Sådan løses trigonometriske ligninger. Trigonometriske ligninger

Trigonometriske ligninger er ikke et let emne. De er for forskellige.) For eksempel disse:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Men disse (og alle andre) trigonometriske monstre har to fælles og obligatoriske træk. For det første - du vil ikke tro det - er der trigonometriske funktioner i ligningerne.) For det andet: alle udtryk med x findes inden for de samme funktioner. Og kun der! Hvis X vises et sted uden for, For eksempel, sin2x + 3x = 3, dette vil allerede være en ligning blandet type. Sådanne ligninger kræver en individuel tilgang. Vi vil ikke overveje dem her.

Vi vil heller ikke løse onde ligninger i denne lektion.) Her vil vi beskæftige os med de enkleste trigonometriske ligninger. Hvorfor? Ja, fordi løsningen nogen trigonometriske ligninger består af to faser. På det første trin reduceres den onde ligning til en simpel gennem en række transformationer. På den anden er denne enkleste ligning løst. Ingen anden måde.

Så hvis du har problemer i anden fase, giver den første fase ikke meget mening.)

Hvordan ser elementære trigonometriske ligninger ud?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Her EN står for et hvilket som helst tal. Nogen.

Forresten, inde i en funktion er der måske ikke et rent X, men en form for udtryk, som:

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Dette komplicerer livet, men påvirker ikke metoden til at løse en trigonometrisk ligning.

Hvordan løser man trigonometriske ligninger?

Trigonometriske ligninger kan løses på to måder. Den første måde: ved hjælp af logik og den trigonometriske cirkel. Vi vil se på denne vej her. Den anden måde - ved hjælp af hukommelse og formler - vil blive diskuteret i næste lektion.

Den første måde er klar, pålidelig og svær at glemme.) Den er god til at løse trigonometriske ligninger, uligheder og alle mulige vanskelige ikke-standardiserede eksempler. Logik er stærkere end hukommelsen!)

Løsning af ligninger ved hjælp af en trigonometrisk cirkel.

Vi inkluderer elementær logik og evnen til at bruge den trigonometriske cirkel. Ved du ikke hvordan? Dog... Du vil have det svært i trigonometri...) Men det gør ikke noget. Tag et kig på lektionerne "Trigonometrisk cirkel...... Hvad er det?" og "Måle vinkler på en trigonometrisk cirkel." Alt er enkelt der. I modsætning til lærebøger...)

Åh, ved du!? Og selv mestrede "Praktisk arbejde med den trigonometriske cirkel"!? Tillykke. Dette emne vil være tæt på og forståeligt for dig.) Det, der er særligt glædeligt, er, at den trigonometriske cirkel er ligeglad med, hvilken ligning du løser. Sinus, cosinus, tangent, cotangens - alt er det samme for ham. Der er kun ét løsningsprincip.

Så vi tager enhver elementær trigonometrisk ligning. I det mindste dette:

cosx = 0,5

Vi skal finde X. Hvis vi taler menneskeligt sprog, behøver find vinklen (x), hvis cosinus er 0,5.

Hvordan brugte vi tidligere cirklen? Vi tegnede en vinkel på det. I grader eller radianer. Og med det samme sav trigonometriske funktioner af denne vinkel. Lad os nu gøre det modsatte. Lad os tegne en cosinus på cirklen svarende til 0,5 og straks vi får at se hjørne. Tilbage er blot at skrive svaret ned.) Ja, ja!

Tegn en cirkel og marker cosinus lig med 0,5. På cosinus-aksen, selvfølgelig. Sådan her:

Lad os nu tegne den vinkel, som denne cosinus giver os. Hold musen over billedet (eller tryk på billedet på din tablet), og du vil se netop dette hjørne X.

Hvilken vinkels cosinus er 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Nogle mennesker vil grine skeptisk, ja... Ligesom, var det værd at lave en cirkel, når alt allerede er klart... Man kan selvfølgelig grine...) Men faktum er, at det er et forkert svar. Eller rettere sagt, utilstrækkelig. Cirkelkendere forstår, at der er en hel masse andre vinkler her, som også giver en cosinus på 0,5.

