வரையறை. பக்க விளிம்பு ஒரு முக்கோணம், அதன் ஒரு மூலையில் பிரமிட்டின் மேற்புறத்தில் உள்ளது, மற்றும் எதிர் பக்கம் அடித்தளத்தின் பக்கத்துடன் (பலகோணம்) ஒத்துப்போகிறது.

வரையறை. பக்க விலா எலும்புகள் - இவை பக்க முகங்களின் பொதுவான பக்கங்களாகும். பிரமிட்டில் பலகோணத்தின் மூலைகளைப் போல பல விளிம்புகள் உள்ளன.

வரையறை. பிரமிட் உயரம் என்பது செங்குத்தாக மேலே இருந்து பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கு விடப்படுகிறது.

வரையறை. அப்போதேம் என்பது பிரமிட்டின் பக்க முகத்திற்கு செங்குத்தாக உள்ளது, இது பிரமிட்டின் மேலிருந்து அடித்தளத்தின் பக்கமாகக் குறைக்கப்படுகிறது.

வரையறை. மூலைவிட்ட பிரிவு பிரமிட்டின் மேற்பகுதி வழியாகவும், அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டமாகவும் செல்லும் விமானம் மூலம் பிரமிட்டின் ஒரு பகுதி.

வரையறை. சரியான பிரமிடு ஒரு பிரமிடு, இதில் அடிப்படை வழக்கமான பலகோணம், மற்றும் உயரம் அடித்தளத்தின் மையத்தில் விழுகிறது.

பிரமிட்டின் அளவு மற்றும் பரப்பளவு

ஃபார்முலா. பிரமிட்டின் அளவு அடிப்படை பகுதி மற்றும் உயரம் வழியாக:

பிரமிட் பண்புகள்

அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் சமமாக இருந்தால், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டம் விவரிக்கப்படலாம், மேலும் அடித்தளத்தின் மையம் வட்டத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. மேலும், மேலே இருந்து கைவிடப்பட்ட செங்குத்து அடித்தளத்தின் (வட்டம்) மையத்தின் வழியாக செல்கிறது.

அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் சமமாக இருந்தால், அவை ஒரே கோணங்களில் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு சாய்ந்திருக்கும்.

அடிப்படை விளிம்புடன் சம கோணங்களை உருவாக்கும் போது அல்லது பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டம் விவரிக்கப்படும்போது பக்க விளிம்புகள் சமமாக இருக்கும்.

பக்க முகங்கள் ஒரு கோணத்தில் அடிப்படை விமானத்திற்கு சாய்ந்திருந்தால், ஒரு வட்டத்தை பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் பொறிக்கலாம், மேலும் பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அதன் மையத்தில் திட்டமிடப்படுகிறது.

பக்க முகங்கள் ஒரே கோணத்தில் அடிப்படை விமானத்திற்கு சாய்ந்திருந்தால், பக்க முகங்களின் மன்னிப்பு சமமாக இருக்கும்.

வழக்கமான பிரமிட்டின் பண்புகள்

1. பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அடித்தளத்தின் அனைத்து மூலைகளிலிருந்தும் சமமாக இருக்கும்.

2. அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் சமம்.

3. அனைத்து பக்க விலா எலும்புகளும் அடித்தளத்திற்கு ஒரே கோணத்தில் கோணப்படுகின்றன.

4. அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் மன்னிப்புக் கோட்பாடுகளும் சமம்.

5. அனைத்து பக்க முகங்களின் பகுதிகள் சமம்.

6. அனைத்து முகங்களும் ஒரே டைஹெட்ரல் (தட்டையான) கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன.

7. பிரமிட்டைச் சுற்றி ஒரு கோளத்தை விவரிக்க முடியும். விவரிக்கப்பட்ட கோளத்தின் மையம் விளிம்புகளின் நடுவில் செல்லும் செங்குத்துகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருக்கும்.

8. பிரமிட்டில் ஒரு கோளத்தை பொறிக்கலாம். பொறிக்கப்பட்ட கோளத்தின் மையம் விளிம்பிற்கும் அடித்தளத்திற்கும் இடையிலான கோணத்திலிருந்து வெளிப்படும் இருசமங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருக்கும்.

9. பொறிக்கப்பட்ட கோளத்தின் மையம் சுற்றறிக்கை கோளத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்றால், வெர்டெக்ஸில் உள்ள விமான கோணங்களின் தொகை π அல்லது அதற்கு நேர்மாறாக இருந்தால், ஒரு கோணம் π / n க்கு சமம், இங்கு n என்பது எண் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் கோணங்களில்.

கோளத்துடன் பிரமிட்டின் இணைப்பு

பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு பாலிஹெட்ரான் இருக்கும் போது ஒரு வட்டத்தை விவரிக்கக்கூடிய ஒரு கோளத்தை ஒரு பிரமிட்டைச் சுற்றி விவரிக்க முடியும் (தேவையான மற்றும் போதுமான நிலை). கோளத்தின் மையம் பிரமிட்டின் பக்க விளிம்புகளின் நடுப்பகுதிகளில் செங்குத்தாக செல்லும் விமானங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியாக இருக்கும்.

