वर्तुळाच्या क्रॉस-विभागीय क्षेत्रासाठी सूत्र. वर्तुळ क्षेत्र: सूत्र

सूचना

वर्तुळाच्या ज्ञात क्षेत्रातून त्रिज्या शोधण्यासाठी pi वापरा. हे स्थिरांक वर्तुळाचा व्यास आणि त्याची सीमा (वर्तुळ) लांबी यांच्यातील प्रमाण निर्दिष्ट करते. वर्तुळाचा घेर हे विमानाचे जास्तीत जास्त क्षेत्रफळ आहे जे त्याच्या मदतीने कव्हर करणे शक्य आहे आणि व्यास दोन त्रिज्याएवढा आहे, म्हणून, त्रिज्या असलेले क्षेत्र देखील एका प्रमाणात एकमेकांशी संबंधित असू शकते. Pi च्या संदर्भात व्यक्त करा. हे स्थिरांक (π) वर्तुळाचे क्षेत्रफळ (S) आणि वर्ग त्रिज्या (r) म्हणून परिभाषित केले आहे. यावरून असे घडते की त्रिज्या Pi: r=√(S/π) या संख्येने क्षेत्रफळ विभाजित करण्याच्या भागाचे वर्गमूळ म्हणून व्यक्त केली जाऊ शकते.

बर्याच काळापासून, एरास्टोफेनने अलेक्झांड्रियाच्या लायब्ररीचे नेतृत्व केले, प्राचीन जगातील सर्वात प्रसिद्ध ग्रंथालय. त्याने आपल्या ग्रहाच्या आकाराची गणना केली या व्यतिरिक्त, त्याने अनेक महत्त्वपूर्ण शोध आणि शोध लावले. अविभाज्य संख्या निश्चित करण्यासाठी एक सोपी पद्धत शोधून काढली, ज्याला आता "इरास्टोथेन्स चाळणी" म्हणतात.

त्याने "जगाचा नकाशा" काढला, ज्यामध्ये त्याने प्राचीन ग्रीक लोकांना त्या वेळी ज्ञात असलेले जगाचे सर्व भाग दाखवले. नकाशा त्याच्या काळातील सर्वोत्तम मानला गेला. त्यांनी रेखांश आणि अक्षांश आणि लीप वर्षांचा समावेश असलेले कॅलेंडर विकसित केले. आर्मिलरी स्फेअरचा शोध लावला, एक यांत्रिक यंत्र जे सुरुवातीच्या खगोलशास्त्रज्ञांनी आकाशातील ताऱ्यांच्या स्पष्ट हालचालीचे प्रात्यक्षिक आणि अंदाज लावण्यासाठी वापरले. त्यांनी एक स्टार कॅटलॉग देखील संकलित केला, ज्यामध्ये 675 तारे समाविष्ट होते.

स्रोत:

• सायरेनच्या इराटोस्थेनिस या ग्रीक शास्त्रज्ञाने जगात प्रथमच पृथ्वीची त्रिज्या मोजली.
• इराटोस्थेनिस "पृथ्वीच्या परिघाची गणना"
• इराटोस्थेनिस

- ही एक सपाट आकृती आहे, जी केंद्रापासून समान अंतरावर असलेल्या बिंदूंचा संच आहे. ते सर्व समान अंतरावर आहेत आणि एक वर्तुळ तयार करतात.

वर्तुळाच्या केंद्राला त्याच्या परिघावरील बिंदूंसह जोडणारा रेषाखंड म्हणतात त्रिज्या. प्रत्येक वर्तुळात, सर्व त्रिज्या एकमेकांच्या समान असतात. वर्तुळावरील दोन बिंदूंना जोडणारी आणि मध्यभागी जाणारी रेषा म्हणतात व्यास. वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र गणितीय स्थिरांक वापरून काढले जाते - संख्या π ..

हे मनोरंजक आहे : क्रमांक pi. वर्तुळाच्या परिघाचे त्याच्या व्यासाच्या लांबीचे गुणोत्तर आहे आणि एक स्थिर मूल्य आहे. π = 3.1415926 हे मूल्य 1737 मध्ये एल. यूलरच्या कार्यानंतर वापरले गेले.

