Etsi vierekkäisten kulmien summa. Vierekkäiset ja pystysuorat kulmat

1. Vierekkäiset kulmat.

Jos pidennetään minkä tahansa kulman sivu sen kärjen yli, saadaan kaksi kulmaa (kuva 72): ∠ABC ja ∠CBD, joissa toinen sivu BC on yhteinen ja kaksi muuta, AB ja BD, muodostavat suoran.

Kahta kulmaa, joissa toinen sivu on yhteinen ja kaksi muuta muodostavat suoran viivan, kutsutaan vierekkäisiksi kulmiksi.

Vierekkäiset kulmat voidaan saada myös tällä tavalla: jos vedämme säteen jostakin suoran pisteestä (ei ole tietyllä suoralla), saamme vierekkäisiä kulmia.

Esimerkiksi ∠ADF ja ∠FDB ovat vierekkäisiä kulmia (kuva 73).

Vierekkäisillä kulmilla voi olla monenlaisia ​​​​asentoja (kuva 74).

Vierekkäiset kulmat muodostavat suoran kulman, joten kahden summa vierekkäiset kulmat yhtä suuri kuin 180°

Siten suora kulma voidaan määritellä kulmaksi, joka on yhtä suuri kuin sen viereinen kulma.

Kun tiedämme yhden viereisen kulman koon, voimme löytää sen vieressä olevan toisen kulman koon.

Jos esimerkiksi yksi viereisistä kulmista on 54°, toinen kulma on yhtä suuri kuin:

180° - 54° = 126°.

2. Pystykulmat.

Jos ulotamme kulman sivut sen kärjen yli, saamme pystysuorat kulmat. Kuvassa 75 kulmat EOF ja AOC ovat pystysuorat; Kulmat AOE ja COF ovat myös pystysuorat.

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos yhden kulman sivut ovat jatkoa toisen kulman sivuille.

Olkoon ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (kuva 76). Sen vieressä oleva ∠2 on yhtä suuri kuin 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, eli 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Samalla tavalla voit laskea mitä ∠3 ja ∠4 ovat yhtä suuria.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (kuva 77).

Näemme, että ∠1 = ∠3 ja ∠2 = ∠4.

Voit ratkaista useita muita samoja tehtäviä, ja joka kerta saat saman tuloksen: pystykulmat ovat samat keskenään.

Yksittäisten numeeristen esimerkkien huomioon ottaminen ei kuitenkaan riitä, jotta pystykulmat ovat aina yhtä suuret, koska yksittäisistä esimerkeistä tehdyt johtopäätökset voivat joskus olla virheellisiä.

Pystykulmien ominaisuuksien paikkansapitävyys on tarpeen varmistaa todisteella.

Todistus voidaan suorittaa seuraavasti (kuva 78):

∠+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(koska vierekkäisten kulmien summa on 180°).

∠+∠c = ∠b+∠c

(koska tämän yhtälön vasen puoli on 180° ja sen oikea puoli on myös 180°).

Tämä tasa-arvo sisältää saman kulman Kanssa.

Jos vähennämme yhtä suurista määristä yhtä suuret määrät, yhtä suuret määrät jäävät jäljelle. Tuloksena on: ∠a = ∠b, eli pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.

3. Kulmien summa, joilla on yhteinen kärki.

Kuvassa 79 ∠1, ∠2, ∠3 ja ∠4 sijaitsevat suoran toisella puolella ja niillä on yhteinen kärki tällä viivalla. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat suoran kulman, ts.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Kuvassa 80 pisteillä ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ja ∠5 on yhteinen kärki. Nämä kulmat laskevat yhteen täyden kulman, eli ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Geometria on hyvin monipuolinen tiede. Se kehittää logiikkaa, mielikuvitusta ja älykkyyttä. Tietenkin koululaiset eivät aina pidä siitä monimutkaisuuden ja lukuisten lauseiden ja aksioomien vuoksi. Lisäksi on jatkuvasti todistettava johtopäätöksesi yleisesti hyväksyttyjen standardien ja sääntöjen avulla.

Vierekkäiset ja pystykulmat ovat olennainen osa geometriaa. Varmasti monet koululaiset vain ihailevat niitä siitä syystä, että niiden ominaisuudet ovat selkeitä ja helppo todistaa.