Hvis du drejer den bevægelige side OA fuld omgang, vil punkt A vende tilbage til sin oprindelige position. Med samme cosinus lig med 0,5. De der. vinklen vil ændre sig med 360° eller 2π radianer, og cosinus - nej. Den nye vinkel 60° + 360° = 420° vil også være en løsning på vores ligning, fordi

Et uendeligt antal af sådanne komplette omdrejninger kan laves... Og alle disse nye vinkler vil være løsninger på vores trigonometriske ligning. Og de skal alle skrives ned på en eller anden måde som svar. Alle. Ellers tæller beslutningen ikke, ja...)

Matematik kan gøre dette enkelt og elegant. Skriv ned i et kort svar uendeligt sæt beslutninger. Sådan ser det ud for vores ligning:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Jeg vil tyde det. Skriv stadig meningsfuldt Det er mere behageligt end dumt at tegne nogle mystiske bogstaver, ikke?)

π /3 - det er det samme hjørne, som vi sav på cirklen og fast besluttet ifølge cosinustabellen.

2π er en komplet revolution i radianer.

n - dette er antallet af komplette, dvs. hel rpm Det er klart at n kan være lig med 0, ±1, ±2, ±3.... og så videre. Som det fremgår af den korte post:

n ∈ Z

n hører til ( ∈ ) sæt af heltal ( Z ). Forresten i stedet for brevet n bogstaver kan godt bruges k, m, t etc.

Denne notation betyder, at du kan tage ethvert heltal n . Mindst -3, mindst 0, mindst +55. Hvad end du vil. Hvis du erstatter dette tal i svaret, får du en bestemt vinkel, som helt sikkert vil være løsningen på vores barske ligning.)

Eller med andre ord, x = π /3 er den eneste rod af et uendeligt sæt. For at få alle de andre rødder er det nok at tilføje et hvilket som helst antal fulde omdrejninger til π /3 ( n ) i radianer. De der. 2πn radian.

Alle? Ingen. Jeg forlænger bevidst fornøjelsen. For at huske bedre.) Vi modtog kun en del af svarene på vores ligning. Jeg vil skrive denne første del af løsningen sådan her:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ikke bare én rod, men en hel række rødder, skrevet ned i en kort form.

Men der er også vinkler, der også giver en cosinus på 0,5!

Lad os vende tilbage til vores billede, hvorfra vi skrev svaret ned. Her er hun:

Hold musen over billedet og vi ser en anden vinkel giver også en cosinus på 0,5. Hvad tror du det er lig med? Trekanterne er de samme... Ja! Han lig med vinkel x , kun forsinket i negativ retning. Dette er hjørnet -X. Men vi har allerede beregnet x. π /3 eller 60°. Derfor kan vi roligt skrive:

x 2 = - π /3

Nå, selvfølgelig tilføjer vi alle de vinkler, der opnås gennem fulde omdrejninger:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Det er alt nu.) På den trigonometriske cirkel vi sav(hvem forstår, selvfølgelig)) Alle vinkler der giver en cosinus på 0,5. Og skrev kort disse vinkler ned matematisk form. Svaret resulterede i to uendelige rækker af rødder:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Dette er det rigtige svar.

Håber, generelt princip for løsning af trigonometriske ligninger at bruge en cirkel er klar. Vi markerer cosinus (sinus, tangent, cotangens) fra den givne ligning på en cirkel, tegner vinklerne svarende til den og skriver svaret ned. Selvfølgelig skal vi finde ud af, hvilke hjørner vi er sav på cirklen. Nogle gange er det ikke så tydeligt. Nå, jeg sagde, at logik er påkrævet her.)

Lad os for eksempel se på en anden trigonometrisk ligning:

Vær venligst opmærksom på, at tallet 0,5 ikke er det eneste mulige tal i ligninger!) Det er bare mere bekvemt for mig at skrive det end rødder og brøker.

Vi arbejder efter det generelle princip. Vi tegner en cirkel, markerer (på sinusaksen, selvfølgelig!) 0,5. Vi tegner alle vinklerne, der svarer til denne sinus, på én gang. Vi får dette billede:

Lad os først beskæftige os med vinklen x i første kvartal. Vi husker tabellen over sinus og bestemmer værdien af ​​denne vinkel. Det er en simpel sag:

x = π /6

Vi husker om fulde drejninger og skriver med god samvittighed den første række af svar ned:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Halvdelen af ​​arbejdet er udført. Men nu skal vi bestemme andet hjørne... Det er sværere end at bruge cosinus, ja... Men logikken vil redde os! Sådan bestemmes den anden vinkel gennem x? Ja nemt! Trekanterne på billedet er de samme, og det røde hjørne x lig med vinkel x . Kun det tælles fra vinklen π i negativ retning. Derfor er den rød.) Og til svaret skal vi bruge en vinkel, målt korrekt, fra den positive halvakse OX, dvs. fra en vinkel på 0 grader.

