiakili panga upya mshale wa vector), kisha (urefu sawa, lakini kuchukuliwa na ishara minus).

Wacha tuahirishe veta hizi kutoka kwa hatua moja:

Ni wazi, wakati vector inaposonga, makadirio yake hayabadilika.

Vekta na bidhaa ya nukta hurahisisha kukokotoa pembe kati ya vekta. Acha ipewe vekta mbili $ \ overline (a) $ na $ \ overline (b) $, angle iliyoelekezwa kati ambayo ni $ \ varphi $. Kokotoa thamani$ x = (\ muhtasari (a), \ muhtasari (b)) $ na $ y = [\ muhtasari (a), \ muhtasari (b)] $. Kisha $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, ambapo $ r = | \ muhtasari (a) | \ cdot | \ juu ya mstari (b) | $, na $ \ varphi $ ndio angle inayohitajika, yaani, uhakika $ (x, y) $ ina pembe ya polar sawa na $ \ varphi $, na kwa hiyo $ \ varphi $ inaweza kupatikana kama atan2 (y, x).

Eneo la pembetatu

Kwa kuwa bidhaa ya msalaba ina bidhaa ya urefu wa vekta mbili na cosine ya pembe kati yao, bidhaa ya msalaba inaweza kutumika kuhesabu eneo la pembetatu ya ABC:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ muhtasari (AB), \ muhtasari (AC)] | $.

Sehemu inayomilikiwa na mstari ulionyooka

Acha pointi $ P $ na mstari wa moja kwa moja $ AB $ (iliyopewa na pointi mbili $ A $ na $ B $) itolewe. Inahitajika kuangalia ikiwa hatua hiyo ni ya mstari $ AB $.

Hoja ni ya mstari ulionyooka $ AB $ ikiwa na tu ikiwa vekta $ AP $ na $ AB $ ni collinear, yaani, ikiwa $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $.

Mali ya uhakika kwa ray

Hebu hatua $ P $ na ray $ AB $ (iliyotolewa na pointi mbili - mwanzo wa ray $ A $ na uhakika juu ya ray $ B $) itolewe. Inahitajika kuangalia ikiwa hatua hiyo ni ya ray $ AB $.

Kwa hali ya kuwa uhakika $ P $ ni wa mstari $ AB $, ni muhimu kuongeza hali ya ziada - vekta $ AP $ na $ AB $ ni za mwelekeo, yaani, ni collinear na bidhaa zao za scalar. sio hasi, yaani, $ (\ overline (AB), \ overline (AP )) \ ge 0 $.

Pointi ni ya sehemu ya mstari

Acha alama $ P $ na sehemu $ AB $ itolewe. Inahitajika kuangalia ikiwa hatua ni ya sehemu ya $ AB $.

Katika kesi hii, hatua lazima iwe ya ray $ AB $ na ray $ BA $, kwa hivyo hali zifuatazo lazima ziangaliwe:

$ [\ muhtasari (AP), \ muhtasari (AB)] = 0 $,

$ (\ muhtasari (AB), \ muhtasari (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ muhtasari (BA), \ muhtasari (BP)) \ ge 0 $.

Umbali kutoka hatua hadi mstari

Acha pointi $ P $ na mstari wa moja kwa moja $ AB $ (iliyopewa na pointi mbili $ A $ na $ B $) itolewe. Ni muhimu kupata umbali kutoka kwa hatua ya mstari wa moja kwa moja $ AB $.

Fikiria pembetatu ABP. Kwa upande mmoja, eneo lake ni $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

Kwa upande mwingine, eneo lake ni $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, ambapo $ h $ ni urefu ulioshuka kutoka kwa uhakika $ P $, yaani, umbali kutoka $ P $ hadi $ AB $. Kutoka ambapo $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

Elekeza kwa umbali wa boriti

Hebu hatua $ P $ na ray $ AB $ itolewe (kutolewa na pointi mbili - asili ya ray $ A $ na uhakika juu ya ray $ B $). Ni muhimu kupata umbali kutoka kwa uhakika hadi kwenye ray, yaani, urefu wa sehemu fupi zaidi kutoka kwa uhakika $ P $ hadi hatua yoyote kwenye ray.