Kulmien muodostuminen

Mikä tahansa kulma muodostetaan leikkaamalla kaksi suoraa tai vetämällä kaksi sädettä yhdestä pisteestä. Niitä voidaan kutsua joko yhdeksi kirjaimeksi tai kolmeksi, jotka osoittavat peräkkäin pisteitä, joihin kulma muodostetaan.

Kulmat mitataan asteina ja niitä voidaan (arvosta riippuen) kutsua eri tavalla. On siis olemassa suora kulma, terävä, tylpä ja taittamaton. Jokainen nimi vastaa tietyn asteen mittaa tai sen väliä.

Terävä kulma on kulma, jonka mitta ei ylitä 90 astetta.

Tylsä kulma on kulma, joka on suurempi kuin 90 astetta.

Kulmaa kutsutaan oikeaksi, kun sen astemitta on 90.

Siinä tapauksessa, että se muodostuu yhdestä jatkuvasta suorasta ja sen astemitta on 180, sitä kutsutaan laajennetuksi.

Kulmia, joilla on yhteinen sivu, jonka toinen puoli jatkaa toisiaan, kutsutaan vierekkäisiksi. Ne voivat olla teräviä tai tylsiä. Suoran leikkauskohta muodostaa vierekkäisiä kulmia. Niiden ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Tällaisten kulmien summa on 180 astetta (tämän todistaa lause). Siksi yksi niistä voidaan helposti laskea, jos toinen tunnetaan.
2. Ensimmäisestä pisteestä seuraa, että vierekkäisiä kulmia ei voi muodostaa kahdella tylpällä tai kahdella terävällä kulmalla.

Näiden ominaisuuksien ansiosta voit aina laskea kulman astemitan toisen kulman arvon tai arvon mukaan vähintään, heidän välinen suhde.

Pystykulmat

Kulmia, joiden sivut jatkavat toisiaan, kutsutaan pystysuoraksi. Mikä tahansa niiden lajike voi toimia sellaisena parina. Pystykulmat ovat aina yhtä suuret keskenään.

Ne muodostuvat, kun suorat viivat leikkaavat. Niiden ohella vierekkäiset kulmat ovat aina läsnä. Kulma voi olla samanaikaisesti vierekkäinen toiselle ja pystysuora toiselle.

Mielivaltaista linjaa ylitettäessä otetaan huomioon myös useat muun tyyppiset kulmat. Tällaista viivaa kutsutaan sekanttiviivaksi, ja se muodostaa vastaavat yksipuoliset ja ristikkäiset kulmat. He ovat tasa-arvoisia keskenään. Niitä voidaan tarkastella pysty- ja vierekkäisten kulmien ominaisuuksien valossa.

Näin ollen kulmien aihe vaikuttaa melko yksinkertaiselta ja ymmärrettävältä. Kaikki niiden ominaisuudet on helppo muistaa ja todistaa. Ongelmien ratkaiseminen ei näytä vaikealta, kunhan kulmat vastaavat numeerinen arvo. Myöhemmin, kun synnin ja cosin tutkimus alkaa, sinun on opeteltava ulkoa monia monimutkaisia ​​kaavoja, niiden päätelmät ja seuraukset. Siihen asti voit vain nauttia helpoista pulmatehtävistä, joissa sinun on löydettävä vierekkäiset kulmat.

Mikä on viereinen kulma

Kulma- Tämä geometrinen kuvio(Kuva 1), muodostuu kahdesta säteestä OA ja OB (kulman sivut), jotka lähtevät yhdestä pisteestä O (kulman kärki).

LÄHETTÄVÄT KULMAT- kaksi kulmaa, joiden summa on 180°. Jokainen näistä kulmista täydentää toisiaan täydessä kulmassa.

Vierekkäiset kulmat- (Agles adjacets) ne, joilla on yhteinen yläosa ja yhteinen puoli. Useimmiten tämä nimi viittaa kulmiin, joiden kaksi muuta sivua ovat yhden läpi vedetyn suoran vastakkaisissa suunnissa.

Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on yksi yhteinen sivu, ja näiden kulmien muut sivut ovat toisiaan täydentäviä puoliviivoja.

riisi. 2

Kuvassa 2 kulmat a1b ja a2b ovat vierekkäin. Niillä on yhteinen sivu b, ja sivut a1, a2 ovat lisäpuoliviivoja.

riisi. 3

Kuvassa 3 on suora AB, piste C sijaitsee pisteiden A ja B välissä. Piste D on piste, joka ei ole suoralla AB. Osoittautuu, että kulmat BCD ja ACD ovat vierekkäisiä. Niillä on yhteinen sivu CD, ja sivut CA ja CB ovat suoran AB lisäpuoliviivoja, koska pisteet A, B erottaa aloituspiste C.

Viereisen kulman lause

Lause: vierekkäisten kulmien summa on 180°

Todiste:
Kulmat a1b ja a2b ovat vierekkäin (katso kuva 2) Säde b kulkee avautuneen kulman sivujen a1 ja a2 välistä. Siksi kulmien a1b ja a2b summa on yhtä suuri kuin kehitetty kulma, eli 180°. Lause on todistettu.

Kulmaa, joka on yhtä suuri kuin 90°, kutsutaan suoraksi kulmaksi. Vierekkäisten kulmien summan lauseesta seuraa, että suoran kulman vieressä oleva kulma on myös suora kulma. Alle 90° kulmaa kutsutaan teräväksi ja yli 90° tylppäksi. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180°, niin viereinen kulma terävä kulma- tylppä kulma. Tylsän kulman vieressä oleva kulma on terävä kulma.

Vierekkäiset kulmat- kaksi kulmaa, joilla on yhteinen kärki, joiden toinen sivuista on yhteinen ja loput sivut ovat samalla suoralla linjalla (ei yhteensopivia). Vierekkäisten kulmien summa on 180°.

Määritelmä 1. Kulma on osa tasosta, jota rajoittaa kaksi sädettä, joilla on yhteinen origo.

Määritelmä 1.1. Kulma on kuvio, joka koostuu pisteestä - kulman kärjestä - ja kahdesta eri puoliviivasta, jotka lähtevät tästä pisteestä - kulman sivuista.
Esimerkiksi kulma BOC kuvassa 1 Tarkastellaan ensin kahta leikkaavaa suoraa. Kun suorat leikkaavat, ne muodostavat kulmia. On erikoistapauksia:

Määritelmä 2. Jos kulman sivut ovat yhden suoran lisäpuoliviivoja, kulmaa kutsutaan kehittyneeksi.

Määritelmä 3. Suora kulma on 90 asteen kulma.

Määritelmä 4. Alle 90 asteen kulmaa kutsutaan teräväksi kulmaksi.

Määritelmä 5. Yli 90 astetta ja alle 180 astetta olevaa kulmaa kutsutaan tylpäksi kulmaksi.
leikkaavia linjoja.

Määritelmä 6. Kahta kulmaa, joiden toinen puoli on yhteinen ja toiset ovat samalla suoralla, kutsutaan vierekkäisiksi.

Määritelmä 7. Kulmia, joiden sivut jatkavat toisiaan, kutsutaan pystykulmiksi.
Kuvassa 1:
vierekkäiset: 1 ja 2; 2 ja 3; 3 ja 4; 4 ja 1
pystysuora: 1 ja 3; 2 ja 4
Lause 1. Vierekkäisten kulmien summa on 180 astetta.
Katso todisteeksi kuvasta Fig. 4 vierekkäistä kulmaa AOB ja BOC. Niiden summa on kehittynyt kulma AOC. Siksi näiden vierekkäisten kulmien summa on 180 astetta.

