Modulo nömrəsi bu nömrə özü deyilir, əgər mənfi deyilsə və ya mənfi olarsa əks işarəsi ilə eyni sayda olur.

Məsələn, 6 modulu 6-dır, -6 modulu da 6-dır.

Yəni bir nömrənin mütləq dəyəri, işarəsini nəzərə almadan mütləq dəyər, bu nömrənin mütləq dəyəri kimi başa düşülür.

Aşağıdakı kimi təyin olunur: | 6 |, | x|, |və| və s.

(Daha çox məlumat üçün "Sayı modulu" bölməsinə baxın).

Modul ilə tənliklər.

Nümunə 1 ... Tənliyi həll edin|10 x - 5| = 15.

Qərar.

Qaydaya görə, bir tənlik iki tənliyin birləşməsinə bərabərdir:

10x - 5 = 15
10x - 5 = -15

Qərar veririk:

10x = 15 + 5 = 20
10x = -15 + 5 = -10

x = 20: 10
x = -10: 10

x = 2
x = -1

Cavab ver: x 1 = 2, x 2 = -1.

Misal 2 ... Tənliyi həll edin|2 x + 1| = x + 2.

Qərar.

Modul mənfi olmayan bir sıra olduğundan, sonra x + 2 ≥ 0. Müvafiq olaraq:

x ≥ -2.

İki tənlik tərtib edirik:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -(x + 2)

Qərar veririk:

2x + 1 = x + 2
2x + 1 = -x - 2

2x - x = 2 - 1
2x + x = -2 - 1

x = 1
x = -1

Hər iki ədəd -2-dən böyükdür. Deməli, ikisi də tənliyin köküdür.

Cavab ver: x 1 = -1, x 2 = 1.

Misal 3 ... Tənliyi həll edin

|x + 3| - 1
————— = 4
x - 1

Qərar.

Tərif sıfır deyilsə, tənlik məna verir - əgər varsa deməkdir x ≠ 1. Bu şərti nəzərə alaq. İlk hərəkətimiz sadədir - yalnız fraksiyadan qurtulmaq deyil, modulu təmiz formada əldə etmək üçün onu dəyişdirin:

|x + 3 | - 1 \u003d 4 ( x - 1),

|x + 3| - 1 = 4x - 4,

|x + 3| = 4x - 4 + 1,

|x + 3| = 4x - 3.

İndi yalnız tənliyin sol tərəfindəki modulun altındakı ifadəyə sahibik. Davam et
Bir ədədin modulu mənfi olmayan bir nömrədir - yəni sıfırdan böyük və ya bərabər olmalıdır. Buna görə bərabərsizliyi həll edirik:

4x - 3 ≥ 0

4x ≥ 3

x ≥ 3/4

Beləliklə, ikinci bir şərtimiz var: tənliyin kökü ən azı 3/4 olmalıdır.

Qaydaya əsasən, iki tənlik toplusunu hazırlayırıq və həll edirik:

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -(4x - 3)

x + 3 = 4x - 3
x + 3 = -4x + 3

x - 4x = -3 - 3
x + 4x = 3 - 3

x = 2
x = 0

İki cavab aldıq. Orijinal tənliyin kökləri olub olmadığını yoxlayaq.

İki şərtimiz var idi: tənliyin kökü 1-ə bərabər ola bilməz və ən azı 3/4 olmalıdır. I.e x ≠ 1, x ≥ 3/4. Alınan cavablardan yalnız biri bu şərtlərin hər ikisinə - 2 nömrəsinə cavab verir. Bu, yalnız orijinal tənliyin kökü olduğunu göstərir.

Cavab ver: x = 2.

Modul ilə bərabərsizliklər.

Nümunə 1 ... Bərabərsizliyi həll edin| x - 3| < 4

Qərar.

Modul qaydasında deyilir:

|və| = və, a və ≥ 0.

|və| = -və, a və < 0.

Modul həm mənfi, həm də mənfi rəqəmlərə sahib ola bilər. Beləliklə, hər iki işi nəzərdən keçirməliyik: x - 3 ≥ 0 və x - 3 < 0.

1) Nə vaxt x - 3 ≥ 0, orijinal bərabərsizliyimiz olduğu kimi qalır, yalnız modul işarəsi olmadan:
x - 3 < 4.

2) Nə vaxt x - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(x - 3) < 4.

Mötərizəni genişləndirərək əldə edirik:

-x + 3 < 4.

