Et minustegn giver et minustegn. Minus handlinger

"Min fjendes fjende er min ven."

Minus og plus er tegn på negative og positive tal i matematik. De interagerer med sig selv på forskellige måder, så når du udfører handlinger med tal, for eksempel division, multiplikation, subtraktion, addition osv., skal du tage højde for regler for tegn... Uden disse regler vil du aldrig være i stand til at løse selv det simpleste algebraiske eller geometriske problem. Uden at kende disse regler vil du ikke være i stand til at studere ikke kun matematik, men også fysik, kemi, biologi og endda geografi.

Lad os se nærmere på de grundlæggende regler for tegn.

Division.

Hvis vi dividerer "plus" med "minus", så får vi altid "minus". Hvis vi dividerer "minus" med "plus", så får vi også altid "minus". Hvis vi dividerer plus med plus, får vi plus. Hvis vi dividerer "minus" med "minus", så får vi mærkeligt nok også "plus".

Multiplikation.

Hvis vi gange minus med plus, får vi altid minus. Hvis vi gange "plus" med "minus", så får vi også altid "minus". Hvis vi gange "plus" med "plus", så får vi et positivt tal, det vil sige "plus". Det samme gælder for to negative tal. Hvis vi gange minus med minus, får vi plus.

Subtraktion og addition.

De er allerede baseret på andre principper. Hvis det negative tal er større i absolut værdi end vores positive, så vil resultatet selvfølgelig være negativt. Du undrer dig helt sikkert over, hvad et modul er, og hvorfor det overhovedet er her. Alt er meget enkelt. Modulus er værdien af ​​et tal, men uden fortegn. For eksempel -7 og 3. Modulo -7 vil kun være 7, og 3 vil forblive 3. Som et resultat ser vi, at 7 er større, det vil sige, at det viser sig, at vores negative tal er større. Så det vil komme ud -7 + 3 = -4. Det kan gøres endnu nemmere. Bare indsæt et positivt tal i første omgang, og det vil komme ud 3-7 = -4, måske er det mere forståeligt for nogen. Subtraktion fungerer fuldstændig efter samme princip.

To negativer giver en bekræftende- dette er en regel, som vi lærte i skolen og anvender hele vores liv. Hvem af os var interesseret i hvorfor? Selvfølgelig er det lettere at huske denne erklæring uden unødvendige spørgsmål og ikke at dykke dybt ned i essensen af ​​problemet. Nu, og uden det, er der nok information, der skal "fordøjes". Men for dem, der stadig er interesserede i dette spørgsmål, vil vi forsøge at give en forklaring på dette matematiske fænomen.

Siden oldtiden har folk brugt positive naturlige tal: 1, 2, 3, 4, 5, ... Tallene blev brugt til at tælle husdyr, afgrøder, fjender osv. Når man tilføjede og multiplicerede to positive tal, blev der altid opnået et positivt tal, når man dividerede nogle værdier med andre, blev naturlige tal ikke altid opnået - sådan fremstod brøktal. Hvad med subtraktion? Fra barndommen ved vi, at det er bedre at lægge mindre til de større og trække de mindre fra de større, mens vi igen ikke bruger negative tal. Det viser sig, at hvis jeg har 10 æbler, kan jeg kun give nogen mindre end 10 eller 10. Jeg kan ikke give 13 æbler, fordi jeg ikke har dem. Der har ikke været behov for negative tal i lang tid.

Først fra det 7. århundrede e.Kr. negative tal blev brugt i nogle tællesystemer som hjælpeværdier, der gjorde det muligt for dig at få et positivt tal i svaret.

Lad os overveje et eksempel, 6x - 30 = 3x - 9. For at finde svaret er det nødvendigt at efterlade termerne med ukendte i venstre side, og resten - til højre: 6x - 3x = 30 - 9, 3x = 21, x = 7. Når vi løser denne ligning, blev vi selv ingen negative tal stødt på. Vi kunne flytte led med ukendte til højre, og uden ukendte - til venstre: 9 - 30 = 3x - 6x, (-21) = (-3x). Når vi dividerer et negativt tal med negativt, får vi et positivt svar: x = 7.

Hvad ser vi?

Handlinger, der bruger negative tal, bør føre os til det samme svar som handlinger, der kun bruger positive tal. Vi kan ikke længere tænke på den praktiske nytteløshed og meningsfuldhed af handlinger – de hjælper os med at løse problemet meget hurtigere, uden at reducere ligningen til en form med kun positive tal. I vores eksempel brugte vi ikke komplekse beregninger, men med et stort antal led kan beregninger med negative tal gøre vores arbejde lettere.

Over tid, efter langsigtede eksperimenter og beregninger, var det muligt at identificere de regler, der adlyder alle tal og handlinger på dem (i matematik kaldes de aksiomer). Herfra kom et aksiom, der siger, at når to negative tal ganges, får vi positive.

www.site, med hel eller delvis kopiering af materialet, et link til kilden er påkrævet.

Når de lytter til en matematiklærer, tager de fleste elever materialet som et aksiom. Samtidig er det de færreste, der forsøger at komme til bunds og finde ud af, hvorfor "minus" ved "plus" giver et "minus"-tegn, og når to negative tal ganges, kommer der et positivt.

