Bagaimana untuk mencari formula perbezaan janjang. Formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik
Apakah intipati formula?
Formula ini membolehkan anda mencari mana-mana DENGAN NOMBORNYA" n" .
Sudah tentu, anda perlu tahu istilah pertama a 1 dan perbezaan perkembangan d, nah, tanpa parameter ini, anda tidak boleh menulis perkembangan tertentu.
Tidak cukup untuk menghafal (atau menipu) formula ini. Ia adalah perlu untuk mengasimilasikan intipatinya dan menggunakan formula dalam pelbagai masalah. Ya, dan jangan lupa pada masa yang tepat, ya ...) Bagaimana tidak lupa- Saya tidak tahu. Dan di sini bagaimana untuk mengingati Jika perlu, saya akan memberi anda petunjuk. Bagi mereka yang menguasai pelajaran hingga akhir.)
Jadi, mari kita berurusan dengan formula ahli ke-n bagi janjang aritmetik.
Apakah formula secara umum - kita bayangkan.) Apakah janjang aritmetik, nombor ahli, perbezaan janjang - dinyatakan dengan jelas dalam pelajaran sebelumnya. Cuba lihat jika anda belum membacanya. Semuanya mudah di sana. Ia kekal untuk memikirkan apa ahli ke-.
Perkembangan secara umum boleh ditulis sebagai satu siri nombor:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1- menandakan sebutan pertama janjang aritmetik, a 3- ahli ketiga a 4- keempat, dan seterusnya. Jika kita berminat dengan penggal kelima, katakan kita sedang bekerjasama a 5, jika seratus dua puluh - daripada a 120.
Bagaimana untuk menentukan secara umum mana-mana ahli janjang aritmetik, s mana-mana nombor? Sangat ringkas! seperti ini:
a n
Itulah yang berlaku ahli ke-n suatu janjang aritmetik. Di bawah huruf n semua nombor ahli disembunyikan sekaligus: 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.
Dan apakah rekod sedemikian memberi kita? Cuba fikir, bukannya nombor, mereka menulis surat ...
Tatatanda ini memberi kita alat yang berkuasa untuk bekerja dengan janjang aritmetik. Menggunakan tatatanda a n, kita boleh cari dengan cepat mana-mana ahli mana-mana janjang aritmetik. Dan banyak tugas untuk diselesaikan dalam perkembangan. Anda akan melihat lebih jauh.
Dalam formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- ahli pertama janjang aritmetik;
n- nombor ahli.
Formula memautkan parameter utama sebarang perkembangan: a n ; a 1; d Dan n. Di sekeliling parameter ini, semua teka-teki berputar dalam perkembangan.
Formula istilah ke-n juga boleh digunakan untuk menulis janjang tertentu. Sebagai contoh, dalam masalah boleh dikatakan bahawa perkembangan diberikan oleh syarat:
a n = 5 + (n-1) 2.
Masalah seperti itu boleh mengelirukan ... Tidak ada siri, tidak ada perbezaan ... Tetapi, membandingkan keadaan dengan formula, mudah untuk mengetahui bahawa dalam perkembangan ini a 1 \u003d 5, dan d \u003d 2.
Dan ia boleh menjadi lebih marah!) Jika kita mengambil keadaan yang sama: a n = 5 + (n-1) 2, ya, buka kurungan dan berikan yang serupa? Kami mendapat formula baharu:
an = 3 + 2n.
ini Hanya bukan umum, tetapi untuk perkembangan tertentu. Di sinilah letak perangkapnya. Sesetengah orang berpendapat bahawa penggal pertama ialah tiga. Walaupun pada hakikatnya ahli pertama adalah lima ... Lebih rendah sedikit kita akan bekerja dengan formula yang diubah suai.
Dalam tugas untuk kemajuan, terdapat satu lagi notasi - a n+1. Ini, anda rasa, sebutan "n tambah pertama" bagi janjang itu. Maksudnya mudah dan tidak berbahaya.) Ini adalah ahli janjang, yang bilangannya lebih besar daripada nombor n demi satu. Sebagai contoh, jika dalam beberapa masalah kita ambil untuk a n penggal kelima, kemudian a n+1 akan menjadi ahli keenam. Dan lain-lain.
Selalunya sebutan a n+1 berlaku dalam formula rekursif. Jangan takut dengan perkataan yang mengerikan ini!) Ini hanyalah satu cara untuk menyatakan istilah janjang aritmetik melalui yang sebelumnya. Katakan kita diberi janjang aritmetik dalam bentuk ini, menggunakan formula berulang:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Keempat - melalui yang ketiga, yang kelima - melalui yang keempat, dan seterusnya. Dan bagaimana untuk mengira dengan segera, katakan penggal kedua puluh, a 20? Tetapi tidak mungkin!) Walaupun penggal ke-19 tidak diketahui, penggal ke-20 tidak boleh dikira. Ini ialah perbezaan asas antara formula rekursif dan formula sebutan ke-n. Rekursif berfungsi hanya melalui sebelumnya sebutan, dan rumus sebutan ke-n - melalui pertama dan membenarkan terus cari mana-mana ahli dengan nombornya. Tidak mengira keseluruhan siri nombor mengikut tertib.