Beləliklə, bu iki şərtdən iki bərabərsizlik sisteminin birliyinə gəldik:

x - 3 ≥ 0
x - 3 < 4

x - 3 < 0
-x + 3 < 4

Gəlin bunları həll edək:

x ≥ 3
x < 7

x < 3
x > -1

Beləliklə, cavabımızda iki dəstdən ibarət birliyimiz var:

3 ≤ x < 7 U -1 < x < 3.

Ən kiçik və ən böyük dəyərləri təyin edin. Bunlar -1 və 7. Eyni zamanda x -1-dən böyük, lakin 7-dən azdır.
Bundan başqa x ≥ 3. Beləliklə, bərabərsizliyin həlli, bu həddindən artıq ədədlər istisna olmaqla, -1-dən 7-dək olan bütün nömrələr toplusudur.

Cavab ver: -1 < x < 7.

Və ya: x ∈ (-1; 7).

Əlavələr.

1) Bərabərsizliyimizi həll etmək üçün daha sadə və qısa bir yol var - qrafik. Bunu etmək üçün üfüqi bir ox çəkmək lazımdır (Şəkil 1).

İfadə | x - 3| < 4 означает, что расстояние от точки x nöqtəni dörd dənədən az göstərmək üçün. 3 nömrəsini oxda qeyd edirik və ondan sola və sağa 4 bölmə sayırıq. Solda -1 nöqtəsinə, sağda - 7 nöqtəsinə gələcəyik. Beləliklə, nöqtələr x sadəcə hesablamadan gördük.

Üstəlik, bərabərsizlik şərtinə görə, -1 və 7 özləri həllər toplusuna daxil edilmir. Beləliklə, cavabı alırıq:

1 < x < 7.

2) Ancaq daha qrafik baxımdan daha sadə bir həll var. Bunun üçün bərabərsizliyimiz aşağıdakı formada təmsil olunmalıdır:

4 < x - 3 < 4.

Axı, modul qaydasına görə bu belədir. Mənfi olmayan 4 və oxşar mənfi nömrə -4 bərabərsizliyin həlli üçün məhdudiyyətlərdir.

4 + 3 < x < 4 + 3

1 < x < 7.

Misal 2 ... Bərabərsizliyi həll edin| x - 2| ≥ 5

Qərar.

Bu nümunə əvvəlkindən əhəmiyyətli dərəcədə fərqlidir. Sol tərəf 5-dən çox və ya 5-ə bərabərdir. Həndəsi baxımdan, bərabərsizliyin həlli 2 nöqtədən 5 ədəd və ya daha çox məsafədə olan bütün ədədlərdir (Şəkil 2). Qrafik göstərir ki, bunlar -3-dən az və ya bərabər olan və 7-dən böyük və ya bərabər olan bütün ədədlərdir. Beləliklə, cavabı artıq almışıq.

Cavab ver: -3 ≥ x ≥ 7.

Yolda eyni bərabərsizliyi sərbəst termini sola və sağa əks işarə ilə dəyişməklə həll edirik:

5 ≥ x - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ x ≥ 5 + 2

Cavab eynidir: -3 ≥ x ≥ 7.

Və ya: x ∈ [-3; 7]

Nümunə həll edildi.

Misal 3 ... Bərabərsizliyi həll edin6 x 2 - | x| - 2 ≤ 0

Qərar.

Nömrə x müsbət, mənfi və ya sıfır ola bilər. Buna görə də hər üç vəziyyəti nəzərə almalıyıq. Bildiyiniz kimi, bunlar iki bərabərsizlikdə nəzərə alınır: x ≥ 0 və x < 0. При x ≥ 0, yalnız modul işarəsi olmadan orijinal bərabərsizliyimizi olduğu kimi yenidən yazırıq:

6x 2 - x - 2 ≤ 0.

İndi ikinci vəziyyət haqqında: əgər x < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6x 2 - (-x) - 2 ≤ 0.

Mötərizəni genişləndirin:

6x 2 + x - 2 ≤ 0.

Beləliklə, iki tənlik sistemi əldə etdik:

6x 2 - x - 2 ≤ 0
x ≥ 0

6x 2 + x - 2 ≤ 0
x < 0

Sistemlərdəki bərabərsizliyi həll etmək lazımdır - yəni iki kvadrat tənliyin kökünü tapmaq lazımdır. Bunun üçün bərabərsizliklərin sol tərəflərini sıfıra bərabərləşdiririk.

Birincisindən başlayaq:

6x 2 - x - 2 = 0.

Kvadrat tənliyin necə həll edildiyi - "Kvadrat tənlik" bölməsinə baxın. Dərhal cavabın adını verəcəyik:

x 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Bərabərsizliklərin ilk sistemindən, orijinal bərabərsizliyin həllinin -1/2-dən 2/3-dək olan bütün nömrələrin məcmusunu tapırıq. Üçün həll birliyini yazırıq x ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

İndi ikinci kvadrat tənliyi həll edək:

6x 2 + x - 2 = 0.

