Nykyaikaisessa koneenrakennuksessa käytetään paljon elementtejä ja varaosia, joiden rakenteessa on sekä ulkoisia että sisäisiä ympyröitä. Eniten loistava esimerkki voi toimia laakeripesinä, moottorin osina, napakokoonpanoina ja paljon muuta. Niiden tuotannossa ei käytetä vain huipputeknisiä laitteita, vaan myös tietoa geometriasta, erityisesti tietoa kolmion ympyröistä. Tutustumme näihin tietoihin tarkemmin alla.

Yhteydessä

Mikä ympyrä on merkitty ja mikä rajattu?

Ensinnäkin muista, että ympyrä on ääretön joukko pisteitä yhtä etäisyydellä keskustasta. Jos monikulmion sisään on mahdollista rakentaa ympyrä, jolla on vain yksi yhteinen leikkauspiste kummankin sivun kanssa, sitä kutsutaan sisäänkirjoitetuksi. Rajoitettu ympyrä (ei ympyrä, se on erilaisia ​​käsitteitä) on pisteiden paikka, jossa muodostettu kuvio tietyllä monikulmiolla yhteisiä kohtia siellä on vain monikulmion kärjet. Tutustutaan näihin kahteen käsitteeseen selkeämmän esimerkin avulla (katso kuva 1.).

Kuva 1. Kolmion piirretyt ja rajatut ympyrät

Kuvassa on kaksi halkaisijaltaan suurta ja pientä hahmoa, joiden keskipisteet ovat G ja I. Ympyrä suurempi arvo kutsutaan kuvatuksi naapurustoksi Δ ABC, ja pientä kutsutaan päinvastoin kirjoitukseksi Δ ABC.

Kolmion ympäristön kuvaamiseksi tarvitaan se piirrä kohtisuora viiva kummankin sivun keskeltä(eli 90° kulmassa) on leikkauspiste, sillä on keskeinen rooli. Se on rajatun ympyrän keskipiste. Ennen kuin löydät ympyrän, sen keskipisteen kolmiossa, sinun on rakennettava kullekin kulmille ja valittava sitten viivojen leikkauspiste. Se puolestaan ​​on kirjoitetun naapuruston keskipiste, ja sen säde on kaikissa olosuhteissa kohtisuorassa mihin tahansa sivuun.

Kysymykseen: "Kuinka monta piirrettyä ympyrää voi olla monikulmiossa, jossa on kolme?" Vastataan heti, että ympyrä voidaan kirjoittaa mihin tahansa kolmioon, ja vain yhteen. Koska kaikilla puolittajilla on vain yksi leikkauspiste ja yksi sivujen keskipisteistä lähtevien kohtisuorien leikkauspiste.

Ympyrän ominaisuus, johon kolmion kärjet kuuluvat

Rajatulla ympyrällä, joka riippuu sivujen pituudesta pohjassa, on omat ominaisuutensa. Osoitetaan ympyrän ominaisuudet:

Ymmärtääksemme rajatun ympyrän periaatteen selvemmin, ratkaistaan ​​yksinkertainen ongelma. Oletetaan, että meille on annettu kolmio Δ ABC, jonka sivut ovat 10, 15 ja 8,5 cm. Kolmion ympärille piirretyn ympyrän (FB) säde on 7,9 cm. Etsi kunkin kulman astemitta ja niiden läpi kolmion pinta-ala.

Kuva 2. Ympyrän säteen löytäminen kulmien sivujen ja sinien suhteella

Ratkaisu: Aiemmin esitetyn sinilauseen perusteella löydämme kunkin kulman sinin arvon erikseen. Ehdolla tiedetään, että sivu AB on 10 cm. Lasketaan C:n arvo:

Käyttämällä Bradis-taulukon arvoja saamme selville, että kulman C astemitta on 39°. Samalla menetelmällä voimme löytää loput kulmien mitat:

Mistä tiedämme, että CAB = 33° ja ABC = 108°. Nyt, kun tiedämme kunkin kulman sinien arvot ja säteen, etsitään alue korvaamalla löydetyt arvot:

Vastaus: Kolmion pinta-ala on 40,31 cm² ja kulmat 33°, 108° ja 39°.

