Voiko 3 kulmaa olla vierekkäin? Mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi? Mikä on kahden vierekkäisen kulman summa?

Koti / Pettävä vaimo

Geometriakurssin opiskeluprosessissa käsitteet "kulma", "pystykulmat", "viereiset kulmat" tulevat esiin melko usein. Kunkin termin ymmärtäminen auttaa sinua ymmärtämään ongelman ja ratkaisemaan sen oikein. Mitä ovat vierekkäiset kulmat ja miten ne määritetään?

Vierekkäiset kulmat - käsitteen määritelmä

Termi "viereiset kulmat" kuvaa kahta kulmaa, jotka muodostuvat yhteisestä säteestä ja kahdesta ylimääräisestä puoliviivasta, jotka sijaitsevat samalla suoralla. Kaikki kolme sädettä lähtevät samasta pisteestä. Yhteinen puoliviiva on samanaikaisesti sekä toisen että toisen kulman sivu.

Vierekkäiset kulmat - perusominaisuudet

1. Vierekkäisten kulmien muotoilun perusteella on helppo huomata, että tällaisten kulmien summa muodostaa aina käänteisen kulman, jonka astemitta on 180°:

Jos μ ja η ovat vierekkäisiä kulmia, niin μ + η = 180°.
Kun tiedät yhden vierekkäisen kulman suuruuden (esimerkiksi μ), voit helposti laskea toisen kulman astemitan (η) lausekkeella η = 180° – μ.

2. Tämän kulmien ominaisuuden avulla voimme tehdä seuraavan johtopäätöksen: kulma, joka on vierekkäinen oikea kulma, on myös suora.

3. Ottaen huomioon trigonometriset funktiot(sin, cos, tg, ctg) vierekkäisten kulmien μ ja η pelkistyskaavojen perusteella seuraava on totta:

sinη = sin(180° – μ) = sinμ,
cosη = cos(180° – μ) = -cosμ,
tgη = tg(180° – μ) = -tgμ,
ctgη = ctg(180° – μ) = -ctgμ.

Vierekkäiset kulmat - esimerkkejä

Esimerkki 1

Annettu kolmio, jonka kärjet M, P, Q – ΔMPQ. Etsi kulmien ∠QMP, ∠MPQ, ∠PQM vieressä olevat kulmat.

Jatketaan kolmion kumpaakin sivua suoralla viivalla.
Kun tiedämme, että vierekkäiset kulmat täydentävät toisiaan käänteiseen kulmaan asti, huomaamme, että:

kulman ∠QMP vieressä on ∠LMP,

kulman ∠MPQ vieressä on ∠SPQ,

kulman ∠PQM vieressä on ∠HQP.

Esimerkki 2

Yhden viereisen kulman arvo on 35°. Mikä on toisen viereisen kulman astemitta?

Kahden vierekkäisen kulman summa on 180°.
Jos ∠μ = 35°, niin sen vieressä ∠η = 180° – 35° = 145°.

Esimerkki 3

Määritä vierekkäisten kulmien arvot, jos tiedetään, että yhden niistä astemitta on kolme kertaa suurempi kuin toisen kulman astemitta.

Merkitään yhden (pienemmän) kulman suuruutta arvolla – ∠μ = λ.
Tällöin toisen kulman arvo on tehtävän ehtojen mukaan yhtä suuri kuin ∠η = 3λ.
Vierekkäisten kulmien perusominaisuuden perusteella seuraa μ + η = 180°

λ + 3λ = μ + η = 180°,

λ = 180°/4 = 45°.

Tämä tarkoittaa, että ensimmäinen kulma on ∠μ = λ = 45° ja toinen kulma on ∠η = 3λ = 135°.

Taito käyttää terminologiaa sekä vierekkäisten kulmien perusominaisuuksien tuntemus auttavat sinua ratkaisemaan monia geometrisia ongelmia.

1. Vierekkäiset kulmat.

Jos pidennetään minkä tahansa kulman sivu sen kärjen yli, saadaan kaksi kulmaa (kuva 72): ∠ABC ja ∠CBD, joissa toinen sivu BC on yhteinen ja kaksi muuta, AB ja BD, muodostavat suoran.

Kahta kulmaa, joissa toinen sivu on yhteinen ja kaksi muuta muodostavat suoran viivan, kutsutaan vierekkäisiksi kulmiksi.

Vierekkäiset kulmat voidaan saada myös tällä tavalla: jos vedämme säteen jostakin suoran pisteestä (ei ole tietyllä suoralla), saamme vierekkäisiä kulmia.

Esimerkiksi ∠ADF ja ∠FDB ovat vierekkäisiä kulmia (kuva 73).