Onun kökləri:

x 1 = -2/3, x 2 = 1/2.

Nəticə: at x < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Gəlin iki cavabı birləşdirək və son cavabı alaq: həll bu həddindən artıq nömrələri də daxil olmaqla -2/3-dən 2/3-dək olan bütün nömrələr toplusudur.

Cavab ver: -2/3 ≤ x ≤ 2/3.

Və ya: x ∈ [-2/3; 2/3].

Modullarla bərabərsizliklərin açıqlanması üsulları (qaydaları) submodulyar funksiyaların işarələrin davamlılığının fasilələrindən istifadə edərkən modulların ardıcıl açıqlanmasından ibarətdir. Son variantda, problemin vəziyyətini təmin edən aralıqlar və ya fasilələr aşkar olunan bir neçə bərabərsizlik əldə edilir.

Təcrübədə ümumi nümunələrin həllinə keçək.

Moduli ilə xətti bərabərsizliklər

Xətti olaraq dəyişənin tənliyə xətti daxil olduğu tənlikləri nəzərdə tuturuq.

Misal 1. Bərabərsizlik üçün həll tapın

Qərar:
Problemin vəziyyətindən görünür ki, modullar x \u003d -1 və x \u003d -2 səviyyələrində sıfıra çevrilir. Bu nöqtələr say oxunu fasilələrə ayırır

Bu fasilələrin hər birində verilmiş bərabərsizliyi həll edirik. Bunun üçün ilk növbədə submodulyar funksiyaların sabitliyi sahələrinin qrafik təsvirlərini hazırlayırıq. Onlar hər birinin işarələri olan sahələr kimi təsvir edilmişdir

və ya bütün funksiyaların işarələri olan fasilələrlə.

Birinci aralıqda modulları açın

Hər iki tərəfi mənfi birə vururuq və bərabərsizlikdəki işarə əksinə dəyişəcək. Bu qaydaya alışmaqda çətinlik çəkirsinizsə, mənfi cəhətlərdən qurtulmaq üçün hissələrin hər birini işarə ilə hərəkət edə bilərsiniz. Son versiyada alacaqsınız

Dəstlərin həll olunduğu sahə ilə x\u003e -3-ün kəsişməsi (-3; -2) olacaqdır. Çözüm axtarmaq daha asan olanlar üçün bu sahələrin kəsişməsini qrafik şəkildə çəkə bilərsiniz

Sahələrin ümumi kəsişməsi həll olacaqdır. Ciddi qeyri-bərabərliklə kənarları daxil edilmir. Ciddi deyilsə, əvəzetmə ilə yoxlayın.

İkinci fasilədə əldə edirik

Bölmə interval olacaq (-2; -5/3). Qrafik olaraq həll görünəcək

Üçüncü aralıqda alırıq

Bu şərt istədiyiniz ərazidə həll vermir.

Tapılan iki həll (-3; -2) və (-2; -5/3) x \u003d -2 nöqtəsi ilə həmsərhəd olduğundan, onu da yoxlayırıq.

Beləliklə x \u003d -2 nöqtəsi həlldir. Bunu nəzərə alaraq ümumi həll (-3; 5/3) görünəcəkdir.

Misal 2. Bərabərsizlik üçün bir həll tapın
| x-2 | - | x-3 |\u003e \u003d | x-4 |

Qərar:
X \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4 nöqtələri submodulyar funksiyaların sıfırlarıdır. Bu nöqtələrdən daha az arqument üçün submodulyar funksiyalar mənfi, böyüklər üçün isə müsbətdir.

Xallar həqiqi oxu dörd fasilə ayırdı. Modulları sabitlik fasilələrinə görə genişləndiririk və bərabərsizlikləri həll edirik.

1) İlk fasilədə bütün submodulyar funksiyalar mənfi olur, buna görə modulları genişləndirdikdə işarəni əksinə dəyişirik.

Tapılan x dəyərlərinin nəzərdən keçirilən interval ilə kəsişməsi nöqtələr toplusudur

2) x \u003d 2 və x \u003d 3 nöqtələri arasındakı intervalda birinci submodulyar funksiya müsbət, ikinci və üçüncü isə mənfi olur. Modulları genişləndirərək əldə edirik

həll etdiyimiz fasilə ilə kəsişmədə bir həll verir - bir bərabərsizlik - x \u003d 3.