Tärkeä! Tällaisia ​​ongelmia ratkaistaessa on hyödyllistä, että älypuhelimessa on aina Bradis-taulukoita tai vastaava sovellus, koska manuaalinen prosessi voi kestää kauan. pitkä aika. Lisäksi ajan säästämiseksi ei tarvitse rakentaa kaikkia kolmea kohtisuoran keskipistettä tai kolmea puolittajaa. Mikä tahansa kolmas niistä leikkaa aina kahden ensimmäisen leikkauspisteen. Ja ortodoksisessa rakenteessa kolmas on yleensä valmis. Ehkä tämä on väärin algoritmin suhteen, mutta Unified State Exam tai muissa kokeissa se säästää paljon aikaa.

Piirretyn ympyrän säteen laskeminen

Kaikki ympyrän pisteet ovat yhtä kaukana sen keskustasta samalla etäisyydellä. Tämän segmentin pituutta (alkaen ja toiseen) kutsutaan säteeksi. Riippuen siitä, millainen ympäristö meillä on, on kahta tyyppiä - sisäinen ja ulkoinen. Jokainen niistä lasketaan omalla kaavallaan ja liittyy suoraan parametrien, kuten:

• neliö;
• kunkin kulman astemitta;
• sivujen pituudet ja ympärysmitta.

Kuva 3. Piirretyn ympyrän sijainti kolmion sisällä

Voit laskea etäisyyden pituuden keskipisteestä molemmin puolin kosketuspisteeseen seuraavilla tavoilla: h sivujen, sivujen ja kulmien läpi(tasakylkiselle kolmiolle).

Puolikehän käyttö

Puolikehä on puolet kaikkien sivujen pituuksien summasta. Tätä menetelmää pidetään suositumpana ja yleismaailmallisena, koska riippumatta siitä, minkä tyyppistä kolmiota annetaan ehdon mukaan, se sopii kaikille. Laskentamenettely on seuraava:

Jos annetaan "oikein"

Yksi "ihanteellisen" kolmion pienistä eduista on se piirretyillä ja rajatuilla ympyröillä on keskipiste samassa pisteessä. Tämä on kätevää hahmoja rakennettaessa. Kuitenkin 80 prosentissa tapauksista vastaus on "ruma". Tässä tarkoitetaan sitä, että hyvin harvoin kirjoitetun naapuruston säde on kokonainen, pikemminkin päinvastoin. Laskennan yksinkertaistamiseksi käytä kaavaa kolmioon piirretyn ympyrän säteelle:

Jos sivut ovat yhtä pitkiä

Yksi valtion tehtävien alatyypeistä. kokeissa etsitään kolmion piirretyn ympyrän säde, jonka kaksi sivua ovat keskenään yhtä suuret ja kolmas ei. Tässä tapauksessa suosittelemme tämän algoritmin käyttöä, mikä säästää huomattavasti aikaa kirjoitetun alueen halkaisijan etsimisessä. Ympyrän säde kolmioon, jolla on yhtäläiset sivut, lasketaan kaavalla:

Osoitamme näiden kaavojen selkeämmän soveltamisen seuraavassa tehtävässä. Otetaan kolmio (Δ HJI), johon lähiö on piirretty pisteeseen K. Sivun pituus HJ = 16 cm, JI = 9,5 cm ja sivun HI on 19 cm (kuva 4). Etsi piirretyn alueen säde, kun tiedät sivut.

Kuva 4. Piirretyn ympyrän säteen arvon löytäminen

Ratkaisu: kirjoitetun ympäristön säteen löytämiseksi löydämme puolikehän:

Täältä, tietäen laskentamekanismin, saamme selville seuraavan arvon. Tätä varten tarvitset kummankin sivun pituudet (kunnon mukaan) sekä puolet kehästä, käy ilmi:

Tästä seuraa, että vaadittu säde on 3,63 cm. Ehdon mukaan kaikki sivut ovat yhtä suuret, niin vaadittu säde on yhtä suuri:

Edellyttäen, että monikulmio on tasakylkinen (esimerkiksi i = h = 10 cm, j = 8 cm), pisteen K keskitetyn sisäympyrän halkaisija on yhtä suuri:

Tehtävä voi sisältää kolmion, jonka kulma on 90°; tässä tapauksessa kaavaa ei tarvitse muistaa. Kolmion hypotenuusa on yhtä suuri kuin halkaisija. Se näyttää selvemmin tältä:

