Sådan vælges en rod fra et stort antal. Hvordan finder jeg kvadratroden? Egenskaber, eksempler på rodekstraktion

Uddrag en rod fra et stort antal. Kære venner!I denne artikel vil vi finde ud af, hvordan man udtrækker roden af \u200b\u200bet stort antal uden en lommeregner. Dette er ikke kun nødvendigt for at løse nogle typer USE-problemer (der er nogle til bevægelse), men også for den generelle matematiske udvikling er det ønskeligt at kende denne analytiske teknik.

Det ser ud til, at alt er simpelt: faktor det og udtræk det. Der er ikke noget problem. For eksempel vil tallet 291600, når det udvides, give produktet:

Vi beregner:

Der er en MEN! Metoden er god, hvis delerne 2, 3, 4 og så videre let kan bestemmes. Men hvad nu hvis det nummer, hvorfra vi udvinder roden, er et produkt af primtal? For eksempel er 152881 et produkt med nummer 17, 17, 23, 23. Prøv at finde disse skillevægge med det samme.

Essensen af \u200b\u200bden metode, vi overvejer- dette er ren analyse. Roden med den erhvervede færdighed findes hurtigt. Hvis færdigheden ikke udarbejdes, men fremgangsmåden simpelthen forstås, er den lidt langsommere, men stadig bestemt.

Lad os udtrække roden fra 190969.

Lad os først bestemme - mellem hvilke tal (multipla af hundrede) vores resultat ligger.

Det er klart, at resultatet af roden til et givet tal ligger i området fra 400 til 500,fordi

400 2 \u003d 160.000 og 500 2 \u003d 250.000

Virkelig:

i midten tættere på 160.000 eller 250.000?

Antallet 190969 er omtrent i midten, men alligevel tættere på 160000. Vi kan konkludere, at resultatet af vores rod vil være mindre end 450. Lad os kontrollere:

Faktisk er det mindre end 450 siden 190 969< 202 500.

Lad os nu kontrollere nummeret 440:

Så vores resultat er mindre end 440, siden190 969 < 193 600.

Kontrol af nummer 430:

Vi har fastslået, at resultatet af denne rod ligger i området fra 430 til 440.

Produktet med tal med 1 eller 9 i slutningen giver et tal med 1 i slutningen. For eksempel er 21x21 441.

Produktet med tal med en 2 eller 8 i slutningen giver et tal med en 4 i slutningen. For eksempel er 18 x 18 324.

Produktet med tal med 5 i slutningen giver tallet med 5 i slutningen. For eksempel er 25x25 lig med 625.

Produktet med tal med en 4 eller 6 i slutningen giver et tal med en 6 i slutningen. For eksempel er 26x26 lig med 676.

Produktet med tal med en 3 eller 7 i slutningen giver et tal med en 9 i slutningen. For eksempel er 17x17 lig med 289.

Da tallet 190969 slutter med tallet 9, er dette produktet af enten 433 eller 437.

* Kun de, når de er kvadratiske, kan give 9 i slutningen.

Vi kontrollerer:

Så rodresultatet bliver 437.

Det vil sige, at vi slags "famlede" efter det rigtige svar.

Som du kan se, er det maksimale, der kræves, at udføre 5 handlinger i en kolonne. Måske vil du straks komme til sagen eller kun udføre tre handlinger. Det hele afhænger af, hvor præcist du foretager det oprindelige skøn over nummeret.

Uddrag roden til 148996 selv

En sådan diskriminant opnås i problemet:

Motorskibet går langs floden til sin destination 336 km og vender tilbage til udgangspunktet efter stop. Find hastigheden på et motorskib i stille vand, hvis den aktuelle hastighed er 5 km / t, varer opholdet 10 timer, og skibet vender tilbage til udgangspunktet 48 timer efter at have forladt det. Giv dit svar i km / t.

Se løsning

Grundresultatet er mellem 300 og 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Faktisk 90.000<148996<160000.

Essensen af \u200b\u200byderligere ræsonnement kommer ned for at bestemme, hvordan tallet 148996 er placeret (fjernt) i forhold til disse tal.

Lad os beregne forskellene148996 - 90.000 \u003d 58996 og 160.000 - 148996 \u003d 11004.

Det viser sig, at 148996 er tæt på (meget tættere) på 160000. Derfor vil resultatet af roden helt sikkert være større end 350 og endda 360.

Vi kan konkludere, at vores resultat er mere end 370. Yderligere er det klart: Da 148996 slutter med tallet 6, betyder det, at et tal, der slutter på enten 4 eller 6, skal kvadreres. * Kun disse tal, når kvadreret giver, slutter 6 .

Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du kunne fortælle os om webstedet på sociale netværk.

Ofte ved olympiader og eksamener (for eksempel på eksamen i matematik) kan du ikke bruge en lommeregner. Og i hverdagen skal du nogle gange estimere værdien af \u200b\u200bkvadratroden af \u200b\u200bet heltal uden at have en lommeregner ved hånden. Hvordan går man videre?

1. Først og fremmest skal du kigge på det sidste ciffer i nummeret, hvis det er 2, 3, 7, 8, så findes ikke hele roden af \u200b\u200bdette tal. Og hvis tallet slutter med cifrene 1, 4, 6, 9, kan det sidste ciffer i den ønskede rod være lig med henholdsvis 1 eller 9, 2 eller 8, 4 eller 6, 3 eller 7.
Hvis tallet slutter med cifret 5, skal du være opmærksom på det næstsidste ciffer. For eksistensen af \u200b\u200ben hel rod skal den være 2, dvs. kun tal, der ender på 25, kan have rødder, der slutter med 5.
Et specielt sted i dette system er optaget af 0. Hvis et tal slutter med et eller et ulige antal nuller, er der ingen hel rod, hvis to eller lige, det vil sige et rodmultipel på 10.

Har du bemærket noget symmetri i denne tabel? Tænk over, hvad det er forårsaget af. Hvis du ikke har gættet, så kig i slutningen af \u200b\u200bdette afsnit.

