Faktoriser stort antal- ikke en nem opgave. De fleste mennesker har problemer med at finde ud af fire- eller femcifrede tal. For at gøre processen nemmere skal du skrive tallet over de to kolonner.

• Lad os faktorisere tallet 6552.

Online lommeregner.
Kvadring af et binomium og faktorisering af det kvadratisk trinomium.

De der. problemerne bunder i at finde tallene \(p, q\) og \(n, m\)

Programmet giver ikke kun svaret på problemet, men viser også løsningsprocessen.

Dette program kan være nyttigt for gymnasieelever gymnasier som forberedelse til tests og eksamener, når de tester viden før Unified State-eksamenen, for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have det gjort så hurtigt som muligt? lektier i matematik eller algebra? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med detaljerede løsninger.

På den måde kan du gennemføre din egen træning og/eller træning af dine yngre brødre eller søstre, samtidig med at uddannelsesniveauet inden for problemløsning stiger.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for at indtaste et kvadratisk trinomium, anbefaler vi, at du sætter dig ind i dem.

Regler for indtastning af et kvadratisk polynomium

Ethvert latinsk bogstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) osv.

Tal kan indtastes som hele eller brøktal.
Desuden kan brøktal indtastes ikke kun i form af en decimal, men også i form af en almindelig brøk.

Regler for indtastning af decimalbrøker.
I decimalbrøker kan brøkdelen adskilles fra hele delen med enten et punktum eller et komma.
Du kan f.eks. indtaste decimaler sådan her: 2,5x - 3,5x^2

Regler for indtastning af almindelige brøker.
Kun et helt tal kan fungere som tæller, nævner og heltals del af en brøk.

Nævneren kan ikke være negativ.

Når du indtaster en numerisk brøk, er tælleren adskilt fra nævneren med et divisionstegn: /
Hele delen er adskilt fra brøken med et-tegnet: &
Input: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Når du indtaster et udtryk du kan bruge parenteser. I dette tilfælde forenkles først det introducerede udtryk ved løsning.
For eksempel: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Eksempel detaljeret løsning

Isolering af kvadratet af et binomial.$$ ax^2+bx+c \højrepil a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\venstre (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\venstre(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Svar:$$2x^2+2x-4 = 2\venstre(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorisering.$$ ax^2+bx+c \højrepil a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\venstre(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$ Svar:$$2x^2+2x-4 = 2 \venstre(x -1 \højre) \venstre(x +2 \højre) $$

Det blev opdaget, at nogle scripts, der er nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Du har muligvis AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er blevet sat i kø.
Om få sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i løsningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Isolering af kvadratet af et binomium fra et kvadratisk trinomium

Hvis den kvadratiske trinomiale akse 2 +bx+c er repræsenteret som a(x+p) 2 +q, hvor p og q er reelle tal, så siger vi, at fra kvadrat trinomial, er kvadratet af binomialet fremhævet.

Fra trinomialet 2x 2 +12x+14 udtrækker vi kvadratet af binomialet.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

For at gøre dette skal du forestille dig 6x som et produkt af 2*3*x og derefter addere og trække 3 2 fra. Vi får:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

At. Vi udtræk kvadrat-binomialet fra kvadrattrinomialet og viste at:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktorering af et kvadratisk trinomium

Hvis den kvadratiske trinomiale akse 2 +bx+c er repræsenteret i formen a(x+n)(x+m), hvor n og m er reelle tal, så siges operationen at være udført faktorisering af et kvadratisk trinomium.

Lad os vise med et eksempel, hvordan denne transformation udføres.

Lad os faktorisere det kvadratiske trinomium 2x 2 +4x-6.

Lad os tage koefficienten a ud af parentes, dvs. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Lad os omdanne udtrykket i parentes.
For at gøre dette skal du forestille dig 2x som forskellen 3x-1x og -3 som -1*3. Vi får:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

At. Vi faktoriserede det kvadratiske trinomium og viste at:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Bemærk, at faktorisering af et kvadratisk trinomium kun er muligt, når andengradsligning, svarende til dette trinomium har rødder.
De der. i vores tilfælde er det muligt at faktorisere trinomiet 2x 2 +4x-6, hvis andengradsligningen 2x 2 +4x-6 =0 har rødder. I faktoriseringsprocessen konstaterede vi, at ligningen 2x 2 + 4x-6 = 0 har to rødder 1 og -3, fordi med disse værdier bliver ligningen 2(x-1)(x+3)=0 til en sand lighed.