எந்த முக்கோண அல்லது வழக்கமான பிரமிட்டையும் சுற்றி ஒரு கோளம் எப்போதும் விவரிக்கப்படலாம்.

பிரமிட்டின் உள் டைஹெட்ரல் கோணங்களின் இருசக்தி விமானங்கள் ஒரு கட்டத்தில் குறுக்கிட்டால் ஒரு கோளத்தை பிரமிட்டில் பொறிக்க முடியும் (தேவையான மற்றும் போதுமான நிலை). இந்த புள்ளி கோளத்தின் மையமாக இருக்கும்.

கூம்புடன் ஒரு பிரமிட்டின் இணைப்பு

ஒரு கூம்பு ஒரு பிரமிட்டில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, அவற்றின் செங்குத்துகள் இணைந்தால், கூம்பின் அடிப்பகுதி பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.

பிரமிட்டின் அப்போதெம்கள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருந்தால் கூம்பை பிரமிட்டில் பொறிக்கலாம்.

ஒரு கூம்பு ஒரு பிரமிட்டைச் சுற்றிலும் சுற்றறிக்கை என அழைக்கப்படுகிறது, அவற்றின் உச்சிகள் ஒன்றிணைந்தால், கூம்பின் அடிப்பகுதி பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றிலும் சுற்றப்படுகிறது.

பிரமிட்டின் அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருந்தால் ஒரு பிரமிட்டைச் சுற்றி ஒரு கூம்பு விவரிக்கப்படலாம்.

ஒரு சிலிண்டருடன் ஒரு பிரமிட்டின் இணைப்பு

பிரமிட்டின் மேற்பகுதி சிலிண்டரின் ஒரு அடிவாரத்தில் இருந்தால், ஒரு பிரமிட்டின் சிலிண்டரில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது, மற்றும் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி சிலிண்டரின் மற்றொரு தளத்தில் பொறிக்கப்பட்டுள்ளது.

பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரிக்க முடிந்தால் ஒரு பிரமிட்டைச் சுற்றி ஒரு சிலிண்டரை விவரிக்க முடியும்.

ஒரு டெட்ராஹெட்ரானில் நான்கு முகங்களும் நான்கு செங்குத்துகளும் ஆறு விளிம்புகளும் உள்ளன, அங்கு எந்த இரண்டு விளிம்புகளுக்கும் பொதுவான செங்குத்துகள் இல்லை, ஆனால் தொடக்கூடாது.

ஒவ்வொரு உச்சியிலும் மூன்று முகங்களும் விளிம்புகளும் உள்ளன முக்கோண மூலையில்.

டெட்ராஹெட்ரானின் உச்சியை எதிர் முகத்தின் மையத்துடன் இணைக்கும் பிரிவு அழைக்கப்படுகிறது சராசரி டெட்ராஹெட்ரான் (GM).

பிமீடியன் தொடர்பு இல்லாத (கே.எல்) எதிர் விளிம்புகளின் நடுப்பகுதிகளை இணைக்கும் பிரிவு.

டெட்ராஹெட்ரானின் அனைத்து பிமீடியன்களும் இடைநிலையாளர்களும் ஒரு கட்டத்தில் (எஸ்) சந்திக்கிறார்கள். இந்த வழக்கில், பைமடியன்கள் பாதியாகவும், இடைநிலைகள் 3: 1 என்ற விகிதத்திலும், மேலே இருந்து தொடங்குகின்றன.

வரையறை. கடுமையான கோண பிரமிடு - இது ஒரு பிரமிடு, இதில் அபோத்தேம் அடித்தளத்தின் பக்கத்தின் நீளத்தின் பாதிக்கும் மேல் இருக்கும்.

வரையறை. Obtuse பிரமிடு - இது ஒரு பிரமிடு, இதில் அபோத்தேம் அடித்தளத்தின் பக்கத்தின் நீளத்தின் பாதிக்கும் குறைவாக இருக்கும்.

வரையறை. வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் - நான்கு முகங்களும் சமபக்க முக்கோணங்களாக இருக்கும் டெட்ராஹெட்ரான். இது ஐந்து வழக்கமான பலகோணங்களில் ஒன்றாகும். ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானில், அனைத்து டைஹெட்ரல் கோணங்களும் (முகங்களுக்கு இடையில்) மற்றும் முக்கோண கோணங்களும் (உச்சியில்) சமமாக இருக்கும்.