Tärkeä! Jos tehtävänä on löytää sisäsäde, emme suosittele laskelmien suorittamista kulmien sinien ja kosinien arvoilla, joiden taulukkoarvoa ei tarkasti tunneta. Jos pituutta ei muuten saada selville, älä yritä "vetää" arvoa juuren alta. 40 %:ssa ongelmista tuloksena saatava arvo on transsendenttinen (eli ääretön), eikä komissio välttämättä laske vastausta (vaikka se olisi oikein) sen epätarkkuuden tai epäsäännöllinen muoto huomautuksia. Erityistä huomiota Kiinnitä huomiota siihen, kuinka kolmion ympäryssäteen kaavaa voidaan muuttaa ehdotettujen tietojen mukaan. Tällaisten "aihioiden" avulla voit "nähdä" skenaarion ongelman ratkaisemiseksi etukäteen ja valita taloudellisimman ratkaisun.

Sisäympyrän säde ja pinta-ala

Käytä vain ympyrään piirretyn kolmion alueen laskemiseen monikulmion säde ja sivupituudet:

Jos tehtävälause ei anna suoraan säteen arvoa, vaan vain pinta-alan, niin ilmoitettu aluekaava muunnetaan seuraavaksi:

Tarkastellaanpa viimeisen kaavan vaikutusta enemmän konkreettinen esimerkki. Oletetaan, että meille annetaan kolmio, johon naapurusto on kaiverrettu. Naapuruston pinta-ala on 4π ja sivut vastaavasti 4, 5 ja 6 cm. Lasketaan tietyn monikulmion pinta-ala laskemalla puolikehä.

Yllä olevan algoritmin avulla laskemme kolmion alueen piirretyn ympyrän säteen läpi:

Koska ympyrä voidaan piirtää mihin tahansa kolmioon, vaihteluiden määrä alueen löytämisessä kasvaa merkittävästi. Nuo. Kolmion alueen löytäminen edellyttää kunkin sivun pituuden sekä säteen arvon tuntemista.

Ympyrään piirretty kolmio geometria 7

Suorakulmaiset kolmiot piirretty ympyrään

Johtopäätös

Näistä kaavoista voit olla varma, että minkä tahansa ongelman monimutkaisuus, kun käytetään piirrettyjä ja rajattuja ympyröitä, on vain lisätoimissa vaadittujen arvojen löytämiseksi. Tämän tyyppiset ongelmat edellyttävät vain perusteellista ymmärrystä kaavojen olemuksesta sekä niiden soveltamisen rationaalisuudesta. Ratkaisukäytännöstä huomaamme, että jatkossa rajatun ympyrän keskipiste tulee esiin muissa geometria-aiheissa, joten sitä ei pidä aloittaa. Muuten ratkaisu saattaa viivästyä turhien liikkeiden ja loogisten johtopäätösten vuoksi.

Ohjeet

Jos sinulla on mahdollisuus käyttää astetta rakentaessasi, aloita valitsemalla ympyrältä mielivaltainen piste, josta tulee yksi oikean pisteen kärkipisteistä. Merkitse se esimerkiksi A-kirjaimella.

Piirrä apusegmentti, joka yhdistää A:n ympyrän keskustaan. Kiinnitä astelevy tähän segmenttiin niin, että nollan jako osuu ympyrän keskipisteeseen, ja aseta apupiste 120°-merkkiin. Piirrä tämän pisteen kautta toinen apusegmentti, jonka alku on ympyrän keskellä leikkauspisteen kanssa ympärysmitta. Merkitse leikkauspiste kirjaimella B - tämä on kirjoitetun pisteen toinen kärki kolmio.

Toista edellinen vaihe, mutta aseta astemittari toiseen apusegmenttiin ja leikkauspisteeseen ympärysmitta merkitse se kirjaimella C. Et enää tarvitse astemittaria.

Jos ei ole astelevyä, mutta on kompassi ja , aloita laskemalla sivun pituus kolmio. Tiedät varmaan, että se voidaan ilmaista rajatun ympyrän säteellä kertomalla se kolminkertaisiksi neliöjuuri kolmesta, eli noin 1,732050807568877. Pyöristä tämä haluamaasi tarkkuuteen ja kerro ympyrän säteellä.

Laita sivuun kompassin viidennessä vaiheessa löytynyt sivupituus. kolmio ja apuympyrä, jonka keskipiste on pisteessä A. Merkitse näiden kahden ympyrän leikkauspisteet kirjaimilla B ja C - nämä ovat ympyrään kirjoitetun säännöllisen ympyrän kaksi muuta kärkeä kolmio.

