Vastaavat kulmat ovat suoria kulmia. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden merkit

Leikkaa suora c yhdensuuntaiset suorat a ja b. Tämä luo kahdeksan kulmaa. Yhdensuuntaisten viivojen kulmia ja poikittaiskulmia käytetään tehtävissä niin usein, että niille annetaan erityiset nimet geometriassa.

Kulmat 1 ja 3 - pystysuora. Ilmeisesti pystysuorat kulmat ovat tasa-arvoisia tuo on
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

Tietysti myös kulmat 5 ja 7, 6 ja 8 ovat pystysuoria.

Kulmat 1 ja 2 - vieressä, tiedämme sen jo. Summa vierekkäiset kulmat yhtä suuri kuin 180º.

Kulmat 3 ja 5 (sekä 2 ja 8, 1 ja 7, 4 ja 6) ovat ristikkäin. Ristikkäiset kulmat ovat yhtä suuret.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Kulmat 1 ja 6 - yksipuolinen. Ne sijaitsevat koko "rakenteen" toisella puolella. Kulmat 4 ja 7 ovat myös yksipuolisia. Yksipuolisten kulmien summa on 180°, tuo on
∠1 + ∠6 = 180°,
∠4 + ∠7 = 180°.

Kulmia 2 ja 6 (sekä 3 ja 7, 1 ja 5, 4 ja 8) kutsutaan sopiva.

Vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, tuo on
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

Kulmia 3 ja 5 (sekä 2 ja 8, 1 ja 7, 4 ja 6) kutsutaan makaa ristikkäin.

Ristikkäiset kulmat ovat yhtä suuret, tuo on
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Käytä kaikkia näitä tosiasioita ratkaisussa Yhtenäisen valtiontutkinnon ongelmat, sinun on opittava näkemään ne piirustuksessa. Esimerkiksi, kun katsot suunnikasta tai puolisuunnikasta, näet parin yhdensuuntaisia ​​viivoja ja kulmaviivaa sekä yksipuolisia kulmia. Piirretään suunnikkaan lävistäjä, näemme kulmat olevan ristikkäin. Tämä on yksi vaiheista, joka muodostaa ratkaisun.

1. Suunnikkaan tylpän kulman puolittaja jakaa vastakkaisen puolen suhteessa 3:4 tylppäkulman kärjestä laskettuna. löytö iso puoli suunnikas, jos sen ympärysmitta on 88.

Muista, että kulman puolittaja on säde, joka lähtee kulman kärjestä ja jakaa kulman puoliksi.

Olkoon BM tylpän kulman B puolittaja. Ehdon mukaan janat MD ja AB ovat 3x ja 4x, vastaavasti.

Tarkastellaan kulmia CBM ja BMA. Koska AD ja BC ovat yhdensuuntaiset, BM on sekantti, kulmat CBM ja BMA ovat ristikkäisiä. Tiedämme, että vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että kolmio ABM on tasakylkinen, joten AB = AM = 4x.

Suunnikkaan ympärysmitta on sen kaikkien sivujen summa, eli
7x + 7x + 4x + 4x = 88.
Näin ollen x = 4, 7x = 28.

2. Suunnikkaan lävistäjä muodostaa kahden sivunsa kanssa kulmat 26º ja 34º. Etsi suunnikkaan suurin kulma. Kerro vastauksesi asteina.

Piirrä suunnikas ja sen diagonaali. Huomioimalla piirustuksen ristikkäiset ja yksipuoliset kulmat, saat helposti vastauksen: 120º.

3. Mikä on suurempi kulma? tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen, jos tiedetään, että vastakkaisten kulmien välinen ero on 50º? Kerro vastauksesi asteina.

Tiedämme sen tasakylkinen(tai tasakylkinen) on puolisuunnikasta, jonka sivut ovat yhtä suuret. Siksi ylemmän pohjan kulmat ovat yhtä suuret, samoin kuin kulmat alemmassa alustassa.

Katsotaanpa piirustusta. Ehdon mukaan α - β = 50°, eli α = β + 50°.