Hvad betyder factoring? Det betyder at finde tal, hvis produkt er lig med det oprindelige tal.

For at forstå, hvad det vil sige at faktorisere, lad os se på et eksempel.

Et eksempel på faktorisering af et tal

Faktor tallet 8.

Tallet 8 kan repræsenteres som et produkt af 2 gange 4:

At repræsentere 8 som et produkt af 2 * 4 betyder faktorisering.

Bemærk, at dette ikke er den eneste faktorisering af 8.

Når alt kommer til alt er 4 faktoriseret sådan:

Herfra kan 8 være repræsenteret:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Lad os tjekke vores svar. Lad os finde ud af, hvad faktoriseringen er lig med:

Det vil sige, at vi fik det oprindelige nummer, svaret er korrekt.

Faktor tallet 24 i primfaktorer

Hvordan indregnes tallet 24 i primfaktorer?

Et tal kaldes primtal, hvis det kun er deleligt med et og sig selv.

Tallet 8 kan repræsenteres som produktet af 3 gange 8:

Her er tallet 24 faktoriseret. Men opgaven siger "faktor tallet 24 i primfaktorer", dvs. Det er de primære faktorer, der skal til. Og i vores udvidelse er 3 en primtal faktor, og 8 er ikke en prime faktor.

Denne artikel giver svar på spørgsmålet om faktorisering af et tal på et ark. Lad os overveje generel idé om nedbrydning med eksempler. Lad os analysere den kanoniske form for udvidelsen og dens algoritme. Alle alternative metoder vil blive overvejet ved hjælp af delelighedstegn og multiplikationstabeller.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hvad vil det sige at indregne et tal i primfaktorer?

Lad os se på begrebet primære faktorer. Det er kendt, at hver primfaktor er et primtal. I et produkt af formen 2 · 7 · 7 · 23 har vi, at vi har 4 primfaktorer i formen 2, 7, 7, 23.

Faktorisering involverer dens repræsentation i form af produkter af primtal. Hvis vi skal dekomponere tallet 30, får vi 2, 3, 5. Indtastningen vil have formen 30 = 2 · 3 · 5. Det er muligt, at multiplikatorerne kan gentages. Et tal som 144 har 144 = 2 2 2 2 3 3.

Ikke alle tal er tilbøjelige til at forfalde. Tal, der er større end 1 og er heltal, kan faktoriseres. Primtal, når de faktoriseres, er kun delelige med 1 og sig selv, så det er umuligt at repræsentere disse tal som et produkt.

Når z refererer til heltal, er det repræsenteret som et produkt af a og b, hvor z er divideret med a og b. Sammensatte tal indregnes i primtal ved hjælp af aritmetikkens grundsætning. Hvis tallet er større end 1, så er dets faktorisering p 1, p 2, ..., p n har formen a = p 1 , p 2 , … , p n . Nedbrydningen antages at være i en enkelt variant.

Kanonisk faktorisering af et tal til primfaktorer

Under ekspansion kan faktorer gentages. De er skrevet kompakt ved hjælp af grader. Hvis vi ved nedbrydning af tallet a har en faktor p 1, som forekommer s 1 gange og så videre p n – s n gange. Udvidelsen vil således tage form a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Denne post kaldes den kanoniske faktorisering af et tal til primfaktorer.

Når vi udvider tallet 609840, får vi, at 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, vil dets kanoniske form være 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Ved at bruge kanonisk udvidelse kan du finde alle divisorerne for et tal og deres tal.

For at faktorisere korrekt skal du have en forståelse af primtal og sammensatte tal. Pointen er at opnå et sekventielt antal divisorer af formen p 1, p 2, ..., p n tal a , a 1 , a 2 , … , a n - 1, dette gør det muligt at få a = p 1 a 1, hvor a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , hvor a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · a n , hvor a n = a n - 1: p n. Ved modtagelse a n = 1, så ligestillingen a = p 1 · p 2 · … · p n vi opnår den nødvendige nedbrydning af tallet a til primfaktorer. Læg mærke til det p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

For at finde mindst fælles faktorer skal du bruge en tabel med primtal. Dette gøres ved at bruge eksemplet med at finde den mindste prim-divisor af tallet z. Når man tager primtallene 2, 3, 5, 11 og så videre, og dividerer tallet z med dem. Da z ikke er et primtal, skal det tages i betragtning, at den mindste primdivisor ikke vil være større end z. Det kan ses, at der ikke er nogen divisorer af z, så er det klart, at z er et primtal.

