Kan 3 vinkler støde op til hinanden? Hvilke vinkler kaldes tilstødende? Hvad er summen af to tilstødende vinkler?

Hjem / Snydende kone

I processen med at studere et geometrikursus dukker begreberne "vinkel", "lodrette vinkler", "tilstødende vinkler" op ret ofte. Forståelse af hvert af begreberne vil hjælpe dig med at forstå problemet og løse det korrekt. Hvad er tilstødende vinkler, og hvordan bestemmer man dem?

Tilstødende vinkler - definition af begrebet

Udtrykket "tilstødende vinkler" karakteriserer to vinkler dannet af en fælles stråle og to yderligere halvlinjer, der ligger på den samme rette linje. Alle tre stråler kommer ud fra samme punkt. En fælles halvlinje er samtidig en side af både den ene og den anden vinkel.

Tilstødende vinkler - grundlæggende egenskaber

1. Baseret på formuleringen af tilstødende vinkler er det let at bemærke, at summen af sådanne vinkler altid danner en omvendt vinkel, hvis gradmål er 180°:

Hvis μ og η er tilstødende vinkler, så er μ + η = 180°.
Ved at kende størrelsen af en af de tilstødende vinkler (for eksempel μ), kan du nemt beregne gradmålet for den anden vinkel (η) ved hjælp af udtrykket η = 180° – μ.

2. Denne egenskab ved vinkler giver os mulighed for at drage følgende konklusion: en vinkel, der er tilstødende ret vinkel, vil også være direkte.

3. Overvejer trigonometriske funktioner(sin, cos, tg, ctg), baseret på reduktionsformlerne for tilstødende vinkler μ og η, er følgende sandt:

sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Tilstødende vinkler - eksempler

Eksempel 1

Givet en trekant med toppunkter M, P, Q – ΔMPQ. Find de vinkler, der støder op til vinklerne ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM.

Lad os forlænge hver side af trekanten med en lige linje.
Ved at vide, at tilstødende vinkler komplementerer hinanden op til en omvendt vinkel, finder vi ud af, at:

ved siden af vinklen ∠QMP er ∠LMP,

ved siden af vinklen ∠MPQ er ∠SPQ,

ved siden af vinklen ∠PQM er ∠HQP.

Eksempel 2

Værdien af en tilstødende vinkel er 35°. Hvad er gradmålet for den anden tilstødende vinkel?

To tilstødende vinkler lægger op til 180°.
Hvis ∠μ = 35°, så ved siden af det ∠η = 180° – 35° = 145°.

Eksempel 3

Bestem værdierne af tilstødende vinkler, hvis det er kendt, at gradmålet for en af dem er tre gange større end gradmålet for den anden vinkel.

Lad os betegne størrelsen af en (mindre) vinkel med – ∠μ = λ.
I henhold til problemets betingelser vil værdien af den anden vinkel være lig med ∠η = 3λ.
Baseret på den grundlæggende egenskab for tilstødende vinkler følger μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Det betyder, at den første vinkel er ∠μ = λ = 45°, og den anden vinkel er ∠η = 3λ = 135°.

Evnen til at bruge terminologi, samt viden om de grundlæggende egenskaber af tilstødende vinkler, vil hjælpe dig med at løse mange geometriske problemer.

1. Tilstødende vinkler.

Hvis vi forlænger siden af en vinkel ud over dens toppunkt, får vi to vinkler (fig. 72): ∠ABC og ∠CBD, hvor den ene side BC er fælles, og de to andre, AB og BD, danner en ret linje.

To vinkler, hvor den ene side er fælles, og de to andre danner en ret linje, kaldes tilstødende vinkler.

Tilstødende vinkler kan også opnås på denne måde: Hvis vi tegner en stråle fra et punkt på en linje (ikke liggende på en given linje), får vi tilstødende vinkler.

For eksempel er ∠ADF og ∠FDB tilstødende vinkler (fig. 73).

Tilstødende vinkler kan have mange forskellige positioner (fig. 74).

Tilstødende vinkler lægger op til en lige vinkel, så summen af to tilstødende vinkler er 180°

Derfor kan en ret vinkel defineres som en vinkel svarende til dens tilstødende vinkel.