Vierekkäisillä kulmilla voi olla monenlaisia asentoja (kuva 74).

Vierekkäiset kulmat muodostavat suoran kulman, joten kahden vierekkäisen kulman summa on 180°

Siten suora kulma voidaan määritellä kulmaksi, joka on yhtä suuri kuin sen viereinen kulma.

Kun tiedämme yhden viereisen kulman koon, voimme löytää sen vieressä olevan toisen kulman koon.

Jos esimerkiksi yksi viereisistä kulmista on 54°, toinen kulma on yhtä suuri kuin:

180° - 54° = 126°.

2. Pystykulmat.

Jos ulotamme kulman sivut sen kärjen yli, saamme pystykulmat. Kuvassa 75 kulmat EOF ja AOC ovat pystysuorat; Kulmat AOE ja COF ovat myös pystysuorat.

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos yhden kulman sivut ovat jatkoa toisen kulman sivuille.

Olkoon ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (kuva 76). Sen vieressä oleva ∠2 on yhtä suuri kuin 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, eli 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Samalla tavalla voit laskea mitä ∠3 ja ∠4 ovat yhtä suuria.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (kuva 77).

Näemme, että ∠1 = ∠3 ja ∠2 = ∠4.

Voit ratkaista useita muita samoja tehtäviä, ja joka kerta saat saman tuloksen: pystykulmat ovat samat keskenään.

Yksittäisten numeeristen esimerkkien huomioon ottaminen ei kuitenkaan riitä, jotta pystykulmat ovat aina yhtä suuret, koska yksittäisistä esimerkeistä tehdyt johtopäätökset voivat joskus olla virheellisiä.

Pystykulmien ominaisuuksien paikkansapitävyys on tarpeen varmistaa todisteella.

Todistus voidaan suorittaa seuraavasti (kuva 78):

∠a+∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(koska vierekkäisten kulmien summa on 180°).

∠a+∠c = ∠b+∠c

(koska tämän yhtälön vasen puoli on 180° ja sen oikea puoli on myös 180°).

Tämä tasa-arvo sisältää saman kulman Kanssa.

Jos vähennämme yhtä suurista määristä yhtä suuret määrät, yhtä suuret määrät jäävät jäljelle. Tuloksena on: ∠a = ∠b, eli pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.

3. Kulmien summa, joilla on yhteinen kärki.

Piirustuksessa 79 ∠1, ∠2, ∠3 ja ∠4 sijaitsevat viivan toisella puolella ja niillä on yhteinen kärki tällä viivalla. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat suoran kulman, ts.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Kuvassa 80 pisteillä ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 ja ∠5 on yhteinen kärki. Nämä kulmat laskevat yhteen täyden kulman, eli ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Muut materiaalit

LUKU I.

PERUSKONSEPTIT.

§yksitoista. LÄHETTÄVÄT JA PYSTYKULMAT.

1. Vierekkäiset kulmat.

Jos pidennetään minkä tahansa kulman sivu sen kärjen yli, saadaan kaksi kulmaa (kuva 72): / Ja aurinko ja / SVD, jossa yksi puoli BC on yhteinen ja kaksi muuta A ja BD muodostavat suoran viivan.

Kahta kulmaa, joissa toinen sivu on yhteinen ja kaksi muuta muodostavat suoran viivan, kutsutaan vierekkäisiksi kulmiksi.

Vierekkäiset kulmat voidaan saada myös tällä tavalla: jos vedämme säteen jostakin suoran pisteestä (ei ole tietyllä suoralla), saamme vierekkäisiä kulmia.
Esimerkiksi, / ADF ja / FDВ - vierekkäiset kulmat (kuva 73).

Vierekkäisillä kulmilla voi olla monenlaisia asentoja (kuva 74).

Vierekkäiset kulmat muodostavat suoran kulman, joten kahden vierekkäisen kulman umma on yhtä suuri 2d.

Siten suora kulma voidaan määritellä kulmaksi, joka on yhtä suuri kuin sen viereinen kulma.

Kun tiedämme yhden viereisen kulman koon, voimme löytää sen vieressä olevan toisen kulman koon.

Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5 d, niin toinen kulma on yhtä suuri kuin:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Pystykulmat.

Jos ulotamme kulman sivut sen kärjen yli, saamme pystykulmat. Piirustuksessa 75 kulmat EOF ja AOC ovat pystysuorat; Kulmat AOE ja COF ovat myös pystysuorat.

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos yhden kulman sivut ovat jatkoa toisen kulman sivuille.

