Universel trigonometrisk substitution, afledning af formler, eksempler.

Relationerne mellem de grundlæggende trigonometriske funktioner - sinus, cosinus, tangent og cotangens - er givet trigonometriske formler. Og da der er ret mange forbindelser mellem trigonometriske funktioner, forklarer dette overfloden af ​​trigonometriske formler. Nogle formler forbinder trigonometriske funktioner den samme vinkel, andre - funktioner i en multipel vinkel, andre - giver dig mulighed for at reducere graden, fjerde - udtrykke alle funktioner gennem tangenten til en halv vinkel osv.

I denne artikel vil vi i rækkefølge liste alle de grundlæggende trigonometriske formler, som er tilstrækkelige til at løse langt de fleste trigonometriproblemer. For at lette memorering og brug vil vi gruppere dem efter formål og indtaste dem i tabeller.

Sidenavigation.

Grundlæggende trigonometriske identiteter

Grundlæggende trigonometriske identiteter definere forholdet mellem sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel. De følger af definitionen af ​​sinus, cosinus, tangent og cotangens, samt begrebet enhedscirklen. De giver dig mulighed for at udtrykke en trigonometrisk funktion i forhold til enhver anden.

For en detaljeret beskrivelse af disse trigonometriformler, deres afledning og eksempler på anvendelse, se artiklen.

Reduktionsformler

Reduktionsformler følger af egenskaberne for sinus, cosinus, tangens og cotangens, det vil sige, at de afspejler egenskaben periodicitet af trigonometriske funktioner, egenskaben symmetri samt egenskaben for skift vha. givet vinkel. Disse trigonometriske formler giver dig mulighed for at gå fra at arbejde med vilkårlige vinkler til at arbejde med vinkler fra nul til 90 grader.

Begrundelsen for disse formler, en mnemonisk regel for at huske dem og eksempler på deres anvendelse kan studeres i artiklen.

Tilføjelsesformler

Trigonometriske additionsformler vis, hvordan trigonometriske funktioner af summen eller forskellen af ​​to vinkler udtrykkes i form af trigonometriske funktioner af disse vinkler. Disse formler tjener som grundlag for at udlede følgende trigonometriske formler.

Formler til dobbelt, tredobbelt osv. vinkel

Formler til dobbelt, tredobbelt osv. vinkel (de kaldes også multiple vinkelformler) viser, hvordan trigonometriske funktioner af dobbelt, tredobbelt osv. vinkler () er udtrykt i form af trigonometriske funktioner af en enkelt vinkel. Deres udledning er baseret på additionsformler.

Mere detaljeret information samlet i artikelformlerne for dobbelt, tredobbelt mv. vinkel

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler vis hvordan trigonometriske funktioner af en halv vinkel udtrykkes i form af cosinus af en hel vinkel. Disse trigonometriske formler følger af dobbeltvinkelformlerne.

Deres konklusion og eksempler på anvendelse kan findes i artiklen.

Gradreduktionsformler

Trigonometriske formler til at reducere grader er designet til at lette overgangen fra naturlige kræfter af trigonometriske funktioner til sinus og cosinus i første grad, men flere vinkler. Med andre ord giver de dig mulighed for at reducere beføjelserne af trigonometriske funktioner til den første.

Formler for summen og forskellen af ​​trigonometriske funktioner

Hovedformålet formler for summen og forskellen af ​​trigonometriske funktioner er at gå til produktet af funktioner, hvilket er meget nyttigt, når man forenkler trigonometriske udtryk. Disse formler er også meget brugt til at løse trigonometriske ligninger, da de giver dig mulighed for at faktorisere summen og forskellen mellem sinus og cosinus.

Formler for produktet af sinus, cosinus og sinus for cosinus

Overgangen fra produktet af trigonometriske funktioner til en sum eller forskel udføres ved hjælp af formlerne for produktet af sinus, cosinus og sinus for cosinus.

