3 vierekkäistä kulmaa ovat yhtä suuret. Vierekkäiset ja pystysuorat kulmat

Kahta kulmaa, jotka on sijoitettu samalle suoralle ja joilla on sama kärki, kutsutaan vierekkäisiksi.

Muuten, jos kahden kulman summa yhdellä suoralla on 180 astetta ja niillä on yksi yhteinen sivu, nämä ovat vierekkäisiä kulmia.

1 viereinen kulma + 1 viereinen kulma = 180 astetta.

Vierekkäiset kulmat- nämä ovat kaksi kulmaa, joissa toinen sivu on yhteinen ja kaksi muuta sivua muodostavat yleensä suoran viivan.

Kahden vierekkäisen kulman summa on aina 180 astetta. Esimerkiksi, jos yksi kulma on 60 astetta, toinen on välttämättä 120 astetta (180-60).

Kulmat AOC ja BOC ovat vierekkäisiä kulmia, koska kaikki vierekkäisten kulmien ominaisuudet täyttyvät:

1.OS - kahden kulman yhteinen puoli

2.AO - kulman puoli AOS, OB - kulman puoli VSP. Yhdessä nämä sivut muodostavat suoran AOB.

3. Kulmia on kaksi ja niiden summa on 180 astetta.

Muistaen koulun geometrian kurssin voimme sanoa seuraavaa vierekkäisistä kulmista:

vierekkäisillä kulmilla on yksi yhteinen sivu ja kaksi muuta sivua kuuluvat samaan suoraviivaan, eli ne ovat samalla suoralla. Jos kuvan mukaan, niin kulmat SOB ja BOA ovat vierekkäisiä kulmia, joiden summa on aina 180, koska ne jakavat suoran kulman, ja suora kulma on aina yhtä suuri kuin 180.



Vierekkäiset kulmat ovat helppo käsite geometriassa. Vierekkäiset kulmat, kulma plus kulma, laskevat yhteen 180 astetta.

Kaksi vierekkäistä kulmaa on yksi taittamaton kulma.

Kiinteistöjä on useita muitakin. Vierekkäisillä kulmilla ongelmat on helppo ratkaista ja lauseet todistaa.

Vierekkäiset kulmat muodostetaan vetämällä säde mielivaltaisesta suoran pisteestä. Sitten tämä mielivaltainen piste osoittautuu kulman kärjeksi, säde on vierekkäisten kulmien yhteinen puoli ja suora viiva, josta säde vedetään, on vierekkäisten kulmien kaksi muuta sivua. Vierekkäiset kulmat voivat olla samat kohtisuoran tapauksessa tai erilaiset vinosäteen tapauksessa. On helppo ymmärtää, että vierekkäisten kulmien summa on 180 astetta tai yksinkertaisesti suora. Toinen tapa selittää tämä kulma on yksinkertainen esimerkki- aluksi kävelit yhteen suuntaan suoraa, sitten muutit mielesi, päätit palata ja 180 astetta kääntyneenä lähdit samaa suoraa pitkin vastakkaiseen suuntaan.



Joten mikä on viereinen kulma? Määritelmä:

Kahta kulmaa, joilla on yhteinen kärki ja yksi yhteinen sivu, kutsutaan vierekkäisiksi, ja näiden kulmien kaksi muuta sivua ovat samalla suoralla.



JA lyhyt video oppitunti, jossa se esitetään järkevästi vierekkäisistä kulmista, pystykulmista sekä kohtisuorasta viivasta, jotka ovat vierekkäisten ja pystysuorien kulmien erikoistapaus

Vierekkäiset kulmat ovat kulmia, joissa toinen puoli on yhteinen ja toinen on yksi viiva.

Vierekkäiset kulmat ovat kulmia, jotka riippuvat toisistaan. Eli jos yhteistä puolta kierretään hieman, niin yksi kulma pienenee useita asteita ja automaattisesti toinen kulma kasvaa saman verran. Tämä vierekkäisten kulmien ominaisuus mahdollistaa geometrian erilaisten ongelmien ratkaisemisen ja eri lauseiden todisteiden suorittamisen.

Vierekkäisten kulmien yhteissumma on aina 180 astetta.