வரையறை. செவ்வக டெட்ராஹெட்ரான் வெர்டெக்ஸில் மூன்று விளிம்புகளுக்கு இடையில் ஒரு சரியான கோணத்துடன் டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது (விளிம்புகள் செங்குத்தாக உள்ளன). மூன்று முகங்கள் உருவாகின்றன செவ்வக முக்கோண மூலையில் மற்றும் முகங்கள் வலது கோண முக்கோணங்கள், மற்றும் அடிப்படை ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணம். எந்தவொரு அம்சத்தின் மன்னிப்புக் கோட்பாடும் அப்போடெம் விழும் தளத்தின் பக்கத்தின் பாதிக்கு சமம்.

வரையறை. சம டெட்ராஹெட்ரான் டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் பக்க முகங்கள் ஒருவருக்கொருவர் சமமாக இருக்கும், மற்றும் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான முக்கோணம் ஆகும். அத்தகைய டெட்ராஹெட்ரானுக்கு, முகங்கள் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்கள்.

வரையறை. ஆர்த்தோசென்ட்ரிக் டெட்ராஹெட்ரான் டெட்ராஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் மேலே இருந்து எதிர் முகத்திற்கு தாழ்த்தப்பட்ட அனைத்து உயரங்களும் (செங்குத்தாக) ஒரு கட்டத்தில் வெட்டுகின்றன.

வரையறை. நட்சத்திர பிரமிடு பாலிஹெட்ரான் என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதன் அடிப்படை ஒரு நட்சத்திரம்.

பிரமிடுகள் மற்றும் தொடர்புடைய சூத்திரங்கள் மற்றும் கருத்துகள் பற்றிய அடிப்படை தகவல்களை இங்கே காணலாம். அவர்கள் அனைவரும் தேர்வுக்கான தயாரிப்பில் கணித ஆசிரியருடன் படிக்கப்படுகிறார்கள்.

ஒரு விமானம், பலகோணம் ஆகியவற்றைக் கவனியுங்கள் அதில் பொய் மற்றும் ஒரு புள்ளி எஸ் அதில் பொய் இல்லை. பலகோணத்தின் அனைத்து முனைகளிலும் எஸ் ஐ இணைக்கவும். இதன் விளைவாக வரும் பாலிஹெட்ரான் ஒரு பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பகுதிகள் பக்க விலா எலும்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பலகோணம் அடிப்படை என்றும் புள்ளி எஸ் பிரமிட்டின் மேற்புறம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. N எண்ணைப் பொறுத்து, பிரமிடு முக்கோண (n \u003d 3), நாற்புற (n \u003d 4), ptyagonal (n \u003d 5) மற்றும் பலவற்றை அழைக்கிறது. முக்கோண பிரமிட்டின் மாற்று பெயர் டெட்ராஹெட்ரான்... பிரமிட்டின் உயரம் செங்குத்தாக அழைக்கப்படுகிறது, அதன் மேலிருந்து அடித்தளத்தின் விமானம் வரை குறைக்கப்படுகிறது.

ஒரு பிரமிடு என்றால் சரியானது என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒரு வழக்கமான பலகோணம், மற்றும் பிரமிட்டின் உயரத்தின் அடிப்பகுதி (செங்குத்தாக அடித்தளம்) அதன் மையமாகும்.

ஆசிரியர் கருத்து:
"வழக்கமான பிரமிட்" மற்றும் "சரியான டெட்ராஹெட்ரான்" என்ற கருத்தை குழப்ப வேண்டாம். ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டில், பக்க விளிம்புகள் அடித்தளத்தின் விளிம்புகளுக்கு சமமாக இருக்காது, ஆனால் ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானில் விளிம்புகளின் 6 விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும். இது அவரது வரையறை. பலகோணத்தின் மைய பி இன் தற்செயல் நிகழ்வை சமத்துவம் குறிக்கிறது என்பதை நிரூபிப்பது எளிது உயரத்தின் அடித்தளத்துடன், எனவே வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் ஒரு வழக்கமான பிரமிடு.

அப்போதேமா என்றால் என்ன?
ஒரு பிரமிட்டின் மன்னிப்பு அதன் பக்கவாட்டு முகத்தின் உயரம். பிரமிட் சரியாக இருந்தால், அதன் அனைத்து மன்னிப்புக் கோட்பாடுகளும் சமம். உரையாடல் உண்மை இல்லை.

அவரது சொற்களைப் பற்றி கணிதத்தில் ஆசிரியர்: பிரமிடுகளுடன் பணிபுரிவது 80% இரண்டு வகையான முக்கோணங்களின் மூலம் கட்டப்பட்டுள்ளது:
1) அப்போடெம் எஸ்.கே மற்றும் உயரம் எஸ்.பி.
2) பக்கவாட்டு விளிம்பு எஸ்.ஏ மற்றும் அதன் திட்ட பி.ஏ.

இந்த முக்கோணங்களைக் குறிப்பிடுவதை எளிதாக்குவதற்கு, ஒரு கணித ஆசிரியருக்கு முதல்வரை அழைப்பது மிகவும் வசதியானது apothemic, மற்றும் இரண்டாவது செலவு... துரதிர்ஷ்டவசமாக, எந்தவொரு பாடப்புத்தகத்திலும் இந்த சொற்களை நீங்கள் காண முடியாது, ஆசிரியர் அதை ஒருதலைப்பட்சமாக உள்ளிட வேண்டும்.