Dalam janjang aritmetik, formula rekursif dengan mudah boleh diubah menjadi formula biasa. Kira sepasang sebutan berturut-turut, hitung bezanya d, cari, jika perlu, istilah pertama a 1, tulis formula dalam bentuk biasa, dan kerjakan dengannya. Dalam GIA, tugas sebegini sering dijumpai.
Penggunaan formula anggota ke-n suatu janjang aritmetik.
Pertama, mari kita lihat aplikasi langsung formula. Pada akhir pelajaran sebelumnya terdapat masalah:
Diberi janjang aritmetik (a n). Cari 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.
Masalah ini boleh diselesaikan tanpa sebarang formula, hanya berdasarkan maksud janjang aritmetik. Tambah, ya tambah ... Satu atau dua jam.)
Dan mengikut formula, penyelesaian akan mengambil masa kurang dari satu minit. Anda boleh masanya.) Kami membuat keputusan.
Syarat menyediakan semua data untuk menggunakan formula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Ia masih perlu dilihat apa n. Tiada masalah! Kita perlu mencari a 121. Di sini kami menulis:
Sila ambil perhatian! Daripada indeks n nombor tertentu muncul: 121. Yang agak logik.) Kami berminat dengan ahli janjang aritmetik nombor seratus dua puluh satu. Ini akan menjadi kami n. Ia adalah maksud ini n= 121 kita akan menggantikan lebih jauh ke dalam formula, dalam kurungan. Gantikan semua nombor dalam formula dan hitung:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
Itu sahaja yang ada. Secepat seseorang dapat mencari ahli yang lima ratus sepuluh, dan seribu tiga, mana-mana. Kami meletakkan sebaliknya n nombor yang dikehendaki dalam indeks huruf " a" dan dalam kurungan, dan kami pertimbangkan.
Biar saya ingatkan anda intipati: formula ini membolehkan anda mencari mana-mana sebutan janjang aritmetik DENGAN NOMBORNYA" n" .
Jom selesaikan masalah dengan lebih bijak. Katakan kita mempunyai masalah berikut:
Cari sebutan pertama janjang aritmetik (a n) jika a 17 =-2; d=-0.5.
Jika anda mempunyai sebarang kesulitan, saya akan mencadangkan langkah pertama. Tuliskan rumus bagi sebutan ke-n suatu janjang aritmetik! Ya Ya. Tulis tangan, betul-betul dalam buku nota anda:
| a n = a 1 + (n-1)d |
Dan sekarang, melihat huruf formula, kami memahami data apa yang kami ada dan apa yang hilang? Tersedia d=-0.5, ada ahli ketujuh belas ... Semuanya? Jika anda fikir itu sahaja, maka anda tidak boleh menyelesaikan masalah, ya ...
Kami juga mempunyai nombor n! Dalam keadaan a 17 =-2 tersembunyi dua pilihan. Ini adalah kedua-dua nilai ahli ketujuh belas (-2) dan nombornya (17). Itu. n=17."Perkara kecil" ini sering tergelincir melewati kepala, dan tanpanya, (tanpa "perkara kecil", bukan kepala!) Masalahnya tidak dapat diselesaikan. Walaupun ... dan tanpa kepala juga.)
Sekarang kita boleh menggantikan data kita secara bodoh ke dalam formula:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
Oh ya, a 17 kami tahu ia -2. Baiklah, mari kita masukkan:
-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)
Itu, pada dasarnya, adalah semua. Ia kekal untuk menyatakan sebutan pertama janjang aritmetik daripada formula, dan mengira. Anda mendapat jawapannya: a 1 = 6.
Teknik sedemikian - menulis formula dan hanya menggantikan data yang diketahui - banyak membantu dalam tugasan mudah. Nah, anda mesti, sudah tentu, dapat menyatakan pembolehubah daripada formula, tetapi apa yang perlu dilakukan!? Tanpa kemahiran ini, matematik tidak boleh dipelajari sama sekali ...
Satu lagi masalah popular:
Cari beza janjang aritmetik (a n) jika a 1 =2; a 15 =12.
Apa yang kita buat? Anda akan terkejut, kami menulis formula!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Pertimbangkan apa yang kita tahu: a 1 =2; a 15 =12; dan (sorotan istimewa!) n=15. Jangan ragu untuk menggantikan dalam formula:
12=2 + (15-1)d
Mari kita buat aritmetik.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Ini adalah jawapan yang betul.
Jadi, tugasan a n , a 1 Dan d memutuskan. Tinggal untuk mengetahui cara mencari nombor:
Nombor 99 ialah ahli janjang aritmetik (a n), di mana a 1 =12; d=3. Cari nombor ahli ini.
Kami menggantikan kuantiti yang diketahui ke dalam formula sebutan ke-n:
a n = 12 + (n-1) 3
Pada pandangan pertama, terdapat dua kuantiti yang tidak diketahui di sini: a n dan n. Tetapi a n ialah beberapa ahli janjang dengan nombor itu n... Dan ahli kemajuan ini kami tahu! Ia 99. Kami tidak tahu nombornya. n, jadi nombor ini juga perlu dicari. Gantikan sebutan janjang 99 ke dalam formula:
99 = 12 + (n-1) 3
Kami menyatakan dari formula n, kami fikir. Kami mendapat jawapannya: n=30.