Geometrian kurssista (muistaakseni 6. luokalla) kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, joissa toinen sivu on yhteinen ja muut sivut lisäsäteitä, vierekkäisten kulmien summa on 180. Kumpikin vierekkäiset kulmat täydentävät toista laajennetulla kulmalla. Esimerkki vierekkäisistä kulmista:



Vierekkäiset kulmat ovat kaksi kulmaa, joilla on yhteinen kärki, joiden toinen sivu on yhteinen ja loput sivut ovat samalla suoralla linjalla (eivät ole yhteneväisiä). Vierekkäisten kulmien summa on satakahdeksankymmentä astetta. Yleensä kaikki tämä on erittäin helppo löytää Googlesta tai geometrian oppikirjasta.

Kulmien käytön aloittaminen

Annetaan meille kaksi mielivaltaista sädettä. Laitetaan ne päällekkäin. Sitten

Määritelmä 1

Kutsumme kulmaksi kahta sädettä, joilla on sama alkuperä.

Määritelmä 2

Pistettä, joka on säteiden alku määritelmän 3 puitteissa, kutsutaan tämän kulman kärjeksi.

Merkitään kulmaa sen kolmella pisteellä: kärkipiste, piste toisella säteellä ja piste toisella säteellä, ja kulman kärki on kirjoitettu sen merkinnän keskelle (kuva 1).

Määritetään nyt mikä kulman suuruus on.

Tätä varten meidän on valittava jonkinlainen "viitekulma", jonka otamme yksikkönä. Useimmiten tämä kulma on kulma, joka on yhtä suuri kuin taittamattoman kulman $\frac(1)(180)$-osa. Tätä määrää kutsutaan asteeksi. Kun olet valinnut tällaisen kulman, vertaamme kulmia siihen, jonka arvo on löydettävä.

Kulmia on 4 tyyppiä:

Määritelmä 3

Kulmaa kutsutaan teräväksi, jos se on pienempi kuin $90^0$.

Määritelmä 4

Kulmaa kutsutaan tylpäksi, jos se on suurempi kuin $90^0$.

Määritelmä 5

Kulmaa kutsutaan kehittyneeksi, jos se on yhtä suuri kuin $180^0$.

Määritelmä 6

Kulmaa kutsutaan oikeaksi, jos se on yhtä suuri kuin $90^0$.

Edellä kuvattujen kulmatyyppien lisäksi voimme erottaa toisistaan ​​​​kulmatyyppejä, nimittäin pysty- ja vierekkäiset kulmat.

Vierekkäiset kulmat

Harkitse käänteistä kulmaa $COB$. Sen kärjestä piirretään säde $OA$. Tämä säde jakaa alkuperäisen kahteen kulmaan. Sitten

Määritelmä 7

Kutsumme kahta vierekkäistä kulmaa, jos niiden toinen sivupari on kehittynyt kulma ja toinen pari osuu yhteen (kuva 2).

Tässä tapauksessa kulmat $COA$ ja $BOA$ ovat vierekkäisiä.

Lause 1

Vierekkäisten kulmien summa on $180^0$.

Todistus.

Katsotaanpa kuvaa 2.

Määritelmän 7 mukaan siinä oleva kulma $COB$ on yhtä suuri kuin $180^0$. Koska vierekkäisten kulmien toinen sivupari osuu yhteen, säde $OA$ jakaa taittamattoman kulman kahdella, joten

$∠COA+∠BOA=180^0$

Lause on todistettu.

Harkitsemme ongelman ratkaisemista käyttämällä tätä käsitettä.

Esimerkki 1

Etsi kulma $C$ alla olevasta kuvasta

Määritelmän 7 mukaan kulmat $BDA$ ja $ADC$ ovat vierekkäisiä. Siksi lauseella 1 saamme

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Kolmion kulmien summan lauseella meillä on

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Vastaus: $40^0$.

Pystykulmat

Tarkastellaan taittamattomia kulmia $AOB$ ja $MOC$. Kohdistamme niiden kärjet toisiinsa (eli asetamme pisteen $O"$ pisteeseen $O$) niin, että mitkään näiden kulmien sivut eivät kohtaa.

Määritelmä 8

Kutsumme kahta kulmaa pystysuoraksi, jos niiden sivuparit ovat avautuneita kulmia ja niiden arvot ovat samat (kuva 3).

