For at bestemme arealet af en trekant kan du bruge forskellige formler. Af alle metoder er den nemmeste og mest brugte multiplikation af højden med længden af ​​basen og derefter dividere resultatet med to. Denne metode er dog langt fra den eneste. Nedenfor kan du læse, hvordan du finder arealet af en trekant ved hjælp af forskellige formler.

Separat vil vi overveje metoder til beregning af arealet af specifikke typer trekant - rektangulær, ligebenet og ligesidet. Vi ledsager hver formel med en kort forklaring, der hjælper dig med at forstå dens essens.

Universelle måder at finde arealet af en trekant på

Formlerne nedenfor bruger speciel notation. Vi vil dechifrere hver af dem:

• a, b, c er længderne af de tre sider af den figur, vi overvejer;
• r er radius af en cirkel, der kan indskrives i vores trekant;
• R er radius af cirklen, der kan beskrives omkring den;
• α - værdien af ​​vinklen dannet af siderne b og c;
• β er vinklen mellem a og c;
• γ - værdien af ​​vinklen dannet af siderne a og b;
• h er højden af ​​vores trekant, sænket fra vinkel α til side a;
• p er halvdelen af ​​summen af ​​siderne a, b og c.

Det er logisk klart, hvorfor du kan finde arealet af en trekant på denne måde. Trekanten færdiggøres let til et parallelogram, hvor den ene side af trekanten vil fungere som en diagonal. Arealet af et parallelogram findes ved at gange længden af ​​en af ​​dets sider med værdien af ​​højden trukket til det. Diagonalen deler dette betingede parallelogram i 2 identiske trekanter. Derfor er det ret indlysende, at arealet af vores oprindelige trekant skal være lig med halvdelen af ​​arealet af dette hjælpeparallellogram.

S=½ a b sin γ

Ifølge denne formel findes arealet af en trekant ved at multiplicere længderne af dens to sider, det vil sige a og b, med sinus af den vinkel, de danner. Denne formel er logisk afledt af den foregående. Hvis vi sænker højden fra vinkel β til side b, så får vi ifølge egenskaberne af en retvinklet trekant, når vi multiplicerer længden af ​​side a med sinus af vinkel γ, højden af ​​trekanten, det vil sige h.

Arealet af den betragtede figur findes ved at gange halvdelen af ​​radius af cirklen, som kan indskrives i den, med dens omkreds. Med andre ord finder vi produktet af halvperimeteren og radius af den nævnte cirkel.

S= a b c/4R

Ifølge denne formel kan den værdi, vi har brug for, findes ved at dividere produktet af figurens sider med 4 radier af cirklen, der er omskrevet omkring den.

Disse formler er universelle, da de gør det muligt at bestemme arealet af enhver trekant (skala, ligebenet, ligesidet, retvinklet). Dette kan gøres ved hjælp af mere komplekse beregninger, som vi ikke vil dvæle nærmere ved.

Arealer af trekanter med specifikke egenskaber

Hvordan finder man arealet af en retvinklet trekant? Et træk ved denne figur er, at dens to sider samtidig er dens højder. Hvis a og b er ben, og c bliver hypotenusen, findes området som følger:

Hvordan finder man arealet af en ligebenet trekant? Den har to sider med længde a og en side med længde b. Derfor kan dens areal bestemmes ved at dividere med 2 produktet af kvadratet på siden a med sinus af vinklen γ.

Hvordan finder man arealet af en ligesidet trekant? I den er længden af ​​alle sider a, og værdien af ​​alle vinkler er α. Dens højde er halvdelen af ​​produktet af længden af ​​siden gange kvadratroden af ​​3. For at finde arealet af en regulær trekant skal du bruge kvadratet på siden a ganget med kvadratroden af ​​3 og divideret med 4.

Trekanten er en velkendt figur. Og dette på trods af den rige variation af dens former. Rektangulær, ligesidet, akut, ligebenet, stump. Hver af dem er noget anderledes. Men for enhver er det nødvendigt at kende trekantens areal.

Fælles formler for alle trekanter, der bruger længderne af siderne eller højderne

Betegnelserne, der er vedtaget i dem: sider - a, b, c; højder på de tilsvarende sider på a, n in, n s.

1. Arealet af en trekant beregnes som produktet af ½, siden og højden sænket ned på den. S = ½ * a * n a. På samme måde bør man skrive formler for de to andre sider.