3) x \u003d 3 və x \u003d 4 nöqtələri arasındakı intervalda birinci və ikinci submodulyar funksiyalar müsbət, üçüncüsü isə mənfi olur. Buna əsaslanaraq əldə edirik

Bu şərt, bütün intervalın modul bərabərsizliyini təmin edəcəyini göstərir.

4) x\u003e 4 üçün bütün funksiyalar müsbətdir. Modulları genişləndirərkən onların işarəsini dəyişdirmirik.

Bir fasilə ilə kəsişmədə tapılmış vəziyyət aşağıdakı həllər dəstini verir

Bərabərsizlik bütün fasilələrlə həll edildiyi üçün x-in tapılmış bütün dəyərlərinin ortaqını tapmaq qalır. Həll iki aralıq olardı

Bu nümunə həll olunur.

Misal 3. Bərabərsizliyin həllini tapın
|| x-1 | -5 |\u003e 3-2x

Qərar:
Modul modulu ilə bərabərsizlik var. Modullar daha dərin yerlərdən başlayaraq içəri qoyulduğu üçün bu cür bərabərsizliklər ortaya çıxır.

Submodul funksiyası x-1 x \u003d 1-də sıfıra çevrilir. 1 üçün kiçik dəyərlər üçün x\u003e 1 üçün mənfi və müsbətdir. Buna əsaslanaraq daxili modulu açırıq və aralıqların hər birindəki bərabərsizliyi nəzərə alırıq.

Əvvəlcə minus sonsuzluğundan birinə qədər olan aralı düşünün

Submodule funksiyası x \u003d -4 nöqtəsində sıfırdır. Aşağı dəyərlərdə müsbətdir, daha yüksək dəyərlərdə isə mənfi olur. Modulu x üçün genişləndirin<-4:

Düşündüyümüz sahə ilə kəsişmədə bir sıra həllər əldə edirik

Növbəti addım intervalda modulu açmaqdır (-4; 1)

Modulun açıqlanması sahəsini nəzərə alaraq həll aralığını əldə edirik

Yadınıza salın: əgər modullarla belə pozuntularda ortaq nöqtə ilə iki aralıq taparsanız, bir qayda olaraq bu da bir həlldir.

Bunu etmək üçün sadəcə yoxlamaq lazımdır.

Bu vəziyyətdə x \u003d -4 nöqtəsini əvəz edin.

Beləliklə x \u003d -4 həlldir.
Daxili modulu x\u003e 1 üçün açaq

Sub-modul funksiyası x üçün mənfi<6.
Modulu genişləndirərək əldə edirik

Bu vəziyyət (1; 6) intervalı olan hissədə boş bir həll dəsti verir.

X\u003e 6 üçün bərabərsizliyi əldə edirik

Ayrıca, boş bir dəst var.
Yuxarıda göstərilənlərin hamısını nəzərə alsaq, moduli ilə bərabərsizliyin yeganə həlli aşağıdakı aralıqdır.

Kvadrat tənlikləri ehtiva edən modullarla bərabərsizliklər

Misal 4. Bərabərsizlik üçün bir həll tapın
| x ^ 2 + 3x |\u003e \u003d 2-x ^ 2

Qərar:
Submodul funksiyası x \u003d 0, x \u003d -3 nöqtələrində yox olur. Mənfi olanlar üçün sadə əvəzləmə

aralıqda (-3; 0) sıfırdan az olduğunu və kənarda müsbət olduğunu təyin edirik.
Modulu submodulyar funksiyanın müsbət olduğu yerlərdə genişləndirin

Kvadrat funksiyasının müsbət olduğu sahələri müəyyən etmək qalır. Bunun üçün kvadrat tənliyin köklərini təyin edirik

Rahatlıq üçün aralığa aid olan x \u003d 0 nöqtəsini əvəz edirik (-2; 1/2). Bu aralıqda funksiya mənfi olur, yəni aşağıdakılar x təyin olunur

Burada mötərizədə həllərin köməyi ilə ərazilərin kənarları göstərilir; bu, aşağıdakı qayda nəzərə alınmaqla qəsdən edildi.

Yadda saxla: Modullar arasındakı bərabərsizlik və ya sadə bir bərabərsizlik ciddidirsə, tapılan sahələrin kənarları həll deyil, əgər bərabərsizliklər cidd deyilsə (), sonra kənarları həlldir (kvadrat mötərizədə işarələnir).

Bu qayda bir çox müəllim tərəfindən istifadə olunur: ciddi bir bərabərsizlik göstərildiyi təqdirdə və hesablamalar zamanı bir kvadrat mötərizə ([,]) yazsanız, onlar avtomatik olaraq səhv cavab olaraq sayacaqlar. Ayrıca, test edərkən, modullarla qeyri-ciddi bir bərabərsizlik göstərildiyi təqdirdə, həll yolları arasında kvadrat mötərizəli sahələri axtarın.

