एक बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का 1 व्युत्पन्न। किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न
परिभाषा।मान लीजिए कि फ़ंक्शन \(y = f(x)\) को बिंदु \(x_0\) वाले एक निश्चित अंतराल में परिभाषित किया गया है। आइए तर्क को एक वृद्धि दें \(\Delta x \) ताकि यह इस अंतराल को न छोड़े। आइए फ़ंक्शन \(\Delta y \) की संगत वृद्धि ज्ञात करें (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक जाने पर) और संबंध बनाएं \(\frac(\Delta y)(\डेल्टा x) \). यदि इस अनुपात की कोई सीमा \(\Delta x \rightarrow 0\) पर है, तो निर्दिष्ट सीमा कहलाती है किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
प्रतीक y का उपयोग अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) एक नया फ़ंक्शन है, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से संबंधित है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है, जिस पर उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस प्रकार कहा जाता है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y = f(x).
ज्यामितीय अर्थयौगिकइस प्रकार है। यदि फ़ंक्शन y = f(x) के ग्राफ पर भुज x=a वाले बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है, जो y-अक्ष के समानांतर नहीं है, तो f(a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है :
\(k = f"(a)\)
चूँकि \(k = tg(a) \), तो समानता \(f"(a) = tan(a) \) सत्य है।
आइए अब अनुमानित समानता के दृष्टिकोण से व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या करें। मान लीजिए कि फ़ंक्शन \(y = f(x)\) का एक विशिष्ट बिंदु \(x\) पर व्युत्पन्न है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास अनुमानित समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ डेल्टा x\). परिणामी अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक व्युत्पन्न का मूल्य है दिया गया बिंदुएक्स। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2\) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) मान्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करें, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिदम शामिल है।
आइए इसे तैयार करें.
फ़ंक्शन y = f(x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?
1. \(x\) का मान ठीक करें, \(f(x)\) खोजें
2. तर्क \(x\) को एक वृद्धि \(\Delta x\) दें, पर जाएँ नया बिंदु\(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) खोजें
3. फ़ंक्शन की वृद्धि ज्ञात करें: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध बनाएं \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा बिंदु x पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है।
यदि किसी फ़ंक्शन y = f(x) का एक बिंदु x पर अवकलज है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फलन y = f(x) का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है भेदभावफलन y = f(x).
आइए निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता और भिन्नता एक दूसरे से कैसे संबंधित हैं?
मान लीजिए कि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M(x; f(x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है, और, याद रखें, स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ़ "टूट" नहीं सकता है बिंदु M पर, अर्थात फ़ंक्शन बिंदु x पर निरंतर होना चाहिए।
ये "व्यावहारिक" तर्क थे। आइए हम और अधिक कठोर तर्क दें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो अनुमानित समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) कायम रहती है। यदि इस समानता में \(\Delta x \) शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, फिर \(\Delta y \) शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।
इसलिए, यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु x पर अवकलनीय है, तो यह उस बिंदु पर निरंतर है.
उलटा कथन सत्य नहीं है. उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "जंक्शन बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा नहीं खींची जा सकती है, तो उस बिंदु पर व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।
एक और उदाहरण. फ़ंक्शन \(y=\sqrt(x)\) संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है, जिसमें बिंदु x = 0 भी शामिल है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। . लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ संपाती होती है, अर्थात, यह भुज अक्ष के लंबवत होती है, इसके समीकरण का रूप x = 0 होता है। ऐसी सीधी रेखा में कोण गुणांक नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि \(f "(0)\) मौजूद नहीं है.
तो, हम किसी फ़ंक्शन की एक नई संपत्ति - भिन्नता से परिचित हुए। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से कोई यह निष्कर्ष कैसे निकाल सकता है कि यह अवकलनीय है?
उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींचना संभव है जो भुज अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह भुज अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न नहीं है।
विभेदीकरण के नियम
अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को निष्पादित करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "कार्यों के कार्य", यानी जटिल कार्यों के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं जो इस कार्य को आसान बनाते हैं। यदि C एक स्थिर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ भिन्न फलन हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं विभेदन नियम:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
कुछ फ़ंक्शंस के डेरिवेटिव की तालिका
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ज्यामिति, यांत्रिकी, भौतिकी और ज्ञान की अन्य शाखाओं की विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, इस फ़ंक्शन से समान विश्लेषणात्मक प्रक्रिया का उपयोग करने की आवश्यकता उत्पन्न हुई y=f(x)एक नया फ़ंक्शन कॉल करें व्युत्पन्न कार्य(या केवल किसी दिए गए फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न)और प्रतीक द्वारा निर्दिष्ट किया गया है
वह प्रक्रिया जिसके द्वारा किसी दिए गए फ़ंक्शन से एफ(एक्स)एक नई सुविधा प्राप्त करें एफ" (एक्स), बुलाया भेदभावऔर इसमें निम्नलिखित तीन चरण शामिल हैं: 1) तर्क दें एक्सवेतन वृद्धि
एक्सऔर फ़ंक्शन की संगत वृद्धि निर्धारित करें
y = f(x+
एक्स) -एफ(एक्स); 2) रिश्ता बनाना 
3)गिनती एक्सस्थिर और
एक्स0, हम पाते हैं 
, जिसे हम निरूपित करते हैं एफ" (एक्स), मानो इस बात पर ज़ोर दे रहा हो कि परिणामी फ़ंक्शन केवल मान पर निर्भर करता है एक्स, जिस पर हम सीमा तक चले जाते हैं। परिभाषा:
व्युत्पन्न y " =f " (x)
दिया गया फलन y=f(x)
किसी दिए गए x के लिएकिसी फ़ंक्शन की वृद्धि और तर्क की वृद्धि के अनुपात की सीमा को कहा जाता है, बशर्ते कि तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है, यदि, निश्चित रूप से, यह सीमा मौजूद है, यानी। परिमित. इस प्रकार, 
, या 
ध्यान दें कि यदि कुछ मूल्य के लिए एक्स, उदाहरण के लिए जब एक्स=ए, नज़रिया 
पर
एक्स0 परिमित सीमा की ओर प्रवृत्त नहीं होता है, तो इस स्थिति में वे कहते हैं कि फलन एफ(एक्स)पर एक्स=ए(या बिंदु पर एक्स=ए) का कोई व्युत्पन्न नहीं है या बिंदु पर अवकलनीय नहीं है एक्स=ए.
2. व्युत्पत्ति का ज्यामितीय अर्थ.
फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ़ पर विचार करें, जो बिंदु x 0 के आसपास अवकलनीय है
एफ(एक्स)
आइए किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक बिंदु से गुजरने वाली एक मनमानी सीधी रेखा पर विचार करें - बिंदु A(x 0, f (x 0)) और ग्राफ़ को किसी बिंदु B(x;f(x)) पर काटती है। ऐसी रेखा (AB) को छेदक रेखा कहा जाता है। ∆ABC से: AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.
चूंकि एसी || बैल, तो ALO = BAC = β (समानांतर के अनुरूप)। लेकिन ALO ऑक्स अक्ष की धनात्मक दिशा में छेदक AB के झुकाव का कोण है। इसका मतलब है कि tanβ = k सीधी रेखा AB का ढलान है।
अब हम ∆x को कम करेंगे, यानी। ∆х→ 0. इस स्थिति में, बिंदु B ग्राफ़ के अनुसार बिंदु A तक पहुंचेगा, और छेदक AB घूमेगा। ∆x→ 0 पर छेदक AB की सीमित स्थिति एक सीधी रेखा (a) होगी, जिसे बिंदु A पर फ़ंक्शन y = f (x) के ग्राफ की स्पर्शरेखा कहा जाता है।
यदि हम समानता tgβ =∆y/∆x में ∆x → 0 के रूप में सीमा तक जाते हैं, तो हमें मिलता है 
ortg =f "(x 0), चूँकि 
-ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण 
, एक व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार। लेकिन tg = k स्पर्शरेखा का कोणीय गुणांक है, जिसका अर्थ है k = tg = f "(x 0)।
तो, व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ इस प्रकार है:
बिंदु x पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 के बराबर ढलानभुज x वाले बिंदु पर खींचे गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा 0 .
3. व्युत्पत्ति का भौतिक अर्थ.
एक सीधी रेखा में एक बिंदु की गति पर विचार करें। मान लीजिए किसी भी समय किसी बिंदु का निर्देशांक x(t) दिया गया है। यह ज्ञात है (भौतिकी पाठ्यक्रम से) कि किसी समयावधि में औसत गति इस अवधि के दौरान तय की गई दूरी के अनुपात के बराबर होती है, अर्थात।
वाव = ∆x/∆t. आइए अंतिम समानता में ∆t → 0 के रूप में सीमा पर जाएं।
लिम वाव (t) = (t 0) - समय t 0, ∆t → 0 पर तात्कालिक गति।
और lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार)।
तो, (t) =x"(t).