Matematikkens love

De fleste voksne er ikke i stand til at forklare sig selv eller deres børn, hvorfor det er sådan. De lærte bestemt dette materiale i skolen, men forsøgte ikke engang at finde ud af, hvor disse regler kom fra. Men forgæves. Ofte er moderne børn ikke så tillidsfulde, de skal komme til bunds i sagen og forstå, for eksempel, hvorfor "plus" for "minus" giver "minus". Og nogle gange stiller tomboys specifikt vanskelige spørgsmål for at nyde det øjeblik, hvor voksne ikke kan give et forståeligt svar. Og det er virkelig en katastrofe, hvis en ung lærer kommer i problemer ...

Det skal i øvrigt bemærkes, at ovenstående regel er gyldig for både multiplikation og division. Produktet af et negativt og et positivt tal vil kun give et minus. Hvis vi taler om to cifre med et "-" tegn, vil resultatet være et positivt tal. Det samme gælder for division. Hvis et af tallene er negativt, vil kvotienten også være med et "-"-tegn.

For at forklare rigtigheden af ​​denne matematiklov er det nødvendigt at formulere ringens aksiomer. Men først skal du forstå, hvad det er. I matematik kaldes en ring normalt for et sæt, hvori to operationer med to elementer er involveret. Men det er bedre at behandle dette med et eksempel.

Ringaksiom

Der er flere matematiske love.

• Den første af dem er forskydelig, ifølge ham, C + V = V + C.
• Den anden kaldes kombinationen (V + C) + D = V + (C + D).

De er også genstand for multiplikation (V x C) x D = V x (C x D).

Ingen har annulleret reglerne for, at parentes åbnes (V + C) x D = V x D + C x D, det er også rigtigt, at C x (V + D) = C x V + C x D.

Derudover blev det fastslået, at der kan indføres et særligt additionsneutralt element i ringen, hvorved følgende vil være sandt: C + 0 = C. Derudover er der for hvert C et modsat element, som kan være betegnet som (-C). I dette tilfælde er C + (-C) = 0.

Udledning af aksiomer for negative tal

Efter at have accepteret ovenstående udsagn kan man besvare spørgsmålet: "Hvad er tegnet på" plus "for" minus "?" Når man kender aksiomet om multiplikation af negative tal, er det nødvendigt at bekræfte, at (-C) x V = - (C x V). Og også at følgende lighed er sand: (- (- C)) = C.

For at gøre dette skal du først bevise, at hvert af elementerne kun har en modsat "bror". Overvej følgende eksempel på bevis. Lad os prøve at forestille os, at for C er to tal modsatte - V og D. Det følger heraf, at C + V = 0 og C + D = 0, det vil sige C + V = 0 = C + D. Husk forskydningslovene og ca. egenskaberne for tallet 0, kan vi betragte summen af ​​alle tre tal: C, V og D. Lad os prøve at finde ud af værdien af ​​V. Det er logisk, at V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, fordi værdien af ​​C + D, som blev accepteret ovenfor, er lig med 0. Derfor er V = V + C + D.

Værdien for D vises på samme måde: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Ud fra dette bliver det tydeligt, at V = D.

For at forstå, hvorfor "plus" for "minus" alligevel giver et "minus", er det nødvendigt at forstå følgende. Så for elementet (-C), er C og (- (- C)) modsatte, det vil sige, at de er lig med hinanden.

Så er det indlysende, at 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Dette indebærer, at C x V er modsat (-) C x V, så (- C) x V = - (C x V).

For fuldstændig matematisk rigor er det også nødvendigt at bekræfte, at 0 x V = 0 for ethvert element. Hvis du følger logikken, så er 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Det betyder, at tilføjelsen af ​​produktet 0 x V ikke ændrer den indstillede mængde på nogen måde. Dette produkt er trods alt nul.

Ved at kende alle disse aksiomer kan man udlede ikke kun hvor mange "plus" på "minus" giver, men også hvad der opnås ved at gange negative tal.

Multiplikation og division af to tal med et "-"

Hvis du ikke fordyber dig i matematiske nuancer, så kan du på en enklere måde forsøge at forklare handlingsreglerne med negative tal.

Antag, at C - (-V) = D, baseret på dette, C = D + (-V), det vil sige C = D - V. Vi overfører V, og vi får, at C + V = D. Det vil sige C + V = C-(-V). Dette eksempel forklarer, hvorfor i et udtryk, hvor der er to "minusser" i træk, skal de nævnte tegn ændres til "plus". Lad os nu beskæftige os med multiplikation.

(-C) x (-V) = D, du kan tilføje og subtrahere to identiske produkter til udtrykket, hvilket ikke vil ændre dets værdi: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Når vi husker reglerne for at arbejde med beslag, får vi:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Det følger heraf, at C x V = (-C) x (-V).

På samme måde kan du bevise, at dividere to negative tal vil resultere i et positivt.

