Blandt forskellige udtryk, som betragtes i algebra, indtager summen af ​​monomialer en vigtig plads. Her er eksempler på sådanne udtryk:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Summen af ​​monomer kaldes et polynomium. Begreberne i et polynomium kaldes vilkår for polynomiet. Monomier er også klassificeret som polynomier, idet man betragter et monomer som et polynomium bestående af et medlem.

For eksempel et polynomium
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
kan forenkles.

Lad os repræsentere alle udtryk i form af monomialer standard visning:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Lad os præsentere lignende udtryk i det resulterende polynomium:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Resultatet er et polynomium, hvis alle udtryk er monomer af standardformen, og blandt dem er der ingen lignende. Sådanne polynomier kaldes polynomier af standardform.

Bag grad af polynomium af en standardform tage den højeste af medlemmernes beføjelser. Således har binomialet \(12a^2b - 7b\) den tredje grad, og trinomialet \(2b^2 -7b + 6\) har den anden.

Typisk er vilkårene for standardformpolynomier, der indeholder én variabel, arrangeret i faldende rækkefølge af eksponenter. For eksempel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Summen af ​​flere polynomier kan transformeres (forenklet) til et polynomium af standardform.

Nogle gange skal vilkårene for et polynomium opdeles i grupper, der omslutter hver gruppe i parentes. Da omsluttende parenteser er den omvendte transformation af åbne parenteser, er det let at formulere regler for åbning af parenteser:

Hvis et "+"-tegn er placeret foran parenteserne, skrives termerne i parentes med de samme tegn.

Hvis et "-"-tegn er placeret foran parenteserne, skrives termerne i parentes med modsatte tegn.

Transformation (simplificering) af produktet af et monomer og et polynomium

Ved at bruge den fordelende egenskab ved multiplikation kan du transformere (forenkle) produktet af et monomial og et polynomium til et polynomium. For eksempel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produktet af et monomial og et polynomium er identisk lig med summen af ​​produkterne af dette monomial og hver af polynomiets vilkår.

Dette resultat er normalt formuleret som en regel.

For at gange et monomial med et polynomium skal du gange det monomial med hver af termerne i polynomiet.

Vi har allerede brugt denne regel flere gange til at gange med en sum.

Produkt af polynomier. Transformation (simplificering) af produktet af to polynomier

Generelt er produktet af to polynomier identisk lig med summen af ​​produktet af hvert led af det ene polynomium og hvert led af det andet.

Normalt bruges følgende regel.

For at gange et polynomium med et polynomium skal du gange hvert led i det ene polynomium med hvert led i det andet og tilføje de resulterende produkter.

Forkortede multiplikationsformler. Sum kvadrater, forskelle og forskel af kvadrater

Du skal beskæftige dig med nogle udtryk i algebraiske transformationer oftere end andre. De måske mest almindelige udtryk er \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) og \(a^2 - b^2 \), dvs. kvadratet af summen, kvadratet af forskellen og forskellen på kvadrater. Du har bemærket, at navnene på disse udtryk ser ud til at være ufuldstændige, for eksempel er \((a + b)^2 \) selvfølgelig ikke kun kvadratet af summen, men kvadratet af summen af ​​a og b . Imidlertid forekommer kvadratet af summen af ​​a og b som regel ikke, i stedet for bogstaverne a og b, indeholder det forskellige, nogle gange ret komplekse, udtryk.

Udtrykkene \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) kan nemt konverteres (forenklet) til polynomier af standardformen, faktisk har du allerede stødt på denne opgave, når du multiplicerer polynomier:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Det er nyttigt at huske de resulterende identiteter og anvende dem uden mellemliggende beregninger. Korte verbale formuleringer hjælper dette.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadrat af summen lig med summen firkanter og fordoble produktet.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadratet af forskellen er lig med summen af ​​kvadrater uden det fordoblede produkt.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - forskellen mellem kvadrater er lig med produktet af forskellen og summen.

