Sonsuz formalar. Mümkün olmayan cisimlərin paradoksal dünyası

ev / Aldadıcı ər

Yaratma bacarığı və fəza şəkilləri ilə işləmək, insanın ümumi intellektual inkişaf səviyyəsini xarakterizə edir. İN psixoloji tədqiqat bir insanın meyl arasında olduğunu eksperimental olaraq təsdiqlədi müvafiq peşələr və məkan nümayəndəliklərinin inkişaf səviyyəsi, statistik etibarlı bir əlaqə var. Mümkün olmayan rəqəmlərin geniş yayılması memarlıq, rəssamlıq, psixologiya, həndəsə və praktik həyatın bir çox digər sahələri haqqında daha çox məlumat əldə etmək imkanı verir fərqli peşələr və qərar verin gələcək peşə seçimi.

Açar sözlər: tribar, sonsuz pilləkən, boşluq fişi, qeyri-mümkün qutular, üçbucaq və penrose nərdivan, Escher kub, Reuterswaerd üçbucağı.

Tədqiqatın məqsədi:3 ölçülü modellərdən istifadə edərək qeyri-mümkün rəqəmlərin xüsusiyyətlərini öyrənmək.

Tədqiqatın məqsədləri:

Növlərini araşdırın və qeyri-mümkün rəqəmlərin təsnifatını aparın.
Mümkün olmayan rəqəmləri yaratmaq yollarını nəzərdən keçirin.
Kompüter proqramı və 3D modelləşdirmə istifadə edərək qeyri-mümkün rəqəmlər yaradın.

Mümkün olmayan rəqəmlər anlayışı

"Mümkün olmayan rəqəmlər" in obyektiv konsepsiyası yoxdur. Bir mənbədən qeyri-mümkün rəqəm - optik illüziyanın bir növü, adi üçölçülü cismin proyeksiyası kimi görünən, yaxından araşdırıldıqda rəqəm elementlərinin ziddiyyətli əlaqələri görünəcək bir rəqəm. Və başqa bir mənbədən qeyri-mümkün rəqəmlər həqiqi üç ölçülü məkanda olmayan obyektlərin həndəsi cəhətdən ziddiyyətli görünüşləridir. Qeyri-mümkünsüzlük, təsvir olunan məkanın bilinçsiz olaraq qəbul edilən həndəsəsi ilə rəsmi riyazi həndəsə arasındakı ziddiyyətdən irəli gəlir.

Fərqli tərifləri təhlil edərək nəticəyə gəlirik:

qeyri-mümkün rəqəm üç ölçülü bir obyekt təəssüratını verən məkan qavrayışımızın təklif etdiyi cismin ola bilmədiyi bir düz bir rəsmdir, buna görə onu yaratmaq cəhdi müşahidəçi üçün aydın görünən (həndəsi) ziddiyyətlərə səbəb olur.

Məkan bir cisim təəssüratını verən bir görüntüyə baxdıqda, fəza qavrayış sistemimiz ayrı-ayrı hissələrin və dərinlik göstərişlərinin təhlilindən başlayaraq məkan forması, istiqaməti və quruluşunu tapmağa çalışır. Bundan əlavə, bu ayrı hissələr bütün cismin məkan quruluşu haqqında ümumi bir fərziyyə yaratmaq üçün müəyyən qaydada birləşdirilir və əlaqələndirilir. Ümumiyyətlə, düz bir görüntünün sonsuz sayda məkan təfsirinə sahib olmasına baxmayaraq, təfsir mexanizmimiz yalnız birini seçir - bizim üçün ən təbii. Təsvirin özü deyil, imkanın və ya imkansızlığın daha da sınaqdan keçirildiyi bu şərhdir. Mümkün olmayan bir şərh öz quruluşunda ziddiyyətə çevrilir - fərqli qismən şərhlər ümumi ardıcıl bütövlüyə uyğun gəlmir.

Təbii şərhləri mümkün olmadıqda rəqəmlər mümkün deyil. Ancaq bu eyni rəqəmin mövcud ola biləcək başqa bir şərhinin olmadığını ifadə etmir. Beləliklə, fiqurların fəza təfsirlərini düzgün təsvir etmək üçün bir üsul tapmaq qeyri-mümkün rəqəmlər və onların təfsir mexanizmləri ilə gələcək işin əsas yollarından biridir. Fərqli şərhləri təsvir edə bilirsinizsə, onda bunları müqayisə edə, rəqəmi və onun fərqli şərhlərini əlaqələndirə bilərsiniz (şərhlərin yaradılması mexanizmlərini başa düşün), uyğunluğunu yoxlaya və ya uyğunsuzluq növlərini və s.

Mümkün olmayan rəqəmlərin növləri

Mümkün olmayan rəqəmlər iki böyük sinfə bölünür: bəzilərində həqiqi üçölçülü modellər var, digərlərində isə yaradıla bilməz.

Mövzu ilə əlaqədar iş zamanı 4 növ qeyri-mümkün rəqəm öyrənildi: qəbilə, bitməyən pilləkən, qeyri-mümkün qutular və boşluq çəngəl. Hamısı öz yolları ilə unikaldır.

Tribar (Penrose üçbucağı)

Elementləri bağlana bilməyən həndəsi cəhətdən qeyri-mümkün bir rəqəmdir. Axı, mümkün olmayan üçbucaq mümkün oldu. 1934-cü ildə İsveç rəssamı Oskar Reytesverd ilk dəfə imkansız kublar üçbucağını dünyaya təqdim etdi. Bu hadisənin şərəfinə İsveçdə poçt markası buraxıldı. Tribar kağızdan hazırlana bilər. Origami həvəskarları əvvəllər bir alimin düşüncədən kənar fantaziyası kimi görünən bir şey yaratmaq və əllərində saxlamaq üçün bir yol tapdılar. Bununla birlikdə, üç ölçülü cismin üç perpendikulyar xəttin proyeksiyasına baxdığımızda öz gözlərimizlə aldanırıq. Müşahidəyə elə gəlir ki, üçbucağı görür, əslində bu belə deyil.

Sonsuz pilləkən.

Sonu və kənarı olmayan dizaynı bioloq Leionel Penrose və riyaziyyatçı oğlu Roger Penrose icad etdilər. Model ilk dəfə 1958-ci ildə nəşr olundu, bundan sonra böyük populyarlıq qazandı, klassik qeyri-mümkün bir fiqura çevrildi və əsas konsepsiyası rəssamlıq, memarlıq və psixologiyada tətbiq olundu. Penrose pilləkən modeli, kompüter oyunları, bulmacalar, optik illüziyalar sahəsindəki digər qeyri-real fiqurlarla müqayisədə ən böyük populyarlıq qazandı. "Aşağıya doğru addımlarla yuxarı qalx" - Penrose pilləkənlərini belə təsvir edə bilərsiniz. Bu dizaynın ideyası odur ki, saat yönünde hərəkət edərkən addımlar hər zaman yuxarıya, əks istiqamətdə isə aşağıya doğru aparır. Üstəlik, "əbədi pilləkən" yalnız dörd uçuşdan ibarətdir. Bu o deməkdir ki, pilləkənlərin cəmi dörd uçuşundan sonra səyyah hərəkət etməyə başladığı yerdən özünü tapır.

Mümkün olmayan qutular.

Digər bir qeyri-mümkün bir cisim 1966-cı ildə Çikaqoda fotoqraf doktor Çarlz F. Cochranın orijinal təcrübələri nəticəsində ortaya çıxdı. Mümkün olmayan rəqəmlərin bir çox pərəstişkarı Crazy Box ilə təcrübə keçirdi. Müəllif əvvəlcə onu "pulsuz qutu" adlandırdı və "çox miqdarda imkansız obyektlərin göndərilməsi üçün hazırlandığını" bildirdi. "Dəli qutu" içəriyə çevrilmiş bir kub çərçivəsidir. Crazy Box’un dərhal sələfi Escher tərəfindən İmkansız Qutu idi və onun sələfi də öz növbəsində Necker Cube idi. Mümkün olmayan bir obyekt deyil, ancaq dərinlik parametrinin birmənalı olaraq qəbul edilə biləcəyi bir rəqəmdir. Necker kubuna nəzər saldıqda, nöqtəsi olan üzün ya ön planda, ya da arxa planda olduğunu, bir mövqedən digərinə keçdiyini görürük.

Kosmik fiş.

Bütün mümkün olmayan rəqəmlər arasında qeyri-mümkün trident ("kosmik çəngəl") xüsusi yer tutur. Tridentin sağ tərəfini əlinizlə bağlasanız, çox real bir mənzərəni - üç dəyirmi diş görəcəyik. Tridentin alt hissəsini bağlasaq, onda həqiqi mənzərəni də görəcəyik - iki düzbucaqlı diş. Ancaq bütün rəqəmi bütöv hesab etsək, üç dəyirmi dişin tədricən iki düzbucaqlı dişə çevrildiyi ortaya çıxır.