Vi holder markøren over tegningen og ser alt. Jeg fjernede det første hjørne for ikke at komplicere billedet. Vinklen vi er interesseret i (tegnet med grønt) vil være lig med:

π - x

X vi ved det π /6 . Derfor vil den anden vinkel være:

π - π /6 = 5π /6

Igen husker vi at tilføje hele omdrejninger og skrive den anden række af svar ned:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Det er alt. Et komplet svar består af to rækker af rødder:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangent- og cotangensligninger kan let løses ved at bruge det samme generelle princip til løsning af trigonometriske ligninger. Hvis du selvfølgelig ved, hvordan man tegner tangent og cotangens på en trigonometrisk cirkel.

I eksemplerne ovenfor brugte jeg tabelværdien for sinus og cosinus: 0,5. De der. en af ​​de betydninger, som eleven kender skal. Lad os nu udvide vores muligheder til alle andre værdier. Beslut, så beslut!)

Så lad os sige, at vi skal løse denne trigonometriske ligning:

Sådan en cosinusværdi i korte tabeller Ingen. Vi ignorerer koldt denne forfærdelige kendsgerning. Tegn en cirkel, marker 2/3 på cosinus-aksen og tegn de tilsvarende vinkler. Vi får dette billede.

Lad os først se på vinklen i det første kvartal. Hvis vi bare vidste, hvad x er lig, ville vi straks skrive svaret ned! Vi ved det ikke ... fiasko!? Berolige! Matematik efterlader ikke sine egne folk i problemer! Hun kom op med buekosinus til denne sag. Ved ikke? Forgæves. Find ud af, det er meget nemmere, end du tror. Der er ikke en eneste tricky besværgelse om "inverse trigonometriske funktioner" på dette link... Dette er overflødigt i dette emne.

Hvis du er ved det, så sig bare til dig selv: "X er en vinkel, hvis cosinus er lig med 2/3." Og umiddelbart, rent ved definitionen af ​​buecosinus, kan vi skrive:

Vi husker de ekstra omdrejninger og nedskriver roligt den første række af rødder i vores trigonometriske ligning:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Den anden række af rødder til den anden vinkel skrives næsten automatisk ned. Alt er det samme, kun X (arccos 2/3) vil være med et minus:

x 2 = - buer 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Og det er det! Dette er det rigtige svar. Endnu nemmere end med tabelværdier. Der er ingen grund til at huske noget.) De mest opmærksomme vil i øvrigt bemærke, at dette billede viser løsningen gennem buen cosinus i det væsentlige ikke forskellig fra billedet for ligningen cosx = 0,5.

Nemlig! Generelt princip Derfor er det almindeligt! Jeg tegnede bevidst to næsten identiske billeder. Cirklen viser os vinklen x ved dens cosinus. Om det er en tabelformet cosinus eller ej er ukendt for alle. Hvilken slags vinkel dette er, π /3, eller hvad buecosinus er - det er op til os at beslutte.

Samme sang med sinus. For eksempel:

Tegn en cirkel igen, marker sinus lig med 1/3, tegn vinklerne. Dette er billedet, vi får:

Og igen er billedet næsten det samme som for ligningen sinx = 0,5. Igen starter vi fra hjørnet i første kvarter. Hvad er X lig, hvis dens sinus er 1/3? Intet problem!

Nu er den første pakke rødder klar:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Lad os beskæftige os med den anden vinkel. I eksemplet med en tabelværdi på 0,5 var den lig med:

π - x

Det bliver præcis det samme her også! Kun x er anderledes, arcsin 1/3. Og hvad så!? Du kan roligt skrive den anden pakke rødder ned:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Dette er et fuldstændig korrekt svar. Selvom det ikke ser særlig bekendt ud. Men det er klart, håber jeg.)

Sådan løses trigonometriske ligninger ved hjælp af en cirkel. Denne vej er klar og forståelig. Det er ham, der gemmer i trigonometriske ligninger med udvælgelse af rødder på et givet interval, i trigonometriske uligheder - de løses generelt næsten altid i en cirkel. Kort sagt i alle opgaver, der er lidt sværere end standardopgaver.

Lad os anvende viden i praksis?)