Dan kini masalah mengenai topik yang sama, tetapi lebih kreatif):
Tentukan sama ada nombor 117 akan menjadi ahli janjang aritmetik (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Mari kita tulis semula formulanya. Apa, tiada parameter? Hm... Kenapa kita perlukan mata?) Adakah kita melihat ahli pertama perkembangan? Kita lihat. Ini ialah -3.6. Anda boleh menulis dengan selamat: a 1 \u003d -3.6. Beza d boleh ditentukan dari siri? Ia mudah jika anda tahu perbezaan janjang aritmetik:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
Ya, kami melakukan perkara yang paling mudah. Ia kekal untuk berurusan dengan nombor yang tidak diketahui n dan nombor yang tidak dapat difahami 117. Dalam masalah sebelum ini, sekurang-kurangnya diketahui bahawa ia adalah istilah janjang yang diberikan. Tetapi di sini kita tidak tahu bahawa ... Bagaimana untuk menjadi!? Nah, bagaimana untuk menjadi, bagaimana untuk menjadi... Hidupkan kebolehan kreatif anda!)
Kami andaikan bahawa 117 adalah, selepas semua, ahli kemajuan kita. Dengan nombor yang tidak dikenali n. Dan, sama seperti dalam masalah sebelum ini, mari kita cuba mencari nombor ini. Itu. kami menulis formula (ya-ya!)) dan menggantikan nombor kami:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
Sekali lagi kami nyatakan dari formulan, kita mengira dan mendapat:
Aduh! Nombor itu ternyata pecahan! Seratus satu setengah. Dan nombor pecahan dalam janjang tidak boleh. Apakah kesimpulan yang kita buat? Ya! Nombor 117 tidak ahli kemajuan kami. Ia berada di antara ahli ke-101 dan ke-102. Jika nombor itu ternyata semula jadi, i.e. integer positif, maka nombor itu akan menjadi ahli janjang dengan nombor yang ditemui. Dan dalam kes kami, jawapan kepada masalah itu ialah: tidak.
Tugas berdasarkan versi sebenar GIA:
Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan:
a n \u003d -4 + 6.8n
Cari sebutan pertama dan sebutan kesepuluh bagi janjang itu.
Di sini perkembangan ditetapkan dengan cara yang luar biasa. Beberapa jenis formula ... Ia berlaku.) Walau bagaimanapun, formula ini (seperti yang saya tulis di atas) - juga formula ahli ke-n suatu janjang aritmetik! Dia juga membenarkan cari mana-mana ahli janjang itu mengikut nombornya.
Kami sedang mencari ahli pertama. Orang yang berfikir. bahawa sebutan pertama tolak empat, adalah tersilap maut!) Kerana formula dalam masalah diubah suai. Sebutan pertama janjang aritmetik di dalamnya tersembunyi. Tiada apa-apa, kami akan mencarinya sekarang.)
Sama seperti dalam tugas-tugas sebelumnya, kami menggantikan n=1 ke dalam formula ini:
a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8
Di sini! Penggal pertama ialah 2.8, bukan -4!
Begitu juga, kami sedang mencari penggal kesepuluh:
a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64
Itu sahaja yang ada.
Dan sekarang, bagi mereka yang telah membaca sehingga baris ini, bonus yang dijanjikan.)
Katakan, dalam situasi pertempuran sukar GIA atau Peperiksaan Negeri Bersepadu, anda telah terlupa formula berguna ahli ke-n bagi janjang aritmetik. Sesuatu terlintas di fikiran, tetapi entah bagaimana tidak pasti ... Sama ada n sana, atau n+1, atau n-1... Macam mana nak jadi!?
Tenang! Formula ini mudah diperolehi. Tidak terlalu ketat, tetapi sudah pasti cukup untuk keyakinan dan keputusan yang tepat!) Untuk kesimpulannya, cukup untuk mengingati makna asas janjang aritmetik dan mempunyai beberapa minit masa. Anda hanya perlu melukis gambar. Untuk kejelasan.
Kami melukis paksi berangka dan menandakan yang pertama di atasnya. kedua, ketiga, dsb. ahli. Dan perhatikan perbezaannya d antara ahli. seperti ini:
Kami melihat gambar dan berfikir: apakah istilah kedua bersamaan? Kedua satu d:
a 2 =a 1 + 1 d
Apakah penggal ketiga? Ketiga penggal bersamaan penggal pertama tambah dua d.
a 3 =a 1 + 2 d
Adakah anda faham? Saya tidak meletakkan beberapa perkataan dalam huruf tebal secara percuma. Okay, satu langkah lagi.)
Apakah penggal keempat? Keempat penggal bersamaan penggal pertama tambah tiga d.
a 4 =a 1 + 3 d
Sudah tiba masanya untuk menyedari bahawa bilangan jurang, i.e. d, sentiasa kurang satu daripada bilangan ahli yang anda cari n. Iaitu, sehingga jumlahnya n, bilangan jurang kehendak n-1. Jadi, formulanya ialah (tiada pilihan!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Secara umumnya, gambar visual sangat membantu dalam menyelesaikan banyak masalah dalam matematik. Jangan abaikan gambar. Tetapi jika sukar untuk melukis gambar, maka ... hanya formula!) Di samping itu, formula istilah ke-n membolehkan anda menyambungkan seluruh senjata matematik yang kuat kepada penyelesaian - persamaan, ketidaksamaan, sistem, dll. Anda tidak boleh meletakkan gambar dalam persamaan...