Eksempel 1

Lad os se på eksemplet med tallet 87. Når det divideres med 2, har vi 87: 2 = 43 med en rest på 1. Det følger heraf, at 2 ikke kan være en divisor helt og holdent. Når vi dividerer med 3, får vi 87:3 = 29. Derfor er konklusionen, at 3 er den mindste prim-divisor af tallet 87.

Når du faktoriserer til primtal, skal du bruge en tabel med primtal, hvor en. Når du faktoriserer 95, skal du bruge omkring 10 primtal, og når du faktoriserer 846653, omkring 1000.

Lad os overveje nedbrydningsalgoritmen i prime faktorer:

• at finde den mindste faktor af divisor p 1 af et tal -en ved formlen a 1 = a: p 1, når a 1 = 1, så er a et primtal og indgår i faktoriseringen, når det ikke er lig med 1, så er a = p 1 · a 1 og følg til punktet nedenfor;
• at finde primdivisoren p 2 af et tal a 1 ved sekventielt at optælle primtal ved hjælp af a 2 = a 1: p 2 , når a 2 = 1 , så vil udvidelsen tage formen a = p 1 p 2 , når a 2 = 1, så er a = p 1 p 2 a 2 , og vi går videre til næste trin;
• søge gennem primtal og finde en primtal divisor s 3 tal en 2 ifølge formlen a 3 = a 2: p 3 når a 3 = 1 , så får vi at a = p 1 p 2 p 3 , når det ikke er lig med 1, så er a = p 1 p 2 p 3 a 3 og gå videre til næste trin;
• primtalsdivisoren findes p n tal en n - 1 ved at optælle primtal med pn - 1, og a n = a n - 1: p n, hvor a n = 1, er trinnet endeligt, som et resultat får vi, at a = p 1 · p 2 · … · p n .

Resultatet af algoritmen skrives i form af en tabel med de dekomponerede faktorer med en lodret streg sekventielt i en kolonne. Overvej figuren nedenfor.

Den resulterende algoritme kan anvendes ved at dekomponere tal i primfaktorer.

Ved indregning i primfaktorer skal den grundlæggende algoritme følges.

Eksempel 2

Faktor tallet 78 i primfaktorer.

Løsning

For at finde den mindste primtaller skal du gennemgå alle primtallene i 78. Det vil sige 78:2 = 39. Division uden rest betyder, at dette er den første simple divisor, som vi betegner som p 1. Vi får, at a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Vi nåede frem til en lighed af formen a = p 1 · a 1 , hvor 78 = 2 39. Så er en 1 = 39, det vil sige, vi skal gå videre til næste trin.

Lad os fokusere på at finde den primære divisor s2 tal a 1 = 39. Du skal gennemgå primtallene, det vil sige 39: 2 = 19 (resterende 1). Da division med en rest er 2 ikke en divisor. Når vi vælger tallet 3, får vi at 39: 3 = 13. Det betyder, at p 2 = 3 er den mindste primtalsdivisor af 39 med a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Vi opnår en lighed af formen a = p 1 p 2 a 2 i formen 78 = 2 3 13. Vi har, at en 2 = 13 ikke er lig med 1, så skal vi gå videre.

Den mindste primtalsdivisor af tallet a 2 = 13 findes ved at søge gennem tal, begyndende med 3. Vi får 13:3 = 4 (resterende 1). Heraf kan vi se, at 13 ikke er deleligt med 5, 7, 11, fordi 13: 5 = 2 (rest. 3), 13: 7 = 1 (rest. 6) og 13: 11 = 1 (rest. 2). . Det kan ses, at 13 er et primtal. Ifølge formlen ser det sådan ud: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Vi fandt ud af, at a 3 = 1, hvilket betyder færdiggørelsen af ​​algoritmen. Nu skrives faktorerne som 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Svar: 78 = 2 3 13.