Copyright af cleverstudents

Alle rettigheder forbeholdes.
Beskyttet af lov om ophavsret. Ingen del af www.site, inklusive interne materialer og udseende, må gengives i nogen form eller bruges uden forudgående skriftlig tilladelse fra indehaveren af ​​ophavsretten.

Oftest stillede spørgsmål

Er det muligt at lave et stempel på et dokument i henhold til prøven? Svar Ja, det er muligt. Send til vores email adresse scannet kopi eller foto god kvalitet, og vi laver det nødvendige duplikat.

Hvilke former for betaling accepterer du? Svar Du kan betale for dokumentet ved modtagelse af kureren efter at have kontrolleret rigtigheden af ​​færdiggørelsen og kvaliteten af ​​​​udførelsen af ​​diplomet. Dette kan også gøres på kontoret for postselskaber, der tilbyder efterkravstjenester.
Alle leverings- og betalingsbetingelser for dokumenter er beskrevet i afsnittet "Betaling og levering". Vi er også klar til at lytte til dine forslag vedrørende leveringsbetingelser og betaling for dokumentet.

Kan jeg være sikker på, at du ikke forsvinder med mine penge efter at have afgivet en ordre? Svar Vi har ret lang erfaring inden for diplomproduktion. Vi har flere hjemmesider, der løbende opdateres. Vores specialister arbejder i forskellige hjørner lande, der producerer over 10 dokumenter om dagen. I årenes løb har vores dokumenter hjulpet mange mennesker med at løse ansættelsesproblemer eller flytte til højere betalte job. Vi har opnået tillid og anerkendelse blandt kunderne, så der er absolut ingen grund til, at vi gør det. På lignende måde. Desuden er dette simpelthen umuligt at gøre fysisk: du betaler for din ordre, når du modtager den i dine hænder, der er ingen forudbetaling.

Kan jeg bestille et eksamensbevis fra ethvert universitet? Svar Generelt, ja. Vi har arbejdet inden for dette felt i næsten 12 år. I løbet af denne tid blev en næsten komplet database over dokumenter udstedt af næsten alle universiteter i landet og videre dannet. forskellige år udstedelse. Alt du behøver er at vælge et universitet, speciale, dokumentere og udfylde bestillingsformularen.

Hvad skal du gøre, hvis du finder slåfejl og fejl i et dokument? Svar Når du modtager et dokument fra vores kurer- eller postfirma, anbefaler vi, at du nøje tjekker alle detaljer. Konstateres der en tastefejl, fejl eller unøjagtighed, har du ret til ikke at afhente eksamensbeviset, men du skal personligt tilkendegive de opdagede mangler til kureren eller skriftligt ved at sende et brev til e-mail.
I så hurtigt som muligt Vi retter dokumentet og sender det igen til den angivne adresse. Fragten betales naturligvis af vores firma.
For at undgå sådanne misforståelser, inden vi udfylder den originale formular, e-mailer vi kunden en mock-up af det fremtidige dokument til kontrol og godkendelse af den endelige version. Inden vi sender dokumentet med kurer eller post, tager vi også yderligere billeder og videoer (inklusive i ultraviolet lys), så du har en klar idé om, hvad du vil modtage i sidste ende.

Hvad skal jeg gøre for at bestille et diplom fra din virksomhed? Svar For at bestille et dokument (certifikat, diplom, akademisk bevis osv.), skal du udfylde online bestillingsformularen på vores hjemmeside eller oplyse din e-mail, så vi kan sende dig et ansøgningsskema, som du skal udfylde og sende tilbage til os.
Hvis du ikke ved, hvad du skal angive i et hvilket som helst felt i bestillingsformularen/spørgeskemaet, så lad dem stå tomme. Derfor vil vi afklare alle de manglende oplysninger over telefonen.