Beləliklə, bu rəsmin ön hissəsi və arxa planının ziddiyyətli olduğunu görə bilərsiniz. Yəni əvvəlcə ön planda olanlar geri qayıdır və arxa (orta diş) irəli sürünür. Ön plana və arxa plana dəyişdirməklə yanaşı, bu rəqəm başqa bir təsirə malikdir - tridentin sağ tərəfinin düz kənarları solda yuvarlaqlaşır. Mümkünsüzlük effekti beynimizin rəqəmin konturunu analiz etməsi və dişlərin sayını saymağa çalışması səbəbindən əldə edilir. Beyin, şəklin sol və sağ tərəfindəki rəqəmdəki dişlərin sayını müqayisə edir, bu da rəqəmin qeyri-mümkün olmasına səbəb olur. Şəkildəki dişlərin sayı əhəmiyyətli dərəcədə çox olsaydı (məsələn, 7 və ya 8), onda bu paradoks daha az tələffüz ediləcəkdi.

Rəsmlərə görə qeyri-mümkün fiqurlardan modellər hazırlamaq

Üç ölçülü bir model, fiziki cəhətdən təmsil olunan bir obyektdir, kosmosda baxıldıqda, bütün çatlamalar və əyilmələr kosmosda görünən olur, bu qeyri-mümkünlüyün illüziyasını məhv edir və bu model "sehrini" itirir. Bu model iki ölçülü bir müstəviyə proqnozlaşdırıldıqda qeyri-mümkün bir rəqəm əldə edilir. Bu qeyri-mümkün rəqəm (üçölçülü modeldən fərqli olaraq) yalnız insan təsəvvüründə mövcud ola biləcək, lakin kosmosda mövcud ola bilməyən bir cisim təəssüratını yaradır.

Tribar

Kağız modeli:

Mümkün olmayan bar

Kağız modeli:

Mümkün olmayan rəqəmlərin inşasıproqramıMümkün deyilKonstruktor

İmkansız Konstruktor proqramı, kublardan qeyri-mümkün fiqurların şəkillərini yaratmaq üçün hazırlanmışdır. Bu proqramın əsas çatışmazlıqları tələb olunan kubun seçilməsinin mürəkkəbliyi idi (proqramda mövcud olan 32 kubdan birini tapmaq olduqca çətindir), həmçinin bütün kub variantlarının təmin edilməməsi idi. Təklif olunan proqram, seçmə üçün kubların tam dəstini (64 kub) təqdim edir, həmçinin kublar konstruktorundan istifadə edərək lazımi kubları tapmaq üçün daha rahat bir yol təqdim edir.

Mümkün olmayan rəqəmləri modelləşdirmək.

Çap 3D qeyri-mümkün rəqəmlərin modelləri printerdə

İş zamanı, dörd mümkün olmayan rəqəmin modelləri 3D printerdə çap edildi.

Penrose üçbucağı

Tribar yaradılması prosesi:

Budur, sona çatdı:

Escher kubu

Bir kubun yaradılması prosesi: Nəhayət, bir model əldə edilir:

Penrose nərdivanı(pilləkənlərin cəmi dörd uçuşundan sonra səyyah hərəkət etdiyi yerdən eyni yerdə olur):

Reuterswärd üçbucağı(doqquz kubun ilk mümkün olmayan üçbucağı):

Çap etməyə hazırlaşma praktikada stereometrik fiqurları necə bir təyyarədə qurmağı, müəyyən bir müstəvidə fiqur elementlərin proqnozlarını yerinə yetirməyi və fiqurların qurulması alqoritmlərini düşünməyi öyrənməyə imkan verdi. Yaradılmış modellər qeyri-mümkün rəqəmlərin xüsusiyyətlərini vizual olaraq görməyə və təhlil etməyə, onları məşhur stereometrik rəqəmlərlə müqayisə etməyə kömək etdi.

"Vəziyyəti dəyişə bilmirsinizsə, fərqli bir nöqtədən baxın."

Bu sitat birbaşa bu işə aiddir. Həqiqətən, müəyyən bir açıdan baxsanız mümkün olmayan rəqəmlər mövcuddur. Mümkün olmayan rəqəmlər dünyası olduqca maraqlı və müxtəlifdir. Bunlar qədim dövrlərdən bizim dövrümüzə qədər mövcuddur. Bunlara demək olar ki, hər yerdə rast gəlmək olar: sənətdə, memarlıqda, populyar mədəniyyətdə, rəngkarlıqda, ikon rəngkarlığında, filatelizmdə. Mümkün olmayan rəqəmlər psixoloqlar, idrak elm adamları və təkamül bioloqları üçün böyük maraq doğurur, görmə və məkan düşüncəmiz haqqında daha çox məlumat əldə etməyə kömək edir. Bu gün kompüter texnologiyası, virtual reallıq və proqnozlaşdırma güc verir ki, ziddiyyətli obyektlərə yenilənmiş maraqla baxılsın. Bir çox peşə var ki, birtəhər qeyri-mümkün rəqəmlərlə əlaqələndirilir. Onların hamısı müasir dünyada tələbdir və buna görə imkansız rəqəmlərin öyrənilməsi aktual və zəruridir.

Ədəbiyyat:

Reutersvard O. Mümkün olmayan rəqəmlər. - M .: Stroyizdat, 1990, 206 s.
Penrose L., Penrose R. Mümkün olmayan obyektlər, Kvant, № 5,1971, s.26
Tkacheva M.V. Fırlanan kublar. - M .: Bustard, 2002 .-- 168 s.
http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/
http://www.impworld.narod.ru/.
Levitin Karl Həndəsi Rapsodiya. - M .: Bilik, 1984, -176 s.
http://www.geocities.jp/ikemath/3Drireki.htm
http://im-possible.info/russian/programs/
https://www.liveinternet.ru/users/irzeis/post181085615
https://newtonew.com/science/impossible-objects
http://www.psy.msu.ru/illusion/impossible.html
http://referatwork.ru/category/iskusstvo/view/73068_nevozmozhnye_figury
http://geometry-and-art.ru/unn.html

Açar sözlər: tribar, sonsuz pilləkən, kosmik çəngəl, mümkün olmayan qutular, üçbucaq və Penrose pilləkənlər, Escher kub, Reuterswärd üçbucağı.

Qeyd: Fəza şəkilləri ilə yaratmaq və işlətmək qabiliyyəti insanın ümumi intellektual inkişaf səviyyəsini xarakterizə edir. Psixoloji tədqiqatlarda bir insanın müvafiq peşələrə meyl etməsi və məkan nümayəndəliklərinin inkişaf səviyyəsi arasında statistik cəhətdən bir əlaqənin olduğu təcrübi olaraq təsdiqlənmişdir. Memarlıq, rəssamlıq, psixologiya, həndəsə və praktik həyatın bir çox sahələrində qeyri-mümkün fiqurların geniş yayılması müxtəlif peşələr haqqında daha çox məlumat əldə etməyə və gələcək peşə seçiminə qərar verməyə imkan verir.

Bir çox insanlar imkansız rəqəmlərin həqiqətən mümkün olmadığını və real dünyada yarana bilməyəcəyini düşünürlər. Ancaq məktəb həndəsə kursundan bilirik ki, bir vərəqdə təsvir edilmiş bir rəsm üçölçülü fiqurun bir təyyarəyə proyeksiyasıdır. Buna görə bir kağız üzərində çəkilmiş hər hansı bir forma üç ölçülü məkanda olmalıdır. Üstəlik, üçölçülü cisimlər bir təyyarəyə proyeksiya edildikdə, müəyyən bir təyyarə fiqurunun sonsuz dəstini çıxarırlar. Eyni şey qeyri-mümkün rəqəmlərə də aiddir.

Əlbətdə ki, mümkün olmayan rəqəmlərdən heç biri düz bir şəkildə hərəkət etməklə yarana bilməz. Məsələn, üç eyni ağac parçası götürsəniz, qeyri-mümkün üçbucaq yaratmaq üçün onları bir-birinə sığışdıra bilməyəcəksiniz. Ancaq üç ölçülü bir fiquru bir təyyarəyə proyeksiya edərkən bəzi xətlər görünməz hala gələ bilər, bir-birinə üst-üstə düşə bilər, bir-birinə qoşula bilər və s. Buna əsaslanaraq üç fərqli çubuğu götürə bilərik və aşağıdakı fotoda göstərilən üçbucağı düzəldə bilərik (Şəkil 1). Bu fotoşəkil M.K əsərlərinin məşhur populyarlaşdırıcısı tərəfindən hazırlanmışdır. Bruno Ernstin çox sayda kitabının müəllifi Escher. Fotonun ön hissəsində qeyri-mümkün üçbucaq formasını görürük. Arxa planda eyni rəqəmi fərqli baxımdan əks etdirən bir güzgü quraşdırılmışdır. Və görürük ki, əslində imkansız üçbucağın rəqəmi bağlı deyil, açıq bir rəqəmdir. Yalnız rəqəmi müşahidə etdiyimiz nöqtədən görünür ki, rəqəmin şaquli çubuğu üfüqi çubuqdan kənara çıxır, nəticədə rəqəm qeyri-mümkün görünür. Baxış bucağını bir az dəyişdirsəydik, dərhal rəqəmdəki boşluğu görərdiniz və imkansızlığın təsirini itirərdiniz. Mümkün olmayan bir rəqəmin yalnız bir baxımdan qeyri-mümkün görünməsi bütün mümkün olmayan rəqəmlər üçün xarakterikdir.