Kulmat α ja β ovat yksipuolisia yhdensuuntaisten viivojen ja poikkisuuntaisten linjojen kanssa, joten
α + β = 180°.

Joten 2β + 50° = 180°
β = 65°, sitten α = 115°.

Vastaus: 115.

EGE-tutkimus » Metodologiset materiaalit» Geometria: nollasta C4:ään » Kolmion korkeudet, mediaanit, puolittajat

Kahden suoran yhdensuuntaisuuden merkit

Lause 1. Jos, kun kaksi suoraa leikkaavat sekantin:

ristikkäiset kulmat ovat yhtä suuret tai

vastaavat kulmat ovat yhtä suuret tai

yksipuolisten kulmien summa on 180°

viivat ovat yhdensuuntaisia(Kuva 1).

Todiste. Rajoitamme tapauksen 1 todistamiseen.

Olkoot leikkaavat suorat a ja b ristikkäin ja kulmat AB yhtä suuret. Esimerkiksi ∠ 4 = ∠ 6. Osoitetaan, että a || b.

Oletetaan, että suorat a ja b eivät ole yhdensuuntaisia. Sitten ne leikkaavat jossain pisteessä M ja siksi yksi kulmista 4 tai 6 on kolmion ABM ulkokulma. Tarkkuuden vuoksi olkoon ∠ 4 kolmion ABM ulkokulma ja ∠ 6 sisäkulma. Kolmion ulkokulman lauseesta seuraa, että ∠ 4 on suurempi kuin ∠ 6, ja tämä on ristiriidassa ehdon kanssa, mikä tarkoittaa, että suorat a ja 6 eivät voi leikkiä, joten ne ovat yhdensuuntaisia.

Seuraus 1. Kaksi eri suoraa samaan viivaan nähden kohtisuorassa tasossa ovat yhdensuuntaisia(Kuva 2).

Kommentti. Tapaa, jolla juuri todistimme Lauseen 1 tapauksen 1, kutsutaan todistusmenetelmäksi ristiriidalla tai pelkistetyksi absurdiksi. Tämä menetelmä sai etunimensä, koska väitteen alussa tehdään oletus, joka on päinvastainen (vastakohta) sille, mikä on todistettava. Sitä kutsutaan järjettömyyteen johtamiseksi sen vuoksi, että tehdyn oletuksen perusteella päätellen päädymme absurdiin johtopäätökseen (absurdiin). Tällaisen johtopäätöksen saaminen pakottaa meidät hylkäämään alussa tehdyn oletuksen ja hyväksymään sen, joka oli todistettava.

Tehtävä 1. Muodosta suora, joka kulkee tietyn pisteen M kautta ja yhdensuuntainen tietyn suoran a kanssa, joka ei kulje pisteen M läpi.

Ratkaisu. Piirretään suora p pisteen M läpi, joka on kohtisuorassa suoraa a vastaan ​​(kuva 3).

Sitten vedetään suora b pisteen M kautta kohtisuoraan suoraa p vastaan. Suora b on yhdensuuntainen suoran a kanssa Lauseen 1 seurauksen mukaan.

Käsitellystä ongelmasta seuraa tärkeä johtopäätös:
pisteen kautta, joka ei ole annetulla suoralla, on aina mahdollista piirtää viiva yhdensuuntainen annetun kanssa.

Yhdensuuntaisten viivojen pääominaisuus on seuraava.

Yhdensuuntaisten viivojen aksiooma. Tietyn pisteen kautta, joka ei ole tietyllä suoralla, kulkee vain yksi suora yhdensuuntainen annetun kanssa.

Tarkastellaan joitain rinnakkaisten suorien ominaisuuksia, jotka seuraavat tästä aksioomasta.

1) Jos suora leikkaa toisen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se leikkaa myös toisen (kuva 4).

2) Jos kaksi eri suoraa ovat yhdensuuntaisia ​​kolmannen suoran kanssa, ne ovat yhdensuuntaisia ​​(kuva 5).

Myös seuraava lause pitää paikkansa.