Ved at kende størrelsen af en af de tilstødende vinkler, kan vi finde størrelsen af den anden vinkel, der støder op til den.

For eksempel, hvis en af de tilstødende vinkler er 54°, vil den anden vinkel være lig med:

180° - 54° = l26°.

2. Lodrette vinkler.

Hvis vi forlænger vinklens sider ud over dens toppunkt, får vi lodrette vinkler. I figur 75 er vinklerne EOF og AOC lodrette; vinklerne AOE og COF er også lodrette.

To vinkler kaldes lodrette, hvis siderne af den ene vinkel er fortsættelser af siderne af den anden vinkel.

Lad ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(fig. 76). ∠2 ved siden af vil være lig med 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, dvs. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

På samme måde kan du beregne, hvad ∠3 og ∠4 er lig med.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (fig. 77).

Vi ser, at ∠1 = ∠3 og ∠2 = ∠4.

Du kan løse flere flere af de samme problemer, og hver gang vil du få det samme resultat: de lodrette vinkler er ens med hinanden.

Men for at sikre, at lodrette vinkler altid er ens med hinanden, er det ikke nok at overveje individuelle numeriske eksempler, da konklusioner trukket fra bestemte eksempler nogle gange kan være fejlagtige.

Det er nødvendigt at verificere gyldigheden af lodrette vinklers egenskaber ved bevis.

Beviset kan udføres som følger (fig. 78):

∠et +∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(da summen af tilstødende vinkler er 180°).

∠et +∠c = ∠b+∠c

(da venstre side af denne lighed er lig med 180°, og dens højre side også er lig med 180°).

Denne lighed omfatter den samme vinkel Med.

Hvis vi trækker lige store mængder fra lige store mængder, forbliver lige store mængder. Resultatet bliver: ∠-en = ∠b, dvs. de lodrette vinkler er lig med hinanden.

3. Summen af vinkler, der har et fælles toppunkt.

På tegning 79 er ∠1, ∠2, ∠3 og ∠4 placeret på den ene side af en linje og har et fælles toppunkt på denne linje. I sum udgør disse vinkler en ret vinkel, dvs.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

I figur 80 har ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 og ∠5 et fælles toppunkt. Disse vinkler summeres til en fuld vinkel, dvs. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Andre materialer

KAPITEL I.

GRUNDKONCEPT.

§11. TILSTØDENDE OG LODRE HJØRNER.

1. Tilstødende vinkler.

Hvis vi forlænger siden af en vinkel ud over dens toppunkt, får vi to vinkler (fig. 72): / Og solen og / SVD, hvor den ene side BC er fælles, og de to andre A og BD danner en ret linje.

To vinkler, hvor den ene side er fælles, og de to andre danner en ret linje, kaldes tilstødende vinkler.

Tilstødende vinkler kan også opnås på denne måde: Hvis vi tegner en stråle fra et punkt på en linje (ikke liggende på en given linje), får vi tilstødende vinkler.
f.eks. / ADF og / FDВ - tilstødende vinkler (fig. 73).

Tilstødende vinkler kan have mange forskellige positioner (fig. 74).

Tilstødende vinkler lægger op til en lige vinkel, så ummaen af to tilstødende vinkler er lig 2d.

Derfor kan en ret vinkel defineres som en vinkel svarende til dens tilstødende vinkel.

Ved at kende størrelsen af en af de tilstødende vinkler, kan vi finde størrelsen af den anden vinkel, der støder op til den.

For eksempel, hvis en af de tilstødende vinkler er 3/5 d, så vil den anden vinkel være lig med:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Lodrette vinkler.

Hvis vi forlænger vinklens sider ud over dens toppunkt, får vi lodrette vinkler. På tegning 75 er vinklerne EOF og AOC lodrette; vinklerne AOE og COF er også lodrette.

To vinkler kaldes lodrette, hvis siderne af den ene vinkel er fortsættelser af siderne af den anden vinkel.

Lade / 1 = 7 / 8 d(Figur 76). Ved siden af den / 2 vil være lig med 2 d- 7 / 8 d dvs. 1 1/8 d.

På samme måde kan du beregne, hvad de er lig med / 3 og / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Diagram 77).

Det ser vi / 1 = / 3 og / 2 = / 4.

