Luento: Vektorikoordinaatit; vektorien skalaaritulo; vektorien välinen kulma

Vektorikoordinaatit

Joten, kuten aiemmin mainittiin, vektori on suunnattu segmentti, jolla on oma alku ja loppu. Jos alkua ja loppua edustavat tietyt pisteet, niillä on omat koordinaattinsa tasossa tai avaruudessa.

Jos jokaisella pisteellä on omat koordinaatit, voimme saada koko vektorin koordinaatit.

Oletetaan, että meillä on vektori, jonka alussa ja lopussa on seuraavat nimet ja koordinaatit: A(A x ; Ay) ja B(B x ; By)

Tietyn vektorin koordinaattien saamiseksi on vähennettävä alun vastaavat koordinaatit vektorin lopun koordinaateista:

Voit määrittää vektorin koordinaatit avaruudessa käyttämällä seuraavaa kaavaa:

Vektorien pistetulo

On kaksi tapaa määritellä skalaaritulon käsite:

• Geometrinen menetelmä. Sen mukaan skalaaritulo on yhtä suuri kuin näiden moduulien arvojen ja niiden välisen kulman kosinin tulo.

• Algebrallinen merkitys. Algebran näkökulmasta kahden vektorin skalaaritulo on tietty määrä, joka saadaan vastaavien vektoreiden tulojen summan tuloksena.

Jos vektorit annetaan avaruudessa, sinun tulee käyttää samanlaista kaavaa:

Ominaisuudet:

• Jos kerrot kaksi identtistä vektoria skalaarisesti, niiden skalaaritulo ei ole negatiivinen:

• Jos kahden identtisen vektorin skalaaritulo osoittautuu nollaksi, näitä vektoreita pidetään nolliksi:

• Jos tietty vektori kerrotaan itsellään, skalaaritulo on yhtä suuri kuin sen moduulin neliö:

• Skalaaritulolla on kommunikatiivinen ominaisuus, eli skalaaritulo ei muutu, jos vektorit järjestetään uudelleen:

• Nollasta poikkeavien vektorien skalaaritulo voi olla nolla vain, jos vektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden:

• Vektorien skalaaritulolle kommutatiivinen laki pätee, jos yksi vektoreista kerrotaan luvulla:

• Skalaaritulolla voit käyttää myös kertolaskua:

Kulma vektorien välillä

Määritelmä 1

Vektorien skalaaritulo on luku, joka on yhtä suuri kuin näiden vektorien dynien tulo ja niiden välisen kulman kosini.

Vektorien a → ja b → tulon merkintä on muotoa a → , b → . Muunnetaan se kaavaksi:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → ja b → tarkoittavat vektorien pituuksia, a → , b → ^ - annettujen vektorien välisen kulman merkintää. Jos ainakin yksi vektori on nolla, eli sen arvo on 0, niin tulos on nolla, a → , b → = 0

Kun kerrotaan vektori itsellään, saadaan sen pituuden neliö:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Määritelmä 2

Vektorin skalaarikertoa itsellään kutsutaan skalaarinelioksi.

Laskettu kaavalla:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Merkintä a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → osoittaa, että n p b → a → on numeerinen projektio a → b → , n p a → a → - projektio b → kohtaan a →, vastaavasti.

Muotoillaan tulon määritelmä kahdelle vektorille:

Kahden vektorin a → skalaarituloa b → kutsutaan vektorin a → pituuden tuloksi projektion b → suunnalla a → tai pituuden b → tuloksi projektiolla a →.

Pistetulo koordinaateissa

Skalaaritulo voidaan laskea käyttämällä vektoreiden koordinaatteja tietyssä tasossa tai avaruudessa.

Tasossa, kolmiulotteisessa avaruudessa, kahden vektorin skalaarituloa kutsutaan annettujen vektorien a → ja b → koordinaattien summaksi.

Laskettaessa annettujen vektorien skalaarituloa a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) tasossa karteesisessa järjestelmässä, käytä:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

kolmiulotteiselle avaruudelle lauseke on sovellettavissa:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

Itse asiassa tämä on skalaaritulon kolmas määritelmä.

Todistetaan se.

Todiste 1

Sen todistamiseksi käytämme a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y vektoreille a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) suorakulmaisessa järjestelmässä.

Vektorit tulee jättää sivuun

O A → = a → = a x , a y ja O B → = b → = b x , b y .

Tällöin vektorin A B → pituus on yhtä suuri kuin A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Tarkastellaan kolmiota O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) on oikein kosinilauseen perusteella.

Ehdon mukaan on selvää, että O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , mikä tarkoittaa, että kirjoitamme vektorien välisen kulman löytämisen kaavan eri tavalla

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

Sitten ensimmäisestä määritelmästä seuraa, että b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , mikä tarkoittaa (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Käyttämällä kaavaa vektorien pituuden laskemiseen, saamme:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Todistakaamme yhtäläisyydet:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– vastaavasti kolmiulotteisen avaruuden vektoreille.

Koordinaattivektoreiden skalaaritulo sanoo, että vektorin skalaarineliö on yhtä suuri kuin sen koordinaattien neliöiden summa avaruudessa ja vastaavasti tasossa. a → = (ax, a y, az) , b → = (bx, b y, bz) ja (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Pistetuote ja sen ominaisuudet

Pistetulolla on ominaisuuksia, jotka koskevat a → , b → ja c → :

1. kommutatiivisuus (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. jakavuus (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a →) , c →) ;
3. kombinatiivinen ominaisuus (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - mikä tahansa luku;
4. skalaarineliö on aina suurempi kuin nolla (a → , a →) ≥ 0, missä (a → , a →) = 0, jos a → nolla.

Ominaisuudet ovat selitettävissä tason skalaaritulon määritelmän ja reaalilukujen yhteen- ja kertolaskuominaisuuksien ansiosta.

