Find summen af ​​tilstødende vinkler. Tilstødende og lodrette vinkler

1. Tilstødende vinkler.

Hvis vi forlænger siden af ​​en vinkel ud over dens toppunkt, får vi to vinkler (fig. 72): ∠ABC og ∠CBD, hvor den ene side BC er fælles, og de to andre, AB og BD, danner en ret linje.

To vinkler, hvor den ene side er fælles, og de to andre danner en ret linje, kaldes tilstødende vinkler.

Tilstødende vinkler kan også opnås på denne måde: Hvis vi tegner en stråle fra et punkt på en linje (ikke liggende på en given linje), får vi tilstødende vinkler.

For eksempel er ∠ADF og ∠FDB tilstødende vinkler (fig. 73).

Tilstødende vinkler kan have mange forskellige positioner (fig. 74).

Tilstødende vinkler lægger op til en lige vinkel, så summen af ​​to tilstødende hjørner lig med 180°

Derfor kan en ret vinkel defineres som en vinkel svarende til dens tilstødende vinkel.

Ved at kende størrelsen af ​​en af ​​de tilstødende vinkler, kan vi finde størrelsen af ​​den anden vinkel, der støder op til den.

For eksempel, hvis en af ​​de tilstødende vinkler er 54°, vil den anden vinkel være lig med:

180° - 54° = l26°.

2. Lodrette vinkler.

Hvis vi forlænger vinklens sider ud over dens toppunkt, får vi lodrette vinkler. I figur 75 er vinklerne EOF og AOC lodrette; vinklerne AOE og COF er også lodrette.

To vinkler kaldes lodrette, hvis siderne af den ene vinkel er fortsættelser af siderne af den anden vinkel.

Lad ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(fig. 76). ∠2 ved siden af ​​vil være lig med 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, dvs. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

På samme måde kan du beregne, hvad ∠3 og ∠4 er lig med.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (fig. 77).

Vi ser, at ∠1 = ∠3 og ∠2 = ∠4.

Du kan løse flere flere af de samme problemer, og hver gang vil du få det samme resultat: de lodrette vinkler er ens med hinanden.

Men for at sikre, at lodrette vinkler altid er ens med hinanden, er det ikke nok at overveje individuelle numeriske eksempler, da konklusioner draget fra bestemte eksempler nogle gange kan være forkerte.

Det er nødvendigt at verificere gyldigheden af ​​lodrette vinklers egenskaber ved bevis.

Beviset kan udføres som følger (fig. 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(da summen af ​​tilstødende vinkler er 180°).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(da venstre side af denne lighed er lig med 180°, og dens højre side også er lig med 180°).

Denne lighed omfatter den samme vinkel Med.

Hvis vi trækker lige store mængder fra lige store mængder, forbliver lige store mængder. Resultatet bliver: ∠-en = ∠b, dvs. de lodrette vinkler er lig med hinanden.

3. Summen af ​​vinkler, der har et fælles toppunkt.

I figur 79 er ∠1, ∠2, ∠3 og ∠4 placeret på den ene side af en linje og har et fælles toppunkt på denne linje. I sum udgør disse vinkler en ret vinkel, dvs.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

I figur 80 har ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 og ∠5 et fælles toppunkt. Disse vinkler summeres til en fuld vinkel, dvs. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Geometri er en meget mangefacetteret videnskab. Det udvikler logik, fantasi og intelligens. Selvfølgelig kan skolebørn ikke altid lide det på grund af dets kompleksitet og det store antal teoremer og aksiomer. Derudover er der behov for konstant at bevise dine konklusioner ved hjælp af almindeligt anerkendte standarder og regler.

Tilstødende og lodrette vinkler er en integreret del af geometrien. Mange skolebørn elsker dem simpelthen af ​​den grund, at deres egenskaber er klare og nemme at bevise.

