9. எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் குறுகிய எண்கணித முன்னேற்றங்களின் பண்புகள்

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சிக்கல்கள் பண்டைய காலங்களில் ஏற்கனவே இருந்தன. அவர்கள் தோன்றி ஒரு நடைமுறை தேவை என்பதால் ஒரு தீர்வைக் கோரினர்.

எனவே, ஒரு கணித உள்ளடக்கத்தைக் கொண்ட பண்டைய எகிப்தின் பாப்பிரியில் ஒன்றில் - ரைண்ட் பாப்பிரஸ் (கி.மு. XIX நூற்றாண்டு) - பின்வரும் சிக்கலைக் கொண்டுள்ளது: பத்து அளவிலான ரொட்டியை பத்து நபர்களாகப் பிரிக்கவும், அவை ஒவ்வொன்றுக்கும் இடையிலான வேறுபாடு ஒன்று ஒரு அளவின் எட்டாவது. "

மேலும் பண்டைய கிரேக்கர்களின் கணிதப் படைப்புகளில், எண்கணித முன்னேற்றம் தொடர்பான நேர்த்தியான கோட்பாடுகள் உள்ளன. எனவே, ஹைப்சிகல்ஸ் ஆஃப் அலெக்ஸாண்ட்ரியா (இரண்டாம் நூற்றாண்டு, பல சுவாரஸ்யமான சிக்கல்களை உருவாக்கி, பதினான்காம் புத்தகத்தை யூக்லிட்டின் "கோட்பாடுகளில்" சேர்த்தது, இந்த யோசனையை வகுத்தது: “இன்னும் பல உறுப்பினர்களைக் கொண்ட ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தில், உறுப்பினர்களின் தொகை சதுர 1/2 எண்ணிக்கையிலான உறுப்பினர்களின் முதல் பாதியின் உறுப்பினர்களின் தொகையை விட இரண்டாவது பாதி அதிகமாக உள்ளது ".

வரிசை ஒரு குறிக்கப்படுகிறது. வரிசையின் எண்கள் அதன் உறுப்பினர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் வழக்கமாக இந்த உறுப்பினரின் சாதாரண எண்ணைக் குறிக்கும் குறியீடுகளைக் கொண்ட கடிதங்களால் குறிக்கப்படுகின்றன (a1, a2, a3 ... read: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" மற்றும் பல).

வரிசை முடிவற்ற அல்லது வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கலாம்.

எண்கணித முன்னேற்றம் என்றால் என்ன? முந்தைய காலத்தை (n) அதே எண்ணுடன் d மூலம் சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்டதாக இது புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது, இது முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு.

என்றால் d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, பின்னர் இந்த முன்னேற்றம் ஏறுவரிசையாகக் கருதப்படுகிறது.

ஒரு கணித முன்னேற்றம் அதன் முதல் உறுப்பினர்களில் சிலரை மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால் வரையறுக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது. மிக அதிக எண்ணிக்கையிலான உறுப்பினர்களைக் கொண்டு, இது ஏற்கனவே முடிவற்ற முன்னேற்றமாகும்.

எந்த எண்கணித முன்னேற்றமும் பின்வரும் சூத்திரத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது:

an \u003d kn + b, b மற்றும் k சில எண்கள்.

எதிர் அறிக்கை முற்றிலும் உண்மை: ஒரு வரிசை ஒரு ஒத்த சூத்திரத்தால் வழங்கப்பட்டால், அது சரியாக பின்வரும் எண்களைக் கொண்ட ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும்:

1. முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் முந்தைய உறுப்பினரின் எண்கணித சராசரி மற்றும் அடுத்தவர்.
2. இதற்கு நேர்மாறானது: 2 ஆம் தேதி தொடங்கி, ஒவ்வொரு காலமும் முந்தைய காலத்தின் எண்கணித சராசரி மற்றும் அடுத்தது, அதாவது. நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், இந்த வரிசை ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும். இந்த சமத்துவம் முன்னேற்றத்தின் அறிகுறியாகும், எனவே இது பொதுவாக முன்னேற்றத்தின் சிறப்பியல்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது.
   அதேபோல், இந்த சொத்தை பிரதிபலிக்கும் தேற்றம் உண்மைதான்: ஒரு வரிசை என்பது ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும், இது 2 ஆம் தேதி முதல் தொடங்கும் எந்தவொரு உறுப்பினர்களுக்கும் இந்த சமத்துவம் உண்மையாக இருந்தால் மட்டுமே.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்த நான்கு எண்களுக்கும் சிறப்பியல்பு சொத்து ஒரு + am \u003d ak + al சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படலாம், n + m \u003d k + l (m, n, k என்பது முன்னேற்றத்தின் எண்கள்) என்றால்.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தில், தேவையான எந்த (Nth) காலத்தையும் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

எடுத்துக்காட்டாக: எண்கணித முன்னேற்றத்தில் முதல் சொல் (அ 1) கொடுக்கப்பட்டு மூன்றிற்கு சமம், மற்றும் வேறுபாடு (ஈ) நான்கிற்கு சமம். இந்த முன்னேற்றத்தின் நாற்பத்தைந்தாவது காலத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். a45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

ஒரு \u003d ak + d (n - k) என்ற சூத்திரம், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது சொல்லை அதன் எந்தவொரு kth காலத்தின் மூலமும் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் தொகை (இறுதி முன்னேற்றத்தின் 1 வது n உறுப்பினர்களைக் குறிக்கிறது) பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

Sn \u003d (a1 + an) n / 2.

முதல் காலமும் அறியப்பட்டால், மற்றொரு சூத்திரம் கணக்கீடுக்கு வசதியானது:

Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

N உறுப்பினர்களைக் கொண்ட ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தொகை பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகிறது:

கணக்கீடுகளுக்கான சூத்திரங்களின் தேர்வு சிக்கல்களின் நிலைமைகள் மற்றும் ஆரம்ப தரவுகளைப் பொறுத்தது.

1,2,3, ..., n, ... போன்ற எந்த எண்களின் இயல்பான தொடர் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எளிய எடுத்துக்காட்டு.

எண்கணித முன்னேற்றத்துடன் கூடுதலாக, ஒரு வடிவியல் ஒன்றும் உள்ளது, இது அதன் சொந்த பண்புகளையும் பண்புகளையும் கொண்டுள்ளது.

ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணும் இருந்தால் n உண்மையான எண்ணுடன் பொருந்தவும் ஒரு , பின்னர் அது கொடுக்கப்பட்டதாக அவர்கள் கூறுகிறார்கள் எண் வரிசை :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ஒரு , . . . .

எனவே, ஒரு எண் வரிசை என்பது இயற்கையான வாதத்தின் செயல்பாடாகும்.

எண் a 1 அழைக்கப்படுகின்றன வரிசையின் முதல் உறுப்பினர் , எண் a 2 — வரிசையில் இரண்டாவது சொல் , எண் a 3 — மூன்றாவது முதலியன எண் ஒரு அழைக்கப்படுகின்றன வரிசையின் n வது சொல் , மற்றும் இயற்கை எண் n — அவரது எண் .

இரண்டு அண்டை உறுப்பினர்களில் ஒரு மற்றும் ஒரு +1 வரிசை உறுப்பினர் ஒரு +1 அழைக்கப்படுகின்றன அடுத்தடுத்த (நோக்கி ஒரு ), மற்றும் ஒரு — முந்தையது (நோக்கி ஒரு +1 ).

ஒரு வரிசையைக் குறிப்பிட, எந்த எண்ணுடன் வரிசையின் உறுப்பினரைக் கண்டுபிடிக்க உங்களை அனுமதிக்கும் ஒரு முறையை நீங்கள் குறிப்பிட வேண்டும்.

பெரும்பாலும் வரிசை வழங்கப்படுகிறது nth கால சூத்திரங்கள் அதாவது, ஒரு வரிசையின் உறுப்பினரை அதன் எண்ணால் தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கும் ஒரு சூத்திரம்.

உதாரணமாக,

நேர்மறை ஒற்றைப்படை எண்களின் வரிசையை சூத்திரத்தால் குறிப்பிடலாம்

ஒரு= 2n -1,

மற்றும் மாற்று வரிசை 1 மற்றும் -1 - சூத்திரத்தால்

b n = (-1) n +1 . ◄

வரிசையை தீர்மானிக்க முடியும் சுழல்நிலை சூத்திரம், அதாவது, முந்தைய (ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) உறுப்பினர்கள் மூலம் சிலவற்றிலிருந்து தொடங்கி, வரிசையின் எந்தவொரு உறுப்பினரையும் வெளிப்படுத்தும் ஒரு சூத்திரம்.

உதாரணமாக,

ஒரு என்றால் a 1 = 1 , மற்றும் ஒரு +1 = ஒரு + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

என்றால் ஒரு a 1= 1, a 2 = 1, ஒரு +2 = ஒரு + ஒரு +1 , எண் வரிசையின் முதல் ஏழு உறுப்பினர்கள் பின்வருமாறு அமைக்கப்படுகிறார்கள்:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

ஒரு 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + ஒரு 3 = 1 + 2 = 3,

ஒரு 5 = ஒரு 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

வரிசைமுறைகள் இருக்கலாம் இறுதி மற்றும் முடிவற்றது .

வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது இறுதி அது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தால். வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது முடிவற்றது அதில் எண்ணற்ற உறுப்பினர்கள் இருந்தால்.

உதாரணமாக,

இரண்டு இலக்க இயற்கை எண்களின் வரிசை:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

இறுதி.