Generelle matematikregler

En sådan forklaring vil selvfølgelig ikke fungere for folkeskoleelever, der lige er begyndt at lære abstrakte negative tal. Det er bedre for dem at forklare på synlige genstande ved at manipulere det velkendte udtryk gennem glasset. For eksempel er opfundet, men ikke eksisterende legetøj placeret der. De kan vises med et "-"-tegn. Multiplikationen af ​​to spejllignende objekter overfører dem til en anden verden, som er sidestillet med nutiden, det vil sige, at vi som et resultat har positive tal. Men multiplikationen af ​​et abstrakt negativt tal med et positivt giver kun resultatet, der er kendt for alle. Efter alt giver "plus" ganget med "minus" "minus". Sandt nok prøver børn ikke for hårdt på at forstå alle de matematiske nuancer.

Selvom, hvis du ser sandheden i øjnene, for mange mennesker, selv med højere uddannelse, forbliver mange regler et mysterium. Alle tager for givet, hvad lærerne lærer dem, uden at tøve med at dykke ned i alle de vanskeligheder, som matematik er fyldt med. "Minus" for "minus" giver "plus" - alle, uden undtagelse, ved om det. Dette gælder både for hele tal og brøktal.

Når de lytter til en matematiklærer, tager de fleste elever materialet som et aksiom. Samtidig er det de færreste, der forsøger at komme til bunds og finde ud af, hvorfor "minus" ved "plus" giver et "minus"-tegn, og når to negative tal ganges, kommer der et positivt.

Matematikkens love

De fleste voksne er ikke i stand til at forklare sig selv eller deres børn, hvorfor det er sådan. De lærte bestemt dette materiale i skolen, men forsøgte ikke engang at finde ud af, hvor disse regler kom fra. Men forgæves. Ofte er moderne børn ikke så tillidsfulde, de skal komme til bunds i sagen og forstå, for eksempel, hvorfor "plus" for "minus" giver "minus". Og nogle gange stiller tomboys specifikt vanskelige spørgsmål for at nyde det øjeblik, hvor voksne ikke kan give et forståeligt svar. Og det er virkelig en katastrofe, hvis en ung lærer kommer i problemer ...

Det skal i øvrigt bemærkes, at ovenstående regel er gyldig for både multiplikation og division. Produktet af et negativt og et positivt tal vil kun give et minus. Hvis vi taler om to cifre med et "-" tegn, vil resultatet være et positivt tal. Det samme gælder for division. Hvis et af tallene er negativt, vil kvotienten også være med et "-"-tegn.

For at forklare rigtigheden af ​​denne matematiklov er det nødvendigt at formulere ringens aksiomer. Men først skal du forstå, hvad det er. I matematik kaldes en ring normalt for et sæt, hvori to operationer med to elementer er involveret. Men det er bedre at behandle dette med et eksempel.

Ringaksiom

Der er flere matematiske love.

• Den første af dem er forskydelig, ifølge ham, C + V = V + C.
• Den anden kaldes kombinationen (V + C) + D = V + (C + D).

De er også genstand for multiplikation (V x C) x D = V x (C x D).

Ingen har annulleret reglerne for, at parentes åbnes (V + C) x D = V x D + C x D, det er også rigtigt, at C x (V + D) = C x V + C x D.

Derudover blev det fastslået, at der kan indføres et særligt additionsneutralt element i ringen, hvorved følgende vil være sandt: C + 0 = C. Derudover er der for hvert C et modsat element, som kan være betegnet som (-C). I dette tilfælde er C + (-C) = 0.

Udledning af aksiomer for negative tal

Efter at have accepteret ovenstående udsagn kan man besvare spørgsmålet: "Hvad er tegnet på" plus "for" minus "?" Når man kender aksiomet om multiplikation af negative tal, er det nødvendigt at bekræfte, at (-C) x V = - (C x V). Og også at følgende lighed er sand: (- (- C)) = C.

For at gøre dette skal du først bevise, at hvert af elementerne kun har en modsat "bror". Overvej følgende eksempel på bevis. Lad os prøve at forestille os, at for C er to tal modsatte - V og D. Det følger heraf, at C + V = 0 og C + D = 0, det vil sige C + V = 0 = C + D. Husk forskydningslovene og ca. egenskaberne for tallet 0, kan vi betragte summen af ​​alle tre tal: C, V og D. Lad os prøve at finde ud af værdien af ​​V. Det er logisk, at V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, fordi værdien af ​​C + D, som blev accepteret ovenfor, er lig med 0. Derfor er V = V + C + D.

Værdien for D vises på samme måde: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Ud fra dette bliver det tydeligt, at V = D.

For at forstå, hvorfor "plus" for "minus" alligevel giver et "minus", er det nødvendigt at forstå følgende. Så for elementet (-C), er C og (- (- C)) modsatte, det vil sige, at de er lig med hinanden.

Så er det indlysende, at 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Dette indebærer, at C x V er modsat (-) C x V, så (- C) x V = - (C x V).

For fuldstændig matematisk rigor er det også nødvendigt at bekræfte, at 0 x V = 0 for ethvert element. Hvis du følger logikken, så er 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Det betyder, at tilføjelsen af ​​produktet 0 x V ikke ændrer den indstillede mængde på nogen måde. Dette produkt er trods alt nul.

Ved at kende alle disse aksiomer kan man udlede ikke kun hvor mange "plus" på "minus" giver, men også hvad der opnås ved at gange negative tal.

