2 nöqtədən istifadə edərək düz bir xətti bərabərləşdirin. Verilən iki nöqtədən keçən düz bir xəttin tənliyi: nümunələr, həllər

İki nöqtədən keçən bir düz xəttin tənliyi. Məqalə" " Verilmiş bir problemi həll etmək üçün ikinci bir metodu təhlil edəcəyinizə söz verdim, bir funksiyanın bir qrafiki və bu qrafik üçün bir tangan. Bu üsulu içəridə təhlil edəcəyik , qaçırmayın! Niyə növbəti birində?

Fakt budur ki, orada düz xəttin tənliyi üçün düstur istifadə ediləcəkdir. Əlbəttə ki, yalnız bu düsturu göstərə bilər və onu öyrənməyi məsləhət görürsən. Ancaq izah etmək daha yaxşıdır - haradan gəlir (necə yaranır). Lazımdır! Unutmusunuzsa tez bərpa edin çətin olmayacaq. Hər şey aşağıda ətraflı. Beləliklə, koordinat müstəvisində iki nöqtə A var(x 1; y 1) və B (x 2; y 2), göstərilən nöqtələrdən düz bir xətt çəkilir:

Budur düz xətt düsturunun özü:

* Yəni nöqtələrin xüsusi koordinatlarını əvəz edərkən y \u003d kx + b şəklində bir tənlik əldə edirik.

** Əgər bu düstur sadəcə "cagged" dirsə, o zaman indekslərlə qarışma ehtimalı yüksəkdir x... Bundan əlavə, indekslər müxtəlif yollarla ifadə edilə bilər, məsələn:

Buna görə mənasını anlamaq vacibdir.

İndi bu düsturun nəticəsi. Hər şey çox sadədir!

ABE və ACF üçbucaqları kəskin açıda oxşardır (sağ açılı üçbucaqların oxşarlığının ilk əlaməti). Buradan da müvafiq elementlərin əlaqələri bərabərdir, yəni:

İndi bu seqmentləri nöqtələrin koordinatları arasındakı fərqlə ifadə edirik:

Əlbətdə ki, elementlərin münasibətlərini fərqli qaydada yazsanız səhv olmaz (əsas odur ki, yazışmaları davam etdirək):

Nəticə düz xəttin eyni tənliyi olacaqdır. Hamısı var!

Yəni nöqtələrin özləri (və koordinatları) necə təyin olunmasından asılı olmayaraq, bu düsturu anlayaraq hər zaman düz bir xəttin tənliyini tapacaqsınız.

Düsturu vektorların xassələrindən istifadə etməklə əldə etmək olar, ancaq onların koordinatlarının mütənasibliyi barədə danışacağımız üçün törəmə prinsipi eyni olacaq. Bu vəziyyətdə eyni açılı üçbucaqlar eyni işləyir. Məncə, yuxarıda təsvir edilən nəticə daha aydındır)).

Vektor koordinatları \u003e\u003e\u003e vasitəsilə çıxışa baxın

Verilən iki nöqtədən A (x 1; y 1) və B (x 2; y 2) keçən koordinat müstəvisində düz bir xətt çəkilsin. Düz xəttdə koordinatları olan ixtiyari C nöqtəsini qeyd edək ( x; y). İki vektoru da ifadə edirik:

Paralel xətlərdə (və ya bir düz xəttdə) uzanan vektorlar üçün onların müvafiq koordinatları mütənasibdir, yəni:

- müvafiq koordinatların nisbətlərinin bərabərliyini yazırıq:

Bir nümunəni nəzərdən keçirək:

Koordinatları (2; 5) və (7: 3) ilə iki nöqtədən keçən bir düz xəttin tənliyini tapın.