Dannelse af hjørner

Enhver vinkel dannes ved at skære to lige linjer eller tegne to stråler fra et punkt. De kan kaldes enten ét bogstav eller tre, som sekventielt betegner de punkter, hvor vinklen er konstrueret.

Vinkler måles i grader og kan (afhængigt af deres værdi) kaldes forskelligt. Så der er en ret vinkel, spids, stump og udfoldet. Hvert af navnene svarer til et bestemt gradsmål eller dets interval.

En spids vinkel er en vinkel, hvis mål ikke overstiger 90 grader.

En stump vinkel er en vinkel større end 90 grader.

En vinkel kaldes ret, når dens gradmål er 90.

I det tilfælde, hvor den er dannet af en sammenhængende lige linje, og dens gradmål er 180, kaldes den udvidet.

Vinkler, der har en fælles side, hvis anden side fortsætter hinanden, kaldes tilstødende. De kan være enten skarpe eller stumpe. Linjens skæringspunkt danner tilstødende vinkler. Deres egenskaber er som følger:

1. Summen af ​​sådanne vinkler vil være lig med 180 grader (der er en sætning, der beviser dette). Derfor kan man sagtens udregne en af ​​dem, hvis den anden er kendt.
2. Af det første punkt følger det, at tilstødende vinkler ikke kan dannes af to stumpe eller to spidse vinkler.

Takket være disse egenskaber kan du altid beregne gradmålet for en vinkel, givet værdien af ​​en anden vinkel eller vha. i det mindste, forholdet mellem dem.

Lodrette vinkler

Vinkler, hvis sider er en fortsættelse af hinanden, kaldes lodrette. Enhver af deres sorter kan fungere som et sådant par. Lodrette vinkler er altid lig med hinanden.

De dannes, når lige linjer skærer hinanden. Sammen med dem er tilstødende vinkler altid til stede. En vinkel kan samtidig være tilstødende for en og lodret for en anden.

Ved krydsning af en vilkårlig linje tages der også hensyn til flere andre typer vinkler. Sådan en linje kaldes en sekantlinje, og den danner tilsvarende, ensidede og tværliggende vinkler. De er lige hinanden. De kan ses i lyset af de egenskaber, som lodrette og tilstødende vinkler har.

Således virker emnet vinkler ganske enkelt og forståeligt. Alle deres egenskaber er nemme at huske og bevise. At løse problemer virker ikke svært, så længe vinklerne stemmer overens numerisk værdi. Senere, når studiet af synd og cos begynder, bliver du nødt til at huske mange komplekse formler, deres konklusioner og konsekvenser. Indtil da kan du bare nyde nemme puslespil, hvor du skal finde tilstødende vinkler.

Hvad er en tilstødende vinkel

Hjørne- Det her geometrisk figur(Fig. 1), dannet af to stråler OA og OB (vinklens sider), der udgår fra et punkt O (vinklens toppunkt).

TILSTUDENDE HJØRNER- to vinkler, hvis sum er 180°. Hver af disse vinkler komplementerer den anden til den fulde vinkel.

Tilstødende vinkler- (Agles adjacets) dem, der har en fælles top og en fælles side. For det meste refererer dette navn til vinkler, hvoraf de resterende to sider ligger i modsatte retninger af en ret linje trukket igennem.

To vinkler kaldes tilstødende, hvis de har en side til fælles, og de andre sider af disse vinkler er komplementære halvlinjer.

ris. 2

I figur 2 er vinklerne a1b og a2b tilstødende. De har en fælles side b, og siderne a1, a2 er yderligere halvlinjer.

ris. 3

Figur 3 viser lige linje AB, punkt C er placeret mellem punkt A og B. Punkt D er et punkt, der ikke ligger på lige AB. Det viser sig, at vinklerne BCD og ACD støder op til hinanden. De har en fælles side-CD, og ​​siderne CA og CB er yderligere halvlinjer af lige linje AB, da punkterne A, B er adskilt af startpunktet C.