व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्नय = एफ(एक्स) बिंदु परएक्स 0 फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर हैएफ(एक्स) बिंदु परएक्स 0
व्युत्पन्न का उपयोग भौतिकी में निर्देशांक बनाम समय के ज्ञात फ़ंक्शन से वेग खोजने के लिए किया जाता है, वेग बनाम समय के ज्ञात फ़ंक्शन से त्वरण का पता लगाने के लिए किया जाता है।
(t) = x"(t) - गति,
ए(एफ) = "(टी) - त्वरण, या
यदि किसी वृत्त में किसी भौतिक बिंदु की गति का नियम ज्ञात हो, तो घूर्णी गति के दौरान कोणीय वेग और कोणीय त्वरण ज्ञात किया जा सकता है:
φ = φ(t) - समय के साथ कोण में परिवर्तन,
ω = φ"(टी) - कोणीय वेग,
ε = φ"(t) - कोणीय त्वरण, या ε = φ"(t).
यदि किसी अमानवीय छड़ के द्रव्यमान वितरण का नियम ज्ञात हो, तो अमानवीय छड़ का रैखिक घनत्व पाया जा सकता है:
एम = एम(एक्स) - द्रव्यमान,
x , l - छड़ की लंबाई,
पी = एम"(एक्स) - रैखिक घनत्व।
व्युत्पन्न का उपयोग करके, लोच और हार्मोनिक कंपन के सिद्धांत की समस्याओं का समाधान किया जाता है। तो, हुक के नियम के अनुसार
एफ = -केएक्स, एक्स - चर निर्देशांक, के - स्प्रिंग लोच गुणांक। ω 2 =k/m रखने पर, हमें स्प्रिंग लोलक x"(t) + ω 2 x(t) = 0 का अवकल समीकरण प्राप्त होता है।
जहां ω = √k/√m दोलन आवृत्ति (l/c), k - स्प्रिंग कठोरता (H/m)।
फॉर्म y" + ω 2 y = 0 के समीकरण को हार्मोनिक दोलनों (मैकेनिकल, इलेक्ट्रिकल, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक) का समीकरण कहा जाता है। ऐसे समीकरणों का समाधान फ़ंक्शन है
y = Asin(ωt + φ 0) या y = Acos(ωt + φ 0), जहां
ए - दोलनों का आयाम, ω - चक्रीय आवृत्ति,
φ 0 - प्रारंभिक चरण।
गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना व्युत्पन्न और इसकी गणना करने की विधियों के ज्ञान के बिना पूरी तरह से असंभव है। व्युत्पन्न में से एक है सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएँगणितीय विश्लेषण। यह मौलिक विषयहमने आज का लेख समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?
व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ
एक समारोह हो जाये एफ(एक्स) , एक निश्चित अंतराल में निर्दिष्ट (ए, बी) . बिंदु x और x0 इस अंतराल से संबंधित हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क बदलना - उसके मूल्यों में अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा गया है डेल्टा एक्स और इसे तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न की परिभाषा:
किसी बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की वृद्धि के अनुपात की सीमा है, जब तर्क शून्य हो जाता है।
अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? और यहाँ यह है:
किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न OX अक्ष और किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।
भौतिक अर्थव्युत्पन्न: समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न सरलरेखीय गति की गति के बराबर है।
दरअसल, स्कूल के दिनों से ही हर कोई जानता है कि गति एक विशेष मार्ग है x=f(t) और समय टी . औसत गतिएक निश्चित अवधि के लिए:
किसी समय में गति की गति का पता लगाना टी0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:
नियम एक: एक स्थिरांक निर्धारित करें
स्थिरांक को व्युत्पन्न चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए. गणित में उदाहरण हल करते समय इसे एक नियम के रूप में लें - यदि आप किसी अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं, तो उसे सरल बनाना सुनिश्चित करें .
उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:
नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न
दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्नों के योग के बराबर होता है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।
हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।
फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न
दो भिन्न कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
समाधान: 
यहां जटिल फलनों के व्युत्पन्नों की गणना के बारे में बात करना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है और स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क का व्युत्पन्न है।
उपरोक्त उदाहरण में हमें यह अभिव्यक्ति मिलती है:
इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पाँचवीं घात से 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।
नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न
दो फलनों के भागफल का अवकलज ज्ञात करने का सूत्र:
हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर खामियां होती हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।
इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। पीछे लघु अवधिहम आपको सबसे कठिन परीक्षणों को हल करने और समस्याओं को हल करने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी व्युत्पन्न गणना नहीं की हो।
जब किसी व्यक्ति ने गणितीय विश्लेषण का अध्ययन करने में पहला स्वतंत्र कदम उठाया है और असुविधाजनक प्रश्न पूछना शुरू कर दिया है, तो इस वाक्यांश से दूर रहना इतना आसान नहीं है कि "गोभी में अंतर कैलकुलस पाया गया था।" अत: अब समय आ गया है कि निर्णय लिया जाए और जन्म का रहस्य उजागर किया जाए डेरिवेटिव और विभेदन नियमों की तालिकाएँ. लेख में शुरू हुआ व्युत्पन्न के अर्थ के बारे में, जिसका मैं अध्ययन करने की अत्यधिक अनुशंसा करता हूं, क्योंकि वहां हमने केवल व्युत्पन्न की अवधारणा को देखा और विषय पर समस्याओं पर क्लिक करना शुरू किया। इसी पाठ में एक स्पष्ट व्यावहारिक अभिविन्यास है, इसके अलावा,
नीचे चर्चा किए गए उदाहरणों को, सिद्धांत रूप में, विशुद्ध रूप से औपचारिक रूप से महारत हासिल की जा सकती है (उदाहरण के लिए, जब व्युत्पन्न के सार में तल्लीन करने का कोई समय/इच्छा नहीं है)। "सामान्य" विधि का उपयोग करके डेरिवेटिव ढूंढने में सक्षम होना भी अत्यधिक वांछनीय है (लेकिन फिर से आवश्यक नहीं) - कम से कम दो बुनियादी पाठों के स्तर पर:व्युत्पन्न कैसे खोजें? और एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।
लेकिन एक चीज़ है जिसके बिना हम निश्चित रूप से अब नहीं कर सकते, वह है कार्य सीमाएँ. आपको यह समझना होगा कि सीमा क्या है और कम से कम औसत स्तर पर उन्हें हल करने में सक्षम होना चाहिए। और सभी क्योंकि व्युत्पन्न
किसी बिंदु पर कार्य सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
मैं आपको पदनामों और शर्तों की याद दिला दूं: वे कॉल करते हैं तर्क वृद्धि;
- फ़ंक्शन वृद्धि;
- ये एकल प्रतीक हैं ("डेल्टा" को "एक्स" या "वाई" से "फाड़ा नहीं जा सकता")।
जाहिर है, जो "गतिशील" चर है वह एक स्थिरांक है और सीमा की गणना का परिणाम है 
- संख्या (कभी-कभी - "प्लस" या "माइनस" अनंत).
एक बिंदु के रूप में, आप किसी भी मूल्य से संबंधित विचार कर सकते हैं परिभाषा का क्षेत्रवह फ़ंक्शन जिसमें एक व्युत्पन्न मौजूद है।
ध्यान दें: खंड "जिसमें व्युत्पन्न मौजूद है" है सामान्य तौर पर यह महत्वपूर्ण है! इसलिए, उदाहरण के लिए, यद्यपि एक बिंदु किसी फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र में शामिल है, इसका व्युत्पन्न
वहां मौजूद नहीं है. इसलिए सूत्र
बिंदु पर लागू नहीं है
और आरक्षण के बिना संक्षिप्त सूत्रीकरण गलत होगा। इसी तरह के तथ्य ग्राफ़ में "विराम" वाले अन्य कार्यों के लिए भी सच हैं, विशेष रूप से आर्कसाइन और आर्ककोसाइन के लिए।
इस प्रकार, प्रतिस्थापित करने के बाद, हमें दूसरा कार्य सूत्र प्राप्त होता है:
एक कपटी परिस्थिति पर ध्यान दें जो चायदानी को भ्रमित कर सकती है: इस सीमा में, "x", स्वयं एक स्वतंत्र चर होने के नाते, एक आंकड़े की भूमिका निभाता है, और "गतिशीलता" फिर से वृद्धि द्वारा निर्धारित की जाती है। सीमा की गणना का परिणाम
व्युत्पन्न कार्य है.
उपरोक्त के आधार पर, हम दो विशिष्ट समस्याओं की स्थितियाँ बनाते हैं:
- खोजो एक बिंदु पर व्युत्पन्नव्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हुए।
- खोजो व्युत्पन्न कार्यव्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हुए। यह संस्करण, मेरी टिप्पणियों के अनुसार, बहुत अधिक सामान्य है और इस पर मुख्य ध्यान दिया जाएगा।
कार्यों के बीच मूलभूत अंतर यह है कि पहले मामले में आपको संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता है (वैकल्पिक रूप से, अनंत), और दूसरे में -
समारोह इसके अलावा, व्युत्पन्न बिल्कुल भी मौजूद नहीं हो सकता है।
कैसे ?