ப்ரைம்களின் வரிசை:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

முடிவற்றது. ◄

வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது அதிகரித்து வருகிறது அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது முதல் தொடங்கி, முந்தைய உறுப்பினர்களை விட அதிகமாக இருந்தால்.

வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது குறைந்து வருகிறது அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது முதல் தொடங்கி, முந்தைய உறுப்பினரை விட குறைவாக இருந்தால்.

உதாரணமாக,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - அதிகரிக்கும் வரிசை;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n, . . . - ஒரு இறங்கு வரிசை. ◄

அதிகரிக்கும் எண்ணிக்கையுடன் உறுப்புகள் குறையாத ஒரு வரிசை, அல்லது, மாறாக, அதிகரிக்காதது என அழைக்கப்படுகிறது சலிப்பான வரிசை .

மோனோடோனிக் காட்சிகள், குறிப்பாக, ஏறும் வரிசைகள் மற்றும் இறங்கு வரிசைகள்.

எண்கணித முன்னேற்றம்

எண்கணித முன்னேற்றம் ஒரு வரிசை என அழைக்கப்படுகிறது, இதில் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவதாக தொடங்கி, முந்தையவருக்கு சமமாக இருக்கும், அதே எண் சேர்க்கப்படும்.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , ஒரு, . . .

எந்தவொரு இயற்கை எண்ணிற்கும் இருந்தால் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும் n நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது:

ஒரு +1 = ஒரு + d,

எங்கே d - சில எண்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அடுத்த மற்றும் முந்தைய உறுப்பினர்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு எப்போதும் நிலையானது:

a 2 - a 1 = ஒரு 3 - a 2 = . . . = ஒரு +1 - ஒரு = d.

எண் d அழைக்கப்படுகின்றன எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு.

எண்கணித முன்னேற்றத்தை அமைக்க, அதன் முதல் காலத்தையும் வேறுபாட்டையும் குறிக்க போதுமானது.

உதாரணமாக,

ஒரு என்றால் a 1 = 3, d = 4 , பின்னர் வரிசையின் முதல் ஐந்து உறுப்பினர்கள் பின்வருமாறு காணப்படுகிறார்கள்:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

ஒரு 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = ஒரு 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

முதல் காலத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு a 1 மற்றும் வித்தியாசம் d அவள் n

ஒரு = a 1 + (n- 1)d.

உதாரணமாக,

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முப்பதாவது காலத்தைக் கண்டறியவும்

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

ஒரு 30 = a 1 + (30 - 1)d \u003d1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

ஒரு= a 1 + (n- 1)d,

ஒரு +1 = a 1 + nd,

பின்னர் வெளிப்படையாக

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களின் எண்கணித சராசரிக்கு சமம்.

a, b மற்றும் c எண்கள் சில எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான உறுப்பினர்களாக இருந்தால், அவற்றில் ஒன்று மற்ற இரண்டின் எண்கணித சராசரிக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே.

உதாரணமாக,

ஒரு = 2n- 7 , ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம்.

மேற்கண்ட கூற்றைப் பயன்படுத்துவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

ஒரு = 2n- 7,

a n-1 = 2(n -1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n +1) - 7 = 2n- 5.

இதன் விளைவாக,

◄

அதை கவனியுங்கள் n எண்கணித முன்னேற்றத்தின் மூன்றாவது காலத்தை மட்டும் காண முடியாது a 1 , ஆனால் முந்தையது ஒரு கே

ஒரு = ஒரு கே + (n- கே)d.

உதாரணமாக,

க்கு a 5 எழுதலாம்

ஒரு 5 = a 1 + 4d,

ஒரு 5 = a 2 + 3d,

ஒரு 5 = ஒரு 3 + 2d,

ஒரு 5 = a 4 + d. ◄

ஒரு = a n-k + கே.டி.,

ஒரு = a n + k - கே.டி.,

பின்னர் வெளிப்படையாக

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் எந்தவொரு உறுப்பினரும், இரண்டிலிருந்து தொடங்கி, இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் பாதி தொகைக்கு சமமானதாகும்.

கூடுதலாக, எந்த எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கும், சமத்துவம் உண்மை:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

உதாரணமாக,

எண்கணித முன்னேற்றத்தில்

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = ஒரு 10 = ஒரு 3 + 7d\u003d 7 + 7 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) ஒரு 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 \u003d a 5 + a 9, ஏனெனில்

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

எஸ் என்= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ ஒரு,

முதலாவதாக n எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் சொற்களின் எண்ணிக்கையால் தீவிர சொற்களின் அரை தொகையின் தயாரிப்புக்கு சமம்:

எனவே, குறிப்பாக, விதிமுறைகளைச் சேர்ப்பது அவசியமானால் அது பின்வருமாறு

ஒரு கே, ஒரு கே +1 , . . . , ஒரு,

முந்தைய சூத்திரம் அதன் கட்டமைப்பைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது:

உதாரணமாக,

எண்கணித முன்னேற்றத்தில் 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

எஸ் 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = எஸ் 10 - எஸ் 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் வழங்கப்பட்டால், மதிப்புகள் a 1 , ஒரு, d, n மற்றும்எஸ் n இரண்டு சூத்திரங்களால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது:

எனவே, இந்த மூன்று அளவுகளின் மதிப்புகள் வழங்கப்பட்டால், மற்ற இரண்டு அளவுகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக இணைக்கப்படுகின்றன.

எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒரு மோனோடோனிக் வரிசை. இதில்:

• ஒரு என்றால் d > 0 , பின்னர் அது அதிகரித்து வருகிறது;
• ஒரு என்றால் d < 0 , பின்னர் அது குறைந்து வருகிறது;
• ஒரு என்றால் d = 0 , பின்னர் வரிசை நிலையானதாக இருக்கும்.

வடிவியல் முன்னேற்றம்

வடிவியல் முன்னேற்றம் ஒரு வரிசை என அழைக்கப்படுகிறது, இதில் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டாவது முதல் தொடங்கி, முந்தையதைச் சமமாக, ஒரே எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

எந்த இயற்கை எண்ணிற்கும் இருந்தால் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் n நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது:

b n +1 = b n · q,

எங்கே q ≠ 0 - சில எண்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் அடுத்த உறுப்பினரின் விகிதம் முந்தையவருக்கு ஒரு நிலையான எண்:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

எண் q அழைக்கப்படுகின்றன வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் வகுத்தல்.

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தை அமைக்க, அதன் முதல் காலத்தையும் வகுப்பையும் குறிக்க போதுமானது.

உதாரணமாக,

ஒரு என்றால் b 1 = 1, q = -3 , பின்னர் வரிசையின் முதல் ஐந்து உறுப்பினர்கள் பின்வருமாறு காணப்படுகிறார்கள்:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 மற்றும் வகுத்தல் q அவள் n இந்த வார்த்தையை சூத்திரத்தால் காணலாம்:

b n = b 1 · q n -1 .

உதாரணமாக,

வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஏழாவது காலத்தைக் கண்டறியவும் 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

பின்னர் வெளிப்படையாக

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும், இரண்டிலிருந்து தொடங்கி, முந்தைய மற்றும் அடுத்தடுத்த உறுப்பினர்களின் வடிவியல் சராசரிக்கு (விகிதாசார) சமம்.

உரையாடல் அறிக்கையும் உண்மை என்பதால், பின்வரும் அறிக்கை பின்வருமாறு:

a, b மற்றும் c எண்கள் சில வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான உறுப்பினர்களாக இருந்தால், அவற்றில் ஒன்றின் சதுரம் மற்ற இரண்டின் தயாரிப்புக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதாவது எண்களில் ஒன்று மற்ற இரண்டின் வடிவியல் சராசரி.

உதாரணமாக,

சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட வரிசை என்பதை நிரூபிப்போம் b n \u003d -3 2 n , ஒரு அதிவேக முன்னேற்றம். மேற்கண்ட கூற்றைப் பயன்படுத்துவோம். எங்களிடம் உள்ளது:

b n \u003d -3 2 n,

b n -1 \u003d -3 2 n -1 ,

b n +1 \u003d -3 2 n +1 .

இதன் விளைவாக,

b n 2 \u003d (-3 2 n) 2 \u003d (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

இது தேவையான அறிக்கையை நிரூபிக்கிறது. ◄

அதை கவனியுங்கள் n வடிவியல் முன்னேற்றத்தின்-வது காலத்தை மட்டுமல்ல b 1 , ஆனால் முந்தைய எந்த காலமும் b கே , இதற்கு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால் போதும்

b n = b கே · q n - கே.

உதாரணமாக,

க்கு b 5 எழுதலாம்

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b கே · q n - கே,

b n = b n - கே · q கே,

பின்னர் வெளிப்படையாக

b n 2 = b n - கே· b n + கே

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் எந்தவொரு உறுப்பினரின் சதுரமும், இரண்டிலிருந்து தொடங்கி, இந்த முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் தயாரிப்புக்கு சமமானதாகும்.

கூடுதலாக, எந்த வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கும், சமத்துவம் உண்மை:

b மீ· b n= b கே· b எல்,

மீ+ n= கே+ l.