Multiplikation og division af to tal med et "-"

Hvis du ikke fordyber dig i matematiske nuancer, så kan du på en enklere måde forsøge at forklare handlingsreglerne med negative tal.

Antag, at C - (-V) = D, baseret på dette, C = D + (-V), det vil sige C = D - V. Vi overfører V, og vi får, at C + V = D. Det vil sige C + V = C-(-V). Dette eksempel forklarer, hvorfor i et udtryk, hvor der er to "minusser" i træk, skal de nævnte tegn ændres til "plus". Lad os nu beskæftige os med multiplikation.

(-C) x (-V) = D, du kan tilføje og subtrahere to identiske produkter til udtrykket, hvilket ikke vil ændre dets værdi: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Når vi husker reglerne for at arbejde med beslag, får vi:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Det følger heraf, at C x V = (-C) x (-V).

På samme måde kan du bevise, at dividere to negative tal vil resultere i et positivt.

Generelle matematikregler

En sådan forklaring vil naturligvis ikke fungere for folkeskoleelever, der lige er begyndt at lære abstrakte negative tal. Det er bedre for dem at forklare på synlige genstande ved at manipulere det velkendte udtryk gennem glasset. For eksempel er opfundet, men ikke eksisterende legetøj placeret der. De kan vises med et "-"-tegn. Multiplikationen af ​​to spejllignende objekter overfører dem til en anden verden, som er sidestillet med nutiden, det vil sige, at vi som et resultat har positive tal. Men multiplikationen af ​​et abstrakt negativt tal med et positivt giver kun resultatet, der er kendt for alle. Efter alt giver "plus" ganget med "minus" "minus". Sandt nok prøver børn ikke for hårdt på at forstå alle de matematiske nuancer.

Selvom, hvis du ser sandheden i øjnene, for mange mennesker, selv med højere uddannelse, forbliver mange regler et mysterium. Alle tager for givet, hvad lærerne lærer dem, uden at tøve med at dykke ned i alle de vanskeligheder, som matematik er fyldt med. "Minus" for "minus" giver "plus" - alle, uden undtagelse, ved om det. Dette gælder både for hele tal og brøktal.

Forstår vi multiplikation korrekt?

"- A og B sad på røret. A faldt, B forsvandt, hvad var der tilbage på røret?"
- Dit brev blev jeg tilbage."

(Fra filmen "Teens in the Universe")

Hvorfor er det nul, når man multiplicerer et tal med nul?

7 * 0 = 0

Hvorfor er et positivt tal, når man ganger to negative tal?

7 * (-3) = + 21

Hvad lærere ikke finder på for at give svar på disse to spørgsmål.

Men ingen har modet til at indrømme, at der er tre semantiske fejl i formuleringen af ​​multiplikation!

Er fejl i grundlæggende aritmetik mulige? Når alt kommer til alt, positionerer matematik sig selv som en eksakt videnskab ...

Skolebøger i matematik giver ikke svar på disse spørgsmål, og erstatter forklaringer med et sæt regler, der skal huskes. Måske finder de dette emne svært at forklare i mellemskolen? Lad os prøve at forstå disse problemer.

7 - multiplicerbar. 3 er en faktor. 21- arbejde.

Ifølge den officielle formulering:

• at gange et tal med et andet tal betyder, at man tilføjer så mange multiplikatorer, som multiplikatoren foreskriver.

Ifølge den accepterede formulering fortæller faktor 3 os, at der skal være tre syvere på højre side af ligheden.

7 * 3 = 7 + 7 + 7 = 21

Men denne formulering af multiplikation kan ikke forklare ovenstående spørgsmål.

Ret ordlyden af ​​multiplikation

Normalt betyder de i matematik meget, men de taler ikke om det eller skriver det ned.

Dette refererer til plustegnet foran de første syv på højre side af ligheden. Lad os skrive dette plus ned.

7 * 3 = + 7 + 7 + 7 = 21

Men hvortil de første syv lægges. Det betyder, at til nul, selvfølgelig. Lad os skrive ned og nul.

7 * 3 = 0 + 7 + 7 + 7 = 21

Hvad hvis vi gange med tre minus syv?

7 * 3 = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = - 21

Vi skriver tilføjelsen af ​​multiplikatoren -7, faktisk foretager vi flere subtraktioner fra nul. Lad os udvide parenteserne.

7 * 3 = 0 - 7 - 7 - 7 = - 21

Nu kan vi give en mere præcis formulering af multiplikation.

• Multiplikation er multiplikationen til nul (eller subtraktion fra nul) af multiplikatoren (-7) så mange gange som multiplikatoren angiver. Faktor (3) og dens fortegn (+ eller -) angiver antallet af additioner til nul eller subtraktioner fra nul.

Denne raffinerede og noget modificerede formulering af multiplikation forklarer let "tegnreglerne" i multiplikation, når multiplikatoren er negativ.

7 * (-3) - der skal være tre minustegn efter nul = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = - 21

7 * (-3) - igen skal der være tre minustegn efter nul =

0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = + 21

Multiplikation med nul

7 * 0 = 0 + ... ingen nul-additionsoperationer.