स्थिरांक π वापरून वर्तुळाचे क्षेत्रफळ काढता येते. आणि वर्तुळाची त्रिज्या. त्रिज्येच्या दृष्टीने वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र असे दिसते:

त्रिज्या वापरून वर्तुळाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे उदाहरण विचारात घ्या. R = 4 सेमी त्रिज्या असलेले वर्तुळ देऊ. आकृतीचे क्षेत्रफळ काढू.

आमच्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ 50.24 चौरस मीटर इतके असेल. सेमी.

एक सूत्र आहे व्यासाद्वारे वर्तुळाचे क्षेत्रफळ. हे आवश्यक पॅरामीटर्सची गणना करण्यासाठी देखील मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाते. ही सूत्रे शोधण्यासाठी वापरली जाऊ शकतात.

व्यासाद्वारे वर्तुळाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे उदाहरण विचारात घ्या, त्याची त्रिज्या जाणून घ्या. R = 4 सेमी त्रिज्या असलेले वर्तुळ देऊ. प्रथम, व्यास शोधू, जो तुम्हाला माहीत आहे, त्रिज्या दुप्पट आहे.


आता आम्ही वरील सूत्र वापरून वर्तुळाचे क्षेत्रफळ मोजण्याच्या उदाहरणासाठी डेटा वापरतो:

तुम्ही बघू शकता, परिणामी आम्हाला पहिल्या गणनेप्रमाणेच उत्तर मिळते.

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ मोजण्यासाठी मानक सूत्रांचे ज्ञान भविष्यात सहजपणे निर्धारित करण्यात मदत करेल क्षेत्र क्षेत्रआणि गहाळ प्रमाण शोधणे सोपे आहे.

आपल्याला आधीच माहित आहे की वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचे सूत्र स्थिर मूल्य π आणि वर्तुळाच्या त्रिज्येच्या वर्गाच्या गुणाकाराद्वारे मोजले जाते. त्रिज्या वर्तुळाच्या परिघाच्या संदर्भात व्यक्त केली जाऊ शकते आणि परिघाच्या दृष्टीने वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या सूत्रातील अभिव्यक्ती बदलू शकते:
आता आपण वर्तुळाचे क्षेत्रफळ काढण्याच्या सूत्रामध्ये या समानतेची जागा घेतो आणि परिघातून वर्तुळाचे क्षेत्रफळ काढण्याचे सूत्र मिळवतो.

परिघाद्वारे वर्तुळाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे उदाहरण विचारात घ्या. l = 8 सेमी लांबीचे वर्तुळ देऊ. व्युत्पन्न सूत्रातील मूल्य बदलू.

वर्तुळाचे एकूण क्षेत्रफळ ५ चौरस मीटर असेल. सेमी.

चौरसभोवती परिक्रमा केलेले वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

चौरसभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शोधणे खूप सोपे आहे.

यासाठी फक्त चौकोनाची बाजू आणि साध्या सूत्रांचे ज्ञान आवश्यक असेल. चौरसाचा कर्ण परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या कर्णाच्या बरोबरीचा असेल. बाजू a जाणून घेतल्यास, ते पायथागोरियन प्रमेय वापरून शोधले जाऊ शकते: येथून.
आपण कर्ण शोधल्यानंतर, आपण त्रिज्या काढू शकतो: .
आणि मग आम्ही चौरसभोवती परिक्रमा केलेल्या वर्तुळाच्या क्षेत्रासाठी मूलभूत सूत्रामध्ये सर्वकाही बदलतो:

वर्तुळ हे केंद्रापासून समान अंतरावर असलेल्या अनेक बिंदूंचे दृश्यमान संग्रह आहे. त्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, तुम्हाला त्रिज्या, व्यास, π संख्या आणि परिघ काय आहेत हे माहित असणे आवश्यक आहे.

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ मोजण्यात गुंतलेली मात्रा

वर्तुळाच्या मध्यवर्ती बिंदूने आणि वर्तुळाच्या कोणत्याही बिंदूंनी बांधलेल्या अंतराला या भौमितिक आकृतीची त्रिज्या म्हणतात. एका वर्तुळाच्या सर्व त्रिज्येची लांबी सारखीच असते. केंद्रबिंदूमधून जाणार्‍या वर्तुळावरील कोणत्याही 2 बिंदूंमधील रेषाखंडाला व्यास म्हणतात. व्यासाची लांबी 2 ने गुणाकार केलेल्या त्रिज्येच्या लांबीच्या समान आहे.