Eksempel 3

Faktor tallet 83.006 i primfaktorer.

Løsning

Det første trin involverer factoring p 1 = 2 Og a 1 = a: p 1 = 83.006: 2 = 41.503, hvor 83.006 = 2 · 41.503.

Det andet trin antager, at 2, 3 og 5 ikke er prim-divisorer for tallet a 1 = 41.503, men 7 er en prim-divisor, fordi 41.503: 7 = 5.929. Vi får, at p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41.503: 7 = 5.929. Det er klart, 83.006 = 2 7 5 929.

At finde den mindste prim-divisor af p 4 til tallet a 3 = 847 er 7. Det kan ses, at a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, så 83 006 = 2 7 7 7 121.

For at finde primtalsdivisoren for tallet a 4 = 121 bruger vi tallet 11, det vil sige p 5 = 11. Så får vi et udtryk for formen a 5 = a 4: p 5 = 121: 11 = 11 og 83.006 = 2 7 7 7 11 11.

For nummer a 5 = 11 nummer p 6 = 11 er den mindste primtalsdeler. Derfor a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Så er en 6 = 1. Dette indikerer færdiggørelsen af ​​algoritmen. Faktorerne vil blive skrevet som 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Den kanoniske notation af svaret vil have formen 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Svar: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Eksempel 4

Faktor tallet 897.924.289.

Løsning

For at finde den første primfaktor, søg gennem primtallene, startende med 2. Slutningen af ​​søgningen sker ved nummeret 937. Så p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 og 897 924 289 = 937 958 297.

Det andet trin i algoritmen er at iterere over mindre primtal. Det vil sige, vi starter med tallet 937. Tallet 967 kan betragtes som primtal, fordi det er en primtalsdivisor af tallet a 1 = 958.297. Herfra får vi at p 2 = 967, derefter a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 og 897 924 289 = 937 967 991.

Det tredje trin siger, at 991 er et primtal, da det ikke har en enkelt primfaktor, der ikke overstiger 991. Den omtrentlige værdi af det radikale udtryk er 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Dette viser, at p 3 = 991 og a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Vi finder, at dekomponeringen af ​​tallet 897 924 289 til primfaktorer opnås som 897 924 289 = 937 967 991.

Svar: 897 924 289 = 937 967 991.

Brug af delelighedstest til primfaktorisering

For at indregne et tal i primfaktorer skal du følge en algoritme. Når der er små tal, er det tilladt at bruge multiplikationstabellen og delelighedstegn. Lad os se på dette med eksempler.

Eksempel 5

Hvis det er nødvendigt at faktorisere 10, viser tabellen: 2 · 5 = 10. De resulterende tal 2 og 5 er primtal, så de er primtal for tallet 10.

Eksempel 6

Hvis det er nødvendigt at dekomponere tallet 48, viser tabellen: 48 = 6 8. Men 6 og 8 er ikke primfaktorer, da de også kan udvides som 6 = 2 3 og 8 = 2 4. Så opnås den komplette udvidelse herfra som 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Den kanoniske notation vil have formen 48 = 2 4 · 3.

Eksempel 7

Når du dekomponerer tallet 3400, kan du bruge tegnene på delelighed. I dette tilfælde er tegnene på delelighed med 10 og 100 relevante. Herfra får vi at 3.400 = 34 · 100, hvor 100 kan divideres med 10, altså skrives som 100 = 10 · 10, hvilket betyder at 3.400 = 34 · 10 · 10. Baseret på delelighedstesten finder vi, at 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Alle faktorer er primære. Den kanoniske udvidelse tager form 3 400 = 2 3 5 2 17.