2. Opdel antallet i grupper (på kanten) på 2 cifre fra højre til venstre. Start med det sidste ciffer. Desuden, hvis et givet tal består af et ulige antal cifre, vil der i gruppen længst til venstre være et ciffer, hvis det er lige, så to.

Hvis dit nummer kun består af to ansigter, kan du stoppe der og kontrollere de mulige resultater ved multiplikation i en kolonne. F.eks. Skal roden til tallet 1225 begynde med 3 (vi definerede dette i punkt 3) og kan kun ende med 5 (se punkt 1), dvs. hvis der er en naturlig rod af dette tal, kan det kun være 35. Roden til tallet 841 skal starte med 2 og kan ende med 1 eller 9, altså. det er enten 21 eller 29. Men 21 ≈ 20 og 20 2 \u003d 400 og 29 ≈ 30 og 30 2 \u003d 900. Det givne tal 841 er nærmere 900 end 400, så svaret er formodentlig 29.

Lad os kontrollere.

29
× 29
____
261
58
____
841

35
× 35
_____
175
105
_____
1225

Så svarene findes, de findes og findes korrekt.
For tocifrede svar, og længere numre på eksamen er sjældne, er alt meget simpelt. Er det ikke?

4. Hvis dit nummer består af mere end to ansigter, eller du ikke vil gå direkte til kontrollen, fortsætter algoritmen til at finde roden med det næste trin:
- kvadrat det fundne første ciffer i svaret og træk det fra den første side, tilføj den anden side til forskellen, du får et trecifret eller firecifret tal. Lad os betegne det med symbolet A.

5. Det næste ciffer skal være det største, valgt således:
- vi ganger den eksisterende del af svaret med 2, tilføjer det formodede ciffer til det og ganger det resulterende tal med det samme ciffer. Vi trækker resultatet fra A. Resten skal være det mindst mulige positive tal.

For eksempel blev der fundet en del af svaret for nummeret 142884 (14 "28" 84) - det første ciffer er 3, og det andet ansigt blev fjernet, dvs. defineret A \u003d 528. Multiplicer svarets del med 2, vi får 3 × 2 \u003d 6. Nu skal du til 6-ke til højre tilføje det "gættede ciffer". Vi bestemmer dens omtrentlige værdi:
A \u003d 528 ≈ 500.500: 60 ≈ 8. Derfor begynder vi at vælge mellem 8.
528 - 68 × 8 \u003d 528 - 544 528 - 67 × 7 \u003d 528 - 469\u003e 0. Det næste ciffer i roden er 7.

Så i vores eksempler:

Hvis du har dannet så mange cifre, som der er ansigter, og resten på dette trin er 0, modtages svaret. Under alle omstændigheder er det fornuftigt at kontrollere det ved multiplikation.
Hvis der er så mange cifre, som der er ansigter, men resten ikke er 0, så var der enten en fejl i beregningerne ovenfor, eller der er ingen naturlig rod af dette tal. I sidstnævnte tilfælde, hvis du stadig har brug for at finde dens værdi med en given præcision, kan du tilføje det krævede antal nul kanter (00) efter decimaltegnet og fortsætte.
Hvis der er flere ansigter end de modtagne numre, skal du fortsætte. I de to øverste eksempler forbliver det kun for os at bestemme det sidste ciffer, dette kan gøres ved at vælge i henhold til punkt 1: for nummeret 142884 skal du kontrollere ved at gange 372 og 378 for nummeret 20449, kontrol 143 og 147. Men vi vil fortsætte i henhold til den generelle algoritme.

6. Vi danner et nyt nummer A ved at tilføje det næste ansigt til resten opnået i det foregående trin. For at få det næste ciffer i svaret gentager vi handlingerne i 5. trin. Vi gentager dette trin, indtil hele svaret er modtaget.
I vores eksempler:

x + y \u003d 10 og y = 10 − x.

Lad os huske formlen for firkanten af \u200b\u200bforskellen på to tal

(-en − b) 2 = -en 2 − 2ab + b 2 ;

Og brug den til at finde en firkant y.

y 2 = (10 − x) 2 \u003d 10 2 - 2 10 x + x 2 ;

I denne sum slutter det første udtryk med to nuller, det andet i nul, hvilket betyder, at hele udtrykket efter tilføjelse slutter med det samme ciffer som x 2. De der. x 2 og y 2 slutter på samme måde.

Eksempler på beregning af roden.

Evaluer √6335289 _______ .

Vi registrerer mellemresultater i en kolonne analogt med division. Kladde til højre for kolonnen.

6"33"52"89 | 2517.
−4
____
233
−225 | 45 × 5
______
852
−501 | 501 × 1
________
35189
−35189 | 5027 × 7
__________
0

1) Vi delte tallet på kanten: 6 "33" 52 "89. Det viste sig at være 4 stykker, derfor vil svaret bestå af 4 cifre. Det første ciffer er 2, da 2 2 \u003d 4 6.

2) Dernæst fordobler vi den eksisterende del af svaret, bestemmer resten, nedbryder den næste linje og vælger det næste ciffer i svaret. Vi gentager dette trin til sidste kant:
233: 40 - 5; 45 x 5 \u003d 225 233; derfor er det 2. ciffer 5;
852: 500 ≈ 1; 501 × 1 \u003d 501.852; derfor er det 3. ciffer 1.

3) Hvis hele roden eksisterer, kan dens sidste ciffer være enten 3 eller 7. Vi kan kontrollere 2513 og 2517 ved at multiplicere i en kolonne. Men for flercifrede tal er det hurtigere at fortsætte i henhold til den generelle algoritme:
35189: 5000 ≈ 7; 5027 × 7 \u003d 35189 (!) Det sidste ciffer er 7.

Svar: 2517.

Evaluer √2304 ____ .