Du kan løse flere flere af de samme problemer, og hver gang vil du få det samme resultat: de lodrette vinkler er ens med hinanden.

Det er nødvendigt at verificere gyldigheden af lodrette vinklers egenskaber ved ræsonnement, ved bevis.

Beviset kan udføres som følger (fig. 78):

/ et +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(da summen af tilstødende vinkler er 2 d).

/ et +/ c = / b+/ c

(da venstre side af denne lighed også er lig med 2 d, og dens højre side er også lig med 2 d).

Denne lighed omfatter den samme vinkel Med.

Hvis vi trækker lige store mængder fra lige store mængder, forbliver lige store mængder. Resultatet bliver: / -en = / b, dvs. de lodrette vinkler er lig med hinanden.

Når vi overvejede spørgsmålet om lodrette vinkler, forklarede vi først, hvilke vinkler der kaldes lodrette, dvs. definition lodrette vinkler.

Så lavede vi en dom (udsagn) om ligheden af de lodrette vinkler og blev overbevist om gyldigheden af denne dom gennem bevis. Sådanne domme, hvis gyldighed skal bevises, kaldes teoremer. I dette afsnit har vi således givet en definition af lodrette vinkler og også angivet og bevist en sætning om deres egenskaber.

I fremtiden vil vi, når vi studerer geometri, konstant skulle støde på definitioner og beviser for teoremer.

3. Summen af vinkler, der har et fælles toppunkt.

På tegningen 79 / 1, / 2, / 3 og / 4 er placeret på den ene side af en linje og har et fælles toppunkt på denne linje. I sum udgør disse vinkler en ret vinkel, dvs.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

På tegningen 80 / 1, / 2, / 3, / 4 og / 5 har et fælles toppunkt. I sum udgør disse vinkler en fuld vinkel, dvs. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Øvelser.

1. En af de tilstødende vinkler er 0,72 d. Beregn vinklen dannet af halveringslinjerne for disse tilstødende vinkler.

2. Bevis, at halveringslinjen af to tilstødende vinkler danner en ret vinkel.

3. Bevis, at hvis to vinkler er lige store, så er deres tilstødende vinkler også lige store.

4. Hvor mange par af tilstødende vinkler er der på tegningen 81?

5. Kan et par tilstødende vinkler bestå af to spidse vinkler? fra to stumpe vinkler? fra rette og stumpe vinkler? fra direkte og spids vinkel?

6. Hvis en af de tilstødende vinkler er ret, hvad kan man så sige om størrelsen af den vinkel, der støder op til den?

7. Hvis en vinkel er ret i skæringspunktet mellem to rette linjer, hvad kan man så sige om størrelsen af de tre andre vinkler?

To vinkler kaldes tilstødende, hvis de har en side til fælles, og de andre sider af disse vinkler er komplementære stråler. I figur 20 er vinklerne AOB og BOC stødende op.

Summen af tilstødende vinkler er 180°

Sætning 1. Summen af tilstødende vinkler er 180°.

Bevis. Bjælke OB (se fig. 1) passerer mellem siderne af den udfoldede vinkel. Det er derfor ∠ AOB + ∠ BIM = 180°.

Af sætning 1 følger det, at hvis to vinkler er lige store, så er deres tilstødende vinkler lige store.

Lodrette vinkler er lige store

To vinkler kaldes lodrette, hvis siderne af den ene vinkel er komplementære stråler på siderne af den anden. Vinklerne AOB og COD, BOD og AOC, dannet i skæringspunktet mellem to rette linjer, er lodrette (fig. 2).

Sætning 2. Lodrette vinkler er lige store.

Bevis. Lad os betragte de lodrette vinkler AOB og COD (se fig. 2). Vinkel BOD støder op til hver af vinklerne AOB og COD. Ved sætning 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Heraf konkluderer vi, at ∠ AOB = ∠ COD.

Konsekvens 1. En vinkel, der støder op til en ret vinkel, er en ret vinkel.