Şek. 1. Mümkün olmayan üçbucaq şəkli Bruno Ernst tərəfindən çəkilib.

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, verilmiş bir proyeksiyaya uyğun rəqəmlərin sayı sonsuzdur, buna görə yuxarıda göstərilən nümunə əslində mümkün olmayan üçbucaq qurmağın yeganə yolu deyildir. Belçikalı rəssam Mathieu Hamaekers Şəkildə göstərilən heykəl yaratdı. 2. Sol tərəfdəki fotoşəkildə qeyri-mümkün üçbucaq kimi görünən fiqurun ön mənzərəsi, mərkəzi fotoşəkildə eyni fiqur 45 ° dönmüş, sağdakı foto isə 90 ° dönmüş rəqəm göstərir.

Şek. 2. Mathieu Hemakers'in imkansız üçbucağının şəkli.

Gördüyünüz kimi, ümumiyyətlə bu rəqəmdə düz xətlər yoxdur, rəqəmin bütün elementləri müəyyən bir şəkildə əyri olur. Ancaq əvvəlki vəziyyətdə olduğu kimi, qeyri-mümkün təsiri yalnız bir baxış bucağında nəzərə çarpır, bütün əyri xətlər düz xətlərə çəkildikdə və bəzi kölgələrə məhəl qoymursanız, rəqəm qeyri-mümkün görünür.

Qeyri-mümkün üçbucaq yaratmağın başqa bir yolu, rus rəssamı və dizayneri Vyacheslav Koleichuk tərəfindən təklif edildi və 9 nömrəli "Texniki Estetika" jurnalında (1974) dərc edildi. Bu dizaynın bütün kənarları düz xətlərdir və kənarları əyridir, baxmayaraq ki, bu əyrilik rəqəmin ön görünüşündə görünmür. Bu üçbucağın bu modelini ağacdan yaratdı.

Şek. 3. Vyacheslav Koleichuk'un imkansız üçbucağının modeli.

Daha sonra bu model İsrailin Technion İnstitutunun Kompüter Elmləri Bölməsindən Elber Gershon Elber tərəfindən yenidən yaradıldı. Onun versiyası (bax. Şəkil 4) əvvəlcə kompüterdə hazırlanmış və sonra üçölçülü printerdən istifadə edərək reallıqda yenidən qurulmuşdur. Mümkün olmayan üçbucağın görünüş bucağını bir az dəyişdirsək, Şekildəki ikinci fotoşəkildə bənzər bir rəqəm görərik. 4.

Şek. 4. Elber Gershon tərəfindən qeyri-mümkün üçbucaq qurma variantı.

Diqqətə çatdırmaq yerinə düşər ki, indi fiqurlara deyil, rəqəmlərə özümüz baxsaydıq, dərhal görərdik ki, təqdim olunan rəqəmlərin heç biri mümkün deyil və bunların hər birinin sirri nədir. Bu rəqəmləri qeyri-mümkün görə bilməyəcəyik, çünki stereoskopik görmə qabiliyyətimiz var. Yəni bir-birimizdən müəyyən bir məsafədə yerləşən gözlərimiz eyni obyekti iki yaxın, lakin yenə fərqli, nöqteyi-nəzərdən görür və beynimiz gözümüzdən iki görüntü alaraq onları vahid bir şəkil şəklində birləşdirir. Əvvəllər deyilirdi ki, qeyri-mümkün bir cisim yalnız bir nöqteyi-nəzərdən qeyri-mümkün görünür və iki cəhətdən bir obyekti müşahidə etdiyimiz üçün dərhal bu və ya digər obyektin yaratdığı fəndləri görürük.

Bu, əslində imkansız bir obyekti görmək mümkün olmadığını ifadə edirmi? Xeyr, edə bilərsiniz. Bir gözü bağlayıb bir rəqəmə baxsan, qeyri-mümkün görünür. Buna görə, muzeylərdə imkansız rəqəmləri nümayiş etdirən zaman ziyarətçilər onlara bir gözlə divardakı kiçik bir çuxurdan baxmağa məcbur olurlar.

Mümkün olmayan bir anda iki gözlə görə biləcəyiniz başqa bir yol var. Aşağıdakılardan ibarətdir: çoxmərtəbəli bir bina qədər hündür bir fiqur yaratmaq, geniş bir açıq yerə yerləşdirmək və çox uzaq məsafədən baxmaq lazımdır. Bu vəziyyətdə rəqəmə iki gözlə baxsan da, hər iki gözün bir-birindən praktiki olaraq ayrılmaz olan görüntülər alması səbəbindən mümkünsüz olduğunu qəbul edəcəksən. Belə bir qeyri-mümkün rəqəm Avstraliyanın Perth şəhərində yaradıldı.

Mümkün olmayan üçbucağın real dünyada qurulması nisbətən asandırsa, o zaman üçölçülü məkanda qeyri-mümkün bir trident yaratmaq o qədər də asan deyil. Bu rəqəmin bir xüsusiyyəti, fiqurun ayrı-ayrı elementləri, rəqəmin yerləşdiyi arxa plana keçdikdə, fiqurun ön və arxa planı arasında bir ziddiyyətin olmasıdır.

Şek. beş. Tikinti, imkansız bir tridentə bənzəyir.

Axen şəhərində (Almaniya) Göz Optikası İnstitutu xüsusi bir quraşdırma yaradaraq bu problemi həll edə bildi. Tikinti iki hissədən ibarətdir. Qarşıda üç dəyirmi sütun və bir inşaatçı var. Bu hissə yalnız alt hissədə yanır. Sütunların arxasında ön tərəfdə əks olunan bir təbəqə olan yarı keçə bilən bir aynadır, yəni tamaşaçı güzgüün arxasında nə olduğunu görmür, ancaq sütunların əksini görür.

Şek. 6.Quraşdırma diaqramı qeyri-mümkün bir tridenti əks etdirir.

D. RAKOV, texnika elmləri namizədi (A. A. Blagonravov Maşınqayırma İnstitutu, RAS).

Təsəvvürlərin böyük bir sinfi var: "Nə görürük? Qəribə bir şey var." Bunlar təhrif olunmuş bir dünyagörüşü olan rəsmlər və üçölçülü dünyamızda mümkün olmayan cisimlər və tamamilə real cisimlərin ağlasığmaz birləşmələridir. XI əsrin əvvəllərində görünən bu cür "qəribə" rəsmlər və fotoşəkillər bu gün imp-art adlanan bütöv bir sənət sahəsinə çevrildi.

William Hogard. Ən azı on dörd səhv perspektivdə edildiyi "Mümkün olmayan perspektiv".

Madonna və Uşaq. 1025 il.

Pieter Bruegel. "Mağarada mağara". 1568-ci il.

Oscar Rutesward. Opus 1 (# 293aa). 1934-cü il.

Oscar Rutesward. "Opus 2B". 1940 il.

Maurits Cornelius Escher. "Qalxma və enmə".

Roger Penrose. "Mümkün olmayan üçbucaq". 1954-cü il.

"Mümkün olmayan üçbucağın" tikintisi.

Heykəltəraşlıq "Mümkün olmayan üçbucaq", fərqli tərəfdən görünüş. Buruq elementlərdən qurulmuş və yalnız bir nöqtədən mümkün olmayan görünür.

Şek. 1. Mümkün olmayan obyektlərin təsnifatının morfoloji cədvəli.

İnsan rəsmini sol alt küncdən (1) araşdırmağa başlayır, sonra əvvəlcə ortaya (2), sonra isə 3 nöqtəyə baxır.

Baxdığımız istiqamətə görə fərqli cisimlər görürük.

Mümkün olmayan əlifba mümkün və qeyri-mümkün formaların birləşməsidir, bunların arasında hətta çərçivə elementi də var. Müəllif tərəfindən rəsm.

Elm və həyat // İllüstrasiyalar

"Moskva" (metro xətlərinin sxemi) və "taleyin iki xətti". Müəllifin rəsmləri; kompüter emalı. 2003-cü il. Rəqəmlər diaqram və qrafik qurmaq üçün yeni imkanlar göstərir.

