Bir dairənin kəsik sahəsi üçün düstur. Bir dairənin sahəsi: düstur

Təlimat

Dairənin məlum sahəsinə əsaslanan radiusu tapmaq üçün Pi istifadə edin. Bu sabit dairənin diametri ilə haşiyənin (dairənin) uzunluğu arasındakı nisbətləri təyin edir. Bir dairənin uzunluğu onunla örtülən bir təyyarənin maksimum sahəsi və diametri iki radiusa bərabərdir, buna görə radiusu olan sahə də Pi sayı ilə ifadə edilə bilən nisbətlə bir-biri ilə əlaqələndirilir. Bu sabit (π) dairənin sahəsi (S) və kvadratın radiusu (r) kimi müəyyən edilir. Buradan belə çıxır ki, radius ərazini Pi ədədi ilə bölmək hissəsinin kvadrat kökü kimi ifadə edilə bilər: r \u003d √ (S / π).

Erastophenes uzun müddət qədim dünyanın ən məşhur kitabxanası olan İskəndəriyyə Kitabxanasına rəhbərlik etdi. Planetimizin ölçüsünü hesablamaqla yanaşı, bir sıra mühüm ixtiralar və kəşflər etdi. Hal hazırda "Erastofen ələyi" adlandırılan sadə rəqəmləri təyin etmək üçün sadə bir üsul icad etdi.

O dövrdə bilinən dünyanın bütün hissələrini qədim yunanlara göstərdiyi bir "dünya xəritəsi" çəkdi. Xəritə vaxtı üçün ən yaxşılardan biri hesab olunurdu. Boylam və enlik sistemi və sıçrayış illərini əhatə edən bir təqvim hazırladı. Erkən astronomların səmadakı ulduzların görünən hərəkətini göstərmək və proqnozlaşdırmaq üçün istifadə etdiyi mexaniki bir cihaz olan silahlı kürəni icad etdi. 675 ulduzun daxil olduğu bir ulduz kataloqu da tərtib etdi.

Mənbələr:

• Yunan alimi Kirenli Eratosfen dünyada ilk dəfə Yerin radiusunu hesabladı
• Eratosfen "Yer kürəsinin hesablanması"
• Eratosfen

Mərkəzdən bərabər məsafəli nöqtələr toplusu olan düz bir rəqəmdir. Hamısı eyni məsafədədir və dairə təşkil edirlər.

Dairənin mərkəzini dairəsinin nöqtələri ilə birləşdirən hissəyə deyilir radius... Hər dairədə bütün radiuslar bir-birinə bərabərdir. Bir dairənin iki nöqtəsini birləşdirən və mərkəzdən keçən bir düz xətt deyilir diametr... Bir dairənin sahəsi üçün düstur riyazi sabit - π sayı istifadə edərək hesablanır.

Bu maraqlıdır : Sayı π. bir dairənin ətrafının diametrinin uzunluğuna nisbətidir və sabitdir. E \u003d 3.1415926 dəyəri L. Eulerin 1737-ci ildəki əsərlərindən sonra tətbiq edilmişdir.

Bir dairənin sahəsi the sabitindən istifadə etməklə hesablana bilər. və dairənin radiusu. Radius baxımından bir dairənin sahəsi üçün düstur belə görünür:

Bir dairənin sahəsini radiusdan hesablamaq üçün bir nümunəni nəzərdən keçirin. Radiusu R \u003d 4 sm olan bir dairə verilsin.Fiqurun sahəsini tapın.

Ətrafımızın sahəsi 50,24 kvadrat metr olacaqdır. sm.

Bir düstur var diametrdən bir dairənin sahəsi... Lazımi parametrləri hesablamaq üçün də geniş istifadə olunur. Bu düsturlar tapmaq üçün istifadə edilə bilər.

Radiusunu bilə-bilə bir dairənin sahəsini diametri ilə hesablamaq üçün bir nümunəni nəzərdən keçirin. R radiusu R \u003d 4 sm olan bir dairə verilsin.Başlamaq üçün, bildiyiniz kimi radiusdan iki dəfə çox olan diametri tapın.


İndi yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək bir dairənin sahəsini hesablamaq üçün bir məlumat üçün məlumatları istifadə edəcəyik:

Gördüyünüz kimi, nəticədə ilk hesablamalarda olduğu kimi eyni cavabı alırıq.