48
× 48
______
384
192
______
2304

Vi bryder det til randen. 23 "04. Derfor er svaret fra 2 cifre, det første ciffer er 4, da 4 2 \u003d 16 23. Det sidste ciffer er enten 2 eller 8, da resultatet af multiplikation skal slutte med 4.
Så, 42 eller 48? 42 ≈ 40; 40 2 \u003d 1600,48 ≈ 50; 50 2 \u003d 2500,2500 er tættere på det givne tal, så vi starter testen ved lang multiplikation ved 48.

Svar: 48.

Dette er den mest almindelige sag på eksamen i matematik, og jeg anbefaler på det kraftigste, at du afslutter den med en check.

Evaluer √503 ___ .

Nummeret slutter med en tre. Det er straks klart, at hele rodværdien ikke fungerer. Lad os stille os selv spørgsmålet med hvilken præcision det er nødvendigt at bestemme roden. Lad os sige, at betingelsen siger at afrunde svaret til nærmeste hundrededel. Dette betyder, at du skal få det op til tusindedele, dvs. op til 3. decimal. Derfor skal der tilføjes yderligere 3 nul kanter til det givne nummer. Og glem ikke selve kommaet!

5"03,00"00"00 | 22,427.
−4
____
103
- 84 | 42 × 2
______
1900
−1776 | 444 × 4
________
12400
- 8964 | 4482 × 2
__________
343600
−313929 | 44847 × 7
____________
29671

1) Opdelingen i ansigter vil således være sådan 5 "03 , 00 "00" 00. Svaret består af fem cifre - 2 før decimaltegnet og 3 efter. Det første ciffer er 2 (2 2 \u003d 4 5), det sidste ciffer i dette tilfælde kan vi ikke bestemme.

2) Dernæst udfører vi trin 4,5,6 i den generelle algoritme som normalt:
103: 40 ≈ 2; 42 x 2 \u003d 84103; derfor er det 2. ciffer 2.
1900: 440 ≈ 4; 444 x 4 \u003d 1776 1900; derfor er det 3. ciffer 4.
12400: 4480 ≈ 3; 4483 × 3 \u003d 13449\u003e 12400; 4482 × 2 \u003d 8964 343600: 44840 ≈ 8; 44848 × 8 \u003d 358784\u003e 343600; 44847 × 7 \u003d 313929 Vi har endnu ikke modtaget en nul rest, og måske får vi aldrig, hvis den nødvendige rod er et irrationelt tal. Men vi har ikke brug for dette, fordi resultatet er allerede opnået med den præcision, der kræves til afrunding.

Ved at kassere det tredje ciffer efter decimaltegnet øges (siden 7\u003e 5) det forrige med et 22.427 ≈ 22.43.

Svar: 22,43.

Evaluer √1.5 ____ .

For at beregne roden af \u200b\u200bet decimal skal du huske at 10 2 \u003d 100 og 0,1 2 \u003d 0,01. De der. i kvadrat fordobles cifrene. Følgelig skal vi have et lige antal cifre efter decimaltegnet for at udtrække kvadratroden af \u200b\u200ben decimalfraktion. I dette tilfælde får vi et helt tal ansigter efter decimaltegnet, når vi deler fra højre til venstre (fra slutningen), og dermed et heltal antal cifre i den brøkdel af svaret.
Husk også, at du kan tilføje så mange ledende nuller til hele talets del og så mange nuller i slutningen til brøkdelen. Nummeret ændres ikke fra dette.

1 \u003d 001; 23 \u003d 000023; 1080 \u003d 01080; men (!) 1080 ≠ 10800
0,1 \u003d 0,10; 2,3 \u003d 2,3000; 10,80 \u003d 0010,8000; men (!) 10,80 ≠ 100,80 og 10,80 ≠ 10,080

Metode I.

1,5 = 1,50 √1,5___ = √1,50____

Lad os sige, at du skal give et svar nøjagtigt til tiendedele, så skal du beregne værdien af \u200b\u200bdenne rod op til anden decimal. Nu har vi 2 cifre efter decimaltegnet, dvs. et ansigt, så tilføj et andet nul ansigt.

1,50"00 | 1,22
−1
____
50
−44 | 22 × 2
______
600
−484 | 242 × 2
_______
116

1) Arbejde på kanten: 1,50 "00. Resultatet bliver 3 cifre - et før kommaet og to efter. Det første ciffer er naturligvis 1.

3) Afrund 1.22 ≈ 1.2.

Svar: 1,2.

Metode II.

Vi multiplicerer og deler samtidig vores tal med 10 i en jævn magt (nødvendigvis i en jævn magt, så vi senere let og nøjagtigt kan udtrække roden fra nævneren). 1,5 \u003d 1,5 × 100/100 \u003d 150/100. Derfor skal du beregne roden på 150 og dele den med roden på 100, dvs. den 10.

For små trecifrede heltal er det let at huske røddernes værdier, fordi de er meget almindelige (se for eksempel i tabellerne "Kvadrater med tal fra 1 til 25" og "Kvadratrødder"). Den nærmeste værdi af firkanten af \u200b\u200bheltallet 144 til 150, derfor √150 ____ ≈ 12 og følgelig √1.5 ____ ≈ 12:10 = 1,2.

Svar: 1,2.

Opmærksomhed: det er en meget almindelig fejl, når roden til 15 tages for at bestemme den omtrentlige værdi af roden på 1,5. Husk - et lige antal nuller.

√10__ ≈ 3,16 √100___ = 10 √1000____ ≈ 31,62 √10000_____ = 100 √100000______ ≈ 316,23 √1000000_______ = 1000

I forordet til sin første udgave “I opfindsomhedens rige” (1908) skriver EI Ignatiev: “... mentalt initiativ, opfindsomhed og” opfindsomhed ”kan hverken” bores ”eller” sættes ”i nogens hoved. Resultaterne er kun pålidelige, når introduktionen til området matematisk viden foretages på en let og behagelig måde på emner og eksempler på hverdagslige og hverdagssituationer, valgt med passende viden og underholdning. "

I forordet til 1911-udgaven "Hukommelsens rolle i matematik", EI. Ignatiev skriver "... i matematik skal man ikke huske formler, men tænkningsprocessen."