Todista kommutatiivinen ominaisuus (a → , b →) = (b → , a →) . Määritelmästä saadaan, että (a → , b →) = a y · b y + a y · b y ja (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

Kommutatiivisuuden ominaisuudella yhtälöt a x · b x = b x · a x ja a y · b y = b y · a y ovat tosi, mikä tarkoittaa a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Tästä seuraa, että (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Jakelu on voimassa kaikille numeroille:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

ja (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

siksi meillä on

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Pistetuote esimerkkejä ja ratkaisuja

Kaikki tämänkaltaiset ongelmat ratkaistaan ​​käyttämällä skalaarituloon liittyviä ominaisuuksia ja kaavoja:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y tai (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Katsotaanpa joitain esimerkkiratkaisuja.

Esimerkki 2

Pituus a → on 3, pituus b → on 7. Etsi pistetulo, jos kulmassa on 60 astetta.

Ratkaisu

Ehdon mukaan meillä on kaikki tiedot, joten laskemme ne kaavalla:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Vastaus: (a → , b →) = 21 2 .

Esimerkki 3

Annetut vektorit a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Mikä on skalaaritulo?

Ratkaisu

Tässä esimerkissä tarkastellaan koordinaattien laskentakaavaa, koska ne on määritelty ongelman lausunnossa:

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + az · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​+ 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Vastaus: (a → , b →) = -9

Esimerkki 4

Etsi A B → ja A C → skalaaritulo. Pisteet A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) on annettu koordinaattitasolla.

Ratkaisu

Aluksi lasketaan vektorien koordinaatit, koska ehdolla pisteiden koordinaatit annetaan:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Korvaamalla kaavaan koordinaatit, saamme:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Vastaus: (A B → , A C →) = 28 .

Esimerkki 5

Kun vektorit a → = 7 · m → + 3 · n → ja b → = 5 · m → + 8 · n → , etsi niiden tulo. m → on 3 ja n → on 2 yksikköä, ne ovat kohtisuorassa.

Ratkaisu

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Käyttämällä distributiivisuusominaisuutta saamme:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + ( 3 n → , 8 n →)

Otamme kertoimen pois tuotteen merkistä ja saamme:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

Kommutatiivisuuden ominaisuudella muunnamme:

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n → ) + 24 · (n → , n →)

Tuloksena saamme:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →).

Nyt käytämme skalaaritulon kaavaa ehdon määrittämän kulman kanssa:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Vastaus: (a → , b →) = 411

Jos on numeerinen projektio.

Esimerkki 6

Etsi a → ja b → skalaaritulo. Vektorilla a → on koordinaatit a → = (9, 3, - 3), projektiossa b → on koordinaatit (- 3, - 1, 1).

Ratkaisu

Ehdolla vektorit a → ja projektio b → ovat vastakkaisia, koska a → = - 1 3 · n p a → b → → , mikä tarkoittaa, että projektio b → vastaa pituutta n p a → b → → , ja " -” merkki:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

Korvaamalla kaavaan saamme lausekkeen:

(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

Vastaus: (a → , b →) = -33 .

Ongelmia tunnetun skalaaritulon kanssa, jossa on tarpeen löytää vektorin tai numeerisen projektion pituus.

Esimerkki 7

Mikä arvo λ:n tulisi ottaa tietylle skalaaritulolle a → = (1, 0, λ + 1) ja b → = (λ, 1, λ) on yhtä suuri kuin -1.

Ratkaisu

Kaavasta on selvää, että on tarpeen löytää koordinaattien tulojen summa:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Koska meillä on (a → , b →) = - 1 .

λ:n löytämiseksi laskemme yhtälön:

λ 2 + 2 · λ = - 1, joten λ = - 1.

Vastaus: λ = -1.

Skalaaritulon fyysinen merkitys

Mekaniikka harkitsee pistetuotteen käyttöä.

Kun A toimii vakiovoimalla F → liikkuva kappale pisteestä M pisteeseen N, voit löytää vektorien F → ja M N → pituuksien tulon niiden välisen kulman kosinin kanssa, mikä tarkoittaa, että työ on yhtä suuri voiman ja siirtymävektorin tuloon:

A = (F → , M N →) .

Esimerkki 8

Materiaalipisteen liike 3 metriä 5 Nt:n suuruisen voiman vaikutuksesta on suunnattu 45 asteen kulmaan akseliin nähden. Löydä.

Ratkaisu

Koska työ on voimavektorin ja siirtymän tulo, se tarkoittaa, että ehdon F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° perusteella saadaan A = (F →, S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

Vastaus: A = 15 2 2 .

Esimerkki 9

Aineellinen piste, joka siirtyi pisteestä M (2, - 1, - 3) kohtaan N (5, 3 λ - 2, 4) voiman F → = (3, 1, 2) vaikutuksesta, toimi 13 J. Laske liikkeen pituus.

Ratkaisu

Annetuille vektorikoordinaateille M N → meillä on M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .

Käyttämällä kaavaa työn löytämiseksi vektoreilla F → = (3, 1, 2) ja M N → = (3, 3 λ - 1, 7) saadaan A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Ehdon mukaan annetaan, että A = 13 J, mikä tarkoittaa 22 + 3 λ = 13. Tämä tarkoittaa λ = - 3, mikä tarkoittaa M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Löytääksesi liikkeen pituuden M N → käytä kaavaa ja korvaa arvot:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Vastaus: 158.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Ristitulo ja pistetulo helpottavat vektoreiden välisen kulman laskemista. Olkoon kaksi vektoria $\overline(a)$ ja $\overline(b)$, niiden välinen suunnattu kulma on $\varphi$. Lasketaan arvot $x = (\overline(a),\overline(b))$ ja $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Sitten $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, missä $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ ja $\varphi$ on haluttu kulma, eli pisteen $(x, y)$ napakulma on yhtä suuri kuin $\varphi$, ja siksi $\varphi$ löytyy muodossa atan2(y, x).

Kolmion pinta-ala

Koska ristitulo sisältää kahden vektorin pituuden tulon ja niiden välisen kulman kosinin, ristituloa voidaan käyttää laskemaan kolmion ABC pinta-ala:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Pisteen kuuluminen suoraan

Olkoon piste $P$ ja suora $AB$ (joka on annettu kahdella pisteellä $A$ ja $B$). On tarpeen tarkistaa, kuuluuko piste riville $AB$.