Düz xəttin özünü qurmağa belə ehtiyac yoxdur. Düsturu tətbiq edirik:

Nisbəti tərtib edərkən yazışmaları tutmağınız vacibdir. Yazsanız səhv edə bilməzsiniz:

Cavab: y \u003d -2 / 5x + 29/5 getmək y \u003d -0.4x + 5.8

Əldə edilən tənliyin düzgün tapılmasına əmin olmaq üçün bir yoxlama aparmağı unutmayın - daxilindəki nöqtələr vəziyyətində məlumatların koordinatlarını dəyişdirin. Düzgün bərabərliklər əldə etməlisiniz.

Hamısı budur. Ümid edirəm ki, material sizin üçün faydalı oldu.

Hörmətlə, Alexander.

P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat verə bilsəydiniz minnətdar olaram.

Tənlik parabolalar kvadratik bir funksiyadır. Bu tənliyin qurulması üçün bir neçə variant var. Hamısı problem ifadəsində hansı parametrlərin təqdim olunduğuna bağlıdır.

Təlimatlar

Parabola şəklində bir qövsə bənzəyən və güc funksiyasının bir qrafiki olan bir əyridir. Parabolanın xüsusiyyətlərindən asılı olmayaraq, bu, hətta. Belə bir funksiya hətta deyilir; tərifdən arqumentin bütün dəyərləri üçün, dəlilin işarəsi dəyişəndə \u200b\u200bdəyər dəyişmir: f (-x) \u003d f (x) Ən sadə funksiyadan başlayın: y \u003d x ^ 2. Formasından belə nəticə çıxara bilərik ki, x arqumentinin həm müsbət, həm də mənfi dəyərləri üçündür. X \u003d 0, eyni zamanda y \u003d 0 olan nöqtə bir nöqtə hesab olunur.

Aşağıda bu funksiyanın qurulması üçün bütün əsas variantlar və o. Birinci nümunə olaraq, aşağıda formanın bir funksiyasını nəzərdən keçiririk: f (x) \u003d x ^ 2 + a, burada a tam ədəddir Bu funksiyanın qrafikini tərtib etmək üçün f (x) funksiyasının qrafikini vahidlərlə dəyişmək lazımdır. Buna misal olaraq y \u003d x ^ 2 + 3 funksiyasını göstərmək olar, burada funksiya y oxu boyunca iki ədəd dəyişir. Əgər əks işarə ilə bir funksiya verilirsə, məsələn y \u003d x ^ 2-3, onda qrafiki y oxu boyunca aşağı salınır.

Parabola verilə biləcək başqa bir funksiya f (x) \u003d (x + a) ^ 2-dir. Belə hallarda, qraf, əksinə, vahidlər tərəfindən abscissa (x ox) boyunca dəyişdirilir. Məsələn, funksiyaları nəzərdən keçirin: y \u003d (x +4) ^ 2 və y \u003d (x-4) ^ 2. Birinci halda, bir artı işarəsi olan bir funksiya olduğu təqdirdə qrafik ox oxu boyunca sola, ikinci vəziyyətdə isə sağa köçürülür. Bütün bu hallar rəqəmdə göstərilir.

İki xal verilsin M(X1 ,Var1) və N(X2, y2). Bu nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyini tapaq.

Bu xətt nöqtədən keçdiyindən M, sonra (1.13) düsturuna görə onun tənliyi formaya malikdir

Var – Y1 = K(X - x1),

Harada K - naməlum yamac.

Bu əmsalın dəyəri axtarılan xəttin nöqtədən keçməsi şərtindən müəyyən edilir Nvə buna görə də onun koordinatları (1.13) tənliyə cavab verir

Y2 – Y1 = K(X2 – X1),

Buradan bu xəttin yamacını tapa bilərsiniz:

,

Və ya dönüşümdən sonra

(1.14)

Formula (1.14) müəyyənləşdirir İki nöqtədən keçən bir düz xəttin tənliyi M(X1, Y1) və N(X2, Y2).

Xüsusi vəziyyətdə nöqtələr olduqda M(A, 0), N(0, B), VƏ ¹ 0, B ¹ 0, koordinat oxlarında yalan, tənlik (1.14) daha sadə bir forma alır

Tənlik (1.15) çağırdı Seqmentlərdə düz bir xəttin tənliyi, burada VƏ və B balta üzərində düz bir xətt ilə kəsilmiş seqmentləri işarələyin (Şəkil 1.6).