Umbali huu ni sawa na ama urefu wa $ AP $, au umbali kutoka kwa uhakika $ P $ hadi mstari $ AB $. Ni ipi kati ya matukio ambayo hufanyika ni rahisi kuamua kwa nafasi ya jamaa ya boriti na uhakika. Ikiwa angle PAB ni ya papo hapo, yaani, $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, basi jibu litakuwa umbali kutoka kwa uhakika $ P $ hadi mstari wa moja kwa moja $ AB $, vinginevyo jibu litakuwa urefu wa sehemu $ AB $.

Umbali kutoka hatua hadi mstari

Acha alama $ P $ na sehemu $ AB $ itolewe. Inahitajika kupata umbali kutoka $ P $ hadi sehemu $ AB $.

Ikiwa msingi wa perpendicular umeshuka kutoka $ P $ hadi mstari $ AB $ iko kwenye sehemu $ AB $, ambayo inaweza kuthibitishwa na masharti.

$ (\ muhtasari (AP), \ muhtasari (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ muhtasari (BP), \ muhtasari (BA)) \ ge 0 $,

basi jibu ni umbali kutoka kwa uhakika $ P $ hadi mstari $ AB $. Vinginevyo, umbali utakuwa sawa na $ \ min (AP, BP) $.

Ufafanuzi 1

Bidhaa ya scalar ya vectors ni nambari sawa na bidhaa ya dyn ya vectors hizi na cosine ya angle kati yao.

Nukuu ya bidhaa ya vekta a → na b → ina umbo a →, b →. Wacha tugeuke kuwa formula:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → na b → huashiria urefu wa vekta, a →, b → ^ huashiria pembe kati ya vekta zilizotolewa. Ikiwa angalau vekta moja ni sifuri, ambayo ni, ina thamani ya 0, basi matokeo yatakuwa sifuri, →, b → = 0.

Wakati wa kuzidisha vekta peke yake, tunapata mraba wa urefu wake:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Ufafanuzi 2

Kuzidisha kwa scalar ya vekta peke yake inaitwa mraba wa scalar.

Imehesabiwa kwa formula:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

Nukuu a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → inaonyesha kuwa npb → a → ni makadirio ya nambari ya → kwenye b →, npa → a → ni makadirio ya b → kwenye →, mtawalia.

Wacha tuunda ufafanuzi wa bidhaa kwa vekta mbili:

Bidhaa ya scalar ya vekta mbili a → kwa b → inaitwa bidhaa ya urefu wa vekta a → kwa makadirio b → kwa mwelekeo a → au bidhaa ya urefu b → kwa makadirio a → mtawalia.

Bidhaa yenye nukta kwenye viwianishi

Hesabu ya bidhaa ya dot inaweza kufanywa kupitia kuratibu za vekta katika ndege fulani au katika nafasi.

Bidhaa ya scalar ya vectors mbili kwenye ndege, katika nafasi ya tatu-dimensional, inaitwa jumla ya kuratibu za vectors iliyotolewa → na b →.

Wakati wa kuhesabu bidhaa ya scalar ya vekta zilizopewa → = (a x, a y), b → = (b x, b y) katika mfumo wa Cartesian, tumia:

a →, b → = a x b x + a y b y,

kwa nafasi ya pande tatu, usemi ufuatao unatumika:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Kwa kweli, hii ni ufafanuzi wa tatu wa bidhaa ya dot.

Hebu tuthibitishe.

Ushahidi 1

Kwa uthibitisho, tunatumia →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay by kwa vekta a → = (shoka, ay), b → = (bx, by) kwenye Cartesian mfumo.

Vectors zinapaswa kuahirishwa

O A → = a → = a x, a y na O B → = b → = b x, b y.

Kisha urefu wa vector A B → utakuwa sawa na A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y).

Fikiria pembetatu O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) ni kweli kulingana na nadharia ya cosine.

Kwa hali hiyo, inaweza kuonekana kuwa O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, kwa hiyo, tunaandika formula ya kutafuta angle kati ya vectors tofauti.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Kisha inafuata kutoka kwa ufafanuzi wa kwanza kwamba b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), kwa hivyo (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Kutumia formula ya kuhesabu urefu wa vekta, tunapata:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + kwa 2) 2 - ((bx - shoka) 2 + (kwa - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - shoka) 2 - (kwa - ay) 2) = = shoka bx + ay kwa

Wacha tuthibitishe usawa:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- kwa mtiririko huo kwa vectors ya nafasi tatu-dimensional.