2. Herons formel, hvori halvomkredsen optræder (det er sædvanligt at betegne det med et lille bogstav p, i modsætning til hele omkredsen). Halvperimeteren skal beregnes som følger: læg alle siderne sammen og divider dem med 2. Semiperimeterformlen: p \u003d (a + b + c) / 2. Så er ligheden for arealet af \ u200b\u200b figuren ser sådan ud: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Hvis du ikke vil bruge en semi-perimeter, vil en sådan formel være nyttig, hvor kun længderne af siderne er til stede: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Den er noget længere end den forrige, men det hjælper, hvis du har glemt, hvordan du finder halvperimeteren.

Generelle formler, hvor vinklerne i en trekant vises

Den notation, der kræves for at læse formlerne: α, β, γ - vinkler. De ligger på modsatte sider af henholdsvis a, b, c.

1. Ifølge det er halvdelen af ​​produktet af to sider og sinus af vinklen mellem dem lig med arealet af trekanten. Det vil sige: S = ½ a * b * sin γ. Formlerne for de to andre tilfælde skal skrives på samme måde.

2. Arealet af en trekant kan beregnes ud fra en side og tre kendte vinkler. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Der er også en formel med en kendt side og to vinkler ved siden af. Det ser sådan ud: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

De sidste to formler er ikke de enkleste. Det er ret svært at huske dem.

Generelle formler for situationen, hvor radierne af indskrevne eller omskrevne cirkler er kendt

Yderligere betegnelser: r, R — radier. Den første bruges til radius af den indskrevne cirkel. Den anden er til den beskrevne.

1. Den første formel, hvormed arealet af en trekant beregnes, er relateret til semi-perimeteren. S = r * r. På en anden måde kan det skrives som følger: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. I det andet tilfælde skal du gange alle trekantens sider og dividere dem med den firdobbelte radius af den omskrevne cirkel. I bogstavelig talt ser det sådan ud: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Den tredje situation giver dig mulighed for at gøre uden at kende siderne, men du har brug for værdierne for alle tre vinkler. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Specialtilfælde: retvinklet trekant

Dette er den enkleste situation, da kun længden af ​​begge ben er påkrævet. De er betegnet med de latinske bogstaver a og b. Arealet af en retvinklet trekant er lig med halvdelen af ​​arealet af rektanglet tilføjet til det.

Matematisk ser det sådan ud: S = ½ a * b. Hun er den nemmeste at huske. Fordi det ligner formlen for arealet af et rektangel, vises kun en brøkdel, der angiver halvdelen.

Særligt tilfælde: ligebenet trekant

Da dens to sider er lige store, ser nogle formler for dets område noget forenklede ud. For eksempel tager Herons formel, som beregner arealet af en ligebenet trekant, følgende form:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Hvis du konverterer den, bliver den kortere. I dette tilfælde er Herons formel for en ligebenet trekant skrevet som følger:

S = ¼ i √(4 * a 2 - b 2).

Arealformlen ser noget enklere ud end for en vilkårlig trekant, hvis siderne og vinklen mellem dem er kendt. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Særligt tilfælde: ligesidet trekant

Normalt, i problemer om ham, er siden kendt eller kan på en eller anden måde genkendes. Så er formlen for at finde arealet af en sådan trekant som følger:

S = (a 2 √3) / 4.

Opgaver til at finde området, hvis trekanten er afbildet på ternet papir

Den enkleste situation er, når en retvinklet trekant tegnes, så dens ben falder sammen med papirets linjer. Så skal du bare tælle antallet af celler, der passer ind i benene. Derefter ganges dem og divideres med to.

Når trekanten er spids eller stump, skal den tegnes til et rektangel. Så i den resulterende figur vil der være 3 trekanter. Den ene er den, der er givet i opgaven. Og de to andre er hjælpe- og rektangulære. Arealerne af de to sidste skal bestemmes ved den ovenfor beskrevne metode. Beregn derefter arealet af rektanglet og træk dem, der er beregnet for de ekstra, fra det. Arealet af trekanten bestemmes.

Meget vanskeligere er situationen, hvor ingen af ​​trekantens sider falder sammen med papirets linjer. Så skal det indskrives i et rektangel, så hjørnerne af den oprindelige figur ligger på siderne. I dette tilfælde vil der være tre hjælpetrekanter.

Et eksempel på et problem på Herons formel

Tilstand. Nogle trekanter har sider. De er lig med 3, 5 og 6 cm. Du skal kende dens areal.