Tilstødende vinkelsætning

Sætning: summen af ​​tilstødende vinkler er 180°

Bevis:
Vinkler a1b og a2b støder op til hinanden (se fig. 2) Stråle b passerer mellem siderne a1 og a2 af den udfoldede vinkel. Derfor er summen af ​​vinklerne a1b og a2b lig med den udviklede vinkel, det vil sige 180°. Sætningen er blevet bevist.

En vinkel lig med 90° kaldes en ret vinkel. Af sætningen om summen af ​​tilstødende vinkler følger, at en vinkel, der støder op til en ret vinkel, også er en ret vinkel. En vinkel mindre end 90° kaldes spids, og en vinkel større end 90° kaldes stump. Da summen af ​​tilstødende vinkler er 180°, så er vinklen ved siden af Spids vinkel- Stump vinkel. En vinkel, der støder op til en stump vinkel, er en spids vinkel.

Tilstødende vinkler- to vinkler med fælles toppunkt, hvoraf den ene side er fælles, og de resterende sider ligger på den samme rette linie (ikke sammenfaldende). Summen af ​​tilstødende vinkler er 180°.

Definition 1. En vinkel er en del af et plan afgrænset af to stråler med en fælles oprindelse.

Definition 1.1. En vinkel er en figur, der består af et punkt - vinklens toppunkt - og to forskellige halvlinjer, der udgår fra dette punkt - vinklens sider.
For eksempel, vinkel BOC i Fig. 1 Lad os først overveje to skærende linjer. Når lige linjer skærer hinanden, danner de vinkler. Der er særlige tilfælde:

Definition 2. Hvis siderne af en vinkel er yderligere halvlinjer af en ret linje, så kaldes vinklen udviklet.

Definition 3. En ret vinkel er en vinkel, der måler 90 grader.

Definition 4. En vinkel mindre end 90 grader kaldes en spids vinkel.

Definition 5. En vinkel større end 90 grader og mindre end 180 grader kaldes en stump vinkel.
skærende linjer.

Definition 6. To vinkler, hvoraf den ene side er fælles, og de andre sider ligger på samme lige linje, kaldes tilstødende.

Definition 7. Vinkler, hvis sider fortsætter hinanden, kaldes lodrette vinkler.
I figur 1:
tilstødende: 1 og 2; 2 og 3; 3 og 4; 4 og 1
lodret: 1 og 3; 2 og 4
Sætning 1. Summen af ​​tilstødende vinkler er 180 grader.
For bevis, overvej i fig. 4 tilstødende vinkler AOB og BOC. Deres sum er den udviklede vinkel AOC. Derfor er summen af ​​disse tilstødende vinkler 180 grader.

ris. 4

Forbindelsen mellem matematik og musik

"Ved at tænke på kunst og videnskab, på deres indbyrdes forbindelser og modsætninger, kom jeg til den konklusion, at matematik og musik er på yderpolerne menneskelig ånd"at disse to antipoder er begrænset og bestemt af menneskets al kreative åndelige aktivitet, og at mellem dem ligger alt, hvad menneskeheden har skabt inden for videnskab og kunst."
G. Neuhaus
Det ser ud til, at kunst er et meget abstrakt område fra matematikken. Forbindelsen mellem matematik og musik er dog bestemt både historisk og internt, på trods af at matematik er den mest abstrakte af videnskaber, og musik er den mest abstrakte kunstform.
Konsonans bestemmer den behagelige lyd af en streng
Dette musikalske system var baseret på to love, der bærer navnene på to store videnskabsmænd - Pythagoras og Archytas. Disse er lovene:
1. To klingende strenge bestemmer konsonans, hvis deres længder er relateret til heltal, der danner det trekantede tal 10=1+2+3+4, dvs. som 1:2, 2:3, 3:4. Desuden, jo mindre tallet n er i forholdet n:(n+1) (n=1,2,3), jo mere konsonant er det resulterende interval.
2. Den lydende strengs vibrationsfrekvens w er omvendt proportional med dens længde l.
w = a:l,
hvor a er en koefficient, der karakteriserer fysiske egenskaber strenge.