Lause 2. Jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa poikittaisen, niin:

poikittaiskulmat ovat yhtä suuret;

vastaavat kulmat ovat yhtä suuret;

yksipuolisten kulmien summa on 180°.

Seuraus 2. Jos suora on kohtisuorassa toiseen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se on myös kohtisuorassa toiseen(katso kuva 2).

Kommentti. Lausea 2 kutsutaan Lauseen 1 käänteiseksi. Lauseen 1 johtopäätös on Lauseen 2 ehto. Ja Lauseen 1 ehto on Lauseen 2 johtopäätös. Jokaisella lauseella ei ole käänteislukua, eli jos annettu lause on tosi, silloin käänteislause voi olla epätosi.

Selvitetään tämä pystykulmien lauseen esimerkillä. Tämä lause voidaan muotoilla seuraavasti: jos kaksi kulmaa ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret. Käänteinen lause olisi: jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, ne ovat pystysuorat. Ja tämä ei tietenkään pidä paikkaansa. Kahden saman kulman ei tarvitse olla pystysuoraa.

Esimerkki 1. Kaksi yhdensuuntaista viivaa ylittää kolmas. Tiedetään, että kahden sisäisen yksipuolisen kulman välinen ero on 30°. Etsi nämä kulmat.

Ratkaisu. Olkoon kuvan 6 ehdon mukainen.

Kysymys 1. Mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi?
Vastaus. Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on yksi yhteinen sivu, ja näiden kulmien muut sivut ovat toisiaan täydentäviä puoliviivoja.
Kuvassa 31 kulmat (a 1 b) ja (a 2 b) ovat vierekkäin. Niillä on yhteinen sivu b, ja sivut a 1 ja a 2 ovat lisäpuoliviivoja.

Kysymys 2. Osoita, että vierekkäisten kulmien summa on 180°.
Vastaus. Lause 2.1. Vierekkäisten kulmien summa on 180°.
Todiste. Olkoon kulman (a 1 b) ja kulman (a 2 b) vierekkäiset kulmat (katso kuva 31). Säde b kulkee suoran kulman sivujen a 1 ja a 2 välistä. Siksi kulmien (a 1 b) ja (a 2 b) summa on yhtä suuri kuin taittamaton kulma, eli 180°. Q.E.D.

Kysymys 3. Osoita, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.
Vastaus.

Lauseen perusteella 2.1 Tästä seuraa, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.
Oletetaan, että kulmat (a 1 b) ja (c 1 d) ovat yhtä suuret. Meidän on todistettava, että myös kulmat (a 2 b) ja (c 2 d) ovat yhtä suuret.
Vierekkäisten kulmien summa on 180°. Tästä seuraa, että a 1 b + a 2 b = 180° ja c 1 d + c 2 d = 180°. Siten a 2b = 180° - a 1 b ja c 2 d = 180° - c 1 d. Koska kulmat (a 1 b) ja (c 1 d) ovat yhtä suuret, saadaan, että a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Yhtävyysmerkin transitiivisuuden ominaisuudesta seuraa, että a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Kysymys 4. Mitä kulmaa kutsutaan oikeaksi (teräväksi, tylpäksi)?
Vastaus. Kulmaa, joka on yhtä suuri kuin 90°, kutsutaan suoraksi kulmaksi.
Alle 90° kulmaa kutsutaan teräväksi kulmaksi.
Kulmaa, joka on suurempi kuin 90° ja pienempi kuin 180°, kutsutaan tylpäksi.

Kysymys 5. Todista, että suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma.
Vastaus. Vierekkäisten kulmien summan lauseesta seuraa, että suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Kysymys 6. Mitä kulmia kutsutaan pystysuoraksi?
Vastaus. Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen toisiaan täydentäviä puoliviivoja.

Kysymys 7. Todista, että pystykulmat ovat yhtä suuret.
Vastaus. Lause 2.2. Pystykulmat ovat yhtä suuret.
Todiste. Olkoot (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) annetut pystykulmat (kuva 34). Kulma (a 1 b 2) on kulman (a 1 b 1) ja kulman (a 2 b 2) vieressä. Tästä vierekkäisten kulmien summaa koskevaa lausetta käyttämällä päätämme, että kukin kulmista (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) täydentää kulmaa (a 1 b 2) 180°:ksi, ts. kulmat (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) ovat yhtä suuret. Q.E.D.