Bir dairənin sahəsini hesablamaq üçün standart formulları bilmək gələcəkdə asanlıqla müəyyənləşdirməyə kömək edəcəkdir sektor sahəsi və itkin miqdarları tapmaq asandır.

Artıq bilirik ki, bir dairənin sahəsi üçün düstur dairənin radiusunun kvadratı ilə sabit bir the məhsulu ilə hesablanır. Radius dairə ilə ifadə edilə bilər və dairənin sahəsi üçün düsturdakı ifadəni dairə ilə əvəz edə bilər:
İndi bu bərabərliyi dairənin sahəsini hesablamaq üçün düsturla əvəzləyirik və dairənin ərazisini tapmaq üçün düsturu ətrafdan alırıq.

Bir dairənin ətrafını ətraf baxımından hesablamaq üçün bir nümunəni nəzərdən keçirin. Uzunluğu l \u003d 8 sm olan bir dairə verilsin, çıxarılan düsturdakı dəyəri əvəz edirik:

Dairənin ümumi sahəsi 5 kvadratmetr olacaqdır. sm.

Bir kvadratın ətrafına dairə edilmiş dairənin sahəsi

Bir kvadratın ətrafına hörülmüş bir dairənin sahəsini tapmaq çox asandır.

Bunun üçün kvadratın yalnız tərəfi və sadə düsturlar haqqında məlumat lazımdır. Kvadratın diaqonalı sünnətin diaqonalına bərabər olacaqdır. A tərəfini bilərək Pifaqor teoremi ilə tapıla bilər: buradan.
Çapraz tapdıqdan sonra radiusu hesablaya bilərik:.
Və sonra hər şeyi bir kvadratın ətrafında təsvir edilmiş bir dairənin sahəsi üçün əsas düstura əvəz edirik:

Dairə mərkəzdən eyni məsafədə olan bir çox nöqtənin görünən kolleksiyasıdır. Sahəsini tapmaq üçün radiusun, diametrin, ədədin π və çevrənin nə olduğunu bilməlisiniz.

Bir dairənin sahəsinin hesablanmasında iştirak edən kəmiyyətlər

Dairənin mərkəzi nöqtəsi və dairənin hər hansı nöqtəsi ilə məhdudlaşan məsafəyə bu həndəsi fiqurun radiusu deyilir. Bir dairənin bütün radiuslarının uzunluqları eynidir. Dairənin istənilən 2 nöqtəsi arasındakı orta nöqtədən keçən hissəyə diametr deyilir. Diametrin uzunluğu radius dəfə 2-nin uzunluğuna bərabərdir.

Bir dairənin sahəsini hesablamaq üçün π dəyərindən istifadə edin. Bu dəyər, çevrənin dairənin diametrinin uzunluğuna nisbətinə bərabərdir və sabit bir dəyərə malikdir. Π \u003d 3.1415926. Dairə L \u003d 2πR düsturu ilə hesablanır.

Radiusdan bir dairənin sahəsini tapın

Buna görə bir dairənin sahəsi 2-ci gücə qaldırılan dairənin radiusu ilə π sayının məhsuluna bərabərdir. Nümunə olaraq dairənin radiusunun 5 sm-ə bərabər uzunluğunu götürək.Sonra dairənin sahəsi 3.14 * 5 ^ 2 \u003d 78.5 kv olacaqdır. sm.

Diametrdən bir dairənin sahəsi

Bir dairənin sahəsi dairənin diametrinin ölçüsünü bilməklə də hesablana bilər. Bu vəziyyətdə S \u003d (π / 4) * d ^ 2, burada d dairənin diametridir. Radiusunun 5 sm olduğu eyni nümunəni götürək. Sonra diametri 5 * 2 \u003d 10 sm olacaqdır. Dairənin sahəsi S \u003d 3.14 / 4 * 10 ^ 2 \u003d 78.5 kv. Cm. Birinci nümunədəki hesablamaların cəminə bərabər nəticə hər iki halda da hesablamaların düzgünlüyünü təsdiqləyir.