Antaa / 1 = 7 / 8 d(Kuva 76). Sen vieressä / 2 on yhtä suuri kuin 2 d- 7 / 8 d, eli 1 1/8 d.

Samalla tavalla voit laskea, mitä ne vastaavat / 3 ja / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Kuva 77).

Näemme sen / 1 = / 3 ja / 2 = / 4.

Voit ratkaista useita muita samoja tehtäviä, ja joka kerta saat saman tuloksen: pystykulmat ovat samat keskenään.

Pystykulmien ominaisuuksien pätevyys on tarkistettava perustelemalla, todistamalla.

Todistus voidaan suorittaa seuraavasti (kuva 78):

/ a+/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(koska vierekkäisten kulmien summa on 2 d).

/ a+/ c = / b+/ c

(koska tämän yhtälön vasen puoli on myös yhtä suuri kuin 2 d, ja sen oikea puoli on myös yhtä suuri kuin 2 d).

Tämä tasa-arvo sisältää saman kulman Kanssa.

Jos vähennämme yhtä suurista määristä yhtä suuret määrät, yhtä suuret määrät jäävät jäljelle. Tuloksena on: / a = / b, eli pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.

Käsiteltäessä kysymystä pystykulmista selitimme ensin, mitä kulmia kutsutaan pystysuorituksiksi, ts. määritelmä pystysuorat kulmat.

Sitten teimme tuomion (lausunnon) pystykulmien yhtäläisyydestä ja olimme vakuuttuneita tämän tuomion pätevyydestä todisteiden avulla. Sellaisia tuomioita, joiden pätevyys on todistettava, kutsutaan lauseita. Tässä osiossa annoimme siis pystykulmien määritelmän sekä esitimme ja todistimme lauseen niiden ominaisuuksista.

Jatkossa geometriaa opiskellessa joudumme jatkuvasti kohtaamaan lauseiden määritelmiä ja todisteita.

3. Kulmien summa, joilla on yhteinen kärki.

Piirustuksessa 79 / 1, / 2, / 3 ja / 4 sijaitsevat viivan toisella puolella ja niillä on yhteinen kärki tällä viivalla. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat suoran kulman, ts.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Piirustuksessa 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ja / 5:llä on yhteinen kärki. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat täyden kulman, ts. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Harjoitukset.

1. Yksi vierekkäisistä kulmista on 0,72 d. Laske näiden vierekkäisten kulmien puolittajien muodostama kulma.

2. Osoita, että kahden vierekkäisen kulman puolittajat muodostavat suoran kulman.

3. Osoita, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.

4. Kuinka monta paria vierekkäisiä kulmia on piirustuksessa 81?

5. Voiko vierekkäisten kulmien pari koostua kahdesta terävästä kulmasta? kahdesta tylpästä kulmasta? oikeasta ja tylppästä kulmasta? suoralta ja terävä kulma?

6. Jos jokin vierekkäisistä kulmista on oikea, niin mitä voidaan sanoa sen vieressä olevan kulman koosta?

7. Jos kahden suoran leikkauskohdassa yksi kulma on oikea, niin mitä voidaan sanoa kolmen muun kulman koosta?

Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on toinen puoli yhteinen, ja näiden kulmien muut sivut ovat komplementaarisia säteitä. Kuvassa 20 kulmat AOB ja BOC ovat vierekkäin.

Vierekkäisten kulmien summa on 180°

Lause 1. Vierekkäisten kulmien summa on 180°.

Todiste. Palkki OB (katso kuva 1) kulkee avautuneen kulman sivujen välistä. Siksi ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Lauseesta 1 seuraa, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.

Pystykulmat ovat yhtä suuret

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen täydentäviä säteitä. Kahden suoran leikkauspisteeseen muodostuneet kulmat AOB ja COD, BOD ja AOC ovat pystysuorat (kuva 2).

Lause 2. Pystykulmat ovat yhtä suuret.

Todiste. Tarkastellaan pystykulmia AOB ja COD (ks. kuva 2). Kulma BOD on kulman AOB ja COD vieressä. Lauseen 1 mukaan ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Tästä päätämme, että ∠ AOB = ∠ COD.

Johtopäätös 1. Suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma.

Tarkastellaan kahta leikkaavaa suoraa AC ja BD (kuva 3). Ne muodostavat neljä kulmaa. Jos yksi niistä on suora (kulma 1 kuvassa 3), niin muutkin kulmat ovat suorat (kulmat 1 ja 2, 1 ja 4 ovat vierekkäisiä, kulmat 1 ja 3 ovat pystysuorat). Tässä tapauksessa he sanovat, että nämä viivat leikkaavat suorassa kulmassa ja niitä kutsutaan kohtisuoraksi (tai keskenään kohtisuoraksi). Viivojen AC ja BD kohtisuoraa merkitään seuraavasti: AC ⊥ BD.