Løs trigonometriske ligninger:

For det første enklere, lige fra denne lektion.

Nu er det mere kompliceret.

Tip: her bliver du nødt til at tænke på cirklen. Personligt.)

Og nu er de udadtil simple... De kaldes også for specialtilfælde.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Tip: her skal du i en cirkel finde ud af, hvor der er to rækker af svar, og hvor der er en... Og hvordan man skriver en i stedet for to rækker af svar. Ja, så ikke en eneste rod fra et uendeligt tal går tabt!)

Nå, meget simpelt):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tip: her skal du vide, hvad arcsine og arccosine er? Hvad er arctangens, arccotangent? For det meste simple definitioner. Men du behøver ikke at huske nogen tabelværdier!)

Svarene er selvfølgelig et rod):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ikke alt fungerer? Sker. Læs lektionen igen. Kun eftertænksomt(der er sådan forældet ord...) Og følg linkene. De vigtigste links handler om cirklen. Uden den er trigonometri som at krydse vejen med bind for øjnene. Nogle gange virker det.)

Hvis du kan lide denne side...

Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)

Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)

Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.

Mere komplekse trigonometriske ligninger

Ligninger

synd x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

er de enkleste trigonometriske ligninger. I dette afsnit vedr konkrete eksempler Vi vil se på mere komplekse trigonometriske ligninger. Deres løsning kommer som regel til at løse de enkleste trigonometriske ligninger.

Eksempel 1 . Løs ligningen

synd 2 x=cos x synd 2 x.

Ved at overføre alle led i denne ligning til venstre side og faktorisere det resulterende udtryk får vi:

synd 2 x(1 - cos x) = 0.

Produktet af to udtryk er lig nul, hvis og kun hvis mindst en af ​​faktorerne er lig nul, og den anden tager evt. numerisk værdi, så længe det er defineret.

Hvis synd 2 x = 0 , derefter 2 x= n π ; x = π / 2n.

Hvis 1 - cos x = 0 , så cos x = 1; x = 2kπ .

Så vi har to grupper af rødder: x = π / 2n; x = 2kπ . Den anden gruppe rødder er åbenbart indeholdt i den første, da udtrykket for n = 4k x = π / 2n bliver til
x = 2kπ .

Derfor kan svaret skrives i én formel: x = π / 2n, Hvor n- ethvert heltal.

Bemærk, at denne ligning ikke kunne løses ved at reducere med sin 2 x. Efter reduktion ville vi faktisk få 1 - cos x = 0, hvorfra x= 2k π . Så vi ville miste nogle rødder f.eks π / 2 , π , 3π / 2 .

Eksempel 2. Løs ligningen

En brøk er kun lig nul, hvis dens tæller er lig nul.
Derfor synd 2 x = 0 , hvorfra 2 x= n π ; x = π / 2n.

Ud fra disse værdier x du skal smide de værdier ud som uvedkommende syndx går til nul (brøker med nul nævnere har ingen betydning: division med nul er udefineret). Disse værdier er tal, der er multipla af π . I formlen
x = π / 2n de fås for lige n. Derfor vil rødderne til denne ligning være tallene

x = π / 2 (2k + 1),

hvor k er et hvilket som helst heltal.

Eksempel 3 . Løs ligningen

2 synd 2 x+ 7cos x - 5 = 0.

Lad os udtrykke synd 2 x igennem cosx : synd 2 x = 1 - cos 2x . Så kan denne ligning omskrives som

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , eller

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Udpegning cosx igennem på, når vi frem til andengradsligningen

2у 2 - 7у + 3 = 0,

hvis rødder er tallene 1/2 og 3. Det betyder, at enten cos x= 1/2 eller cos x= 3. Det sidste er dog umuligt, da cosinus af enhver vinkel ikke overstiger 1 i absolut værdi.

Det er tilbage at indrømme det cos x = 1 / 2 , hvor

x = ± 60° + 360° n.

Eksempel 4 . Løs ligningen

2 synd x+ 3 cos x = 6.

Siden synd x og cos x i absolut værdi ikke overstige 1, så udtrykket
2 synd x+ 3 cos x kan ikke tage værdier større end 5 . Derfor har denne ligning ingen rødder.