உதாரணமாக,

அதிவேகமாக

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , ஏனெனில்

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

எஸ் என்= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

முதலாவதாக n வகுப்போடு ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் q ≠ 0 சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

பிறகு எப்போது q = 1 - சூத்திரத்தின்படி

எஸ் என்= nb 1

நீங்கள் விதிமுறைகளை தொகுக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்க

b கே, b கே +1 , . . . , b n,

சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

உதாரணமாக,

அதிவேகமாக 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

எஸ் 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = எஸ் 10 - எஸ் 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றம் வழங்கப்பட்டால், மதிப்புகள் b 1 , b n, q, n மற்றும் எஸ் என் இரண்டு சூத்திரங்களால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது:

ஆகையால், இந்த மூன்று அளவுகளின் மதிப்புகள் வழங்கப்பட்டால், மற்ற இரண்டு அளவுகளின் தொடர்புடைய மதிப்புகள் இந்த சூத்திரங்களிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன, இரண்டு அறியப்படாத இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்பாக இணைக்கப்படுகின்றன.

முதல் காலத்துடன் ஒரு வடிவியல் முன்னேற்றத்திற்கு b 1 மற்றும் வகுத்தல் q பின்வரும் மோனோடோனிசிட்டி பண்புகள் :

• பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் முன்னேற்றம் ஏறும்:

b 1 > 0 மற்றும் q> 1;

b 1 < 0 மற்றும் 0 < q< 1;

• பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால் முன்னேற்றம் குறைகிறது:

b 1 > 0 மற்றும் 0 < q< 1;

b 1 < 0 மற்றும் q> 1.

என்றால் ஒரு q< 0 , பின்னர் வடிவியல் முன்னேற்றம் மாறி மாறி வருகிறது: அதன் ஒற்றைப்படை எண் கொண்ட உறுப்பினர்கள் அதன் முதல் காலத்தின் அதே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளனர், மேலும் சம எண்ணிக்கையிலான சொற்களுக்கு எதிர் அடையாளம் உள்ளது. மாற்று வடிவியல் முன்னேற்றம் மோனோடோனிக் அல்ல என்பது தெளிவாகிறது.

முதல்வரின் வேலை n வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களை சூத்திரத்தால் கணக்கிடலாம்:

ப n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

உதாரணமாக,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எண்ணற்றதாகக் குறைக்கிறது

வடிவியல் முன்னேற்றத்தை எண்ணற்றதாகக் குறைக்கிறது எல்லையற்ற வடிவியல் முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதன் வகுப்பினரின் மட்டு குறைவாக உள்ளது 1 , அதாவது

|q| < 1 .

எண்ணற்ற குறைந்து வரும் வடிவியல் முன்னேற்றம் குறைந்து வரும் வரிசையாக இருக்காது என்பதை நினைவில் கொள்க. இது வழக்குக்கு பொருந்துகிறது

1 < q< 0 .

அத்தகைய ஒரு வகுப்பால், வரிசை மாறி மாறி வருகிறது. உதாரணமாக,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

எண்ணற்ற குறைந்து வரும் வடிவியல் முன்னேற்றத்தின் தொகை முதல் தொகையின் தொகை n எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் n ... இந்த எண் எப்போதும் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

உதாரணமாக,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

எண்கணித மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்களுக்கு இடையிலான உறவு

எண்கணித மற்றும் வடிவியல் முன்னேற்றங்கள் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d பிறகு

b அ 1 , b அ 2 , b அ 3 , . . . b d .

உதாரணமாக,

1, 3, 5, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் 2 மற்றும்

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - வகுப்போடு வடிவியல் முன்னேற்றம் 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - வகுப்போடு வடிவியல் முன்னேற்றம் q பிறகு

ஒரு ப 1 ஐ பதிவு செய்யவும், ஒரு பி 2 ஐ பதிவு செய்யவும், ஒரு பி 3 ஐ பதிவு செய்யவும், . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் ஒரு பதிவுq .

உதாரணமாக,

2, 12, 72, . . . - வகுப்போடு வடிவியல் முன்னேற்றம் 6 மற்றும்

எல்ஜி 2, எல்ஜி 12, எல்ஜி 72, . . . - வித்தியாசத்துடன் எண்கணித முன்னேற்றம் எல்ஜி 6 . ◄

பாடம் வகை: புதிய பொருள் கற்றல்.

பாடம் நோக்கங்கள்:

• எண்கணித முன்னேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும் பிரச்சினைகள் குறித்த மாணவர்களின் கருத்துக்களை விரிவுபடுத்துதல் மற்றும் ஆழப்படுத்துதல்; எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n உறுப்பினர்களின் தொகைக்கு ஒரு சூத்திரத்தைப் பெறும்போது மாணவர்களின் தேடல் செயல்பாட்டின் அமைப்பு;
• புதிய அறிவை சுயாதீனமாகப் பெறுவதற்கான திறன்களின் வளர்ச்சி, ஏற்கனவே பெற்ற அறிவைப் பயன்படுத்தி நிர்ணயிக்கப்பட்ட பணியை அடைய;
• பெறப்பட்ட உண்மைகளை பொதுமைப்படுத்த ஆசை மற்றும் தேவையின் வளர்ச்சி, சுதந்திரத்தின் வளர்ச்சி.

பணிகள்:

• "எண்கணித முன்னேற்றம்" என்ற தலைப்பில் இருக்கும் அறிவை பொதுமைப்படுத்தவும் முறைப்படுத்தவும்;
• எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்களைப் பெறுங்கள்;
• பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பெறப்பட்ட சூத்திரங்களை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கற்பிக்க;
• ஒரு எண் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியும் போது செயல்களின் வரிசையில் மாணவர்களின் கவனத்தை ஈர்க்க.

உபகரணங்கள்:

• குழுக்கள் மற்றும் ஜோடிகளில் பணியாற்றுவதற்கான பணிகள் கொண்ட அட்டைகள்;
• மதிப்பீட்டு தாள்;
• விளக்கக்காட்சி "எண்கணித முன்னேற்றம்".

I. அடிப்படை அறிவைப் புதுப்பித்தல்.

1. ஜோடிகளில் சுயாதீனமான வேலை.

1 வது விருப்பம்:

எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு ஒரு வரையறை கொடுங்கள். எண்கணித முன்னேற்றத்தை வரையறுக்கும் தொடர்ச்சியான சூத்திரத்தை எழுதுங்கள். எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு ஹலோ உதாரணம் மற்றும் அதன் வேறுபாட்டைக் குறிக்கவும்.

2 வது விருப்பம்:

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தை எழுதுங்கள். எண்கணித முன்னேற்றத்தின் 100 வது காலத்தைக் கண்டறியவும் ( ஒரு}: 2, 5, 8 …
இந்த நேரத்தில், குழுவின் பின்புறத்தில் உள்ள இரண்டு மாணவர்கள் ஒரே கேள்விகளுக்கான பதில்களைத் தயாரிக்கிறார்கள்.
குழுவிற்கு எதிரான கூட்டாளியின் பணியை மாணவர்கள் மதிப்பீடு செய்கிறார்கள். (விடைத்தாள்கள் ஒப்படைக்கப்படுகின்றன).

2. விளையாட்டு தருணம்.

உடற்பயிற்சி 1.

ஆசிரியர். நான் சில எண்கணித முன்னேற்றத்தை கருத்தில் கொண்டுள்ளேன். என்னிடம் இரண்டு கேள்விகளைக் கேளுங்கள், இதன் மூலம் பதில்களுக்குப் பிறகு இந்த முன்னேற்றத்தின் 7 வது சொல்லை விரைவாக பெயரிடலாம். (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

மாணவர் கேள்விகள்.

1. முன்னேற்றத்தில் ஆறாவது சொல் என்ன, வித்தியாசம் என்ன?
2. முன்னேற்றத்தில் எட்டாவது சொல் என்ன, வித்தியாசம் என்ன?

மேலும் கேள்விகள் ஏதும் இல்லை என்றால், ஆசிரியர் அவற்றைத் தூண்டலாம் - d (வித்தியாசம்) மீதான “தடை”, அதாவது வித்தியாசம் என்ன என்று கேட்க அனுமதிக்கப்படவில்லை. நீங்கள் கேள்விகளைக் கேட்கலாம்: முன்னேற்றத்தின் 6 வது சொல் என்ன, முன்னேற்றத்தின் 8 வது சொல் என்ன?

பணி 2.

போர்டில் 20 எண்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

ஆசிரியர் கரும்பலகையில் தனது முதுகில் நிற்கிறார். மாணவர்கள் எண்ணின் எண்ணை அழைக்கிறார்கள், ஆசிரியர் உடனடியாக எண்ணை அழைக்கிறார். நான் அதை எப்படி செய்வது என்று விளக்குங்கள்?

ஆசிரியர் n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்கிறார் a n \u003d 3n - 2மற்றும், n இன் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், தொடர்புடைய மதிப்புகளைக் காணலாம் ஒரு.

II. கல்வி சிக்கலின் அறிக்கை.

எகிப்திய பாபிரியில் காணப்படும் கிமு 2 மில்லினியம் காலத்திற்கு முந்தைய ஒரு பழங்கால சிக்கலை தீர்க்க நான் முன்மொழிகிறேன்.

ஒரு பணி: "இது உங்களுக்குச் சொல்லப்படட்டும்: 10 நபர்களுக்கு இடையில் 10 அளவிலான பார்லியைப் பிரிக்கவும், ஒவ்வொரு நபருக்கும் அவரது அண்டை வீட்டிற்கும் உள்ள வித்தியாசம் 1/8 அளவிற்கு சமம்".