Bidhaa ya scalar ya vectors na kuratibu inasema kwamba mraba wa scalar wa vector ni sawa na jumla ya mraba wa kuratibu zake katika nafasi na kwenye ndege, kwa mtiririko huo. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) na (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Bidhaa ya dot na sifa zake

Kuna sifa za bidhaa za nukta ambazo zinatumika kwa →, b →, na c →:

1. mawasiliano (a →, b →) = (b →, a →);
2. usambazaji (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
3. mali ya mchanganyiko (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ ni nambari yoyote;
4. mraba wa scalar daima ni mkubwa kuliko sifuri (a →, a →) ≥ 0, ambapo (a →, a →) = 0 katika kesi wakati → ni sifuri.

Sifa zinaelezewa shukrani kwa ufafanuzi wa bidhaa ya nukta kwenye ndege na sifa wakati wa kuongeza na kuzidisha nambari halisi.

Thibitisha sifa ya mawasiliano (a →, b →) = (b →, a →). Kutokana na ufafanuzi tunayo kwamba (a →, b →) = a y b y + a y b y na (b →, a →) = b x a x + b y a y.

Kwa mali ya mawasiliano, usawa a x b x = b x a x na y b y = b y a y ni kweli, kwa hivyo a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

Inafuata kwamba (a →, b →) = (b →, a →). Q.E.D.

Usambazaji ni halali kwa nambari zozote:

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

na (a →, b (1) → + b (2) → +.. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) + . .. ... ... + (a →, b → (n)),

kwa hiyo tunayo

(a (1) → + a (2) → +.. + a (n) →, b (1) → + b (2) → +... + b (m) →) = (a ( 1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Dot bidhaa na mifano na ufumbuzi

Shida yoyote ya mpango kama huo hutatuliwa kwa kutumia mali na fomula kuhusu bidhaa ya dot:

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y au (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

Wacha tuangalie mifano ya suluhisho.

Mfano 2

Urefu wa → ni 3, urefu wa b → ni 7. Tafuta bidhaa ya nukta ikiwa pembe ni digrii 60.

Suluhisho

Kwa hali, tunayo data yote, kwa hivyo tunahesabu kwa formula:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Jibu: (a →, b →) = 21 2.

Mfano 3

Vekta zilizopewa → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Bidhaa ya dot ni nini.

Suluhisho

Katika mfano huu, formula ya kuhesabu kwa kuratibu inazingatiwa, kwani imeainishwa katika taarifa ya shida:

(a →, b →) = shoka bx + ay kwa + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Jibu: (a →, b →) = - 9

Mfano 4

Tafuta bidhaa ya nukta A B → na A C →. Pointi A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) hutolewa kwenye ndege ya kuratibu.

Suluhisho

Kuanza, kuratibu za veta huhesabiwa, kwani kuratibu za vidokezo hutolewa na hali:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Kubadilisha katika fomula kwa kutumia kuratibu, tunapata:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Jibu: (A B →, A C →) = 28.

Mfano 5

Vekta zilizopewa → = 7 m → + 3 n → na b → = 5 m → + 8 n →, pata bidhaa zao. m → ni sawa na 3 na n → ni sawa na vitengo 2, ni perpendicular.

Suluhisho

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Kutumia mali ya usambazaji, tunapata:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Tunachukua mgawo wa ishara ya bidhaa na kupata:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Kwa mali ya mawasiliano tunabadilisha:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n → ) + 24 (n →, n →)

Kama matokeo, tunapata:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Sasa hebu tutumie fomula ya bidhaa ya nukta na pembe iliyotanguliwa:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

Jibu: (a →, b →) = 411

Ikiwa kuna makadirio ya nambari.

Mfano 6

Tafuta bidhaa ya nukta a → na b →. Vekta a → ina kuratibu a → = (9, 3, - 3), makadirio b → na viwianishi (- 3, - 1, 1).

Suluhisho

Kwa nadharia, vekta a → na makadirio b → yanaelekezwa kinyume, kwa sababu a → = - 1 3 · npa → b → →, kwa hivyo makadirio b → inalingana na urefu npa → b → →, na kwa ishara " -":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Kubadilisha katika fomula, tunapata usemi:

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

Jibu: (a →, b →) = - 33.