ஒரு பிரமிட்டின் தொகுதிக்கான சூத்திரம்:
1) , பிரமிட்டின் அடித்தளத்தின் பரப்பளவு எங்கே, மற்றும் பிரமிட்டின் உயரம்
2), பொறிக்கப்பட்ட கோளத்தின் ஆரம் எங்கே, மற்றும் பிரமிட்டின் மொத்த பரப்பளவு ஆகும்.
3) , எம்.என் என்பது எந்த இரண்டு குறுக்கு விளிம்புகளின் தூரமாகும், மேலும் மீதமுள்ள நான்கு விளிம்புகளின் நடுப்பகுதிகளால் உருவாகும் இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு இது.

பிரமிட் உயரம் அடிப்படை சொத்து:

புள்ளி பி (உருவத்தைக் காண்க) பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது:
1) அனைத்து மன்னிப்புக் கோட்பாடுகளும் சமம்
2) அனைத்து பக்க முகங்களும் சமமாக அடித்தளத்தை நோக்கி சாய்ந்திருக்கும்
3) அனைத்து அப்போதெம்களும் பிரமிட்டின் உயரத்திற்கு சமமாக சாய்ந்திருக்கும்
4) பிரமிட்டின் உயரம் அனைத்து பக்க முகங்களுக்கும் சமமாக சாய்ந்துள்ளது

கணித ஆசிரியர் வர்ணனை: எல்லா புள்ளிகளுக்கும் ஒரு பொதுவான சொத்து உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்க: ஒரு வழி அல்லது வேறு, பக்க முகங்கள் எல்லா இடங்களிலும் ஈடுபட்டுள்ளன (மன்னிப்பு என்பது அவற்றின் கூறுகள்). ஆகையால், ஆசிரியர் குறைவான துல்லியமான, ஆனால் மனப்பாடம் செய்வதற்கு மிகவும் வசதியானது: பி புள்ளி அதன் பக்க முகங்களைப் பற்றி ஏதேனும் சமமான தகவல்கள் இருந்தால், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது. அதை நிரூபிக்க, அனைத்து அப்போடெமிக் முக்கோணங்களும் சமம் என்பதைக் காட்ட இது போதுமானது.

மூன்று நிபந்தனைகளில் ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், புள்ளி பி பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கு அருகில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள வட்டத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது:
1) அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் சமம்
2) அனைத்து பக்க விலா எலும்புகளும் அடித்தளத்தை நோக்கி சமமாக சாய்ந்திருக்கும்
3) அனைத்து பக்க விலா எலும்புகளும் உயரத்திற்கு சமமாக சாய்ந்திருக்கும்

வரையறை

பிரமிட் பலகோணம் \\ (A_1A_2 ... A_n \\) மற்றும் \\ (n \\) முக்கோணங்கள் பொதுவான வெர்டெக்ஸ் with (P \\) (பலகோணத்தின் விமானத்தில் பொய் சொல்லவில்லை) மற்றும் எதிர் பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு பாலிஹெட்ரான் பலகோணம்.
பதவி: \\ (PA_1A_2 ... A_n \\).
எடுத்துக்காட்டு: பென்டகோனல் பிரமிட் \\ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \\).

முக்கோணங்கள் \\ (PA_1A_2, \\ PA_2A_3 \\) போன்றவை. அழைக்கப்படுகின்றன பக்கவாட்டு முகங்கள் பிரமிடுகள், பிரிவுகள் \\ (PA_1, PA_2 \\), முதலியன. - பக்கவாட்டு விலா எலும்புகள், பலகோணம் \\ (A_1A_2A_3A_4A_5 \\) - அடிப்படையில், புள்ளி \\ (பி \\) - உச்சம்.

உயரம் பிரமிடுகள் என்பது பிரமிட்டின் மேற்புறத்திலிருந்து அடித்தளத்தின் விமானம் வரை வரையப்பட்ட செங்குத்தாகும்.

அதன் அடிவாரத்தில் ஒரு முக்கோணத்துடன் ஒரு பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது டெட்ராஹெட்ரான்.

பிரமிட் என்று அழைக்கப்படுகிறது சரிஅதன் அடிப்படை வழக்கமான பலகோணமாக இருந்தால், பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று திருப்தி அடைந்தால்:

\\ ((அ) \\) பிரமிட்டின் பக்க விளிம்புகள் சமம்;

\\ ((ஆ) \\) பிரமிட்டின் உயரம் அடித்தளத்திற்கு அருகில் விவரிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையத்தின் வழியாக செல்கிறது;

\\ ((c) \\) பக்கவாட்டு விலா எலும்புகள் ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு சாய்ந்திருக்கும்.