• இந்த பணி எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தலைப்புடன் எவ்வாறு தொடர்புடையது? (ஒவ்வொருவருக்கும் ஒரு அளவின் 1/8 அதிகமாக கிடைக்கிறது, அதாவது d \u003d 1/8, 10 நபர்கள், அதாவது n \u003d 10 என்ற வித்தியாசம்.)
• எண் 10 என்றால் என்ன என்று நினைக்கிறீர்கள்? (முன்னேற்றத்தின் அனைத்து உறுப்பினர்களின் தொகை.)
• பணியின் நிலைக்கு ஏற்ப பார்லியைப் பிரிப்பதை எளிதாகவும் எளிமையாகவும் செய்ய நீங்கள் வேறு என்ன தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்? (முன்னேற்றத்தின் முதல் சொல்.)

பாடம் நோக்கம் - முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்களின் தொகை, அவற்றின் எண்ணிக்கை, முதல் சொல் மற்றும் வேறுபாடு ஆகியவற்றின் சார்புநிலையைப் பெறுதல் மற்றும் பண்டைய காலங்களில் பிரச்சினை சரியாக தீர்க்கப்பட்டதா என்பதைச் சரிபார்க்கிறது.

சூத்திரத்தின் முடிவை எடுப்பதற்கு முன், பண்டைய எகிப்தியர்கள் எவ்வாறு பிரச்சினையை தீர்த்தார்கள் என்று பார்ப்போம்.

அவர்கள் அதை பின்வருமாறு தீர்த்தனர்:

1) 10 நடவடிக்கைகள்: 10 \u003d 1 நடவடிக்கை - சராசரி பங்கு;
2) 1 நடவடிக்கை ∙ \u003d 2 நடவடிக்கைகள் - இரட்டிப்பாகும் சராசரி பகிர்.
இரட்டிப்பாகிறது சராசரி பங்கு என்பது 5 மற்றும் 6 வது நபர்களின் பங்குகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்.
3) 2 நடவடிக்கைகள் - 1/8 நடவடிக்கைகள் \u003d 1 7/8 நடவடிக்கைகள் - ஐந்தாவது நபரின் இரு மடங்கு பங்கு.
4) 1 7/8: 2 \u003d 5/16 - ஐந்தில் பங்கு; மேலும், முந்தைய மற்றும் அடுத்த நபரின் பங்கை நீங்கள் காணலாம்.

நாம் வரிசை பெறுகிறோம்:

III. பிரச்சினைக்கு தீர்வு.

1. குழுக்களில் பணிபுரிதல்

குழு I: தொடர்ச்சியான 20 இயற்கை எண்களின் தொகையைக் கண்டறியவும்: எஸ் 20 \u003d (20 + 1) 10 \u003d 210.

பொதுவாக

II குழு: 1 முதல் 100 வரையிலான இயற்கை எண்களின் தொகையைக் கண்டறியவும் (தி லெஜண்ட் ஆஃப் தி லிட்டில் காஸ்).

எஸ் 100 \u003d (1 + 100) 50 \u003d 5050

வெளியீடு:

III குழு: 1 முதல் 21 வரையிலான இயற்கை எண்களின் தொகையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: 1 + 21 \u003d 2 + 20 \u003d 3 + 19 \u003d 4 + 18 ...

வெளியீடு:

IV குழு:1 முதல் 101 வரையிலான இயற்கை எண்களின் தொகையைக் கண்டறியவும்.

வெளியீடு:

கருதப்படும் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான இந்த முறை “காஸ் முறை” என்று அழைக்கப்படுகிறது.

2. ஒவ்வொரு குழுவும் குழுவில் உள்ள பிரச்சினைக்கு ஒரு தீர்வை முன்வைக்கிறது.

3. தன்னிச்சையான எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கான முன்மொழியப்பட்ட தீர்வுகளின் பொதுமைப்படுத்தல்:

a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

இதேபோன்று பகுத்தறிவதன் மூலம் இந்த தொகையை கண்டுபிடிப்போம்:

4. நாங்கள் பணியைத் தீர்த்துள்ளோமா? (ஆம்.)

IV. சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பெறப்பட்ட சூத்திரங்களின் முதன்மை புரிதல் மற்றும் பயன்பாடு.

1. ஒரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பழைய சிக்கலுக்கான தீர்வைச் சரிபார்க்கிறது.

2. பல்வேறு சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் சூத்திரத்தின் பயன்பாடு.

3. சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறனை உருவாக்குவதற்கான பயிற்சிகள்.

அ) எண் 613

கொடுக்கப்பட்டவை: ( ஒரு) -எண்கணித முன்னேற்றம்;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

கண்டுபிடிக்க: எஸ் 1500

முடிவு: , a 1 \u003d 1, ஒரு 1500 \u003d 1500,

ஆ) கொடுக்கப்பட்டவை: ( ஒரு) -எண்கணித முன்னேற்றம்;
(a n): 1, 2, 3, ...
எஸ் n \u003d 210

கண்டுபிடிக்க: n
முடிவு:

வி. பரஸ்பர சரிபார்ப்புடன் சுயாதீனமான பணி.

டெனிஸ் கூரியராக வேலைக்குச் சென்றார். முதல் மாதத்தில், அவரது சம்பளம் 200 ரூபிள், ஒவ்வொரு அடுத்த மாதத்திலும் அது 30 ரூபிள் அதிகரித்தது. ஒரு வருடத்தில் அவர் எவ்வளவு சம்பாதித்தார்?

கொடுக்கப்பட்டவை: ( ஒரு) -எண்கணித முன்னேற்றம்;
a 1 \u003d 200, d \u003d 30, n \u003d 12
கண்டுபிடிக்க: எஸ் 12
முடிவு:

பதில்: ஒரு வருடத்தில் 4,380 ரூபிள் டெனிஸால் பெறப்பட்டது.

Vi. வீட்டுப்பாடம் விளக்கம்.

1. பக். 4.3 - சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றலைக் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.
2. №№ 585, 623 .
3. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படும் ஒரு சிக்கலை உருவாக்கவும்.

Vii. பாடத்தின் சுருக்கம்.

1. மதிப்பீட்டு தாள்

2. வாக்கியங்களைத் தொடரவும்

• இன்று நான் கற்றுக்கொண்ட பாடத்தில் ...
• கற்றுக்கொண்ட சூத்திரங்கள் ...
• நான் நினைக்கிறேன்…

3. 1 முதல் 500 வரையிலான எண்களின் தொகையை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? இந்த சிக்கலை தீர்க்க நீங்கள் எந்த முறையைப் பயன்படுத்துவீர்கள்?

குறிப்புகளின் பட்டியல்.

1. இயற்கணிதம், 9 ஆம் வகுப்பு. கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பாடநூல். எட். ஜி.வி. டோரோஃபீவா. எம் .: "கல்வி", 2009.

I. வி. யாகோவ்லேவ் | கணித பொருட்கள் | MathUs.ru

எண்கணித முன்னேற்றம்

எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒரு சிறப்பு வகை வரிசை. எனவே, ஒரு எண்கணித (பின்னர் வடிவியல்) முன்னேற்றத்தை வரையறுப்பதற்கு முன், ஒரு எண் வரிசையின் முக்கியமான கருத்தை நாம் சுருக்கமாக விவாதிக்க வேண்டும்.

வரிசை

திரையில் ஒரு சாதனத்தை கற்பனை செய்து பாருங்கள், அதில் சில எண்கள் ஒன்றன் பின் ஒன்றாக காட்டப்படும். 2 என்று சொல்லலாம்; 7; பதின்மூன்று; ஒன்று; 6; 0; 3; ::: இந்த எண்களின் தொகுப்பு ஒரு வரிசையின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

வரையறை. ஒரு எண் வரிசை என்பது எண்களின் தொகுப்பாகும், இதில் ஒவ்வொரு எண்ணிற்கும் ஒரு தனித்துவமான எண்ணை ஒதுக்க முடியும் (அதாவது, ஒரு இயற்கை எண்ணை இணைக்க) 1. எண் n என்பது வரிசையின் n வது உறுப்பினர் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எனவே, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், முதல் எண்ணுக்கு எண் 2 உள்ளது, இது வரிசையின் முதல் உறுப்பினர், இதை a1 எனக் குறிக்கலாம்; ஐந்தாம் எண் 6 ஐக் கொண்டுள்ளது, இது வரிசையில் ஐந்தாவது சொல், இது a5 என குறிக்கப்படலாம். பொதுவாக, வரிசையில் உள்ள n வது சொல் ஒரு (அல்லது bn, cn, முதலியன) குறிக்கப்படுகிறது.

வரிசையின் n-th காலத்தை சில சூத்திரங்களால் குறிப்பிடும்போது நிலைமை மிகவும் வசதியானது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு \u003d 2n 3 சூத்திரம் வரிசையை வரையறுக்கிறது: 1; ஒன்று; 3; ஐந்து; 7; ::: ஒரு \u003d (1) n சூத்திரம் வரிசையை வரையறுக்கிறது: 1; ஒன்று; ஒன்று; ஒன்று; :::

எண்களின் ஒவ்வொரு தொகுப்பும் ஒரு வரிசை அல்ல. எனவே, ஒரு பிரிவு ஒரு வரிசை அல்ல; இது மறுபெயரிட வேண்டிய "அதிகமான" எண்களைக் கொண்டுள்ளது. அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பும் ஒரு வரிசை அல்ல. இந்த உண்மைகள் கணித பகுப்பாய்வின் போக்கில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளன.

எண்கணித முன்னேற்றம்: அடிப்படை வரையறைகள்

இப்போது ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை வரையறுக்க நாங்கள் தயாராக உள்ளோம்.