Eksempel 5 . Løs ligningen

synd x+cos x = 1

Ved at kvadrere begge sider af denne ligning får vi:

synd 2 x+ 2 synd x cos x+ cos 2 x = 1,

Men synd 2 x + for 2 x = 1 . Derfor 2 synd x cos x = 0 . Hvis synd x = 0 , At x = nπ ; hvis
cos x , At x = π / 2 + kπ . Disse to grupper af løsninger kan skrives i én formel:

x = π / 2n

Da vi kvadrerede begge sider af denne ligning, er det muligt, at der er fremmede rødder blandt de rødder, vi har opnået. Derfor er det i dette eksempel, i modsætning til alle de foregående, nødvendigt at foretage en kontrol. Alle betydninger

x = π / 2n kan opdeles i 4 grupper

	1) x = 2kπ .	(n = 4k)
	2) x = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) x = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) x = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

På x = 2kπ synd x+cos x= 0 + 1 = 1. Derfor, x = 2kπ er rødderne til denne ligning.

På x = π / 2 + 2kπ. synd x+cos x= 1 + 0 = 1 Altså x = π / 2 + 2kπ- også rødderne til denne ligning.

På x = π + 2kπ synd x+cos x= 0 - 1 = - 1. Derfor er værdierne x = π + 2kπ er ikke rødder til denne ligning. På samme måde er det vist det x = 3π / 2 + 2kπ. er ikke rødder.

Således har denne ligning følgende rødder: x = 2kπ Og x = π / 2 + 2mπ., Hvor k Og m- eventuelle heltal.

Når man løser mange matematiske problemer, især dem, der forekommer før klasse 10, er rækkefølgen af ​​udførte handlinger, der vil føre til målet, klart defineret. Sådanne problemer omfatter for eksempel lineære og andengradsligninger, lineær og kvadratiske uligheder, brøkligninger og ligninger, der reducerer til andengradsligninger. Princippet for succesfuld løsning af hvert af de nævnte problemer er som følger: du skal fastslå, hvilken type problem du løser, husk den nødvendige rækkefølge af handlinger, der vil føre til det ønskede resultat, dvs. svar og følg disse trin.

Det er indlysende, at succes eller fiasko med at løse et bestemt problem hovedsageligt afhænger af, hvor korrekt den type ligning, der løses, bestemmes, hvor korrekt rækkefølgen af ​​alle faser af dens løsning er gengivet. Selvfølgelig er det i dette tilfælde nødvendigt at have færdighederne til at udføre identiske transformationer og beregninger.

Situationen er anderledes med trigonometriske ligninger. Det er slet ikke svært at fastslå, at ligningen er trigonometrisk. Der opstår vanskeligheder, når man skal bestemme rækkefølgen af ​​handlinger, der vil føre til det rigtige svar.

Ved udseende ligning, er det nogle gange vanskeligt at bestemme dens type. Og uden at kende typen af ​​ligning, er det næsten umuligt at vælge den rigtige blandt flere dusin trigonometriske formler.

For at løse en trigonometrisk ligning skal du prøve:

1. bringe alle funktioner inkluderet i ligningen til "samme vinkler";
2. bringe ligningen til "identiske funktioner";
3. faktor den venstre side af ligningen mv.

Lad os overveje grundlæggende metoder til løsning af trigonometriske ligninger.

I. Reduktion til de enkleste trigonometriske ligninger

Løsningsdiagram

Trin 1. Express trigonometrisk funktion gennem kendte komponenter.

Trin 2. Find funktionsargumentet ved hjælp af formlerne:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arktan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Trin 3. Find den ukendte variabel.

Eksempel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Løsning.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Svar: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabel udskiftning

Løsningsdiagram

Trin 1. Reducer ligningen til algebraisk form med hensyn til en af ​​de trigonometriske funktioner.

Trin 2. Betegn den resulterende funktion med variablen t (indfør om nødvendigt begrænsninger på t).

Trin 3. Skriv ned og løs den resulterende algebraiske ligning.

Trin 4. Foretag en omvendt udskiftning.

Trin 5. Løs den enkleste trigonometriske ligning.

Eksempel.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Løsning.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Lad sin (x/2) = t, hvor |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 eller e = -3/2, opfylder ikke betingelsen |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Svar: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Ligningsordensreduktionsmetode

Løsningsdiagram

Trin 1. Erstat denne ligning med en lineær ligning ved at bruge formlen til at reducere graden:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Trin 2. Løs den resulterende ligning ved hjælp af metode I og II.

Eksempel.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Løsning.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Svar: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogene ligninger

Løsningsdiagram

Trin 1. Reducer denne ligning til formen

a) a sin x + b cos x = 0 (homogen ligning af første grad)

eller til udsigten

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogen ligning af anden grad).