Seneste anmeldelser

Alexei:

Jeg skulle have et diplom for at få job som leder. Og det vigtigste er, at jeg både har erfaring og kompetencer, men jeg kan ikke få et job uden et dokument. Da jeg stødte på dit websted, besluttede jeg endelig at købe et diplom. Diplomet blev gennemført på 2 dage!! Nu har jeg et job, som jeg aldrig har drømt om før!! Tak skal du have!

Vi vil begynde vores undersøgelse af trigonometri med den retvinklede trekant. Lad os definere, hvad sinus og cosinus er, samt tangent og cotangens Spids vinkel. Dette er det grundlæggende i trigonometri.

Lad os minde dig om det ret vinkel er en vinkel lig med 90 grader. Med andre ord en halv drejet vinkel.

Skarpt hjørne- mindre end 90 grader.

Stump vinkel- mere end 90 grader. I forhold til sådan en vinkel er "stump" ikke en fornærmelse, men et matematisk udtryk :-)

Lad os tegne en retvinklet trekant. En ret vinkel er normalt betegnet med . Bemærk venligst, at siden modsat hjørnet er angivet med samme bogstav, kun lille. Således er siden modsat vinkel A betegnet.

Vinklen er angivet med den tilsvarende græsk bogstav.

Hypotenuse af en retvinklet trekant er siden modsat den rette vinkel.

Ben- sider, der ligger modsat spidse vinkler.

Benet der ligger modsat vinklen kaldes modsat(i forhold til vinkel). Det andet ben, som ligger på en af ​​vinklens sider, kaldes tilstødende.

Bihule Den spidse vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem den modsatte side og hypotenusen:

Cosinus spids vinkel i en retvinklet trekant - forholdet mellem det tilstødende ben og hypotenusen:

Tangent spids vinkel i en retvinklet trekant - forholdet mellem den modsatte side og den tilstødende:

En anden (ækvivalent) definition: tangenten til en spids vinkel er forholdet mellem vinklens sinus og dens cosinus:

Cotangens spids vinkel i en retvinklet trekant - forholdet mellem den tilstødende side og det modsatte (eller, som er det samme, forholdet mellem cosinus og sinus):

Bemærk de grundlæggende forhold for sinus, cosinus, tangens og cotangens nedenfor. De vil være nyttige for os, når vi løser problemer.

Lad os bevise nogle af dem.

Okay, vi har givet definitioner og nedskrevet formler. Men hvorfor har vi stadig brug for sinus, cosinus, tangent og cotangens?

Vi ved det summen af ​​vinklerne i enhver trekant er lig med.

Vi kender forholdet mellem fester retvinklet trekant. Dette er Pythagoras sætning:.

Det viser sig, at hvis du kender to vinkler i en trekant, kan du finde den tredje. Når du kender de to sider af en retvinklet trekant, kan du finde den tredje. Det betyder, at vinklerne har deres eget forhold, og siderne har deres eget. Men hvad skal du gøre, hvis du i en retvinklet trekant kender én vinkel (undtagen den rette vinkel) og den ene side, men du skal finde de andre sider?

Dette er, hvad folk tidligere stødte på, når de lavede kort over området og stjernehimlen. Det er trods alt ikke altid muligt direkte at måle alle sider af en trekant.

Sinus, cosinus og tangent - kaldes de også trigonometriske vinkelfunktioner- give relationer mellem fester Og hjørner trekant. Når du kender vinklen, kan du finde alle dens trigonometriske funktioner ved hjælp af specielle tabeller. Og ved at kende sinus, cosinus og tangenter af vinklerne i en trekant og en af ​​dens sider, kan du finde resten.

Vi vil også tegne en tabel med værdierne for sinus, cosinus, tangens og cotangens for "gode" vinkler fra til.

Bemærk venligst de to røde streger i tabellen. Ved passende vinkelværdier eksisterer tangent og cotangens ikke.

Lad os se på flere trigonometriproblemer fra FIPI Task Bank.

1. I en trekant er vinklen , . Find .

Problemet er løst på fire sekunder.

Fordi , .