Lad os betragte to krydsende lige linjer AC og BD (fig. 3). De danner fire hjørner. Hvis en af dem er lige (vinkel 1 i fig. 3), så er de resterende vinkler også rette (vinkler 1 og 2, 1 og 4 er tilstødende, vinkler 1 og 3 er lodrette). I dette tilfælde siger de, at disse linjer skærer hinanden i rette vinkler og kaldes vinkelrette (eller indbyrdes vinkelrette). Vinkelrette linjer AC og BD betegnes som følger: AC ⊥ BD.

En halveringslinje vinkelret på et segment er en linje vinkelret på dette segment og går gennem dets midtpunkt.

AN - vinkelret på en linje

Lad os betragte en ret linje a og et punkt A, der ikke ligger på den (fig. 4). Lad os forbinde punkt A med et segment til punkt H med lige linje a. Segmentet AN kaldes en vinkelret trukket fra punkt A til linje a, hvis linjerne AN og a er vinkelrette. Punkt H kaldes basen af vinkelret.

Tegning firkantet

Følgende sætning er sand.

Sætning 3. Fra ethvert punkt, der ikke ligger på en linje, er det muligt at tegne en vinkelret på denne linje, og desuden kun en.

For at tegne en vinkelret fra et punkt til en linje i en tegning, skal du bruge en tegningsfirkant (fig. 5).

Kommentar. Formuleringen af sætningen består normalt af to dele. Den ene del taler om, hvad der er givet. Denne del kaldes sætningens tilstand. Den anden del taler om, hvad der skal bevises. Denne del kaldes konklusionen af sætningen. For eksempel er betingelsen for Sætning 2, at vinklerne er lodrette; konklusion - disse vinkler er lige store.

Enhver sætning kan udtrykkes i detaljer i ord, så dens tilstand begynder med ordet "hvis" og dens konklusion med ordet "så". For eksempel kan sætning 2 angives i detaljer som følger: "Hvis to vinkler er lodrette, så er de ens."

Eksempel 1. En af de tilstødende vinkler er 44°. Hvad er den anden lig med?

Løsning. Lad os betegne graden af en anden vinkel med x, så ifølge sætning 1.
44° + x = 180°.
Ved at løse den resulterende ligning finder vi, at x = 136°. Derfor er den anden vinkel 136°.

Eksempel 2. Lad vinklen COD i figur 21 være 45°. Hvad er vinklerne AOB og AOC?

Løsning. Vinkler COD og AOB er lodrette, derfor er de ifølge sætning 1.2 ens, dvs. ∠ AOB = 45°. Vinkel AOC støder op til vinkel COD, hvilket betyder ifølge sætning 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Eksempel 3. Find tilstødende vinkler, hvis en af dem er 3 gange større end den anden.

Løsning. Lad os betegne gradmålet for den mindre vinkel med x. Så bliver gradmålet for den større vinkel 3x. Da summen af tilstødende vinkler er lig med 180° (sætning 1), så er x + 3x = 180°, hvoraf x = 45°.
Det betyder, at tilstødende vinkler er 45° og 135°.

Eksempel 4. Summen af to lodrette vinkler er 100°. Find størrelsen af hver af de fire vinkler.

Løsning. Lad figur 2 opfylde betingelserne for problemet De lodrette vinkler COD til AOB er ens (sætning 2), hvilket betyder, at deres gradmål også er ens. Derfor er ∠ COD = ∠ AOB = 50° (deres sum ifølge betingelsen er 100°). Vinkel BOD (også vinkel AOC) støder op til vinkel COD, og derfor ifølge sætning 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Hvordan finder man en tilstødende vinkel?

Matematik er den ældste eksakte videnskab, som er obligatorisk studeret på skoler, gymnasier, institutter og universiteter. Grundviden lægges dog altid i skolen. Nogle gange får barnet ret komplekse opgaver, men forældrene kan ikke hjælpe, fordi de simpelthen har glemt nogle ting fra matematikken. For eksempel hvordan man finder en tilstødende vinkel baseret på størrelsen af hovedvinklen osv. Problemet er simpelt, men kan give problemer med at løse på grund af uvidenhed om, hvilke vinkler der kaldes tilstødende, og hvordan man finder dem.

Lad os se nærmere på definitionen og egenskaberne for tilstødende vinkler, samt hvordan man beregner dem ud fra dataene i problemet.