Elm və həyat // İllüstrasiyalar

Bir kubda kub ("Üç ilbiz"). Fırlanan görüntü orijinaldan daha yüksək "imkansızlıq" dərəcəsinə malikdir.

"Lənətə gəlmiş çəngəl." Bu rəqəmə əsaslanaraq bir çox imkansız görüntü yaradılmışdır.

Nə görürük - bir piramida və ya bir açılış?

Bir az tarix

Təhrif olunmuş bir dünyagörüşü olan rəsm əsərləri birinci minilliyin əvvəllərində tapılmışdır. 1025-ci ildən əvvəl yaradılan və Münhendəki Bavariya Dövlət Kitabxanasında saxlanılan II Henry kitabından hazırlanmış bir miniatür, Madonna və Uşaq təsvir edilmişdir. Rəsmdə üç sütundan ibarət bir tonoz təsvir edilmişdir və orta sütun, perspektiv qanunlarına görə, Madonnanın qarşısında yerləşməlidir, ancaq rəssamlığa sürrealizm effektini verən, arxasında durur. Təəssüf ki, bu texnikanın sənətçinin şüurlu bir hərəkəti olub-olmadığını və ya səhv etdiyini heç vaxt bilməyəcəyik.

Rəsmdə şüurlu bir istiqamət kimi deyil, görüntü qavrayışının təsirini artıran üsullar kimi qeyri-mümkün fiqurların şəkilləri Orta əsrlərin bir sıra rəssamları arasında rast gəlinir. Pieter Breughel-in 1568-ci ildə çəkdiyi "Çəmənliklərdəki sehrbazlıq" əsəri, bütün mənzərəyə təsir göstərən qeyri-mümkün bir dizaynın cazibəsini göstərir. 18-ci əsrdə tanınmış ingilis rəssamı William Hogarthın "Saxta Perspektiv" əsərində sənətkarın dünyagörüşü qanunlarını bilməməsinin nə qədər cəfəngiyat olduğunu göstərir.

20-ci əsrin əvvəllərində rəssam Marcel Duchamp, Filadelfiya İncəsənət Muzeyində yerləşən "Apolinere emameded" (1916-1917) reklam rəsmini çəkdi. Yatağın dizaynında, kətan üzərində qeyri-mümkün üçbucaq və dördbucaqlı görünə bilər.

Qeyri-mümkün sənət istiqamətinin banisi - imp-art, qeyri-mümkün sənət İsveç rəssamı Oscar Rutesvard (Oscar Reutersvard) adlandırılır. İlk imkansız rəqəm "Opus 1" (N 293aa) 1934-cü ildə usta tərəfindən çəkilmişdir. Üçbucaq doqquz kubdan ibarətdir. Rəssam təcrübələrini qeyri-adi əşyalarla davam etdirdi və 1940-cı ildə cəmi üç kubdan ibarət olan, azalmış imkansız üçbucaq olan "Opus 2B" rəqəmini yaratdı. Bütün kublar gerçəkdir, lakin üç ölçülü məkanda yerləşdirilməsi mümkün deyil.

Eyni sənətçi "mümkün olmayan pilləkən" (1950) prototipini yaratdı. Ən məşhur klassik fiqur "Mümkün olmayan üçbucaq" ingilis riyaziyyatçısı Roger Penrose tərəfindən 1954-cü ildə yaradılmışdır. Rutesward kimi paralel deyil, rəng dərinliyini və ifadəliliyini və buna görə də daha çox mümkünsüzlüyü təmin edən xətti bir perspektivdən istifadə etdi.

İmp-artın ən məşhur rəssamı M. C. Escher idi. Ən məşhur əsərləri arasında "Şəlalə" (1961) və "Artan və Azalan" rəsmləri var. Sənətkar Rutesward tərəfindən kəşf edilmiş və Penrose tərəfindən daha da inkişaf etdirilən "sonsuz pilləkən" effektindən istifadə etmişdir. Kətan iki sıra kişiləri təsvir edir: saat istiqamətində hərəkət edərkən kişilər daim yüksəlir və saat yönünün əksinə hərəkət edərkən enirlər.

Bir az həndəsə

Optik illüziyalar yaratmağın bir çox yolu var (Latıncadan "iliusio" sözündən - səhv, aldatma - bir cismani və onun xüsusiyyətlərini qeyri-adekvat qəbul etmək). Ən təsirli olanlardan biri imkansız sənət istiqamətləri, qeyri-mümkün rəqəmlərin şəkillərinə söykənir. Mümkün olmayan cisimlər, bir təyyarədəki rəsmlərdir (iki ölçülü şəkillər), izləyicinin həqiqi üç ölçülü dünyamızda belə bir quruluşun mövcud olmaması təəssüratı yaradan şəkildə qurulmasıdır. Klassik, əvvəllər qeyd edildiyi kimi və ən sadə belə rəqəmlərdən biri imkansız üçbucaqdır. Şəklin hər bir hissəsi (üçbucağın açıları) ayrıca dünyamızda mövcuddur, lakin onların üçölçülü məkanda birləşməsi qeyri-mümkündür. Bütün rəqəmin həqiqi hissələri arasındakı nizamsız əlaqələrin tərkibi kimi qavranılması qeyri-mümkün quruluşun aldadıcı təsirinə səbəb olur. Baxış qeyri-mümkün bir fiqurun kənarları ilə sürüşür və onu məntiqi bir bütöv kimi qəbul etmək iqtidarında deyil. Əslində, baxış əsl üçölçülü quruluşu (şəkilə bax) bərpa etməyə çalışır, amma uyğunsuzluqla qarşılaşır.

Həndəsi nöqteyi-nəzərdən üçbucağın mümkünsüzlüyü bir-birinə cüt qoşulmuş, lakin Karteziya koordinat sisteminin üç fərqli oxu boyunca qapalı bir fiqur meydana gətirməsindən ibarətdir.

Mümkün olmayan cisimlərin qəbulu prosesi iki mərhələyə bölünür: rəqəmin üçölçülü bir obyekt kimi tanınması və obyektin "yanlışlığının" dərk edilməsi və üçölçülü dünyada mövcudluğunun mümkünsüzlüyü.

Mümkün olmayan rəqəmlərin mövcudluğu

Bir çox insanlar imkansız rəqəmlərin həqiqətən mümkün olmadığını və real dünyada yarana bilməyəcəyinə inanırlar. Ancaq yadda saxlamalıyıq ki, bir vərəqdə hər hansı bir rəsm üçölçülü fiqurun proyeksiyasıdır. Buna görə bir kağız üzərində çəkilmiş hər hansı bir forma 3D məkanında olmalıdır. Rəsmlərdəki qeyri-mümkün obyektlər üç ölçülü cisimlərin proyeksiyalarıdır, yəni obyektlərin heykəltəraşlıq kompozisiyası (üç ölçülü əşyalar) şəklində reallaşdırılması deməkdir. Onları yaratmaq üçün bir çox yol var. Onlardan biri əyri xətləri qeyri-mümkün üçbucağın tərəfləri kimi istifadə edir. Yaradılmış heykəl yalnız bir nöqtədən mümkünsüz görünür. Bu nöqtədən, əyri tərəflər düz görünür və məqsədə çatacaq - əsl "imkansız" bir obyekt yaradılır.

İmp-artın faydaları haqqında

Oscar Rutesward "Omojliga fiquru" kitabında (rus dilində tərcümədə) psixoterapiya üçün qeyri-sənət rəsmlərindən istifadə haqqında danışır. Yazır ki, şəkillər paradoksları ilə təəccüb doğurur, diqqəti kəskinləşdirir və deşifrə etmək istəyi yaradır. İsveçdə onlar diş təcrübəsində istifadə olunur: gözləmə otağında şəkillərə baxarkən xəstələr diş həkimi otağının qarşısında xoşagəlməz düşüncələrdən yayınırlar. Rusiyanın müxtəlif bürokratik və digər qurumlarında qəbulu gözləməyin nə qədər vaxt tələb etdiyini xatırlayaraq, qəbul otağının divarlarında qeyri-mümkün rəsmlərin gözləmə müddətini işıqlandıraraq qonaqları sakitləşdirə və bununla da sosial təcavüzü azalda biləcəyini güman etmək olar. Başqa bir seçim, slot maşınlarının quraşdırılması və ya, məsələn, alış maşınlarında dartların hədəfi kimi uyğun üzləri olan dummies olacaqdır, amma təəssüf ki, Rusiyada bu cür yenilik heç vaxt təşviq edilmədi.