\\ ((ஈ) \\) பக்க முகங்கள் ஒரே கோணத்தில் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு சாய்ந்திருக்கும்.

வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் ஒரு முக்கோண பிரமிடு, இதன் அனைத்து முகங்களும் சமமான முக்கோண முக்கோணங்கள்.

தேற்றம்

நிபந்தனைகள் \\ ((அ), (பி), (சி), (ஈ) \\) சமம்.

ஆதாரம்

பிரமிட்டின் உயரத்தை PH (PH \\) வரைவோம். \\ (\\ ஆல்பா \\) பிரமிட்டின் அடித்தளத்தின் விமானமாக இருக்கட்டும்.

1) \\ ((அ) \\) என்பது \\ ((ஆ) \\) என்பதைக் குறிக்கிறது என்பதை நிரூபிப்போம். Let (PA_1 \u003d PA_2 \u003d PA_3 \u003d ... \u003d PA_n Let) ஆகட்டும்.

ஏனெனில் Plane (PH \\ perp \\ alpha \\), பின்னர் plane (PH \\) இந்த விமானத்தில் கிடக்கும் எந்த நேர் கோட்டிற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும், எனவே முக்கோணங்கள் வலது கோணத்தில் இருக்கும். எனவே, இந்த முக்கோணங்கள் பொதுவான கால் \\ (PH \\) மற்றும் ஹைப்போடனஸ்கள் \\ (PA_1 \u003d PA_2 \u003d PA_3 \u003d ... \u003d PA_n \\) ஆகியவற்றில் சமமாக இருக்கும். எனவே, \\ (A_1H \u003d A_2H \u003d ... \u003d A_nH \\). இதன் பொருள் \\ (A_1, A_2, ..., A_n \\) புள்ளிகள் \\ (H \\) இலிருந்து ஒரே தொலைவில் உள்ளன, எனவே, அவை ஒரே வட்டத்தில் radi (A_1H \\) ஆரம் கொண்டவை. வரையறையின்படி, இந்த வட்டம் பலகோணம் about (A_1A_2 ... A_n \\) பற்றி சுற்றறிக்கை செய்யப்பட்டுள்ளது.

2) \\ ((ஆ) \\) என்பது \\ ((சி) \\) என்பதைக் குறிக்கிறது என்பதை நிரூபிப்போம்.

\\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \\) செவ்வக மற்றும் இரண்டு கால்களில் சமம். எனவே, அவற்றின் கோணங்களும் சமம், எனவே, \\ (\\ கோணம் PA_1H \u003d \\ கோணம் PA_2H \u003d ... \u003d \\ கோணம் PA_nH \\).

3) \\ ((சி) \\) என்பது \\ ((அ) \\) என்பதைக் குறிக்கிறது என்பதை நிரூபிப்போம்.

முதல் புள்ளியைப் போலவே, முக்கோணங்களும் \\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \\) செவ்வக மற்றும் கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்தில். இதன் பொருள் அவற்றின் கருதுகோள்களும் சமம், அதாவது \\ (PA_1 \u003d PA_2 \u003d PA_3 \u003d ... \u003d PA_n \\).

4) \\ ((ஆ) \\) என்பது \\ ((ஈ) \\) என்பதைக் குறிக்கிறது என்பதை நிரூபிப்போம்.

ஏனெனில் ஒரு வழக்கமான பலகோணத்தில் சுற்றளவு மற்றும் வட்டத்தின் மையங்கள் ஒன்றிணைகின்றன (பொதுவாக, இந்த புள்ளி வழக்கமான பலகோணத்தின் மையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது), பின்னர் \\ (H \\) என்பது வட்டத்தின் மையமாகும். Point (H \\) புள்ளியிலிருந்து அடித்தளத்தின் பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக வரைவோம்: \\ (HK_1, HK_2 \\), முதலியன. பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் கதிர்கள் இவை (வரையறையின்படி). பின்னர், TTP (PH (PH \\) இன் படி - விமானத்திற்கு செங்குத்தாக, \\ (HK_1, HK_2 \\), முதலியன - பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக கணிப்புகள்) சாய்ந்திருக்கும் \\ (PK_1, PK_2 \\), முதலியன. பக்கங்களுக்கு செங்குத்தாக \\ (A_1A_2, A_2A_3 \\), முதலியன. முறையே. எனவே, வரையறையால் \\ (\\ கோணம் PK_1H, \\ கோணம் PK_2H \\) பக்க முகங்களுக்கும் அடித்தளத்திற்கும் இடையிலான கோணங்களுக்கு சமம். ஏனெனில் முக்கோணங்கள் \\ (PK_1H, PK_2H, ... \\) சமம் (இரண்டு கால்களில் செவ்வகமாக), பின்னர் கோணங்கள் \\ (\\ கோணம் PK_1H, \\ கோணம் PK_2H, ... \\) சமம்.