एक अनुपात बनाएं और सीमा की गणना करें।
यह कहां से आया था?व्युत्पन्न और विभेदीकरण नियमों की तालिका ? एकमात्र सीमा के लिए धन्यवाद
यह जादू जैसा लगता है, लेकिन
हकीकत में - हाथ की सफाई और कोई धोखाधड़ी नहीं। सबक पर व्युत्पन्न क्या है?मैं देखने लगा विशिष्ट उदाहरण, जहां, परिभाषा का उपयोग करते हुए, मुझे एक रैखिक और द्विघात फ़ंक्शन के व्युत्पन्न मिले। संज्ञानात्मक वार्म-अप के उद्देश्य से, हम परेशान करना जारी रखेंगे डेरिवेटिव की तालिका, एल्गोरिदम और तकनीकी समाधानों का सम्मान करना:
मूलतः, आपको पावर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक विशेष मामला साबित करने की आवश्यकता है, जो आमतौर पर तालिका में दिखाई देता है:।
समाधान को तकनीकी रूप से दो तरह से औपचारिक रूप दिया गया है। आइए पहले, पहले से ही परिचित दृष्टिकोण से शुरू करें: सीढ़ी एक तख़्त से शुरू होती है, और व्युत्पन्न फ़ंक्शन एक बिंदु पर व्युत्पन्न के साथ शुरू होता है।
से संबंधित कुछ (विशिष्ट) बिंदु पर विचार करें परिभाषा का क्षेत्रवह फ़ंक्शन जिसमें कोई व्युत्पन्न है। आइए इस बिंदु पर वेतन वृद्धि निर्धारित करें (बेशक, दायरे के भीतर o/o -ya) और फ़ंक्शन की संगत वृद्धि लिखें:
आइए सीमा की गणना करें:
अनिश्चितता 0:0 को एक मानक तकनीक द्वारा समाप्त किया जाता है, जिसे पहली शताब्दी ईसा पूर्व में माना जाता था। आइए गुणा करें
संयुग्मी अभिव्यक्ति के लिए अंश और हर 
:
ऐसी सीमा को हल करने की तकनीक पर विस्तार से चर्चा की गई है परिचयात्मक पाठ कार्यों की सीमा के बारे में.
चूँकि आप अंतराल के किसी भी बिंदु को चुन सकते हैं
फिर, प्रतिस्थापन करने पर, हमें मिलता है:
आइए एक बार फिर लघुगणक का आनंद लें:
व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
समाधान: आइए एक ही कार्य को बढ़ावा देने के लिए एक अलग दृष्टिकोण पर विचार करें। यह बिल्कुल वैसा ही है, लेकिन डिजाइन के मामले में अधिक तर्कसंगत है। छुटकारा पाने का विचार है
सबस्क्रिप्ट और अक्षर के स्थान पर अक्षर का प्रयोग करें।
से संबंधित एक मनमाना बिंदु पर विचार करें परिभाषा का क्षेत्रफ़ंक्शन (अंतराल), और इसमें वृद्धि निर्धारित करें। लेकिन यहाँ, वैसे, जैसा कि ज्यादातर मामलों में होता है, आप बिना किसी आरक्षण के कर सकते हैं, क्योंकि लघुगणकीय कार्यपरिभाषा के क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर विभेदीकरणीय।
फिर फ़ंक्शन की संगत वृद्धि है:
आइए व्युत्पन्न खोजें:
डिज़ाइन की सादगी उस भ्रम से संतुलित होती है जो हो सकता है
शुरुआती लोगों के बीच होता है (और न केवल)। आख़िरकार, हम इस तथ्य के आदी हैं कि अक्षर "X" सीमा में बदलता है! लेकिन यहां सब कुछ अलग है: - एक प्राचीन मूर्ति, और - एक जीवित आगंतुक, जो संग्रहालय के गलियारे में तेजी से चल रहा है। अर्थात्, "x" "एक स्थिरांक की तरह" है।
मैं चरण दर चरण अनिश्चितता के उन्मूलन पर टिप्पणी करूंगा:
(1)
लघुगणक गुण का उपयोग करना
.
(2) कोष्ठकों में, अंश को हर से विभाजित करें, पद दर पद।
(3) हर में, हम कृत्रिम रूप से "x" से गुणा और भाग करते हैं ताकि
अद्भुत सीमा का लाभ उठाएं 
, के रूप में करते हुए बहुत छोताकार्य करता है.