Modulu açaraq (-3; 0) aralıqda, işarənin əksini dəyişdirin

Bərabərsizliyin açıqlanması sahəsini nəzərə alaraq, həll forması olacaqdır

Əvvəlki sahə ilə birlikdə bu iki yarım fasilə verəcəkdir

Misal 5. Bərabərsizlik üçün bir həll tapın
9x ^ 2- | x-3 |\u003e \u003d 9x-2

Qərar:
Boş bir bərabərsizlik verilir, submodulyar funksiyası x \u003d 3 nöqtəsində sıfıra bərabərdir. Aşağı dəyərlərdə mənfi, daha yüksək dəyərlərdə isə müsbətdir. Modu x aralığında genişləndirin<3.

Tənlikin ayrı-seçkiliyini tapın

və kökləri

Nöqtəni sıfır əvəzləyərək, aralıqda [-1/9; 1] kvadratik funksiyanın mənfi olduğunu, bu səbəbdən intervalın bir həll olduğunu bilirik. Sonra x\u003e 3 üçün modulu genişləndirin

Bu onlayn riyaziyyat kalkulyatoru sizə kömək edəcəkdir tənlik və ya bərabərsizliyi moduli ilə həll edin... Üçün proqram moduli ilə bərabərlik və bərabərsizliklərin həlli yalnız problemin cavabını vermir, verir izahatları ilə ətraflı həll, yəni nəticə əldə etmə prosesini göstərir.

Bu proqram orta məktəblərin yuxarı sinif şagirdləri üçün test və imtahanlara hazırlıq zamanı, imtahandan əvvəl bilikləri yoxlayarkən, valideynlərin riyaziyyat və cəbr sahəsindəki bir çox problemlərin həllinə nəzarət etmələri üçün faydalı ola bilər. Və ya bəlkə bir müəllim işə götürmək və ya yeni dərsliklər almaq çox baha olar? Yoxsa sadəcə riyaziyyat və ya cəbr ev tapşırıqlarını mümkün qədər tez almaq istəyirsən? Bu vəziyyətdə proqramlarımızı ətraflı bir həll yolu ilə istifadə edə bilərsiniz.

Bu yolla, öz tədrisinizi apara və / və ya kiçik bacı və ya bacılarınıza dərs verə bilərsiniz, bu zaman həll olunan problemlər sahəsində təhsil səviyyəsi artır.

Moduli ilə bərabərlik və ya bərabərsizlik daxil edin

Bu problemi həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlərin yüklənmədiyi və proqramın işləməməsi aşkar edildi.
Yəqin ki, AdBlock effektivsiniz.
Bu vəziyyətdə onu deaktiv edin və səhifəni yeniləyin.

Çünki Problemi həll etmək istəyən çox sayda insan var, sorğunuz növbəyə qoyulub.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcəkdir.
Zəhmət olmasa, gözləyin san ...

Əgər sən qərarda bir səhv gördüm, sonra Əlaqə Formasında bu barədə yaza bilərsiniz.
Unutma hansı vəzifəni təyin edin qərar verin və nə sahələrə daxil olun.

Oyunlarımız, bulmacalar, emulatorlar:

Bir az nəzəriyyə.

Moduli ilə bərabərliklər və bərabərsizliklər

Əsas məktəbdəki bir cəbr kursunda modullarla ən sadə tənliklər və bərabərsizliklərlə qarşılaşa bilərsiniz. Bunları həll etmək üçün, x (a) nöqtələri arasındakı nömrə xəttindəki məsafənin \\ (| x-a | \\) olduğuna əsaslanaraq həndəsi metodu tətbiq edə bilərsiniz. \\ (| X-a | \u003d \\ rho (x; \\; a) \\). Məsələn, tənliyi həll etmək üçün \\ (| x-3 | \u003d 2 \\), 3 nöqtədən 2 məsafədə olan ədəd xəttində nöqtələr tapmaq lazımdır. Belə iki nöqtə var: \\ (x_1 \u003d 1 \\) və \\ (x_2 \u003d 5 \\) ...

Bərabərsizliyin həlli \\ (| 2x + 7 |

Lakin tənliklər və bərabərsizlikləri modullarla həll etməyin əsas yolu "modulun tərifi ilə genişləndirilməsi" adlandırılması ilə əlaqələndirilir:
əgər \\ (a \\ geq 0 \\), onda \\ (| a | \u003d a \\);
əgər \\ (a) bir qayda olaraq moduli ilə bir bərabərlik (bərabərsizlik) modul işarəsi olmayan bir sıra tənliklərə (bərabərsizliklərə) endirilir.