Disse tre identiteter gør det muligt at udskifte dens venstre dele med højrehåndsdele i transformationer og omvendt - højrehåndsdele med venstrehåndede. Det sværeste er at se de tilsvarende udtryk og forstå, hvordan variablerne a og b erstattes i dem. Lad os se på flere eksempler på brug af forkortede multiplikationsformler.

Ved beregning af algebraiske polynomier, for at forenkle beregninger, brug forkortede multiplikationsformler . Der er syv sådanne formler i alt. Du skal kende dem alle udenad.

Det skal også huskes, at i stedet for a og b i formler kan der være enten tal eller andre algebraiske polynomier.

Forskel på firkanter

Forskellen mellem kvadraterne af to tal er lig med produktet af forskellen mellem disse tal og deres sum.

a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)

Kvadrat af summen

Kvadratet af summen af ​​to tal er lig med kvadratet af det første tal plus to gange produktet af det første tal og det andet plus kvadratet af det andet tal.

(en + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Bemærk venligst, at med denne forkortede multiplikationsformel er det nemt finde firkanter store tal uden at bruge en lommeregner eller lang multiplikation. Lad os forklare med et eksempel:

Find 112 2.

Lad os dekomponere 112 til summen af ​​tal, hvis kvadrater vi husker godt.2
112 = 100 + 1

Lad os skrive summen af ​​tal i parentes og sætte en firkant over parenteserne.
112 2 = (100 + 12) 2

Lad os bruge formlen for kvadratet af summen:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544

Husk, at kvadratsumformlen også er gyldig for alle algebraiske polynomier.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Advarsel!!!

(a + b) 2 ikke lig med a 2 + b 2

Kvadratforskel

Kvadratet af forskellen mellem to tal er lig med kvadratet af det første tal minus to gange produktet af det første og det andet plus kvadratet af det andet tal.

(en - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Det er også værd at huske en meget nyttig transformation:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Formlen ovenfor kan bevises ved blot at åbne parenteserne:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Terning af sum

Terningen af ​​summen af ​​to tal er lig med terningen af ​​det første tal plus tredobbelt produktet af kvadratet af det første tal og det andet plus tredobler produktet af det første med kvadratet af det andet plus terningen af ​​det andet .

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Det er ret nemt at huske denne "skræmmende"-lignende formel.

Lær at en 3 kommer i begyndelsen.

De to polynomier i midten har koefficienter på 3.

Ihusk, at ethvert tal i den nulte potens er 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Det er let at bemærke, at der i formlen er et fald i grad a og en stigning i grad b. Du kan bekræfte dette:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Advarsel!!!

(a + b) 3 ikke lig med a 3 + b 3

Forskel terning

Terningen af ​​forskellen mellem to tal er lig med terningen af ​​det første tal minus tre gange produktet af kvadratet af det første tal og det andet plus tre gange produktet af det første tal og kvadratet af det andet minus terningen af den anden.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Denne formel huskes som den forrige, men kun under hensyntagen til vekslen mellem "+" og "-" tegnene. Det første led a 3 er indledt af et "+" (ifølge matematikkens regler skriver vi det ikke). Det betyder, at det næste led vil blive indledt af "-", derefter igen af ​​"+" osv.

(a - b) 3 = + en 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Summen af ​​terninger ( Ikke at forveksle med sumterningen!)

Summen af ​​terninger er lig med produktet af summen af ​​to tal og partialkvadraten af ​​forskellen.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Summen af ​​terninger er produktet af to parenteser.

Den første parentes er summen af ​​to tal.

Den anden parentes er det ufuldstændige kvadrat af forskellen mellem tallene. Det ufuldstændige kvadrat af forskellen er udtrykket:

A 2 - ab + b 2
Denne firkant er ufuldstændig, da der i midten, i stedet for det dobbelte produkt, er det sædvanlige produkt af tal.

Forskel på terninger (ikke at forveksle med forskelsterningen!!!)