Hvis multiplikationen lægger til nul, og multiplikatoren angiver antallet af operationer, der skal lægges til nul, så angiver multiplikatoren nul, at intet lægges til nul. Derfor er nul tilbage.

Så i den eksisterende formulering af multiplikation fandt vi tre semantiske fejl, der blokerer for forståelsen af ​​to "tegnregler" (når faktoren er negativ) og multiplikationen af ​​et tal med nul.

1. Du behøver ikke tilføje multiplikatoren, men tilføje den til nul.
2. Multiplikation er ikke kun at lægge til nul, men at trække fra nul.
3. Faktoren og dens fortegn viser ikke antallet af led, men antallet af plus- eller minustegn i udvidelsen af ​​multiplikation til led (eller subtraheret).

Efter at have præciseret formuleringen noget, var vi i stand til at forklare reglerne for tegn for multiplikation og multiplikation af et tal med nul uden hjælp fra forskydningsloven for multiplikation, uden fordelingsloven, uden at tegne analogier med tallinjen, uden ligninger, uden bevis fra det modsatte mv.

Tegnreglerne for den raffinerede formulering af multiplikation er meget enkle at udlede.

7 * (+3) = 0 + (+7) + (+7) + (+7) = +21 (++ = +)

7 * (+3) = 0 + (-7) + (-7) + (-7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (- + = -)

7 * (-3) = 0 - (+7) - (+7) - (+7) = 0 - 7 - 7 - 7 = -21 (+ - = -)

7 * (-3) = 0 - (-7) - (-7) - (-7) = 0 + 7 + 7 + 7 = +21 (- - = +)

Multiplikatoren og dens fortegn (+3 eller -3) angiver antallet af "+" eller "-" tegn på højre side af ligningen.

Den modificerede formulering af multiplikation svarer til operationen med at hæve et tal til en potens.

2^3 = 1*2*2*2 = 8

2 ^ 0 = 1 (en kan ikke ganges eller divideres med noget, så den forbliver en)

2^-1 = 1: 2 = 1/2

2^-2 = 1: 2: 2 = 1/4

2^-3 = 1: 2: 2: 2 = 1/8

Matematikere er enige om, at det at hæve et tal til en positiv potens er at gange et igen og igen. Og at hæve et tal til en negativ potens er en multipel division af en.

Multiplikationsoperationen skal ligne eksponentieringsoperationen.

2*3 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6

2*2 = 0 + 2 + 2 = 4

2 * 0 = 0 (intet lægges til nul og intet trækkes fra nul)

2*-1 = 0 - 2 = -2

2*-2 = 0 - 2 - 2 = -4

2*-3 = 0 - 2 - 2 - 2 = -6

Den ændrede formulering af multiplikation ændrer ikke noget i matematikken, men returnerer den oprindelige betydning af multiplikationsoperationen, forklarer "tegnreglerne", multiplikation af et tal med nul, koordinerer multiplikation med eksponentiering.

Lad os tjekke, om vores formulering af multiplikation stemmer overens med divisionsoperationen.

15: 5 = 3 (invers multiplikation 5 * 3 = 15)

Kvotienten (3) svarer til antallet af additionsoperationer til nul (+3) i multiplikation.

At dividere 15 med 5 betyder at finde ud af, hvor mange gange du skal trække 5 ud af 15 fra. Dette gøres ved successiv subtraktion, indtil der opnås et nulresultat.

For at finde resultatet af divisionen skal du tælle antallet af minustegn. Der er tre af dem.

15: 5 = 3 operationer med at trække fem fra 15 for at få nul.

15 - 5 - 5 - 5 = 0 (division 15: 5)

0 + 5 + 5 + 5 = 15 (multiplikation 5 * 3)

Division med resten.

17 - 5 - 5 - 5 - 2 = 0

17: 5 = 3 og 2 resten

Hvis der er division med rest, hvorfor så ikke gange med et vedhæng?

2 + 5 * 3 = 0 + 2 + 5 + 5 + 5 = 17

Se forskellen i formuleringen på lommeregneren

Den eksisterende formulering af multiplikation (tre led).

10 + 10 + 10 = 30

Korrigeret ordlyd af multiplikation (tre operationer med at lægge til nul).

0 + 10 = = = 30

(Tryk på "lig med" tre gange.)

10 * 3 = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

En multiplikator på 3 indikerer, at multiplikatoren 10 skal lægges til nul tre gange.

Prøv multiplikation (-10) * (-3) ved at tilføje termen (-10) minus tre gange!

(-10) * (-3) = (-10) + (-10) + (-10) = -10 - 10 - 10 = -30 ?

Hvad betyder minustegnet i de tre? Måske det?

(-10) * (-3) = (-10) - (-10) - (-10) = - 10 + 10 + 10 = 10?

Ops ... Jeg kan ikke dekomponere produktet i summen (eller forskellen) af vilkårene (-10).

Med den reviderede formulering er dette gjort korrekt.

0 - (-10) = = = +30

(-10) * (-3) = 0 - (-10) - (-10) - (-10) = 0 + 10 + 10 + 10 = 30

Multiplikatoren (-3) angiver, at multiplikatoren (-10) skal trækkes fra nul tre gange.