riisi. 4

Matematiikan ja musiikin yhteys

"Ajatellessani taidetta ja tiedettä, niiden keskinäisiä yhteyksiä ja ristiriitoja, tulin siihen tulokseen, että matematiikka ja musiikki ovat äärimmäisissä napoissa ihmisen henki"että näitä kahta antipodia rajoittaa ja määrää kaikki ihmisen luova henkinen toiminta ja että niiden välissä on kaikki, mitä ihmiskunta on luonut tieteen ja taiteen alalla."
G. Neuhaus
Näyttäisi siltä, ​​että taide on hyvin abstrakti alue matematiikasta. Matematiikan ja musiikin yhteys määräytyy kuitenkin sekä historiallisesti että sisäisesti, vaikka matematiikka on tieteistä abstraktein ja musiikki abstraktein taiteen muoto.
Konsonanssi määrittää kielen miellyttävän äänen
Tämä musiikkijärjestelmä perustui kahteen lakiin, jotka kantavat kahden suuren tiedemiehen nimiä - Pythagoras ja Archytas. Nämä ovat lait:
1. Kaksi kuulostavaa merkkijonoa määrittävät konsonanssin, jos niiden pituudet liittyvät kokonaislukuina, jotka muodostavat kolmioluvun 10=1+2+3+4, ts. kuten 1:2, 2:3, 3:4. Lisäksi mitä pienempi luku n suhteessa n:(n+1) (n=1,2,3) on, sitä konsonanttimpi tuloksena oleva väli.
2. Kuuluvan merkkijonon värähtelytaajuus w on kääntäen verrannollinen sen pituuteen l.
w = a:l,
jossa a on karakterisoiva kerroin fyysiset ominaisuudet jouset.

Tarjoan sinulle myös hauskan parodian kahden matemaatikon riidasta =)

Geometria ympärillämme

Geometrialla ei ole vähäistä merkitystä elämässämme. Johtuen siitä, että kun katsot ympärillesi, ei ole vaikeaa huomata, että meitä ympäröivät erilaiset geometriset muodot. Kohtaamme heitä kaikkialla: kadulla, luokkahuoneessa, kotona, puistossa, sisällä kuntosali, koulun ruokalassa, periaatteessa missä sinä ja minä olemme. Mutta tämän päivän oppitunnin aihe on viereiset hiilet. Joten katsotaan ympärillemme ja yritetään löytää kulmia tässä ympäristössä. Jos katsot tarkasti ikkunaa, voit nähdä, että jotkut puun oksat muodostavat vierekkäisiä kulmia, ja portin väliseinissä voit nähdä monia pystysuuntaisia ​​kulmia. Anna omia esimerkkejä vierekkäisistä kulmista, joita havaitset ympäristössäsi.

Harjoitus 1.

1. Pöydällä kirjatelineen päällä on kirja. Minkä kulman se muodostaa?
2. Mutta opiskelija työskentelee kannettavalla tietokoneella. Minkä kulman näet tässä?
3. Minkä kulman valokuvakehys muodostaa telineessä?
4. Onko mahdollista, että kaksi vierekkäistä kulmaa ovat yhtä suuret?

Tehtävä 2.

Edessäsi on geometrinen kuvio. Millainen hahmo tämä on, nimeä se? Nimeä nyt kaikki vierekkäiset kulmat, jotka näet tässä geometrisessa kuviossa.

Tehtävä 3.

Tässä on kuva piirroksesta ja maalauksesta. Katso niitä huolellisesti ja kerro minulle, millaisia ​​kaloja näet kuvassa ja mitkä kulmat näet kuvassa.

Ongelmanratkaisu

Matemaattinen sanelu aiemmin opitun materiaalin tarkistamiseen

Ratkaista ongelmia:

1. Voiko kahden suoran leikkauspisteen muodostaman kolmen kulman summa olla 100°? 370°?
2. Etsi kuvasta kaikki vierekkäisten kulmien parit. Ja nyt pystykulmat. Nimeä nämä kulmat.

3. Sinun on löydettävä kulma, kun se on kolme kertaa suurempi kuin viereinen.
4. Kaksi suoraa leikkaa toisensa. Tämän risteyksen seurauksena muodostui neljä kulmaa. Määritä minkä tahansa niistä arvo edellyttäen, että:

a) kahden kulman neljästä summa on 84°;
b) kahden kulman välinen ero on 45°;
c) yksi kulma on 4 kertaa pienempi kuin toinen;
d) näiden kolmen kulman summa on 290°.

Oppitunnin yhteenveto

1. nimeä kulmat, jotka muodostuvat kahden suoran leikkaamisesta?
2. Nimeä kaikki mahdolliset kuvassa olevat kulmaparit ja määritä niiden tyyppi.