Nu kan du beregne arealet af en trekant ved hjælp af ovenstående formel. Under kvadratroden er produktet af fire tal: 7, 4, 2 og 1. Det vil sige, at arealet er √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Hvis du ikke har brug for mere præcision, så kan du tage kvadratroden af ​​14. Det er 3,74. Så vil arealet være lig med 7,48.

Svar. S \u003d 2 √14 cm 2 eller 7,48 cm 2.

Et eksempel på et problem med en retvinklet trekant

Tilstand. Det ene ben i en retvinklet trekant er 31 cm længere end det andet. Det er nødvendigt at finde ud af deres længde, hvis trekantens areal er 180 cm 2.
Løsning. Du skal løse et system af to ligninger. Den første har med areal at gøre. Den anden er med forholdet mellem benene, som er angivet i opgaven.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Først skal værdien af ​​"a" indsættes i den første ligning. Det viser sig: 180 \u003d ½ (i + 31) * in. Det har kun én ukendt mængde, så det er nemt at løse. Efter at have åbnet parenteserne opnås en andengradsligning: i 2 + 31 i - 360 \u003d 0. Det giver to værdier for "i": 9 og - 40. Det andet tal er ikke egnet som svar , da længden af ​​trekantens side ikke kan være en negativ værdi.

Det er tilbage at beregne det andet ben: tilføj 31 til det resulterende tal. Det viser sig 40. Dette er de mængder, der søges i problemet.

Svar. Trekantens ben er 9 og 40 cm.

Opgaven med at finde siden gennem areal, side og vinkel i en trekant

Tilstand. Arealet af en trekant er 60 cm2. Det er nødvendigt at beregne en af ​​dens sider, hvis den anden side er 15 cm, og vinklen mellem dem er 30º.

Løsning. Baseret på de accepterede betegnelser er den ønskede side "a", den kendte "b", den givne vinkel er "γ". Derefter kan arealformlen omskrives som følger:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Her er sinus på 30 grader 0,5.

Efter transformationer viser "a" sig at være lig med 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Det er 16.

Svar. Den ønskede side er 16 cm.

Problemet med et kvadrat indskrevet i en retvinklet trekant

Tilstand. Toppunktet af en firkant med en side på 24 cm falder sammen med trekantens rette vinkel. De to andre ligger på benene. Den tredje tilhører hypotenusen. Længden af ​​det ene ben er 42 cm. Hvad er arealet af en retvinklet trekant?

Løsning. Overvej to rette trekanter. Den første er specificeret i opgaven. Den anden er baseret på det kendte ben i den oprindelige trekant. De ligner hinanden, fordi de har en fælles vinkel og er dannet af parallelle linjer.

Så er forholdet mellem deres ben ens. Benene i den mindre trekant er 24 cm (side af kvadratet) og 18 cm (givet ben 42 cm minus siden af ​​kvadratet 24 cm). De tilsvarende ben i den store trekant er 42 cm og x cm. Det er dette "x", der er nødvendigt for at beregne arealet af trekanten.

18/42 \u003d 24 / x, det vil sige x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Så er arealet lig med produktet af 56 og 42 divideret med to, det vil sige 1176 cm 2.

Svar. Det ønskede areal er 1176 cm 2.

Trekanten er en af ​​de mest almindelige geometriske former, som vi allerede kender i folkeskolen. Spørgsmålet om, hvordan man finder arealet af en trekant, står over for hver elev i geometritimerne. Så hvad er funktionerne ved at finde området for en given figur, der kan skelnes? I denne artikel vil vi overveje de grundlæggende formler, der er nødvendige for at fuldføre en sådan opgave, og også analysere typerne af trekanter.

Typer af trekanter

Du kan finde arealet af en trekant på helt forskellige måder, fordi der i geometri er mere end én type figur, der indeholder tre vinkler. Disse typer omfatter:

• stump.
• Ligesidet (korrekt).
• retvinklet trekant.
• Ligebenet.

Lad os se nærmere på hver af de eksisterende typer trekanter.

En sådan geometrisk figur betragtes som den mest almindelige til at løse geometriske problemer. Når det bliver nødvendigt at tegne en vilkårlig trekant, kommer denne mulighed til undsætning.

I en spids trekant, som navnet antyder, er alle vinkler spidse og summer op til 180°.

Sådan en trekant er også meget almindelig, men er noget mindre almindelig end en spidsvinklet. For eksempel, når du løser trekanter (det vil sige, at du kender flere af dens sider og vinkler og skal finde de resterende elementer), skal du nogle gange afgøre, om vinklen er stump eller ej. Cosinus er et negativt tal.