2. I en trekant er vinklen , , . Find .

Lad os finde det ved hjælp af Pythagoras sætning.

Problemet er løst.

Ofte i opgaver er der trekanter med vinkler og eller med vinkler og. Husk de grundlæggende nøgletal for dem udenad!

For en trekant med vinkler og benet modsat vinklen ved er lig med halvdelen af ​​hypotenusen.

En trekant med vinkler og er ligebenet. I den er hypotenusen gange større end benet.

Vi kiggede på problemer, der skulle løses retvinklede trekanter- altså at finde ukendte sider eller vinkler. Men det er ikke alt! I Muligheder for Unified State Exam i matematik er der mange problemer, hvor sinus, cosinus, tangent eller cotangens af en trekants ydre vinkel optræder. Mere om dette i næste artikel.

I denne artikel vil vi tage et omfattende kig. Grundlæggende trigonometriske identiteter er ligheder, der etablerer en forbindelse mellem sinus, cosinus, tangent og cotangens af en vinkel, og tillader en at finde en hvilken som helst af disse trigonometriske funktioner gennem en kendt anden.

Lad os straks liste de vigtigste trigonometriske identiteter, som vi vil analysere i denne artikel. Lad os skrive dem ned i en tabel, og nedenfor giver vi output af disse formler og giver de nødvendige forklaringer.

Sidenavigation.

Forholdet mellem sinus og cosinus i en vinkel

Nogle gange taler de ikke om de vigtigste trigonometriske identiteter anført i tabellen ovenfor, men om en enkelt grundlæggende trigonometrisk identitet venlig . Forklaringen på denne kendsgerning er ret enkel: lighederne opnås fra den trigonometriske hovedidentitet efter at have divideret begge dens dele med henholdsvis og lighederne Og følger af definitionerne af sinus, cosinus, tangens og cotangens. Vi vil tale mere om dette i de følgende afsnit.

Det vil sige, at det er ligestillingen, der er af særlig interesse, som fik navnet på den trigonometriske hovedidentitet.

Før vi beviser den trigonometriske hovedidentitet, giver vi dens formulering: summen af ​​kvadraterne af sinus og cosinus i en vinkel er identisk lig med en. Lad os nu bevise det.

Den grundlæggende trigonometriske identitet bruges meget ofte når konvertering af trigonometriske udtryk. Det gør det muligt at erstatte summen af ​​kvadraterne af sinus og cosinus af én vinkel med én. Ikke mindre ofte bruges den grundlæggende trigonometriske identitet i omvendt rækkefølge: enhed erstattes af summen af ​​kvadraterne af sinus og cosinus af enhver vinkel.

Tangent og cotangens gennem sinus og cosinus

Identiteter, der forbinder tangent og cotangens med sinus og cosinus af en synsvinkel og følger umiddelbart af definitionerne af sinus, cosinus, tangent og cotangens. Faktisk er sinus pr. definition ordinaten af ​​y, cosinus er abscissen af ​​x, tangent er forholdet mellem ordinaten og abscissen, dvs. , og cotangensen er forholdet mellem abscissen og ordinaten, dvs. .

Takket være sådanne indlysende identiteter og Tangent og cotangens defineres ofte ikke gennem forholdet mellem abscisse og ordinat, men gennem forholdet mellem sinus og cosinus. Så tangenten af ​​en vinkel er forholdet mellem sinus og cosinus af denne vinkel, og cotangens er forholdet mellem cosinus og sinus.

Som afslutning på dette afsnit skal det bemærkes, at identiteterne og finde sted for alle vinkler, hvor de trigonometriske funktioner, der er inkluderet i dem, giver mening. Så formlen er gyldig for alle andre end (ellers vil nævneren have nul, og vi definerede ikke division med nul), og formlen - for alle, forskellig fra, hvor z er enhver.