Piste kuuluu riville $AB$ silloin ja vain, jos vektorit $AP$ ja $AB$ ovat kollineaarisia, eli jos $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Pisteen kuuluminen säteeseen

Olkoon piste $P$ ja säde $AB$ annettu (määritelty kahdella pisteellä - säteen $A$ alku ja piste säteellä $B$). On tarpeen tarkistaa, kuuluuko piste säteeseen $AB$.

Edellytykseen, että piste $P$ kuuluu suoralle $AB$, on lisättävä lisäehto - vektorit $AP$ ja $AB$ ovat samansuuntaisia, eli ne ovat kollineaarisia ja niiden skalaaritulo on ei-negatiivinen, eli $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge 0$.

Pisteen kuuluminen segmenttiin

Olkoon piste $P$ ja jana $AB$ annettu. On tarpeen tarkistaa, kuuluuko piste segmenttiin $AB$.

Tässä tapauksessa pisteen tulee kuulua sekä säteeseen $AB$ että säteeseen $BA$, joten seuraavat ehdot on tarkistettava:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Etäisyys pisteestä linjaan

Olkoon piste $P$ ja suora $AB$ (joka on annettu kahdella pisteellä $A$ ja $B$). On tarpeen löytää etäisyys suoran $AB$ pisteestä.

Harkitse kolmiota ABP. Toisaalta sen pinta-ala on $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

Toisaalta sen pinta-ala on $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, missä $h$ on pisteestä $P$ pudonnut korkeus, eli etäisyys. $P$ ja $ AB$ välillä. Missä $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Etäisyys pisteestä säteeseen

Olkoon piste $P$ ja säde $AB$ annettu (määritelty kahdella pisteellä - säteen $A$ alku ja piste säteellä $B$). On tarpeen löytää etäisyys pisteestä säteeseen, eli lyhimmän segmentin pituus pisteestä $P$ mihin tahansa säteen pisteeseen.

Tämä etäisyys on yhtä suuri kuin pituus $AP$ tai etäisyys pisteestä $P$ linjaan $AB$. Kumpi tapauksista tapahtuu, voidaan helposti määrittää säteen ja pisteen suhteellisella sijainnilla. Jos kulma PAB on terävä, eli $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, niin vastaus on etäisyys pisteestä $P$ suoraan $AB$, muuten vastaus on segmentin $AB$ pituus.

Etäisyys pisteestä segmenttiin

Olkoon piste $P$ ja jana $AB$ annettu. On tarpeen löytää etäisyys $P$ segmentistä $AB$.

Jos $P$:sta suoralle $AB$ pudonneen kohtisuoran kanta putoaa segmenttiin $AB$, mikä voidaan varmistaa ehdoilla

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

niin vastaus on etäisyys pisteestä $P$ viivaan $AB$. Muuten etäisyys on $\min(AP, BP)$.

Vektorien pistetulo

Jatkamme vektoreiden käsittelyä. Ensimmäisellä oppitunnilla Vektorit tutille Tarkastelimme vektorin käsitettä, toimintoja vektorien kanssa, vektorin koordinaatteja ja yksinkertaisimpia vektoreita koskevia ongelmia. Jos tulit tälle sivulle ensimmäistä kertaa hakukoneen kautta, suosittelen lämpimästi lukemaan yllä olevan johdantoartikkelin, sillä materiaalin hallitsemiseksi sinun on tunnettava käyttämäni termit ja merkinnät, oltava perustiedot vektoreista ja osaa ratkaista perusongelmia. Tämä oppitunti on looginen jatko aiheelle, ja siinä analysoin yksityiskohtaisesti tyypillisiä tehtäviä, joissa käytetään vektorien skalaarituloa. Tämä on ERITTÄIN TÄRKEÄÄ toimintaa.. Yritä olla ohittamatta esimerkkejä; ne sisältävät hyödyllisen bonuksen - harjoittelu auttaa sinua vahvistamaan käsittelemääsi materiaalia ja pääsemään paremmin ratkaisemaan yleisiä analyyttisen geometrian ongelmia.

Vektorien yhteenlasku, vektorin kertominen luvulla.... Olisi naiivia ajatella, etteivät matemaatikot olisi keksineet jotain muuta. Jo käsiteltyjen toimien lisäksi on olemassa useita muita vektoreita käyttäviä operaatioita, nimittäin: vektorien pistetulo, vektorien vektoritulo Ja vektorien sekatulo. Vektorien skalaaritulo on meille tuttu koulusta, kaksi muuta tuloa kuuluvat perinteisesti korkeamman matematiikan kurssiin. Aiheet ovat yksinkertaisia, algoritmi monien ongelmien ratkaisemiseen on suoraviivainen ja ymmärrettävä. Ainoa asia. Tietoa on kunnollinen määrä, joten ei ole toivottavaa yrittää hallita ja ratkaista KAIKKI KERRAN. Tämä pätee erityisesti nukkeihin; uskokaa minua, kirjoittaja ei todellakaan halua tuntea olevansa matematiikan Chikatilo. No, ei tietenkään matematiikastakaan =) Valmistautuneemmat opiskelijat voivat käyttää materiaaleja valikoivasti, tietyssä mielessä "hankkia" puuttuvan tiedon; sinulle olen harmiton kreivi Dracula =)

Avataan vihdoin ovi ja katsotaan innolla mitä tapahtuu, kun kaksi vektoria kohtaavat...

Vektorien skalaaritulon määritelmä.
Skalaaritulon ominaisuudet. Tyypillisiä tehtäviä

Pistetuotteen käsite

Ensin noin vektorien välinen kulma. Luulen, että kaikki ymmärtävät intuitiivisesti mikä vektorien välinen kulma on, mutta varmuuden vuoksi hieman enemmän yksityiskohtia. Tarkastellaan vapaita nollasta poikkeavia vektoreita ja . Jos piirrät nämä vektorit mielivaltaisesta pisteestä, saat kuvan, jonka monet ovat jo kuvitelleet mielessään:

Myönnän, tässä kuvailin tilannetta vain ymmärryksen tasolla. Jos tarvitset tiukkaa vektorien välisen kulman määritelmää, katso oppikirjasta, käytännön ongelmissa siitä ei periaatteessa ole meille hyötyä. Myös TÄÄLLÄ JA TÄSSÄ jätän paikoin huomioimatta nollavektorit niiden vähäisen käytännön merkityksen vuoksi. Tein varauksen erityisesti edistyneille sivuston vierailijoille, jotka saattavat moittia minua joidenkin myöhempien lausuntojen teoreettisesta epätäydellisyydestä.