Tegn regler for addition og subtraktion

Ovenfor blev der vist en enkel måde at udlede tegnreglerne i multiplikation ved at ændre betydningen af ​​multiplikationsformuleringen.

Men til udledningen brugte vi reglerne for tegn til addition og subtraktion. De er næsten de samme som for multiplikation. Lad os skabe en visualisering af reglerne for tegn for addition og subtraktion, så den første klasse kan forstå det.

Hvad er "minus", "negativ"?

Der er intet negativt i naturen. Der er ingen negativ temperatur, ingen negativ retning, ingen negativ masse, ingen negative ladninger ... Selv en sinus kan i sin natur kun være positiv.

Men matematikere er kommet med negative tal. For hvad? Hvad betyder "minus"?

Minus betyder den modsatte retning. Venstre højre. Top bund. Med uret - mod uret. Frem og tilbage. Kold varm. Let tung. Langsomt - hurtigt. Hvis du tænker over det, er der mange andre eksempler, hvor negative værdier er praktiske.

I den verden, vi kender, starter uendelighed fra nul og går til plus uendelig.

"Minus uendelighed" findes ikke i den virkelige verden. Dette er den samme matematiske konvention som begrebet "minus".

Så "minus" betyder den modsatte retning: bevægelse, rotation, proces, multiplikation, addition. Lad os analysere de forskellige retninger, når vi adderer og trækker positive og negative (øgende i den anden retning) tal.

Kompleksiteten i at forstå reglerne for tegn for addition og subtraktion skyldes det faktum, at disse regler normalt forsøger at forklare på tallinjen. På tallinjen blandes tre forskellige komponenter, hvorfra reglerne er udledt. Og på grund af sammenblandingen, på grund af sammenklumpningen af ​​forskellige begreber i én bunke, skabes der vanskeligheder med at forstå.

For at forstå reglerne skal vi adskille:

• det første led og summen (de vil være på den vandrette akse);
• det andet led (det vil være på den lodrette akse);
• retning af additions- og subtraktionsoperationer.

Denne opdeling er tydeligt vist på figuren. Forestil dig, at den lodrette akse kan rotere overlappende med den vandrette akse.

Tilføjelsesoperationen udføres altid ved at dreje den lodrette akse med uret (plustegn). Subtraktion udføres altid ved at dreje den lodrette akse mod uret (minustegn).

Eksempel. Diagram i nederste højre hjørne.

Det kan ses, at to tilstødende minustegn (tegnet for subtraktionsoperationen og tegnet for tallet 3) har forskellige betydninger. Det første minus angiver retningen af ​​subtraktionen. Det andet minus er tegnet på tallet på den lodrette akse.

Find det første led (-2) på den vandrette akse. Find det andet led (-3) på den lodrette akse. Drej mentalt den lodrette akse mod uret, indtil den flugter (-3) med tallet (+1) på den vandrette akse. Tallet (+1) er resultatet af addition.

Subtraktionsoperation

giver samme resultat som additionsoperationen i diagrammet i øverste højre hjørne.

Derfor kan to tilstødende minustegn erstattes med ét plustegn.

Vi er alle vant til at bruge færdige regneregler uden at tænke over deres betydning. Derfor lægger vi ofte ikke engang mærke til, hvordan reglerne for tegn for addition (subtraktion) adskiller sig fra reglerne for tegn for multiplikation (division). Virker de ens? Næsten ... En lille forskel kan ses i den følgende illustration.

Vi har nu alt, hvad vi behøver for at udlede tegnreglerne for multiplikation. Udgangssekvensen er som følger.

1. Vi viser tydeligt, hvordan reglerne for tegn for addition og subtraktion opnås.
2. Vi foretager semantiske ændringer i den eksisterende formulering af multiplikation.
3. Ud fra den modificerede formulering af multiplikation og reglerne for fortegn for addition, udleder vi reglerne for fortegn for multiplikation.

Bemærk.

Nedenfor er skrevet n Tegn regler for addition og subtraktion opnået fra visualisering. Og med rødt, til sammenligning, de samme regler for tegn fra en lærebog i matematik. Det grå plus i parentes er det usynlige plus, som ikke er skrevet for et positivt tal.

Der er altid to tegn mellem begreberne: operationens tegn og tallets tegn (vi skriver ikke plus, men vi mener). Tegnregler foreskriver udskiftning af et par tegn med et andet par uden at ændre resultatet af addition (subtraktion). Faktisk er der kun to regler.

Regel 1 og 3 (til visualisering) - dublerede regler 4 og 2 .. Regel 1 og 3 i skoletolkningen er ikke sammenfaldende med det visuelle skema, derfor gælder de ikke for reglerne for tegn ved tilføjelse. Det er nogle andre regler...

1. +(+) = -- ......... + (+) = + ???

2. +- = -(+).......... + - = - (+) ok

3. -(+) = +- ......... - (+) = - ???

4. -- = +(+) ......... - - = + (+) ok

Skoleregel 1 (rød) tillader, at to plusser i træk kan erstattes med et plus. Reglen gælder ikke for substitution af tegn i addition og subtraktion.

Skoleregel 3. (rød) tillader ikke at skrive plustegnet på et positivt tal efter subtraktionsoperationen. Reglen gælder ikke for subtraktion af tegn i addition og subtraktion.