Kotitehtävät:

1. Etsi vierekkäisten kulmien astemittojen suhde, kun yksi niistä on 54° suurempi kuin toinen.
2. Etsi kulmat, jotka muodostuvat, kun 2 suoraa leikkaa toisiaan, edellyttäen, että yksi kulmista on yhtä suuri kuin 2 muun viereisen kulman summa.
3. On tarpeen löytää vierekkäiset kulmat, kun niistä toisen puolittaja muodostaa kulman toisen sivun kanssa, joka on 60° suurempi kuin toinen kulma.
4. Kahden vierekkäisen kulman välinen ero on yhtä suuri kuin kolmasosa näiden kahden kulman summasta. Määritä 2 vierekkäisen kulman arvot.
5. Kahden vierekkäisen kulman ero ja summa ovat suhteessa 1:5. Etsi vierekkäiset kulmat.
6. Kahden vierekkäisen ero on 25 % niiden summasta. Miten kahden vierekkäisen kulman arvot liittyvät toisiinsa? Määritä 2 vierekkäisen kulman arvot.

Kysymyksiä:

1. Mikä on kulma?
2. Millaisia ​​kulmia on olemassa?
3. Mikä on vierekkäisten kulmien ominaisuus?

Kysymys 1. Mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi?
Vastaus. Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on yksi yhteinen sivu, ja näiden kulmien muut sivut ovat toisiaan täydentäviä puoliviivoja.
Kuvassa 31 kulmat (a 1 b) ja (a 2 b) ovat vierekkäin. Niillä on yhteinen sivu b, ja sivut a 1 ja a 2 ovat lisäpuoliviivoja.

Kysymys 2. Osoita, että vierekkäisten kulmien summa on 180°.
Vastaus. Lause 2.1. Vierekkäisten kulmien summa on 180°.
Todiste. Olkoon kulman (a 1 b) ja kulman (a 2 b) vierekkäiset kulmat (katso kuva 31). Säde b kulkee suoran kulman sivujen a 1 ja a 2 välistä. Siksi kulmien (a 1 b) ja (a 2 b) summa on yhtä suuri kuin taittamaton kulma, eli 180°. Q.E.D.

Kysymys 3. Osoita, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.
Vastaus.

Lauseen perusteella 2.1 Tästä seuraa, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.
Oletetaan, että kulmat (a 1 b) ja (c 1 d) ovat yhtä suuret. Meidän on todistettava, että myös kulmat (a 2 b) ja (c 2 d) ovat yhtä suuret.
Vierekkäisten kulmien summa on 180°. Tästä seuraa, että a 1 b + a 2 b = 180° ja c 1 d + c 2 d = 180°. Siten a 2b = 180° - a 1 b ja c 2 d = 180° - c 1 d. Koska kulmat (a 1 b) ja (c 1 d) ovat yhtä suuret, saadaan, että a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Yhtävyysmerkin transitiivisuuden ominaisuudesta seuraa, että a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Kysymys 4. Mitä kulmaa kutsutaan oikeaksi (teräväksi, tylpäksi)?
Vastaus. Kulmaa, joka on yhtä suuri kuin 90°, kutsutaan suoraksi kulmaksi.
Alle 90° kulmaa kutsutaan teräväksi kulmaksi.
Kulmaa, joka on suurempi kuin 90° ja pienempi kuin 180°, kutsutaan tylpäksi.

Kysymys 5. Todista, että suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma.
Vastaus. Vierekkäisten kulmien summan lauseesta seuraa, että suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Kysymys 6. Mitä kulmia kutsutaan pystysuoraksi?
Vastaus. Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen toisiaan täydentäviä puoliviivoja.

Kysymys 7. Todista, että pystykulmat ovat yhtä suuret.
Vastaus. Lause 2.2. Pystykulmat ovat yhtä suuret.
Todiste. Olkoot (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) annetut pystykulmat (kuva 34). Kulma (a 1 b 2) on kulman (a 1 b 1) ja kulman (a 2 b 2) vieressä. Tästä vierekkäisten kulmien summaa koskevaa lausetta käyttämällä päätämme, että kukin kulmista (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) täydentää kulmaa (a 1 b 2) 180°:ksi, ts. kulmat (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) ovat yhtä suuret. Q.E.D.

Kysymys 8. Todista, että jos kaksi suoraa leikkaavat toisensa kulmista, niin myös muut kolme kulmaa ovat oikeat.
Vastaus. Oletetaan, että suorat AB ja CD leikkaavat toisensa pisteessä O. Oletetaan, että kulma AOD on 90°. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180°, saadaan, että AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Kulma COB on pystysuora suhteessa kulmaan AOD, joten ne ovat yhtä suuret. Eli kulma COB = 90°. Kulma COA on pystysuora suhteessa kulmaan BOD, joten ne ovat yhtä suuret. Eli kulma BOD = 90°. Siten kaikki kulmat ovat yhtä suuria kuin 90°, eli ne ovat kaikki suoria kulmia. Q.E.D.