Trin 2. Divider begge sider af ligningen med

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

og få ligningen for tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Trin 3. Løs ligningen ved hjælp af kendte metoder.

Eksempel.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Løsning.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Lad så tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 eller t = -4, hvilket betyder

tg x = 1 eller tg x = -4.

Fra den første ligning x = π/4 + πn, n Є Z; fra den anden ligning x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metode til at transformere en ligning ved hjælp af trigonometriske formler

Løsningsdiagram

Trin 1. Brug alle mulige trigonometriske formler til at reducere denne ligning til en ligning, der er løst ved metoderne I, II, III, IV.

Trin 2. Løs den resulterende ligning ved hjælp af kendte metoder.

Eksempel.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Løsning.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 eller 2cos x + 1 = 0;

Fra den første ligning 2x = π/2 + πn, n Є Z; fra den anden ligning cos x = -1/2.

Vi har x = π/4 + πn/2, n Є Z; fra den anden ligning x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Som et resultat er x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Svar: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Evnen og færdigheden til at løse trigonometriske ligninger er meget vigtigt, deres udvikling kræver en betydelig indsats, både fra elevens og lærerens side.

Mange problemer med stereometri, fysik osv. er forbundet med løsningen af ​​trigonometriske ligninger. Processen med at løse sådanne problemer legemliggør mange af den viden og færdigheder, der erhverves ved at studere elementerne i trigonometri.

Trigonometriske ligninger indtager en vigtig plads i processen med at lære matematik og personlig udvikling generelt.

Har du stadig spørgsmål? Ved du ikke, hvordan man løser trigonometriske ligninger?
Tilmeld dig for at få hjælp fra en vejleder.
Den første lektion er gratis!

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

Kræver viden om trigonometriens grundlæggende formler - summen af ​​kvadraterne af sinus og cosinus, udtrykket for tangent gennem sinus og cosinus m.fl. For dem, der har glemt dem eller ikke kender dem, anbefaler vi at læse artiklen "".
Så vi kender de grundlæggende trigonometriske formler, det er tid til at bruge dem i praksis. Løsning af trigonometriske ligninger på den rigtige tilgang- nok spændende aktivitet, som for eksempel at løse en Rubiks terning.

Ud fra selve navnet er det tydeligt, at en trigonometrisk ligning er en ligning, hvor det ukendte står under den trigonometriske funktions fortegn.
Der er såkaldt simpleste trigonometriske ligninger. Sådan ser de ud: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Lad os overveje hvordan man løser sådanne trigonometriske ligninger, for klarhedens skyld vil vi bruge den allerede velkendte trigonometriske cirkel.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

tremmeseng x = a

Enhver trigonometrisk ligning løses i to trin: Vi reducerer ligningen til dens enkleste form og løser den derefter som en simpel trigonometrisk ligning.
Der er 7 hovedmetoder, hvormed trigonometriske ligninger løses.

1. Variabel substitution og substitutionsmetode

Løs ligningen 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Ved hjælp af reduktionsformlerne får vi:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Erstat cos(x + /6) med y for at forenkle og få den sædvanlige andengradsligning:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Rødderne er y 1 = 1, y 2 = 1/2

Lad os nu gå i omvendt rækkefølge

Vi erstatter de fundne værdier af y og får to svarmuligheder:

2. Løsning af trigonometriske ligninger gennem faktorisering

Hvordan løser man ligningen sin x + cos x = 1?

Lad os flytte alt til venstre, så 0 forbliver til højre:

sin x + cos x – 1 = 0

Lad os bruge identiteterne diskuteret ovenfor til at forenkle ligningen:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Lad os faktorisere:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Vi får to ligninger

3. Reduktion til en homogen ligning

En ligning er homogen med hensyn til sinus og cosinus, hvis alle dens led er relative til sinus og cosinus af samme grad af samme vinkel. For at løse en homogen ligning, gå frem som følger:

a) overføre alle dens medlemmer til venstre side;

b) tage alle fælles faktorer ud af parentes;

c) lig alle faktorer og parenteser til 0;

d) der opnås en homogen ligning af lavere grad i parentes, som igen er opdelt i en sinus eller cosinus af en højere grad;

e) løs den resulterende ligning for tg.