Definition og egenskaber af tilstødende vinkler

To stråler, der udgår fra et punkt, danner en figur kaldet en "plan vinkel". I dette tilfælde kaldes dette punkt for vinklens toppunkt, og strålerne er dens sider. Fortsætter man en af strålerne ud over udgangspunktet i en lige linje, så dannes der endnu en vinkel, som kaldes tilstødende. Hver vinkel i dette tilfælde har to tilstødende vinkler, da siderne af vinklen er ækvivalente. Det vil sige, at der altid er en tilstødende vinkel på 180 grader.

De vigtigste egenskaber ved tilstødende vinkler omfatter

Tilstødende vinkler har et fælles toppunkt og en side;
Summen af tilstødende vinkler er altid lig med 180 grader eller tallet Pi, hvis beregningen udføres i radianer;
Sinuserne for tilstødende vinkler er altid lige store;
Cosinus og tangenter for tilstødende vinkler er ens, men har modsatte fortegn.

Sådan finder du tilstødende vinkler

Normalt gives tre variationer af problemer for at finde størrelsen af tilstødende vinkler

Værdien af hovedvinklen er givet;
Forholdet mellem hoved- og tilstødende vinkel er givet;
Givet værdi lodret vinkel.

Hver version af problemet har sin egen løsning. Lad os se på dem.

Værdien af hovedvinklen er givet

Hvis problemet angiver værdien af hovedvinklen, er det meget simpelt at finde den tilstødende vinkel. For at gøre dette skal du bare trække værdien af hovedvinklen fra 180 grader, og du får værdien af den tilstødende vinkel. Denne løsning er baseret på egenskaben af en tilstødende vinkel - summen af tilstødende vinkler er altid lig med 180 grader.

Hvis værdien af hovedvinklen er angivet i radianer, og problemet kræver at finde den tilstødende vinkel i radianer, så er det nødvendigt at trække værdien af hovedvinklen fra tallet Pi, da værdien af den fulde udfoldede vinkel på 180 grader er lig med tallet Pi.

Forholdet mellem hoved- og tilstødende vinkel er givet

Problemet kan give forholdet mellem hoved- og tilstødende vinkler i stedet for grader og radianer af hovedvinklen. I dette tilfælde vil løsningen se ud som en proportionsligning:

Vi betegner andelen af hovedvinklen som variablen "Y".
Brøken relateret til den tilstødende vinkel betegnes som variablen "X".
Antallet af grader, der falder på hver andel, vil for eksempel blive angivet med "a".
Den generelle formel vil se sådan ud - a*X+a*Y=180 eller a*(X+Y)=180.
Vi finder den fælles faktor for ligningen "a" ved hjælp af formlen a=180/(X+Y).
Derefter multiplicerer vi den resulterende værdi af den fælles faktor "a" med den brøkdel af vinklen, der skal bestemmes.

På denne måde kan vi finde værdien af den tilstødende vinkel i grader. Men hvis du skal finde en værdi i radianer, så skal du blot konvertere graderne til radianer. For at gøre dette skal du gange vinklen i grader med Pi og dividere alt med 180 grader. Den resulterende værdi vil være i radianer.

Værdien af den lodrette vinkel er givet

Hvis opgaven ikke giver værdien af hovedvinklen, men værdien af den lodrette vinkel er givet, så kan den tilstødende vinkel beregnes ved hjælp af samme formel som i første afsnit, hvor værdien af hovedvinklen er angivet.

En lodret vinkel er en vinkel, der stammer fra samme punkt som den primære, men er rettet i den modsatte retning. Sådan viser det sig spejlbillede. Det betyder, at den lodrette vinkel er lig med den vigtigste. Til gengæld er den tilstødende vinkel på den lodrette vinkel lig med den tilstødende vinkel på hovedvinklen. Takket være dette kan den tilstødende vinkel på hovedvinklen beregnes. For at gøre dette skal du blot trække den lodrette værdi fra 180 grader og få værdien af den tilstødende vinkel på hovedvinklen i grader.

Hvis værdien er angivet i radianer, er det nødvendigt at trække værdien af den lodrette vinkel fra tallet Pi, da værdien af den fulde udfoldede vinkel på 180 grader er lig med tallet Pi.

Du kan også læse vores nyttige artikler og.