Qavrayış fenomenindən istifadə

Qeyri-mümkünlüyün təsirini artırmaq üçün bir yol varmı? Bəzi obyektlər digərlərindən daha "mümkünsüzdür"? Və burada insan qavrayışının xüsusiyyətləri köməyə gəlir. Psixoloqlar gözün aşağı sol küncdən cismi (şəkili) araşdırmağa başladığını, sonra baxış sağdan mərkəzə doğru sürüşdüyünü və şəklin aşağı sağ küncünə endiyini təsbit etdilər. Belə bir trayektoriya, atalarımızın bir düşmənlə qarşılaşdıqda əvvəlcə ən təhlükəli sağ ələ baxdıqları, sonra baxışlarının sola, üzə və fiqura baxması ilə bağlı ola bilər. Beləliklə, bədii qavrayış, şəklin tərkibinin necə qurulduğundan əhəmiyyətli dərəcədə asılı olacaqdır. Orta əsrlərdə bu xüsusiyyət qobelen istehsalında aydın şəkildə özünü göstərirdi: onların rəsmləri orijinalın güzgü təsviri idi və qobelenlərin və orijinalların istehsal etdikləri təəssüratlar fərqlidir.

Bu əmlak, qeyri-mümkün obyektlərlə yaradılış yaratmaqda, "mümkünsüzlük dərəcəsini" artırmaq və ya azaltmaqda uğurla istifadə edilə bilər. Ayrıca kompüter texnologiyasından istifadə edərək və ya digərinə nisbətən dönmüş bir neçə şəkildən (bəlkə də fərqli simmetriyalar istifadə edərək) maraqlı kompozisiyalar əldə etmək, obyektdə fərqli bir təəssürat yaratmaq və tamaşaçı üçün konsepsiyanın mahiyyətini daha dərindən anlamaq perspektivini açır ( daim və ya sıçrayışda) bəzi açılarda sadə bir mexanizm istifadə edərək.

Bu istiqaməti çoxbucaqlı (çoxbucaqlı) adlandırmaq olar. Təsvirlərdə bir-birinə nisbətən dönmüş şəkillər göstərilir. Kompozisiya aşağıdakı şəkildə yaradıldı: mürəkkəb və qələmlə kağız üzərində rəsm skan edildi, rəqəmsal formaya çevrildi və qrafik redaktorda işləndi. Bir müntəzəmlik qeyd edilə bilər - dönüşümlü şəkil orijinaldan daha böyük "imkansızlıq dərəcəsinə" malikdir. Bunu izah etmək asandır: iş prosesində sənətkar bilinçsiz bir şəkildə "düzgün" imic yaratmağa çalışır.

Kombinasiyalar, birləşmələr

Heykəltəraşlıq reallaşdırılması mümkün olmayan bir qrup obyekt var. Bəlkə də bunlardan ən məşhuru "imkansız trident" və ya "şeytan çəngəlidir" (P3-1). Obyektə yaxından baxsanız, üç dişin tədricən ortaq bir şəkildə iki hala gəldiyini və qavrayış qarşıdurmasına səbəb olacağını görəcəksiniz. Yuxarıdakı və aşağıdakı dişlərin sayını müqayisə edirik və cismin qeyri-mümkün olduğu qənaətinə gəlirik. "Çəngəl" əsasında çox sayda qeyri-mümkün obyekt yaradıldı, o cümlədən bir hissəsində silindrik bir hissəsi digərində kvadrat olur.

Bu illüziyaya əlavə olaraq, görmə optik illüziyalarının bir çox növü (ölçü, hərəkət, rəng və s. İllüziyalar) var. Dərinlik qavrayışı illüziyası ən qədim və məşhur optik illüziyalardan biridir. Bu qrupa Necker kubu (1832) daxildir və 1895-ci ildə Armand Thiery, qeyri-mümkün rəqəmlərin xüsusi bir növü haqqında bir məqalə dərc etdi. Bu yazı sonradan Thierry adını almış və op-art sənətkarları tərəfindən saysız-hesabsız istifadə olunan bir cisim çəkən ilkdir. Obyekt 60 və 120 dərəcə tərəfləri olan beş eyni rombusdan ibarətdir. Şəkildə, bir səth boyunca bağlı olan iki kubu görə bilərsiniz. Aşağıdan yuxarıya baxsanız, alt kubu yuxarıda iki divar ilə, yuxarıdan aşağıya baxsanız - yuxarıdakı divarları olan yuxarı kubu görə bilərsiniz.

Ən sadə Thierry bənzər bir rəqəm, ortada bir xətti olan müntəzəm bir romb olan "piramida aperture" illüziyasıdır. Gördüklərimizi - səthdən yuxarı qalxan bir piramida və ya üzərindəki bir açılış (depressiya) barədə dəqiq bir şey söyləmək mümkün deyil. Bu təsir 2003-cü il "Labirint (Piramida Planı)" qrafikasında istifadə olunur. Rəsm 2003-cü ildə Budapeştdə keçirilən beynəlxalq riyazi konfransında və "Ars (Dis) Symmetrica" \u200b\u200b03 sərgisində diplom aldı. Əsər dərin qavrayış illüziyası və qeyri-mümkün rəqəmlərin birləşməsindən istifadə edir.

Sonda deyə bilərik ki, optik sənətin ayrılmaz hissəsi kimi imp-art istiqaməti fəal inkişaf edir və yaxın gələcəkdə şübhəsiz ki, bu sahədə yeni kəşflər gözləyirik.

ƏDƏBİYYAT

Rutesward O. Mümkün olmayan rəqəmlər. - M .: Stroyizdat, 1990.

Illustration mövzular

Şek. 1. Məqalə müəllifinin tərtib etdiyi cədvəl tam və sərt olduğunu iddia etmir, lakin mümkün olmayan rəqəmlərin müxtəlifliyini qiymətləndirməyə imkan verir. Cədvəldə müxtəlif elementlərin 300 mindən çox birləşməsi var. Məqalə müəllifinin qrafikası və Vlad Alekseev saytından materiallar illüstrasiya şəklində istifadə edilmişdir.

Giriş …………………………………………………………

Əsas hissə. Mümkün olmayan rəqəmlər ……………

2.1. Bir az tarix ………………………………………… .4

2.2. Mümkün olmayan rəqəmlərin növləri ……………………………… .6

2.3. Oscar Ruthersward - qeyri-mümkün bir fiqurun atası …………………

2.4. Mümkün olmayan rəqəmlər mümkündür! ………………………… .13

2.5. Mümkün olmayan rəqəmlərin tətbiqi ................. 14

Nəticə ……………………………………………… .15

İstinadların siyahısı………………………………………………………………16

Giriş

Artıq bir müddətdir ki, bu cür rəqəmlərlə maraqlanıram ki, ilk baxışdan adi kimi görünür, amma yaxından baxanda onlarda bir şeyin olmadığını görə bilərsiniz. Mənim üçün əsas maraq qeyri-mümkün adlandırılan rəqəmlər idi, bunlara real dünyada mövcud ola bilmədikləri görünür. Onlar haqqında daha çox bilmək istədim.

"Mümkün olmayan fiqurlar dünyası" sürətli inkişafını yalnız XX əsrin əvvəllərində əldə edən ən maraqlı mövzulardan biridir. Lakin, bundan xeyli əvvəl, bir çox alim və filosof bu məsələ ilə məşğul olmuşlar. Bir kub, piramida, paralelepiped kimi sadə həcmli formalar da müşahidəçinin gözündən fərqli məsafələrdə yerləşən bir neçə rəqəmin birləşməsi şəklində təqdim edilə bilər. Eyni zamanda, hər zaman ayrı-ayrı hissələrin görüntüsü bütöv bir şəkilə birləşən bir xətt olmalıdır.

"Mümkün olmayan bir rəqəm, həqiqətdə mövcud olmayan, lakin iki ölçülü bir görüntü olaraq görülə bilən üç ölçülü bir obyektdir." Bu növlərdən biridir optik illüziyalar , ilk baxışdan adi üçölçülü bir cismin proyeksiyası kimi görünən bir rəqəm, daha yaxından araşdırıldıqda rəqəm elementlərinin ziddiyyətli əlaqələri görünəcəkdir. Üç ölçülü məkanda belə bir fiqurun mövcudluğunun mümkünsüzlüyü illüziyası yaranır.

Qarşımda sual yarandı: "Gerçək dünyada imkansız rəqəmlər varmı?"

Layihənin məqsədləri:

1.Fərq etnecə yaradılmışdırqeyri-real rəqəmlər görünür.

2. Tətbiqləri tapın qeyri-mümkün rəqəmlər.

Layihənin məqsədləri:

1. "Mümkün olmayan rəqəmlər" mövzusunda ədəbiyyat öyrənmək.

2 . Təsnifat yaradın qeyri-mümkün rəqəmlər.

3.Pmümkün olmayan rəqəmlərin qurulma yollarını nəzərdən keçirin.

4 yaratmaq mümkün deyilfiqur.