Tässä tapauksessa kulmat $MOA$ ja $BOC$ ovat pystysuorat ja kulmat $MOB$ ja $AOC$ ovat myös pystysuorat.

Lause 2

Pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.

Todistus.

Katsotaanpa kuvaa 3. Osoitetaan esimerkiksi, että kulma $MOA$ on yhtä suuri kuin kulma $BOC$.

Kulmat, joissa toinen sivu on yhteinen ja muut sivut ovat samalla suoralla (kuvassa kulmat 1 ja 2 ovat vierekkäin). Riisi. Art. Viereiset kulmat... Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja

LÄHETTÄVÄT KULMAT- kulmat, joilla on yhteinen kärki ja yksi yhteinen sivu, ja niiden kaksi muuta sivua ovat samalla suoralla... Suuri ammattikorkeakoulun tietosanakirja

Katso Kulma... Iso Ensyklopedinen sanakirja

LÄHETTYVÄT KULMAT, kaksi kulmaa, joiden summa on 180°. Jokainen näistä kulmista täydentää toisiaan täydessä kulmassa... Tieteellinen ja tekninen tietosanakirja

Katso Kulma. * * * VIESTIN KULMAT VIESTIN KULMAT, katso Kulma (katso ANGLE) ... Ensyklopedinen sanakirja

- (Viereiset kulmat) ne, joilla on yhteinen kärki ja yhteinen puoli. Useimmiten tämä nimi viittaa sellaisiin C.-kulmiin, joiden kaksi muuta sivua ovat yhden kärjen läpi vedetyn suoran vastakkaisissa suunnissa ... Ensyklopedinen sanakirja F.A. Brockhaus ja I.A. Efron

Katso Kulma... Luonnontieteet. Ensyklopedinen sanakirja

Kaksi suoraa leikkaavat muodostaen parin pystysuorat kulmat. Toinen pari koostuu kulmista A ja B, toinen C ja D. Geometriassa kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos ne muodostuvat kahden kulman leikkauspisteestä ... Wikipedia

Täydentävä kulmapari, joka täydentää toisiaan 90 asteeseen saakka. Jos kaksi täydentävää kulmaa ovat vierekkäin (eli niillä on yhteinen kärki ja ne erotetaan vain... ... Wikipedia

Täydentävät kulmat, jotka täydentävät toisiaan 90 asteeseen saakka Täydentävät kulmat ovat kulmia, jotka täydentävät toisiaan 90 asteeseen asti. Jos kaksi toisiaan täydentävää kulmaa ovat... Wikipedia

Kirjat

• Tietoja geometriasta, A.I. Fetisov Tämä kirja valmistetaan tilauksenne mukaisesti Print-on-Demand -tekniikalla. Olipa kerran, aivan alussa lukuvuosi
• , minun piti kuulla kahden tytön keskustelu. Vanhin heistä...

Kattava muistikirja tiedonhallintaan. Geometria. 7. luokka. Federal State Educational Standard, Babenko Svetlana Pavlovna, Markova Irina Sergeevna. Käsikirja esittelee geometrian ohjaus- ja mittausmateriaaleja (CMM) 7. luokan oppilaiden tiedon virran, temaattisen ja lopullisen laadunvalvonnan suorittamiseen. Käsikirjan sisältö...

LUKU I.

PERUSKÄSITTEET.

§11. LÄHETTÄVÄT JA PYSTYKULMAT.

1. Vierekkäiset kulmat. / Jos pidennetään minkä tahansa kulman sivu sen kärjen yli, saadaan kaksi kulmaa (kuva 72): / Ja aurinko ja

SVD, jossa yksi puoli BC on yhteinen ja kaksi muuta A ja BD muodostavat suoran viivan.

Kahta kulmaa, joissa toinen sivu on yhteinen ja kaksi muuta muodostavat suoran viivan, kutsutaan vierekkäisiksi kulmiksi.
Vierekkäiset kulmat voidaan saada myös tällä tavalla: jos vedämme säteen jostakin suoran pisteestä (ei ole tietyllä suoralla), saamme vierekkäisiä kulmia. / Esimerkiksi, / ADF ja

FDВ - vierekkäiset kulmat (kuva 73).