Når vi finder primfaktorer, skal vi bruge delelighedstest og multiplikationstabeller. Hvis du forestiller dig tallet 75 som et produkt af faktorer, skal du tage hensyn til reglen om delelighed med 5. Vi får at 75 = 5 15 og 15 = 3 5. Det vil sige, at den ønskede udvidelse er et eksempel på produktets form 75 = 5 · 3 · 5.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

I denne artikel finder du alle de nødvendige oplysninger til at besvare spørgsmålet, hvordan man indregner et tal i primfaktorer. Først gives en generel idé om nedbrydningen af ​​et tal i primfaktorer, og der gives eksempler på nedbrydninger. Det følgende viser den kanoniske form for nedbrydning af et tal i primfaktorer. Herefter gives en algoritme til at dekomponere vilkårlige tal i primfaktorer, og der gives eksempler på dekomponering af tal ved brug af denne algoritme. Alternative metoder overvejes også, som giver dig mulighed for hurtigt at faktorisere små heltal til primfaktorer ved hjælp af delelighedstest og multiplikationstabeller.

Sidenavigation.

Hvad vil det sige at indregne et tal i primfaktorer?

Lad os først se på, hvad de primære faktorer er.

Det er klart, at da ordet "faktorer" er til stede i denne sætning, så er der et produkt af nogle tal, og det kvalificerende ord "simpelt" betyder, at hver faktor er et primtal. For eksempel er der i et produkt af formen 2·7·7·23 fire primfaktorer: 2, 7, 7 og 23.

Hvad vil det sige at indregne et tal i primfaktorer?

Det betyder, at dette tal skal repræsenteres som et produkt af primfaktorer, og værdien af ​​dette produkt skal være lig med det oprindelige tal. Tag som et eksempel produktet af tre primtal 2, 3 og 5, det er lig med 30, således er nedbrydningen af ​​tallet 30 i primtal 2·3·5. Normalt skrives nedbrydningen af ​​et tal til primfaktorer som en lighed i vores eksempel vil det være sådan: 30=2·3·5. Vi understreger særskilt, at primære faktorer i udvidelsen kan gentages. Dette er tydeligt illustreret af følgende eksempel: 144=2·2·2·2·3·3. Men en repræsentation af formen 45=3·15 er ikke en dekomponering i primfaktorer, da tallet 15 er et sammensat tal.

Opstår næste spørgsmål: "Hvilke tal kan faktoriseres til primfaktorer?"

I søgen efter et svar på det præsenterer vi følgende ræsonnement. Primtal er pr. definition blandt dem, der er større end et. Under hensyntagen til denne kendsgerning og , kan det hævdes, at produktet af flere primfaktorer er et heltal positivt tal, der overstiger én. Derfor finder faktorisering kun sted for positive heltal, der er større end 1.

Men kan alle heltal større end et indregnes i primfaktorer?

Det er klart, at det ikke er muligt at indregne simple heltal i primfaktorer. Det skyldes, at primtal kun har to positive faktorer - en og sig selv, så de kan ikke repræsenteres som produktet af to eller flere primtal. Hvis hele tallet z kunne repræsenteres som produktet af primtal a og b, så ville delelighedsbegrebet tillade os at konkludere, at z er deleligt med både a og b, hvilket er umuligt på grund af tallet zs enkelhed. De mener dog, at ethvert primtal i sig selv er en nedbrydning.

Hvad med sammensatte tal? Er sammensatte tal nedbrudt i primfaktorer, og er alle sammensatte tal udsat for en sådan nedbrydning? Den grundlæggende aritmetiske sætning giver et bekræftende svar på en række af disse spørgsmål. Aritmetikkens grundsætning siger, at ethvert heltal a, der er større end 1, kan dekomponeres til produktet af primfaktorer p 1, p 2, ..., p n, og dekomponeringen har formen a = p 1 · p 2 · … · p n, og denne udvidelse er unik, hvis man ikke tager hensyn til rækkefølgen af ​​faktorerne

Kanonisk faktorisering af et tal til primfaktorer

I udvidelsen af ​​et tal kan primfaktorer gentages. Gentagelse af primtalsfaktorer kan skrives mere kompakt ved hjælp af . Lad i dekomponeringen af ​​et tal primfaktoren p 1 forekomme s 1 gange, primfaktoren p 2 – s 2 gange, og så videre, p n – s n gange. Så kan primfaktoriseringen af ​​tallet a skrives som a=p 1 s 1 · p 2 s 2 ·…·p n s n. Denne form for optagelse er den såkaldte kanonisk faktorisering af et tal til primfaktorer.