Kirjallisuudessa kulmasymboli ohitetaan usein ja kirjoitetaan yksinkertaisesti.

Määritelmä: Kahden vektorin skalaaritulo on NUMERO, joka on yhtä suuri kuin näiden vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo:

Tämä on nyt melko tiukka määritelmä.

Keskitymme olennaiseen tietoon:

Nimitys: skalaarituloa merkitään tai yksinkertaisesti.

Operaation tulos on NUMERO: Vektori kerrotaan vektorilla, ja tuloksena on luku. Todellakin, jos vektorien pituudet ovat lukuja, kulman kosini on luku, niin niiden tulo on myös numero.

Vain pari lämmittelyesimerkkiä:

Esimerkki 1

Ratkaisu: Käytämme kaavaa . Tässä tapauksessa:

Vastaus:

Kosiniarvot löytyvät trigonometrinen taulukko. Suosittelen sen tulostamista - sitä tarvitaan lähes kaikissa tornin osissa ja tarvitaan monta kertaa.

Puhtaasti matemaattisesta näkökulmasta skalaaritulo on dimensioton, eli tulos on tässä tapauksessa vain numero ja siinä se. Fysiikan tehtävien näkökulmasta skalaaritulolla on aina tietty fyysinen merkitys, eli tuloksen jälkeen on ilmoitettava yksi tai toinen fyysinen yksikkö. Kanoninen esimerkki voiman työn laskemisesta löytyy mistä tahansa oppikirjasta (kaava on täsmälleen skalaaritulo). Voiman työ mitataan jouleina, joten vastaus kirjoitetaan melko tarkasti, esimerkiksi .

Esimerkki 2

Etsi jos , ja vektorien välinen kulma on yhtä suuri kuin .

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse, vastaus on oppitunnin lopussa.

Vektorien ja pistetuloarvon välinen kulma

Esimerkissä 1 skalaaritulo osoittautui positiiviseksi ja esimerkissä 2 negatiiviseksi. Selvitetään, mistä skalaaritulon etumerkki riippuu. Katsotaanpa kaavaamme: . Nollasta poikkeavien vektorien pituudet ovat aina positiivisia: , joten etumerkki voi riippua vain kosinin arvosta.

Huomautus: Alla olevien tietojen ymmärtämiseksi on parempi tutkia käsikirjassa olevaa kosinikaaviota Funktiokaaviot ja ominaisuudet. Katso kuinka kosini käyttäytyy segmentissä.

Kuten jo todettiin, vektorien välinen kulma voi vaihdella sisällä , ja seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:

1) Jos kulma vektorien välillä mausteinen: (0 - 90 astetta), sitten , Ja pistetulo on positiivinen ohjattu yhdessä, silloin niiden välistä kulmaa pidetään nollana, ja skalaaritulo on myös positiivinen. Koska , kaava yksinkertaistaa: .

2) Jos kulma vektorien välillä tylsä: (90 - 180 astetta), sitten ja vastaavasti pistetulo on negatiivinen: . Erikoistapaus: jos vektorit vastakkaisiin suuntiin, niin niiden välinen kulma otetaan huomioon laajennettu: (180 astetta). Skalaaritulo on myös negatiivinen, koska

Myös käänteiset väitteet pitävät paikkansa:

1) Jos , niin näiden vektorien välinen kulma on akuutti. Vaihtoehtoisesti vektorit ovat samansuuntaisia.

2) Jos , niin näiden vektorien välinen kulma on tylppä. Vaihtoehtoisesti vektorit ovat vastakkaisiin suuntiin.

Mutta kolmas tapaus on erityisen kiinnostava:

3) Jos kulma vektorien välillä suoraan: (90 astetta), sitten skalaaritulo on nolla: . Päinvastoin on myös totta: jos , niin . Lausunto voidaan muotoilla tiiviisti seuraavasti: Kahden vektorin skalaaritulo on nolla silloin ja vain jos vektorit ovat ortogonaalisia. Lyhyt matemaattinen merkintä:

! Huomautus : Toistetaan matemaattisen logiikan perusteet: Kaksipuolinen looginen seurauskuvake luetaan yleensä "jos ja vain jos", "jos ja vain jos". Kuten näet, nuolet on suunnattu molempiin suuntiin - "tästä seuraa tätä ja päinvastoin - tästä seuraa tätä." Mitä eroa muuten on yksisuuntaiseen seurantakuvakkeeseen? Kuvake ilmoittaa vain se, että "tästä seuraa tätä", eikä se ole tosiasia, että päinvastoin olisi totta. Esimerkki: , mutta kaikki eläimet eivät ole pantteri, joten tässä tapauksessa et voi käyttää kuvaketta. Samaan aikaan kuvakkeen sijaan Voi käytä yksipuolista kuvaketta. Esimerkiksi, kun ratkaisimme ongelman, huomasimme, että päätimme vektorien olevan ortogonaalisia: - tällainen merkintä on oikea ja jopa sopivampi kuin .

Kolmannella tapauksella on suuri käytännön merkitys, koska sen avulla voit tarkistaa, ovatko vektorit ortogonaalisia vai eivät. Ratkaisemme tämän ongelman oppitunnin toisessa osassa.

Pistetuotteen ominaisuudet

Palataan tilanteeseen, jossa kaksi vektoria ohjattu yhdessä. Tässä tapauksessa niiden välinen kulma on nolla, ja skalaaritulokaava on muotoa: .

Mitä tapahtuu, jos vektori kerrotaan itsestään? On selvää, että vektori on kohdistettu itsensä kanssa, joten käytämme yllä olevaa yksinkertaistettua kaavaa:

Numeroon soitetaan skalaari neliö vektori, ja niitä merkitään .