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी, π या संख्येचे मूल्य वापरले जाते. हे मूल्य वर्तुळाच्या व्यासाच्या लांबीच्या परिघाच्या गुणोत्तराच्या बरोबरीचे आहे आणि त्याचे स्थिर मूल्य आहे. Π = ३.१४१५९२६. L=2πR सूत्र वापरून परिघाची गणना केली जाते.

त्रिज्या वापरून वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शोधा

म्हणून, वर्तुळाचे क्षेत्रफळ π या संख्येच्या गुणाकाराच्या आणि वर्तुळाच्या त्रिज्या 2 रा घाताच्या बरोबरीचे असते. उदाहरण म्‍हणून, वर्तुळाच्या त्रिज्येची लांबी 5 सें.मी.च्या बरोबरीने घेऊ. मग वर्तुळ S चे क्षेत्रफळ 3.14 * 5^2 = 78.5 चौरस मीटर इतके असेल. सेमी.

व्यासाच्या दृष्टीने वर्तुळ क्षेत्र

वर्तुळाचा व्यास जाणून घेऊन वर्तुळाचे क्षेत्रफळ देखील काढता येते. या प्रकरणात, S = (π/4)*d^2, जेथे d हा वर्तुळाचा व्यास आहे. चला तेच उदाहरण घेऊ जेथे त्रिज्या 5 सेमी आहे. तर त्याचा व्यास 5*2=10 सेमी असेल. वर्तुळाचे क्षेत्रफळ S=3.14/4*10^2=78.5 sq.cm आहे. निकाल, जो पहिल्या उदाहरणातील एकूण गणनेच्या बरोबरीचा आहे, दोन्ही प्रकरणांमध्ये गणनेच्या शुद्धतेची पुष्टी करतो.

परिघाच्या दृष्टीने वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

जर वर्तुळाची त्रिज्या परिघाद्वारे दर्शविली असेल, तर सूत्र असे दिसेल: R=(L/2)π. ही अभिव्यक्ती वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या सूत्रामध्ये बदला आणि परिणामी आपल्याला S=(L^2)/4π मिळेल. एका उदाहरणाचा विचार करा ज्यामध्ये परिघ 10 सेमी आहे. तर वर्तुळाचे क्षेत्रफळ S = (10 ^ 2) / 4 * 3.14 = 7.96 चौरस मीटर आहे. सेमी.

अंकित चौकोनाच्या बाजूच्या लांबीच्या दृष्टीने वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

वर्तुळात चौरस कोरलेला असेल तर वर्तुळाच्या व्यासाची लांबी चौरसाच्या कर्णाच्या लांबीएवढी असते. चौकोनाच्या बाजूचा आकार जाणून घेतल्यास, आपण सूत्राद्वारे वर्तुळाचा व्यास सहजपणे शोधू शकता: d^2 \u003d 2a^2. दुसऱ्या शब्दांत, 2 च्या घाताचा व्यास चौरसाच्या बाजूच्या 2 गुणिले 2 च्या घाताच्या बरोबरीचा आहे.

वर्तुळाच्या व्यासाच्या लांबीच्या मूल्याची गणना केल्यावर, आपण त्याची त्रिज्या देखील शोधू शकता आणि नंतर वर्तुळाचे क्षेत्रफळ निर्धारित करण्यासाठी सूत्रांपैकी एक वापरू शकता.

वर्तुळाचे क्षेत्रफळ

सेक्टर म्हणजे 2 त्रिज्या आणि त्‍यांच्‍यामध्‍ये चाप असलेल्या वर्तुळाचा भाग. त्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, आपल्याला सेक्टरचा कोन मोजण्याची आवश्यकता आहे. त्यानंतर, एक अपूर्णांक तयार करणे आवश्यक आहे, ज्याच्या अंशामध्ये सेक्टरच्या कोनाचे मूल्य असेल आणि भाजकात - 360. क्षेत्राच्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, मूल्य अपूर्णांक विभाजित केल्यामुळे प्राप्त झालेले वरील सूत्रांपैकी एक वापरून गणना केलेल्या वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

मंडळांना अधिक काळजीपूर्वक दृष्टीकोन आवश्यक आहे आणि B5 कार्यांमध्ये ते खूपच कमी सामान्य आहेत. त्याच वेळी, सामान्य समाधान योजना बहुभुजांच्या बाबतीत अगदी सोपी आहे (“समन्वय ग्रिडवरील बहुभुज क्षेत्रे” हा धडा पहा).

