Kikokotoo cha mtandaoni. Kutatua kukosekana kwa usawa: mstari, quadratic na sehemu
Ukosefu wa usawa wa quadratic. Mwongozo wa Kina (2019)
Ili kujua jinsi ya kutatua hesabu za quadratic, tunahitaji kuelewa ni nini kazi ya quadratic na ina mali gani.
Labda umejiuliza kwa nini kazi ya quadratic inahitajika kabisa? Je, grafu yake (parabola) inatumika wapi? Ndio, lazima uangalie pande zote, na utaona kuwa kila siku ndani Maisha ya kila siku unakutana naye. Umeona jinsi mpira wa kutupwa unavyoruka katika elimu ya mwili? "Kando ya arc"? Jibu sahihi zaidi litakuwa "parabola"! Na jeti huenda kwenye chemchemi kwa njia gani? Ndiyo, pia katika parabola! Je, risasi au ganda huruka vipi? Hiyo ni kweli, pia katika parabola! Hivyo, kujua mali ya kazi ya quadratic, itawezekana kutatua matatizo mengi ya vitendo. Kwa mfano, mpira unapaswa kurushwa kwa pembe gani ili kuhakikisha umbali mkubwa zaidi? Au, projectile itaishia wapi ikiwa utaizindua kwa pembe fulani? na kadhalika.
Utendaji wa Quadratic
Kwa hiyo, hebu tufikirie.
Kwa mfano,. Je, ni sawa na nini hapa, na? Naam, bila shaka!
Nini ikiwa, i.e. chini ya sifuri? Naam, bila shaka, tuna "huzuni," ambayo ina maana kwamba matawi yataelekezwa chini! Hebu tuangalie grafu.
Kielelezo hiki kinaonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa. Kwa kuwa, i.e. chini ya sifuri, matawi ya parabola yanaelekezwa chini. Kwa kuongeza, labda tayari umeona kwamba matawi ya parabola hii yanaingiliana na mhimili, ambayo ina maana kwamba equation ina mizizi 2, na kazi inachukua maadili mazuri na hasi!
Hapo awali, tulipotoa ufafanuzi wa kazi ya quadratic, ilisemwa hivyo na ni nambari kadhaa. Je, wanaweza kuwa sawa na sifuri? Naam, bila shaka wanaweza! Nitafungua tena siri kubwa zaidi(ambayo sio siri kabisa, lakini ni muhimu kutaja): hakuna vikwazo vinavyowekwa kwa nambari hizi (na) kabisa!
Naam, hebu tuone nini kinatokea kwa grafu ikiwa na ni sawa na sifuri.
Kama unavyoona, grafu za kazi (na) zinazozingatiwa zimebadilika ili wima zao sasa ziko kwenye hatua na kuratibu, ambayo ni, kwenye makutano ya shoka na, hii haina athari kwa mwelekeo wa matawi. . Kwa hivyo, tunaweza kuhitimisha kuwa wanajibika kwa "harakati" ya grafu ya parabola kando ya mfumo wa kuratibu.
Grafu ya chaguo za kukokotoa hugusa mhimili kwa uhakika. Hii ina maana kwamba equation ina mizizi moja. Kwa hivyo, chaguo za kukokotoa huchukua thamani kubwa kuliko au sawa na sifuri.
Tunafuata mantiki sawa na grafu ya chaguo la kukokotoa. Inagusa mhimili wa x kwa uhakika. Hii ina maana kwamba equation ina mizizi moja. Kwa hivyo, kazi inachukua maadili chini ya au sawa na sifuri, yaani.
Kwa hivyo, ili kuamua ishara ya usemi, jambo la kwanza unahitaji kufanya ni kupata mizizi ya equation. Hii itatufaa sana.
Ukosefu wa usawa wa quadratic
Wakati wa kusuluhisha kukosekana kwa usawa kama huo, tutahitaji uwezo wa kuamua mahali ambapo utendaji wa quadratic ni mkubwa, mdogo, au sawa na sifuri. Hiyo ni:
- ikiwa tuna usawa wa fomu, basi kwa kweli kazi inakuja kwa kuamua muda wa nambari maadili ambayo parabola iko juu ya mhimili.
- ikiwa tunayo usawa wa fomu, basi kwa kweli kazi inakuja chini ya kuamua muda wa nambari za maadili ya x ambayo parabola iko chini ya mhimili.