Täten, vektorin skalaarineliö on yhtä suuri kuin annetun vektorin pituuden neliö:

Tästä yhtälöstä voimme saada kaavan vektorin pituuden laskemiseksi:

Toistaiseksi se näyttää epäselvältä, mutta oppitunnin tavoitteet asettavat kaiken paikoilleen. Tarvitsemme myös ongelmien ratkaisemiseksi pistetuotteen ominaisuudet.

Mielivaltaisille vektoreille ja mille tahansa numerolle seuraavat ominaisuudet ovat tosia:

1) – kommutatiivinen tai kommutatiivisia skalaaritulolaki.

2) – jakelu tai jakavia skalaaritulolaki. Yksinkertaisesti voit avata kiinnikkeet.

3) – assosiatiivinen tai assosiatiivista skalaaritulolaki. Vakio voidaan johtaa skalaaritulosta.

Usein kaikenlaiset ominaisuudet (jotka on myös todistettava!) kokevat opiskelijat tarpeettomaksi roskana, joka tarvitsee vain opetella ulkoa ja turvallisesti unohtaa heti kokeen jälkeen. Vaikuttaa siltä, ​​että mikä tässä on tärkeää, kaikki tietävät jo ensimmäisestä luokasta lähtien, että tekijöiden uudelleenjärjestely ei muuta tuotetta: . Minun on varoitettava, että korkeammassa matematiikassa on helppo sotkea asiat sellaisella lähestymistavalla. Joten esimerkiksi kommutatiivinen ominaisuus ei pidä paikkaansa algebralliset matriisit. Se ei myöskään pidä paikkaansa vektorien vektoritulo. Siksi on vähintäänkin parempi syventää korkeamman matematiikan kurssilla törmäämiäsi ominaisuuksia ymmärtääksesi, mitä voit tehdä ja mitä et.

Esimerkki 3

.

Ratkaisu: Selvitetään ensin tilanne vektorilla. Mitä tämä muuten on? Vektorien summa on hyvin määritelty vektori, jota merkitään . Artikkelista löytyy geometrinen tulkinta vektoreilla toimivista toimista Vektorit tutille. Sama persilja, jossa on vektori, on vektorien ja .

Ehdon mukaan on siis löydettävä skalaaritulo. Teoriassa sinun on sovellettava työkaavaa , mutta ongelma on se, että emme tiedä vektorien pituuksia ja niiden välistä kulmaa. Mutta ehto antaa vektoreille samanlaiset parametrit, joten valitsemme eri reitin:

(1) Korvaa vektorien lausekkeet.

(2) Avaamme hakasulkeet polynomien kertolaskusäännön mukaisesti, artikkelista löytyy vulgaari kielenkääntäjä Monimutkaiset luvut tai Murto-rationaalisen funktion integrointi. En toista itseäni =) Muuten, skalaarituotteen jakautumisominaisuus antaa meille mahdollisuuden avata sulut. Meillä on oikeus.

(3) Ensimmäisessä ja viimeisessä termissä kirjoitetaan kompaktisti vektorien skalaarineliöt: . Toisessa termissä käytämme skalaaritulon kommutoitavuutta: .

(4) Esittelemme samankaltaisia ​​termejä: .

(5) Ensimmäisessä termissä käytämme skalaarineliön kaavaa, joka mainittiin vähän aikaa sitten. Vastaavasti viimeisellä lukukaudella sama toimii: . Laajennamme toista termiä vakiokaavan mukaan .

(6) Korvaa nämä ehdot , ja suorita HUOLELLISESTI lopulliset laskelmat.

Vastaus:

Skalaaritulon negatiivinen arvo ilmaisee, että vektorien välinen kulma on tylppä.

Ongelma on tyypillinen, tässä on esimerkki sen ratkaisemiseksi itse:

Esimerkki 4

Etsi vektorien skalaaritulo ja jos se tiedetään .

Nyt toinen yleinen tehtävä, vain vektorin pituuden uudelle kaavalle. Tässä oleva merkintä on hieman päällekkäinen, joten selvyyden vuoksi kirjoitan sen uudelleen toisella kirjaimella:

Esimerkki 5

Etsi vektorin pituus jos .

Ratkaisu tulee olemaan seuraava:

(1) Toimitamme lausekkeen vektorille .

(2) Käytämme pituuskaavaa: , ja koko lauseke ve toimii vektorina "ve".

(3) Käytämme summan neliön koulukaavaa. Huomaa, miten se toimii tässä omituisella tavalla: – itse asiassa se on eron neliö, ja näin se itse asiassa on. Halukkaat voivat järjestää vektorit uudelleen: - sama tapahtuu, termien uudelleenjärjestelyyn asti.

(4) Seuraava on jo tuttua kahdesta edellisestä tehtävästä.

Vastaus:

Koska puhumme pituudesta, älä unohda ilmoittaa mittaa - "yksiköt".

Esimerkki 6

Etsi vektorin pituus jos .

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Jatkamme hyödyllisten asioiden puristamista pistetuotteesta. Katsotaanpa kaavaamme uudelleen . Suhteellisuussäännön avulla nollaamme vektorien pituudet vasemman puolen nimittäjään:

Vaihdetaan osia:

Mikä tämän kaavan merkitys on? Jos kahden vektorin pituudet ja niiden skalaaritulo tunnetaan, voimme laskea näiden vektorien välisen kulman kosinin ja siten itse kulman.

Onko pistetuote numero? Määrä. Ovatko vektorin pituudet numeroita? Numerot. Tämä tarkoittaa, että murtoluku on myös luku. Ja jos kulman kosini tunnetaan: , niin käänteisfunktiolla on helppo löytää itse kulma: .

Esimerkki 7

Etsi vektorien välinen kulma ja jos tiedetään, että .

Ratkaisu: Käytämme kaavaa:

Laskelmien viimeisessä vaiheessa käytettiin teknistä tekniikkaa - poistamalla irrationaalisuus nimittäjästä. Irrationaalisuuden poistamiseksi kerroin osoittajan ja nimittäjän luvulla.