अशा कार्यांमध्ये फक्त R वर्तुळाची त्रिज्या शोधणे आवश्यक आहे. मग तुम्ही S = πR 2 हे सूत्र वापरून वर्तुळाचे क्षेत्रफळ काढू शकता. या सूत्रावरून हे देखील लक्षात येते की समाधानासाठी R 2 शोधणे पुरेसे आहे.

ही मूल्ये शोधण्यासाठी, वर्तुळावर ग्रिड रेषांच्या छेदनबिंदूवर पडलेला एक बिंदू सूचित करणे पुरेसे आहे. आणि नंतर पायथागोरियन प्रमेय वापरा. त्रिज्या मोजण्याच्या विशिष्ट उदाहरणांचा विचार करा:

एक कार्य. आकृतीमध्ये दर्शविलेल्या तीन वर्तुळांची त्रिज्या शोधा:

चला प्रत्येक वर्तुळात अतिरिक्त बांधकाम करू:

प्रत्येक बाबतीत बिंदू B वर्तुळावर ग्रिड रेषांच्या छेदनबिंदूवर पडण्यासाठी निवडला जातो. 1 आणि 3 वर्तुळातील C बिंदू काटकोन त्रिकोणापर्यंत आकृती पूर्ण करतो. त्रिज्या शोधणे बाकी आहे:

पहिल्या वर्तुळातील ABC त्रिकोणाचा विचार करा. पायथागोरियन प्रमेयानुसार: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

दुसऱ्या वर्तुळासाठी, सर्वकाही स्पष्ट आहे: R = AB = 2.

तिसरी केस पहिल्यासारखीच आहे. पायथागोरियन प्रमेयानुसार ABC त्रिकोणातून: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 1 2 + 2 2 \u003d 5.

आता आपल्याला माहित आहे की वर्तुळाची त्रिज्या (किंवा किमान त्याचा चौरस) कसा शोधायचा. म्हणून, आम्ही क्षेत्र शोधू शकतो. अशी कार्ये आहेत जिथे सेक्टरचे क्षेत्रफळ शोधणे आवश्यक आहे, संपूर्ण वर्तुळ नाही. अशा परिस्थितीत, या क्षेत्राचा कोणता भाग आहे हे शोधणे आणि अशा प्रकारे क्षेत्र शोधणे सोपे आहे.

एक कार्य. छायांकित क्षेत्राचे S क्षेत्र शोधा. तुमच्या उत्तरात S/π दर्शवा.

अर्थात, हे क्षेत्र वर्तुळाच्या एक चतुर्थांश भाग आहे. म्हणून, वर्तुळाचा S = 0.25 S.

वर्तुळाचा S - वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शोधणे बाकी आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही अतिरिक्त बांधकाम करू:

त्रिकोण ABC हा काटकोन त्रिकोण आहे. पायथागोरियन प्रमेयानुसार, आपल्याकडे आहे: R 2 \u003d AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 \u003d 2 2 + 2 2 \u003d 8.

आता आपल्याला वर्तुळाचे क्षेत्रफळ आणि सेक्टर सापडतो: वर्तुळाचा S = πR 2 = 8π; S = 0.25 S वर्तुळ = 2π.

शेवटी, इच्छित मूल्य S /π = 2 च्या बरोबरीचे आहे.

अज्ञात त्रिज्या असलेले सेक्टर क्षेत्र

हे पूर्णपणे नवीन प्रकारचे कार्य आहे, 2010-2011 मध्ये असे काहीही नव्हते. अटीनुसार, आम्हाला एका विशिष्ट क्षेत्राचे वर्तुळ दिले जाते (म्हणजे क्षेत्र, त्रिज्या नव्हे!). मग, या वर्तुळात, एक क्षेत्र वाटप केले जाते, ज्याचे क्षेत्र शोधणे आवश्यक आहे.