Şəkil 1.6

Misal 1.10. Bir nöqtədən düz bir xətt çəkin M(1, 2) və B(3, –1).

. (1.14) görə, axtarılan xəttin tənliyi formaya malikdir

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Bütün şərtləri sol tərəfə köçürərək nəhayət istədiyiniz tənliyi əldə edirik

3X + 2Y – 7 = 0.

Misal 1.11. Bir nöqtədən düz bir xətt çəkin M(2, 1) və xətlərin kəsişmə nöqtəsi X+ Y -1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Verilmiş bərabərlikləri birlikdə həll etməklə düz xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapırıq

Bu tənliklərin müddətini müddətlə əlavə etsək, 2 alırıq X + 1 \u003d 0, haradan. Tapılan dəyəri hər hansı bir tənliyə əvəz etməklə ordinatın dəyərini tapırıq Var:

İndi nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyini yazırıq (2, 1) və:

və ya.

Beləliklə, və ya –5 ( Y – 1) = X – 2.

Sonda axtarılan xəttin tənliyini formada əldə edirik X + 5Y – 7 = 0.

Misal 1.12. Nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyini tapın M(2,1) və N(2,3).

(1.14) düsturundan istifadə edərək tənliyi əldə edirik

İkinci məxrəcin sıfır olduğu üçün bunun mənası yoxdur. Problem açıqlamasından görmək olar ki, hər iki nöqtənin absisləri eyni qiymətə malikdir. Beləliklə, axtarılan xətt oxa paraleldir OY və onun tənliyi: x = 2.

Şərh . (1.14) düsturuna görə düz bir xəttin tənliyini yazarkən, məxrəclərdən biri sıfıra çevrilirsə, istədiyiniz tənliyi müvafiq ədədi sıfıra bərabərləşdirməklə əldə etmək olar.

Bir təyyarədə düz bir xətt təyin etməyin digər yollarını nəzərdən keçirin.

1. Bir sıfır olmayan bir vektor verilmiş xəttə dik olaraq verilsin Lvə nöqtə M0(X0, Y0) bu düz xətt üzərində yerləşir (Şəkil 1.7).

Şəkil 1.7

Biz bildiririk M(X, Y) xəttin ixtiyari nöqtəsi L... Vektorlar və Ortoqonal. Bu vektorlar üçün ortogonallıq şərtlərindən istifadə edərək ya da əldə edirik VƏ(X – X0) + B(Y – Y0) = 0.

Bir nöqtədən keçən bir düz xəttin tənliyini əldə etdik M0 vektora perpendikulyar. Bu vektor deyilir Normal vektor düz etmək L... Yaranan tənliyi yenidən yazmaq olar

Ah + Woo + FROM \u003d 0, harada FROM = –(VƏX0 + Tərəfindən0), (1.16),

Harada VƏ və İN- normal vektorun koordinatları.

Düz xəttin ümumi tənliyini parametrik formada əldə edirik.

2. Bir təyyarədə düz bir xətt aşağıdakı kimi göstərilə bilər: bir sıfır olmayan bir vektor bu düz xəttə paralel olsun L və nöqtə M0(X0, Y0) bu düz xətt üzərində yatır. Yenidən ixtiyari bir nöqtə çəkin M(X, y) düz bir xətt üzərində (Şəkil 1.8).

Şəkil 1.8

Vektorlar və sətiraltı.

Bu vektorlar üçün bir-birinə uyğunluq vəziyyətini yazırıq:, harada T - parametr adlanan ixtiyari bir nömrə. Bu bərabərliyi koordinatlarda yazaq:

Bu tənliklər deyilir Parametrik tənliklər Düzdür... Bu tənliklərdən parametri xaric edirik T:

Bu tənliklər başqa formada yazıla bilər

. (1.18)

Yaranan tənlik deyilir Xəttin kanonik tənliyi... Vektor deyilir Düz xəttin istiqamət vektoru .