Forskellen mellem terninger er lig med produktet af forskellen mellem to tal og partialkvadraten af ​​summen.

a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Vær forsigtig, når du skriver skilte ned.Det skal huskes, at alle formlerne ovenfor også bruges fra højre mod venstre.

En nem måde at huske forkortede multiplikationsformler på, eller... Pascals trekant.

Har du problemer med at huske forkortede multiplikationsformler? Årsagen er let at hjælpe. Du skal bare huske, hvordan dette er afbildet simpel ting, ligesom Pascals trekant. Så vil du huske disse formler altid og overalt, eller rettere, ikke huske, men genoprette.

Hvad er Pascals trekant? Denne trekant består af koefficienter, der indgår i udvidelsen af ​​enhver grad af et binomium af formen til et polynomium.

Lad os udvide, for eksempel:

I denne post er det let at huske, at terningen af ​​det første tal er i begyndelsen, og terningen af ​​det andet tal er i slutningen. Men hvad der er i midten er svært at huske. Og selv det faktum, at i hver efterfølgende periode falder graden af ​​en faktor hele tiden, og den anden stiger - det er ikke svært at bemærke og huske situationen med at huske koefficienterne og tegnene (er det plus eller minus; ?).

Så først oddsene. Ingen grund til at huske dem! Vi tegner hurtigt Pascals trekant i notesbogens marginer, og her er de - koefficienterne, der allerede ligger foran os. Vi begynder at tegne med tre enheder, en på toppen, to under, til højre og til venstre - ja, det er allerede en trekant:

Den første linje, med et 1, er nul. Så kommer den første, anden, tredje og så videre. For at få den anden linje skal du igen tildele dem til kanterne, og i midten skrive ned det opnåede nummer ved at tilføje de to tal over det:

Vi skriver den tredje linje: igen langs enhedens kanter, og igen, for at få det næste tal i den nye linje, tilføjer vi tallene over det i den forrige:

Som du måske har gættet, får vi i hver linje koefficienterne fra udvidelsen af ​​et binomium til et polynomium:

Nå, det er endnu nemmere at huske tegnene: det første er det samme som i det udvidede binomiale (vi udvider summen - det betyder plus, forskellen - det betyder minus), og så skifter tegnene!

Det er sådan en nyttig ting - Pascals trekant. Brug det!

Et af de første emner, der studeres i et algebrakursus, er forkortede multiplikationsformler. I 7. klasse bruges de i de mest simple situationer, hvor du skal genkende en af ​​formlerne i et udtryk og faktorisere et polynomium eller omvendt hurtigt kvadratisk eller terning en sum eller forskel. I fremtiden bruges FSU til hurtigt at løse uligheder og ligninger og endda til at beregne nogle numeriske udtryk uden lommeregner.

Hvordan ser en liste over formler ud?

Der er 7 grundlæggende formler, der giver dig mulighed for hurtigt at gange polynomier i parentes.

Nogle gange indeholder denne liste også en udvidelse til fjerde grad, som følger af de præsenterede identiteter og har formen:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Alle ligheder har et par (sum - forskel), undtagen forskellen af ​​kvadrater. Formlen for summen af ​​kvadrater er ikke givet.

De resterende ligheder er nemme at huske:

Det skal huskes, at FSU'er virker under alle omstændigheder og for alle værdier -en Og b: disse kan enten være vilkårlige tal eller heltalsudtryk.

I en situation, hvor du pludselig ikke kan huske, hvilket tegn der står foran et bestemt udtryk i formlen, kan du åbne parenteserne og få samme resultat som efter at have brugt formlen. Hvis der f.eks. opstod et problem ved anvendelsen af ​​differensterningen FSU, skal du nedskrive det oprindelige udtryk og udføre multiplikation en efter en:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Som et resultat, efter at have bragt alle lignende udtryk, blev det samme polynomium som i tabellen opnået. De samme manipulationer kan udføres med alle andre FSU'er.