Betydningen af ​​reglerne for tegn under tilføjelse er udskiftning af et PAR af skilte med et andet PAR af tegn uden at ændre resultatet af tilføjelse.

Skolemetodologer har blandet to regler i én regel:

To regler for tegn ved addering og subtrahering af positive og negative tal (erstatning af et tegnpar med et andet tegnpar);

To regler, hvorefter du ikke kan skrive plustegnet for et positivt tal.

To forskellige regler blandet til én er ligesom reglerne for tegn i multiplikation, hvor to tegn efterfølges af et tredje. Lignende én til én.

Meget forvirret! Det samme igen, for bedre at optrevle. Lad os fremhæve tegnene på operationer med rødt for at skelne dem fra tegnene på tal.

1. Addition og subtraktion. To tegnregler, ifølge hvilke tegnpar mellem led udveksles. Driftsskilt og nummerskilt.

+ + = - - |||||||||| 2 + (+2) = 2 - (-2)

+ - = - + |||||||||| 2 + (-2) = 2 - (+2)

2. To regler, hvorefter plustegnet for et positivt tal må ikke skrives. Dette er reglerne for tilmeldingsblanketten. Tillæg gælder ikke. For et positivt tal registreres kun tegnet på operationen.

- + = - |||||||||| - (+2) = - 2

+ + = + |||||||||| + (+2) = + 2

3. Fire regler for tegn til multiplikation. Når det tredje tegn på produktet følger af to tegn på multiplikatorer. I reglerne for tegn for multiplikation, kun tegn på tal.

+ * + = + |||||||||| 2 * 2 = 2

+ * - = - |||||||||| 2 * (-2) = -2

- * + = - |||||||||| -2 * 2 = - 2

- * - = + |||||||||| -2 * -2 = 2

Når vi nu har adskilt notationsreglerne, burde det være klart, at fortegnsreglerne for addition og subtraktion slet ikke er som fortegnsreglerne for multiplikation.

V.Kozarenko

Ja, hvorfor? Det enkleste svar er: "Fordi det er reglerne for håndtering af negative tal." De regler, som vi underviser i i skolen, og som gælder gennem hele vores liv. Lærebøgerne forklarer dog ikke, hvorfor reglerne præcis er sådan. Vi har husket, at det er præcis sådan, vi ikke længere stiller os selv et spørgsmål.

Lad os spørge os selv...

For længe siden kendte folk kun naturlige tal: 1, 2, 3, ... De blev brugt til at tælle redskaber, byttedyr, fjender osv. Men tal i sig selv er ret ubrugelige - du skal vide, hvordan du håndterer dem. Addition er klart og forståeligt, desuden er summen af ​​to naturlige tal også et naturligt tal (en matematiker ville sige, at mængden af ​​naturlige tal er lukket med hensyn til additionsoperationen). Multiplikation er i det væsentlige den samme addition, hvis vi taler om naturlige tal. I livet udfører vi ofte handlinger forbundet med disse to operationer (for eksempel når vi shopper, adderer og multiplicerer vi), og det er mærkeligt at tænke på, at vores forfædre stødte på dem sjældnere - addition og multiplikation blev mestret af menneskeheden i meget lang tid siden. Ofte er det nødvendigt at dividere nogle mængder med andre, men her er resultatet ikke altid udtrykt som et naturligt tal - sådan fremstod brøktal.

Subtraktion er selvfølgelig også uundværlig. Men i praksis har vi en tendens til at trække det mindre fra det større tal, og der er ingen grund til at bruge negative tal. (Hvis jeg har 5 bolsjer og giver min søster 3, så vil jeg have 5 - 3 = 2 bolsjer, men jeg kan ikke give hende 7 bolsjer med al min lyst.) Dette kan forklare, hvorfor folk ikke brugte negative tal til en lang tid.


I indiske dokumenter optræder negative tal siden det 7. århundrede e.Kr.; kineserne begyndte tilsyneladende at bruge dem lidt tidligere. De blev brugt til regnskabsføring af gæld eller i mellemregninger for at forenkle løsningen af ​​ligninger – det var kun et værktøj til at opnå et positivt svar. Det faktum, at negative tal, i modsætning til positive, ikke udtrykker tilstedeværelsen af ​​nogen enhed, vakte stærk mistillid. Folk i ordets bogstavelige betydning undgik negative tal: Hvis et problem fik et negativt svar, troede de, at der slet ikke var noget svar. Denne mistillid varede ved i meget lang tid, og selv Descartes - en af ​​"grundlæggerne" af moderne matematik - kaldte dem "falske" (i det 17. århundrede!).

Betragt for eksempel ligningen 7x - 17 = 2x - 2. Det kan løses på følgende måde: flyt led med det ukendte til venstre side, og resten til højre, du får 7x - 2x = 17 - 2, 5x = 15, x = 3. Med denne løsning stødte vi ikke engang på negative tal.

Men det var muligt ved et uheld at gøre det på en anden måde: overfør vilkårene med det ukendte til højre side og få 2 - 17 = 2x - 7x, (-15) = (-5) x. For at finde det ukendte skal du dividere et negativt tal med et andet: x = (-15) / (- 5). Men det rigtige svar er kendt, og det er tilbage at konkludere, at (-15) / (- 5) = 3.