I værdien af ​​en af ​​vinklerne overstiger 90°, så de resterende to vinkler kan tage små værdier (for eksempel 15° eller endda 3°).

For at finde arealet af en trekant af denne type skal du kende nogle af nuancerne, som vi vil tale om næste gang.

Regelmæssige og ligebenede trekanter

En regulær polygon er en figur, der omfatter n vinkler, hvor alle sider og vinkler er lige store. Dette er den rigtige trekant. Da summen af ​​alle vinklerne i en trekant er 180°, er hver af de tre vinkler 60°.

Den retvinklede trekant kaldes på grund af sin egenskab også en ligesidet figur.

Det er også værd at bemærke, at kun en cirkel kan indskrives i en regulær trekant, og kun en cirkel kan omskrives omkring den, og deres centre er placeret på et punkt.

Udover den ligesidede type kan man også skelne en ligebenet trekant, som adskiller sig lidt fra den. I en sådan trekant er to sider og to vinkler lig med hinanden, og den tredje side (som lige store vinkler støder op til) er basen.

Figuren viser en ligebenet trekant DEF, hvis vinkler D og F er lige store, og DF er grundfladen.

retvinklet trekant

En retvinklet trekant hedder sådan, fordi en af ​​dens vinkler er en ret vinkel, altså lig med 90°. De to andre vinkler summeres til 90°.

Den største side af en sådan trekant, der ligger modsat en vinkel på 90 °, er hypotenusen, mens de to andre af dens sider er benene. For denne type trekanter er Pythagoras sætning anvendelig:

Summen af ​​kvadraterne af benlængderne er lig kvadratet af hypotenusens længde.

Figuren viser en retvinklet trekant BAC med hypotenusen AC og benene AB og BC.

For at finde arealet af en trekant med en ret vinkel, skal du kende de numeriske værdier af dens ben.

Lad os gå videre til formlerne for at finde arealet af en given figur.

Grundlæggende formler til at finde området

I geometri kan der skelnes mellem to formler, der er egnede til at finde arealet af de fleste typer trekanter, nemlig for spidsvinklede, stumpvinklede, regulære og ligebenede trekanter. Lad os analysere hver af dem.

Ved side og højde

Denne formel er universel til at finde arealet af den figur, vi overvejer. For at gøre dette er det nok at kende længden af ​​siden og længden af ​​højden trukket til den. Selve formlen (det halve produkt af basen og højden) er som følger:

hvor A er siden af ​​den givne trekant og H er højden af ​​trekanten.

For eksempel, for at finde arealet af en spidsvinklet trekant ACB, skal du gange dens side AB med højden CD og dividere den resulterende værdi med to.

Det er dog ikke altid let at finde arealet af en trekant på denne måde. For at bruge denne formel til en stumpvinklet trekant, skal du for eksempel fortsætte en af ​​dens sider og først derefter tegne en højde til den.

I praksis bruges denne formel oftere end andre.

To sider og et hjørne

Denne formel er ligesom den foregående velegnet til de fleste trekanter og er i sin betydning en konsekvens af formlen til at finde arealet ved siden og højden af ​​en trekant. Det vil sige, at den pågældende formel let kan udledes fra den foregående. Dens ordlyd ser således ud:

S = ½*sinO*A*B,

hvor A og B er siderne i trekanten og O er vinklen mellem siderne A og B.

Husk, at sinus af en vinkel kan ses i en speciel tabel opkaldt efter den fremragende sovjetiske matematiker V. M. Bradis.

Og lad os nu gå videre til andre formler, der kun er egnede til ekstraordinære typer trekanter.

Arealet af en retvinklet trekant

Ud over den universelle formel, som inkluderer behovet for at tegne en højde i en trekant, kan området af en trekant, der indeholder en ret vinkel, findes fra dens ben.

Så arealet af en trekant, der indeholder en ret vinkel, er halvdelen af ​​produktet af dens ben, eller:

hvor a og b er benene i en retvinklet trekant.

retvinklet trekant

Denne type geometriske figurer er kendetegnet ved, at dens areal kan findes med den angivne værdi af kun en af ​​dens sider (da alle sider af en regulær trekant er ens). Så efter at have mødt opgaven med at "finde arealet af en trekant, når siderne er ens", skal du bruge følgende formel:

S = A 2 *√3 / 4,

hvor A er siden af ​​en ligesidet trekant.

Herons formel

Den sidste mulighed for at finde arealet af en trekant er Herons formel. For at bruge det, skal du kende længderne af figurens tre sider. Herons formel ser sådan ud:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

hvor a, b og c er siderne i den givne trekant.