Bu tərifə əlavə olaraq aşağıdakı ifadələr istifadə olunur:
1) Əgər \\ (c\u003e 0 \\), onda bərabərlik \\ (| f (x) | \u003d c \\) bərabərliklər toplusuna bərabərdir: \\ (\\ sola [\\ başlamağa (sıra) (l) f (x) \u003d c \\\\ 2) Əgər \\ (c\u003e 0 \\), onda bərabərsizlik \\ (| f (x) | 3) Əgər \\ (c \\ geq 0 \\), onda bərabərsizlik \\ (| f (x) |\u003e c \\) bərabərsizliklər toplusuna bərabərdir. : \\ (\\ sola [\\ başlamaq (massiv) (l) f (x) c \\ son (sıra) \\ sağa. \\)
4) Əgər bərabərsizliyin hər iki tərəfi varsa ((f (x))
NÜMUNƏ 1. Tənliyi həll edin \\ (x ^ 2 +2 | x-1 | -6 \u003d 0 \\). Əgər \\ (x-1 \\ geq 0 \\), onda \\ (| x-1 | \u003d x-1 \\) və verilən tənlik forma alır

\\ (x ^ 2 +2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Düzgün x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\).
Əgər \\ (x-1 \\ (x ^ 2 -2 (x-1) -6 \u003d 0 \\ Düzəldici x ^ 2 -2x -4 \u003d 0 \\).
Beləliklə, verilən tənlik göstərilən hər iki halın hər birinə ayrıca baxılmalıdır.
1) Qoy \\ (x-1 \\ geq 0 \\), yəni. \\ (x \\ geq 1 \\). Tənlikdən \\ (x ^ 2 + 2x -8 \u003d 0 \\) tapırıq \\ (x_1 \u003d 2, \\; x_2 \u003d -4 \\). Vəziyyət \\ (x \\ geq 1 \\) yalnız \\ (x_1 \u003d 2 \\) dəyəri ilə təmin edilir.
2) edək \\ (x-1 Cavab: \\ (2; \\; \\; 1- \\ kvrt (5) \\)
NÜMUNƏ 2. Tənliyi həll edin \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\).

Birinci yol

(modulun tərifi ilə genişləndirilməsi). 1-ci nümunədə mübahisə edərək, iki şərt yerinə yetirildiyi təqdirdə verilmiş tənliyin ayrıca nəzərdən keçirilməli olduğu qənaətinə gəlirik: \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) və ya \\ (x ^ 2-6x + 7)
1) Əgər \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\), onda \\ (| x ^ 2-6x + 7 | \u003d x ^ 2-6x + 7 \\) və verilən tənlik forma alır \\ (x ^ 2 -6x + 7 \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\ Düzgün 3x ^ 2-23x + 30 \u003d 0 \\). Bu kvadrat tənliyi həll edərək, əldə edirik: \\ (x_1 \u003d 6, \\; x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\).

Dəyərin \\ (x_1 \u003d 6 \\) şərtə uyğun olub-olmadığını \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) müəyyənləşdirək. Bunu etmək üçün göstərilən dəyəri kvadrat bərabərsizliyində əvəz edirik. Alırıq: \\ (6 ^ 2-6 \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), yəni. \\ (7 \\ geq 0 \\) əsl bərabərsizlikdir. Deməli, \\ (x_1 \u003d 6 \\) verilmiş tənliyin köküdür.
Dəyərin \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) şərtinə cavab verdiyini \\ (x ^ 2-6x + 7 \\ geq 0 \\) müəyyənləşdirək. Bunu etmək üçün göstərilən dəyəri kvadrat bərabərsizliyində əvəz edirik. Alırıq: \\ (\\ sol (\\ frac (5) (3) \\ sağ) ^ 2 - \\ frac (5) (3) \\ cdot 6 + 7 \\ geq 0 \\), yəni. \\ (\\ frac (25) (9) -3 \\ geq 0 \\) - səhv bərabərsizlik. Deməli, \\ (x_2 \u003d \\ frac (5) (3) \\) verilmiş tənliyin kökü deyildir.
2) Əgər \\ (x ^ 2-6x + 7 Dəyər \\ (x_3 \u003d 3 \\) şərtə cavab verirsə \\ (x ^ 2-6x + 7 Dəyər \\ (x_4 \u003d \\ frac (4) (3) \\) şərtə cavab vermir \\ İkinci yol.