Dairənin ətrafındakı dairənin sahəsi

Dairənin radiusu ətraf baxımından təmsil olunarsa, düstur belə görünür: R \u003d (L / 2) π. Bu ifadəni bir dairənin sahəsi üçün düsturda əvəzləyirik və nəticədə S \u003d (L ^ 2) / 4π əldə edirik. Dairənin 10 sm olduğu bir nümunəni nəzərdən keçirək, dairənin sahəsi S \u003d (10 ^ 2) / 4 * 3.14 \u003d 7.96 kv. sm.

Yazılan kvadratın bir tərəfinin uzunluğu boyunca dairənin sahəsi

Bir kvadrat bir dairəyə yazılmışdırsa, dairənin diametrinin uzunluğu kvadratın diaqonalının uzunluğuna bərabərdir. Kvadratın tərəfinin ölçüsünü bilməklə dairənin diametrini aşağıdakı düsturla asanlıqla tapa bilərsiniz: d ^ 2 \u003d 2a ^ 2. Başqa sözlə, 2 güc diametri kvadratın 2 güc tərəfinə 2 bərabərdir.

Bir dairənin diametrinin uzunluğunun dəyərini hesabladıqdan sonra onun radiusunu öyrənə bilərsiniz və sonra bir dairənin sahəsini təyin etmək üçün formullardan birini istifadə edə bilərsiniz.

Dairə sahəsi

Sektor, 2 radius və aralarında bir qövs ilə məhdudlaşmış bir dairənin bir hissəsidir. Sahəsini tapmaq üçün sektorun açısını ölçməlisiniz. Bundan sonra, sayında sektorun bucağının dəyəri və məxrəcdə - 360 olacaq bir hissə yaratmalısınız. Sektorun sahəsini hesablamaq üçün hissəni bölmək nəticəsində əldə edilən dəyər yuxarıdakı düsturlardan birinin köməyi ilə hesablanan dairənin sahəsinə vurulmalıdır.

Dairələr daha diqqətli bir yanaşma tələb edir və B5 maddələrində daha az yaygındır. Eyni zamanda ümumi həll sxemi çoxbucaqlılardan daha sadədir (bax "Koordinat şəbəkəsindəki çoxbucaqlı bölgələr" dərsi).

Bu cür tapşırıqlarda yalnız R dairəsinin radiusunu tapmaq lazımdır. Sonra S \u003d πR 2 düsturundan istifadə edərək dairənin sahəsini hesablaya bilərsiniz. Həm də bu formuldan belə çıxır ki, həll üçün R 2 tapmaq kifayətdir.

Göstərilən dəyərləri tapmaq üçün, dairənin üzərinə ızgara xətlərinin kəsişməsində uzanan bir nöqtəni göstərmək kifayətdir. Və sonra Pifaqor teoremindən istifadə edin. Radiusun hesablanmasının xüsusi nümunələrini nəzərdən keçirək:

Tapşırıq. Şəkildə göstərilən üç dairənin radiuslarını tapın:

Hər dairədə əlavə konstruksiyalar həyata keçirək:

Hər bir vəziyyətdə, dairə üzərində B nöqtəsi seçilir, belə ki, ızgara xətlərinin kəsişməsində yerləşir. 1 və 3 dairələrdəki C nöqtəsi şəkli düzbucaqlı üçbucağa tamamlayır. Radiusları tapmaq qalır:

Birinci dairədə ABC üçbucağını nəzərdən keçirək. Pifaqor teoremi ilə: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

İkinci dairə üçün hər şey aydındır: R \u003d AB \u003d 2.

Üçüncü hal birincisinə bənzəyir. Pifaqor teoremi ilə ABC üçbucağından: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

İndi bir dairənin radiusunu (və ya heç olmasa kvadratını) necə tapacağımızı bilirik. Buna görə ərazini tapa bilərik. Bütün dairəni deyil, bir sahənin sahəsini tapmaq lazım olan tapşırıqlar var. Belə hallarda bu sektorun dairənin hansı hissəsini tapmaq və beləliklə ərazini tapmaq asandır.

Tapşırıq. Doldurulmuş sektorun S sahəsini tapın. Xahiş edirəm cavabınızda S / π göstərin.

Aydındır ki, sektor dairənin dörddə birini təşkil edir. Buna görə S \u003d 0.25 · S dairəsi.