Niin jos , Tuo:

Käänteisten trigonometristen funktioiden arvot löytyvät trigonometrinen taulukko. Vaikka tätä tapahtuu harvoin. Analyyttisen geometrian ongelmissa paljon useammin joku kömpelö karhu tykkää, ja kulman arvo on löydettävä likimäärin laskimen avulla. Itse asiassa tulemme näkemään sellaisen kuvan useammin kuin kerran.

Vastaus:

Jälleen, älä unohda ilmoittaa mitat - radiaanit ja asteet. Henkilökohtaisesti, jotta ilmeisesti "ratkaisisin kaikki kysymykset", haluan ilmaista molemmat (ellei ehto tietenkään edellytä vastauksen esittämistä vain radiaaneina tai vain asteina).

Nyt voit itsenäisesti selviytyä monimutkaisemmasta tehtävästä:

Esimerkki 7*

On annettu vektorien pituudet ja niiden välinen kulma. Etsi vektorien välinen kulma , .

Tehtävä ei ole niin vaikea kuin se on monivaiheinen.
Katsotaanpa ratkaisualgoritmia:

1) Ehdon mukaan sinun on löydettävä kulma vektorien ja välillä, joten sinun on käytettävä kaavaa .

2) Etsi skalaaritulo (katso esimerkit 3, 4).

3) Laske vektorin pituus ja vektorin pituus (katso esimerkit 5, 6).

4) Ratkaisun loppu on sama kuin esimerkissä 7 - tiedämme numeron , mikä tarkoittaa, että itse kulman löytäminen on helppoa:

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Oppitunnin toinen osa on omistettu samalle skalaaritulolle. Koordinaatit. Se on vielä helpompaa kuin ensimmäisessä osassa.

vektorien pistetulo,
annettuna koordinaatteina ortonormaalisesti

Vastaus:

Sanomattakin on selvää, että koordinaattien käsittely on paljon miellyttävämpää.

Esimerkki 14

Etsi vektorien skalaaritulo ja jos

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Tässä voidaan käyttää operaation assosiatiivisuutta, eli älä laske , vaan ota kolmois välittömästi skalaaritulon ulkopuolelle ja kerro se sillä viimeisenä. Ratkaisu ja vastaus ovat oppitunnin lopussa.

Jakson lopussa provosoiva esimerkki vektorin pituuden laskemisesta:

Esimerkki 15

Etsi vektorien pituudet , Jos

Ratkaisu: Edellisen osan menetelmä ehdottaa itseään uudelleen: mutta on toinenkin tapa:

Etsitään vektori:

Ja sen pituus triviaalin kaavan mukaan :

Pistetuote ei liity tähän ollenkaan!

Se ei myöskään ole hyödyllinen laskettaessa vektorin pituutta:
Lopettaa. Eikö meidän pitäisi hyödyntää vektorin pituuden ilmeistä ominaisuutta? Mitä voit sanoa vektorin pituudesta? Tämä vektori on 5 kertaa pidempi kuin vektori. Suunta on päinvastainen, mutta tällä ei ole väliä, koska puhumme pituudesta. On selvää, että vektorin pituus on yhtä suuri kuin tulo moduuli numerot per vektorin pituus:
– moduulimerkki "syö" luvun mahdollisen miinuksen.

Täten:

Vastaus:

Koordinaateilla määritettyjen vektorien välisen kulman kosinin kaava

Nyt meillä on täydelliset tiedot ilmaista aiemmin johdettu kaava vektorien välisen kulman kosinille vektorien koordinaattien kautta:

Tasovektorien välisen kulman kosini ja ortonormaalisti määriteltynä, ilmaistaan ​​kaavalla:
.

Avaruusvektorien välisen kulman kosini, määritetty ortonormaalisti, ilmaistaan ​​kaavalla:

Esimerkki 16

Annettu kolmion kolme kärkeä. Etsi (vertex-kulma).

Ratkaisu: Ehtojen mukaan piirustusta ei vaadita, mutta silti:

Tarvittava kulma on merkitty vihreällä kaarella. Muistakaamme heti kulman koulunimitys: – erityistä huomiota keskiverto kirjain - tämä on tarvitsemamme kulman kärki. Lyhytyyden vuoksi voit kirjoittaa myös yksinkertaisesti .

Piirustuksen perusteella on ilmeistä, että kolmion kulma on sama kuin vektorien välinen kulma ja toisin sanoen: .

On suositeltavaa oppia suorittamaan analyysi henkisesti.

Etsitään vektorit:

Lasketaan skalaaritulo:

Ja vektorien pituudet:

Kulman kosini:

Juuri tätä tehtävän suorittamisjärjestystä suosittelen nukkeille. Edistyneemmät lukijat voivat kirjoittaa laskelmat "yhdelle riville":

Tässä on esimerkki "huonosta" kosiniarvosta. Tuloksena oleva arvo ei ole lopullinen, joten nimittäjän irrationaalisuudesta ei ole juurikaan hyötyä.

Etsitään itse kulma:

Jos katsot piirustusta, tulos on melko uskottava. Kulman voi tarkistaa myös mittaamalla astemittarilla. Älä vahingoita näytön kantta =)

Vastaus:

Vastauksessa emme unohda sitä kysyttiin kolmion kulmasta(eikä vektorien välisestä kulmasta), älä unohda ilmoittaa tarkkaa vastausta: ja kulman likimääräinen arvo: , löytyi laskimen avulla.

Prosessista nauttineet voivat laskea kulmat ja varmistaa kanonisen tasa-arvon pätevyyden

Esimerkki 17

Kolmio määritellään avaruudessa sen kärkipisteiden koordinaatteilla. Etsi sivujen välinen kulma ja

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse. Koko ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa

Lyhyt viimeinen osa on omistettu ennusteille, jotka sisältävät myös skalaaritulon:

Vektorin projektio vektoriin. Vektorin projektio koordinaattiakseleille.
Vektorin suuntakosinit

Harkitse vektoreita ja:

Projisoidaan vektori vektoriin; tätä varten jätetään vektorin alusta ja lopusta pois kohtisuorat vektoriksi (vihreät katkoviivat). Kuvittele, että valonsäteet putoavat kohtisuoraan vektoriin. Sitten segmentti (punainen viiva) on vektorin "varjo". Tässä tapauksessa vektorin projektio vektoriin on janan PITUUS. Eli PROJEKTI ON NUMERO.