Lad os give et eksempel på den kanoniske dekomponering af et tal i primfaktorer. Lad os vide nedbrydningen 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, dens kanoniske notation har formen 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Den kanoniske faktorisering af et tal til primfaktorer giver dig mulighed for at finde alle tallets divisorer og antallet af divisorer af tallet.

Algoritme til faktorisering af et tal i primfaktorer

For at kunne klare opgaven med at nedbryde et tal i primtal skal du have et meget godt kendskab til informationen i artiklens primtal og sammensatte tal.

Essensen af ​​processen med at nedbryde et positivt heltal a, der overstiger et, er klart fra beviset for aritmetikkens grundlæggende sætning. Pointen er sekventielt at finde de mindste primdivisorer p 1, p 2, ..., p n af tallene a, a 1, a 2, ..., a n-1, hvilket giver os mulighed for at opnå en række ligheder a=p 1 ·a 1, hvor a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, hvor a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n, hvor a n =a n-1:p n . Når det viser sig a n =1, så vil ligheden a=p 1 ·p 2 ·…·p n give os den ønskede dekomponering af tallet a i primfaktorer. Det skal også her bemærkes p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Det er tilbage at finde ud af, hvordan man finder de mindste primfaktorer på hvert trin, og vi vil have en algoritme til at dekomponere et tal i primfaktorer. En tabel med primtal vil hjælpe os med at finde primfaktorer. Lad os vise, hvordan man bruger det til at opnå den mindste prim-divisor af tallet z.

Vi tager sekventielt primtal fra tabellen med primtal (2, 3, 5, 7, 11 og så videre) og dividerer det givne tal z med dem. Det første primtal, som z er ligeligt divideret med, vil være dets mindste primtal. Hvis tallet z er primtal, så vil dets mindste primtal divisor være selve tallet z. Det skal huskes her, at hvis z ikke er et primtal, så overstiger dens mindste primtal ikke tallet , hvor er fra z. Hvis der således blandt primtallene, der ikke overstiger , var en enkelt divisor af tallet z, så kan vi konkludere, at z er et primtal (mere om dette er skrevet i teoriafsnittet under overskriften Dette tal er primtal eller sammensat ).

Som et eksempel vil vi vise, hvordan man finder den mindste prim-divisor af tallet 87. Lad os tage nummer 2. Divider 87 med 2, vi får 87:2=43 (resterende 1) (se evt. artiklen). Det vil sige, at når man dividerer 87 med 2, er resten 1, så 2 er ikke en divisor af tallet 87. Vi tager det næste primtal fra primtalstabellen, dette er tallet 3. Divider 87 med 3, vi får 87:3=29. Således er 87 deleligt med 3, derfor er tallet 3 den mindste prime divisor af tallet 87.

Bemærk, at i det generelle tilfælde, for at faktorisere tallet a til primtal, har vi brug for en tabel med primtal op til et tal ikke mindre end . Vi bliver nødt til at henvise til denne tabel ved hvert trin, så vi skal have den ved hånden. For eksempel, for at faktorisere tallet 95 til primtal, behøver vi kun en tabel med primtal op til 10 (da 10 er større end ). Og for at dekomponere tallet 846.653 skal du allerede have en tabel med primtal op til 1.000 (da 1.000 er større end ).

Vi har nu nok information til at skrive ned algoritme til at faktorisere et tal i primfaktorer. Algoritmen til at dekomponere tallet a er som følger:

• Ved at sortere sekventielt gennem tallene fra primtalstabellen finder vi den mindste prim-divisor p 1 af tallet a, hvorefter vi beregner a 1 =a:p 1. Hvis a 1 =1, så er tallet a primtal, og det er selv dets nedbrydning i primfaktorer. Hvis a 1 ikke er lig med 1, så har vi a=p 1 ·a 1 og går videre til næste trin.
• Vi finder den mindste primtalsdivisor p 2 af tallet a 1 , for at gøre dette sorterer vi sekventielt gennem tallene fra tabellen med primtal, startende med p 1 , og beregner derefter a 2 =a 1:p 2 . Hvis a 2 =1, så har den nødvendige dekomponering af tallet a til primfaktorer formen a=p 1 ·p 2. Hvis a 2 ikke er lig med 1, så har vi a=p 1 ·p 2 ·a 2 og går videre til næste trin.
• Går vi gennem tallene fra primtalstabellen, startende med p 2, finder vi den mindste prim-divisor p 3 af tallet a 2, hvorefter vi beregner a 3 =a 2:p 3. Hvis a 3 =1, så har den nødvendige dekomponering af tallet a til primfaktorer formen a=p 1 ·p 2 ·p 3. Hvis en 3 ikke er lig med 1, så har vi a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 og går videre til næste trin.
• Vi finder den mindste prim-divisor p n af tallet a n-1 ved at sortere gennem primtallene, begyndende med p n-1, samt a n =a n-1:p n, og a n er lig med 1. Dette trin er det sidste trin i algoritmen; her opnår vi den nødvendige dekomponering af tallet a til primfaktorer: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