Matatizo na bidhaa inayojulikana ya dot, ambapo ni muhimu kupata urefu wa vector au makadirio ya namba.

Mfano 7

Ni thamani gani λ inapaswa kuchukua kwa bidhaa fulani ya scalar a → = (1, 0, λ + 1) na b → = (λ, 1, λ) itakuwa sawa na -1.

Suluhisho

Fomula inaonyesha kuwa ni muhimu kupata jumla ya bidhaa za kuratibu:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Kwa kuzingatia tunayo (a →, b →) = - 1.

Ili kupata λ, tunahesabu equation:

λ 2 + 2 λ = - 1, kwa hivyo λ = - 1.

Jibu: λ = - 1.

Maana ya kimwili ya bidhaa ya dot

Mechanics inahusika na utumiaji wa bidhaa ya nukta.

Wakati wa kufanya kazi A kwa nguvu ya mara kwa mara F → mwili ulihamia kutoka kwa uhakika M hadi N, unaweza kupata bidhaa ya urefu wa vectors F → na MN → na cosine ya angle kati yao, ambayo ina maana kwamba kazi ni sawa. kwa bidhaa ya vekta za nguvu na uhamishaji:

A = (F →, M N →).

Mfano 8

Harakati ya hatua ya nyenzo kwa mita 3 chini ya hatua ya nguvu sawa na nton 5 inaelekezwa kwa pembe ya digrii 45 kuhusiana na mhimili. Tafuta A.

Suluhisho

Kwa kuwa kazi ni bidhaa ya vector ya nguvu na uhamisho, ina maana kwamba, kulingana na hali F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, tunapata A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

Jibu: A = 15 2 2.

Mfano 9

Sehemu ya nyenzo, inayohamia kutoka M (2, - 1, - 3) hadi N (5, 3 λ - 2, 4) chini ya nguvu F → = (3, 1, 2), ilifanya kazi sawa na 13 J. Hesabu urefu wa harakati.

Suluhisho

Kwa kuratibu zilizotolewa za vector M N → tuna M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7).

Kutumia fomula ya kutafuta kazi na vekta F → = (3, 1, 2) na MN → = (3, 3 λ - 1, 7), tunapata A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Kwa nadharia, imepewa kwamba A = 13 J, ambayo ina maana 22 + 3 λ = 13. Kwa hiyo λ = - 3, kwa hiyo M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Ili kupata urefu wa uhamishaji M N →, tumia fomula na ubadilishe maadili:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Jibu: 158.

Ukiona kosa katika maandishi, tafadhali chagua na ubofye Ctrl + Ingiza

Pia kutakuwa na kazi za suluhisho la kujitegemea, ambalo unaweza kuona majibu.

Ikiwa katika shida urefu wote wa vekta na pembe kati yao huwasilishwa "kwenye sinia ya fedha", basi hali ya shida na suluhisho lake inaonekana kama hii:

Mfano 1. Vectors iliyotolewa. Pata bidhaa ya nukta ya vekta ikiwa urefu wao na pembe kati yao inawakilishwa na maadili yafuatayo:

Ufafanuzi mwingine pia ni halali, ambao ni sawa kabisa na Ufafanuzi wa 1.

Ufafanuzi 2... Bidhaa ya scalar ya vekta ni nambari (scalar) sawa na bidhaa ya urefu wa moja ya vekta hizi kwa makadirio ya vekta nyingine kwenye mhimili uliowekwa na ya kwanza ya vectors iliyoonyeshwa. Mfumo kulingana na Ufafanuzi 2:

Tutatatua tatizo kwa kutumia fomula hii baada ya hoja muhimu inayofuata ya kinadharia.

Kuamua bidhaa ya dot ya vekta kwa suala la kuratibu

Nambari sawa inaweza kupatikana ikiwa vekta zinazozidishwa hutolewa na kuratibu zao.

Ufafanuzi 3. Bidhaa ya nukta ya vekta ni nambari sawa na jumla ya bidhaa za pande mbili za viwianishi vyao.

Juu ya uso

Ikiwa vekta mbili na kwenye ndege hufafanuliwa na mbili zao Viwianishi vya mstatili wa Cartesian

basi bidhaa ya scalar ya vekta hizi ni sawa na jumla ya bidhaa za jozi za kuratibu zao:

.