Şərh . Xəttin normal vektoru olduğunu görmək asandır L, onda onun istiqaməti vektoru bir vektor ola bilər, çünki, yəni.

Misal 1.13. Nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini yazın M0 (1, 1) düz 3-ə paralel X + 2Var– 8 = 0.

Qərar . Vektor verilmiş və istədiyiniz düz xətlər üçün normal vektordur. Nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini istifadə edəcəyik M0 verilmiş normal vektor ilə 3 ( X –1) + 2(Var - 1) \u003d 0 və ya 3 X + 2y - 5 \u003d 0. İstədiyiniz düz xəttin tənliyini aldı.

K (x 0; y 0) nöqtəsindən keçən və y \u003d kx + a düz xəttinə paralel olan düz xətt düsturla tapılır:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Burada k düz xəttin yamacıdır.

Alternativ düstur:
M 1 (x 1; y 1) nöqtəsindən keçən və Ax + By + C \u003d 0 düz xəttinə paralel olan düz xətt tənliklə təmsil olunur

A (x-x 1) + B (y-y 1) \u003d 0. (2)

Misal №2. 2x + 5y \u003d 0 düz xətti ilə paralel düz bir düzənin tənliyini yazın və koordinat oxları ilə birlikdə sahəsi 5 olan üçbucaq əmələ gətirin.
Qərar ... Düz xətlər paralel olduğundan, istədiyiniz düz xəttin tənliyi 2x + 5y + C \u003d 0. a və b ayaqları olan sağ üçbucağın sahəsi. İstədiyiniz düz xəttin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın:
;
.
Beləliklə A (-C / 2.0), B (0, -C / 5). Sahənin düsturunda əvəz edək: ... İki həll alırıq: 2x + 5y + 10 \u003d 0 və 2x + 5y - 10 \u003d 0.

Misal №3. Nöqtədən (-2; 5) keçən və 5x-7y-4 \u003d 0 düz xətlə paralel düz xətt çəkin.
Qərar. Bu düz xətt y \u003d 5/7 x - 4/7 (burada a \u003d 5/7) tənliyi ilə təmsil oluna bilər. İstədiyiniz düz xəttin tənliyi y - 5 \u003d 5/7 (x - (-2)), yəni. 7 (y-5) \u003d 5 (x + 2) və ya 5x-7y + 45 \u003d 0.

Misal № 4. 3 (A \u003d 5, B \u003d -7) nümunəsini (2) düsturdan istifadə edərək 5 (x + 2) -7 (y-5) \u003d 0 tapırıq.

Misal № 5. (-2; 5) nöqtədən keçən və düz xəttə paralel 7x + 10 \u003d 0 olan düz xəttin tənliyini düzəldin.
Qərar. Burada A \u003d 7, B \u003d 0. Formula (2) 7 (x + 2) \u003d 0, yəni verir. x + 2 \u003d 0. Formula (1) tətbiq oluna bilməz, çünki bu tənliyi y ilə həll etmək mümkün deyil (bu xətt ordinat oxuna paraleldir).

Evklid geometriyasında bir düz xəttin xüsusiyyətləri.

İstənilən nöqtədən sonsuz bir çox düz xətt çəkə bilərsiniz.

Hər iki uyğun olmayan nöqtədən tək bir düz xətt çəkilə bilər.

Təyyarədəki iki uyğunsuz düz xətt ya bir nöqtədə kəsişir, ya da

paralel (əvvəlkindən aşağıdakı).

Üç ölçülü məkanda iki düz xəttin nisbi mövqeyi üçün üç seçim var:

• düz xətlər kəsişir;

• düz xətlər paraleldir;

• düz xətlər kəsişir.

Düzdür xətti - ilk sıranın cəbri əyri: Karteziya koordinat sistemində, düz bir xətt

təyyarədə birinci dərəcəli bir tənlik (xətti tənlik) ilə verilir.

Xəttin ümumi tənliyi.