For klarhedens skyld præsenteres alle resultater opnået ved hvert trin i algoritmen til at dekomponere et tal i primfaktorer i form af følgende tabel, hvor tallene a, a 1, a 2, ..., a n er skrevet sekventielt i en kolonne til venstre for den lodrette linje, og til højre for linjen - de tilsvarende mindste primtal divisorer p 1, p 2, ..., p n.

Tilbage er blot at overveje nogle få eksempler på anvendelsen af ​​den resulterende algoritme til at dekomponere tal i primfaktorer.

Eksempler på primfaktorisering

Nu vil vi se i detaljer eksempler på faktorisering af tal til primfaktorer. Ved nedbrydning vil vi bruge algoritmen fra forrige afsnit. Lad os starte med simple tilfælde og gradvist komplicere dem for at støde på alle de mulige nuancer, der opstår, når man dekomponerer tal i primfaktorer.

Eksempel.

Faktor tallet 78 ind i dets primfaktorer.

Løsning.

Vi begynder søgningen efter den første mindste primtal divisor p 1 af tallet a=78. For at gøre dette begynder vi sekventielt at sortere gennem primtal fra tabellen med primtal. Vi tager tallet 2 og dividerer 78 med det, vi får 78:2=39. Tallet 78 divideres med 2 uden en rest, så p 1 =2 er den først fundne prim-divisor af tallet 78. I dette tilfælde er a1 =a:p1 =78:2=39. Så vi kommer til ligheden a=p 1 ·a 1 med formen 78=2·39. Det er klart, at en 1 =39 er forskellig fra 1, så vi går videre til det andet trin i algoritmen.

Nu leder vi efter den mindste prim-divisor p 2 af tallet a 1 =39. Vi begynder at optælle tal fra tabellen med primtal, startende med p 1 =2. Divider 39 med 2, vi får 39:2=19 (resterende 1). Da 39 ikke er ligeligt deleligt med 2, så er 2 ikke dens divisor. Så tager vi det næste tal fra primtalstabellen (nummer 3) og dividerer 39 med det, vi får 39:3=13. Derfor er p 2 =3 den mindste prim-divisor af tallet 39, mens a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Vi har ligheden a=p 1 ·p 2 ·a 2 i formen 78=2·3·13. Da en 2 =13 er forskellig fra 1, går vi videre til næste trin i algoritmen.

Her skal vi finde den mindste prim-divisor af tallet a 2 =13. På jagt efter den mindste primtalsdivisor p 3 af tallet 13, vil vi sekventielt sortere gennem tallene fra tabellen med primtal, begyndende med p 2 =3. Tallet 13 er ikke deleligt med 3, da 13:3=4 (rest. 1), også 13 er ikke deleligt med 5, 7 og 11, da 13:5=2 (rest. 3), 13:7=1 (rest. 6) og 13:11=1 (rest. 2). Det næste primtal er 13, og 13 er deleligt med det uden en rest, derfor er den mindste primtaller p 3 af 13 selve tallet 13, og a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Da a 3 =1 er dette trin i algoritmen det sidste, og den nødvendige dekomponering af tallet 78 i primfaktorer har formen 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Svar:

78=2·3·13.

Eksempel.

Udtryk tallet 83.006 som et produkt af primfaktorer.

Løsning.

Ved det første trin i algoritmen til at dekomponere et tal i primfaktorer finder vi p 1 =2 og a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, hvoraf 83,006=2·41,503.

På andet trin finder vi ud af, at 2, 3 og 5 ikke er primdivisorer af tallet a 1 =41.503, men tallet 7 er, da 41.503:7=5.929. Vi har p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41.503:7=5.929. Således 83.006=2 7 5 929.