Tugas untuk keputusan bebas.
Untuk memanaskan badan:
1. Dalam janjang aritmetik (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Cari 3 .
Petunjuk: mengikut gambar, masalah diselesaikan dalam 20 saat ... Mengikut formula, ternyata lebih sukar. Tetapi untuk menguasai formula, ia lebih berguna.) Dalam Bahagian 555, masalah ini diselesaikan dengan kedua-dua gambar dan dengan formula. Rasai kelainannya!)
Dan ini bukan lagi pemanasan.)
2. Dalam janjang aritmetik (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Cari sebuah 3 .
Apa, keengganan untuk melukis gambar?) Masih! Ia lebih baik dalam formula, ya ...
3. Janjang aritmetik diberikan oleh keadaan:a 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5. Cari sebutan seratus dua puluh lima janjang ini.
Dalam tugasan ini, perkembangan diberikan secara berulang. Tetapi mengira sehingga penggal seratus dua puluh lima... Tidak semua orang boleh melakukan pencapaian seperti itu.) Tetapi formula penggal ke-n adalah dalam kuasa semua orang!
4. Diberi janjang aritmetik (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Cari nombor sebutan positif terkecil bagi janjang itu.
5. Mengikut keadaan tugasan 4, cari jumlah ahli negatif terkecil dan negatif terbesar bagi janjang itu.
6. Hasil darab sebutan kelima dan kedua belas bagi janjang aritmetik yang semakin meningkat ialah -2.5, dan hasil tambah sebutan ketiga dan kesebelas ialah sifar. Cari 14 .
Bukan tugas yang paling mudah, ya ...) Di sini kaedah "pada jari" tidak akan berfungsi. Anda perlu menulis formula dan menyelesaikan persamaan.
Jawapan (bercelaru):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Terjadi? Bagus!)
Tidak semuanya berjaya? Ia berlaku. Dengan cara ini, dalam tugas terakhir terdapat satu perkara yang halus. Perhatian semasa membaca masalah akan diperlukan. Dan logik.
Penyelesaian kepada semua masalah ini dibincangkan secara terperinci dalam Bahagian 555. Dan elemen fantasi untuk keempat, dan momen halus untuk keenam, dan pendekatan umum untuk menyelesaikan sebarang masalah untuk formula istilah ke-n - semuanya dicat. saya syorkan.
Jika anda suka laman web ini...
By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)
Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)
anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.
Seseorang menganggap perkataan "kemajuan" dengan berhati-hati, sebagai istilah yang sangat kompleks daripada bahagian matematik yang lebih tinggi. Sementara itu, janjang aritmetik yang paling mudah ialah kerja kaunter teksi (di mana ia masih kekal). Dan untuk memahami intipati (dan dalam matematik tidak ada yang lebih penting daripada "memahami intipati") bagi urutan aritmetik tidaklah begitu sukar, setelah menganalisis beberapa konsep asas.
Urutan nombor matematik
Adalah lazim untuk memanggil urutan berangka satu siri nombor, yang masing-masing mempunyai nombor sendiri.
dan 1 ialah ahli pertama bagi jujukan;
dan 2 ialah ahli kedua bagi jujukan;
dan 7 ialah ahli ketujuh bagi jujukan;
dan n ialah ahli ke-n bagi jujukan;
Walau bagaimanapun, tidak ada set angka dan nombor sewenang-wenangnya yang menarik minat kami. Kami akan menumpukan perhatian kami pada urutan berangka di mana nilai ahli ke-n dikaitkan dengan nombor ordinalnya dengan pergantungan yang boleh dirumuskan secara matematik dengan jelas. Dalam erti kata lain: nilai berangka nombor ke-n ialah beberapa fungsi n.
a - nilai ahli urutan berangka;
n ialah nombor sirinya;
f(n) ialah fungsi di mana ordinal dalam jujukan berangka n ialah hujah.
Definisi
Janjang aritmetik biasanya dipanggil jujukan berangka di mana setiap sebutan berikutnya adalah lebih besar (kurang) daripada yang sebelumnya dengan nombor yang sama. Formula untuk ahli ke-n bagi jujukan aritmetik adalah seperti berikut:
a n - nilai ahli semasa janjang aritmetik;
a n+1 - formula nombor seterusnya;
d - perbezaan (nombor tertentu).
Adalah mudah untuk menentukan bahawa jika perbezaan adalah positif (d>0), maka setiap ahli berikutnya bagi siri yang sedang dipertimbangkan akan lebih besar daripada yang sebelumnya, dan janjang aritmetik sedemikian akan meningkat.
Dalam graf di bawah, adalah mudah untuk melihat mengapa urutan nombor dipanggil "meningkat".