5) \\ ((ஈ) \\) என்பது \\ ((ஆ) \\) என்பதைக் குறிக்கிறது என்பதை நிரூபிப்போம்.

நான்காவது புள்ளியைப் போலவே, tri (PK_1H, PK_2H, ... \\) முக்கோணங்கள் சமம் (கால் மற்றும் கடுமையான கோணத்தில் செவ்வகமாக), எனவே \\ (HK_1 \u003d HK_2 \u003d ... \u003d HK_n \\) பகுதிகள் சமம். எனவே, வரையறையின்படி, \\ (H \\) என்பது அடிவாரத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு வட்டத்தின் மையமாகும். ஆனால் பின்னர் வழக்கமான பலகோணங்களுக்கு, வட்டத்தின் சுற்றுகள் மற்றும் சுற்றறிக்கைகள் ஒன்றிணைகின்றன, பின்னர் \\ (H \\) என்பது வட்டத்தின் மையமாகும். Thtd.

விளைவு

ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்க முகங்கள் சம ஐசோசெல் முக்கோணங்கள்.

வரையறை

அதன் மேலிருந்து வரையப்பட்ட வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்க முகத்தின் உயரம் அழைக்கப்படுகிறது apothem.
ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் மன்னிப்புக் கோட்பாடுகள் ஒருவருக்கொருவர் சமமானவை, மேலும் அவை இடைநிலைகள் மற்றும் இருசமக்கள்.

முக்கிய குறிப்புகள்

1. ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் உயரம் அடித்தளத்தின் உயரங்களை (அல்லது இருபுறங்கள், அல்லது இடைநிலைகள்) வெட்டும் இடத்தில் விழுகிறது (அடிப்படை ஒரு வழக்கமான முக்கோணம்).

2. ஒரு வழக்கமான நாற்புற பிரமிட்டின் உயரம் அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டு இடத்தில் விழுகிறது (அடிப்படை ஒரு சதுரம்).

3. ஒரு வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் உயரம் அடித்தளத்தின் மூலைவிட்டங்களை வெட்டும் இடத்தில் விழுகிறது (அடிப்படை ஒரு வழக்கமான அறுகோணம்).

4. பிரமிட்டின் உயரம் அடிவாரத்தில் கிடக்கும் எந்த நேர் கோட்டிற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும்.

வரையறை

பிரமிட் என்று அழைக்கப்படுகிறது செவ்வகஅதன் பக்கவாட்டு விளிம்புகளில் ஒன்று அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருந்தால்.

முக்கிய குறிப்புகள்

1. ஒரு செவ்வக பிரமிட்டில், அடித்தளத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் விளிம்பு பிரமிட்டின் உயரம். அதாவது, \\ (SR \\) என்பது உயரம்.

2. ஏனெனில் SR (SR \\) அடிவாரத்திலிருந்து எந்த நேர் கோட்டிற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும் \\ (\\ முக்கோணம் SRM, \\ முக்கோணம் SRP \\) - வலது கோண முக்கோணங்கள்.

3. முக்கோணங்கள் \\ (\\ முக்கோணம் SRN, \\ முக்கோணம் SRK \\) - செவ்வக.
அதாவது, இந்த விளிம்பால் உருவாகும் எந்த முக்கோணமும், அடிவாரத்தில் கிடக்கும் இந்த விளிம்பின் உச்சியிலிருந்து விரிவடையும் மூலைவிட்டமும் செவ்வகமாக இருக்கும்.

\\ [(\\ பெரிய (\\ உரை (பிரமிட்டின் தொகுதி மற்றும் பரப்பளவு))) \\]

தேற்றம்

பிரமிட்டின் அளவு பிரமிட்டின் உயரத்தால் அடிப்படை பகுதியின் உற்பத்தியில் மூன்றில் ஒரு பங்கிற்கு சமம்: \

விளைவுகள்

\\ (A \\) அடித்தளத்தின் பக்கமாக இருக்கட்டும், \\ (h \\) பிரமிட்டின் உயரம்.

1. வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அளவு \\ (V _ (\\ உரை (வலது முக்கோண பைர்.)) \u003d \\ Dfrac (q sqrt3) (12) a ^ 2h \\),

2. ஒரு வழக்கமான நாற்புற பிரமிட்டின் அளவு \\ (V _ (\\ உரை (வலது நான்கு பைர்.)) \u003d \\ Dfrac13a ^ 2h \\).

3. ஒரு வழக்கமான அறுகோண பிரமிட்டின் அளவு \\ (V _ (\\ உரை (வலது ஹெக்ஸ்)) \u003d \\ dfrac (q sqrt3) (2) a ^ 2h \\).

4. ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானின் அளவு \\ (V _ (\\ உரை (வலது டெட்.)) \u003d \\ Dfrac (q sqrt3) (12) a ^ 3 \\).

தேற்றம்

ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு அப்போடெம் மூலம் அடிப்படை சுற்றளவின் அரை தயாரிப்புக்கு சமம்.