Anvendelse af FSU til at løse ligninger

For eksempel skal du løse en ligning, der indeholder polynomium af grad 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

I skolepensum universelle teknikker til løsning af kubiske ligninger tages ikke i betragtning, og sådanne opgaver løses oftest i mere simple metoder(for eksempel ved faktorisering). Hvis vi bemærker, at venstre side af identiteten ligner terningen af ​​en sum, så kan ligningen skrives på en enklere form:

(x + 1)³ = 0.

Roden af ​​en sådan ligning beregnes mundtligt: x = -1.

Uligheder løses på lignende måde. For eksempel kan du løse uligheden x³ – 6x² + 9x > 0.

Først og fremmest skal du faktorisere udtrykket. Først skal du beslag x. Herefter skal du bemærke, at udtrykket i parentes kan konverteres til kvadratet af forskellen.

Derefter skal du finde de punkter, hvor udtrykket har nulværdier og markere dem på tallinjen. I konkret sag disse vil være 0 og 3. Derefter bestemmes ved hjælp af intervalmetoden, i hvilke intervaller x vil opfylde ulighedsbetingelsen.

FSU'er kan være nyttige, når de udfører nogle beregninger uden hjælp fra en lommeregner:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Derudover kan du ved at faktorisere udtryk nemt reducere brøker og forenkle forskellige algebraiske udtryk.

Eksempler på opgaver for 7.–8

Afslutningsvis vil vi analysere og løse to opgaver om brugen af ​​forkortede multiplikationsformler i algebra.

Opgave 1. Forenkle udtrykket:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Løsning. Betingelsen for opgaven kræver at forenkle udtrykket, dvs. åbne parenteserne, udføre operationerne multiplikation og eksponentiering og også bringe alle lignende udtryk. Lad os betinget opdele udtrykket i tre dele (i henhold til antallet af termer) og åbne parenteserne en efter en ved at bruge FSU, hvor det er muligt.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(sum kvadrat);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² – 1(forskel af firkanter);
• I det sidste led skal du gange: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Lad os erstatte de opnåede resultater med det oprindelige udtryk:

(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).

Under hensyntagen til skiltene åbner vi parenteserne og præsenterer lignende udtryk:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

Opgave 2. Løs en ligning, der indeholder den ukendte k i 5. potens:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

Løsning. I dette tilfælde er det nødvendigt at bruge FSU og grupperingsmetoden. Det er nødvendigt at flytte de sidste og næstsidste udtryk til højre side af identiteten.

k⁵ + 4k⁴ + 4k3 = k3 + 4k2 + 4k.

Den fælles faktor er afledt fra højre og venstre side (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Alt overføres til venstre side af ligningen, så 0 forbliver til højre:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Igen er det nødvendigt at fjerne den fælles faktor:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Ud fra den første opnåede faktor kan vi udlede k. Ifølge den korte multiplikationsformel vil den anden faktor være identisk lig med (k+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Brug af kvadratforskellens formel:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Da et produkt er lig med 0, hvis mindst en af ​​dets faktorer er nul, er det ikke svært at finde alle ligningens rødder:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)2 = 0; k = -2.

Baseret på illustrative eksempler kan du forstå, hvordan du husker formler, deres forskelle og også løse flere praktiske problemer ved hjælp af FSU. Opgaverne er enkle, og der burde ikke være nogen vanskeligheder ved at udføre dem.

>>Matematik: Forkortede multiplikationsformler

Forkortede multiplikationsformler

Der er flere tilfælde, hvor multiplikation af et polynomium med et andet giver et kompakt resultat, der er let at huske. I disse tilfælde er det at foretrække ikke at gange med én hver gang polynomium på den anden, og brug det færdige resultat. Lad os overveje disse sager.