Jeg vil også tilbyde dig en sjov parodi om et skænderi mellem to matematikere =)

Geometri omkring os

Geometri i vores liv er af ikke ringe betydning. På grund af det faktum, at når du ser dig omkring, vil det ikke være svært at bemærke, at vi er omgivet af forskellige geometriske former. Vi møder dem overalt: på gaden, i klasseværelset, derhjemme, i parken, i fitnesscenter, i skolens cafeteria, stort set uanset hvor du og jeg er. Men emnet for dagens lektion er tilstødende kul. Så lad os se os omkring og prøve at finde vinkler i dette miljø. Kigger man godt på vinduet, kan man se, at nogle trægrene danner tilstødende hjørner, og i skillevæggene på porten kan man se mange lodrette vinkler. Giv dine egne eksempler på tilstødende vinkler, som du observerer i dit miljø.

Øvelse 1.

1. Der ligger en bog på bordet på en bogholder. Hvilken vinkel danner den?
2. Men eleven arbejder på en bærbar computer. Hvilken vinkel ser du her?
3. Hvilken vinkel danner fotorammen på stativet?
4. Tror du, det er muligt for to tilstødende vinkler at være lige store?

Opgave 2.

Foran dig er en geometrisk figur. Hvad er det for en figur, navngiv det? Nævn nu alle de tilstødende vinkler, som du kan se på denne geometriske figur.

Opgave 3.

Her er et billede af en tegning og maleri. Se omhyggeligt på dem og fortæl mig, hvilke typer fisk du ser på billedet, og hvilke vinkler du ser på billedet.

Problemløsning

Matematisk diktat for at gennemgå tidligere lært materiale

Løse problemer:

1. Kan summen af ​​3 vinkler dannet ved skæringen af ​​2 rette linjer lig med 100°? 370°?
2. Find alle par af tilstødende vinkler på figuren. Og nu de lodrette vinkler. Navngiv disse vinkler.

3. Du skal finde en vinkel, når den er tre gange større end dens tilstødende.
4. To lige linjer krydsede hinanden. Som et resultat af dette kryds blev der dannet fire hjørner. Bestem værdien af ​​nogen af ​​dem, forudsat at:

a) summen af ​​2 vinkler ud af fire er 84°;
b) forskellen mellem 2 vinkler af dem er 45°;
c) en vinkel er 4 gange mindre end den anden;
d) summen af ​​tre af disse vinkler er 290°.

Lektionsopsummering

1. Nævn de vinkler, der dannes, når 2 rette linjer skærer hinanden?
2. Navngiv alle mulige vinkler i figuren og bestem deres type.

Lektier:

1. Find forholdet mellem gradmålene for tilstødende vinkler, når en af ​​dem er 54° større end den anden.
2. Find de vinkler, der dannes, når 2 rette linjer skærer hinanden, forudsat at en af ​​vinklerne er lig med summen af ​​2 andre vinkler, der støder op til den.
3. Det er nødvendigt at finde tilstødende vinkler, når halveringslinjen af ​​en af ​​dem danner en vinkel med siden af ​​den anden, der er 60° større end den anden vinkel.
4. Forskellen mellem 2 tilstødende vinkler er lig med en tredjedel af summen af ​​disse to vinkler. Bestem værdierne af 2 tilstødende vinkler.
5. Forskellen og summen af ​​2 tilstødende vinkler er i forholdet 1:5 hhv. Find tilstødende vinkler.
6. Forskellen mellem to tilstødende er 25 % af deres sum. Hvordan hænger værdierne af 2 tilstødende vinkler sammen? Bestem værdierne af 2 tilstødende vinkler.