For at udtrække kvadratroden er der tabeller over kvadrater til tocifrede tal, du kan faktorere antallet i primfaktorer og udtrække kvadratroden af \u200b\u200bproduktet. Kvadratabellen er ofte ikke nok, ekstraktion af roden ved faktorisering er en tidskrævende opgave, som heller ikke altid fører til det ønskede resultat. Prøv kvadratroden af \u200b\u200b209764? Primfaktorisering giver produktet 2 * 2 * 52441. Ved prøving og fejl, valg - dette kan naturligvis gøres, hvis du er sikker på, at dette er et heltal. Den måde, jeg vil foreslå, er alligevel at få kvadratroden.

En gang på instituttet (Perm State Pedagogical Institute) blev vi introduceret til denne metode, som jeg vil tale om nu. Jeg spekulerede aldrig på, om denne metode havde et bevis, så nu måtte jeg selv udlede nogle bevis.

Grundlaget for denne metode er sammensætningen af \u200b\u200btallet \u003d.

\u003d &, dvs. & 2 \u003d 596334.

1. Del nummeret (5963364) i par fra højre mod venstre (5`96`33`64)

2. Uddrag kvadratroden af \u200b\u200bden første gruppe til venstre (- nummer 2). Dette giver os det første ciffer i &.

3. Find firkanten af \u200b\u200bdet første ciffer (2 2 \u003d 4).

4. Find forskellen mellem den første gruppe og firkanten af \u200b\u200bdet første ciffer (5-4 \u003d 1).

5. Vi tager de næste to numre ned (vi har tallet 196).

6. Dobbelt det første ciffer, vi fandt, og skriv det til venstre bag linjen (2 * 2 \u003d 4).

7. Nu skal du finde det andet ciffer i nummeret &: det fordoblede første ciffer, vi fandt, bliver ti-cifret af tallet, når det ganges med antallet af tal, skal du få et tal mindre end 196 (dette er ciffer 4, 44 * 4 \u003d 176). 4 er det andet ciffer i &.

8. Find forskellen (196-176 \u003d 20).

9. Vi nedbryder den næste gruppe (vi får nummeret 2033).

10. Ved at fordoble antallet 24 får vi 48.

11,48 tiere i et tal, multipliceret med antallet af dem, skulle vi få et tal mindre end 2033 (484 * 4 \u003d 1936). Cifret af enheder (4), vi fandt, er det tredje ciffer af &.

Beviset gives af mig for sagerne:

1. Udpakning af kvadratroden af \u200b\u200bet trecifret tal;

2. Uddrag kvadratroden af \u200b\u200bet firecifret tal.

Anslåede kvadratrodmetoder (uden brug af lommeregner).

1. De gamle babylonere brugte følgende metode til at finde den omtrentlige værdi af kvadratroden af \u200b\u200bderes antal x. De repræsenterede tallet x som en sum a 2 + b, hvor a 2 er tættest på tallet x den nøjagtige firkant af det naturlige tal a (a 2? X) og brugte formlen . (1)

Lad os udtrække kvadratroden ved hjælp af formlen (1) for eksempel fra tallet 28:

Resultatet af at udvinde en rod fra 28 ved hjælp af MK 5.2915026.

Som du kan se, giver den babyloniske metode en god tilnærmelse til den nøjagtige værdi af roden.

2. Isaac Newton udviklede en metode til udvinding af kvadratroden, der går tilbage til Heron of Alexandria (ca. 100 e.Kr.). Denne metode (kendt som Newtons metode) er som følger.

Lad ske a 1- den første tilnærmelse af et tal (som 1 kan du tage værdierne af kvadratroden af \u200b\u200bet naturligt tal - et nøjagtigt kvadrat, der ikke overstiger x).

Den næste, mere nøjagtige tilnærmelse a 2numre kan findes ved formlen .

Fakta 1.
\\ (\\ bullet \\) Tag et ikke-negativt tal \\ (a \\) (det vil sige \\ (a \\ geqslant 0 \\)). Derefter (aritmetik) kvadrat rod fra tallet \\ (a \\) kaldes et ikke-negativt tal \\ (b \\), når vi kvadrerer får vi tallet \\ (a \\): \\ [\\ sqrt a \u003d b \\ quad \\ text (samme som) \\ quad a \u003d b ^ 2 \\] Det følger af definitionen, at \\ (a \\ geqslant 0, b \\ geqslant 0 \\). Disse begrænsninger er vigtige for eksistensen af \u200b\u200ben kvadratrod og skal huskes!
Husk at ethvert tal, når det er kvadratisk, giver et ikke-negativt resultat. Det vil sige \\ (100 ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\) og \\ ((- 100) ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\).
\\ (\\ bullet \\) Hvad er \\ (\\ sqrt (25) \\)? Vi ved, at \\ (5 ^ 2 \u003d 25 \\) og \\ ((- 5) ^ 2 \u003d 25 \\). Da vi pr. Definition skal finde et ikke-negativt tal, så \\ (- 5 \\) ikke passer, derfor \\ (\\ sqrt (25) \u003d 5 \\) (siden \\ (25 \u003d 5 ^ 2 \\)).
At finde værdien \\ (\\ sqrt a \\) kaldes ved at tage kvadratroden af \u200b\u200btallet \\ (a \\), og tallet \\ (a \\) kaldes et radikalt udtryk.
\\ (\\ bullet \\) Baseret på definitionen, udtrykket \\ (\\ sqrt (-25) \\), \\ (\\ sqrt (-4) \\) osv. giver ikke mening.