İşimin mövzusu aktualdır, çünki paradoksları anlamaq ən yaxşı riyaziyyatçı, elm və sənət adamlarının sahib olduğu yaradıcı potensialın növlərindən biridir. Həqiqi olmayan obyektlərlə bir çox əsər "intellektual riyazi oyunlar" kimi təsnif edilə bilər. Belə bir dünya yalnız riyazi düsturların köməyi ilə modelləşdirilə bilər, insan sadəcə təsəvvür edə bilməz. Mümkün olmayan rəqəmlər məkan təsəvvürünün inkişafı üçün faydalıdır. İnsan yorulmadan əqli olaraq özü üçün sadə və başa düşülən şeyi yaradır. Ətrafındakı bəzi əşyaların "imkansız" ola biləcəyini təsəvvür belə edə bilməz. Əslində, dünya birdir, amma buna müxtəlif nöqtələrdən baxıla bilər.

Mümkün deyilrəqəmlər

Bir az tarix

Mümkün olmayan rəqəmlər çox vaxt qədim oymalarda, rəsmlərdə və nişanlarda rast gəlinir - bəzi hallarda perspektivi çatdırmaqda açıq-aşkar səhvlərə, digərlərində isə bədii niyyət səbəbindən qəsdən təhriflərə yol verilir.

Orta əsr Yapon və Fars rəssamlığında qeyri-mümkün əşyalar, şərq sənət üslubunun ayrılmaz bir hissəsidir, şəkilin yalnız ümumi bir məzmununu verir, detalları öz istədiklərinə uyğun olaraq izləyicinin "düşünməli olduğu" detalları. Budur qarşımızda bir məktəb. Diqqətimizi arxitektura quruluşuna çəkirik, həndəsi uyğunsuzluğu göz qabağındadır. Həm otağın daxili divarı, həm də binanın xarici divarı kimi təfsir edilə bilər, lakin bu şərhlərin hər ikisi səhvdir, çünki həm xarici, həm də xarici divar olan bir təyyarə ilə işləyirik, yəni şəkil tipik mümkün olmayan bir cismani təsvir edir.

Təhrif olunmuş bir dünyagörüşü olan rəsm əsərləri birinci minilliyin əvvəllərində tapılmışdır. 1025-ci ildən əvvəl yaradılan və Münhendəki Bavariya Dövlət Kitabxanasında saxlanılan II Henry kitabından hazırlanmış bir miniatür Madonna və Uşaq təsvir edilmişdir. Rəsmdə üç sütundan ibarət bir tonoz təsvir edilmişdir və orta sütun, perspektiv qanunlarına görə, Madonnanın qarşısında yerləşməlidir, ancaq rəsm arxasında gerçəkliyin təsirini verir.

Növləri qeyri-mümkün rəqəmlər.

"Mümkün olmayan rəqəmlər" 4 qrupa bölünür. Birincisi:

İnanılmaz üçbucaq üçlüdür.

Bu rəqəm, bəlkə də çapda yayımlanacaq ilk imkansız obyektdir. 1958-ci ildə çıxdı. Müəllifləri, ata və oğul Lionell və bir genetik və riyaziyyatçı Roger Penrose, bu cismani "üç ölçülü düzbucaqlı quruluş" olaraq təyin etdilər. "Tribar" adını da aldı. İlk baxışdan tribar sadəcə bərabər tərəfli üçbucaq kimi görünür. Ancaq rəqəmin başında bir-birinə yaxınlaşan tərəflər dik görünür. Eyni zamanda, aşağıdakı sol və sağ kənarları da perpendikulyar görünür. Hər bir detala ayrıca baxsanız, real görünür, amma ümumiyyətlə bu rəqəm mövcud ola bilməz. Deformasiya olunmur, ancaq rəsm çəkərkən düzgün elementlər düzgün bir şəkildə bağlanmadı.

Mümkün olmayan qəbilə əsaslı formalara dair daha bir neçə nümunə.

Üçlü deformasiyalı tribar

12 kub üçbucaq

Qanadlı tribar

Üçlü domino

Sonsuz pilləkən

Bu rəqəm ən çox yaradıcısı olduqdan sonra "Sonsuz pilləkən", "Əbədi pilləkən" və ya "Penrose nərdivan" adlanır. Buna “davamlı yüksələn və enən yol” da deyilir.

Bu rəqəm ilk dəfə 1958-ci ildə dərc edilmişdir. Qarşımızda bir pilləkən görünür, yuxarıya və ya aşağıya doğru görünür, eyni zamanda, üzərində gəzən adam qalxmır və yıxılmır. Vizual marşrutunu bitirdikdən sonra yolun əvvəlində olacaq.

Rəssam Maurits K. Escher "Sonsuz pilləkən" i bu dəfə 1960-cı ildə "Gələn və enən" litoqrafiyasında uğurla istifadə etmişdir.

Dörd və ya yeddi addım olan nərdivanlar. Bir dəstə adi dəmir yolu əlaqələri bu rəqəmi çox addımlarla ilhamlandıra bilər. Bu nərdivana dırmaşmağa hazırlaşdığınız zaman bir seçimlə qarşılaşacaqsınız: dörd və ya yeddi pilləyə qalxmağınız.

Bu nərdivanı yaradanlar, blokların son hissələrini eyni məsafədə dizayn etmək üçün paralel xətlərdən yararlandılar; bəzi bloklar illüziyaya uyğun şəkildə bükülmüş kimi görünür.

Kosmik fiş.

"Space Fork" ümumi adı altında növbəti rəqəmlər qrupu. Bu rəqəmlə imkansızların çox əsasını və mahiyyətini daxil edirik. Bəlkə də bu mümkün olmayan obyektlərin ən çox sayına aiddir.

Üç (və ya iki?) Uzanan bu bədnam imkansız obyekt 1964-cü ildə mühəndislər və puzzle meraklıları arasında məşhur oldu. Qeyri-adi rəqəmə həsr olunmuş ilk nəşr 1964-cü ilin dekabrında çıxdı. Müəllif bunu "Üç hissəli mötərizə" adlandırdı.

Praktik baxımdan mötərizə şəklində bu qəribə trident və ya mexanizm tamamilə tətbiq oluna bilməz. Bəziləri bunu sadəcə "əsəbi bir səhv" adlandırırlar. Aerokosmik sənayenin nümayəndələrindən biri, aralıq ölçülü kosmik tuning çəngəlini tərtib edərkən onun xüsusiyyətlərindən istifadə etməyi təklif etdi.

Mümkün olmayan qutular

Digər imkansız bir obyekt 1966-cı ildə Çikaqoda fotoqraf doktor Charles F. Cochran'ın orijinal təcrübələri nəticəsində ortaya çıxdı. Mümkün olmayan rəqəmlərin bir çox pərəstişkarı Crazy Box ilə təcrübə keçirdi. Müəllif əvvəlcə onu "Pulsuz qutu" adlandırdı və "çox sayda imkansız obyektin göndərilməsi üçün hazırlandığını" bildirdi.

"Dəli qutu" içəriyə çevrilmiş bir kub çərçivəsidir. Crazy Box’un dərhal sələfi Escher tərəfindən İmkansız Qutu idi və onun sələfi də öz növbəsində Necker Cube idi.

Mümkün olmayan bir obyekt deyil, ancaq dərinlik parametrinin birmənalı olaraq qəbul edilə biləcəyi bir rəqəmdir.

Necker kubuna nəzər yetirdikdə nöqtə olan üzün ya ön planda, ya da arxa planda olduğunu, bir mövqedən digərinə keçdiyini görürük.

Oscar Rutersward - qeyri-mümkün bir rəqəmin atası.

Mümkün olmayan fiqurların "atası" İsveç sənətçisi Oskar Ruthersward sayılır. Mümkün olmayan fiqurların görüntülərini yaratmaq üzrə mütəxəssis olan İsveç rəssamı Oskar Ruthersward, riyaziyyatı yaxşı bilmədiyini iddia etsə də, müəyyən bir şablona görə qeyri-mümkün fiqurlar yaratmaq üçün bütün bir nəzəriyyə yaradaraq riyaziyyatı yaxşı bilmədiyini iddia etdi.

Rəqəmləri iki əsas qrupa böldü. Onlardan birini "əsl imkansız rəqəmlər" adlandırdı. Bunlar kağız üzərində rənglənə və kölgə edilə bilən üç ölçülü cismin iki ölçülü şəkilləridir, lakin möhkəm və sabit bir dərinliyə malik deyillər.

Digər bir növ şübhəli mümkün olmayan rəqəmlərdir. Bu rəqəmlər tək bir möhkəm bədəni təmsil etmir. Bunlar iki və ya daha çox formanın əlaqəsidir. Nə rəngli ola bilər, nə də onlara tətbiq olunan işıq və kölgə.

Həqiqi qeyri-mümkün rəqəm sabit sayda mümkün elementdən ibarətdir, şübhəli isə müəyyən sayda elementi gözlərinizlə izləsəniz "itirir".