Ikiwa kukosekana kwa usawa sio kali, basi mizizi (kuratibu za makutano ya parabola na mhimili) hujumuishwa katika muda unaohitajika wa nambari;
Hii yote ni rasmi kabisa, lakini usikate tamaa au kuwa na hofu! Sasa hebu tuangalie mifano, na kila kitu kitaanguka mahali.
Wakati wa kutatua usawa wa quadratic, tutazingatia algorithm iliyotolewa, na mafanikio yasiyoepukika yanatungojea!
| Algorithm | Mfano: |
| 1) Wacha tuandike usawa unaolingana mlinganyo wa quadratic(badilisha tu ishara ya ukosefu wa usawa kwa ishara sawa "="). | |
| 2) Wacha tupate mizizi ya equation hii. | |
| 3) Weka alama kwenye mizizi kwenye mhimili na uonyeshe kimkakati mwelekeo wa matawi ya parabola ("juu" au "chini") |  |
| 4) Wacha tuweke ishara kwenye mhimili unaolingana na ishara ya kazi ya quadratic: ambapo parabola iko juu ya mhimili, tunaweka "", na wapi chini - "". |  |
| 5) Andika muda unaolingana na “ ” au “ ”, kulingana na ishara ya ukosefu wa usawa. Ikiwa kutofautiana sio kali, mizizi imejumuishwa katika muda, ikiwa ni kali, sio. |
Nimeelewa? Kisha endelea na ubandike!
Mfano:
Naam, ilifanya kazi? Ikiwa una shida yoyote, tafuta suluhisho.
Suluhisho:
Hebu tuandike vipindi vinavyolingana na ishara "", kwa kuwa ishara ya usawa ni "". Kukosekana kwa usawa sio kali, kwa hivyo mizizi imejumuishwa katika vipindi:
Wacha tuandike equation ya quadratic inayolingana:
Wacha tupate mizizi ya equation hii ya quadratic:
Wacha tuweke alama kwenye mizizi iliyopatikana kwenye mhimili na kupanga ishara:
Hebu tuandike vipindi vinavyolingana na ishara "", kwa kuwa ishara ya usawa ni "". Kukosekana kwa usawa ni kali, kwa hivyo mizizi haijajumuishwa katika vipindi:
Wacha tuandike equation ya quadratic inayolingana:
Wacha tupate mizizi ya equation hii ya quadratic:
equation hii ina mzizi mmoja
Wacha tuweke alama kwenye mizizi iliyopatikana kwenye mhimili na kupanga ishara:
Hebu tuandike vipindi vinavyolingana na ishara "", kwa kuwa ishara ya usawa ni "". Kwa yoyote, chaguo za kukokotoa huchukua maadili yasiyo hasi. Kwa kuwa usawa sio mkali, jibu litakuwa.
Wacha tuandike equation ya quadratic inayolingana:
Wacha tupate mizizi ya equation hii ya quadratic:
Wacha tuchore kimkakati grafu ya parabola na kupanga ishara:
Hebu tuandike vipindi vinavyolingana na ishara "", kwa kuwa ishara ya usawa ni "". Kwa yoyote, kazi inachukua maadili chanya, kwa hivyo, suluhisho la ukosefu wa usawa litakuwa muda:
KUTOKUWA NA USAWA WA MWANJA. KIWANGO CHA WASTANI
Utendaji wa Quadratic.
Kabla ya kuzungumza juu ya mada "kukosekana kwa usawa wa quadratic," hebu tukumbuke kazi ya quadratic ni nini na grafu yake ni nini.
| Kazi ya quadratic ni kazi ya fomu, |
Kwa maneno mengine, hii polynomial ya shahada ya pili.
Grafu ya kazi ya quadratic ni parabola (kumbuka hiyo ni nini?). Matawi yake yanaelekezwa juu ikiwa "a) kazi inachukua tu maadili chanya kwa wote, na kwa pili () - hasi tu:
Katika kesi wakati equation () ina mzizi mmoja (kwa mfano, ikiwa ubaguzi ni sifuri), hii inamaanisha kuwa grafu inagusa mhimili:
Kisha, sawa na kesi ya awali, kwa ".
Kwa hivyo, hivi majuzi tulijifunza jinsi ya kuamua ni wapi kazi ya quadratic ni kubwa kuliko sifuri na iko chini:
Ikiwa usawa wa quadratic sio kali, basi mizizi imejumuishwa katika muda wa nambari, ikiwa ni kali, sio.