வரையறை. எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது ஒரு வரிசை, இதன் ஒவ்வொரு காலமும் (இரண்டாவது முதல் தொடங்கி) முந்தைய காலத்தின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் சில நிலையான எண் (எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு என அழைக்கப்படுகிறது) க்கு சமம்.

உதாரணமாக, வரிசை 2; ஐந்து; 8; பதினொன்று; ::: என்பது முதல் சொல் 2 மற்றும் வேறுபாட்டைக் கொண்ட ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும் 3. வரிசை 7; 2; 3; 8; ::: என்பது முதல் சொல் 7 மற்றும் வேறுபாட்டைக் கொண்ட ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும் 5. வரிசை 3; 3; 3; ::: என்பது பூஜ்ஜிய வேறுபாட்டைக் கொண்ட எண்கணித முன்னேற்றமாகும்.

சமமான வரையறை: ஒரு + 1 ஒரு வித்தியாசம் ஒரு நிலையான மதிப்பு (n இலிருந்து சுயாதீனமாக இருந்தால்) ஒரு வரிசையை எண்கணித முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் அதன் வேறுபாடு நேர்மறையாக இருந்தால் அதிகரிப்பது என்றும் அதன் வேறுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால் குறைவது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

[1] இங்கே மேலும் லாகோனிக் வரையறை உள்ளது: ஒரு வரிசை என்பது இயற்கை எண்களின் தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடு. எடுத்துக்காட்டாக, உண்மையான எண்களின் வரிசை f: N! ஆர்.

இயல்பாக, வரிசைகள் எல்லையற்றதாகக் கருதப்படுகின்றன, அதாவது எண்ணற்ற எண்களைக் கொண்டுள்ளது. ஆனால் வரையறுக்கப்பட்ட காட்சிகளையும் கருத்தில் கொள்ள யாரும் கவலைப்படுவதில்லை; உண்மையில், எந்த வரையறுக்கப்பட்ட எண்களின் தொகுப்பையும் ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை என்று அழைக்கலாம். உதாரணமாக, இறுதி வரிசை 1; 2; 3; நான்கு; 5 ஐந்து எண்களைக் கொண்டுள்ளது.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது கால சூத்திரம்

எண்கணித முன்னேற்றம் இரண்டு எண்களால் முழுமையாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்பதை புரிந்துகொள்வது எளிது: முதல் சொல் மற்றும் வேறுபாடு. எனவே, கேள்வி எழுகிறது: எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தன்னிச்சையான உறுப்பினரைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி, முதல் காலத்தையும் வித்தியாசத்தையும் அறிந்து கொள்வது எப்படி?

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் n வது காலத்திற்கு தேவையான சூத்திரத்தைப் பெறுவது கடினம் அல்ல. ஒரு

சிக்கல் 1. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் 2; ஐந்து; 8; பதினொன்று; ::: n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தைக் கண்டுபிடித்து நூறாவது காலத்தைக் கணக்கிடுங்கள்.

முடிவு. சூத்திரம் (1) படி, எங்களிடம்:

an \u003d 2 + 3 (n 1) \u003d 3n 1:

a100 \u003d 3 100 1 \u003d 299:

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொத்து மற்றும் அடையாளம்

எண்கணித முன்னேற்ற சொத்து. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் எந்தவொருவருக்கும்

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் (இரண்டிலிருந்து தொடங்கி) அண்டை உறுப்பினர்களின் எண்கணித சராசரி.

தேவைக்கேற்ப.

மேலும் பொதுவாக, எண்கணித முன்னேற்றம் ஒரு சமத்துவத்தை திருப்தி செய்கிறது

a n \u003d a n k + a n + k

எந்த n\u003e 2 மற்றும் எந்த இயற்கை k க்கும்< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

சூத்திரம் (2) அவசியமானது மட்டுமல்ல, ஒரு வரிசைக்கு எண்கணித முன்னேற்றமாக இருக்க போதுமான நிபந்தனையும் இது மாறிவிடும்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அடையாளம். எல்லா n\u003e 2 க்கும் சமத்துவம் (2) வைத்திருந்தால், ஒரு வரிசை ஒரு எண்கணித முன்னேற்றமாகும்.

ஆதாரம். சூத்திரத்தை (2) பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

a na n 1 \u003d a n + 1a n:

ஒரு + 1 ஒரு வித்தியாசம் n ஐ சார்ந்து இல்லை என்பதை இது காட்டுகிறது, மேலும் இதன் பொருள் ஒரு வரிசை ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொத்து மற்றும் அம்சத்தை ஒற்றை அறிக்கையாக வடிவமைக்க முடியும்; வசதிக்காக, நாங்கள் இதை மூன்று எண்களுக்குச் செய்வோம் (இதுதான் பெரும்பாலும் சிக்கல்களில் ஏற்படும் நிலைமை).

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தன்மை. A, b, c ஆகிய மூன்று எண்கள் 2b \u003d a + c ஆக இருந்தால் மட்டுமே எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன.

சிக்கல் 2. (மாஸ்கோ மாநில பல்கலைக்கழகம், பொருளாதார பீடம், 2007) சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வரிசையில் 8x, 3 x2 மற்றும் 4 ஆகிய மூன்று எண்கள் குறைந்து வரும் எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன. X ஐக் கண்டுபிடித்து இந்த முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டைக் குறிக்கவும்.

முடிவு. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் சொத்து மூலம், எங்களிடம்:

2 (3 x2) \u003d 8x 4, 2x2 + 8x 10 \u003d 0, x2 + 4x 5 \u003d 0, x \u003d 1; x \u003d 5:

X \u003d 1 எனில், 8, 2, 4 என்ற வித்தியாசத்துடன் குறைந்து வரும் முன்னேற்றம் 6 ஐப் பெறுகிறோம். X \u003d 5 என்றால், நாம் அதிகரிக்கும் முன்னேற்றம் 40, 22, 4; இந்த வழக்கு நல்லதல்ல.

பதில்: x \u003d 1, வித்தியாசம் 6 ஆகும்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் n சொற்களின் தொகை

1 முதல் 100 வரையிலான எண்களின் தொகையைக் கண்டுபிடிக்க ஆசிரியர் ஒரு முறை குழந்தைகளிடம் கூறி, அமைதியாக செய்தித்தாளைப் படிக்க உட்கார்ந்ததாக புராணம் கூறுகிறது. இருப்பினும், சில நிமிடங்களுக்குள், ஒரு சிறுவன் தான் பிரச்சினையைத் தீர்த்ததாகக் கூறினார். இது 9 வயதான கார்ல் பிரீட்ரிக் காஸ், பின்னர் வரலாற்றில் மிகப் பெரிய கணிதவியலாளர்களில் ஒருவராக இருந்தார்.

லிட்டில் காஸின் யோசனை இதுதான். இருக்கட்டும்

எஸ் \u003d 1 + 2 + 3 + ::: + 98 + 99 + 100:

இந்த தொகையை தலைகீழ் வரிசையில் எழுதுவோம்:

எஸ் \u003d 100 + 99 + 98 + ::: + 3 + 2 + 1;

இந்த இரண்டு சூத்திரங்களையும் சேர்க்கவும்:

2 எஸ் \u003d (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ::: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு சொல்லும் 101 க்கு சமம், மொத்தம் இதுபோன்ற 100 சொற்கள் உள்ளன. எனவே,

2 எஸ் \u003d 101 100 \u003d 10100;

கூட்டு சூத்திரத்தைப் பெற இந்த யோசனையைப் பயன்படுத்துகிறோம்

S \u003d a1 + a2 + ::: + an + a n n: (3)

ஒரு \u003d a1 + (n 1) d என்ற n வது காலத்திற்கான சூத்திரத்தை மாற்றுவதன் மூலம் சூத்திரத்தின் (3) பயனுள்ள மாற்றம் பெறப்படுகிறது:

சிக்கல் 3. 13 ஆல் வகுக்கக்கூடிய அனைத்து நேர்மறை மூன்று இலக்க எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்.

முடிவு. மூன்று இலக்க எண்கள், 13 இன் பெருக்கங்கள், முதல் சொல் 104 மற்றும் 13 வித்தியாசத்துடன் ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தை உருவாக்குகின்றன; இந்த முன்னேற்றத்தின் n வது சொல்:

an \u003d 104 + 13 (n 1) \u003d 91 + 13n:

எங்கள் முன்னேற்றத்தில் எத்தனை உறுப்பினர்கள் உள்ளனர் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்க்கிறோம்:

ஒரு 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 \u003d 6911 13; n 6 69:

எனவே, எங்கள் முன்னேற்றத்தில் 69 உறுப்பினர்கள் உள்ளனர். சூத்திரத்தைப் (4) பயன்படுத்தி, தேவையான தொகையைக் காண்கிறோம்:

எஸ் \u003d 2 104 + 68 13 69 \u003d 37674: 2

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்பு பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
"மிகவும் இல்லை ..."
மேலும் "மிகவும் கூட ..." இருப்பவர்களுக்கு)

எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது எண்களின் வரிசையாகும், இதில் ஒவ்வொரு எண்ணும் முந்தைய எண்ணிக்கையை விட அதே அளவு அதிகமாக (அல்லது குறைவாக) இருக்கும்.

இந்த தலைப்பு பெரும்பாலும் கடினமானது மற்றும் புரிந்துகொள்ள முடியாதது. கடிதங்களுக்கான குறியீடுகள், முன்னேற்றத்தின் n-வது சொல், முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு - இவை அனைத்தும் எப்படியோ குழப்பமானவை, ஆம் ... எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பொருளைக் கண்டுபிடிப்போம், எல்லாம் இப்போதே செயல்படும்.)