Spørgsmål:

1. Hvad er en vinkel?
2. Hvilke typer vinkler findes der?
3. Hvad er egenskaben ved tilstødende vinkler?

Spørgsmål 1. Hvilke vinkler kaldes tilstødende?
Svar. To vinkler kaldes tilstødende, hvis de har en side til fælles, og de andre sider af disse vinkler er komplementære halvlinjer.
I figur 31 er vinklerne (a 1 b) og (a 2 b) tilstødende. De har side b til fælles, og sider a 1 og a 2 er yderligere halvlinjer.

Spørgsmål 2. Bevis at summen af ​​tilstødende vinkler er 180°.
Svar. Sætning 2.1. Summen af ​​tilstødende vinkler er 180°.
Bevis. Lad vinkel (a 1 b) og vinkel (a 2 b) gives tilstødende vinkler (se fig. 31). Stråle b passerer mellem siderne a 1 og a 2 i en ret vinkel. Derfor er summen af ​​vinklerne (a 1 b) og (a 2 b) lig med den udfoldede vinkel, altså 180°. Q.E.D.

Spørgsmål 3. Bevis, at hvis to vinkler er lige store, så er deres tilstødende vinkler også ens.
Svar.

Fra teoremet 2.1 Det følger, at hvis to vinkler er lige store, så er deres tilstødende vinkler ens.
Lad os sige, at vinklerne (a 1 b) og (c 1 d) er lige store. Vi skal bevise, at vinklerne (a 2 b) og (c 2 d) også er lige store.
Summen af ​​tilstødende vinkler er 180°. Heraf følger, at a 1 b + a 2 b = 180° og c 1 d + c 2 d = 180°. Derfor er a 2 b = 180° - a 1 b og c 2 d = 180° - c 1 d. Da vinklerne (a 1 b) og (c 1 d) er lige store, får vi, at a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Af lighedstegnets transitivitetsegenskab følger det, at a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Spørgsmål 4. Hvilken vinkel kaldes ret (spids, stump)?
Svar. En vinkel lig med 90° kaldes en ret vinkel.
En vinkel mindre end 90° kaldes en spids vinkel.
En vinkel større end 90° og mindre end 180° kaldes stump.

Spørgsmål 5. Bevis, at en vinkel, der støder op til en ret vinkel, er en ret vinkel.
Svar. Af sætningen om summen af ​​tilstødende vinkler følger det, at en vinkel, der støder op til en ret vinkel, er en ret vinkel: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Spørgsmål 6. Hvilke vinkler kaldes lodrette?
Svar. To vinkler kaldes lodrette, hvis siderne af den ene vinkel er komplementære halvlinjer af siderne af den anden.

Spørgsmål 7. Bevis at de lodrette vinkler er lige store.
Svar. Sætning 2.2. Lodrette vinkler er lige store.
Bevis. Lad (a 1 b 1) og (a 2 b 2) være de givne lodrette vinkler (fig. 34). Vinkel (a 1 b 2) støder op til vinkel (a 1 b 1) og til vinkel (a 2 b 2). Herfra konkluderer vi ved at bruge sætningen om summen af ​​tilstødende vinkler, at hver af vinklerne (a 1 b 1) og (a 2 b 2) komplementerer vinklen (a 1 b 2) til 180°, dvs. vinkler (a 1 b 1) og (a 2 b 2) er lige store. Q.E.D.

Spørgsmål 8. Bevis, at hvis, når to linjer skærer hinanden, en af ​​vinklerne er ret, så er de tre andre vinkler også rigtige.
Svar. Antag, at linjerne AB og CD skærer hinanden i punktet O. Antag, at vinklen AOD er ​​90°. Da summen af ​​tilstødende vinkler er 180°, får vi at AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Vinkel COB er lodret til vinkel AOD, så de er ens. Det vil sige vinkel COB = 90°. Vinkel COA er lodret til vinkel BOD, så de er ens. Det vil sige vinkel BOD = 90°. Således er alle vinkler lig med 90°, det vil sige, at de alle er rette vinkler. Q.E.D.