Hvad viser dette simple eksempel? For det første bliver det klart logikken, hvorved reglerne for handlinger med negative tal blev bestemt: resultaterne af disse handlinger skal falde sammen med de svar, der opnås på en anden måde, uden negative tal. For det andet slipper vi ved at tillade brugen af ​​negative tal den kedelige (hvis ligningen viser sig at være mere kompliceret, med et stort antal udtryk) søgen efter en løsningsvej, hvor alle handlinger kun udføres på naturlige tal. Desuden kan vi ikke længere hver gang tænke over betydningen af ​​de konverterede værdier - og dette er allerede et skridt i retning af transformationen af ​​matematik til en abstrakt videnskab.

Reglerne for handlinger på negative tal blev ikke dannet med det samme, men blev en generalisering af talrige eksempler, der opstod ved løsning af anvendte problemer. Generelt kan udviklingen af ​​matematik betinget opdeles i stadier: hvert næste trin adskiller sig fra det foregående ved et nyt abstraktionsniveau i studiet af objekter. Så i det 19. århundrede indså matematikere, at heltal og polynomier, trods al deres ydre ulighed, har meget til fælles: begge kan lægges til, subtraheres og ganges. Disse operationer overholder de samme love - både i tilfælde af tal og i tilfælde af polynomier. Men dividere heltal med hinanden, så resultatet igen bliver heltal, måske ikke altid. Det er det samme med polynomier.

Så blev andre sæt matematiske objekter opdaget, hvorpå sådanne operationer kan udføres: formelle potensrækker, kontinuerlige funktioner ... for al moderne matematik).

Som et resultat dukkede et nyt koncept op: en ring. Dette er blot et sæt elementer plus de handlinger, der kan udføres på dem. Det grundlæggende her er kun reglerne (de kaldes aksiomer), som adlyder handlingerne, og ikke arten af ​​elementerne i sættet (her er det, et nyt abstraktionsniveau!). I et ønske om at understrege, at det er strukturen, der opstår efter indførelsen af ​​aksiomerne, er vigtig, siger matematikerne: ringen af ​​heltal, ringen af ​​polynomier osv. Med udgangspunkt i aksiomerne er det muligt at udlede andre egenskaber ved ringene.

Vi vil formulere aksiomer for en ring (som selvfølgelig ligner regler for håndtering af heltal), og så vil vi bevise, at i en hvilken som helst ring resulterer multiplikation af et minus med et minus i et plus.

En ring er et sæt med to binære operationer (dvs. hver operation involverer to elementer i ringen), som traditionelt kaldes addition og multiplikation, og følgende aksiomer:

Tilføjelsen af ​​ringelementer adlyder forskydningen (A + B = B + A for alle elementer A og B) og kombinationslovene (A + (B + C) = (A + B) + C); ringen indeholder et specielt element 0 (neutralt element til addition), således at A + 0 = A, og for ethvert element A er der et modsat element (benævnt (-A)), således at A + (-A) = 0;
- multiplikation overholder kombinationsloven: A · (B · C) = (A · B) · C;
addition og multiplikation er forbundet med følgende parentesudvidelsesregler: (A + B) C = A C + B C og A (B + C) = A B + A C.

Bemærk, at ringe i deres mest generelle konstruktion hverken kræver foranderligheden af ​​multiplikation eller dens reversibilitet (dvs. det er ikke altid muligt at dividere), eller eksistensen af ​​en enhed - et neutralt element i multiplikation. Hvis vi introducerer disse aksiomer, får vi andre algebraiske strukturer, men i dem vil alle de sætninger, der er bevist for ringe, være sande.

Lad os nu bevise, at for alle elementer A og B i en vilkårlig ring, først (-A) B = - (A B), og for det andet, (- (- A)) = A. Dette indebærer let udsagn om enheder: ( -1) 1 = - (1 1) = -1 og (-1) (-1) = - ((- 1) 1) = - (- 1) = 1.

For at gøre dette er vi nødt til at etablere nogle fakta. Lad os først bevise, at hvert element kun kan have en modsætning. Faktisk, lad elementet A have to modsætninger: B og C. Det vil sige, A + B = 0 = A + C. Overvej summen A + B + C. Ved at bruge kombinations- og transponeringslovene og nulegenskaben får vi, at , hvor summen på den ene side er lig med B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, og på den anden side er den lig med C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Så B = C.

Bemærk nu, at både A og (- (- A)) er modsat det samme element (-A), så de skal være ens.

Det første faktum opnås som følger: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, det vil sige, (-A) B er modsat A B, så det er lig med - (AB).

For at være matematisk streng, lad os forklare, hvorfor 0 · B = 0 for ethvert element B. Faktisk, 0 · B = (0 + 0) B = 0 · B + 0 · B. Det vil sige, at tilføjelse af 0 · B ikke ændrer mængden. Derfor er dette produkt lig med nul.

Og det faktum, at der er præcis et nul i ringen (aksiomerne siger trods alt, at et sådant element eksisterer, men der bliver ikke sagt noget om dets unikke!), vil vi overlade til læseren som en simpel øvelse.

Evgeny Epifanov