Fakta 2.
Til hurtige beregninger vil det være nyttigt at lære tabellen over kvadrater med naturlige tal fra \\ (1 \\) til \\ (20 \\): \\ [\\ begin (array) (| ll |) \\ hline 1 ^ 2 \u003d 1 & \\ quad11 ^ 2 \u003d 121 \\\\ 2 ^ 2 \u003d 4 & \\ quad12 ^ 2 \u003d 144 \\\\ 3 ^ 2 \u003d 9 & \\ quad13 ^ 2 \u003d 169 \\\\ 4 ^ 2 \u003d 16 & \\ quad14 ^ 2 \u003d 196 \\\\ 5 ^ 2 \u003d 25 & \\ quad15 ^ 2 \u003d 225 \\\\ 6 ^ 2 \u003d 36 & \\ quad16 ^ 2 \u003d 256 \\\\ 7 ^ 2 \u003d 49 & \\ quad17 ^ 2 \u003d 289 \\\\ 8 ^ 2 \u003d 64 & \\ quad18 ^ 2 \u003d 324 \\\\ 9 ^ 2 \u003d 81 & \\ quad19 ^ 2 \u003d 361 \\\\ 10 ^ 2 \u003d 100 & \\ quad20 ^ 2 \u003d 400 \\\\ \\ hline \\ end (array) \\]

Fakta 3.
Hvad kan man gøre med kvadratrødder?
\\ (\\ bullet \\) Summen eller forskellen på kvadratrødder er IKKE LIGE med kvadratroden af \u200b\u200bsummen eller forskellen, dvs. \\ [\\ sqrt a \\ pm \\ sqrt b \\ ne \\ sqrt (a \\ pm b) \\] Hvis du f.eks. Skal beregne \\ (\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \\), skal du oprindeligt finde værdierne \\ (\\ sqrt (25) \\) og \\ (\\ sqrt (49) \\) og fold dem derefter. Derfor \\ [\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \u003d 5 + 7 \u003d 12 \\] Hvis værdierne \\ (\\ sqrt a \\) eller \\ (\\ sqrt b \\) ikke kan findes, når du tilføjer \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt b \\), transformeres dette udtryk ikke yderligere og forbliver som det er. For eksempel i summen \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \\) kan vi finde \\ (\\ sqrt (49) \\) - dette er \\ (7 \\), men \\ (\\ sqrt 2 \\) kan ikke konverteret på nogen måde, så \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \u003d \\ sqrt 2 + 7 \\)... Desværre kan dette udtryk ikke forenkles yderligere. \\ (\\ bullet \\) Produktet / kvotienten af \u200b\u200bkvadratrødder er lig kvadratroden af \u200b\u200bproduktet / kvotienten, dvs. \\ [\\ sqrt a \\ cdot \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (ab) \\ quad \\ text (og) \\ quad \\ sqrt a: \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (a: b) \\] (forudsat at begge sider af ligestillingen giver mening)
Eksempel: \\ (\\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt 2 \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8 \\); \\ (\\ sqrt (768): \\ sqrt3 \u003d \\ sqrt (768: 3) \u003d \\ sqrt (256) \u003d 16 \\); \\ (\\ sqrt ((- 25) \\ cdot (-64)) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 64) \u003d \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (64) \u003d 5 \\ cdot 8 \u003d 40 \\)... \\ (\\ bullet \\) Ved hjælp af disse egenskaber er det praktisk at finde kvadratrødderne til store antal ved at faktorisere dem.
Lad os se på et eksempel. Find \\ (\\ sqrt (44100) \\). Siden \\ (44100: 100 \u003d 441 \\), derefter \\ (44100 \u003d 100 \\ cdot 441 \\). På baggrund af delbarhed er tallet \\ (441 \\) deleligt med \\ (9 \\) (da summen af \u200b\u200bdets cifre er 9 og kan deles med 9), derfor, \\ (441: 9 \u003d 49 \\), at er, \\ (441 \u003d 9 \\ cdot 49 \\).
Således fik vi: \\ [\\ sqrt (44100) \u003d \\ sqrt (9 \\ cdot 49 \\ cdot 100) \u003d \\ sqrt9 \\ cdot \\ sqrt (49) \\ cdot \\ sqrt (100) \u003d 3 \\ cdot 7 \\ cdot 10 \u003d 210 \\] Lad os se på et andet eksempel: \\ [\\ sqrt (\\ dfrac (32 \\ cdot 294) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (16 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 49 \\ cdot 2) (9 \\ cdot 3)) \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (16 \\ cdot4 \\ cdot49) (9)) \u003d \\ dfrac (\\ sqrt (16) \\ cdot \\ sqrt4 \\ cdot \\ sqrt (49)) (\\ sqrt9) \u003d \\ dfrac (4 \\ cdot 2 \\ cdot 7) 3 \u003d \\ dfrac (56) 3 \\]
\\ (\\ bullet \\) Lad os vise, hvordan du indtaster tal under kvadratroden ved hjælp af eksemplet med udtrykket \\ (5 \\ sqrt2 \\) (stenografi for udtrykket \\ (5 \\ cdot \\ sqrt2 \\)). Siden \\ (5 \u003d \\ sqrt (25) \\), derefter \ Bemærk også, at f.eks.
1) \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \u003d 4 \\ sqrt2 \\),
2) \\ (5 \\ sqrt3- \\ sqrt3 \u003d 4 \\ sqrt3 \\)
3) \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt a \u003d 2 \\ sqrt a \\).

Hvorfor det? Lad os forklare ved hjælp af eksempel 1). Som du allerede har forstået, kan vi ikke på en eller anden måde konvertere nummeret \\ (\\ sqrt2 \\). Lad os forestille os, at \\ (\\ sqrt2 \\) er et tal \\ (a \\). Følgelig er udtrykket \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \\) intet mere end \\ (a + 3a \\) (et tal \\ (a \\) plus tre flere af det samme \\ (a \\)). Og vi ved, at det er lig med fire sådanne tal \\ (a \\), det vil sige \\ (4 \\ sqrt2 \\).