Dalam kes di mana perbezaannya negatif (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Nilai ahli yang ditentukan
Kadangkala adalah perlu untuk menentukan nilai beberapa sebutan arbitrari a n janjang aritmetik. Anda boleh melakukan ini dengan mengira secara berturut-turut nilai semua ahli janjang aritmetik, dari yang pertama hingga yang dikehendaki. Walau bagaimanapun, cara ini tidak selalu boleh diterima jika, sebagai contoh, adalah perlu untuk mencari nilai sebutan lima ribu atau lapan juta. Pengiraan tradisional akan mengambil masa yang lama. Walau bagaimanapun, janjang aritmetik tertentu boleh disiasat menggunakan formula tertentu. Terdapat juga formula untuk sebutan ke-n: nilai mana-mana ahli janjang aritmetik boleh ditentukan sebagai hasil tambah ahli pertama janjang dengan perbezaan janjang itu, didarab dengan nombor anggota yang dikehendaki, tolak satu .
Formula adalah universal untuk meningkatkan dan mengurangkan perkembangan.
Contoh pengiraan nilai ahli yang diberikan
Mari kita selesaikan masalah berikut untuk mencari nilai ahli ke-n suatu janjang aritmetik.
Keadaan: terdapat janjang aritmetik dengan parameter:
Ahli pertama jujukan ialah 3;
Perbezaan dalam siri nombor ialah 1.2.
Tugasan: adalah perlu untuk mencari nilai 214 sebutan
Penyelesaian: untuk menentukan nilai ahli tertentu, kami menggunakan formula:
a(n) = a1 + d(n-1)
Menggantikan data daripada pernyataan masalah ke dalam ungkapan, kami mempunyai:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
Jawapan: Ahli ke-214 jujukan adalah bersamaan dengan 258.6.
Kelebihan kaedah pengiraan ini adalah jelas - keseluruhan penyelesaian mengambil masa tidak lebih daripada 2 baris.
Jumlah bilangan ahli tertentu
Selalunya, dalam siri aritmetik tertentu, ia diperlukan untuk menentukan jumlah nilai beberapa segmennya. Ia juga tidak perlu mengira nilai setiap istilah dan kemudian menjumlahkannya. Kaedah ini boleh digunakan jika bilangan istilah yang jumlahnya mesti dijumpai adalah kecil. Dalam kes lain, lebih mudah untuk menggunakan formula berikut.
Jumlah ahli janjang aritmetik dari 1 hingga n adalah sama dengan hasil tambah ahli pertama dan ke-, didarab dengan nombor ahli n dan dibahagikan dengan dua. Jika dalam formula nilai ahli n-th digantikan dengan ungkapan dari perenggan sebelumnya artikel, kita dapat:
Contoh pengiraan
Sebagai contoh, mari kita selesaikan masalah dengan syarat berikut:
Sebutan pertama bagi jujukan ialah sifar;
Perbezaannya ialah 0.5.
Dalam masalah, ia diperlukan untuk menentukan jumlah terma siri dari 56 hingga 101.
Penyelesaian. Mari kita gunakan formula untuk menentukan jumlah janjang:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Pertama, kami menentukan jumlah nilai 101 ahli perkembangan dengan menggantikan syarat masalah kami yang diberikan ke dalam formula:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Jelas sekali, untuk mengetahui jumlah terma janjang dari ke-56 hingga ke-101, adalah perlu untuk menolak S 55 daripada S 101.
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
Jadi jumlah janjang aritmetik untuk contoh ini ialah:
s 101 - s 55 \u003d 2,525 - 742.5 \u003d 1,782.5
Contoh aplikasi amali janjang aritmetik
Pada penghujung artikel, mari kembali kepada contoh jujukan aritmetik yang diberikan dalam perenggan pertama - pengukur taksi (meter kereta teksi). Mari kita pertimbangkan contoh sedemikian.
Masuk ke teksi (termasuk 3 km) berharga 50 rubel. Setiap kilometer berikutnya dibayar pada kadar 22 rubel / km. Jarak perjalanan 30 km. Kira kos perjalanan.
1. Mari kita buang 3 km pertama, yang harganya termasuk dalam kos pendaratan.
30 - 3 = 27 km.
2. Pengiraan selanjutnya tidak lebih daripada menghuraikan siri nombor aritmetik.
Nombor ahli ialah bilangan kilometer yang dilalui (tolak tiga yang pertama).
Nilai ahli ialah jumlah.
Istilah pertama dalam masalah ini akan sama dengan 1 = 50 rubel.
Perbezaan kemajuan d = 22 p.
bilangan minat kepada kami - nilai ahli (27 + 1) janjang aritmetik - bacaan meter pada penghujung kilometer ke-27 - 27.999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Pengiraan data kalendar untuk tempoh yang panjang sewenang-wenangnya adalah berdasarkan formula yang menerangkan jujukan berangka tertentu. Dalam astronomi, panjang orbit bergantung secara geometri pada jarak jasad angkasa ke luminary. Selain itu, pelbagai siri berangka berjaya digunakan dalam statistik dan cabang matematik gunaan lain.
Satu lagi jenis urutan nombor ialah geometri
Janjang geometri dicirikan oleh kadar perubahan yang besar, berbanding dengan aritmetik. Bukan kebetulan bahawa dalam politik, sosiologi, perubatan, selalunya, untuk menunjukkan kelajuan tinggi penyebaran fenomena tertentu, sebagai contoh, penyakit semasa wabak, mereka mengatakan bahawa proses itu berkembang secara eksponen.