Yhdistä kohdat A ja B, B ja C, C ja A ja rakentaminen valmistuu.

Jos ympyrä koskettaa tietyn kolmion kaikkia kolmea sivua ja sen keskipiste on kolmion sisällä, sitä kutsutaan kolmioon piirretyksi.

Tarvitset

• viivain, kompassi

Ohjeet

Viivainta pitkin olevien kaarien leikkauspiste on yhdistetty jaettavan kulman kärkeen;

Sama tehdään millä tahansa muulla kulmalla;

Lähteet:

• http://www.alleng.ru/d/math/math42.htm

Oikea kolmio- sellainen, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Tämän määritelmän perusteella tällaisen lajikkeen rakentaminen kolmio mutta se ei ole vaikea tehtävä.

Tarvitset

• Viivain, paperiarkki, lyijykynä

Ohjeet

Huomautus

Säännöllisen (tasasivuisen) kolmion kaikki kulmat ovat 60 astetta.

Hyödyllinen neuvo

Tasakylkinen kolmio on myös tasakylkinen kolmio. Jos kolmio on tasakylkinen, tämä tarkoittaa, että 2 sen kolmesta sivusta ovat yhtä suuret ja kolmatta sivua pidetään kantana. Minkä tahansa säännöllinen kolmio on tasakylkinen, kun taas päinvastoin ei ole totta.

Vinkki 4: Kuinka löytää ympyrään piirretyn kolmion pinta-ala

Kolmion pinta-ala voidaan laskea useilla tavoilla riippuen siitä, mikä arvo tiedetään ongelmaolosuhteista. Kun otetaan huomioon kolmion kanta ja korkeus, pinta-ala saadaan laskemalla puolen kannan ja korkeuden tulo. Toisessa menetelmässä pinta-ala lasketaan kolmion ympyrän kautta.

Ohjeet

Planimetrian tehtävissä sinun on löydettävä ympyrään piirretyn tai sen ympärille piirretyn monikulmion pinta-ala. Monikulmion katsotaan olevan ympyrän ympärille rajattu, jos se on sen ulkopuolella ja sen sivut koskettavat ympyrää. Ympyrän sisällä oleva monikulmio katsotaan siihen piirretyksi, jos sen ympyrät sijaitsevat sen päällä. Jos tehtävälle annetaan , joka on merkitty, kaikki sen kolme kärkeä koskettavat ympyrää. Riippuen siitä, millaista kolmiota harkitaan, valitaan tehtävän menetelmä.

Yksinkertaisin tapaus on, kun sisään on merkitty säännöllinen kolmio. Koska tällaisessa kolmiossa on kaikki, ympyrän säde on yhtä suuri kuin puolet sen korkeudesta. Siksi voit löytää kolmion alueen. Tässä tapauksessa voit laskea tämän alueen jollakin seuraavista tavoista, esimerkiksi:
R=abc/4S, missä S on kolmion pinta-ala, a, b, c ovat kolmion sivut

Toinen tilanne syntyy, kun kolmio on tasakylkinen. Jos kolmion kanta osuu yhteen ympyrän halkaisijan linjan kanssa tai halkaisija on myös kolmion korkeus, pinta-ala voidaan laskea seuraavasti:
S=1/2h*AC, missä AC on kolmion kanta
Jos ympyrän säde, sen kulmat sekä ympyrän halkaisijan kanssa yhteen osuva kanta tunnetaan, tuntematon korkeus voidaan löytää Pythagoraan lauseella. Kolmion, jonka kanta on yhtäpitävä ympyrän halkaisijan kanssa, pinta-ala on:
S = R*h
Toisessa tapauksessa, kun korkeus on yhtä suuri kuin tasakylkisen kolmion ympärille piirretyn ympyrän halkaisija, sen pinta-ala on yhtä suuri:
S = R*AC

Useissa tehtävissä suorakulmainen kolmio piirretään ympyrään. Tässä tapauksessa ympyrän keskipiste on hypotenuusan keskellä. Kun tiedät kolmion kulmat ja pohjan, voit laskea alueen millä tahansa edellä kuvatuista menetelmistä.
Muissa tapauksissa, erityisesti kun kolmio on terävä tai tylppä, vain ensimmäinen yllä olevista kaavoista on sovellettavissa.

Tehtävänä on sopeutua ympyrä monikulmio voi usein hämmentää aikuista. Hänen päätöksensä on selitettävä koululaiselle, joten vanhemmat lähtevät surffaamaan World Wide Webissä ratkaisua etsimään.