Mfano 2. Pata thamani ya nambari ya makadirio ya vekta kwenye mhimili sambamba na vekta.

Suluhisho. Tunapata bidhaa ya nukta ya vekta kwa kuongeza bidhaa za jozi za viwianishi vyao:

Sasa tunahitaji kusawazisha bidhaa iliyosababishwa na scalar kwa bidhaa ya urefu wa vekta na makadirio ya vector kwenye mhimili sambamba na vector (kwa mujibu wa formula).

Tunapata urefu wa vekta kama mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya kuratibu zake:

.

Tunatengeneza equation na kuisuluhisha:

Jibu. Thamani ya nambari inayotakiwa ni minus 8.

Katika nafasi

Ikiwa vekta mbili na katika nafasi zimefafanuliwa na viwianishi vyao vitatu vya mstatili wa Cartesian

,

basi bidhaa ya scalar ya vekta hizi pia ni sawa na jumla ya bidhaa za jozi za kuratibu zao zinazolingana, tayari kuna viwianishi vitatu:

.

Shida ya kupata bidhaa ya dot kwa njia inayozingatiwa ni baada ya kuchanganua mali ya bidhaa ya dot. Kwa sababu katika kazi itakuwa muhimu kuamua ni angle gani vectors nyingi huunda.

Tabia za bidhaa za vekta

Tabia za algebraic

1. (mali ya uhamisho: ukubwa wa bidhaa zao za nukta haibadiliki kutokana na ubadilishanaji wa vekta zinazozidishwa).

2. (multiplier mali mchanganyiko: bidhaa ya nukta ya vekta iliyozidishwa na sababu fulani na vekta nyingine ni sawa na bidhaa ya nukta ya vekta hizi ikizidishwa na kipengele sawa).

3. (mali ya usambazaji kwa heshima na jumla ya vekta: bidhaa ya nukta ya jumla ya vekta mbili na vekta ya tatu ni sawa na jumla ya bidhaa za nukta za vekta ya kwanza na vekta ya tatu na vekta ya pili na vekta ya tatu).

4. (mraba wa vekta ni mkubwa kuliko sifuri), ikiwa ni vekta ya nonzero, na, ikiwa, ni vekta ya sifuri.

Tabia za kijiometri

Katika ufafanuzi wa operesheni iliyo chini ya utafiti, tayari tumegusa dhana ya angle kati ya vectors mbili. Ni wakati wa kufafanua dhana hii.

Katika picha hapo juu, vectors mbili zinaonekana, ambazo huletwa kwa asili ya kawaida. Na jambo la kwanza kuzingatia: kuna pembe mbili kati ya vekta hizi - φ 1 na φ 2 ... Ni ipi kati ya pembe hizi inaonekana katika ufafanuzi na mali ya bidhaa ya nukta ya vekta? Jumla ya pembe zinazozingatiwa ni 2 π na kwa hivyo cosines za pembe hizi ni sawa. Ufafanuzi wa bidhaa ya nukta inajumuisha tu kosine ya pembe, sio thamani ya usemi wake. Lakini katika mali kona moja tu inazingatiwa. Na hii ni moja ya pembe mbili isiyozidi π , yaani, digrii 180. Katika takwimu, angle hii imeteuliwa kama φ 1 .

1. Vectors mbili zinaitwa ya orthogonal na pembe kati ya vekta hizi ni mstari wa moja kwa moja (digrii 90 au π / 2) ikiwa bidhaa ya dot ya vekta hizi ni sifuri :

.

Orthogonality katika aljebra ya vekta ni perpendicularity ya vectors mbili.

2. Vekta mbili za nonzero huunda kona kali (kutoka digrii 0 hadi 90, au, ambayo ni sawa - chini π bidhaa ya nukta ni chanya .

3. Vekta mbili za nonzero huunda angle butu (kutoka digrii 90 hadi 180, au, ambayo ni sawa - zaidi π / 2) ikiwa na tu ikiwa yao bidhaa ya nukta ni hasi .

Mfano 3. Vekta hutolewa kwa kuratibu:

.

Kukokotoa bidhaa za nukta za jozi zote za vekta ulizopewa. Je, jozi hizi za vekta huunda pembe gani (papo hapo, moja kwa moja, kiziwi)?