Ahli ke-N siri nombor geometri berbeza daripada yang sebelumnya kerana ia didarab dengan beberapa nombor tetap - penyebutnya, sebagai contoh, ahli pertama ialah 1, penyebutnya ialah 2, masing-masing, kemudian:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - nilai ahli semasa janjang geometri;
b n+1 - formula ahli janjang geometri seterusnya;
q ialah penyebut bagi suatu janjang geometri (nombor tetap).
Jika graf janjang aritmetik ialah garis lurus, maka graf geometri melukis gambar yang sedikit berbeza:
Seperti dalam kes aritmetik, janjang geometri mempunyai formula untuk nilai ahli arbitrari. Mana-mana sebutan ke-n suatu janjang geometri adalah sama dengan hasil darab sebutan pertama dan penyebut janjang kepada kuasa n dikurangkan dengan satu:
Contoh. Kami mempunyai janjang geometri dengan sebutan pertama sama dengan 3 dan penyebut janjang itu sama dengan 1.5. Cari sebutan ke-5 janjang itu
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1.5 4 \u003d 15.1875
Jumlah bilangan ahli tertentu juga dikira menggunakan formula khas. Jumlah n anggota pertama janjang geometri adalah sama dengan perbezaan antara hasil darab anggota ke-n janjang itu dan penyebutnya dan ahli pertama janjang itu, dibahagikan dengan penyebut dikurangkan dengan satu:
Jika b n digantikan menggunakan formula yang dibincangkan di atas, nilai jumlah n ahli pertama siri nombor yang dipertimbangkan akan diambil dalam bentuk:
Contoh. Janjang geometri bermula dengan sebutan pertama bersamaan dengan 1. Penyebutnya ditetapkan sama dengan 3. Mari kita cari hasil tambah bagi lapan sebutan pertama.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
Konsep urutan berangka membayangkan bahawa setiap nombor asli sepadan dengan beberapa nilai sebenar. Siri nombor sedemikian boleh menjadi sewenang-wenang dan mempunyai sifat tertentu - satu perkembangan. Dalam kes kedua, setiap elemen (ahli) seterusnya bagi jujukan boleh dikira menggunakan yang sebelumnya.
Janjang aritmetik ialah jujukan nilai berangka di mana ahli jirannya berbeza antara satu sama lain dengan nombor yang sama (semua elemen siri, bermula dari ke-2, mempunyai sifat yang serupa). Nombor ini - perbezaan antara ahli sebelumnya dan seterusnya - adalah malar dan dipanggil perbezaan janjang.
Perbezaan Kemajuan: Definisi
Pertimbangkan jujukan yang mengandungi nilai j A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j tergolong dalam set nombor asli N. Janjang aritmetik, mengikut takrifnya, ialah jujukan , di mana a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Nilai d ialah perbezaan yang dikehendaki bagi janjang ini.
d = a(j) - a(j-1).
Peruntukkan:
- Perkembangan yang semakin meningkat, dalam hal ini d > 0. Contoh: 4, 8, 12, 16, 20, …
- menurun perkembangan, kemudian d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Perbezaan janjang dan unsur arbitrarinya
Jika 2 ahli janjang sewenang-wenangnya (i-th, k-th) diketahui, maka perbezaan untuk jujukan ini boleh diwujudkan berdasarkan hubungan:
a(i) = a(k) + (i - k)*d, jadi d = (a(i) - a(k))/(i-k).
Perbezaan janjang dan sebutan pertamanya
Ungkapan ini akan membantu menentukan nilai yang tidak diketahui hanya dalam kes di mana bilangan unsur jujukan diketahui.
Perbezaan kemajuan dan jumlahnya
Jumlah janjang ialah jumlah ahlinya. Untuk mengira jumlah nilai unsur j pertamanya, gunakan formula yang sepadan:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, tetapi sejak a(j) = a(1) + d(j – 1), kemudian S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Janjang aritmetik dan geometri
Maklumat teori
Maklumat teori
Janjang aritmetik |
Janjang geometri |
|
Definisi |
Janjang aritmetik a n satu urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan ahli sebelumnya, ditambah dengan nombor yang sama d (d- perbezaan perkembangan) |
janjang geometri b n urutan nombor bukan sifar dipanggil, setiap sebutan yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan sebutan sebelumnya didarab dengan nombor yang sama q (q- penyebut janjang) |
Formula berulang |
Untuk apa-apa semula jadi n |
Untuk apa-apa semula jadi n |
formula penggal ke-n |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0 |
| sifat ciri |  |
|
| Jumlah n sebutan pertama |  |
 |
Contoh tugasan dengan ulasan
Latihan 1
Dalam janjang aritmetik ( a n) a 1 = -6, a 2
Mengikut formula sebutan ke-n:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21h
Mengikut syarat:
a 1= -6, jadi a 22= -6 + 21h.
Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan janjang:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Jawapan: a 22 = -48.
Tugasan 2
Cari sebutan kelima janjang geometri: -3; 6;....
Cara pertama (menggunakan formula jangka-n)
Mengikut formula ahli ke-n bagi janjang geometri:
b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Kerana b 1 = -3,
Cara kedua (menggunakan formula rekursif)
Oleh kerana penyebut janjang itu ialah -2 (q = -2), maka:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Jawapan: b 5 = -48.
Tugasan 3
Dalam janjang aritmetik ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Cari sebutan ketujuh puluh lima janjang ini.