Kysymys 9. Mitä viivoja kutsutaan kohtisuoraksi? Mitä merkkiä käytetään osoittamaan viivojen kohtisuoraa?
Vastaus. Kahta suoraa kutsutaan kohtisuoraksi, jos ne leikkaavat suorassa kulmassa.
Viivojen kohtisuoritus ilmaistaan ​​merkillä \(\perp\). Merkintä \(a\perp b\) kuuluu seuraavasti: "Line a on kohtisuorassa linjaa b vastaan."

Kysymys 10. Todista, että minkä tahansa suoran pisteen kautta voit piirtää siihen nähden kohtisuoran suoran, ja vain yhden.
Vastaus. Lause 2.3. Jokaisen viivan läpi voit piirtää siihen nähden kohtisuoran viivan, ja vain yhden.
Todiste. Olkoon a annettu suora ja A tietty piste sillä. Merkitään a 1:llä yhtä aloituspisteen A olevan suoran a puolisuorasta (kuva 38). Vähennetään puoliviivasta a 1 kulma (a 1 b 1), joka on yhtä suuri kuin 90°. Tällöin säteen b 1 sisältävä suora on kohtisuorassa suoraa a vastaan.

Oletetaan, että on olemassa toinen suora, joka myös kulkee pisteen A kautta ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Merkitään c 1:llä tämän suoran puoliviivaa, joka on samassa puolitasossa säteen b 1 kanssa.
Kulmat (a 1 b 1) ja (a 1 c 1), kumpikin yhtä suuri kuin 90°, on asetettu yhteen puolitasoon puoliviivasta a 1. Mutta puoliviivasta 1 voidaan asettaa vain yksi 90° kulma tiettyyn puolitasoon. Siksi ei voi olla toista suoraa, joka kulkee pisteen A kautta ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Lause on todistettu.

Kysymys 11. Mikä on kohtisuorassa suoraa vastaan?
Vastaus. Tiettyyn suoraan nähden kohtisuora on tiettyä suoraa vastaan ​​kohtisuorassa olevan suoran jana, jonka toinen pää on niiden leikkauspisteessä. Tätä segmentin päätä kutsutaan perusta kohtisuorassa.

Kysymys 12. Selitä, mistä ristiriitainen todistus koostuu.
Vastaus. Lauseessa 2.3 käyttämäämme todistusmenetelmää kutsutaan ristiriitatodistukseksi. Tämä todistusmenetelmä on, että teemme ensin oletuksen sen vastakohta, jonka lause sanoo. Sitten päättelemällä, tukeutuen aksioomeihin ja todistettuihin lauseisiin, tulemme johtopäätökseen, joka on ristiriidassa joko lauseen ehtojen tai jonkin aksiooman tai aiemmin todistetun lauseen kanssa. Tämän perusteella päättelemme, että olettamuksemme oli väärä, ja siksi lauseen väite on totta.

Kysymys 13. Mikä on kulman puolittaja?
Vastaus. Kulman puolittaja on säde, joka lähtee kulman kärjestä, kulkee sen sivujen välillä ja jakaa kulman kahtia.

Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on toinen puoli yhteinen, ja näiden kulmien muut sivut ovat komplementaarisia säteitä. Kuvassa 20 kulmat AOB ja BOC ovat vierekkäin.

Vierekkäisten kulmien summa on 180°

Lause 1. Vierekkäisten kulmien summa on 180°.

Todiste. Palkki OB (katso kuva 1) kulkee avautuneen kulman sivujen välistä. Siksi ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Lauseesta 1 seuraa, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.

Pystykulmat ovat yhtä suuret

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen täydentäviä säteitä. Kahden suoran leikkauspisteeseen muodostuneet kulmat AOB ja COD, BOD ja AOC ovat pystysuorat (kuva 2).

Lause 2. Pystykulmat ovat yhtä suuret.