Ikiwa kuna mzizi mmoja tu, ni sawa, ishara sawa itakuwa kila mahali. Ikiwa hakuna mizizi, kila kitu kinategemea tu mgawo: ikiwa "25((x)^(2))-30x+9
Majibu:
2) 25((x)^(2))-30x+9>
Hakuna mizizi, kwa hivyo usemi mzima upande wa kushoto huchukua ishara ya mgawo hapo awali: Utendaji wa Quadratic ni kazi ya umbo:, Grafu ya kazi ya quadratic ni parabola. Matawi yake yanaelekezwa juu ikiwa, na chini ikiwa: Aina za usawa wa quadratic: Ukosefu wote wa usawa wa quadratic umepunguzwa kwa aina nne zifuatazo: Algorithm ya suluhisho: Ufafanuzi wa usawa wa quadratic Kumbuka 1 Kukosekana kwa usawa kunaitwa quadratic kwa sababu kutofautisha ni mraba. Ukosefu wa usawa wa quadratic pia huitwa ukosefu wa usawa wa shahada ya pili. Mfano 1 Mfano. $7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – kukosekana kwa usawa mara nne. Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mfano, sio vipengele vyote vya ukosefu wa usawa wa fomu $ax^2+bx+c > 0$ vipo. Kwa mfano, katika ukosefu wa usawa $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ hakuna neno lisilolipishwa (neno $с$), na katika ukosefu wa usawa $11z^2+8 \le 0$ hakuna neno lenye mgawo $b$. Ukosefu huo wa usawa pia ni quadratic, lakini pia huitwa kutokamilika kwa usawa wa quadratic. Hii inamaanisha tu kwamba viambajengo $b$ au $c$ ni sawa na sifuri. Wakati wa kutatua usawa wa quadratic, njia zifuatazo za msingi hutumiwa: Kumbuka 2 Mbinu ya mchoro ya kutatua kutofautiana kwa quadratic $ax^2+bx+c > 0$ (au kwa ishara ya $ Vipindi hivi ni kutatua usawa wa quadratic. Kumbuka 3 Mbinu ya muda ya kutatua kutofautiana kwa quadratic ya fomu $ax^2+bx+c > 0$ (ishara ya ukosefu wa usawa inaweza pia kuwa $ Suluhisho kwa usawa wa quadratic na ishara $""$ - vipindi vyema, na ishara $"≤"$ na $"≥"$ - vipindi hasi na vyema (kwa mtiririko huo), ikiwa ni pamoja na pointi zinazofanana na zero za trinomial. Njia ya kutatua usawa wa quadratic kwa kutenga mraba wa binomial ni kupita kwa usawa sawa wa fomu $(x-n)^2 > m$ (au kwa ishara $ Kumbuka 4 Mara nyingi, wakati wa kutatua kukosekana kwa usawa, zinahitaji kupunguzwa kwa usawa wa quadratic wa fomu $ax^2+bx+c > 0$ (ishara ya ukosefu wa usawa inaweza pia kuwa $ kukosekana kwa usawa ambayo inapungua kwa quadratic. Kumbuka 5 Njia rahisi zaidi ya kupunguza usawa kwa zile za quadratic ni kupanga upya masharti katika usawa wa asili au kuhamisha, kwa mfano, kutoka upande wa kulia kwenda kushoto. Kwa mfano, tunapohamisha sheria na masharti yote ya ukosefu wa usawa $7x > 6-3x^2$ kutoka upande wa kulia hadi kushoto, tunapata usawa wa quadratic wa fomu $3x^2+7x-6 > 0$. Ikiwa tutapanga upya masharti kwenye upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa $1.5y-2+5.3x^2 \ge 0$ katika mpangilio wa kushuka wa kiwango cha kutofautiana $y$, basi hii itasababisha usawa sawa wa quadratic wa fomu. $5.3x^2+1.5y-2 \ge 0$. Wakati wa kutatua usawa wa busara, mara nyingi hupunguzwa kwa usawa wa quadratic. Katika kesi hiyo, ni muhimu kuhamisha maneno yote kwa upande wa kushoto na kubadilisha usemi unaosababisha kwa fomu ya trinomial ya quadratic. Mfano 2 Mfano. Punguza ukosefu wa usawa $7 \cdot (x+0.5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ hadi quadratic. Suluhisho. Wacha tuhamishe masharti yote kwa upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa: $7 \cdoti (x+0.5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$. Kwa