எண்கணித முன்னேற்றக் கருத்து.

எண்கணித முன்னேற்றம் என்பது மிகவும் எளிமையான மற்றும் தெளிவான கருத்து. சந்தேகம்? வீண்.) நீங்களே பாருங்கள்.

முடிக்கப்படாத தொடர் எண்களை எழுதுகிறேன்:

1, 2, 3, 4, 5, ...

இந்த வரிசையை நீட்ட முடியுமா? ஐந்திற்குப் பிறகு என்ன எண்கள் அடுத்து செல்லும்? எல்லோரும் ... இம் ... ... சுருக்கமாக, 6, 7, 8, 9, முதலிய எண்கள் மேலும் செல்லும் என்பதை அனைவரும் உணருவார்கள்.

பணியை சிக்கலாக்குவோம். நான் முடிக்கப்படாத தொடர் எண்களைக் கொடுக்கிறேன்:

2, 5, 8, 11, 14, ...

நீங்கள் அமைப்பைப் பிடிக்கவும், தொடரை நீட்டவும், பெயரையும் பெற முடியும் ஏழாவது வரிசை எண்?

இந்த எண் 20 என்று நீங்கள் கண்டறிந்தால் - நான் உங்களை வாழ்த்துகிறேன்! நீங்கள் உணர்ந்தது மட்டுமல்ல எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முக்கிய புள்ளிகள், ஆனால் அவற்றை வணிகத்தில் வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்தியது! நீங்கள் அதை கண்டுபிடிக்கவில்லை என்றால், படிக்கவும்.

இப்போது முக்கிய புள்ளிகளை உணர்விலிருந்து கணிதத்திற்கு மொழிபெயர்ப்போம்.)

முதல் முக்கிய புள்ளி.

எண்கணித முன்னேற்றம் தொடர் எண்களைக் கையாள்கிறது. இது முதலில் குழப்பமாக இருக்கிறது. சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கும், வரைபடங்கள் மற்றும் எல்லாவற்றையும் தீர்ப்பதற்கும் நாங்கள் பயன்படுத்தப்படுகிறோம் ... பின்னர் தொடரை நீட்டிக்கவும், தொடரின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும் ...

தவறில்லை. கணிதத்தின் ஒரு புதிய கிளையுடன் முதல் அறிமுகம் தான் வெறும் முன்னேற்றங்கள். பிரிவு "வரிசைகள்" என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் எண்கள் மற்றும் வெளிப்பாடுகளின் வரிசையுடன் செயல்படுகிறது. பழக்கப்படுத்திக்கொள்.)

இரண்டாவது முக்கிய புள்ளி.

ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தில், எந்த எண்ணும் முந்தையதை விட வேறுபட்டது அதே அளவு.

முதல் எடுத்துக்காட்டில், இந்த வேறுபாடு ஒன்று. நீங்கள் எந்த எண்ணை எடுத்தாலும், அது முந்தையதை விட ஒன்றாகும். இரண்டாவது - மூன்று. முந்தைய எண்ணிக்கையை விட மூன்றால் அதிகமான எந்த எண்ணும். உண்மையில், இந்த தருணம் தான் வடிவத்தைப் பிடிக்கவும், அடுத்தடுத்த எண்களைக் கணக்கிடவும் நமக்கு வாய்ப்பளிக்கிறது.

மூன்றாவது முக்கிய புள்ளி.

இந்த தருணம் வேலைநிறுத்தம் செய்யவில்லை, ஆம் ... ஆனால் அது மிகவும் முக்கியமானது. அது இங்கே உள்ளது: முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு எண்ணும் அதன் இடத்தில் நிற்கிறது. முதல் எண் உள்ளது, ஏழாவது உள்ளது, நாற்பத்தைந்தாவது உள்ளது. அவை சீரற்ற முறையில் குழப்பமடைந்தால், முறை மறைந்துவிடும். எண்கணித முன்னேற்றமும் மறைந்துவிடும். எண்களின் வரிசை மட்டுமே இருக்கும்.

அதுதான் முழு புள்ளி.

நிச்சயமாக, புதிய தலைப்பில் புதிய விதிமுறைகள் மற்றும் பெயர்கள் தோன்றும். நீங்கள் அவர்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இல்லையெனில், நீங்கள் பணியைப் புரிந்து கொள்ள மாட்டீர்கள். எடுத்துக்காட்டாக, இது போன்ற ஒன்றை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்:

2 \u003d 5, d \u003d -2.5 என்றால், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் (a n) முதல் ஆறு சொற்களை எழுதுங்கள்.

இது ஊக்கமளிக்கிறதா?) கடிதங்கள், சில குறியீடுகள் ... மற்றும் பணி, மூலம் - எளிதாக இருக்க முடியாது. விதிமுறைகள் மற்றும் பதவிகளின் பொருளை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். இப்போது நாங்கள் இந்த வியாபாரத்தில் தேர்ச்சி பெற்று பணிக்கு வருவோம்.

விதிமுறைகள் மற்றும் பதவிகள்.

எண்கணித முன்னேற்றம் எண்களின் தொடர், இதில் ஒவ்வொரு எண்ணும் முந்தைய எண்ணிக்கையிலிருந்து வேறுபடுகின்றன அதே அளவு.

இந்த அளவு அழைக்கப்படுகிறது ... இந்த கருத்தை இன்னும் விரிவாகக் கையாள்வோம்.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு எந்தவொரு முன்னேற்றத்தின் எண்ணிக்கையும் ஆகும் மேலும் முந்தையது.

ஒரு முக்கியமான விஷயம். தயவுசெய்து வார்த்தைக்கு கவனம் செலுத்துங்கள் "மேலும்". கணித ரீதியாக, இதன் பொருள் முன்னேற்றத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணும் பெறப்படுகிறது சேர்த்து முந்தைய எண்ணுக்கு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு.

கணக்கீட்டிற்கு, சொல்லலாம் இரண்டாவது தொடரின் எண்ணிக்கை, இது அவசியம் முதலாவதாக எண்ணிக்கை கூட்டு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் இதே வேறுபாடு. கணக்கீட்டிற்கு ஐந்தாவது - வேறுபாடு அவசியம் கூட்டு க்கு நான்காவது, நன்றாக, முதலியன.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு இருக்கலாம் நேர்மறை, வரிசையின் ஒவ்வொரு எண்ணும் உண்மையில் மாறும் முந்தையதை விட அதிகம். இந்த முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது அதிகரித்து வருகிறது. உதாரணமாக:

8; 13; 18; 23; 28; .....

இங்கே ஒவ்வொரு எண்ணும் பெறப்படுகிறது சேர்த்து நேர்மறை எண், முந்தையதை விட +5.

வித்தியாசம் இருக்க முடியும் எதிர்மறை, பின்னர் வரிசையில் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணும் மாறும் முந்தையதை விட குறைவாக. அத்தகைய முன்னேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது (நீங்கள் அதை நம்ப மாட்டீர்கள்!) குறைகிறது.

உதாரணமாக:

8; 3; -2; -7; -12; .....

இங்கே ஒவ்வொரு எண்ணும் பெறப்படுகிறது சேர்த்து முந்தைய, ஆனால் ஏற்கனவே எதிர்மறை எண், -5.

மூலம், ஒரு முன்னேற்றத்துடன் பணிபுரியும் போது, \u200b\u200bஅதன் தன்மையை உடனடியாக தீர்மானிக்க மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும் - அது அதிகரித்து வருகிறதா அல்லது குறைகிறதா என்பதை. தீர்வைத் தொடரவும், உங்கள் தவறுகளைக் கண்டறிந்து, தாமதமாகிவிடும் முன் அவற்றை சரிசெய்யவும் இது நிறைய உதவுகிறது.

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு ஒரு விதியாக, கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது d.

எப்படி கண்டுபிடிப்பது d ? மிக எளிய. எந்தவொரு தொடரிலிருந்தும் கழிக்க வேண்டியது அவசியம் முந்தையது எண். கழித்தல். மூலம், கழிப்பதன் விளைவாக "வேறுபாடு" என்று அழைக்கப்படுகிறது.)

உதாரணமாக, வரையறுப்போம் d எண்கணித முன்னேற்றத்தை அதிகரிக்க:

2, 5, 8, 11, 14, ...

நாம் விரும்பும் வரிசையின் எத்தனை வேண்டுமானாலும் எடுத்துக்கொள்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, 11. அதிலிருந்து கழிக்கவும் முந்தைய எண், அந்த. 8:

இது சரியான பதில். இந்த எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு, வேறுபாடு மூன்று ஆகும்.

நீங்கள் சரியாக எடுக்கலாம் எந்தவொரு முன்னேற்றமும், முதல் ஒரு குறிப்பிட்ட முன்னேற்றத்திற்கு d -எப்போழும் ஒரே மாதரியாக. வரிசையின் தொடக்கத்தில் குறைந்தது எங்காவது, குறைந்தபட்சம் நடுவில், குறைந்தபட்சம் எங்கும். நீங்கள் முதல் எண்ணை மட்டும் எடுக்க முடியாது. முதல் எண் என்பதால் முந்தையது எதுவும் இல்லை.)