Tərif... Bir müstəvidə istənilən düz xətt birinci dərəcəli tənliklə verilə bilər

Ax + Wu + C \u003d 0,

daimi ilə A, B eyni zamanda sıfıra bərabər deyil. Bu birinci dərəcəli tənlik deyilir ümumi

düz xəttin tənliyi. Sabitlərin dəyərlərindən asılı olaraq A, B və FROM aşağıdakı xüsusi hallar mümkündür:

. C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - düz xətt mənşəyindən keçir

. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0)- oxa paralel düz xətt Ah

. B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - oxa paralel düz xətt OU

. B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - düz xətt ox ilə üst-üstə düşür OU

. A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - düz xətt ox ilə üst-üstə düşür Ah

Düz bir xəttin tənliyi, veriləndən asılı olaraq müxtəlif formalarda təqdim edilə bilər

ilkin şərtlər.

Bir nöqtə və normal bir vektor boyunca düz bir xəttin tənliyi.

Tərif... Karteziya düzbucaqlı koordinat sistemində (A, B) komponentləri olan bir vektor

tənliyin verdiyi düz xəttə dik

Ax + Wu + C \u003d 0.

Nümunə... Bir nöqtədən keçən düz bir xəttin tənliyini tapın A (1, 2) vektora dik (3, -1).

Qərar... A \u003d 3 və B \u003d -1 nöqtələrində düz xəttin tənliyini tərtib edirik: 3x - y + C \u003d 0. C əmsalını tapmaq üçün

verilmiş A nöqtəsinin koordinatlarını əmələ gələn ifadəyə əvəz edin: əldə edirik: 3 - 2 + C \u003d 0, buna görə

C \u003d -1. Cəmi: tələb olunan tənlik: 3x - y - 1 \u003d 0.

İki nöqtədən keçən bir düz xəttin tənliyi.

İki nöqtə boşluq verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1)və M2 (x 2, y 2, z 2), sonra düz xəttin tənliyi,

bu nöqtələrdən keçən:

Tərif edənlərdən hər hansı biri sıfırdırsa, müvafiq ədədi sıfıra bərabərləşdirilməlidir. Üstündə

düzlük, yuxarıda yazılmış düz xəttin tənliyi sadələşdirilir:

əgər a x 1 ≠ x 2 və x \u003d x 1 , a x 1 \u003d x 2 .

Fraksiya \u003d k çağırdı yamac düz.

Nümunə... A (1, 2) və B (3, 4) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.

Qərar... Yuxarıdakı düsturu tətbiq edərək əldə edirik:

Düz bir xəttin nöqtə və yamac ilə tənliyi.

Düz xəttin ümumi tənliyi olarsa Ax + Wu + C \u003d 0 formaya gətirmək:

təyin edin , sonra yaranan tənlik deyilir

yamac ilə düz bir xəttin tənliyi.

Bir nöqtə və bir istiqamət vektoru boyunca düz bir xəttin tənliyi.

Normal vektor vasitəsilə düz bir xəttin tənliyini nəzərdən keçirən paraqrafla bənzətməklə tapşırığa girə bilərsiniz

bir nöqtə və düz bir xəttin bir istiqamət vektoru ilə düz bir xətt.

Tərif... Hər bir sıfır vektor (α 1, α 2)komponentləri vəziyyəti qane edir

Аα 1 + Вα 2 \u003d 0 çağırdı düz bir xəttin yönləndirmə vektoru.

Ax + Wu + C \u003d 0.

Nümunə... Bir istiqamət vektoru (1, -1) ilə A nöqtəsindən (1, 2) keçən düz bir xəttin tənliyini tapın.

Qərar... İstədiyiniz düz xəttin tənliyi aşağıdakı formada axtarılacaqdır: Ax + By + C \u003d 0. Tərifə görə,

əmsallar şərtlərə cavab verməlidir:

1 * A + (-1) * B \u003d 0, yəni. A \u003d B.