Tämä NUMERO on merkitty seuraavasti: , "suuri vektori" tarkoittaa vektoria MIKÄ projekti, "pieni alaindeksivektori" tarkoittaa vektoria PÄÄLLÄ joka ennustetaan.

Itse merkintä kuuluu näin: "vektorin "a" projektio vektoriin "olla".

Mitä tapahtuu, jos vektori "olla" on "liian lyhyt"? Piirrämme suoran, joka sisältää vektorin "olla". Ja vektori "a" projisoidaan jo vektorin "olla" suuntaan, yksinkertaisesti - suoralle viivalle, joka sisältää vektorin "be". Sama tapahtuu, jos vektoria "a" lykätään 30. valtakunnassa - se heijastetaan silti helposti suoralle viivalle, joka sisältää vektorin "be".

Jos kulma vektorien välillä mausteinen(kuten kuvassa) siis

Jos vektorit ortogonaalinen, niin (projektio on piste, jonka mittoja pidetään nollana).

Jos kulma vektorien välillä tylsä(kuvassa, järjestä vektorinuoli henkisesti uudelleen), sitten (sama pituus, mutta otettu miinusmerkillä).

Piirretään nämä vektorit yhdestä pisteestä:

On selvää, että kun vektori liikkuu, sen projektio ei muutu

Tulee myös itse ratkaistavia ongelmia, joihin näet vastaukset.

Jos tehtävässä sekä vektorien pituudet että niiden välinen kulma esitetään "hopealautasella", niin ongelman ehto ja sen ratkaisu näyttävät tältä:

Esimerkki 1. Vektorit on annettu. Etsi vektorien skalaaritulo, jos niiden pituudet ja niiden välinen kulma esitetään seuraavilla arvoilla:

Toinen määritelmä on myös pätevä, täysin sama kuin määritelmä 1.

Määritelmä 2. Vektorien skalaaritulo on luku (skalaari), joka on yhtä suuri kuin yhden näistä vektoreista pituuden ja toisen vektorin projektion tulo akselille, jonka määrittää ensimmäinen näistä vektoreista. Määritelmän 2 mukainen kaava:

Ratkaisemme ongelman tämän kaavan avulla seuraavan tärkeän teoreettisen kohdan jälkeen.

Vektorien skalaaritulon määritelmä koordinaatteina

Sama luku saadaan, jos kerrottaville vektoreille annetaan koordinaatit.

Määritelmä 3. Vektorien pistetulo on luku, joka on yhtä suuri kuin niiden vastaavien koordinaattien parittaisten tulojen summa.

Pinnalla

Jos kaksi vektoria ja tasossa on määritelty niiden kahdella Suorakulmaiset suorakulmaiset koordinaatit

silloin näiden vektorien skalaaritulo on yhtä suuri kuin niiden vastaavien koordinaattien paritulojen summa:

.

Esimerkki 2. Etsi vektorin projektion numeerinen arvo vektorin suuntaiselle akselille.

Ratkaisu. Löydämme vektorien skalaaritulon lisäämällä niiden koordinaattien paritulot:

Nyt meidän on rinnastettava tuloksena oleva skalaaritulo vektorin pituuden ja vektorin projektion tuloon vektorin suuntaiselle akselille (kaavan mukaisesti).

Löydämme vektorin pituuden sen koordinaattien neliöiden summan neliöjuurena:

.

Luomme yhtälön ja ratkaisemme sen:

Vastaus. Vaadittu numeerinen arvo on miinus 8.

Avaruudessa

Jos kaksi vektoria ja avaruudessa määritellään niiden kolmen suorakulmaisen suorakulmaisen koordinaatin avulla

,

silloin näiden vektorien skalaaritulo on myös yhtä suuri kuin niiden vastaavien koordinaattien paritulojen summa, vain koordinaatteja on jo kolme:

.

Tehtävä löytää skalaaritulo kyseisellä menetelmällä on skalaaritulon ominaisuuksien analysoinnin jälkeen. Koska tehtävässä sinun on määritettävä, mikä kulma kerrotut vektorit muodostavat.

Vektorien skalaaritulon ominaisuudet

Algebralliset ominaisuudet

1. (kommutatiivista omaisuutta: kerrottujen vektorien paikkojen kääntäminen ei muuta niiden skalaaritulon arvoa).

2. (assosiatiivinen ominaisuus suhteessa numeeriseen tekijään: vektorin skalaaritulo kerrottuna tietyllä tekijällä ja toisella vektorilla on yhtä suuri kuin näiden vektorien skalaaritulo kerrottuna samalla tekijällä).

3. (distributiivinen ominaisuus suhteessa vektorien summaan: kahden vektorin summan skalaaritulo kolmannella vektorilla on yhtä suuri kuin kolmannen vektorin ensimmäisen vektorin ja kolmannen vektorin toisen vektorin skalaaritulojen summa).

4. (nollaa suuremman vektorin skalaarineliö), if on nollasta poikkeava vektori ja , jos on nollavektori.

Geometriset ominaisuudet

Tutkittavan operaation määritelmissä olemme jo käsitelleet kahden vektorin välisen kulman käsitettä. On aika selventää tätä käsitettä.

Yllä olevassa kuvassa näet kaksi vektoria, jotka on tuotu yhteiseen origoon. Ja ensimmäinen asia, johon sinun on kiinnitettävä huomiota, on se, että näiden vektorien välillä on kaksi kulmaa - φ 1 Ja φ 2 . Mikä näistä kulmista esiintyy vektorien skalaaritulon määritelmissä ja ominaisuuksissa? Tarkastettujen kulmien summa on 2 π ja siksi näiden kulmien kosinit ovat yhtä suuret. Pistetulon määritelmä sisältää vain kulman kosinin, ei sen lausekkeen arvoa. Mutta ominaisuudet ottavat huomioon vain yhden kulman. Ja tämä on yksi kahdesta kulmasta, joka ei ylitä π eli 180 astetta. Kuvassa tämä kulma on merkitty muodossa φ 1 .