Suluhisho. Tutahesabu kwa kuongeza bidhaa za kuratibu zinazofanana.

Imepokea nambari hasi, kwa hivyo vekta huunda pembe ya buti.

Tulipata nambari nzuri, kwa hivyo vekta huunda pembe ya papo hapo.

Tulipata sifuri, kwa hivyo vekta huunda pembe ya kulia.

Tulipata nambari nzuri, kwa hivyo vekta huunda pembe ya papo hapo.

.

Tulipata nambari nzuri, kwa hivyo vekta huunda pembe ya papo hapo.

Kwa mtihani wa kujitegemea, unaweza kutumia online calculator Dot bidhaa ya vekta na cosine ya pembe kati yao .

Mfano 4. Urefu wa vekta mbili na pembe kati yao hupewa:

.

Amua kwa thamani gani ya nambari ya vekta na ni ya orthogonal (perpendicular).

Suluhisho. Tunazidisha veta kulingana na sheria ya kuzidisha polynomials:

Sasa hebu tuhesabu kila neno:

.

Wacha tutunge equation (usawa wa bidhaa hadi sifuri), toa masharti sawa na kutatua equation:

Jibu: tumepata maana λ = 1.8, ambayo vectors ni orthogonal.

Mfano 5. Thibitisha kuwa vekta orthogonal (perpendicular) kwa vector

Suluhisho. Ili kuangalia uhalisi, tunazidisha vekta na kama polynomials, badala ya usemi uliotolewa katika taarifa ya tatizo:

.

Ili kufanya hivyo, unahitaji kuzidisha kila neno (neno) la polynomial ya kwanza kwa kila neno la pili na kuongeza bidhaa zinazotokana:

.

Matokeo yake, sehemu hupunguzwa kwa gharama. Matokeo yake ni haya yafuatayo:

Hitimisho: kama matokeo ya kuzidisha, tulipata sifuri, kwa hiyo, orthogonality (perpendicularity) ya vectors imethibitishwa.

Tatua tatizo mwenyewe, na kisha uone suluhisho

Mfano 6. Kwa kuzingatia urefu wa vekta na, na pembe kati ya veta hizi ni π /4 . Amua kwa thamani gani μ vekta na ziko pande zote mbili.

Kwa mtihani wa kujitegemea, unaweza kutumia online calculator Dot bidhaa ya vekta na cosine ya pembe kati yao .

Uwakilishi wa tumbo la bidhaa ya nukta ya vekta na bidhaa ya vekta za n-dimensional

Wakati mwingine ni faida kwa uwazi kuwakilisha vekta mbili zinazozidishwa katika mfumo wa matrices. Kisha vekta ya kwanza inawakilishwa kama matrix ya safu, na ya pili - kama safu ya safu:

Kisha bidhaa ya scalar ya vectors itakuwa bidhaa za matrices haya :

Matokeo yake ni sawa na yale yaliyopatikana kwa njia ambayo tumezingatia tayari. Nambari moja hupatikana, na bidhaa ya matrix ya safu kwa safu wima pia ni nambari moja.

Ni rahisi kuwakilisha bidhaa za vekta za n-dimensional za abstract katika fomu ya matrix. Kwa hivyo, bidhaa ya vekta mbili zenye sura nne itakuwa bidhaa ya matrix ya safu iliyo na vitu vinne na safu ya safu pia na vitu vinne, bidhaa ya vekta mbili zenye sura tano itakuwa bidhaa ya safu ya safu iliyo na vitu vitano. matrix ya safu pia yenye vipengele vitano, na kadhalika.

Mfano 7. Pata bidhaa za nukta za jozi za vekta

,

kwa kutumia uwakilishi wa matrix.

Suluhisho. Jozi ya kwanza ya vekta. Tunawakilisha vekta ya kwanza kama matrix ya safu mlalo, na ya pili kama safu wima. Tunapata bidhaa ya nukta ya vekta hizi kama bidhaa ya safu mlalo kulingana na matrix ya safu wima:

Vile vile, tunawakilisha jozi ya pili na kupata:

Kama unaweza kuona, matokeo ni sawa na yale ya jozi sawa kutoka kwa mfano 2.

