Vierekkäisten kulmien määritys. Kuinka löytää viereinen kulma

Koti / Rakkaus

Kahta kulmaa, jotka on sijoitettu samalle suoralle ja joilla on sama kärki, kutsutaan vierekkäisiksi.

Muuten, jos kahden kulman summa yhdellä suoralla on 180 astetta ja niillä on yksi yhteinen sivu, nämä ovat vierekkäisiä kulmia.

1 viereinen kulma + 1 viereinen kulma = 180 astetta.

Vierekkäiset kulmat ovat kaksi kulmaa, joissa toinen puoli on yhteinen ja kaksi muuta sivua muodostavat yleensä suoran viivan.

Kahden vierekkäisen kulman summa on aina 180 astetta. Esimerkiksi, jos yksi kulma on 60 astetta, toinen on välttämättä 120 astetta (180-60).

Kulmat AOC ja BOC ovat vierekkäisiä kulmia, koska kaikki vierekkäisten kulmien ominaisuudet täyttyvät:

1.OS - kahden kulman yhteinen puoli

2.AO - kulman puoli AOS, OB - kulman puoli VSP. Yhdessä nämä sivut muodostavat suoran AOB.

3. Kulmia on kaksi ja niiden summa on 180 astetta.

Muistaen koulun geometrian kurssin voimme sanoa seuraavaa vierekkäisistä kulmista:

vierekkäisillä kulmilla on yksi yhteinen sivu ja kaksi muuta sivua kuuluvat samaan suoraviivaan, eli ne ovat samalla suoralla. Jos kuvan mukaan, niin kulmat SOV ja BOA ovat vierekkäisiä kulmia, joiden summa on aina 180, koska ne jakavat suoran kulman, ja suora kulma on aina yhtä suuri kuin 180.

Vierekkäiset kulmat ovat helppo käsite geometriassa. Vierekkäiset kulmat, kulma plus kulma, laskevat yhteen 180 astetta.

Kaksi vierekkäistä kulmaa on yksi taittamaton kulma.

Kiinteistöjä on useita muitakin. Vierekkäisillä kulmilla ongelmat on helppo ratkaista ja lauseet todistaa.

Vierekkäiset kulmat muodostetaan vetämällä säde mielivaltaisesta suoran pisteestä. Sitten tämä mielivaltainen piste osoittautuu kulman kärjeksi, säde on vierekkäisten kulmien yhteinen puoli ja suora viiva, josta säde vedetään, on vierekkäisten kulmien kaksi muuta sivua. Vierekkäiset kulmat voivat olla samat kohtisuoran tapauksessa tai erilaiset kaltevan säteen tapauksessa. On helppo ymmärtää, että vierekkäisten kulmien summa on 180 astetta tai yksinkertaisesti suora. Toinen tapa selittää tämä kulma on yksinkertainen esimerkki- aluksi kävelit yhteen suuntaan suoraa, sitten muutit mielesi, päätit palata ja 180 astetta kääntyneenä lähdit samaa suoraa pitkin vastakkaiseen suuntaan.

Joten mikä on viereinen kulma? Määritelmä:

Kahta kulmaa, joilla on yhteinen kärki ja yksi yhteinen sivu, kutsutaan vierekkäisiksi, ja näiden kulmien kaksi muuta sivua ovat samalla suoralla.

JA lyhyt video oppitunti, jossa se esitetään järkevästi vierekkäisistä kulmista, pystysuorat kulmat, plus noin kohtisuorat viivat, jotka ovat vierekkäisten ja pystysuorien kulmien erikoistapaus

Vierekkäiset kulmat ovat kulmia, joissa toinen puoli on yhteinen ja toinen on yksi viiva.

Vierekkäiset kulmat ovat kulmia, jotka riippuvat toisistaan. Eli jos yhteistä puolta kierretään hieman, niin yksi kulma pienenee useita asteita ja automaattisesti toinen kulma kasvaa saman verran. Tämä vierekkäisten kulmien ominaisuus mahdollistaa erilaisten geometrian ongelmien ratkaisemisen ja eri teoreemojen todisteiden suorittamisen.

Vierekkäisten kulmien yhteissumma on aina 180 astetta.