மூலம், அதை அறிவது d \u003d 3, இந்த முன்னேற்றத்தின் ஏழாவது எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பது மிகவும் எளிதானது. ஐந்தாவது எண்ணுக்கு 3 ஐச் சேர்க்கவும் - ஆறாவது பெறுகிறோம், அது 17 ஆக இருக்கும். ஆறாவது எண்ணில் மூன்று சேர்க்கவும், ஏழாவது எண்ணைப் பெறுகிறோம் - இருபது.

நாங்கள் வரையறுக்கிறோம் d குறைந்துவரும் எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கு:

8; 3; -2; -7; -12; .....

அறிகுறிகளைப் பொருட்படுத்தாமல், தீர்மானிக்க நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன் d எந்த எண்ணிலிருந்தும் இது அவசியம் முந்தையதை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். எந்தவொரு முன்னேற்றத்தையும் நாங்கள் தேர்வு செய்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக -7. முந்தையது -2. பிறகு:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு எந்த எண்ணாக இருக்கலாம்: முழு, பகுதியளவு, பகுத்தறிவற்ற, எதுவாக இருந்தாலும்.

பிற விதிமுறைகள் மற்றும் பதவிகள்.

தொடரின் ஒவ்வொரு எண்ணும் அழைக்கப்படுகிறது எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்.

முன்னேற்றத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பினரும் அதன் சொந்த எண்ணைக் கொண்டுள்ளது. எண்கள் எந்த தந்திரங்களும் இல்லாமல், கண்டிப்பாக வரிசையில் உள்ளன. முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது, நான்காவது போன்றவை. எடுத்துக்காட்டாக, முன்னேற்றத்தில் 2, 5, 8, 11, 14, ... இரண்டு முதல் சொல், ஐந்து இரண்டாவது, பதினொன்று நான்காவது, நன்றாக, உங்களுக்கு புரிகிறது ...) தயவுசெய்து தெளிவாக புரிந்து கொள்ளுங்கள் - எண்கள் தங்களை முற்றிலும், முழு, பகுதியளவு, எதிர்மறை, எதுவாக இருந்தாலும் இருக்கலாம் எண்களின் எண்ணிக்கை - கண்டிப்பாக வரிசையில்!

பொது முன்னேற்றத்தை எவ்வாறு பதிவு செய்வது? எந்த பிரச்சினையும் இல்லை! வரிசையில் உள்ள ஒவ்வொரு எண்ணும் ஒரு கடிதமாக எழுதப்பட்டுள்ளது. எண்கணித முன்னேற்றத்தைக் குறிக்க, கடிதம் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது a... உறுப்பினர் எண் கீழ் வலதுபுறத்தில் உள்ள ஒரு குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. உறுப்பினர்களை காற்புள்ளிகளால் (அல்லது அரைப்புள்ளிகள்) பிரித்து எழுதுகிறோம், இது போன்றது:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1முதல் எண், ஒரு 3 - மூன்றாவது, முதலியன. எதுவும் தந்திரமானதல்ல. இந்தத் தொடரை நீங்கள் சுருக்கமாக எழுதலாம்: (ஒரு).

முன்னேற்றங்கள் வரையறுக்கப்பட்ட மற்றும் முடிவற்ற.

இறுதி முன்னேற்றத்திற்கு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான உறுப்பினர்கள் உள்ளனர். ஐந்து, முப்பத்தெட்டு, எதுவாக இருந்தாலும். ஆனால் - ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட எண்.

முடிவற்றது முன்னேற்றம் - எண்ணற்ற உறுப்பினர்களைக் கொண்டுள்ளது, நீங்கள் யூகிக்கக்கூடும்.)

இது போன்ற ஒரு தொடர், அனைத்து உறுப்பினர்கள் மற்றும் முடிவில் ஒரு புள்ளி மூலம் நீங்கள் இறுதி முன்னேற்றத்தை எழுதலாம்:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

அல்லது, பல உறுப்பினர்கள் இருந்தால்:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

ஒரு குறுகிய பதிவில், நீங்கள் கூடுதலாக உறுப்பினர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்க வேண்டும். உதாரணமாக (இருபது உறுப்பினர்களுக்கு), இது போன்றது:

(a n), n \u003d 20

இந்த பாடத்தில் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் போலவே, முடிவின் முன்னேற்றத்தை வரிசையின் முடிவில் நீள்வட்டத்தால் அடையாளம் காண முடியும்.

இப்போது நீங்கள் பணிகளை தீர்க்க முடியும். பணிகள் எளிமையானவை, எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பொருளைப் புரிந்து கொள்வதற்காக மட்டுமே.

எண்கணித முன்னேற்றத்திற்கான பணிகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

பணியை விரிவாக ஆராய்வோம், இது மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

1. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் ஆறு சொற்களை எழுதுங்கள் (a n), 2 \u003d 5 என்றால், d \u003d -2.5.

பணியை புரிந்துகொள்ளக்கூடிய மொழியாக மொழிபெயர்க்கிறோம். எல்லையற்ற எண்கணித முன்னேற்றம் வழங்கப்படுகிறது. இந்த முன்னேற்றத்தின் இரண்டாவது எண் அறியப்படுகிறது: a 2 \u003d 5. முன்னேற்றத்தில் உள்ள வேறுபாடு அறியப்படுகிறது: d \u003d -2.5. இந்த முன்னேற்றத்தின் முதல், மூன்றாவது, நான்காவது, ஐந்தாவது மற்றும் ஆறாவது உறுப்பினர்களைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.

தெளிவுக்காக, சிக்கலின் நிலைக்கு ஏற்ப ஒரு தொடரை எழுதுவேன். முதல் ஆறு சொற்கள், இரண்டாவது சொல் ஐந்து ஆகும்:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....

ஒரு 3 = a 2 + d

வெளிப்பாட்டிற்கு மாற்றாக a 2 \u003d 5 மற்றும் d \u003d -2.5... கழித்தல் பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள்!

ஒரு 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

மூன்றாவது சொல் இரண்டாவது விட சிறியது. எல்லாம் தர்க்கரீதியானது. முந்தைய எண்ணிக்கையை விட எண்ணிக்கை அதிகமாக இருந்தால் எதிர்மறை மதிப்பு, பின்னர் அந்த எண்ணே முந்தையதை விட குறைவாக இருக்கும். முன்னேற்றம் குறைந்து வருகிறது. சரி, அதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வோம்.) எங்கள் தொடரின் நான்காவது உறுப்பினரை நாங்கள் கருதுகிறோம்:

a 4 = ஒரு 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

ஒரு 5 = a 4 + d

ஒரு 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = ஒரு 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

எனவே, மூன்றாவது முதல் ஆறாவது வரையிலான சொற்கள் கணக்கிடப்படுகின்றன. இதன் விளைவாக அத்தகைய தொடர் உள்ளது:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

முதல் சொல்லைக் கண்டுபிடிக்க இது உள்ளது a 1 நன்கு அறியப்பட்ட இரண்டாவது படி. இது இடதுபுறத்தில் மற்ற திசையில் ஒரு படி.) எனவே, எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு d சேர்க்க தேவையில்லை a 2, மற்றும் எடுத்து செல்:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

அது அவ்வளவுதான். பணி பதில்:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

இந்த பணியை நாங்கள் தீர்த்தோம் என்பதை நான் கவனிக்கிறேன் மீண்டும் மீண்டும் வழி. இந்த பயங்கரமான வார்த்தையின் அர்த்தம் முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரைத் தேடுவது மட்டுமே. முந்தைய (அருகிலுள்ள) எண்ணால். முன்னேற்றத்துடன் செயல்படுவதற்கான பிற வழிகளை நாங்கள் பின்னர் கருத்தில் கொள்வோம்.

இந்த எளிய பணியிலிருந்து ஒரு முக்கியமான முடிவை எடுக்க முடியும்.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

குறைந்த பட்சம் ஒரு காலத்தையும் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வேறுபாட்டையும் நாம் அறிந்தால், இந்த முன்னேற்றத்தின் எந்த உறுப்பினரையும் நாம் காணலாம்.

நினைவில் இருக்கிறதா? இந்த தலைப்பில் பள்ளி பாடத்திட்டத்தின் பெரும்பாலான பணிகளை தீர்க்க இந்த எளிய முடிவு உங்களை அனுமதிக்கிறது. அனைத்து பணிகளும் மூன்று முக்கிய அளவுருக்களைச் சுற்றி வருகின்றன: எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர், முன்னேற்றத்தின் வேறுபாடு, முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினரின் எண்ணிக்கை. அனைத்தும்.

நிச்சயமாக, முந்தைய இயற்கணிதங்கள் அனைத்தும் ரத்து செய்யப்படவில்லை.) ஏற்றத்தாழ்வுகள், சமன்பாடுகள் மற்றும் பிற விஷயங்கள் முன்னேற்றத்துடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. ஆனாலும் மிகவும் முன்னேற்றத்தால் - எல்லாம் மூன்று அளவுருக்களைச் சுற்றி வருகிறது.

இந்த தலைப்பில் பிரபலமான சில பணிகளை எடுத்துக்காட்டுகளாகப் பார்ப்போம்.

2. இறுதி எண்கணித முன்னேற்றத்தை ஒரு தொடராக n \u003d 5, d \u003d 0.4, மற்றும் 1 \u003d 3.6 என எழுதுங்கள்.