Kysymys 8. Todista, että jos kaksi suoraa leikkaavat toisensa kulmista, niin myös muut kolme kulmaa ovat oikeat.
Vastaus. Oletetaan, että suorat AB ja CD leikkaavat toisensa pisteessä O. Oletetaan, että kulma AOD on 90°. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180°, saadaan, että AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Kulma COB on pystysuora suhteessa kulmaan AOD, joten ne ovat yhtä suuret. Eli kulma COB = 90°. Kulma COA on pystysuora suhteessa kulmaan BOD, joten ne ovat yhtä suuret. Eli kulma BOD = 90°. Siten kaikki kulmat ovat yhtä suuria kuin 90°, eli ne ovat kaikki suoria kulmia. Q.E.D.

Kysymys 9. Mitä viivoja kutsutaan kohtisuoraksi? Mitä merkkiä käytetään osoittamaan viivojen kohtisuoraa?
Vastaus. Kahta suoraa kutsutaan kohtisuoraksi, jos ne leikkaavat suorassa kulmassa.
Viivojen kohtisuoritus ilmaistaan ​​merkillä \(\perp\). Merkintä \(a\perp b\) kuuluu seuraavasti: "Line a on kohtisuorassa linjaa b vastaan."

Kysymys 10. Todista, että minkä tahansa suoran pisteen kautta voit piirtää siihen nähden kohtisuoran suoran, ja vain yhden.
Vastaus. Lause 2.3. Jokaisen viivan läpi voit piirtää siihen nähden kohtisuoran viivan, ja vain yhden.
Todiste. Olkoon a annettu suora ja A tietty piste sillä. Merkitään a 1:llä yhtä aloituspisteen A olevan suoran a puolisuorasta (kuva 38). Vähennetään puoliviivasta a 1 kulma (a 1 b 1), joka on yhtä suuri kuin 90°. Tällöin säteen b 1 sisältävä suora on kohtisuorassa suoraa a vastaan.

Oletetaan, että on olemassa toinen suora, joka myös kulkee pisteen A kautta ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Merkitään c 1:llä tämän suoran puoliviivaa, joka on samassa puolitasossa säteen b 1 kanssa.
Kulmat (a 1 b 1) ja (a 1 c 1), kumpikin yhtä suuri kuin 90°, on asetettu yhteen puolitasoon puoliviivasta a 1. Mutta puoliviivasta 1 voidaan asettaa vain yksi 90° kulma tiettyyn puolitasoon. Siksi ei voi olla toista suoraa, joka kulkee pisteen A kautta ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Lause on todistettu.

Kysymys 11. Mikä on kohtisuorassa suoraa vastaan?
Vastaus. Tiettyyn suoraan nähden kohtisuora on tiettyä suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevan suoran jana, jonka toinen pää on niiden leikkauspisteessä. Tätä segmentin päätä kutsutaan perusta kohtisuorassa.

Kysymys 12. Selitä, mistä ristiriitainen todistus koostuu.
Vastaus. Lauseessa 2.3 käyttämäämme todistusmenetelmää kutsutaan ristiriitatodistukseksi. Tämä todistusmenetelmä on, että teemme ensin oletuksen sen vastakohta, jonka lause sanoo. Sitten päättelemällä, tukeutuen aksioomeihin ja todistettuihin lauseisiin, tulemme johtopäätökseen, joka on ristiriidassa joko lauseen ehtojen tai jonkin aksiooman tai aiemmin todistetun lauseen kanssa. Tämän perusteella päättelemme, että olettamuksemme oli väärä, ja siksi lauseen väite on totta.

Kysymys 13. Mikä on kulman puolittaja?
Vastaus. Kulman puolittaja on säde, joka lähtee kulman kärjestä, kulkee sen sivujen välillä ja jakaa kulman kahtia.