Forholdet mellem tangent og cotangens

En endnu mere indlysende trigonometrisk identitet end de to foregående er identiteten, der forbinder tangenten og cotangensen af ​​en vinkel på formen . Det er klart, at det gælder for alle andre vinkler end , ellers er enten tangenten eller cotangensen ikke defineret.

Bevis for formlen meget simpelt. Per definition og hvorfra . Beviset kunne have været udført lidt anderledes. Siden , At .

Så tangenten og cotangensen af ​​den samme vinkel, som de giver mening ved, er .

Cosinus af summen og forskellen af ​​to vinkler

I dette afsnit vil følgende to formler blive bevist:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Cosinus af summen (forskellen) af to vinkler er lig med produktet af disse vinklers cosinus minus (plus) produktet af disse vinklers sinus.

Det vil være mere bekvemt for os at starte med beviset for formel (2). For nemheds skyld, lad os først antage, at vinklerne α Og β opfylder følgende betingelser:

1) hver af disse vinkler er ikke-negative og mindre 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Lad den positive del af 0x-aksen være den fælles startside af vinklerne α Og β .

Vi betegner endesiderne af disse vinkler med henholdsvis 0A og 0B. Helt klart vinklen α - β kan betragtes som den vinkel, hvormed stråle 0B skal drejes omkring punkt 0 mod uret, så dens retning falder sammen med retningen af ​​stråle 0A.

På strålerne 0A og 0B markerer vi punkterne M og N, placeret i en afstand af 1 fra koordinaternes oprindelse 0, således at 0M = 0N = 1.

I x0y koordinatsystemet har punkt M koordinater ( cos α, sin α), og punkt N er koordinaterne ( cos β, sin β). Derfor er kvadratet på afstanden mellem dem:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

I vores beregninger brugte vi identiteten

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Overvej nu et andet koordinatsystem B0C, som opnås ved at dreje 0x- og 0y-akserne omkring punkt 0 mod uret med en vinkel β .

I dette koordinatsystem har punkt M koordinater (cos ( α - β ), synd ( α - β )), og punktet N er koordinater (1,0). Derfor er kvadratet på afstanden mellem dem:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) = 2 .

Men afstanden mellem punkterne M og N afhænger ikke af hvilket koordinatsystem vi betragter disse punkter i forhold til. Derfor

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Det er her formel (2) følger.

Nu bør vi huske de to begrænsninger, som vi pålagde for enkel præsentation af vinklerne α Og β .

Kravet om, at hvert af hjørnerne α Og β var ikke-negativ, ikke rigtig signifikant. Når alt kommer til alt, til enhver af disse vinkler kan du tilføje en vinkel, der er et multiplum af 2, hvilket ikke vil påvirke gyldigheden af ​​formel (2). På samme måde kan du fra hver af disse vinkler trække en vinkel, der er et multiplum af 2π. Derfor kan vi antage det 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Tilstanden viser sig også at være ubetydelig α > β . Faktisk, hvis α < β , At β >α ; derfor givet pariteten af ​​funktionen cos x , vi får:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

som i det væsentlige falder sammen med formel (2). Altså formlen

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

sandt for alle vinkler α Og β . Især udskiftning i det β på - β og givet at funktionen cosx er lige, og funktionen syndx mærkeligt, vi får:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

hvilket beviser formel (1).

Så formlerne (1) og (2) er bevist.

Eksempler.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Øvelser

1 . Beregn uden at bruge trigonometriske tabeller:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2. Forenkle udtryk:

en). fordi( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + sin (36° + α ) synd ( α - 24°).

V). sin(π/4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α + tg α synd 2 α .

3 . Beregn :

en) cos(α - β), hvis

fordi α = - 2 / 5 , sin β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) cos ( α + π / 6), hvis cos α = 0,6;

3π/2< α < 2π.

4 . Find cos(α + β) og cos (α - β) ,hvis man ved, at synd α = 7/25, cos β = - 5 / 13 og begge vinkler ( α Og β ) slutter i samme kvartal.

5 .Beregn:

EN). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]