Dairənin S - dairənin sahəsini tapmaq qalır. Bunu etmək üçün əlavə bir tikinti aparaq:

Üçbucaq ABC düzbucaqlıdır. Pifaqor teoremi ilə bizdə var: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

İndi dairənin və sektorun sahələrini tapırıq: S dairəsi \u003d πR 2 \u003d 8π; S \u003d 0.25 S dairə \u003d 2π.

Nəhayət, axtarılan dəyər S / π \u003d 2-dir.

Sektor sahəsi naməlum radiusda

Bu tamamilə yeni bir tapşırıq növüdür, 2010-2011-ci illərdə buna bənzər bir şey yox idi. Şərti olaraq, bizə müəyyən bir sahənin dairəsi verilir (yəni radius deyil, sahə!). Sonra bu dairənin içərisində sahəsi tapılmalı olan bir sektor seçilir.

Yaxşı xəbər odur ki, bu cür problemlər riyaziyyat imtahanında olan kvadratdakı bütün problemlərdən ən asandır. Bundan əlavə, dairə və sektor daima şəbəkəyə yerləşdirilir. Buna görə bu cür problemləri necə həll edəcəyinizi öyrənmək üçün şəkilə bir nəzər yetirin:

Orijinal dairənin dairəsinin S sahəsi \u003d 80 olsun. Sonra hər biri S \u003d 40 olan iki sektora bölünə bilərsiniz (bax. Addım 2). Eynilə, bu "yarı" sektorların hər biri yenidən yarıya bölünə bilər - hər biri S \u003d 20 olan dörd sektor alırıq (baxın addım 3). Nəhayət, bu sektorların hər birini daha ikiyə bölə bilərsiniz - 8 “qırıntı” sektoru əldə edirik. Bu "qırıntıların" hər birinin sahəsi S \u003d 10 olacaqdır.

Diqqət yetirin: riyaziyyat imtahanının hər hansı bir problemində daha incə bölgü yoxdur! Beləliklə, B-3 probleminin həlli üçün alqoritm aşağıdakı kimidir:

1. Orijinal dairəni 8 "qırıntı" sektoruna kəsin. Hər birinin sahəsi bütün dairənin sahəsinin tam 1/8 hissəsidir. Məsələn, şərtlə dairənin dairənin S sahəsi \u003d 240 olarsa, "parçalar" ın sahəsi S \u003d 240: 8 \u003d 30;
2. Sahəsini tapmaq istədiyiniz orijinal sektora neçə "qırıntı" qoyulduğunu öyrənin. Məsələn, sektorumuzda sahəsi 30 olan 3 "parça" varsa, istədiyiniz sektorun sahəsi S \u003d 3 · 30 \u003d 90-dır. Bu cavab olacaq.

Hamısı budur! Problem praktik olaraq şifahi şəkildə həll olunur. Hələ bir şey başa düşmürsənsə, bir pizza al və 8 hissəyə kəs. Hər belə parça daha böyük parçalara birləşdirilə bilən eyni "qırıntılar" sektoru olacaqdır.

İndi sınaq imtahanından nümunələrə baxaq:

Tapşırıq. Sahəsi 40 olan damalı kağıza dairə çəkilir. Kölgəli fiqurun sahəsini tapın.

Beləliklə, dairənin sahəsi 40-dır. Sektoru 8-ə bölək - hər biri sahəsi S \u003d 40: 5 \u003d 8.

Aydındır ki, doldurulmuş sektor tam iki “qırıntı” sektorundan ibarətdir. Buna görə onun sahəsi 2 · 5 \u003d 10-dur. Bütün həll budur!

Tapşırıq. Sahəsi 64 olan damalı kağız üzərində bir dairə çəkilir. Kölgəli fiqurun sahəsini tapın.

Bütün dairəni yenidən 8 bərabər sektora bölün. Aydındır ki, bunlardan birinin sahəsi tam olaraq axtarmalı olduğunuz şeydir. Buna görə onun sahəsi S \u003d 64: 8 \u003d 8-dir.

Tapşırıq. Sahəsi 48 olan damalı kağıza dairə çəkilir. Kölgəli fiqurun sahəsini tapın.

Dairəni yenidən 8 bərabər sektora bölün. Hər birinin sahəsi S \u003d 48: 8 \u003d 6-ya bərabərdir. Aranan sektorda tam üç sektor yerləşdirilir - "parça" (şəklə bax). Bu səbəbdən istədiyiniz sektorun sahəsi 3 6 \u003d 18-dir.