Fakta 4.
\\ (\\ bullet \\) Det siges ofte “kan ikke udtrække roden”, når det ikke er muligt at slippe af med \\ (\\ sqrt () \\ \\) tegnet på roden (radikal), når man finder værdien af \u200b\u200bet tal. For eksempel kan du udtrække roden af \u200b\u200bnummeret \\ (16 \\) fordi \\ (16 \u003d 4 ^ 2 \\), derfor \\ (\\ sqrt (16) \u003d 4 \\). Men det er umuligt at udtrække roden fra nummeret \\ (3 \\), det vil sige finde \\ (\\ sqrt3 \\), fordi der ikke er noget sådant tal, der vil give \\ (3 \\) på pladsen.
Sådanne tal (eller udtryk med sådanne tal) er irrationelle. For eksempel tal \\ (\\ sqrt3, \\ 1+ \\ sqrt2, \\ \\ sqrt (15) \\) etc. er irrationelle.
Også irrationelle er tallene \\ (\\ pi \\) (tallet "pi", omtrent lig med \\ (3.14 \\)), \\ (e \\) (dette nummer kaldes Eulers nummer, omtrent det er \\ (2.7 \\)) etc.
\\ (\\ bullet \\) Bemærk, at ethvert tal vil være enten rationelt eller irrationelt. Og sammen danner alle rationelle og alle irrationelle tal et sæt kaldet sæt reelle (reelle) tal. Dette sæt er betegnet med bogstavet \\ (\\ mathbb (R) \\).
Dette betyder, at alle de numre, som vi i øjeblikket kender, kaldes reelle tal.

Fakta 5.
\\ (\\ bullet \\) Modulet for et reelt tal \\ (a \\) er et ikke-negativt tal \\ (| a | \\) svarende til afstanden fra punktet \\ (a \\) til \\ (0 \\) på rigtig linje. For eksempel er \\ (| 3 | \\) og \\ (| -3 | \\) lig med 3, da afstandene fra punkter \\ (3 \\) og \\ (- 3 \\) til \\ (0 \\) er de samme og er lig med \\ (3 \\).
\\ (\\ bullet \\) Hvis \\ (a \\) er et ikke-negativt tal, så \\ (| a | \u003d a \\).
Eksempel: \\ (| 5 | \u003d 5 \\); \\ (\\ qquad | \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\). \\ (\\ bullet \\) Hvis \\ (a \\) er et negativt tal, så \\ (| a | \u003d -a \\).
Eksempel: \\ (| -5 | \u003d - (- 5) \u003d 5 \\); \\ (\\ qquad | - \\ sqrt3 | \u003d - (- \\ sqrt3) \u003d \\ sqrt3 \\).
De siger, at modulet "spiser" minus for negative tal, og modulet efterlader positive tal, såvel som tallet \\ (0 \\), uændret.
MEN denne regel fungerer kun for tal. Hvis du har en ukendt \\ (x \\) under modulets tegn (eller noget andet ukendt), for eksempel \\ (| x | \\), som vi ikke ved, er det positivt, nul eller negativt, så slippe af med modulet, vi ikke kan. I dette tilfælde forbliver dette udtryk således: \\ (| x | \\). \\ (\\ bullet \\) Følgende formler holder: \\ [(\\ large (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a |)) \\] \\ [(\\ large ((\\ sqrt (a)) ^ 2 \u003d a)), \\ text (på betingelse) a \\ geqslant 0 \\] En meget almindelig fejl begås: de siger, at \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) og \\ ((\\ \\ sqrt a) ^ 2 \\) er det samme. Dette gælder kun, hvis \\ (a \\) er et positivt tal eller nul. Men hvis \\ (a \\) er et negativt tal, er det ikke sandt. Det er nok at overveje et sådant eksempel. Lad os tage tallet \\ (- 1 \\) i stedet for \\ (a \\). Derefter \\ (\\ sqrt ((- 1) ^ 2) \u003d \\ sqrt (1) \u003d 1 \\), men udtrykket \\ ((\\ sqrt (-1)) ^ 2 \\) findes slet ikke (trods alt det er umuligt at sætte negative tal under rodtegnet!).
Derfor henleder vi din opmærksomhed på, at \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) ikke er lig med \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\)! Eksempel: 1) \\ (\\ sqrt (\\ left (- \\ sqrt2 \\ right) ^ 2) \u003d | - \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\)siden \\ (- \\ sqrt2<0\) ;

\\ (\\ phantom (00000) \\) 2) \\ ((\\ sqrt (2)) ^ 2 \u003d 2 \\). \\ (\\ bullet \\) Da \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a | \\), så \\ [\\ sqrt (a ^ (2n)) \u003d | a ^ n | \\] (udtryk \\ (2n \\) angiver et lige antal)
Det vil sige, når man udvinder en rod fra et tal, der til en vis grad er, halveres denne grad.
Eksempel:
1) \\ (\\ sqrt (4 ^ 6) \u003d | 4 ^ 3 | \u003d 4 ^ 3 \u003d 64 \\)
2) \\ (\\ sqrt ((- 25) ^ 2) \u003d | -25 | \u003d 25 \\) (bemærk at hvis modulet ikke er installeret, viser det sig, at roden til nummeret er \\ (- 25 \\) ; men vi husker, at dette ved definitionen af \u200b\u200ben rod ikke kan være: vi har altid et positivt tal eller nul, når vi ekstraherer en rod)
3) \\ (\\ sqrt (x ^ (16)) \u003d | x ^ 8 | \u003d x ^ 8 \\) (da ethvert tal i en jævn magt ikke er negativ)