Geometrian kurssista (muistaakseni 6. luokalla) kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, joissa toinen sivu on yhteinen ja muut sivut lisäsäteitä, vierekkäisten kulmien summa on 180. Kumpikin vierekkäiset kulmat täydentävät toista laajennetulla kulmalla. Esimerkki vierekkäisistä kulmista:

Vierekkäiset kulmat ovat kaksi kulmaa, joilla on yhteinen kärki, joiden toinen sivu on yhteinen ja loput sivut ovat samalla suoralla linjalla (eivät ole yhteneväisiä). Vierekkäisten kulmien summa on satakahdeksankymmentä astetta. Yleensä kaikki tämä on erittäin helppo löytää Googlesta tai geometrian oppikirjasta.

Kysymys 1. Mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi?
Vastaus. Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on yksi yhteinen sivu, ja näiden kulmien muut sivut ovat toisiaan täydentäviä puoliviivoja.
Kuvassa 31 kulmat (a 1 b) ja (a 2 b) ovat vierekkäin. Niillä on yhteinen sivu b, ja sivut a 1 ja a 2 ovat lisäpuoliviivoja.

Kysymys 2. Osoita, että vierekkäisten kulmien summa on 180°.
Vastaus. Lause 2.1. Vierekkäisten kulmien summa on 180°.
Todiste. Olkoon kulman (a 1 b) ja kulman (a 2 b) vierekkäiset kulmat (katso kuva 31). Säde b kulkee suoran kulman sivujen a 1 ja a 2 välistä. Siksi kulmien (a 1 b) ja (a 2 b) summa on yhtä suuri kuin taittamaton kulma, eli 180°. Q.E.D.

Kysymys 3. Osoita, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.
Vastaus.

Lauseen perusteella 2.1 Tästä seuraa, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.
Oletetaan, että kulmat (a 1 b) ja (c 1 d) ovat yhtä suuret. Meidän on todistettava, että myös kulmat (a 2 b) ja (c 2 d) ovat yhtä suuret.
Vierekkäisten kulmien summa on 180°. Tästä seuraa, että a 1 b + a 2 b = 180° ja c 1 d + c 2 d = 180°. Siten a 2b = 180° - a 1 b ja c 2 d = 180° - c 1 d. Koska kulmat (a 1 b) ja (c 1 d) ovat yhtä suuret, saadaan, että a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Yhtävyysmerkin transitiivisuuden ominaisuudesta seuraa, että a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Kysymys 4. Mitä kulmaa kutsutaan oikeaksi (teräväksi, tylpäksi)?
Vastaus. Kulmaa, joka on yhtä suuri kuin 90°, kutsutaan suoraksi kulmaksi.
Alle 90° kulmaa kutsutaan teräväksi kulmaksi.
Kulmaa, joka on suurempi kuin 90° ja pienempi kuin 180°, kutsutaan tylpäksi.

Kysymys 5. Todista, että suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma.
Vastaus. Vierekkäisten kulmien summan lauseesta seuraa, että suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Kysymys 6. Mitä kulmia kutsutaan pystysuoraksi?
Vastaus. Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen toisiaan täydentäviä puoliviivoja.

Kysymys 7. Todista, että pystykulmat ovat yhtä suuret.
Vastaus. Lause 2.2. Pystykulmat ovat yhtä suuret.
Todiste. Olkoot (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) annetut pystykulmat (kuva 34). Kulma (a 1 b 2) on kulman (a 1 b 1) ja kulman (a 2 b 2) vieressä. Tästä vierekkäisten kulmien summaa koskevaa lausetta käyttämällä päätämme, että kukin kulmista (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) täydentää kulmaa (a 1 b 2) 180°:ksi, ts. kulmat (a 1 b 1) ja (a 2 b 2) ovat yhtä suuret. Q.E.D.

Kysymys 8. Todista, että jos kaksi suoraa leikkaavat toisensa kulmista, niin myös muut kolme kulmaa ovat oikeat.
Vastaus. Oletetaan, että suorat AB ja CD leikkaavat toisensa pisteessä O. Oletetaan, että kulma AOD on 90°. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180°, saadaan, että AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Kulma COB on pystysuora suhteessa kulmaan AOD, joten ne ovat yhtä suuret. Eli kulma COB = 90°. Kulma COA on pystysuora suhteessa kulmaan BOD, joten ne ovat yhtä suuret. Eli kulma BOD = 90°. Siten kaikki kulmat ovat yhtä suuria kuin 90°, eli ne ovat kaikki suoria kulmia. Q.E.D.