Nogle gange gives opgaven: "området af en almindelig trekant er at finde længden af ​​dens side." I dette tilfælde skal du bruge formlen, der allerede er kendt af os, til at finde arealet af en regulær trekant og udlede værdien af ​​siden (eller dens kvadrat):

A 2 \u003d 4S / √3.

Eksamensproblemer

Der er mange formler i GIA's opgaver i matematik. Derudover er det ret ofte nødvendigt at finde arealet af en trekant på ternet papir.

I dette tilfælde er det mest bekvemt at tegne højden til en af ​​siderne af figuren, bestemme dens længde ved celler og bruge den universelle formel til at finde området:

Så efter at have studeret formlerne præsenteret i artiklen, vil du ikke have problemer med at finde arealet af en trekant af nogen art.

Areal af en trekant - formler og eksempler på problemløsning

Nedenfor er formler til at finde arealet af en vilkårlig trekant som er egnede til at finde arealet af enhver trekant, uanset dens egenskaber, vinkler eller dimensioner. Formlerne præsenteres i form af et billede, her er forklaringer til anvendelsen eller begrundelse for deres rigtighed. En separat figur viser også overensstemmelsen mellem bogstavsymbolerne i formlerne og de grafiske symboler på tegningen.

Bemærk . Hvis trekanten har specielle egenskaber (ligebenet, rektangulær, ligesidet), kan du bruge formlerne nedenfor, samt yderligere specielle formler, der kun gælder for trekanter med disse egenskaber:

• "Formler for arealet af en ligesidet trekant"

Formler for trekantareal

Forklaringer til formler:
a, b, c- længderne af de sider af trekanten, hvis areal vi ønsker at finde
r- radius af cirklen indskrevet i trekanten
R- radius af den omskrevne cirkel omkring trekanten
h- højden af ​​trekanten, sænket til siden
s- halvperimeter af en trekant, 1/2 summen af ​​dens sider (perimeter)
α - vinklen modsat side a af trekanten
β - vinklen modsat side b af trekanten
γ - vinklen modsat side c af trekanten
h -en, h b , h c- højden af ​​trekanten, sænket til siden a, b, c

Bemærk venligst, at den angivne notation svarer til figuren ovenfor, så når du løser et reelt problem i geometri, ville det være visuelt lettere for dig at erstatte de korrekte værdier på de rigtige steder i formlen.

• Arealet af trekanten er halvdelen af ​​produktet af højden af ​​en trekant og længden af ​​den side, hvor denne højde er sænket(Formel 1). Rigtigheden af ​​denne formel kan forstås logisk. Højden sænket til basen vil opdele en vilkårlig trekant i to rektangulære. Hvis vi færdiggør hver af dem til et rektangel med dimensionerne b og h, så vil arealet af disse trekanter naturligvis være lig med nøjagtig halvdelen af ​​rektanglets areal (Spr = bh)
• Arealet af trekanten er halvdelen af ​​produktet af dens to sider og sinus af vinklen mellem dem(Formel 2) (se et eksempel på løsning af et problem ved hjælp af denne formel nedenfor). På trods af at det virker anderledes end det forrige, kan det nemt omdannes til det. Hvis vi sænker højden fra vinkel B til side b, viser det sig, at produktet af side a og sinus af vinkel γ, ifølge egenskaberne for sinus i en retvinklet trekant, er lig med højden af ​​trekanten tegnet af os, hvilket vil give os den forrige formel
• Arealet af en vilkårlig trekant kan findes igennem arbejde halvdelen af ​​radius af en cirkel indskrevet i den med summen af ​​længderne af alle dens sider(Formel 3), med andre ord, du skal gange trekantens halve omkreds med radius af den indskrevne cirkel (det er nemmere at huske på denne måde)
• Arealet af en vilkårlig trekant kan findes ved at dividere produktet af alle dens sider med 4 radier af cirklen, der er omskrevet omkring den (formel 4)
• Formel 5 er at finde arealet af en trekant i form af længderne af dens sider og dens halvperimeter (halv summen af ​​alle dens sider)
• Herons formel(6) er en repræsentation af den samme formel uden at bruge begrebet en semiperimeter, kun gennem længderne af siderne
• Arealet af en vilkårlig trekant er lig med produktet af kvadratet på siden af ​​trekanten og sinus af vinklerne ved siden af ​​denne side divideret med den dobbelte sinus af vinklen modsat denne side (formel 7)
• Arealet af en vilkårlig trekant kan findes som produktet af to kvadrater af en cirkel, der er omskrevet omkring den, og sinus af hver af dens vinkler. (Formel 8)
• Hvis længden af ​​den ene side og størrelsen af ​​de to vinkler, der støder op til den, er kendt, kan arealet af trekanten findes som kvadratet på denne side, divideret med den dobbelte sum af cotangenserne af disse vinkler (formel 9)
• Hvis kun længden af ​​hver af højderne af en trekant er kendt (formel 10), så er arealet af en sådan trekant omvendt proportional med længderne af disse højder, som ved Herons formel
• Formel 11 giver dig mulighed for at beregne areal af en trekant ifølge koordinaterne af dens hjørner, som er givet som (x;y) værdier for hvert af hjørnerne. Bemærk venligst, at den resulterende værdi skal tages modulo, da koordinaterne for individuelle (eller endda alle) hjørner kan være i området med negative værdier