Untuk janjang aritmetik, sifat ciri mempunyai bentuk 
.
Oleh itu:
.
Gantikan data dalam formula:
Jawapan: 95.
Tugasan 4
Dalam janjang aritmetik ( a n ) a n= 3n - 4. Cari hasil tambah tujuh belas sebutan pertama.
Untuk mencari hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik, dua formula digunakan:
.
Manakah antara mereka yang lebih mudah untuk digunakan dalam kes ini?
Mengikut syarat, formula ahli ke-n bagi janjang asal diketahui ( a n) a n= 3n - 4. Boleh didapati dengan segera dan a 1, Dan a 16 tanpa menemui d . Oleh itu, kami menggunakan formula pertama.
Jawapan: 368.
Tugasan 5
Dalam janjang aritmetik a n) a 1 = -6; a 2= -8. Cari sebutan dua puluh dua janjang itu.
Mengikut formula sebutan ke-n:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21h.
Dengan syarat, jika a 1= -6, maka a 22= -6 + 21h. Ia adalah perlu untuk mencari perbezaan janjang:
d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Jawapan: a 22 = -48.
Tugasan 6
Beberapa sebutan berturut-turut bagi janjang geometri direkodkan:
Cari sebutan janjang itu, yang dilambangkan dengan huruf x .
Apabila menyelesaikan, kami menggunakan formula untuk sebutan ke-n b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 untuk janjang geometri. Ahli pertama perkembangan. Untuk mencari penyebut janjang q, anda perlu mengambil mana-mana sebutan janjang ini dan bahagikan dengan yang sebelumnya. Dalam contoh kami, anda boleh mengambil dan membahagi dengan. Kami mendapat q \u003d 3. Daripada n, kami menggantikan 3 dalam formula, kerana perlu mencari sebutan ketiga bagi janjang geometri yang diberikan.
Menggantikan nilai yang ditemui ke dalam formula, kami mendapat:
.
Jawapan : .
Tugasan 7
Daripada janjang aritmetik yang diberikan oleh formula sebutan ke-n, pilih yang mana syaratnya dipenuhi a 27 > 9:
Memandangkan syarat yang dinyatakan mesti dipenuhi untuk sebutan ke-27 janjang, kami menggantikan 27 dan bukannya n dalam setiap empat janjang. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapat:
.
Jawapan: 4.
Tugasan 8
Dalam janjang aritmetik a 1= 3, d = -1.5. Nyatakan nilai terbesar bagi n yang mana ketaksamaan itu dipegang a n > -6.
Ramai yang pernah mendengar tentang janjang aritmetik, tetapi tidak semua orang sedar tentang janjang itu. Dalam artikel ini, kami akan memberikan definisi yang sesuai, dan juga mempertimbangkan persoalan bagaimana untuk mencari perbezaan janjang aritmetik, dan memberikan beberapa contoh.
Definisi matematik
Jadi, jika kita bercakap tentang janjang aritmetik atau algebra (konsep ini mentakrifkan perkara yang sama), maka ini bermakna terdapat beberapa siri nombor yang memenuhi undang-undang berikut: setiap dua nombor bersebelahan dalam siri itu berbeza dengan nilai yang sama. Secara matematik, ini ditulis seperti ini:
Di sini n bermaksud nombor unsur a n dalam jujukan, dan nombor d ialah perbezaan janjang (namanya mengikut formula yang dibentangkan).
Apakah maksud mengetahui perbezaan d? Mengenai jarak antara nombor bersebelahan. Walau bagaimanapun, pengetahuan tentang d adalah syarat yang perlu tetapi tidak mencukupi untuk menentukan (memulihkan) keseluruhan perkembangan. Anda perlu mengetahui satu lagi nombor, yang boleh menjadi sebarang elemen siri yang sedang dipertimbangkan, sebagai contoh, 4, a10, tetapi, sebagai peraturan, nombor pertama digunakan, iaitu, 1.
Formula untuk menentukan unsur-unsur janjang
Secara umum, maklumat di atas sudah cukup untuk meneruskan untuk menyelesaikan masalah tertentu. Namun begitu, sebelum janjang aritmetik diberikan, dan perlu mencari perbezaannya, kami membentangkan beberapa formula yang berguna, dengan itu memudahkan proses penyelesaian masalah yang seterusnya.
Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa mana-mana unsur jujukan dengan nombor n boleh didapati seperti berikut:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d
Sesungguhnya, semua orang boleh menyemak formula ini dengan penghitungan mudah: jika anda menggantikan n = 1, maka anda mendapat elemen pertama, jika anda menggantikan n = 2, maka ungkapan memberikan jumlah nombor pertama dan perbezaan, dan seterusnya. .
Keadaan banyak masalah disusun sedemikian rupa sehingga untuk pasangan nombor yang diketahui, nombor yang juga diberikan dalam urutan, adalah perlu untuk memulihkan keseluruhan siri nombor (cari perbezaan dan elemen pertama). Sekarang kita akan menyelesaikan masalah ini secara umum.