1. Kvadratsum og kvadratisk forskel:

Eksempel 1. Udvid parenteserne i udtrykket:

a) (Zx + 2) 2;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) Lad os bruge formel (1), under hensyntagen til, at rollen som a er 3x, og rollen som b er tallet 2.
Vi får:

(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) Lad os bruge formel (2), under hensyntagen til det i rollen EN står 5a 2, og i rollen b står 4b 3. Vi får:

(5a 2 -4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

Når du bruger den kvadratiske sum eller kvadratiske differensformler, skal du huske på det
(-a - b) 2 = (a + b) 2;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Dette følger af, at (- a) 2 = a 2.

Bemærk, at formlerne (1) og (2) er baseret på nogle matematiske tricks, der giver dig mulighed for at udføre beregninger i dit hoved.

For eksempel kan du næsten verbalt kvadrere tal, der ender på 1 og 9. Faktisk

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Nogle gange kan du hurtigt kvadre et tal, der ender på 2 eller 8. F.eks.

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Men det mest elegante trick involverer at kvadrere tal, der ender på 5.
Lad os udføre den tilsvarende begrundelse for 85 2 .

Vi har:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Vi bemærker, at for at beregne 85 2 var det nok at gange 8 med 9 og tilføje 25 til højre til det resulterende resultat. Du kan gøre det samme i andre tilfælde. For eksempel, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 og 25 blev tilføjet til det resulterende tal til højre);

652 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 og 25 blev tilføjet til det resulterende tal til højre).

Da vi taler om forskellige mærkelige omstændigheder relateret til de kedelige (ved første øjekast) formler (1) og (2), vil vi supplere denne samtale med følgende geometriske ræsonnement. Lad a og b være positive tal. Betragt en firkant med siden a + b og skær ud i de to hjørner firkanter med sider lig med henholdsvis a og b (fig. 4).

Arealet af et kvadrat med siden a + b er lig med (a + b) 2. Men vi skærer denne firkant i fire dele: et kvadrat med siden a (dets areal er lig med a 2), et kvadrat med siden b (dets areal er lig med b 2), to rektangler med siderne a og b (arealet af hvert sådant rektangel er lig med ab). Det betyder (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, dvs. vi får formel (1).

Multiplicer binomialet a + b med binomiet a - b. Vi får:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba - b 2 = a 2 - b 2.
Så

Enhver lighed i matematik bruges fra venstre mod højre (dvs. den venstre side af ligheden erstattes af dens højre side), og fra højre mod venstre (dvs. højre side af ligheden erstattes af dens venstre side). Hvis formel C) bruges fra venstre mod højre, giver den dig mulighed for at erstatte produktet (a + b) (a - b) med det færdige resultat a 2 - b 2. Den samme formel kan bruges fra højre mod venstre, så giver den dig mulighed for at erstatte forskellen mellem kvadrater a 2 - b 2 med produktet (a + b) (a - b). Formel (3) i matematik får et særligt navn - forskel på kvadrater.

Kommentar. Forveksle ikke udtrykkene "forskel af kvadrater" med "forskel i kvadrat". Forskellen på kvadrater er a 2 - b 2, hvilket betyder vi taler om omkring formel (3); kvadratet af forskellen er (a- b) 2, hvilket betyder, at vi taler om formel (2). I almindeligt sprog læses formel (3) "fra højre mod venstre" sådan:

forskellen mellem kvadraterne af to tal (udtryk) er lig med produktet af summen af ​​disse tal (udtryk) og deres forskel,

Eksempel 2. Udfør multiplikation

(3x- 2y)(3x+ 2y)
Løsning. Vi har:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

Eksempel 3. Udtryk binomialet 16x 4 - 9 som et produkt af binomialer.