उत्तर: व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार:
या संक्षेप में:
मैं स्वयं दो और तालिका सूत्र बनाने का प्रस्ताव करता हूं:
परिभाषा के अनुसार व्युत्पन्न खोजें
इस मामले में, संकलित वेतन वृद्धि को तुरंत एक सामान्य हर में कम करना सुविधाजनक है। पाठ के अंत में असाइनमेंट का एक अनुमानित नमूना (पहली विधि)।
परिभाषा के अनुसार व्युत्पन्न खोजें
और यहां हर चीज़ को एक उल्लेखनीय सीमा तक कम किया जाना चाहिए। समाधान को दूसरे तरीके से औपचारिक रूप दिया जाता है।
अन्य कई सारणीबद्ध व्युत्पन्न. पूरी सूचीमें पाए जा सकते हैं स्कूल की पाठ्यपुस्तक, या, उदाहरण के लिए, फिचटेनहोल्ट्ज़ का पहला खंड। मुझे किताबों से विभेदन नियमों के प्रमाणों की नकल करने में कोई खास मतलब नहीं दिखता - वे भी उत्पन्न होते हैं
FORMULA
आइए वास्तव में सामने आए कार्यों पर आगे बढ़ें: उदाहरण 5
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें 
व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हुए
समाधान: पहली डिज़ाइन शैली का उपयोग करें. आइए इससे संबंधित कुछ बिंदु पर विचार करें और उस पर तर्क की वृद्धि निर्धारित करें। फिर फ़ंक्शन की संगत वृद्धि है:
शायद कुछ पाठक अभी तक उस सिद्धांत को पूरी तरह नहीं समझ पाए हैं जिसके द्वारा वेतन वृद्धि की जानी चाहिए। एक बिंदु (संख्या) लें और उसमें फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें: 
, अर्थात्, फ़ंक्शन में
"X" के स्थान पर आपको स्थानापन्न करना चाहिए। अब चलो इसे लेते हैं
संकलित फ़ंक्शन वृद्धि इसे तुरंत सरल बनाना फायदेमंद हो सकता है. किस लिए? समाधान को आगे की सीमा तक सुगम बनाएं और छोटा करें।
हम सूत्रों का उपयोग करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं और जो कुछ भी कम किया जा सकता है उसे कम करते हैं:
टर्की नष्ट हो गया है, भूनने में कोई समस्या नहीं:
अंततः: 
चूँकि हम किसी भी वास्तविक संख्या को मान के रूप में चुन सकते हैं, हम प्रतिस्थापन करते हैं और प्राप्त करते हैं 
.
उत्तर : 
एक-प्राथमिकता.
सत्यापन उद्देश्यों के लिए, आइए नियमों का उपयोग करके व्युत्पन्न खोजें
विभेदन और तालिकाएँ:
पहले से सही उत्तर जानना हमेशा उपयोगी और सुखद होता है, इसलिए समाधान की शुरुआत में ही प्रस्तावित फ़ंक्शन को "त्वरित" तरीके से, या तो मानसिक रूप से या ड्राफ्ट में अलग करना बेहतर होता है।
व्युत्पन्न की परिभाषा द्वारा किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ज्ञात करें
यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। परिणाम स्पष्ट है:
आइए शैली #2 पर वापस जाएँ: उदाहरण 7
आइए तुरंत जानें कि क्या होना चाहिए। द्वारा जटिल कार्यों के विभेदन का नियम:
समाधान: संबंधित एक मनमाना बिंदु पर विचार करें, उस पर तर्क की वृद्धि निर्धारित करें और वृद्धि बनाएं
आइए व्युत्पन्न खोजें:
(1) हम त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करते हैं
(2) ज्या के नीचे हम कोष्ठक खोलते हैं, कोज्या के नीचे हम समान पद प्रस्तुत करते हैं।
(3) ज्या के अंतर्गत हम पदों को रद्द करते हैं, कोज्या के अंतर्गत हम अंश को हर से विभाजित करते हैं।
(4) साइन की विषमता के कारण, हम "माइनस" निकाल देते हैं। कोज्या के अंतर्गत
हम इंगित करते हैं कि शब्द .
(5) हम हर का उपयोग करने के लिए उसमें कृत्रिम गुणन करते हैं पहली अद्भुत सीमा. इस प्रकार, अनिश्चितता समाप्त हो गई है, आइए परिणाम को व्यवस्थित करें।
उत्तर: परिभाषा के अनुसार जैसा कि आप देख सकते हैं, विचाराधीन समस्या की मुख्य कठिनाई इसी पर टिकी हुई है
बहुत सीमा की जटिलता + पैकेजिंग की थोड़ी मौलिकता। व्यवहार में, डिज़ाइन की दोनों विधियाँ होती हैं, इसलिए मैं दोनों दृष्टिकोणों का यथासंभव विस्तार से वर्णन करता हूँ। वे समतुल्य हैं, लेकिन फिर भी, मेरी व्यक्तिपरक धारणा में, डमी के लिए "एक्स-शून्य" के साथ विकल्प 1 पर टिके रहना अधिक उचित है।
परिभाषा का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें
यह आपके लिए स्वयं हल करने का कार्य है। नमूना पिछले उदाहरण की तरह ही डिज़ाइन किया गया है।
आइए समस्या के एक दुर्लभ संस्करण पर नजर डालें:
व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करके किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।
सबसे पहले, अंतिम पंक्ति क्या होनी चाहिए? संख्या आइए मानक तरीके से उत्तर की गणना करें:
समाधान: स्पष्टता के दृष्टिकोण से, यह कार्य बहुत सरल है, क्योंकि सूत्र में इसके बजाय
एक विशिष्ट मान माना जाता है.