Ohjeet

Piirrä ympyrä. Aseta kompassin neula ympyrän sivulle, mutta älä muuta sädettä. Piirrä kaksi risteävää kaarta ympyrä, kääntämällä kompassia oikealle ja vasemmalle.

Siirrä kompassin neula ympyrää pitkin pisteeseen, jossa kaari leikkaa sen. Käännä kompassia uudelleen ja piirrä vielä kaksi kaarta ylittäen ympyrän ääriviivat. Toista tämä toimenpide, kunnes se leikkaa ensimmäisen pisteen.

Piirrä ympyrä. Piirrä halkaisija sen keskustan läpi, viivan tulee olla vaakasuora. Muodosta kohtisuora ympyrän keskipisteen läpi, hanki pystysuora viiva (esimerkiksi CB).

Jaa säde kahtia. Merkitse tämä kohta halkaisijaviivaan (merkitkää se A). Rakentaa ympyrä jonka keskipiste on pisteessä A ja säde AC. Kun se leikkaa vaakaviivan, saat toisen pisteen (esimerkiksi D). Tämän seurauksena CD-segmentistä tulee viisikulmion se puoli, jolle on kirjoitettava.

Aseta puoliympyrät, joiden säde on yhtä suuri kuin CD, ympyrän ääriviivaa pitkin. Eli alkuperäinen ympyrä jaetaan viiteen yhtä suureen osaan. Yhdistä pisteet viivaimella. Viisikulmion kirjoittamisen ongelma ympyrä myös valmistunut.

Seuraava kuvataan sovittamalla ympyrä neliö. Piirrä halkaisijaviiva. Ota astemittari. Aseta se kohtaan, jossa halkaisija leikkaa ympyrän sivun. Avaa kompassi säteen pituuteen.

Piirrä kaksi kaarta, kunnes ne leikkaavat ympyrä yu, kääntämällä kompassia suuntaan tai toiseen. Siirrä kompassin jalka vastakkaiseen pisteeseen ja piirrä vielä kaksi kaarta samalla ratkaisulla. Yhdistä saadut pisteet.

Neliöi halkaisija, jaa kahdella ja ota juuri. Tämän seurauksena saat neliön sivun, joka sopii helposti sisään ympyrä. Avaa kompassi tähän pituuteen. Laita hänen neulansa päälle ympyrä ja piirrä kaari, joka leikkaa ympyrän toisen sivun. Siirrä kompassin jalka tuloksena olevaan pisteeseen. Piirrä kaari uudelleen.

Toista toimenpide ja piirrä vielä kaksi pistettä. Yhdistä kaikki neljä pistettä. Tämä on helpompi tapa sovittaa neliö ympyrä.

Harkitse sopeutumistehtävää ympyrä. Piirrä ympyrä. Ota piste mielivaltaisesti ympyrässä - se on kolmion kärki. Tästä pisteestä pitäen yllä kompassia, piirrä kaari, kunnes se leikkaa kanssa ympyrä Yu. Tämä on toinen huippu. Rakenna siitä kolmas kärki samalla tavalla. Yhdistä pisteet viivaimella. Ratkaisu on löydetty.

Video aiheesta

Olla yksi olennaisista osista koulun opetussuunnitelma, geometriset ongelmat säännöllisten polygonien rakentamisessa ovat melko triviaaleja. Pääsääntöisesti rakentaminen suoritetaan merkitsemällä monikulmio sisään ympyrä, joka piirretään ensin. Mutta entä jos ympyrä annettu, mutta luku on hyvin monimutkainen?

Tarvitset

• - viivotin;
• - kompassi;
• - lyijykynä;
• - paperi.

Ohjeet

Muodosta jana, joka on kohtisuorassa AB:tä vastaan ​​ja jakaa se leikkauspisteessä kahteen yhtä suureen osaan. Aseta kompassin neula pisteeseen A. Aseta jalka johdolla pisteeseen B tai mihin tahansa kohtaan segmentillä, joka on lähempänä B:tä kuin A:ta. Piirrä ympyrä. Muuttamatta kompassin jalkojen kulmaa, aseta sen neula kohtaan B. Piirrä toinen ympyrä Piirretyt ympyrät leikkaavat kaksi. Piirrä suora viiva niiden läpi. Merkitse tämän janan ja janan AB leikkauspisteeksi C. Merkitse tämän janan ja alkuperäisen leikkauspisteet ympyrä pidät D:stä ja E:stä.