1. Kutsutaan kahta vektoria ortogonaalinen Ja näiden vektorien välinen kulma on suora (90 astetta tai π /2), jos näiden vektorien skalaaritulo on nolla :

.

Ortogonaalisuus vektorialgebrassa on kahden vektorin kohtisuora.

2. Kaksi nollasta poikkeavaa vektoria muodostuu terävä kulma (0 - 90 astetta tai, mikä on sama - vähemmän π pistetuote on positiivinen .

3. Kaksi nollasta poikkeavaa vektoria muodostuu tylppä kulma (90 - 180 astetta, tai mikä on sama - enemmän π /2) jos ja vain jos ne pistetulo on negatiivinen .

Esimerkki 3. Koordinaatit annetaan vektoreilla:

.

Laske kaikkien annettujen vektoriparien skalaaritulot. Minkä kulman (terävä, oikea, tylppä) nämä vektoriparit muodostavat?

Ratkaisu. Laskemme lisäämällä vastaavien koordinaattien tulot.

Saimme negatiivisen luvun, joten vektorit muodostavat tylpän kulman.

Saimme positiivisen luvun, joten vektorit muodostavat terävän kulman.

Saimme nollan, joten vektorit muodostavat suoran kulman.

Saimme positiivisen luvun, joten vektorit muodostavat terävän kulman.

.

Saimme positiivisen luvun, joten vektorit muodostavat terävän kulman.

Voit käyttää itsetestaukseen online-laskin Vektorien ja niiden välisen kulman kosinin pistetulo .

Esimerkki 4. Kun otetaan huomioon kahden vektorin pituudet ja niiden välinen kulma:

.

Määritä, millä luvun arvolla vektorit ja ovat kohtisuorassa (pystysuorassa).

Ratkaisu. Kerrotaan vektorit polynomien kertomissäännöllä:

Lasketaan nyt jokainen termi:

.

Luodaan yhtälö (tulo on nolla), lisätään vastaavat termit ja ratkaistaan ​​yhtälö:

Vastaus: saimme arvon λ = 1,8, jossa vektorit ovat ortogonaalisia.

Esimerkki 5. Todista, että vektori kohtisuorassa (pystysuorassa) vektoriin nähden

Ratkaisu. Ortogonaalisuuden tarkistamiseksi kerromme vektorit ja polynomeina, korvaamalla sen sijaan ongelmalausekkeessa annetulla lausekkeella:

.

Tätä varten sinun on kerrottava ensimmäisen polynomin jokainen termi (termi) toisen kullakin termillä ja lisättävä tuloksena saadut tulot:

.

Saadussa tuloksessa fraktio pienenee. Saadaan seuraava tulos:

Johtopäätös: kertolaskun tuloksena saimme nollan, joten vektorien ortogonaalisuus (pystysuoraisuus) on todistettu.

Ratkaise ongelma itse ja katso sitten ratkaisu

Esimerkki 6. Vektorien ja pituudet on annettu, ja näiden vektorien välinen kulma on π /4 . Päätä millä arvolla μ vektorit ja ovat keskenään kohtisuorassa.

Voit käyttää itsetestaukseen online-laskin Vektorien ja niiden välisen kulman kosinin pistetulo .

Matriisiesitys vektorien pistetulosta ja n-ulotteisten vektorien tulosta

Joskus on selvyyden vuoksi edullista esittää kaksi kerrottua vektoria matriisien muodossa. Sitten ensimmäinen vektori esitetään rivimatriisina ja toinen - sarakematriisina:

Silloin vektorien skalaaritulo on näiden matriisien tulo :

Tulos on sama kuin jo tarkastelemallamme menetelmällä saatu tulos. Saimme yhden yksittäisen luvun, ja rivimatriisin tulo sarakematriisilla on myös yksi luku.

On kätevää esittää abstraktien n-ulotteisten vektorien tulo matriisimuodossa. Siten kahden neliulotteisen vektorin tulo on neljän alkioisen rivimatriisin tulo sarakematriisilla myös neljällä alkiolla, kahden viisiulotteisen vektorin tulo on viisi alkiota sisältävän rivimatriisin tulo sarakematriisi, jossa on myös viisi elementtiä ja niin edelleen.

Esimerkki 7. Etsi vektoriparien skalaaritulot

,

käyttämällä matriisiesitystä.

Ratkaisu. Ensimmäinen vektoripari. Esitämme ensimmäistä vektoria rivimatriisina ja toista sarakematriisina. Löydämme näiden vektorien skalaaritulon rivimatriisin ja sarakematriisin tulona:

Edustamme samalla tavalla toista paria ja löydämme:

Kuten näet, tulokset olivat samat kuin esimerkin 2 samoilla pareilla.

Kahden vektorin välinen kulma

Kahden vektorin välisen kulman kosinin kaavan johtaminen on erittäin kaunis ja ytimekäs.

Ilmaista vektorien pistetulo

(1)

koordinaattimuodossa löydämme ensin yksikkövektorien skalaaritulon. Vektorin skalaaritulo itsensä kanssa määritelmän mukaan:

Yllä olevaan kaavaan kirjoitettu tarkoittaa: vektorin skalaaritulo itsensä kanssa on yhtä suuri kuin sen pituuden neliö. Nollan kosini on yhtä suuri kuin yksi, joten kunkin yksikön neliö on yhtä suuri:

Vektoreista lähtien

ovat pareittain kohtisuorassa, niin yksikkövektorien parittaiset tulot ovat nolla:

Suoritetaan nyt vektoripolynomien kertolasku:

Korvaamme yksikkövektorien vastaavien skalaaritulojen arvot yhtälön oikealle puolelle:

Saamme kaavan kahden vektorin välisen kulman kosinille:

Esimerkki 8. Kolme pistettä annetaan A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Etsi kulma.

Ratkaisu. Vektorien koordinaattien löytäminen:

,

.

Käyttämällä kosinikulmakaavaa saamme:

Siksi,.

Voit käyttää itsetestaukseen online-laskin Vektorien ja niiden välisen kulman kosinin pistetulo .

Esimerkki 9. Kaksi vektoria on annettu

Etsi niiden välinen summa, erotus, pituus, pistetulo ja kulma.

2. Ero