Janaan nähden kohtisuora puolittaja on viiva, joka on kohtisuorassa tätä janaa vastaan ja kulkee sen keskipisteen kautta.

AN - kohtisuorassa suoraa vastaan

Tarkastellaan suoraa a ja pistettä A, joka ei ole sen päällä (kuva 4). Yhdistetään piste A janalla pisteeseen H suoralla a. Janaa AN kutsutaan kohtisuoraksi pisteestä A suoralle a, jos suorat AN ja a ovat kohtisuorassa. Pistettä H kutsutaan kohtisuoran kannaksi.

Piirustus neliö

Seuraava lause on totta.

Lause 3. Mistä tahansa pisteestä, joka ei ole suoralla, on mahdollista piirtää kohtisuora tälle suoralle, ja lisäksi vain yksi.

Kun haluat piirtää kohtisuoran pisteestä suoralle viivalle, käytä piirustusneliötä (kuva 5).

Kommentti. Lauseen muotoilu koostuu yleensä kahdesta osasta. Yksi osa puhuu siitä, mitä annetaan. Tätä osaa kutsutaan lauseen ehdoksi. Toinen osa puhuu siitä, mikä on todistettava. Tätä osaa kutsutaan lauseen johtopäätökseksi. Esimerkiksi Lauseen 2 ehto on, että kulmat ovat pystysuorat; johtopäätös - nämä kulmat ovat yhtä suuret.

Mikä tahansa lause voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti sanoilla siten, että sen ehto alkaa sanalla "jos" ja sen johtopäätös sanalla "sitten". Esimerkiksi Lause 2 voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti seuraavasti: "Jos kaksi kulmaa ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret."

Esimerkki 1. Yksi vierekkäisistä kulmista on 44°. Mihin toinen vastaa?

Ratkaisu. Merkitään toisen kulman astemitta x:llä, sitten Lauseen 1 mukaan.
44° + x = 180°.
Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälön huomaamme, että x = 136°. Siksi toinen kulma on 136°.

Esimerkki 2. Olkoon kulma COD kuvassa 21 45°. Mitkä ovat kulmat AOB ja AOC?

Ratkaisu. Kulmat COD ja AOB ovat pystysuorat, joten ne ovat Lauseen 1.2 mukaan yhtä suuret, eli ∠ AOB = 45°. Kulma AOC on kulman COD vieressä, mikä tarkoittaa Lauseen 1 mukaan.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Esimerkki 3. Etsi vierekkäiset kulmat, jos yksi niistä on 3 kertaa suurempi kuin toinen.

Ratkaisu. Merkitään pienemmän kulman astemitta x:llä. Tällöin suuremman kulman astemitta on 3x. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180° (Lause 1), niin x + 3x = 180°, josta x = 45°.
Tämä tarkoittaa, että vierekkäiset kulmat ovat 45° ja 135°.

Esimerkki 4. Kahden pystykulman summa on 100°. Etsi kunkin neljän kulman koko.

Ratkaisu. Olkoon tehtävän ehdot täyttävä kuva 2. Pystykulmat COD ja AOB ovat yhtä suuret (Lause 2), mikä tarkoittaa, että myös niiden astemitat ovat yhtä suuret. Siksi ∠ COD = ∠ AOB = 50° (niiden summa ehdon mukaan on 100°). Kulma BOD (myös kulma AOC) on kulman COD vieressä, ja siksi Lauseen 1 mukaan
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Kuinka löytää viereinen kulma?

Matematiikka on vanhin tarkka tiede, jota opiskellaan pakollisesti kouluissa, korkeakouluissa, instituuteissa ja yliopistoissa. Perustiedot kuitenkin laitetaan aina koulussa. Joskus lapselle annetaan melko monimutkaisia tehtäviä, mutta vanhemmat eivät voi auttaa, koska he yksinkertaisesti unohtavat joitain asioita matematiikasta. Esimerkiksi kuinka löytää viereinen kulma pääkulman koon perusteella jne. Ongelma on yksinkertainen, mutta voi aiheuttaa vaikeuksia ratkaista, koska ei tiedetä, mitä kulmia kutsutaan vierekkäisiksi ja kuinka ne löydetään.

Tarkastellaan lähemmin vierekkäisten kulmien määritelmää ja ominaisuuksia sekä niiden laskemista tehtävän tiedoista.