இங்கே எல்லாம் எளிது. எல்லாம் ஏற்கனவே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் உறுப்பினர்கள் எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறார்கள், எண்ணி, அவற்றை எழுதுங்கள் என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். பணியின் நிலையில் உள்ள சொற்களைத் தவறவிடாமல் இருப்பது நல்லது: "இறுதி" மற்றும் " n \u003d 5". முகத்தில் முற்றிலும் நீல நிறமாக இருக்கும் வரை எண்ணக்கூடாது.) இந்த முன்னேற்றத்தில் 5 (ஐந்து) உறுப்பினர்கள் மட்டுமே உள்ளனர்:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

a 4 = ஒரு 3 + d \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8

ஒரு 5 = a 4 + d \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2

பதிலை எழுதுவதற்கு இது உள்ளது:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

மற்றொரு பணி:

3. எண் 7 எண்கணித முன்னேற்றத்தின் (a n) உறுப்பினராக இருந்தால் தீர்மானிக்கவும் a 1 \u003d 4.1; d \u003d 1.2.

ஹ்ம் ... யாருக்குத் தெரியும்? எதையாவது தீர்மானிப்பது எப்படி?

எப்படி-எப்படி ... ஆம், முன்னேற்றத்தை ஒரு தொடரின் வடிவில் எழுதி, அங்கே ஏழு இருக்குமா, இல்லையா என்று பாருங்கள்! நாங்கள் கருதுகிறோம்:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

a 4 = ஒரு 3 + d \u003d 6.5 + 1.2 \u003d 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

இப்போது நாம் ஒரு ஏழு தான் என்பது தெளிவாகக் காணப்படுகிறது வழுக்கி விழுந்தது 6.5 முதல் 7.7 வரை! ஏழு எங்கள் தொடர் எண்களில் சேரவில்லை, ஆகையால், ஏழு கொடுக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்தில் உறுப்பினராக இருக்காது.

இல்லை என்பதே பதில்.

GIA இன் உண்மையான பதிப்பை அடிப்படையாகக் கொண்ட ஒரு பணி இங்கே:

4. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான பல உறுப்பினர்கள் எழுதப்பட்டுள்ளனர்:

...; 15; எக்ஸ்; 9; 6; ...

ஒரு வரிசை இங்கே முடிவும் தொடக்கமும் இல்லாமல் எழுதப்பட்டுள்ளது. உறுப்பினர் எண்கள் இல்லை, வித்தியாசம் இல்லை d... தவறில்லை. சிக்கலைத் தீர்க்க, எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பொருளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது. சாத்தியமானதைப் பற்றி நாங்கள் பார்த்து சிந்திக்கிறோம் கண்டுபிடி இந்த தொடரிலிருந்து? மூன்று முக்கிய அளவுருக்கள் யாவை?

உறுப்பினர் எண்கள்? இங்கே ஒரு எண் கூட இல்லை.

ஆனால் மூன்று எண்கள் மற்றும் - கவனம்! - சொல் "தொடர்ச்சியாக" நிலையில். இதன் பொருள் எண்கள் கண்டிப்பாக வரிசையில், இடைவெளிகள் இல்லாமல் உள்ளன. இந்த வரிசையில் இரண்டு உள்ளன அண்டை அயலார் அறியப்பட்ட எண்கள்? ஆம் இருக்கிறது! இவை 9 மற்றும் 6 ஆகும். எனவே எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வித்தியாசத்தை நாம் கணக்கிட முடியும்! ஆறிலிருந்து கழிக்கிறோம் முந்தையது எண், அதாவது. ஒன்பது:

வெறும் அற்பங்கள் உள்ளன. X க்கான முந்தைய எண் என்ன? பதினைந்து. எளிமையான சேர்த்தல் மூலம் x ஐ எளிதாகக் காணலாம் என்பதே இதன் பொருள். எண்கணித முன்னேற்றத்தின் வித்தியாசத்தை 15 ஆகச் சேர்க்கவும்:

அவ்வளவுதான். பதில்: x \u003d 12

பின்வரும் பிரச்சினைகளை நாமே தீர்க்கிறோம். குறிப்பு: இந்த சிக்கல்கள் சூத்திரங்களைப் பற்றியது அல்ல. ஒரு எண்கணித முன்னேற்றத்தின் பொருளைப் புரிந்துகொள்வதற்கு முற்றிலும்.) நாம் தொடர்ச்சியான எண்கள்-எழுத்துக்களை எழுதுகிறோம், பார்த்து சிந்தியுங்கள்.

5. 5 \u003d -3 என்றால் எண்கணித முன்னேற்றத்தின் முதல் நேர்மறையான சொல்லைக் கண்டறியவும்; d \u003d 1.1.

6. எண் 5.5 என்பது எண்கணித முன்னேற்றத்தின் (ஒரு n) உறுப்பினராக உள்ளது, அங்கு 1 \u003d 1.6; d \u003d 1.3. இந்த உறுப்பினரின் எண் n ஐ தீர்மானிக்கவும்.

7. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் ஒரு 2 \u003d 4; a 5 \u003d 15.1. ஒரு 3 கண்டுபிடிக்க.

8. எண்கணித முன்னேற்றத்தின் தொடர்ச்சியான பல உறுப்பினர்களை எழுதினார்:

...; 15.6; எக்ஸ்; 3.4; ...

X எழுத்தால் குறிக்கப்பட்ட முன்னேற்றத்தில் சொல்லைக் கண்டறியவும்.

9. ரயில் நிலையத்திலிருந்து நகரத் தொடங்கியது, அதன் வேகத்தை நிமிடத்திற்கு 30 மீட்டர் அதிகரித்தது. ஐந்து நிமிடங்களில் ரயில் வேகம் என்னவாக இருக்கும்? உங்கள் பதிலை மணிக்கு கிமீ வேகத்தில் கொடுங்கள்.

10. எண்கணித முன்னேற்றத்தில் ஒரு 2 \u003d 5; a 6 \u003d -5. ஒரு 1 கண்டுபிடிக்க.

பதில்கள் (குழப்பத்தில்): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; நான்கு.

எல்லாம் வேலை செய்தனவா? நன்று! பின்வரும் பாடங்களில் நீங்கள் எண்கணித முன்னேற்றத்தை உயர் மட்டத்தில் மாஸ்டர் செய்யலாம்.

எல்லாம் வேலை செய்யவில்லை? எந்த பிரச்சினையும் இல்லை. சிறப்பு பிரிவு 555 இல், இந்த பணிகள் அனைத்தும் துண்டுகளாக வரிசைப்படுத்தப்படுகின்றன.) மேலும், ஒரு எளிய நடைமுறை நுட்பம் விவரிக்கப்பட்டுள்ளது, இது உடனடியாக உங்கள் பணிகளை தெளிவாக, தெளிவாக, உங்கள் உள்ளங்கையில் இருப்பதைப் போல எடுத்துக்காட்டுகிறது!

மூலம், ரயிலைப் பற்றிய புதிரில் மக்கள் அடிக்கடி தடுமாறும் இரண்டு சிக்கல்கள் உள்ளன. ஒன்று முற்றிலும் முன்னேற்றத்தில் உள்ளது, இரண்டாவது கணிதத்தில் ஏதேனும் சிக்கல்களுக்கு பொதுவானது, இயற்பியலிலும் கூட. இது ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றுக்கான பரிமாணங்களின் மொழிபெயர்ப்பு. இந்த பிரச்சினைகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்பட வேண்டும் என்று அதில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

இந்த பாடத்தில், எண்கணித முன்னேற்றத்தின் அடிப்படை அர்த்தத்தையும் அதன் முக்கிய அளவுருக்களையும் ஆராய்ந்தோம். இந்த தலைப்பில் கிட்டத்தட்ட எல்லா சிக்கல்களையும் தீர்க்க இது போதுமானது. கூட்டு d எண்களுக்கு, ஒரு தொடரை எழுதுங்கள், அனைத்தும் முடிவு செய்யப்படும்.

இந்த பாடத்தில் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் போல, விரல் தீர்வு ஒரு வரிசையின் மிகக் குறுகிய பகுதிகளுக்கு நன்றாக வேலை செய்கிறது. வரிசை நீளமாக இருந்தால், கணக்கீடுகள் மிகவும் சிக்கலானவை. எடுத்துக்காட்டாக, கேள்வியில் 9 சிக்கலில் இருந்தால், மாற்றவும் "ஐந்து நிமிடங்கள்" ஆன் "முப்பத்தைந்து நிமிடங்கள்" பணி கணிசமாக கோபமாக மாறும்.)

சாராம்சத்தில் எளிமையான, ஆனால் கணக்கீடுகளின் அடிப்படையில் நம்பமுடியாத பணிகளும் உள்ளன: எடுத்துக்காட்டாக:

உங்களுக்கு ஒரு எண்கணித முன்னேற்றம் (a n) வழங்கப்படுகிறது. 1 \u003d 3 மற்றும் d \u003d 1/6 என்றால் 121 ஐக் கண்டறியவும்.

என்ன, 1/6 ஆல் பல, பல முறை சேர்ப்போம்?! நீங்கள் அதைக் கொல்லலாம்!?

உங்களால் முடியும்.) உங்களுக்கு ஒரு எளிய சூத்திரம் தெரியாவிட்டால், அதன்படி ஒரு நிமிடத்தில் இதுபோன்ற பணிகளை தீர்க்க முடியும். இந்த சூத்திரம் அடுத்த பாடத்தில் இருக்கும். இந்த பிரச்சினை அங்கு தீர்க்கப்படுகிறது. ஒரு நிமிடத்தில்.)

இந்த தளத்தை நீங்கள் விரும்பினால் ...

மூலம், உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் உள்ளன.)

எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதை நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்பு சோதனை. கற்றல் - ஆர்வத்துடன்!)

நீங்கள் செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களுடன் பழகலாம்.