Spørgsmål 9. Hvilke linjer kaldes vinkelrette? Hvilket tegn bruges til at angive vinkelrette linjer?
Svar. To linjer kaldes vinkelrette, hvis de skærer hinanden i rette vinkler.
Linjers vinkelrethed er angivet med tegnet \(\perp\). Indtastningen \(a\perp b\) lyder: "Linje a er vinkelret på linje b."

Spørgsmål 10. Bevis, at du gennem ethvert punkt på en linje kan tegne en linje vinkelret på den, og kun én.
Svar. Sætning 2.3. Gennem hver linje kan du tegne en linje vinkelret på den, og kun en.
Bevis. Lad a være en given linje og A et givet punkt på den. Lad os med a 1 betegne en af ​​halvlinjerne af den rette linje a med udgangspunktet A (fig. 38). Lad os trække en vinkel (a 1 b 1) lig med 90° fra halvlinjen a 1. Så vil den rette linje, der indeholder strålen b 1, være vinkelret på den rette linje a.

Lad os antage, at der er en anden linje, der også går gennem punkt A og vinkelret på linje a. Lad os med c 1 betegne halvlinjen af ​​denne linje, der ligger i samme halvplan med strålen b 1 .
Vinkler (a 1 b 1) og (a 1 c 1), hver lig med 90°, er lagt ud i et halvt plan fra halvlinjen a 1. Men fra halvlinjen a 1 kan kun én vinkel lig med 90° indsættes i et givet halvplan. Derfor kan der ikke være en anden linje, der går gennem punkt A og vinkelret på linje a. Sætningen er blevet bevist.

Spørgsmål 11. Hvad er vinkelret på en linje?
Svar. En vinkelret på en given linje er et segment af en linje vinkelret på en given linje, som har en af ​​sine ender ved deres skæringspunkt. Denne ende af segmentet kaldes basis vinkelret.

Spørgsmål 12. Forklar, hvad bevis ved modsigelse består af.
Svar. Bevismetoden vi brugte i sætning 2.3 kaldes modsigelsesbevis. Denne metode til bevis er, at vi først gør en antagelse det modsatte af det, hvilket er angivet af sætningen. Så, ved at ræsonnere, stole på aksiomer og beviste sætninger, kommer vi til en konklusion, der modsiger enten sætningens betingelser eller et af aksiomererne eller en tidligere bevist sætning. På dette grundlag konkluderer vi, at vores antagelse var forkert, og derfor er sætningen sand.

Spørgsmål 13. Hvad er halveringslinjen for en vinkel?
Svar. En vinkels halveringslinje er en stråle, der udgår fra vinklens toppunkt, passerer mellem dens sider og deler vinklen i to.

To vinkler kaldes tilstødende, hvis de har en side til fælles, og de andre sider af disse vinkler er komplementære stråler. I figur 20 er vinklerne AOB og BOC stødende op.

Summen af ​​tilstødende vinkler er 180°

Sætning 1. Summen af ​​tilstødende vinkler er 180°.

Bevis. Bjælke OB (se fig. 1) passerer mellem siderne af den udfoldede vinkel. Derfor ∠ AOB + ∠ BIM = 180°.

Af sætning 1 følger det, at hvis to vinkler er lige store, så er deres tilstødende vinkler lige store.

Lodrette vinkler er lige store

To vinkler kaldes lodrette, hvis siderne af den ene vinkel er komplementære stråler på siderne af den anden. Vinklerne AOB og COD, BOD og AOC, dannet i skæringspunktet mellem to rette linjer, er lodrette (fig. 2).

Sætning 2. Lodrette vinkler er lige store.