Muodosta jana DE jakamalla se kahtia. Suorita edellisessä vaiheessa kuvatut toimenpiteet segmentin DE osalta. Leikkaa piirretyn janan DE pisteessä O. Tämä piste on ympyrän keskipiste. Merkitse myös konstruoidun kohtisuoran leikkauspisteet alkuperäisen kanssa ympyrä pidät F:stä ja G:stä.

Aseta kompassin jalkojen aukko siten, että niiden päiden välinen etäisyys on alkuperäisen ympyrän säde. Aseta kompassin neula johonkin pisteistä A, B, D, E, F tai G. Aseta jalan pää johdolla pisteeseen O.

Rakenna säännöllinen kuusikulmio. Aseta kompassin neula mihin tahansa kohtaan ympyräviivalla. Merkitse tämä piste H. Tee myötäpäivään kompassilla kaareva lovi siten, että se leikkaa ympyrän linjan. Merkitse tämä piste I. Siirrä kompassin neula pisteeseen I. Tee ympyrään uudelleen lovi ja merkitse tuloksena oleva piste J. Muodosta samalla tavalla pisteet K, L, M. Yhdistä johdonmukaisesti pisteet H, I, J, K, L, M, H pareittain .Vastaanotettu

Kolmion pinta-ala voidaan laskea useilla tavoilla riippuen siitä, mikä arvo tiedetään ongelmaolosuhteista. Kun otetaan huomioon kolmion kanta ja korkeus, pinta-ala saadaan laskemalla puolen kannan ja korkeuden tulo. Toisessa menetelmässä pinta-ala lasketaan kolmion ympyrän kautta.

Ohjeet

• Planimetrian tehtävissä sinun on löydettävä ympyrään piirretyn tai sen ympärille piirretyn monikulmion pinta-ala. Monikulmion katsotaan olevan ympyrän ympärille rajattu, jos se on sen ulkopuolella ja sen sivut koskettavat ympyrää. Ympyrän sisällä olevaa monikulmiota pidetään piirrettynä, jos sen kärjet ovat ympyrän kehällä. Jos tehtävälle annetaan kolmio, joka on piirretty ympyrään, kaikki sen kolme kärkeä koskettavat ympyrää. Riippuen siitä, millaista kolmiota harkitaan, valitaan menetelmä ongelman ratkaisemiseksi.
• Yksinkertaisin tapaus tapahtuu, kun säännöllinen kolmio on piirretty ympyrään. Koska tällaisen kolmion kaikki sivut ovat yhtä suuret, ympyrän säde on yhtä suuri kuin puolet sen korkeudesta. Siksi, kun tiedät kolmion sivut, voit löytää sen alueen. Tässä tapauksessa voit laskea tämän alueen jollakin seuraavista tavoista, esimerkiksi:
  R=abc/4S, missä S on kolmion pinta-ala, a, b, c ovat kolmion sivut S=0,25(R/abc)
• Toinen tilanne syntyy, kun kolmio on tasakylkinen. Jos kolmion kanta osuu yhteen ympyrän halkaisijan linjan kanssa tai halkaisija on myös kolmion korkeus, pinta-ala voidaan laskea seuraavasti:
  S=1/2h*AC, missä AC on kolmion kanta
  Jos tasakylkisen kolmion ympyrän säde, sen kulmat sekä ympyrän halkaisijan kanssa yhtäpitävä kanta tunnetaan, tuntematon korkeus voidaan löytää Pythagoraan lauseella. Kolmion, jonka kanta on yhtäpitävä ympyrän halkaisijan kanssa, pinta-ala on:
  S = R*h
  Toisessa tapauksessa, kun korkeus on yhtä suuri kuin tasakylkisen kolmion ympärille piirretyn ympyrän halkaisija, sen pinta-ala on yhtä suuri:
  S = R*AC
• Useissa tehtävissä suorakulmainen kolmio piirretään ympyrään. Tässä tapauksessa ympyrän keskipiste on hypotenuusan keskellä. Kun tiedät kulmat ja etsit kolmion pohjan, voit laskea alueen millä tahansa edellä kuvatuista menetelmistä.
  Muissa tapauksissa, erityisesti kun kolmio on terävä tai tylppä, vain ensimmäinen yllä olevista kaavoista on sovellettavissa.