Jadi, katakan kita diberi dua elemen dengan nombor n dan m. Menggunakan formula yang diperolehi di atas, kita boleh menyusun sistem dua persamaan:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
Untuk mencari kuantiti yang tidak diketahui, kami menggunakan kaedah mudah yang terkenal untuk menyelesaikan sistem sedemikian: kami menolak bahagian kiri dan kanan secara berpasangan, sementara kesamaan kekal sah. Kami ada:
a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
Oleh itu, kami telah menghapuskan satu yang tidak diketahui (a 1). Sekarang kita boleh menulis ungkapan akhir untuk menentukan d:
d = (a n - a m) / (n - m), di mana n > m
Kami telah memperoleh formula yang sangat mudah: untuk mengira perbezaan d mengikut keadaan masalah, hanya perlu mengambil nisbah perbezaan antara unsur-unsur itu sendiri dan nombor sirinya. Perhatian harus diberikan kepada satu perkara penting: perbezaan diambil antara ahli "senior" dan "junior", iaitu, n> m ("senior" - bermakna berdiri lebih jauh dari permulaan urutan, nilai mutlaknya boleh sama ada lebih kurang unsur "muda").
Ungkapan untuk perbezaan d janjang hendaklah digantikan ke dalam mana-mana persamaan pada permulaan penyelesaian masalah untuk mendapatkan nilai sebutan pertama.
Pada zaman perkembangan teknologi komputer kita, ramai pelajar sekolah cuba mencari penyelesaian untuk tugas mereka di Internet, jadi soalan jenis ini sering timbul: cari perbezaan janjang aritmetik dalam talian. Atas permintaan sedemikian, enjin carian akan memaparkan beberapa halaman web, dengan pergi ke mana, anda perlu memasukkan data yang diketahui daripada keadaan (ia boleh sama ada dua ahli perkembangan atau jumlah sebahagian daripada mereka) dan serta-merta mendapat jawapan. Namun begitu, pendekatan menyelesaikan masalah tersebut adalah tidak produktif dari segi perkembangan pelajar dan memahami intipati tugasan yang diberikan kepadanya.
Penyelesaian tanpa menggunakan formula
Mari kita selesaikan masalah pertama, sementara kita tidak akan menggunakan mana-mana formula di atas. Biarkan unsur-unsur siri itu diberi: a6 = 3, a9 = 18. Cari beza janjang aritmetik itu.
Elemen yang diketahui adalah berdekatan antara satu sama lain dalam satu baris. Berapa kali beza d perlu ditambah kepada yang terkecil untuk mendapatkan yang terbesar? Tiga kali (kali pertama menambah d, kita mendapat elemen ke-7, kali kedua - kelapan, akhirnya, kali ketiga - kesembilan). Apakah nombor yang mesti ditambah kepada tiga tiga kali untuk mendapatkan 18? Ini adalah nombor lima. sungguh:
Oleh itu, perbezaan yang tidak diketahui ialah d = 5.
Sudah tentu, penyelesaian boleh dilakukan menggunakan formula yang sesuai, tetapi ini tidak dilakukan dengan sengaja. Penjelasan terperinci tentang penyelesaian masalah harus menjadi contoh yang jelas dan jelas tentang janjang aritmetik.
Tugas yang serupa dengan yang sebelumnya
Sekarang mari kita selesaikan masalah yang sama, tetapi tukar data input. Jadi, anda harus mencari jika a3 = 2, a9 = 19.
Sudah tentu, anda boleh menggunakan lagi kaedah penyelesaian "di dahi". Tetapi kerana unsur-unsur siri diberikan, yang agak jauh, kaedah sedemikian menjadi tidak begitu mudah. Tetapi menggunakan formula yang terhasil akan dengan cepat membawa kita kepada jawapan:
d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83
Di sini kita telah membulatkan nombor akhir. Berapa banyak pembundaran ini membawa kepada ralat boleh dinilai dengan menyemak keputusan:
a 9 \u003d a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98
Keputusan ini berbeza hanya 0.1% daripada nilai yang diberikan dalam keadaan. Oleh itu, pembundaran kepada perseratus yang digunakan boleh dianggap sebagai pilihan yang baik.
Tugas untuk menggunakan formula untuk ahli
Mari kita pertimbangkan contoh klasik masalah menentukan d yang tidak diketahui: cari beza janjang aritmetik jika a1 = 12, a5 = 40.
Apabila dua nombor jujukan algebra yang tidak diketahui diberikan, dan salah satu daripadanya ialah unsur a 1 , maka anda tidak perlu berfikir panjang, tetapi anda harus segera menggunakan formula untuk ahli a n. Dalam kes ini kita mempunyai:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
Kami mendapat nombor yang tepat semasa membahagikan, jadi tidak ada gunanya menyemak ketepatan hasil yang dikira, seperti yang dilakukan dalam perenggan sebelumnya.
Mari kita selesaikan satu lagi masalah yang serupa: kita harus mencari perbezaan janjang aritmetik jika a1 = 16, a8 = 37.
Kami menggunakan pendekatan yang serupa dengan yang sebelumnya dan dapatkan:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
Apa lagi yang perlu anda ketahui tentang janjang aritmetik
Sebagai tambahan kepada masalah mencari perbezaan yang tidak diketahui atau elemen individu, selalunya perlu untuk menyelesaikan masalah jumlah sebutan pertama bagi suatu jujukan. Pertimbangan masalah ini adalah di luar skop topik artikel, namun, untuk kesempurnaan maklumat, kami membentangkan formula umum untuk jumlah n nombor siri:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