Kysymys 9. Mitä viivoja kutsutaan kohtisuoraksi? Mitä merkkiä käytetään osoittamaan viivojen kohtisuoraa?
Vastaus. Kahta suoraa kutsutaan kohtisuoraksi, jos ne leikkaavat suorassa kulmassa.
Viivojen kohtisuoritus ilmaistaan merkillä \(\perp\). Merkintä \(a\perp b\) kuuluu seuraavasti: "Line a on kohtisuorassa linjaa b vastaan."

Kysymys 10. Todista, että minkä tahansa suoran pisteen kautta voit piirtää siihen nähden kohtisuoran suoran, ja vain yhden.
Vastaus. Lause 2.3. Jokaisen viivan läpi voit piirtää siihen nähden kohtisuoran viivan, ja vain yhden.
Todiste. Olkoon a annettu suora ja A tietty piste sillä. Merkitään a 1:llä yhtä aloituspisteen A olevan suoran a puolisuorasta (kuva 38). Vähennetään puoliviivasta a 1 kulma (a 1 b 1), joka on yhtä suuri kuin 90°. Tällöin säteen b 1 sisältävä suora on kohtisuorassa suoraa a vastaan.

Oletetaan, että on olemassa toinen suora, joka myös kulkee pisteen A kautta ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Merkitään c 1:llä tämän suoran puoliviivaa, joka on samassa puolitasossa säteen b 1 kanssa.
Kulmat (a 1 b 1) ja (a 1 c 1), kumpikin yhtä suuri kuin 90°, on asetettu yhteen puolitasoon puoliviivasta a 1. Mutta puoliviivasta 1 voidaan asettaa vain yksi 90° kulma tiettyyn puolitasoon. Siksi ei voi olla toista suoraa, joka kulkee pisteen A kautta ja on kohtisuorassa suoraa a vastaan. Lause on todistettu.

Kysymys 11. Mikä on kohtisuorassa suoraa vastaan?
Vastaus. Tiettyyn suoraan nähden kohtisuora on tiettyä suoraa vastaan kohtisuorassa olevan suoran jana, jonka toinen pää on niiden leikkauspisteessä. Tätä segmentin päätä kutsutaan perusta kohtisuorassa.

Kysymys 12. Selitä, mistä ristiriitainen todistus koostuu.
Vastaus. Lauseessa 2.3 käyttämäämme todistusmenetelmää kutsutaan ristiriitatodistukseksi. Tämä todistusmenetelmä on, että teemme ensin oletuksen sen vastakohta, jonka lause sanoo. Sitten päättelemällä, tukeutuen aksioomeihin ja todistettuihin lauseisiin, tulemme johtopäätökseen, joka on ristiriidassa joko lauseen ehtojen tai jonkin aksiooman tai aiemmin todistetun lauseen kanssa. Tämän perusteella päättelemme, että olettamuksemme oli väärä, ja siksi lauseen väite on totta.

Kysymys 13. Mikä on kulman puolittaja?
Vastaus. Kulman puolittaja on säde, joka lähtee kulman kärjestä, kulkee sen sivujen välillä ja jakaa kulman kahtia.

Geometria on hyvin monipuolinen tiede. Se kehittää logiikkaa, mielikuvitusta ja älykkyyttä. Tietenkin koululaiset eivät aina pidä siitä monimutkaisuuden ja lukuisten lauseiden ja aksioomien vuoksi. Lisäksi on jatkuvasti todistettava johtopäätöksesi yleisesti hyväksyttyjen standardien ja sääntöjen avulla.

Vierekkäiset ja pystykulmat ovat olennainen osa geometriaa. Varmasti monet koululaiset vain ihailevat niitä siitä syystä, että niiden ominaisuudet ovat selkeitä ja helppo todistaa.

Kulmien muodostuminen

Mikä tahansa kulma muodostetaan leikkaamalla kaksi suoraa tai vetämällä kaksi sädettä yhdestä pisteestä. Niitä voidaan kutsua joko yhdeksi kirjaimeksi tai kolmeksi, jotka osoittavat peräkkäin pisteitä, joihin kulma muodostetaan.

Kulmat mitataan asteina ja niitä voidaan (arvosta riippuen) kutsua eri tavalla. On siis olemassa suora kulma, terävä, tylpä ja taittamaton. Jokainen nimi vastaa tietyn asteen mittaa tai sen väliä.