Løs ligningen 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Lad os bruge formlen sin 2 x + cos 2 x = 1 og slippe af med de åbne to til højre:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Divider med cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Erstat tan x med y og få en andengradsligning:

y 2 + 4y +3 = 0, hvis rødder er y 1 = 1, y 2 = 3

Herfra finder vi to løsninger til den oprindelige ligning:

x 2 = arktan 3 + k

4. Løsning af ligninger gennem overgangen til en halv vinkel

Løs ligningen 3sin x – 5cos x = 7

Lad os gå videre til x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Lad os flytte alt til venstre:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Divider med cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Introduktion af hjælpevinkel

Til overvejelse, lad os tage en ligning af formen: a sin x + b cos x = c,

hvor a, b, c er nogle vilkårlige koefficienter, og x er en ukendt.

Lad os dividere begge sider af ligningen med:



Nu er ligningens koefficienter iflg trigonometriske formler har egenskaberne sin og cos, nemlig: deres modul er ikke mere end 1 og summen af ​​kvadrater = 1. Lad os betegne dem henholdsvis som cos og sin, hvor - dette er den såkaldte hjælpevinkel. Så vil ligningen antage formen:

cos * sin x + sin * cos x = C

eller sin(x + ) = C

Løsningen til denne enkleste trigonometriske ligning er

x = (-1) k * arcsin C - + k, hvor



Det skal bemærkes, at notationerne cos og sin er udskiftelige.

Løs ligningen sin 3x – cos 3x = 1

Koefficienterne i denne ligning er:

a = , b = -1, så divider begge sider med = 2

Det er vigtigt for os at bevare dit privatliv. Af denne grund har vi udviklet en privatlivspolitik, der beskriver, hvordan vi bruger og opbevarer dine oplysninger. Gennemgå venligst vores privatlivspraksis og fortæl os, hvis du har spørgsmål.

Indsamling og brug af personlige oplysninger

Personoplysninger refererer til data, der kan bruges til at identificere eller kontakte en bestemt person.

Du kan blive bedt om at give dine personlige oplysninger til enhver tid, når du kontakter os.

Nedenfor er nogle eksempler på de typer af personlige oplysninger, vi kan indsamle, og hvordan vi kan bruge sådanne oplysninger.

Hvilke personlige oplysninger indsamler vi:

• Når du indsender en ansøgning på siden, kan vi indsamle forskellige oplysninger, herunder dit navn, telefonnummer, adresse E-mail etc.

Sådan bruger vi dine personlige oplysninger:

• Samlet af os personlig information giver os mulighed for at kontakte dig og informere dig om unikke tilbud, kampagner og andre begivenheder og kommende begivenheder.
• Fra tid til anden kan vi bruge dine personlige oplysninger til at sende vigtige meddelelser og kommunikationer.
• Vi kan også bruge personlige oplysninger til interne formål, såsom at udføre revisioner, dataanalyse og forskellige undersøgelser for at forbedre de tjenester, vi leverer, og give dig anbefalinger vedrørende vores tjenester.
• Hvis du deltager i en præmielodtrækning, konkurrence eller lignende kampagne, kan vi bruge de oplysninger, du giver, til at administrere sådanne programmer.

Videregivelse af oplysninger til tredjemand

Vi videregiver ikke oplysningerne modtaget fra dig til tredjeparter.

Undtagelser:

• Hvis det er nødvendigt i overensstemmelse med loven, retslig procedure, i retssager og/eller på grundlag af offentlige anmodninger eller anmodninger fra offentlige myndigheder i Den Russiske Føderation - om at videregive dine personlige oplysninger. Vi kan også videregive oplysninger om dig, hvis vi fastslår, at en sådan videregivelse er nødvendig eller passende af hensyn til sikkerhed, retshåndhævelse eller andre offentlige formål.
• I tilfælde af en omorganisering, fusion eller salg kan vi overføre de personlige oplysninger, vi indsamler, til den relevante efterfølgende tredjepart.

Beskyttelse af personlige oplysninger

Vi tager forholdsregler - herunder administrative, tekniske og fysiske - for at beskytte dine personlige oplysninger mod tab, tyveri og misbrug, samt uautoriseret adgang, offentliggørelse, ændring og ødelæggelse.

Respekter dit privatliv på virksomhedsniveau

For at sikre, at dine personlige oplysninger er sikre, kommunikerer vi privatlivs- og sikkerhedsstandarder til vores medarbejdere og håndhæver strengt privatlivspraksis.