Əgər tənlik \\ (| f (x) | \u003d h (x) \\) verilmişdirsə, \\ (h (x) \\ (\\ sola [\\ başlamaq (massiv) (l) x ^ 2-6x + 7 \u003d \\ frak üçün (5x-9) (3) \\\\ x ^ 2-6x + 7 \u003d - \\ frac (5x-9) (3) \\ son (sıra) \\ sağ. \\)

{!LANG-061aa38ec9ed7b83ddd9624d5d6b0943!}{!LANG-518b05545cc44de9058b99236c77dcfa!}
Bu bərabərliklərin hər ikisi yuxarıda (verilmiş tənliyi həll etmək üçün ilk şəkildə) həll edilmişdir, kökləri belədir: \\ (6, \\; \\ frac (5) (3), \\; 3, \\; \\ frac (4) (3) \\). Bu dörd dəyərin \\ (\\ frac (5x-9) (3) \\ geq 0 \\) vəziyyəti yalnız iki ilə razıdır: 6 və 3. Beləliklə, verilən tənliyin iki kökü var: \\ (x \u003d 6, \\; x \u003d 3 \\ Üçüncü yol

(qrafik). 1) Funksiyanı planlaşdıraq \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\). Əvvəlcə bir parabola qurun \\ (y \u003d x ^ 2-6x + 7 \\). Bizdə \\ (x ^ 2-6x + 7 \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) var. Funksiyanın qrafikini \\ (y \u003d (x-3) ^ 2-2 \\) funksiyasının qrafikindən \\ (y \u003d x ^ 2 \\) 3 miqyaslı vahidi sağa (x oxu boyunca) və 2 miqyaslı vahidi aşağıya sürüşdürərək əldə etmək olar ( y oxunda). Düz xətt x \u003d 3, maraqlandığımız parabolanın oxudur. Daha dəqiq hiylələrin qurulması üçün nəzarət nöqtələri olaraq (3; -2) nöqtəni - parabola ucunu, nöqtəni (0; 7) və nöqtəni (6; 7) parabola oxuna münasibətdə simmetrik olaraq götürmək rahatdır.
Artıq \\ (y \u003d | x ^ 2-6x + 7 | \\) funksiyasının qrafikini qurmaq üçün, x oxunun altında yatmayan tikilmiş parabolanın hissələrini dəyişmədən tərk etməli və parabolanın x oxunun altındakı hissəsini güzgüləşdirməlisiniz. x oxu haqqında.
2) Xətti funksiyanı təyin edək \\ (y \u003d \\ frac (5x-9) (3) \\). Nəzarət nöqtələri olaraq (0; –3) və (3; 2) bal almaq rahatdır.
Düz xəttin abscissa oxu ilə kəsişməsinin x \u003d 1.8 nöqtəsinin, abcissa oxu ilə parabolanın kəsişmə nöqtəsinin sol nöqtəsinin sağında olması vacibdir - bu nöqtədir \\ (x \u003d 3- \\ kvrt (2) \\) (bəri \\ (3- \\ kvrt (2) ) 3) Rəsmə görə, qraflar iki nöqtədə kəsişir - A (3; 2) və B (6; 7) Bu nöqtələrin absislərini x \u003d 3 və x \u003d 6 verilmiş tənlikdə əvəz edərsə, hər ikisi üçün də əmin olduq başqa bir dəyər düzgün ədədi bərabərlik verir ki, bu da hipotezimizin təsdiqləndiyini göstərir - tənliyin iki kökü var: x \u003d 3 və x \u003d 6. Cavab: 3; 6.

Şərh

... Qrafik metod, bütün lütfünə görə çox etibarlı deyil. Nəzərdə tutulan nümunədə, yalnız tənliyin kökləri tam ədəd olduğu üçün işləmişdir.NÜMUNƏ 3. Tənliyi həll edin \\ (| 2x-4 | + | x + 3 | \u003d 8 \\)

2x - 4 ifadəsi x \u003d 2-də 0 olur və x + 3 ifadəsi x \u003d –3-də olur. Bu iki nöqtə say xəttini üç fasilə ayırır: \\ (x

(modulun tərifi ilə genişləndirilməsi).
İlk aralığı nəzərdən keçirin: \\ ((- - infty; \\; -3) \\).

X İkinci aralığa baxın: \\ ([- 3; \\; 2) \\).
Əgər \\ (- - 3 \\ leq x Üçüncü aralıq nəzərə alın: \\ (U
Misal 2.

Bərabərliyi həll edin || x + 2 | - 3 |

Qərar. ≤ 2.

Bu bərabərsizlik aşağıdakı sistemə bərabərdir.