Sonra düz xəttin tənliyi aşağıdakı formada olur: Ax + Ay + C \u003d 0, və ya x + y + C / A \u003d 0.

at x \u003d 1, y \u003d 2alırıq C / A \u003d -3, yəni tələb olunan tənlik:

x + y - 3 \u003d 0

Seqmentlərdə düz bir xəttin tənliyi.

Əgər düz xəttin ümumi tənliyində Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0 olarsa, -C-ə bölünsək, əldə edirik:

və ya harada

Katsayımların həndəsi mənası budur ki, a əmsalı kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır

ox ilə düz Oh və b - düz xəttin ox ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatı OU.

Nümunə... Düz xəttin ümumi tənliyi verilmişdir x - y + 1 \u003d 0.Bu düz xəttin bərabərliyini seqmentlərdə tapın.

C \u003d 1, a \u003d -1, b \u003d 1.

Düz bir xəttin normal tənliyi.

Əgər tənliyin hər iki tərəfi Ax + Wu + C \u003d 0 sayına görə bölün deyilir

normallaşdıran amil, sonra alırıq

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -normal xətt tənliyi.

Normalaşdırıcı amilin ± işarəsi seçilməlidir ki, bunun üçün μ * C< 0.

r - başlanğıcdan düz xəttə enən perpendikulyar uzunluq,

və φ - oxun müsbət istiqaməti ilə bu perpendikulyar yaranan bucaq Ah.

Nümunə... Xəttin ümumi tənliyi verilmişdir 12x - 5y - 65 \u003d 0... Müxtəlif növ tənliklər yazmaq üçün tələb olunur

bu düz xətt.

Bu xəttin seqmentlərdə tənliyi:

Bu xəttin yamac ilə bərabərliyi: (5-ə bölün)

Düz xəttin tənliyi:

cos φ \u003d 12/13; günah φ \u003d -5/13; p \u003d 5.

Qeyd etmək lazımdır ki, hər düz xətt seqmentlərdə, məsələn, düz xətlərdə bir tənlik ilə təmsil oluna bilməz.

oxlara paralel və ya mənşəyindən keçərək.

Təyyarədəki düz xətlər arasındakı bucaq.

Tərif... İki xətt verilsə y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , sonra bu xətlər arasında kəskin bir açı

kimi təyin ediləcək

İki düz xətt paraleldirsə k 1 \u003d k 2... İki düz xətt dik,

əgər a k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorem.

Birbaşa Ax + Wu + C \u003d 0və A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 əmsallar mütənasib olduqda paralel olurlar

А 1 \u003d λА, В 1 \u003d λВ... Əgər də С 1 \u003d λС, sonra düz xətlər üst-üstə düşür. İki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları

bu düz xətlərin tənliklər sisteminə bir həll yolu olaraq tapılır.

Verilmiş bir nöqtədən verilmiş bir düz xəttə dik olan xəttin tənliyi.

Tərif... Nöqtədən keçin M 1 (x 1, y 1) və xəttə dik y \u003d kx + b

tənliklə təmsil olunur:

Nöqtədən xəttə qədər məsafə.

Teorem... Bir nöqtə verilirsə M (x 0, y 0), düz xəttə olan məsafə Ax + Wu + C \u003d 0olaraq təyin olundu:

Sübut... Nəzərinizə çatdıraq M 1 (x 1, y 1) - perpendikulyar təməl nöqtədən düşdü Mverilmiş üçün

düz xətt. Sonra nöqtələr arasındakı məsafə Mvə M 1:

(1)

Koordinatları x 1 və 1-də tənliklər sisteminin həlli kimi tapıla bilər:

Sistemin ikinci tənliyi, verilmiş M 0 nöqtəsindən perpendikulyar keçən düz bir xəttin tənliyidir

verilmiş düz xətt. Sistemin ilk tənliyini formaya çevirsək:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 0 ilə 0 + C \u003d 0,

sonra, həll, biz əldə:

Bu ifadələri tənliyə (1) əvəz edərək aşağıdakıları tapırıq:

Teorem sübut edilmişdir.