kutumia fomula zilizofupishwa za kuzidisha na kufungua mabano, tunarahisisha usemi ulio upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa: $7x^2+3.5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$; $x^2-21.5x-19 > 0$. Jibu: $x^2-21.5x-19 > 0$. Njia ya vipindi inachukuliwa kwa usahihi kuwa njia ya ulimwengu wote ya kutatua usawa. Ni rahisi zaidi kutumia kwa kutatua usawa wa quadratic katika kigezo kimoja. Katika nyenzo hii tutazingatia vipengele vyote vya kutumia njia ya muda ili kutatua usawa wa quadratic. Ili kuwezesha uigaji wa nyenzo, tutazingatia idadi kubwa ya mifano ya viwango tofauti vya ugumu. Yandex.RTB R-A-339285-1 Wacha tuchunguze algorithm ya kutumia njia ya muda katika toleo lililobadilishwa, ambalo linafaa kwa kutatua usawa wa quadratic. Ni toleo hili la mbinu ya muda ambayo wanafunzi huletwa kwayo katika masomo ya aljebra. Wacha tusifanye kazi kuwa ngumu. Wacha tuendelee kwenye algorithm yenyewe. Tuna utatu wa quadratic a · x 2 + b · x + c kutoka upande wa kushoto wa usawa wa quadratic. Tunapata zero za trinomial hii. Katika mfumo wa kuratibu tunaonyesha mstari wa kuratibu. Tunaweka alama ya mizizi juu yake. Kwa urahisi, tunaweza kutambulisha njia tofauti za kubainisha pointi kwa tofauti kali na zisizo kali. Wacha tukubaliane kwamba tutatumia alama "tupu" kuashiria kuratibu wakati wa kusuluhisha usawa mkali, na alama za kawaida kuashiria zisizo kali. Kwa kuashiria pointi, tunapata vipindi kadhaa kwenye mhimili wa kuratibu. Ikiwa katika hatua ya kwanza tulipata zero, basi tunaamua ishara za maadili ya trinomial kwa kila moja ya vipindi vinavyotokana. Ikiwa hatutapokea sifuri, basi tunafanya kitendo hiki kwa mstari mzima wa nambari. Tunaweka alama kwa alama "+" au "-". Zaidi ya hayo, tutaanzisha kivuli katika hali ambapo tunatatua kutofautiana kwa ishara > au ≥ na< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ». Kwa kuzingatia ishara za maadili ya trinomial na kutumia kivuli kwenye sehemu, tunapata picha ya kijiometri ya seti fulani ya nambari, ambayo kwa kweli ni suluhisho la usawa. Tunachotakiwa kufanya ni kuandika jibu. Hebu tuketi kwa undani zaidi juu ya hatua ya tatu ya algorithm, ambayo inahusisha kuamua ishara ya pengo. Kuna njia kadhaa za kufafanua ishara. Wacha tuziangalie kwa mpangilio, tukianza na sahihi zaidi, ingawa sio haraka sana. Njia hii inajumuisha kuhesabu maadili ya trinomial katika pointi kadhaa katika vipindi vinavyotokana. Mfano 1 Kwa mfano, hebu tuchukue trinomial x 2 + 4 · x − 5 . Mizizi ya trinomial hii 1 na - 5 hugawanya mhimili wa kuratibu katika vipindi vitatu (- ∞, - 5), (- 5, 1) na (1, + ∞). Wacha tuanze na kipindi (1, + ∞). Ili kurahisisha kazi yetu, wacha tuchukue x = 2. Tunapata 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7. 7 ni nambari chanya. Hii inamaanisha kuwa maadili ya trinomial hii ya quadratic kwenye muda (1, + ∞) ni chanya na inaweza kuonyeshwa kwa ishara "+". Kuamua ishara ya muda (- 5, 1) tunachukua x = 0. Tuna 0 2 + 4 · 0 − 5 = - 5 . Weka alama "-" juu ya muda. Kwa muda (- ∞, - 5) tunachukua x = - 6, tunapata (- 6) 2 + 4 · (- 6) - 5 = 7. Tunaweka alama ya muda huu kwa ishara "+". Unaweza kutambua ishara kwa kasi zaidi kwa kuzingatia mambo yafuatayo. Kwa ubaguzi mzuri, trinomial ya mraba yenye mizizi miwili inatoa ubadilishaji wa ishara za maadili yake