आइए बिंदु पर वेतन वृद्धि निर्धारित करें और फ़ंक्शन की संगत वृद्धि लिखें:
आइए एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना करें:
हम एक बहुत ही दुर्लभ स्पर्शरेखा अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं 
और एक बार फिर हम समाधान को पहले वाले तक कम कर देते हैं
उल्लेखनीय सीमा:
उत्तर: एक बिंदु पर व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार।
समस्या को हल करना इतना कठिन नहीं है और “अंदर” सामान्य रूप से देखें“- यह नाखून को बदलने के लिए या बस डिज़ाइन विधि के आधार पर पर्याप्त है। इस मामले में, यह स्पष्ट है कि परिणाम एक संख्या नहीं, बल्कि एक व्युत्पन्न फ़ंक्शन होगा।
उदाहरण 10 परिभाषा का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें 
बिंदु पर
यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।
अंतिम बोनस कार्य मुख्य रूप से गणितीय विश्लेषण का गहन अध्ययन करने वाले छात्रों के लिए है, लेकिन इससे किसी और को कोई नुकसान नहीं होगा:
क्या फ़ंक्शन भिन्न होगा? 
बिंदु पर?
समाधान: यह स्पष्ट है कि टुकड़ों में दिया गया फलन एक बिंदु पर सतत है, लेकिन क्या यह वहां अवकलनीय होगा?
समाधान एल्गोरिथ्म, और न केवल टुकड़े-टुकड़े कार्यों के लिए, इस प्रकार है:
1) किसी दिए गए बिंदु पर बाएँ हाथ का व्युत्पन्न खोजें:।
2) किसी दिए गए बिंदु पर दाएँ हाथ का व्युत्पन्न खोजें:।
3) यदि एकतरफ़ा व्युत्पन्न परिमित और संपाती हैं:
, तो फ़ंक्शन बिंदु पर अवकलनीय है
ज्यामितीय रूप से, यहाँ एक सामान्य स्पर्श रेखा है (पाठ का सैद्धांतिक भाग देखें)। व्युत्पन्न की परिभाषा एवं अर्थ).
यदि दो प्राप्त होते हैं विभिन्न अर्थ: 
(जिनमें से एक अनंत हो सकता है), तो फ़ंक्शन बिंदु पर भिन्न नहीं है।
यदि दोनों एकतरफ़ा व्युत्पन्न अनंत के बराबर हैं
(भले ही उनके पास अलग-अलग संकेत हों), तो फ़ंक्शन नहीं है
बिंदु पर अवकलनीय है, लेकिन ग्राफ़ के लिए एक अनंत व्युत्पन्न और एक सामान्य ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा है (उदाहरण पाठ 5 देखेंसामान्य समीकरण) .
इस पाठ में हम विभेदन के सूत्र और नियम लागू करना सीखेंगे।
उदाहरण। फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न खोजें।
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. नियम लागू करना मैं, सूत्र 4, 2 और 1. हम पाते हैं:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x 6 -2x+5. हम समान सूत्र और सूत्र का उपयोग करके समान रूप से हल करते हैं 3.
y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
नियम लागू करना मैं, सूत्र 3, 5
और 6
और 1.
नियम लागू करना चतुर्थ, सूत्र 5
और 1
.