Vierekkäisillä kulmilla voi olla monenlaisia ​​​​asentoja (kuva 74). Vierekkäiset kulmat muodostavat suoran kulman, joten 2kahden vierekkäisen kulman umma on yhtä suuri

d.

Siten suora kulma voidaan määritellä kulmaksi, joka on yhtä suuri kuin sen viereinen kulma.

Kun tiedämme yhden viereisen kulman koon, voimme löytää sen vieressä olevan toisen kulman koon. Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5 d

2Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5- 3 / 5 Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5, niin toinen kulma on yhtä suuri kuin: Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5.

= l 2/5

2. Pystykulmat.

Jos ulotamme kulman sivut sen kärjen yli, saamme pystykulmat. Piirustuksessa 75 kulmat EOF ja AOC ovat pystysuorat; Kulmat AOE ja COF ovat myös pystysuorat.

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos yhden kulman sivut ovat jatkoa toisen kulman sivuille. / 1 = 7 / 8 Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5(Kuva 76). Sen vieressä / 2 on yhtä suuri kuin 2 Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5- 7 / 8 Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5, eli 1 1/8 Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5.

Samalla tavalla voit laskea, mitä ne vastaavat / 3 ja / 4.
/ 3 = 2Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5 - 1 1 / 8 Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5 = 7 / 8 Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5; / 4 = 2Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5 - 7 / 8 Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5 = 1 1 / 8 Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5(Kaavio 77).

Näemme sen / 1 = / 3 ja / 2 = / 4.

Voit ratkaista useita muita samoja tehtäviä, ja joka kerta saat saman tuloksen: pystykulmat ovat samat keskenään.

Yksittäisten numeeristen esimerkkien huomioon ottaminen ei kuitenkaan riitä, jotta pystykulmat ovat aina yhtä suuret, koska yksittäisistä esimerkeistä tehdyt johtopäätökset voivat joskus olla virheellisiä.

Pystykulmien ominaisuuksien pätevyys on tarkistettava perustelemalla, todistamalla.

Todistus voidaan suorittaa seuraavasti (kuva 78):

/ a+/ c = 2Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5;
/ b+/ c = 2Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5;

(koska vierekkäisten kulmien summa on 2 Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5).

/ a+/ c = / b+/ c

(koska tämän yhtälön vasen puoli on myös yhtä suuri kuin 2 Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5, ja sen oikea puoli on myös yhtä suuri kuin 2 Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5).

Tämä tasa-arvo sisältää saman kulman Kanssa.

Jos vähennämme yhtä suurista määristä yhtä suuret määrät, yhtä suuret määrät jäävät jäljelle. Tuloksena on: / a = / b, eli pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.

Käsiteltäessä kysymystä pystykulmista selitimme ensin, mitä kulmia kutsutaan pystysuorituksiksi, ts. määritelmä pystysuorat kulmat.

Sitten teimme tuomion (lausunnon) pystykulmien yhtäläisyydestä ja olimme vakuuttuneita tämän tuomion pätevyydestä todisteiden avulla. Sellaisia ​​tuomioita, joiden pätevyys on todistettava, kutsutaan lauseita. Tässä osiossa annoimme siis pystykulmien määritelmän sekä esitimme ja todistimme lauseen niiden ominaisuuksista.

Jatkossa geometriaa opiskellessa joudumme jatkuvasti kohtaamaan lauseiden määritelmiä ja todisteita.

3. Kulmien summa, joilla on yhteinen kärki.

Piirustuksessa 79 / 1, / 2, / 3 ja / 4 sijaitsevat viivan toisella puolella ja niillä on yhteinen kärki tällä viivalla. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat suoran kulman, ts.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5.

Piirustuksessa 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ja / 5:llä on yhteinen kärki. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat täyden kulman, ts. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5.

Harjoitukset.

1. Yksi vierekkäisistä kulmista on 0,72 kahden vierekkäisen kulman umma on yhtä suuri Laske näiden vierekkäisten kulmien puolittajien muodostama kulma.

2. Osoita, että kahden vierekkäisen kulman puolittajat muodostavat suoran kulman.

3. Osoita, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.

4. Kuinka monta paria vierekkäisiä kulmia on piirustuksessa 81?

5. Voiko vierekkäisten kulmien pari koostua kahdesta terävästä kulmasta? kahdesta tylpästä kulmasta? oikeasta ja tylppästä kulmasta? suorasta ja terävä kulma?