Terävä kulma on kulma, jonka mitta ei ylitä 90 astetta.

Tylsä kulma on kulma, joka on suurempi kuin 90 astetta.

Kulmaa kutsutaan oikeaksi, kun sen astemitta on 90.

Siinä tapauksessa, että se muodostuu yhdestä jatkuvasta suorasta ja sen astemitta on 180, sitä kutsutaan laajennetuksi.

Kulmia, joilla on yhteinen sivu, jonka toinen puoli jatkaa toisiaan, kutsutaan vierekkäisiksi. Ne voivat olla teräviä tai tylsiä. Suoran leikkauskohta muodostaa vierekkäisiä kulmia. Niiden ominaisuudet ovat seuraavat:

Tällaisten kulmien summa on 180 astetta (tämän todistaa lause). Siksi yksi niistä voidaan helposti laskea, jos toinen tunnetaan.
Ensimmäisestä pisteestä seuraa, että vierekkäisiä kulmia ei voi muodostaa kahdella tylpällä tai kahdella terävällä kulmalla.

Näiden ominaisuuksien ansiosta voit aina laskea kulman astemitan toisen kulman arvon tai arvon mukaan vähintään, heidän välinen suhde.

Pystykulmat

Kulmia, joiden sivut jatkavat toisiaan, kutsutaan pystysuoraksi. Mikä tahansa niiden lajike voi toimia sellaisena parina. Pystykulmat ovat aina yhtä suuret keskenään.

Ne muodostuvat, kun suorat viivat leikkaavat. Niiden ohella vierekkäiset kulmat ovat aina läsnä. Kulma voi olla samanaikaisesti vierekkäinen toiselle ja pystysuora toiselle.

Mielivaltaista linjaa ylitettäessä otetaan huomioon myös useat muun tyyppiset kulmat. Tällaista viivaa kutsutaan sekanttiviivaksi, ja se muodostaa vastaavat yksipuoliset ja ristikkäiset kulmat. He ovat tasa-arvoisia keskenään. Niitä voidaan tarkastella pysty- ja vierekkäisten kulmien ominaisuuksien valossa.

Näin ollen kulmien aihe vaikuttaa melko yksinkertaiselta ja ymmärrettävältä. Kaikki niiden ominaisuudet on helppo muistaa ja todistaa. Ongelmien ratkaiseminen ei näytä vaikealta, kunhan kulmat vastaavat numeerinen arvo. Myöhemmin, kun synnin ja cosin tutkimus alkaa, sinun on opeteltava ulkoa monia monimutkaisia kaavoja, niiden päätelmät ja seuraukset. Siihen asti voit vain nauttia helpoista pulmatehtävistä, joissa sinun on löydettävä vierekkäiset kulmat.

1. Vierekkäiset kulmat.

Jos pidennetään minkä tahansa kulman sivu sen kärjen yli, saadaan kaksi kulmaa (kuva 72): ∠ABC ja ∠CBD, joissa toinen sivu BC on yhteinen ja kaksi muuta, AB ja BD, muodostavat suoran.

Kahta kulmaa, joissa toinen sivu on yhteinen ja kaksi muuta muodostavat suoran viivan, kutsutaan vierekkäisiksi kulmiksi.

Vierekkäiset kulmat voidaan saada myös tällä tavalla: jos vedämme säteen jostakin suoran pisteestä (ei ole tietyllä suoralla), saamme vierekkäisiä kulmia.

Esimerkiksi ∠ADF ja ∠FDB ovat vierekkäisiä kulmia (kuva 73).

Vierekkäisillä kulmilla voi olla monenlaisia asentoja (kuva 74).

Vierekkäiset kulmat muodostavat suoran kulman, joten kahden vierekkäisen kulman summa on 180°

Siten suora kulma voidaan määritellä kulmaksi, joka on yhtä suuri kuin sen viereinen kulma.

Kun tiedämme yhden viereisen kulman koon, voimme löytää sen vieressä olevan toisen kulman koon.

Jos esimerkiksi yksi viereisistä kulmista on 54°, toinen kulma on yhtä suuri kuin:

180° - 54° = 126°.