पांचवे उदाहरण में नियम के अनुसार मैंयोग का व्युत्पन्न, व्युत्पन्नों के योग के बराबर है, और हमने अभी पहले पद का व्युत्पन्न पाया है (उदाहरण 4 ), इसलिए, हम डेरिवेटिव पाएंगे 2और 3निबंधन और प्रथम के लिएसारांश हम तुरंत परिणाम लिख सकते हैं।
आइए अंतर करें 2और 3सूत्र के अनुसार शर्तें 4
. ऐसा करने के लिए, हम हर में तीसरी और चौथी घातों की जड़ों को नकारात्मक घातांक वाली घातों में बदल देते हैं, और फिर, उसके अनुसार 4
सूत्र, हम शक्तियों के व्युत्पन्न पाते हैं।
देखो यह उदाहरणऔर परिणाम प्राप्त हुआ. क्या आपने पैटर्न पकड़ लिया? अच्छा। इसका मतलब है कि हमारे पास एक नया फॉर्मूला है और हम इसे अपनी डेरिवेटिव तालिका में जोड़ सकते हैं।
आइए छठे उदाहरण को हल करें और दूसरा सूत्र निकालें।
आइए नियम का उपयोग करें चतुर्थऔर सूत्र 4
. आइए परिणामी भिन्नों को कम करें।
आइए देखें यह फ़ंक्शनऔर इसका व्युत्पन्न. बेशक, आप पैटर्न को समझते हैं और सूत्र को नाम देने के लिए तैयार हैं:
नए सूत्र सीखना!
उदाहरण।
1. तर्क की वृद्धि और फ़ंक्शन y= की वृद्धि ज्ञात करें एक्स 2, यदि तर्क का प्रारंभिक मान बराबर था 4 , और नया - 4,01 .
समाधान।
नया तर्क मान एक्स=एक्स 0 +Δx. आइए डेटा को प्रतिस्थापित करें: 4.01=4+Δх, इसलिए तर्क में वृद्धि Δх=4.01-4=0.01. किसी फ़ंक्शन की वृद्धि, परिभाषा के अनुसार, फ़ंक्शन के नए और पिछले मानों के बीच अंतर के बराबर है, अर्थात। Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). चूंकि हमारे पास एक फ़ंक्शन है y=x2, वह Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
उत्तर: तर्क वृद्धि Δх=0.01; कार्य वृद्धि Δу=0,0801.
फ़ंक्शन वृद्धि अलग तरीके से पाई जा सकती है: Δय=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.
2. फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण ज्ञात करें y=f(x)बिंदु पर एक्स 0, अगर एफ "(एक्स 0) = 1.
समाधान।
स्पर्शरेखा के बिंदु पर व्युत्पन्न का मान एक्स 0और स्पर्शरेखा कोण की स्पर्शरेखा का मान है (व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ)। हमारे पास है: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°,क्योंकि tg45°=1.
उत्तर: इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के बराबर एक कोण बनाती है 45°.
3. फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र व्युत्पन्न करें y=xn.
भेदभावकिसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजने की क्रिया है।
व्युत्पन्न ढूँढते समय, उन सूत्रों का उपयोग करें जो व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर प्राप्त किए गए थे, उसी तरह जैसे हमने व्युत्पन्न डिग्री के लिए सूत्र निकाला था: (x n)" = nx n-1.
ये सूत्र हैं.
डेरिवेटिव की तालिकामौखिक योगों का उच्चारण करने से याद रखना आसान हो जाएगा:
1. किसी स्थिर राशि का अवकलज शून्य होता है।
2. एक्स प्राइम एक के बराबर है.
3. अचर गुणनखंड को अवकलज के चिह्न से निकाला जा सकता है।
4. किसी डिग्री का व्युत्पन्न समान आधार वाली डिग्री द्वारा इस डिग्री के घातांक के गुणनफल के बराबर होता है, लेकिन घातांक एक कम होता है।
5. एक मूल का व्युत्पन्न दो समान मूलों से विभाजित एक के बराबर होता है।
6. x से विभाजित एक का व्युत्पन्न, x वर्ग से विभाजित शून्य से एक के बराबर होता है।
7. ज्या का व्युत्पन्न कोज्या के बराबर है।
8. कोसाइन का व्युत्पन्न माइनस साइन के बराबर है।
9. स्पर्शरेखा का अवकलज कोज्या के वर्ग से विभाजित एक के बराबर होता है।
10. कोटैंजेंट का व्युत्पन्न ज्या के वर्ग से विभाजित ऋण एक के बराबर है।
हम पढ़ाते हैं विभेदन नियम.
1.
बीजगणितीय योग का व्युत्पन्न पदों के व्युत्पन्नों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है।
2. किसी उत्पाद का व्युत्पन्न पहले कारक के व्युत्पन्न के उत्पाद और दूसरे कारक के उत्पाद और पहले कारक के उत्पाद और दूसरे के व्युत्पन्न के बराबर होता है।
3. "y" का व्युत्पन्न "ve" से विभाजित करने पर एक भिन्न के बराबर होता है जिसमें अंश "y अभाज्य को "ve" से गुणा करने पर "y को ve अभाज्य से गुणा करने पर" घटा होता है, और हर "ve का वर्ग" होता है।
4. विशेष मामलासूत्रों 3.
आइए एक साथ सीखें!
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