(| x + 2 | - 3 ≥ -2)

(| x + 2 | - 3 ≤ 2,
(| x + 2 | ≥ 1)
(| x + 2 | ≤ 5).
{!LANG-f4cbbff6e0d8c494436580529ee13b6d!}

Sistemin ilk bərabərsizliyini ayrıca həll edək. Bu aşağıdakı məcmuaya bərabərdir:

U [-1; 3].

2) Bir modulun tərifindən istifadə edərək bərabərsizliklərin həlli.

Əvvəlcə sizə xatırlatmaq istəyirəm modul tərifi.

| a | \u003d a əgər a ≥ 0 və | a | \u003d -a olarsa< 0.

Məsələn, | 34 | \u003d 34, | -21 | \u003d - (- 21) \u003d 21.

Nümunə 1.

Bərabərliyi həll edin 3 | x - 1 | ≤ x + 3.

Bu bərabərsizlik aşağıdakı sistemə bərabərdir.

Bir modulun tərifindən istifadə edərək iki sistem əldə edirik:

(x - 1 ≥ 0
(3 (x - 1) ≤ x + 3

(x - 1)< 0
(-3 (x - 1) ≤ x + 3.

İlk ikinci sistemi ayrıca həll edərək, əldə edirik:

(x ≥ 1)
(x ≤ 3,

(x.)< 1
(x ≥ 0).

Orijinal bərabərsizliyin həlli birinci sistemin bütün həlləri və ikinci sistemin bütün həlləri olacaqdır.

Cavab: x €.

3) Qeyri-bərabərliyi kvadratlarla həll etmək.

Nümunə 1.

Bərabərliyi həll edin | x 2 - 1 |< | x 2 – x + 1|.

Bu bərabərsizlik aşağıdakı sistemə bərabərdir.

Bərabərsizliyin hər iki tərəfini kvadrat edək. Qeyd edək ki, bərabərsizliyin hər iki tərəfi yalnız hər ikisi müsbət olduqda kvadrat şəklində ola bilər. Bu vəziyyətdə, solda və sağda modullarımız var, buna görə də bunu edə bilərik.

(| x 2 - 1 |) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

İndi modulun aşağıdakı xüsusiyyətlərindən istifadə edəcəyik: (| x |) 2 \u003d x 2.

(x 2 - 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 - 1) 2 - (x 2 - x + 1) 2< 0.

(x 2 - 1 - x 2 + x - 1) (x 2 - 1 + x 2 - x + 1)< 0,

(x - 2) (2x 2 - x)< 0,

x (x - 2) (2x - 1)< 0.

Fasilələrlə metodla həll edirik.

Cavab: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Dəyişən dəyişənlərlə bərabərsizliklərin həlli.

Nümunə.

Bərabərliyi həll edin (2x + 3) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Bu bərabərsizlik aşağıdakı sistemə bərabərdir.

Qeyd edək ki, (2x + 3) 2 \u003d (| 2x + 3 |) 2. Sonra bərabərsizliyi əldə edirik

(| 2x + 3 |) 2 - | 2x + 3 | ≤ 30.

Dəyişməni y \u003d | 2x + 3 | edək.

Nəzərə alınan əvəzetmə ilə bərabərsizliyimizi yenidən yazaq.

y 2 - y ≤ 30,

y 2 - y - 30 ≤ 0.

Sol tərəfdəki kvadrat trinomialı faktor edək.

y1 \u003d (1 + 11) / 2,

y2 \u003d (1 - 11) / 2,

(y - 6) (y + 5) ≤ 0.

Fasilələrlə metodla həll edək və əldə edək:

Dəyişməyə qayıdaq:

5 ≤ | 2x + 3 | ≤ 6.

Bu ikiqat bərabərsizlik bərabərsizliklər sisteminə bərabərdir:

(| 2x + 3 | ≤ 6)
(| 2x + 3 | ≥ -5).

Bərabərsizliklərin hər birini ayrıca həll edək.

Birincisi sistemə bərabərdir

(2x + 3 ≤ 6)
(2x + 3 ≥ -6.)

Gəlin həll edək.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5).

İkinci bərabərsizlik, bütün x üçün açıq şəkildə tutulur, modul tərifinə görə müsbətdir. Sistemin həlli eyni zamanda həm ilk, həm də ikinci bərabərsizliyi təmin edən bütün x olduğundan, orijinal sistemin həlli ilk ikiqat bərabərsizliyinin həlli olacaqdır (bütün bunlardan sonra ikincisi hamısı üçün doğrudur).

Cavab: x € [-4.5; 1.5].

blog. saytı, materialın tam və ya qismən surətlənməsi ilə mənbəyə link tələb olunur.