Den mindste primtalsdivisor af tallet a 2 =5 929 er tallet 7, da 5 929:7 = 847. Således er p3 =7, a3 =a 2:p3 =5 929:7 = 847, hvoraf 83 006 = 2·7·7·847.

Dernæst finder vi, at den mindste prim-divisor p 4 af tallet a 3 =847 er lig med 7. Så a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, så 83 006=2·7·7·7·121.

Nu finder vi den mindste prim-divisor af tallet a 4 =121, det er tallet p 5 =11 (da 121 er deleligt med 11 og ikke deleligt med 7). Derefter a5 =a 4:p5 =121:11=11 og 83 006=2·7·7·7·11·11.

Endelig er den mindste prim-divisor af tallet a 5 =11 tallet p 6 =11. Derefter a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Da en 6 =1, er dette trin i algoritmen til at dekomponere et tal i primfaktorer det sidste, og den ønskede dekomponering har formen 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Det opnåede resultat kan skrives som den kanoniske dekomponering af tallet i primfaktorer 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Svar:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 er et primtal. Faktisk har den ikke en enkelt primtal divisor, der ikke overstiger ( kan groft estimeres som , da det er indlysende, at 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Svar:

897 924 289=937·967·991.

Brug af delelighedstest til primfaktorisering

I simple tilfælde kan du dekomponere et tal i primfaktorer uden at bruge dekomponeringsalgoritmen fra første afsnit i denne artikel. Hvis tallene ikke er store, er det ofte nok at kende tegnene på delelighed for at nedbryde dem i primfaktorer. Lad os give eksempler til afklaring.

For eksempel skal vi indregne tallet 10 i primfaktorer. Fra multiplikationstabellen ved vi, at 2·5=10, og tallene 2 og 5 åbenbart er primtal, så primtalsfaktoriseringen af ​​tallet 10 ser ud som 10=2·5.

Et andet eksempel. Ved hjælp af multiplikationstabellen vil vi indregne tallet 48 i primfaktorer. Vi ved, at seks er otte - otteogfyrre, det vil sige 48 = 6·8. Hverken 6 eller 8 er dog primtal. Men vi ved, at to gange tre er seks, og to gange fire er otte, det vil sige 6=2·3 og 8=2·4. Derefter 48=6·8=2·3·2·4. Det er tilbage at huske, at to og to er fire, så får vi den ønskede dekomponering i primfaktorer 48 = 2·3·2·2·2. Lad os skrive denne udvidelse i kanonisk form: 48=2 4 ·3.

Men når du indregner tallet 3.400 i primfaktorer, kan du bruge delelighedskriterierne. Tegnene for delelighed med 10, 100 giver os mulighed for at sige, at 3400 er deleligt med 100, med 3400=34·100, og 100 er deleligt med 10, med 100=10·10, derfor 3400=34·10·10. Og ud fra testen af ​​delelighed med 2 kan vi sige, at hver af faktorerne 34, 10 og 10 er delelig med 2, får vi 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Alle faktorer i den resulterende udvidelse er enkle, så denne udvidelse er den ønskede. Tilbage er blot at omarrangere faktorerne, så de går i stigende rækkefølge: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Lad os også nedskrive den kanoniske dekomponering af dette tal i primfaktorer: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Når du dekomponerer et givet tal i primfaktorer, kan du til gengæld bruge både delelighedstegnene og multiplikationstabellen. Lad os forestille os tallet 75 som et produkt af primfaktorer. Testen af ​​delelighed med 5 giver os mulighed for at fastslå, at 75 er deleligt med 5, og vi opnår, at 75 = 5·15. Og fra multiplikationstabellen ved vi, at 15=3·5, derfor 75=5·3·5. Dette er den nødvendige nedbrydning af tallet 75 til primfaktorer.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. og andre. 6. klasse: lærebog for almene uddannelsesinstitutioner.
• Vinogradov I.M. Grundlæggende om talteori.
• Mikhelovich Sh.H. Talteori.
• Kulikov L.Ya. og andre Opgavesamling i algebra og talteori: Lærebog for studerende i fysik og matematik. pædagogiske institutters specialer.