Todiste. Tarkastellaan pystykulmia AOB ja COD (ks. kuva 2). Kulma BOD on kulman AOB ja COD vieressä. Lauseen 1 mukaan ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Tästä päätämme, että ∠ AOB = ∠ COD.

Johtopäätös 1. Suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma.

Tarkastellaan kahta leikkaavaa suoraa AC ja BD (kuva 3). Ne muodostavat neljä kulmaa. Jos yksi niistä on suora (kulma 1 kuvassa 3), niin muutkin kulmat ovat suorat (kulmat 1 ja 2, 1 ja 4 ovat vierekkäisiä, kulmat 1 ja 3 ovat pystysuorat). Tässä tapauksessa he sanovat, että nämä viivat leikkaavat suorassa kulmassa ja niitä kutsutaan kohtisuoraksi (tai keskenään kohtisuoraksi). Viivojen AC ja BD kohtisuoraa merkitään seuraavasti: AC ⊥ BD.

Janaan nähden kohtisuora puolittaja on viiva, joka on kohtisuorassa tätä janaa vastaan ​​ja kulkee sen keskipisteen kautta.

AN - kohtisuorassa suoraa vastaan

Tarkastellaan suoraa a ja pistettä A, joka ei ole sen päällä (kuva 4). Yhdistetään piste A janalla pisteeseen H suoralla a. Janaa AN kutsutaan kohtisuoraksi pisteestä A suoralle a, jos suorat AN ja a ovat kohtisuorassa. Pistettä H kutsutaan kohtisuoran kannaksi.

Piirustus neliö

Seuraava lause on totta.

Lause 3. Mistä tahansa pisteestä, joka ei ole suoralla, on mahdollista piirtää kohtisuora tälle suoralle, ja lisäksi vain yksi.

Kun haluat piirtää kohtisuoran pisteestä suoralle viivalle, käytä piirustusneliötä (kuva 5).

Kommentti. Lauseen muotoilu koostuu yleensä kahdesta osasta. Yksi osa puhuu siitä, mitä annetaan. Tätä osaa kutsutaan lauseen ehdoksi. Toinen osa puhuu siitä, mikä on todistettava. Tätä osaa kutsutaan lauseen johtopäätökseksi. Esimerkiksi Lauseen 2 ehto on, että kulmat ovat pystysuorat; johtopäätös - nämä kulmat ovat yhtä suuret.

Mikä tahansa lause voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti sanoilla siten, että sen ehto alkaa sanalla "jos" ja sen johtopäätös sanalla "sitten". Esimerkiksi Lause 2 voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti seuraavasti: "Jos kaksi kulmaa ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret."

Esimerkki 1. Yksi vierekkäisistä kulmista on 44°. Mihin toinen vastaa?

Ratkaisu. Merkitään toisen kulman astemitta x:llä, sitten Lauseen 1 mukaan.
44° + x = 180°.
Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälön huomaamme, että x = 136°. Siksi toinen kulma on 136°.

Esimerkki 2. Olkoon kulma COD kuvassa 21 45°. Mitkä ovat kulmat AOB ja AOC?

Ratkaisu. Kulmat COD ja AOB ovat pystysuorat, joten ne ovat Lauseen 1.2 mukaan yhtä suuret, eli ∠ AOB = 45°. Kulma AOC on kulman COD vieressä, mikä tarkoittaa Lauseen 1 mukaan.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Esimerkki 3. Etsi vierekkäiset kulmat, jos yksi niistä on 3 kertaa suurempi kuin toinen.

Ratkaisu. Merkitään pienemmän kulman astemitta x:llä. Tällöin suuremman kulman astemitta on 3x. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180° (Lause 1), niin x + 3x = 180°, josta x = 45°.
Tämä tarkoittaa, että vierekkäiset kulmat ovat 45° ja 135°.

Esimerkki 4. Kahden pystykulman summa on 100°. Etsi kunkin neljän kulman koko.

Ratkaisu. Olkoon tehtävän ehdot täyttävä kuva 2. Pystykulmat COD ja AOB ovat yhtä suuret (Lause 2), mikä tarkoittaa, että myös niiden astemitat ovat yhtä suuret. Siksi ∠ COD = ∠ AOB = 50° (niiden summa ehdon mukaan on 100°). Kulma BOD (myös kulma AOC) on kulman COD vieressä, ja siksi Lauseen 1 mukaan
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.