Bemærk. Følgende er eksempler på løsning af problemer i geometri for at finde arealet af en trekant. Hvis du har brug for at løse et problem inden for geometri, som ligner det ikke er her - skriv om det i forummet. I løsninger kan funktionen sqrt() bruges i stedet for "kvadratrod"-symbolet, hvor sqrt er kvadratrodssymbolet, og det radikale udtryk er angivet i parentes.Nogle gange kan symbolet bruges til simple radikale udtryk √

En opgave. Find området givet to sider og vinklen mellem dem

Trekantens sider er 5 og 6 cm. Vinklen mellem dem er 60 grader. Find arealet af en trekant.

Løsning.

For at løse dette problem bruger vi formel nummer to fra den teoretiske del af lektionen.
Arealet af en trekant kan findes gennem længderne af to sider og sinus af vinklen mellem dem og vil være lig med
S=1/2 ab sin γ

Da vi har alle de nødvendige data til løsningen (ifølge formlen), kan vi kun erstatte værdierne fra problemformuleringen i formlen:
S=1/2*5*6*sin60

I værditabellen for trigonometriske funktioner finder og erstatter vi i udtrykket værdien af ​​sinus 60 grader. Det vil være lig med roden af ​​tre gange to.
S = 15 √3 / 2

Svar: 7,5 √3 (afhængigt af lærerens krav, er det sandsynligvis muligt at lade 15 √3/2 stå)

En opgave. Find arealet af en ligesidet trekant

Find arealet af en ligesidet trekant med en side på 3 cm.

Løsning .

Arealet af en trekant kan findes ved hjælp af Herons formel:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Siden a \u003d b \u003d c, vil formlen for arealet af en ligesidet trekant have formen:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Svar: 9 √3 / 4.

En opgave. Ændring i areal ved ændring af længden af ​​siderne

Hvor mange gange vil arealet af en trekant stige, hvis siderne firdobles?

Løsning.

Da dimensionerne af trekantens sider er ukendte for os, vil vi for at løse problemet antage, at længderne af siderne er henholdsvis lig med vilkårlige tal a, b, c. Så, for at besvare spørgsmålet om problemet, finder vi arealet af denne trekant, og så finder vi arealet af en trekant, hvis sider er fire gange større. Forholdet mellem arealerne af disse trekanter vil give os svaret på problemet.

Dernæst giver vi en tekstmæssig forklaring på løsningen af ​​problemet i trin. Men til allersidst præsenteres den samme løsning i en grafisk form, der er mere bekvem for opfattelsen. De, der ønsker det, kan straks droppe løsningen.

Til at løse bruger vi Heron-formlen (se ovenfor i den teoretiske del af lektionen). Det ser sådan ud:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(se første linje på billedet nedenfor)

Længderne af siderne i en vilkårlig trekant er givet af variablerne a, b, c.
Hvis siderne øges med 4 gange, vil arealet af den nye trekant c være:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(se anden linje på billedet nedenfor)

Som du kan se, er 4 en fælles faktor, der kan sættes i parentes ud af alle fire udtryk i henhold til matematikkens generelle regler.
Derefter

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - på tredje linie af billedet
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - fjerde linje

Fra tallet 256 er kvadratroden perfekt udtrukket, så vi tager den ud under roden
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(se den femte linje i figuren nedenfor)

For at besvare spørgsmålet i problemet er det nok for os at dividere arealet af den resulterende trekant med arealet af den oprindelige.
Vi bestemmer arealforholdene ved at dividere udtrykkene i hinanden og reducere den resulterende fraktion.