Bevis. Lad os betragte de lodrette vinkler AOB og COD (se fig. 2). Vinkel BOD støder op til hver af vinklerne AOB og COD. Ved sætning 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Heraf konkluderer vi, at ∠ AOB = ∠ COD.

Konsekvens 1. En vinkel, der støder op til en ret vinkel, er en ret vinkel.

Overvej to krydsende lige linjer AC og BD (fig. 3). De danner fire hjørner. Hvis en af ​​dem er lige (vinkel 1 i fig. 3), så er de resterende vinkler også rette (vinkler 1 og 2, 1 og 4 er tilstødende, vinkler 1 og 3 er lodrette). I dette tilfælde siger de, at disse linjer skærer hinanden i rette vinkler og kaldes vinkelrette (eller indbyrdes vinkelrette). Vinkelrette linjer AC og BD betegnes som følger: AC ⊥ BD.

En halveringslinje vinkelret på et segment er en linje vinkelret på dette segment og går gennem dets midtpunkt.

AN - vinkelret på en linje

Lad os betragte en ret linje a og et punkt A, der ikke ligger på den (fig. 4). Lad os forbinde punkt A med et segment til punkt H med lige linje a. Segmentet AN kaldes en vinkelret trukket fra punkt A til linje a, hvis linjerne AN og a er vinkelrette. Punkt H kaldes basen af ​​vinkelret.

Tegning firkantet

Følgende sætning er sand.

Sætning 3. Fra ethvert punkt, der ikke ligger på en linje, er det muligt at tegne en vinkelret på denne linje, og desuden kun én.

For at tegne en vinkelret fra et punkt til en ret linje i en tegning, skal du bruge en tegningsfirkant (fig. 5).

Kommentar. Formuleringen af ​​sætningen består normalt af to dele. Den ene del taler om, hvad der er givet. Denne del kaldes sætningens tilstand. Den anden del taler om, hvad der skal bevises. Denne del kaldes sætningens konklusion. For eksempel er betingelsen for Sætning 2, at vinklerne er lodrette; konklusion - disse vinkler er lige store.

Enhver sætning kan udtrykkes i detaljer i ord, så dens tilstand begynder med ordet "hvis" og konklusionen med ordet "så". For eksempel kan sætning 2 angives i detaljer som følger: "Hvis to vinkler er lodrette, så er de ens."

Eksempel 1. En af de tilstødende vinkler er 44°. Hvad er den anden lig med?

Løsning. Lad os betegne graden af ​​en anden vinkel med x, så ifølge sætning 1.
44° + x = 180°.
Ved at løse den resulterende ligning finder vi, at x = 136°. Derfor er den anden vinkel 136°.

Eksempel 2. Lad vinklen COD i figur 21 være 45°. Hvad er vinklerne AOB og AOC?

Løsning. Vinkler COD og AOB er lodrette, derfor er de ifølge sætning 1.2 ens, dvs. ∠ AOB = 45°. Vinkel AOC støder op til vinkel COD, hvilket betyder ifølge sætning 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Eksempel 3. Find tilstødende vinkler, hvis en af ​​dem er 3 gange større end den anden.

Løsning. Lad os betegne gradmålet for den mindre vinkel med x. Så vil gradmålet for den større vinkel være 3x. Da summen af ​​tilstødende vinkler er lig med 180° (sætning 1), så er x + 3x = 180°, hvoraf x = 45°.
Det betyder, at tilstødende vinkler er 45° og 135°.

Eksempel 4. Summen af ​​to lodrette vinkler er 100°. Find størrelsen af ​​hver af de fire vinkler.

Løsning. Lad figur 2 opfylde betingelserne for problemet De lodrette vinkler COD til AOB er ens (sætning 2), hvilket betyder, at deres gradmål også er ens. Derfor er ∠ COD = ∠ AOB = 50° (deres sum ifølge betingelsen er 100°). Vinkel BOD (også vinkel AOC) støder op til vinkel COD og derfor ifølge sætning 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.