Bu qeyri-mümkün rəqəmlərin bir dəyişməsini etmək çox asandır və mexaniki olaraq həndəsi şəkil çəkənlərin çoxu

rəqəmlər, telefonda danışarkən bu dəfədən çox edilmişdir. Beş, altı və ya yeddi paralel xətt çəkmək lazımdır, bu xətləri müxtəlif yollarla müxtəlif yollarla bitirmək lazımdır - və qeyri-mümkün rəqəm də hazırdır. Məsələn, beş paralel xətt çəksəniz, bunları bir tərəfdə iki şüa, digər tərəfdən üç şüa şəklində tamamlamaq olar.

Şəkildə şübhəli qeyri-mümkün rəqəmlərin üç variantını görürük. Sol tərəfdə üç şüa yeddi tərəfə çevrilən yeddi sətirdən tikilmiş üç-yeddi çubuqdur. Bir şüa iki dəyirmi şüaya çevrilən üç xətdən tikilmiş ortada bir rəqəm. İki yuvarlaq şüa iki şüaya çevrilən dörd xətdən tikilmiş sağdakı rəqəm

Ruthersward həyatı boyu 2500 rəqəm çəkdi. Rutherswardın kitabları bir çox dildə, o cümlədən rus dilində nəşr edilmişdir.

Mümkün olmayan rəqəmlər mümkündür!

Bir çox insanlar imkansız rəqəmlərin həqiqətən mümkün olmadığını və real dünyada yarana bilməyəcəyinə inanırlar. Ancaq yadda saxlamalıyıq ki, bir vərəqdə hər hansı bir rəsm üçölçülü fiqurun proyeksiyasıdır. Buna görə bir kağız üzərində çəkilmiş hər hansı bir forma 3D məkanında olmalıdır. Rəsmlərdəki mümkün olmayan əşyalar üçölçülü cisimlərin proyeksiyalarıdır, yəni obyektlərin heykəltəraşlıq kompozisiyası şəklində reallaşdırılması deməkdir. Onları yaratmaq üçün bir çox yol var. Onlardan biri əyri xətləri qeyri-mümkün üçbucağın tərəfləri kimi istifadə edir. Yaradılmış heykəl yalnız bir nöqtədən mümkünsüz görünür. Bu nöqtədən, əyri tərəflər düz görünür və məqsədə çatacaq - əsl "imkansız" bir obyekt yaranır.

Müasir dövrümüzdəki rus rəssamı Anatoli Konenko qeyri-mümkün rəqəmləri 2 sinfə ayırmışdır: bəziləri reallıqda modelləşdirilə bilər, bəziləri isə mümkün deyil. Mümkün olmayan rəqəmlərin modellərinə Ames modelləri deyilir.

Ames, imkansız qutumun modelini etdim. Qırx iki kub götürdüm və bir-birinə yapışdırdım, qabırğanın hansı hissəsində itkin olduğunu tapdım. Qeyd edək ki, tam bir illüziya yaratmaq üçün düzgün bir baxış bucağı və düzgün işıqlandırma lazımdır.

Euler teoremindən istifadə edərək qeyri-mümkün fiqurları araşdırdım və belə bir nəticəyə gəldim: Hər hansı bir konveks çoxqütblü üçün doğru olan Euler teoremi qeyri-mümkün rəqəmlər üçün doğru deyil, Ames modelləri üçün doğrudur.

O. Ruthersvardın tövsiyələrindən istifadə edərək qeyri-mümkün rəqəmlərimi yaradıram. Kağıza yeddi paralel xətt çəkdim. Onları dibində qırıq bir xətt ilə bağladım və üst hissəsində onlara paralelepedlərin forması verdim. Əvvəlcə yuxarıdan, sonra aşağıdan baxın. Bu cür rəqəmlərin sonsuz sayını düşünə bilərsiniz. Əlavəyə baxın.

Mümkün olmayan rəqəmlərin tətbiqi

Mümkün olmayan rəqəmlər bəzən gözlənilməz istifadələr tapır. Oscar Ruthersward "Omojliga fiquru" kitabında psixoterapiya üçün qeyri-sənət rəsmlərindən istifadə haqqında danışır. Yazır ki, şəkillər paradoksları ilə təəccüb doğurur, diqqəti kəskinləşdirir və deşifrə etmək istəyinə səbəb olur. Psixoloq Roger Shepard, imkansız filın rənglənməsi üçün bir tridentin fikrindən istifadə etdi.

İsveçdə onlar diş təcrübəsində istifadə olunur: gözləmə otağında şəkillərə baxarkən xəstələr diş həkimi otağının qarşısında xoşagəlməz düşüncələrdən yayınırlar.

Mümkün olmayan rəqəmlər sənətkarları impossibilizm adlanan rəsmdə tamamilə yeni bir istiqamət yaratmağa ruhlandırdı. Hollandiyalı sənətçi Escher imossibilistlər olaraq xatırlanır. Məşhur litoqraflar "Şəlalə", "Yüksələn və enmə" və "Belvedere" ona aiddir. Rəssam Rutesward tərəfindən kəşf edilən “sonsuz pilləkən” effektindən istifadə etmişdir.

Xaricdə, şəhərlərin küçələrində, qeyri-mümkün rəqəmlərin memarlıq təcəssümünü görə bilərik.

Məşhur mədəniyyətdə qeyri-mümkün rəqəmlərin ən məşhur istifadəsidir Renault auto konserninin loqosu

Riyaziyyatçılar, irəli gedən pilləkənlərdən enə biləcəyiniz sarayların mövcud olduğunu iddia edirlər. Bunu etmək üçün yalnız üç ölçülü deyil, demək, dörd ölçülü məkanda belə bir quruluş qurmaq lazımdır. Müasir kompüter texnologiyası bizə açan virtual dünyada belə bunu etmək olmaz. Əsrin əvvəlində imkansız dünyaların mövcudluğuna inanan bir insanın fikirləri bu gün də gerçəkləşir.

Nəticə.

Mümkün olmayan rəqəmlər zehnimizi əvvəlcə nəyin olmamalı olduğunu görməyə məcbur edir, sonra cavab axtarmağa məcburdur - nəyin səhv edildiyi, paradoksun həvəs nədir. Və bəzən cavab tapmaq o qədər də asan deyil - təsvirlərin optik, psixoloji, məntiqi qavranışında gizlidir.

Elmin inkişafı, yeni bir şəkildə düşünmək ehtiyacı, gözəllərin axtarışı - müasir həyatın bütün bu tələbləri bizi məkan təfəkkürünü və təxəyyülünü dəyişə biləcək yeni metodlar axtarmağa məcbur edir.

Mövzuyla əlaqədar ədəbiyyatı araşdırdıqdan sonra "Əsl dünyada imkansız rəqəmlər varmı?" Sualına cavab verdim. Mümkün olmayan və qeyri-real rəqəmlərin əl ilə edilə biləcəyini başa düşdüm. Ames 'Impossible Cube modelini yaratdım və Euler teoremini sınadım. Mümkün olmayan formaları düzəltmə yollarına baxdıqdan sonra qeyri-mümkün formalarımı çəkə bildim. Bunu göstərə bildim

Nəticə 1: Bütün mümkün olmayan rəqəmlər real dünyada mövcud ola bilər.

Nəticə2: Hər hansı bir konveks çoxhedralı üçün düzgün olan Euler teoremi qeyri-mümkün rəqəmlər üçün səhvdir, lakin Ames modelləri üçün doğrudur.

Nəticə3: Qeyri-mümkün rəqəmlərdən istifadə ediləcək bir çox sahə olacaq.

Beləliklə, deyə bilmərik ki, mümkün olmayan fiqurlar dünyası son dərəcə maraqlı və müxtəlifdir. Mümkün olmayan rəqəmlərin öyrənilməsi həndəsə baxımından olduqca vacibdir. Əsər şagirdlərin məkan düşüncəsini inkişaf etdirmək üçün sinifdə riyaziyyatdan istifadə edilə bilər. İxtiraya meylli yaradıcı insanlar üçün qeyri-mümkün rəqəmlər yeni və qeyri-adi bir şey yaratmaq üçün bir növ bir vasitədir.

İstinadların siyahısı

Levitin Karl Həndəsi Rapsodiya. - M .: Bilik, 1984, -176 s.

Penrose L., Penrose R. Mümkün olmayan obyektlər, Kvant, № 5,1971, s.26

Reutersvard O. Mümkün olmayan rəqəmlər. - M .: Stroyizdat, 1990, 206 s.

Tkacheva M.V. Fırlanan kublar. - M .: Bustard, 2002 .-- 168 s.

Mümkün olmayan bir rəqəm, optik illüziyaların növlərindən biridir, ilk baxışdan adi üçölçülü bir obyektin proyeksiyası kimi görünən bir rəqəmdir;

yaxından araşdırıldıqdan sonra rəqəm elementlərinin ziddiyyətli əlaqələri görünəcəkdir. Üç ölçülü məkanda belə bir fiqurun mövcudluğunun mümkünsüzlüyü illüziyası yaranır.