Fakta 6.
Hvordan sammenlignes to kvadratrødder?
\\ (\\ bullet \\) For kvadratrødder er det sandt: hvis \\ (\\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Eksempel:
1) sammenlign \\ (\\ sqrt (50) \\) og \\ (6 \\ sqrt2 \\). Lad os først konvertere det andet udtryk til \\ (\\ sqrt (36) \\ cdot \\ sqrt2 \u003d \\ sqrt (36 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (72) \\)... Således siden \\ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mellem hvilke heltal er \\ (\\ sqrt (50) \\)?
Da \\ (\\ sqrt (49) \u003d 7 \\), \\ (\\ sqrt (64) \u003d 8 \\) og \\ (49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Sammenlign \\ (\\ sqrt 2-1 \\) og \\ (0,5 \\). Antag \\ (\\ sqrt2-1\u003e 0,5 \\): \\ [\\ begin (justeret) & \\ sqrt 2-1\u003e 0,5 \\ \\ big | +1 \\ quad \\ text ((tilføj en til begge sider)) \\\\ & \\ sqrt2\u003e 0,5 + 1 \\ \\ big | \\ ^ 2 \\ quad \\ text ((firkantet begge sider)) \\\\ & 2\u003e 1.5 ^ 2 \\\\ & 2\u003e 2.25 \\ end (justeret) \\] Vi ser, at vi fik den forkerte ulighed. Derfor var vores antagelse forkert og \\ (\\ sqrt 2-1<0,5\) .
Bemærk, at tilføjelse af et tal til begge sider af uligheden ikke påvirker dets tegn. At multiplicere / dividere begge sider af uligheden med et positivt tal påvirker heller ikke dets tegn, og at multiplicere / dividere med et negativt tal vender tegnet på uligheden!
Du kan KVADRE begge sider af ligningen / uligheden KUN, NÅR begge sider er ikke-negative. For eksempel i uligheden fra det foregående eksempel kan begge sider være kvadreret, i uligheden \\ (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \\ (\\ bullet \\) Husk det \\ [\\ start (justeret) & \\ sqrt 2 \\ ca. 1,4 \\\\ & \\ sqrt 3 \\ ca. 1,7 \\ slut (justeret) \\] At kende den omtrentlige værdi af disse tal vil hjælpe dig, når du sammenligner tal! \\ (\\ bullet \\) For at udtrække roden (hvis den ekstraheres) fra et stort antal, der ikke er i firkantetabellen, skal du først bestemme mellem hvilke "hundreder" det er, derefter mellem hvilke "tiere", og derefter bestemme det sidste ciffer i dette nummer. Lad os vise, hvordan det fungerer med et eksempel.
Tag \\ (\\ sqrt (28224) \\). Vi ved, at \\ (100 ^ 2 \u003d 10 \\, 000 \\), \\ (200 ^ 2 \u003d 40 \\, 000 \\) osv. Bemærk, at \\ (28224 \\) er mellem \\ (10 \u200b\u200b\\, 000 \\) og \\ (40 \\, 000 \\). Derfor er \\ (\\ sqrt (28224) \\) mellem \\ (100 \\) og \\ (200 \\).
Lad os nu bestemme mellem hvilke "tiere" vores antal er (det vil sige for eksempel mellem \\ (120 \\) og \\ (130 \\)). Også fra firkanttabellen ved vi, at \\ (11 ^ 2 \u003d 121 \\), \\ (12 ^ 2 \u003d 144 \\) osv., Derefter \\ (110 ^ 2 \u003d 12100 \\), \\ (120 ^ 2 \u003d 14400 \\), \\ (130 ^ 2 \u003d 16900 \\), \\ (140 ^ 2 \u003d 19600 \\), \\ (150 ^ 2 \u003d 22500 \\), \\ (160 ^ 2 \u003d 25600 \\), \\ (170 ^ 2 \u003d 28900 \\). Således ser vi, at \\ (28224 \\) er mellem \\ (160 ^ 2 \\) og \\ (170 ^ 2 \\). Derfor er tallet \\ (\\ sqrt (28224) \\) mellem \\ (160 \\) og \\ (170 \\).
Lad os prøve at bestemme det sidste ciffer. Lad os huske hvilke enkeltcifrede tal i slutningen af \u200b\u200b\\ (4 \\) når de er kvadreret? Disse er \\ (2 ^ 2 \\) og \\ (8 ^ 2 \\). Derfor slutter \\ (\\ sqrt (28224) \\) med enten 2 eller 8. Lad os kontrollere dette. Find \\ (162 ^ 2 \\) og \\ (168 ^ 2 \\):
\\ (162 ^ 2 \u003d 162 \\ cdot 162 \u003d 26224 \\)
\\ (168 ^ 2 \u003d 168 \\ cdot 168 \u003d 28224 \\).
Derfor \\ (\\ sqrt (28224) \u003d 168 \\). Voila!

For at løse brugen af \u200b\u200bmatematik på passende vis er det først og fremmest nødvendigt at studere det teoretiske materiale, der introducerer de mange sætninger, formler, algoritmer osv. Ved første øjekast kan det virke som om det er ret simpelt. At finde en kilde, hvor teorien til eksamen i matematik præsenteres let og forståeligt for studerende på ethvert niveau af uddannelse, er faktisk en ret vanskelig opgave. Det er umuligt at holde skolebøger altid ved hånden. Og at finde de grundlæggende formler til eksamen i matematik kan være svært selv på Internettet.

Hvorfor er det så vigtigt at studere teori i matematik ikke kun for dem, der tager eksamen?

1. Fordi det udvider dine horisonter... Studiet af teoretisk materiale i matematik er nyttigt for alle, der ønsker at få svar på en lang række spørgsmål relateret til viden om verdenen. Alt i naturen er ordentligt og har en klar logik. Dette er netop det, der afspejles i videnskaben, gennem hvilket det er muligt at forstå verden.
2. Fordi det udvikler intelligens... At studere referencemateriale til eksamen i matematik samt løse forskellige problemer lærer en person at tænke logisk og ræsonnere, kompetent og klart formulere tanker. Han udvikler evnen til at analysere, generalisere, drage konklusioner.

Vi inviterer dig til personligt at evaluere alle fordelene ved vores tilgang til systematisering og præsentation af undervisningsmateriale.