Pembe kati ya vekta mbili

Utoaji wa formula kwa cosine ya angle kati ya vectors mbili ni nzuri sana na mafupi.

Ili kuelezea bidhaa ya dot ya vekta

(1)

katika fomu ya kuratibu, sisi kwanza kupata bidhaa scalar ya vectors kitengo. Bidhaa ya nukta ya vekta yenyewe kwa ufafanuzi:

Kilichoandikwa katika formula hapo juu inamaanisha: bidhaa ya dot ya vector yenyewe ni sawa na mraba wa urefu wake... Cosine ya sifuri ni sawa na moja, kwa hivyo mraba wa kila ort itakuwa sawa na moja:

Tangu vectors

ziko pande zote mbili, basi bidhaa za jozi za vekta za kitengo zitakuwa sawa na sifuri:

Sasa wacha tufanye kuzidisha kwa polynomials za vekta:

Tunabadilisha katika upande wa kulia wa usawa maadili ya bidhaa zinazofanana za scalar za vekta za kitengo:

Tunapata formula ya cosine ya pembe kati ya vekta mbili:

Mfano 8. Imepewa pointi tatu A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Tafuta kona.

Suluhisho. Pata kuratibu za vekta:

,

.

Kulingana na formula ya cosine ya pembe, tunapata:

Kwa hivyo,.

Kwa mtihani wa kujitegemea, unaweza kutumia online calculator Dot bidhaa ya vekta na cosine ya pembe kati yao .

Mfano 9. Vekta mbili zinatolewa

Tafuta jumla, tofauti, urefu, bidhaa ya nukta na pembe kati yao.

2.Tofauti

Mhadhara: Vector kuratibu; bidhaa ya dot ya vectors; pembe kati ya vekta

Vector kuratibu

Kwa hivyo, kama ilivyotajwa hapo awali, veta ni sehemu iliyoelekezwa, ambayo ina mwanzo na mwisho wake. Ikiwa mwanzo na mwisho zinawakilishwa na pointi fulani, basi kwenye ndege au katika nafasi wana kuratibu zao wenyewe.

Ikiwa kila hatua ina kuratibu zake, basi tunaweza kupata kuratibu za vector nzima.

Tuseme tunayo vekta ambayo mwanzo na mwisho wa vekta ina sifa na viwianishi vifuatavyo: A (A x; Ay) na B (B x; Kwa)

Ili kupata kuratibu za vector hii, ni muhimu kutoa kuratibu zinazofanana za mwanzo kutoka kwa kuratibu za mwisho wa vector:

Kuamua kuratibu za vekta kwenye nafasi, tumia fomula ifuatayo:

Bidhaa ya dot ya vekta

Kuna njia mbili za kufafanua bidhaa ya dot:

• Njia ya kijiometri. Kulingana na yeye, bidhaa ya dot ni sawa na bidhaa ya maadili ya moduli hizi na cosine ya pembe kati yao.

• Maana ya algebra. Kutoka kwa mtazamo wa algebra, bidhaa ya dot ya vectors mbili ni kiasi fulani ambacho kinapatikana kutokana na jumla ya bidhaa za vectors zinazofanana.

Ikiwa veta zimepewa nafasi, basi unapaswa kutumia fomula sawa:

Sifa:

• Ikiwa utazidisha vekta mbili zinazofanana kwa kasi, basi bidhaa zao za nukta hazitakuwa mbaya:

• Ikiwa bidhaa ya scalar ya vekta mbili zinazofanana inageuka kuwa sawa na sifuri, basi vekta hizi zinachukuliwa kuwa sifuri:

• Ikiwa vekta imeongezeka yenyewe, basi bidhaa ya scalar itakuwa sawa na mraba wa moduli yake:

• Bidhaa ya scalar ina mali ya mawasiliano, ambayo ni kwamba, bidhaa ya scalar haitabadilika kutoka kwa vibali vya vekta:

• Bidhaa ya scalar ya vekta za nonzero inaweza kuwa sifuri tu ikiwa vekta ni za usawa kwa kila mmoja:

• Kwa bidhaa ya scalar ya vekta, sheria ya uhamishaji ni halali katika kesi ya kuzidisha moja ya vekta kwa nambari:

• Ukiwa na bidhaa ya nukta, unaweza pia kutumia mali ya kusambaza ya kuzidisha:

Pembe kati ya vekta