Mümkün olmayan rəqəmlər

Ən məşhur qeyri-mümkün rəqəmlər qeyri-mümkün üçbucaq, sonsuz pilləkən və imkansız tridentdir.

Mümkün olmayan Perrose üçbucağı

Reutersvard İllüziyası (1934)

Diqqəti çəkmə təşkilatındakı dəyişiklik, mərkəzdə yerləşən "ulduz" u qəbul etməyə imkan verdiyinə diqqət yetirin.
_________

Escher-in mümkün olmayan kubu

Əslində, bütün mümkün olmayan rəqəmlər real dünyada mövcud ola bilər. Beləliklə, kağız üzərində çəkilən bütün cisimlər üçölçülü cisimlərin proyeksiyalarıdır, buna görə də bir təyyarəyə proyeksiya edildikdə qeyri-mümkün görünəcək belə üçölçülü bir obyekt yaratmaq mümkündür. Müəyyən bir nöqtədən belə bir cisimə baxdıqda, qeyri-mümkün də görünəcək, ancaq başqa bir nöqtədən baxıldıqda imkansızlığın təsiri itiriləcəkdir.

Mümkün olmayan üçbucağın 13 metrlik alüminium heykəli 1999-cu ildə Avstraliyanın Perth şəhərində ucaldılmışdır. Burada qeyri-mümkün üçbucaq ən ümumi şəklində - bir-birinə düzgün açılarda bağlı olan üç şüa şəklində təsvir edilmişdir.

Goddamn çəngəl
Bütün qeyri-mümkün rəqəmlər arasında qeyri-mümkün trident ("şeytan çəngəl") xüsusi yer tutur.

Tridentin sağ tərəfini əlinizlə bağlasanız, çox real bir mənzərəni - üç dəyirmi diş görəcəyik. Tridentin alt hissəsini bağlasaq, onda həqiqi mənzərəni də görəcəyik - iki düzbucaqlı diş. Ancaq bütün rəqəmi bütöv hesab etsək, üç dəyirmi diş tədricən iki düzbucaqlı diş halına gəldiyi ortaya çıxır.

Beləliklə, bu rəsmin ön hissəsi və arxa planının ziddiyyətli olduğunu görə bilərsiniz. Yəni əvvəlcə ön planda olan şey geri gedir və arxa (orta diş) irəli sürünür. Ön plana və arxa plana dəyişdirməklə yanaşı, bu rəqəm başqa bir təsirə malikdir - tridentin sağ tərəfinin düz kənarları solda yuvarlaqlaşır.

Mümkünsüzlük effekti beynimizin fiqurun konturunu analiz etməsi və dişlərin sayını saymağa çalışması nəticəsində əldə edilir. Beyin, şəklin sol və sağ tərəfindəki rəqəmdəki dişlərin sayını müqayisə edir, bu da rəqəmin qeyri-mümkün olmasına səbəb olur. Şəkildəki dişlərin sayı əhəmiyyətli dərəcədə çox olsaydı (məsələn, 7 və ya 8), onda bu paradoks daha az tələffüz ediləcəkdi.

Bəzi kitablar qeyri-mümkün tridentin real dünyada yenidən qurulmayan imkansız rəqəmlər sinfinə aid olduğunu iddia edir. Əslində bu belə deyil. BÜTÜN qeyri-mümkün rəqəmlər real dünyada görünə bilər, ancaq bir nöqteyi-nəzərdən imkansız görünəcəklər.

______________

Mümkün olmayan fil

Bir filin neçə ayağı var?

Stanford psixoloqu Roger Shepard, imkansız fil falı rəngləmək üçün bir tridentin fikrindən istifadə etdi.

______________

Penrose nərdivanı (sonsuz pilləkən, mümkün olmayan pilləkən)

Sonsuz Ladder "ən məşhur klassik imkansızlıqlardan biridir.

Bu nərdivanın belə bir quruluşudur ki, bir istiqamətdə hərəkət edilərsə (məqaləyə göstərilən şəkildəki saat əksinə), insan sonsuzca qalxacaq və əks istiqamətdə hərəkət edərsə, daim enəcəkdir.

Başqa sözlə, qarşımızda bir pilləkən görünür, aparıcı, yuxarı və ya aşağı görünür, eyni zamanda üzərində gəzən adam qalxmır və yıxılmır. Vizual marşrutunu bitirdikdən sonra yolun əvvəlində olacaq. Həqiqətən bu pilləkənlə gəzmək məcburiyyətində olsaydınız, məqsədsiz olaraq dırmaşaraq sonsuz sayda yerə enəcəksiniz. Bunu sonsuz Sisyphean əməyi adlandıra bilərsiniz!

Penrose bu rəqəmi yayımladığından, digər mümkün olmayan obyektlərdən daha tez-tez çap şəklində ortaya çıxdı. Sonsuz Nərdivanı oyunlar, bulmacalar, illüziyalar, psixologiya dərslikləri və digər mövzularda olan kitablarda tapmaq olar.

"Qalxma və enmə"

"Sonsuz nərdivanlar" "rəssam Maurits K. Escher tərəfindən uğurla istifadə edildi, bu dəfə 1960-cı ildə yaradılan" Yüksəlmə və enmə "litoqrafiyasında.
Penrose fiqurunun bütün imkanlarını əks etdirən bu rəsmdə olduqca tanınan Sonsuz pilləkən monastırın damına səliqəli şəkildə yazılmışdır. Başlıqlı rahiblər davamlı olaraq pilləkənləri saat yönünün əksinə və saat yönünün əksinə irəliləyirlər. Mümkün olmayan bir yol boyu bir-birlərinə tərəf gedirlər. Heç vaxt yuxarı və aşağı enməyə qadir deyillər.

Buna görə, "Sonsuz Nərdivanlar" onu icad edən Penrose ilə müqayisədə daha çox onu yenidən hazırlayan Escher ilə əlaqələndirdi.

Neçə rəf var?

Qapı haradadır?

Xarici və ya daxili?

Keçmişin ustalarının rəsmlərində bəzən mümkün olmayan rəqəmlər görünürdü, məsələn, Pieter Bruegel'in (Yaşlı) rəsmindəki boşluqlar.
"Qarın üstündə qaranquş" (1568)

__________

Mümkün olmayan arch

Jos de Mey, Gentdəki (Belçika) Kral Rəssamlıq Akademiyasında təhsil alan, 39 il boyunca tələbələrə daxili dizayn və rəng tədris edən bir flamalı sənətkardır. 1968-ci ildən bəri rəsm onun diqqət mərkəzinə çevrildi. Ən yaxşısı, qeyri-mümkün quruluşları səliqəli və real göstərməsi ilə məşhurdur.

Ən məşhurları rəssam Maurice Escher'in əsərlərindəki imkansız rəqəmlərdir. Bu cür rəsmləri nəzərdən keçirərkən hər bir fərdi detal olduqca uyğun görünür, ancaq xətti izləməyə çalışarkən, bu xəttin, məsələn, divarın xarici küncü deyil, daxili olduğu ortaya çıxır.

"Nisbiilik"

Hollandiyalı rəssam Escherin bu litoqrafiyası ilk dəfə 1953-cü ildə çap edilmişdir.

Litoqrafiya reallıq qanunlarının tətbiq edilmədiyi bir paradoksal bir dünyanı təsvir edir. Üç reallıq bir dünyada birləşir, üç cazibə qüvvəsi bir-birinə dik olaraq yönəldilir.

Memarlıq quruluşu yaradıldı, reallıqlar pilləkənlərlə birləşdirildi. Bu dünyada yaşayan, lakin gerçəkliyin fərqli təyyarələrində eyni pilləkən ya yuxarı, ya da aşağı yönəldiləcəkdir.

"Şəlalə"

Hollandiyalı rəssam Escherin bu litoqrafiyası ilk dəfə 1961-ci ilin oktyabrında çap edilmişdir.

Escher'in bu əsəri bir paradoksu təsvir edir - bir şəlalənin düşən suyu suyu şəlalənin başına yönəldən təkər çəkir. Şəlalə "qeyri-mümkün" Penrose üçbucağının quruluşuna malikdir: litoqraf İngilis psixologiya jurnalındakı məqalə əsasında yaradılmışdır.

Quruluş bir-birinin üstünə düzgün açılarda qoyulmuş üç çarxdan ibarətdir. Litoqrafiyada şəlalə əbədi bir hərəkət maşını kimi işləyir. Həm də görünür ki, hər iki qüllə eynidır; əslində sağdakı biri sol qüllənin altındadır.

Yaxşı və daha müasir əsərlər: o)
Sonsuz fotoqrafiya