kwa vipindi ambavyo mstari wa nambari umegawanywa na mizizi ya trinomial hii. Hii ina maana kwamba hatuhitaji kufafanua ishara kwa kila vipindi. Inatosha kufanya mahesabu kwa moja na kuweka chini ishara kwa wengine, kwa kuzingatia kanuni ya kubadilisha. Ikiwa inataka, unaweza kufanya bila mahesabu kabisa kwa kufanya hitimisho kuhusu ishara kulingana na thamani ya mgawo wa kuongoza. Ikiwa a > 0, basi tunapata mlolongo wa ishara +, −, +, na ikiwa a< 0 – то − , + , − . Kwa trinomials za quadratic na mzizi mmoja, wakati kibaguzi ni sifuri, tunapata vipindi viwili kwenye mhimili wa kuratibu na ishara sawa. Hii ina maana kwamba tunaamua ishara kwa moja ya vipindi na kuweka sawa kwa pili. Hapa pia tunatumia njia ya kuamua ishara kulingana na thamani ya mgawo a: ikiwa > 0, basi itakuwa +, +, na ikiwa a.< 0 , то − , − . Ikiwa trinomial ya mraba haina mizizi, basi ishara za maadili yake kwa mstari mzima wa kuratibu zinapatana na ishara ya mgawo wa kuongoza na ishara ya neno la bure c. Kwa mfano, tukichukua quadratic trinomial - 4 x 2 - 7, haina mizizi (kibaguzi chake ni hasi). Mgawo wa x 2 ni hasi - 4, na kukataza - 7 pia ni hasi. Hii inamaanisha kuwa kwa muda (- ∞, + ∞) maadili yake ni hasi. Wacha tuangalie mifano ya kutatua usawa wa quadratic kwa kutumia algorithm iliyojadiliwa hapo juu. Mfano 2 Tatua ukosefu wa usawa 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0. Suluhisho
Tunatumia njia ya muda ili kutatua ukosefu wa usawa. Ili kufanya hivyo, hebu tupate mizizi ya trinomial ya mraba 8 x 2 - 4 x - 1 . Kwa sababu ya ukweli kwamba mgawo wa x ni sawa, itakuwa rahisi zaidi kwetu kuhesabu sio kibaguzi, lakini sehemu ya nne ya kibaguzi: D " = (- 2) 2 - 8 · (- 1) = 12 . Mbaguzi ni mkubwa kuliko sifuri. Hii inatuwezesha kupata mizizi miwili ya trinomial ya mraba: x 1 = 2 - 12 9, x 1 = 1 - 3 4 na x 2 = 2 + 12 8, x 2 = 1 + 3 4 . Wacha tuweke alama kwenye nambari ya nambari. Kwa kuwa equation sio kali, tunatumia alama za kawaida kwenye grafu. Sasa, kwa kutumia njia ya muda, tunaamua ishara za vipindi vitatu vinavyotokana. Mgawo wa x 2 ni sawa na 8, yaani, chanya, kwa hiyo, mlolongo wa ishara utakuwa +, -, +. Kwa kuwa tunasuluhisha usawa na ishara ≥, tunachora kivuli juu ya vipindi na ishara zaidi: Hebu tuandike seti ya nambari kwa uchanganuzi kutoka kwa picha ya mchoro inayosababisha. Tunaweza kufanya hivyo kwa njia mbili: Jibu:(- ∞; 1 - 3 4] ∪ [1 + 3 4, + ∞) au x ≤ 1 - 3 4, x ≥ 1 + 3 4. Mfano 3 Tatua usawa wa quadratic - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов. Suluhisho
Kwanza, wacha tupate mizizi ya trinomial ya quadratic kutoka upande wa kushoto wa ukosefu wa usawa: D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7 Huu ni ukosefu wa usawa, kwa hivyo tunatumia sehemu "tupu" kwenye grafu. Pamoja na kuratibu 7. Sasa tunahitaji kuamua ishara kwenye vipindi vinavyotokana (- ∞, 7) na (7, + ∞). Kwa kuwa kibaguzi cha utatu wa quadratic ni sifuri na mgawo unaoongoza ni hasi, tunaweka chini ishara − , - : Kwa kuwa tunatatua ukosefu wa usawa na ishara< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус: Katika kesi hii, ufumbuzi ni vipindi vyote viwili (- ∞ , 7) , (7 , + ∞) . Jibu:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) au katika nukuu nyingine x ≠ 7 . Mfano 4 Je, ukosefu wa usawa wa quadratic x 2 + x + 7< 0 решения? Suluhisho