6. Jos jokin vierekkäisistä kulmista on oikea, niin mitä voidaan sanoa sen viereisen kulman koosta?

7. Jos kahden suoran leikkauskohdassa yksi kulma on oikea, niin mitä voidaan sanoa kolmen muun kulman koosta?

Geometria on hyvin monipuolinen tiede. Se kehittää logiikkaa, mielikuvitusta ja älykkyyttä. Tietenkin koululaiset eivät aina pidä siitä monimutkaisuuden ja lukuisten lauseiden ja aksioomien vuoksi. Lisäksi on jatkuvasti todistettava johtopäätöksesi yleisesti hyväksyttyjen standardien ja sääntöjen avulla.

Vierekkäiset ja pystykulmat ovat olennainen osa geometriaa. Varmasti monet koululaiset vain ihailevat niitä siitä syystä, että niiden ominaisuudet ovat selkeitä ja helppo todistaa.

Kulmien muodostuminen

Mikä tahansa kulma muodostetaan leikkaamalla kaksi suoraa tai vetämällä kaksi sädettä yhdestä pisteestä. Niitä voidaan kutsua joko yhdeksi kirjaimeksi tai kolmeksi, jotka osoittavat peräkkäin pisteitä, joihin kulma muodostetaan.

Kulmat mitataan asteina ja niitä voidaan (arvosta riippuen) kutsua eri tavalla. On siis olemassa suora kulma, terävä, tylpä ja taittamaton. Jokainen nimi vastaa tietyn asteen mittaa tai sen väliä.

Terävä kulma on kulma, jonka mitta ei ylitä 90 astetta.

Tylsä kulma on kulma, joka on suurempi kuin 90 astetta.

Kulmaa kutsutaan oikeaksi, kun sen astemitta on 90.

Siinä tapauksessa, että se muodostuu yhdestä jatkuvasta suorasta ja sen astemitta on 180, sitä kutsutaan laajennetuksi.

Kulmia, joilla on yhteinen sivu, jonka toinen puoli jatkaa toisiaan, kutsutaan vierekkäisiksi. Ne voivat olla teräviä tai tylsiä. Suoran leikkauskohta muodostaa vierekkäisiä kulmia. Niiden ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Näiden kulmien summa on 180 astetta (tämän todistaa lause). Siksi yksi niistä voidaan helposti laskea, jos toinen tunnetaan.
2. Ensimmäisestä pisteestä seuraa, että vierekkäisiä kulmia ei voi muodostaa kahdella tylpällä tai kahdella terävällä kulmalla.

Näiden ominaisuuksien ansiosta voit aina laskea kulman astemitan toisen kulman arvon tai arvon mukaan vähintään, heidän välinen suhde.

Pystykulmat

Kulmia, joiden sivut jatkavat toisiaan, kutsutaan pystysuoraksi. Mikä tahansa niiden lajike voi toimia sellaisena parina. Pystykulmat ovat aina yhtä suuret keskenään.

Ne muodostuvat, kun suorat viivat leikkaavat. Niiden ohella vierekkäiset kulmat ovat aina läsnä. Kulma voi olla samanaikaisesti vierekkäinen toiselle ja pystysuora toiselle.

Mielivaltaista linjaa ylitettäessä otetaan huomioon myös useat muun tyyppiset kulmat. Tällaista viivaa kutsutaan sekanttiviivaksi, ja se muodostaa vastaavat yksipuoliset ja ristikkäiset kulmat. He ovat tasa-arvoisia keskenään. Niitä voidaan tarkastella pysty- ja vierekkäisten kulmien ominaisuuksien valossa.

Näin ollen kulmien aihe vaikuttaa melko yksinkertaiselta ja ymmärrettävältä. Kaikki niiden ominaisuudet on helppo muistaa ja todistaa. Ongelmien ratkaiseminen ei näytä vaikealta, kunhan kulmat vastaavat numeerinen arvo. Myöhemmin, kun synnin ja cosin tutkimus alkaa, sinun on opeteltava ulkoa monia monimutkaisia ​​kaavoja, niiden päätelmät ja seuraukset. Siihen asti voit vain nauttia helpoista pulmatehtävistä, joissa sinun on löydettävä vierekkäiset kulmat.