Vierekkäisten kulmien määritelmä ja ominaisuudet

Kaksi yhdestä pisteestä lähtevää sädettä muodostavat hahmon, jota kutsutaan "tasokulmaksi". Tässä tapauksessa tätä pistettä kutsutaan kulman kärjeksi, ja säteet ovat sen sivuja. Jos jatkat yhtä säteistä aloituspisteen yli suorassa linjassa, muodostuu toinen kulma, jota kutsutaan viereiseksi. Jokaisella kulmalla on tässä tapauksessa kaksi vierekkäistä kulmaa, koska kulman sivut ovat samanarvoisia. Toisin sanoen vierekkäinen kulma on aina 180 astetta.

Vierekkäisten kulmien tärkeimmät ominaisuudet sisältävät

Vierekkäisillä kulmilla on yhteinen kärki ja yksi sivu;
Vierekkäisten kulmien summa on aina 180 astetta tai luku Pi, jos laskenta suoritetaan radiaaneina;
Vierekkäisten kulmien sinit ovat aina yhtä suuret;
Vierekkäisten kulmien kosinit ja tangentit ovat yhtä suuret, mutta niillä on vastakkaiset merkit.

Kuinka löytää vierekkäiset kulmat

Yleensä annetaan kolme tehtävän muunnelmaa vierekkäisten kulmien suuruuden löytämiseksi

Pääkulman arvo on annettu;
Pää- ja viereisen kulman suhde on annettu;
Annettu arvo pystysuora kulma.

Jokaisella ongelman versiolla on oma ratkaisunsa. Katsotaanpa niitä.

Pääkulman arvo on annettu

Jos ongelma määrittää pääkulman arvon, niin viereisen kulman löytäminen on hyvin yksinkertaista. Voit tehdä tämän vähentämällä vain pääkulman arvon 180 astetta, niin saat viereisen kulman arvon. Tämä ratkaisu perustuu viereisen kulman ominaisuuteen - vierekkäisten kulmien summa on aina 180 astetta.

Jos pääkulman arvo on annettu radiaaneina ja ongelma edellyttää viereisen kulman löytämistä radiaaneina, on pääkulman arvo vähennettävä luvusta Pi, koska täyden taittamattoman kulman arvo on 180 astetta on yhtä suuri kuin luku Pi.

Pää- ja viereisen kulman suhde on annettu

Ongelma voi antaa pää- ja vierekkäisten kulmien suhteen pääkulman asteiden ja radiaanien sijaan. Tässä tapauksessa ratkaisu näyttää suhteellista yhtälöltä:

Merkitsemme pääkulman osuutta muuttujaksi "Y".
Viereiseen kulmaan liittyvä murto-osa on merkitty muuttujaksi "X".
Kullekin suhteelle osuvien asteiden lukumäärä merkitään esimerkiksi "a":lla.
Yleinen kaava näyttää tältä - a*X+a*Y=180 tai a*(X+Y)=180.
Löydämme yhtälön ”a” yhteisen tekijän kaavalla a=180/(X+Y).
Sitten kerromme yhteisen kertoimen "a" arvon määritettävän kulman murto-osalla.

Näin voimme löytää viereisen kulman arvon asteina. Jos sinun on kuitenkin löydettävä arvo radiaaneina, sinun on yksinkertaisesti muutettava asteet radiaaneiksi. Voit tehdä tämän kertomalla kulma asteina Pi:llä ja jakamalla kaikki 180 astetta. Tuloksena oleva arvo on radiaaneina.

Pystykulman arvo on annettu

Jos tehtävä ei anna pääkulman arvoa, mutta pystykulman arvo on annettu, niin viereinen kulma voidaan laskea samalla kaavalla kuin ensimmäisessä kappaleessa, jossa pääkulman arvo on annettu.

Pystykulma on kulma, joka tulee samasta pisteestä kuin pääkulma, mutta on suunnattu täsmälleen vastakkaiseen suuntaan. Näin käy ilmi peilin heijastus. Tämä tarkoittaa, että pystykulma on yhtä suuri kuin pääkulma. Pystykulman viereinen kulma puolestaan on yhtä suuri kuin pääkulman viereinen kulma. Tämän ansiosta pääkulman viereinen kulma voidaan laskea. Voit tehdä tämän vähentämällä pystysuoran arvon 180 astetta ja saamalla pääkulman viereisen kulman arvon asteina.

Jos arvo annetaan radiaaneina, on tarpeen vähentää pystykulman arvo luvusta Pi, koska 180 asteen täyden taittamattoman kulman arvo on yhtä suuri kuin luku Pi.

Voit myös lukea hyödyllisiä artikkeleitamme ja.