चांगली बातमी अशी आहे की या समस्या स्क्वेअरमधील सर्व समस्यांपैकी सर्वात सोप्या आहेत, ज्या गणिताच्या परीक्षेत आहेत. याव्यतिरिक्त, वर्तुळ आणि क्षेत्र नेहमी समन्वय ग्रिडवर ठेवलेले असतात. म्हणून, अशा समस्यांचे निराकरण कसे करावे हे जाणून घेण्यासाठी, फक्त चित्र पहा:

मूळ वर्तुळात वर्तुळाचे क्षेत्रफळ S = 80 असू द्या. नंतर ते प्रत्येकी S = 40 क्षेत्रफळाच्या दोन विभागांमध्ये विभागले जाऊ शकते (चरण 2 पहा). त्याचप्रमाणे, यापैकी प्रत्येक "अर्धा" क्षेत्र पुन्हा अर्ध्यामध्ये विभागले जाऊ शकते - आम्हाला प्रत्येकी S = 20 क्षेत्राचे चार क्षेत्र मिळतात (चरण 3 पहा). शेवटी, आपण यापैकी प्रत्येक सेक्टरला आणखी दोन भागात विभागू शकता - आम्हाला 8 सेक्टर मिळतात - "छोटे तुकडे". या प्रत्येक "खंड" चे क्षेत्रफळ S = 10 असेल.

कृपया लक्षात ठेवा: गणितातील कोणत्याही USE कार्यामध्ये लहान विभाग नाही! अशा प्रकारे, B-3 समस्या सोडवण्यासाठी अल्गोरिदम खालीलप्रमाणे आहे:

1. मूळ वर्तुळ 8 सेक्टरमध्ये कट करा - "तुकडे". त्या प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ संपूर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या 1/8 इतके आहे. उदाहरणार्थ, जर स्थितीनुसार वर्तुळाचे क्षेत्रफळ S = 240 असेल, तर "लम्प्स" चे क्षेत्र S = 240: 8 = 30 असेल;
2. मूळ सेक्टरमध्ये किती "लम्प्स" बसतात ते शोधा, तुम्हाला कोणते क्षेत्र शोधायचे आहे. उदाहरणार्थ, जर आमच्या सेक्टरमध्ये 30 च्या क्षेत्रासह 3 “लम्प” असतील, तर इच्छित सेक्टरचे क्षेत्रफळ S = 3 30 = 90 आहे. हे उत्तर असेल.

इतकंच! समस्या व्यावहारिकपणे तोंडी सोडवली जाते. तुम्हाला अजूनही काही समजत नसेल तर पिझ्झा विकत घ्या आणि त्याचे 8 तुकडे करा. असा प्रत्येक तुकडा समान क्षेत्र असेल - "खंड" जो मोठ्या तुकड्यांमध्ये एकत्र केला जाऊ शकतो.

आणि आता चाचणी परीक्षेतील उदाहरणे पाहू:

एक कार्य. चेकर केलेल्या कागदावर 40 क्षेत्रफळ असलेले वर्तुळ काढले आहे. छायांकित आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधा.

तर, वर्तुळाचे क्षेत्रफळ 40 आहे. त्याला 8 सेक्टरमध्ये विभाजित करा - प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ S = 40: 5 = 8 आहे. आम्हाला मिळते:

अर्थात, छायांकित क्षेत्रामध्ये दोन "लहान" क्षेत्रे असतात. म्हणून, त्याचे क्षेत्रफळ 2 5 = 10 आहे. हे संपूर्ण समाधान आहे!

एक कार्य. चेकर केलेल्या कागदावर ६४ क्षेत्रफळ असलेले वर्तुळ काढले आहे. छायांकित आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधा.

पुन्हा, संपूर्ण वर्तुळ 8 समान क्षेत्रांमध्ये विभाजित करा. अर्थात, त्यापैकी एकाचे क्षेत्रफळ शोधणे आवश्यक आहे. म्हणून, त्याचे क्षेत्रफळ S = 64: 8 = 8 आहे.

एक कार्य. चेकर केलेल्या कागदावर ४८ क्षेत्रफळ असलेले वर्तुळ काढले आहे. छायांकित आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधा.

पुन्हा, वर्तुळाचे 8 समान क्षेत्रांमध्ये विभाजन करा. त्या प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ S = 48: 8 = 6 इतके आहे. तंतोतंत तीन सेक्टर- "लहान" इच्छित सेक्टरमध्ये ठेवले आहेत (आकृती पहा). म्हणून, इच्छित क्षेत्राचे क्षेत्रफळ 3 6 = 18 आहे.