Løsning. Vi har: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, hvilket betyder, at det givne binomiale er forskellen på kvadrater, dvs. formel (3) kan anvendes på det, læst fra højre mod venstre. Så får vi:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

Formel (3) bruges ligesom formlerne (1) og (2) til matematiske tricks. Se:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Lad os afslutte samtalen om formlen for forskellen mellem kvadrater med en interessant geometrisk begrundelse. Lad a og b være positive tal, og a > b. Betragt et rektangel med siderne a + b og a - b (fig. 5). Dens areal er (a + b) (a - b). Lad os skære et rektangel med siderne b og a - b og lim det til den resterende del som vist i figur 6. Det er tydeligt, at den resulterende figur har det samme areal, altså (a + b) (a - b). Men dette tal kan være
byg sådan: fra en firkant med side a skæres en firkant ud med side b (dette ses tydeligt på fig. 6). Altså området ny figur lig med a 2 - b 2. Så (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, dvs. vi fik formel (3).

3. Forskel på terninger og sum af terninger

Gang binomialet a - b med trinomiet a 2 + ab + b 2 .
Vi får:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 - b 3 = a 3 - b 3.

Ligeledes

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(tjek det selv ud). Så,

Formel (4) kaldes normalt forskel på terninger, formel (5) - summen af ​​terninger. Lad os prøve at oversætte formlerne (4) og (5) til almindeligt sprog. Før du gør dette, skal du bemærke, at udtrykket a 2 + ab + b 2 ligner udtrykket a 2 + 2ab + b 2, som optrådte i formel (1) og gav (a + b) 2; udtrykket a 2 - ab + b 2 ligner udtrykket a 2 - 2ab + b 2, som optrådte i formel (2) og gav (a - b) 2.

For at skelne (på sproget) disse udtrykspar fra hinanden kaldes hvert af udtrykkene a 2 + 2ab + b 2 og a 2 - 2ab + b 2 et perfekt kvadrat (sum eller forskel), og hvert af udtrykkene a 2 + ab + b 2 og a 2 - ab + b 2 kaldes et ufuldstændigt kvadrat (sum eller forskel). Så får vi følgende oversættelse af formlerne (4) og (5) (læs “fra højre mod venstre”) til almindeligt sprog:

forskellen mellem kuberne af to tal (udtryk) er lig med produktet af forskellen mellem disse tal (udtryk) med det ufuldstændige kvadrat af deres sum; summen af ​​kuberne af to tal (udtryk) er lig med produktet af summen af ​​disse tal (udtryk) og det ufuldstændige kvadrat af deres forskel.

Kommentar. Alle formler (1)-(5) opnået i dette afsnit bruges både fra venstre mod højre og fra højre mod venstre, kun i det første tilfælde (fra venstre mod højre) siger de, at (1)-(5) er forkortet multiplikation formler, og i det andet tilfælde (fra højre mod venstre) siger de, at (1)-(5) er faktoriseringsformler.

Eksempel 4. Udfør multiplikation (2x-1)(4x 2 + 2x +1).

Løsning. Da den første faktor er forskellen mellem monomialerne 2x og 1, og den anden faktor er det ufuldstændige kvadrat af deres sum, kan vi bruge formel (4). Vi får:

(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

Eksempel 5. Repræsenter binomiet 27a 6 + 8b 3 som et produkt af polynomier.

Løsning. Vi har: 27a 6 = (For 2) 3, 8b 3 = (2b) 3. Det betyder, at det givne binomium er summen af ​​terninger, det vil sige, at formel 95 kan anvendes på det, læst fra højre mod venstre. Så får vi:

27a 6 + 8b 3 = (For 2) 3 + (2b) 3 = (For 2 + 2b) ((For 2) 2 - For 2 2b + (2b) 2) = (For 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2b + 4b 2).

Hjælp til skolebørn online, Matematik til download af 7. klasse, kalender og tematisk planlægning

A. V. Pogorelov, Geometri for klasse 7-11, Lærebog for uddannelsesinstitutioner

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du sender en anmodning på webstedet, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• Samlet af os personlig information giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Hvis det er nødvendigt i overensstemmelse med loven, retslig procedure, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra offentlige myndigheder i Den Russiske Føderation - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.