Instruktioner

Vælg en faktor for det radikale tal, hvis fjernelse nedenfra rod gyldigt udtryk - ellers mister operationen. For eksempel hvis under tegnet rod med eksponent lig med tre (terningrod) er nummer 128, så fra under tegnet kan du tage ud, for eksempel nummer 5. Samtidig er den nummer 128 skal divideres med 5 kubik: ³√128 \u003d 5 ∗ ³√ (128 / 5³) \u003d 5 ∗ ³√ (128/125) \u003d 5 ∗ ³√1.024. Hvis tilstedeværelsen af \u200b\u200bet brøknummer under tegnet rod ikke modsiger betingelserne for problemet, så er det muligt i denne form. Hvis du har brug for en enklere version, skal du først opdele det radikale udtryk i heltalfaktorer, hvoraf terningens rod er et heltal nummerm. For eksempel: ³√128 \u003d ³√ (64 ∗ 2) \u003d ³√ (4³ ∗ 2) \u003d 4 ∗ ³√2.

Brug det radikale tal til at vælge faktorer, hvis det ikke er muligt at beregne kræfterne for et tal i dit hoved. Dette gælder især for rodm med en eksponent større end to. Hvis du har adgang til Internettet, kan du foretage beregninger med lommeregnere indbygget i Google og Nigma søgemaskiner. For eksempel, hvis du har brug for at finde den største heltalsfaktor, der kan tages ud af det kubiske tegn rod for nummeret 250, gå derefter til Google-webstedet, indtast forespørgslen "6 ^ 3" for at kontrollere, om det er muligt at fjerne fra tegnet rod seks. Søgemaskinen viser et resultat svarende til 216. Ak, 250 kan ikke deles fuldstændigt med dette nummer... Indtast derefter forespørgslen 5 ^ 3. Resultatet bliver 125, og dette giver dig mulighed for at opdele 250 i faktorer på 125 og 2 og derfor tage ud under tegnet rod nummer 5 derfra derfra nummer 2.

Kilder:

• hvordan man kommer ud under roden
• Firkantrod af et værk

Tag ud nedenfra rod en af \u200b\u200bfaktorerne er nødvendig i situationer, hvor du har brug for at forenkle et matematisk udtryk. Der er tidspunkter, hvor det er umuligt at udføre de nødvendige beregninger ved hjælp af en lommeregner. F.eks. Hvis der bruges variable bogstaver i stedet for tal.

Instruktioner

Udvid det radikale udtryk til enkle faktorer. Se hvilken faktor der gentages det samme antal gange, der er angivet i indikatorerne rod, eller mere. Antag for eksempel, at du vil rodfæste a til den fjerde magt. I dette tilfælde kan tallet repræsenteres som en * a * a * a \u003d a * (a * a * a) \u003d a * a3. Indikator rod i dette tilfælde svarer til faktor a3. Det skal også tages ud til tegnet.

Uddrag roden af \u200b\u200bde resulterende rodrødder separat, hvor det er muligt. At hente rod er den omvendte algebraiske handling af eksponentiering. At hente rod i en vilkårlig grad fra et tal, find et tal, der, når det hæves til denne vilkårlige magt, vil resultere i et givet antal. Hvis ekstraktionen rod det er umuligt at producere, lad det radikale udtryk være under tegnet rod som det er. Som et resultat af udførelsen af \u200b\u200bde anførte handlinger foretager du en fjernelse nedenfra skilt rod.

Lignende videoer

Bemærk

Vær forsigtig, når du skriver det radikale udtryk i form af faktorer - en fejl på dette stadium vil føre til forkerte resultater.

Nyttige råd

Ved udvinding af rødder er det praktisk at bruge specielle tabeller eller tabeller med logaritmiske rødder - dette vil reducere tiden til at finde den rigtige løsning betydeligt.

Kilder:

• rodekstraktionstegn i 2019

Forenkling af algebraiske udtryk er påkrævet i mange grene af matematik, herunder løsning af ligninger af højere grader, differentiering og integration. Det bruger flere metoder, herunder faktorisering. For at anvende denne metode skal du finde og gøre en fælles faktor om parenteser.

Instruktioner

Gennemførelse af den fælles faktor for parenteser Er en af \u200b\u200bde mest almindelige måder at nedbryde på. Denne teknik bruges til at forenkle strukturen af \u200b\u200blange algebraiske udtryk, dvs. polynomer. Generelt kan være et tal, et monomium eller et binomium, og fordelingsegenskaben for multiplikation bruges til at finde det.

Nummer: Se nøje på koefficienterne ved hvert polynom for at se, om de kan divideres med det samme antal. For eksempel er udtrykket 12 z³ + 16 z² - 4 det åbenlyse faktor 4. Efter transformation får du 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Ellers er dette tal den mindst almindelige heltalsdeler af alle koefficienter.

Monomial - Bestem, om den samme variabel er i hver af polynomens termer. Forudsat at det er tilfældet, skal du nu se på koefficienterne som i det foregående tilfælde. Eksempel: 9 z ^ 4 - 6 z³ + 15 z² - 3 z.

Hvert element i dette polynom indeholder en variabel z. Desuden er alle koefficienter multipla af 3. Derfor er den fælles faktor det monomiale 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binomial. Til parenteser generel faktor af to, en variabel og et tal, som er et almindeligt polynom. Derfor, hvis faktor-lyd er ikke indlysende, så skal du finde mindst en rod. Vælg det frie udtryk for polynomet, dette er en koefficient uden en variabel. Anvend nu substitutionsmetoden til det fælles udtryk for alle heltalsdelere af skæringspunktet.

Overvej: z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4. Kontroller, om nogen af \u200b\u200bheltalsdelerne på 4 z ^ 4 - 2 z³ + z² - 4 z + 4 \u003d 0. Find z1 \u003d 1 og z2 \u003d 2, dermed efter parenteser du kan fjerne binomier (z - 1) og (z - 2). Brug successiv lang opdeling for at finde det resterende udtryk.