\\ [(\\ பெரியது (\\ உரை (துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்))) \\]

வரையறை

தன்னிச்சையான பிரமிடு \\ (PA_1A_2A_3 ... A_n \\) கருதுங்கள். பிரமிட்டின் பக்க விளிம்பில் கிடந்த ஒரு புள்ளி வழியாக பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கு இணையாக ஒரு விமானத்தை வரைவோம். இந்த விமானம் பிரமிட்டை இரண்டு பாலிஹெட்ரான்களாகப் பிரிக்கும், அவற்றில் ஒன்று பிரமிடு (\\ (PB_1B_2 ... B_n \\)), மற்றொன்று அழைக்கப்படுகிறது துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு (\\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \\)).

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டில் இரண்டு தளங்கள் உள்ளன - பலகோணங்கள் \\ (A_1A_2 ... A_n \\) மற்றும் \\ (B_1B_2 ... B_n \\), அவை ஒருவருக்கொருவர் ஒத்தவை.

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் உயரம் செங்குத்தாக மேல் தளத்தின் சில புள்ளிகளிலிருந்து கீழ் தளத்தின் விமானத்திற்கு வரையப்படுகிறது.

முக்கிய குறிப்புகள்

1. துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களும் ட்ரேபீஜியங்கள்.

2. வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் தளங்களின் மையங்களை இணைக்கும் பிரிவு (அதாவது, வழக்கமான பிரமிட்டை வெட்டுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட பிரமிடு) உயரம்.

முதல் நிலை

பிரமிட். காட்சி வழிகாட்டி (2019)

பிரமிட் என்றால் என்ன?

அவள் எப்படி இருக்கிறாள்?

நீங்கள் பார்க்கிறீர்கள்: கீழே உள்ள பிரமிட்டில் (அவர்கள் “ கீழே") சில பலகோணங்களும், இந்த பலகோணத்தின் அனைத்து செங்குத்துகளும் விண்வெளியில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன (இந்த புள்ளி அழைக்கப்படுகிறது" வெர்டெக்ஸ்»).

இந்த முழு அமைப்பும் இன்னும் உள்ளது பக்க முகங்கள், பக்க விலா எலும்புகள் மற்றும் அடிப்படை விளிம்புகள்... இந்த பெயர்களுடன் மீண்டும் பிரமிட்டை வரைவோம்:

சில பிரமிடுகள் மிகவும் விசித்திரமாகத் தோன்றலாம், ஆனால் அவை இன்னும் பிரமிடுகளாக இருக்கின்றன.

உதாரணமாக, முற்றிலும் "சாய்ந்த" பிரமிட்.

மேலும் பெயர்களைப் பற்றி இன்னும் கொஞ்சம்: பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு முக்கோணம் இருந்தால், பிரமிடு முக்கோணமாக அழைக்கப்படுகிறது, அது ஒரு நாற்கரமாக இருந்தால், அது நாற்புறமானது, அது ஒரு ஸ்டாகன் என்றால், பின்னர் ... யூகிக்கவும் நீங்களே.

இந்த விஷயத்தில், அது இறங்கிய இடம் உயரம்என்று அழைக்கப்படுகிறது அடிப்படை உயரம்... "வளைந்த" பிரமிடுகளில் கவனம் செலுத்துங்கள் உயரம் பிரமிட்டுக்கு வெளியே கூட இருக்கலாம். இது போன்ற:

அதில் எந்த தவறும் இல்லை. இது ஒரு முக்கோண முக்கோணம் போல் தெரிகிறது.

சரியான பிரமிடு.

பல கடினமான வார்த்தைகள்? புரிந்துகொள்வோம்: "அடிவாரத்தில் - சரியானது" - அது புரிந்துகொள்ளத்தக்கது. இப்போது ஒரு வழக்கமான பலகோணத்திற்கு ஒரு மையம் உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்வோம் - ஒரு புள்ளி மையமாகவும், மற்றும்.

சரி, "மேலே அடித்தளத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது" என்ற சொற்களின் அர்த்தம் உயரத்தின் அடித்தளம் அடித்தளத்தின் மையத்தில் தான் விழும். இது எவ்வளவு மென்மையாகவும் அழகாகவும் இருக்கிறது என்று பாருங்கள் சரியான பிரமிடு.

அறுகோண: அடிவாரத்தில் - ஒரு வழக்கமான அறுகோணம், மேற்புறம் அடித்தளத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

நாற்புற: அடிவாரத்தில் - ஒரு சதுரம், இந்த சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் குறுக்குவெட்டில் மேலே திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

முக்கோணம்: அடிவாரத்தில் - ஒரு வழக்கமான முக்கோணம், இந்த முக்கோணத்தின் உயரங்களை (அவை இடைநிலைகள் மற்றும் இருசமிகளும் கூட) வெட்டும் இடத்திற்கு உச்சி திட்டமிடப்படுகிறது.