2. Pystykulmat.

Jos ulotamme kulman sivut sen kärjen yli, saamme pystykulmat. Kuvassa 75 kulmat EOF ja AOC ovat pystysuorat; Kulmat AOE ja COF ovat myös pystysuorat.

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos yhden kulman sivut ovat jatkoa toisen kulman sivuille.

Olkoon ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (kuva 76). Sen vieressä oleva ∠2 on yhtä suuri kuin 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, eli 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Samalla tavalla voit laskea mitä ∠3 ja ∠4 ovat yhtä suuria.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (kuva 77).

Näemme, että ∠1 = ∠3 ja ∠2 = ∠4.

Voit ratkaista useita muita samoja tehtäviä, ja joka kerta saat saman tuloksen: pystykulmat ovat samat keskenään.

Yksittäisten numeeristen esimerkkien huomioon ottaminen ei kuitenkaan riitä, jotta pystykulmat ovat aina yhtä suuret, koska yksittäisistä esimerkeistä tehdyt johtopäätökset voivat joskus olla virheellisiä.

Pystykulmien ominaisuuksien paikkansapitävyys on tarpeen varmistaa todisteella.

Todistus voidaan suorittaa seuraavasti (kuva 78):

∠+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(koska vierekkäisten kulmien summa on 180°).

∠+∠c = ∠b+∠c

(koska tämän yhtälön vasen puoli on 180° ja sen oikea puoli on myös 180°).

Tämä tasa-arvo sisältää saman kulman Kanssa.

Jos vähennämme yhtä suurista määristä yhtä suuret määrät, yhtä suuret määrät jäävät jäljelle. Tuloksena tulee olemaan: ∠a = ∠b, eli pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.

3. Kulmien summa, joilla on yhteinen kärki.

Piirustuksessa 79 ∠1, ∠2, ∠3 ja ∠4 sijaitsevat viivan toisella puolella ja niillä on yhteinen kärki tällä viivalla. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat suoran kulman, ts.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Kuvassa 80 pisteillä ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ja ∠5 on yhteinen kärki. Nämä kulmat laskevat yhteen täyden kulman, eli ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Muut materiaalit

Geometriakurssin opiskeluprosessissa käsitteet "kulma", "pystykulmat", "viereiset kulmat" tulevat esiin melko usein. Kunkin termin ymmärtäminen auttaa sinua ymmärtämään ongelman ja ratkaisemaan sen oikein. Mitä ovat vierekkäiset kulmat ja miten ne määritetään?

Vierekkäiset kulmat - käsitteen määritelmä

Termi "viereiset kulmat" kuvaa kahta kulmaa, jotka muodostuvat yhteisestä säteestä ja kahdesta ylimääräisestä puoliviivasta, jotka sijaitsevat samalla suoralla. Kaikki kolme sädettä lähtevät samasta pisteestä. Yhteinen puoliviiva on samanaikaisesti sekä toisen että toisen kulman sivu.

Vierekkäiset kulmat - perusominaisuudet

1. Vierekkäisten kulmien muotoilun perusteella on helppo huomata, että tällaisten kulmien summa muodostaa aina käänteisen kulman, jonka astemitta on 180°:

Jos μ ja η ovat vierekkäisiä kulmia, niin μ + η = 180°.
Kun tiedät yhden vierekkäisen kulman suuruuden (esimerkiksi μ), voit helposti laskea toisen kulman astemitan (η) lausekkeella η = 180° – μ.

2. Tämän kulmien ominaisuuden avulla voimme tehdä seuraavan johtopäätöksen: kulma, joka on vierekkäinen oikea kulma, on myös suora.

3. Ottaen huomioon trigonometriset funktiot(sin, cos, tg, ctg) vierekkäisten kulmien μ ja η pelkistyskaavojen perusteella seuraava on totta:

sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Vierekkäiset kulmat - esimerkkejä

Esimerkki 1

Annettu kolmio, jonka kärjet M, P, Q – ΔMPQ. Etsi kulmien ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM vieressä olevat kulmat.

Jatketaan kolmion kumpaakin sivua suoralla viivalla.
Kun tiedämme, että vierekkäiset kulmat täydentävät toisiaan käänteiseen kulmaan asti, huomaamme, että:

kulman ∠QMP vieressä on ∠LMP,

kulman ∠MPQ vieressä on ∠SPQ,

kulman ∠PQM vieressä on ∠HQP.