மிகவும் வழக்கமான பிரமிட்டின் முக்கியமான பண்புகள்:

சரியான பிரமிட்டில்

• அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் சமம்.
• அனைத்து பக்க முகங்களும் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்கள் மற்றும் இந்த முக்கோணங்கள் அனைத்தும் சமம்.

பிரமிட் தொகுதி

ஒரு பிரமிட்டின் தொகுதிக்கான முக்கிய சூத்திரம்:

அது சரியாக எங்கிருந்து வந்தது? இது மிகவும் எளிதானது அல்ல, முதலில் நீங்கள் பிரமிடு மற்றும் கூம்பு சூத்திரத்தில் அளவைக் கொண்டிருக்கிறீர்கள் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், ஆனால் சிலிண்டர் இல்லை.

இப்போது மிகவும் பிரபலமான பிரமிடுகளின் அளவைக் கணக்கிடுவோம்.

அடித்தளத்தின் பக்கமும் சம பக்க விளிம்பும் சமமாக இருக்கட்டும். நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் மற்றும்.

இது ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தின் பகுதி.

இந்த பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நினைவில் கொள்வோம். பகுதி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எங்களிடம் "" - இது, மற்றும் "" - இதுவும், மற்றும்.

இப்போது நாம் கண்டுபிடிப்போம்.

பைதகோரியன் தேற்றத்தால்

சமம் என்றால் என்ன? ஏனெனில் இது சுற்றளவின் ஆரம் பிரமிட்சரி எனவே, மையம்.

முதல் - குறுக்குவெட்டு மற்றும் இடைநிலைகளின் புள்ளி.

(இதற்கான பித்தகோரியன் தேற்றம்)

க்கான சூத்திரத்தில் மாற்று.

எல்லாவற்றையும் தொகுதி சூத்திரத்தில் மாற்றவும்:

கவனம்: உங்களிடம் வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் இருந்தால் (அதாவது), சூத்திரம் பின்வருமாறு:

அடித்தளத்தின் பக்கமும் சம பக்க விளிம்பும் சமமாக இருக்கட்டும்.

இங்கே தேட வேண்டிய அவசியமில்லை; எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அடிவாரத்தில் ஒரு சதுரம் உள்ளது, எனவே.

நாங்கள் அதைக் கண்டுபிடிப்போம். பைதகோரியன் தேற்றத்தால்

எங்களுக்குத் தெரியுமா? கிட்டத்தட்ட. பார்:

(இதைக் கருத்தில் கொண்டு பார்த்தோம்).

இதற்கான சூத்திரத்தில் நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:

இப்போது அதை தொகுதி சூத்திரத்திலும் மாற்றுகிறோம்.

அடித்தளத்தின் பக்கமும் சமமாகவும், பக்க விளிம்பாகவும் இருக்கட்டும்.

கண்டுபிடிப்பது எப்படி? பாருங்கள், அறுகோணம் சரியாக ஆறு ஒத்த வழக்கமான முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அளவைக் கணக்கிடும்போது ஒரு வழக்கமான முக்கோணத்தின் பகுதியை நாங்கள் ஏற்கனவே பார்த்தோம், இங்கே நாம் கண்டறிந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

இப்போது (இது) கண்டுபிடிப்போம்.

பைதகோரியன் தேற்றத்தால்

ஆனால் அது என்ன விஷயம்? இது எளிதானது, ஏனெனில் (மற்றவர்கள் அனைவரும்) சரியானவர்கள்.

நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:

\\ displaystyle V \u003d \\ frac (\\ sqrt (3)) (2) ((a) ^ (2)) \\ sqrt (((b) ^ (2)) - ((a) ^ (2)))

பிரமிட். பிரதானத்தைப் பற்றி சுருக்கமாக

ஒரு பிரமிடு என்பது எந்த தட்டையான பலகோணத்தையும் () கொண்ட ஒரு பாலிஹெட்ரான் ஆகும், இது அடித்தளத்தின் விமானத்தில் (பிரமிட்டின் மேற்பகுதி) பொய் சொல்லாத ஒரு புள்ளி, மற்றும் பிரமிட்டின் மேற்புறத்தை அடித்தள புள்ளிகளுடன் இணைக்கும் அனைத்து பிரிவுகளும் ( பக்க விளிம்புகள்).

செங்குத்தாக, பிரமிட்டின் மேலிருந்து அடித்தளத்தின் விமானம் வரை குறைக்கப்படுகிறது.

சரியான பிரமிடு- ஒரு பிரமிடு, இதில் ஒரு வழக்கமான பலகோணம் அடிவாரத்தில் உள்ளது, மற்றும் பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அடித்தளத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

சரியான பிரமிட் சொத்து:

• வழக்கமான பிரமிட்டில், அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும்.
• அனைத்து பக்க முகங்களும் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்கள் மற்றும் இந்த முக்கோணங்கள் அனைத்தும் சமம்.