Wacha tupate mizizi ya trinomial ya quadratic kutoka upande wa kushoto wa usawa. Ili kufanya hivyo, tunapata kibaguzi: D = 1 2 - 4 1 7 = 1 - 28 = - 27. Kibaguzi ni chini ya sifuri, ambayo ina maana hakuna mizizi halisi. Picha ya mchoro itaonekana kama mstari wa nambari bila alama zilizowekwa alama juu yake. Wacha tuamue ishara ya maadili ya trinomial ya quadratic. Katika D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + : Katika kesi hii, tunaweza kutumia kivuli kwenye nafasi na ishara "-". Lakini hatuna mapungufu kama haya. Kwa hivyo, mchoro unaonekana kama hii: Kama matokeo ya mahesabu, tulipokea seti tupu. Hii ina maana kwamba ukosefu huu wa usawa wa mara nne hauna suluhu. Jibu: Hapana. Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter Nyenzo za ziada Vifaa vya kufundishia na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 9
Jamani, tayari tunajua jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic. Sasa hebu tujifunze jinsi ya kutatua usawa wa quadratic. $ax^2+bx+c>0$. Alama ya ukosefu wa usawa inaweza kuwa yoyote, viambajengo a, b, c vinaweza kuwa nambari zozote ($a≠0$). Wacha tuonyeshe sheria nyingine muhimu: Mifano. Wacha tuchore mlinganyo wa quadratic. Mhimili wa x hukatiza kwa pointi 4 na -2. 2. Tatua ukosefu wa usawa: $5x-6 Suluhisho: Wacha tutengeneze grafu ya equation ya quadratic, mhimili wa x unaingiliana kwa alama 2 na 3. 3. Tatua ukosefu wa usawa: $2^2+2x+1≥0$. Suluhisho: 4. Tatua ukosefu wa usawa: $x^2+x-2 Kiwango cha wastani Ili kujua jinsi ya kutatua hesabu za quadratic, tunahitaji kuelewa ni nini kazi ya quadratic na ina mali gani. Labda umejiuliza kwa nini kazi ya quadratic inahitajika kabisa? Je, grafu yake (parabola) inatumika wapi? Ndio, lazima uangalie karibu na utaona kuwa unakutana nayo kila siku katika maisha ya kila siku. Umeona jinsi mpira wa kutupwa unavyoruka katika elimu ya mwili? "Kando ya arc"? Jibu sahihi zaidi litakuwa "parabola"! Na jeti huenda kwenye chemchemi kwa njia gani? Ndiyo, pia katika parabola! Je, risasi au ganda huruka vipi? Hiyo ni kweli, pia katika parabola! Hivyo, kujua mali ya kazi ya quadratic, itawezekana kutatua matatizo mengi ya vitendo. Kwa mfano, mpira unapaswa kurushwa kwa pembe gani ili kuhakikisha umbali mkubwa zaidi? Au, projectile itaishia wapi ikiwa utaizindua kwa pembe fulani? na kadhalika. Kwa hiyo, hebu tufikirie. Kwa mfano,. Je, ni sawa na nini hapa, na? Naam, bila shaka! Nini ikiwa, i.e. chini ya sifuri? Naam, bila shaka, tuna "huzuni," ambayo ina maana kwamba matawi yataelekezwa chini! Hebu tuangalie grafu. Kielelezo hiki kinaonyesha grafu ya chaguo za kukokotoa. Kwa kuwa, i.e. chini ya sifuri, matawi ya parabola yanaelekezwa chini. Kwa kuongeza, labda tayari umeona kwamba matawi ya parabola hii yanaingiliana na mhimili, ambayo ina maana kwamba equation ina mizizi 2, na kazi inachukua maadili mazuri na hasi! Hapo awali, tulipotoa ufafanuzi wa kazi ya quadratic, ilisemwa hivyo na ni nambari kadhaa. Je, wanaweza kuwa sawa na sifuri? Naam, bila shaka wanaweza! Nitafunua hata siri kubwa zaidi (ambayo sio siri kabisa, lakini inafaa kutaja): hakuna vikwazo vilivyowekwa kwa nambari hizi (na) kabisa! Naam, hebu tuone nini kinatokea kwa grafu ikiwa na ni sawa na sifuri. Kama unavyoona, grafu za kazi (na) zinazozingatiwa zimebadilika ili wima zao sasa ziko kwenye hatua na kuratibu, ambayo ni, kwenye makutano ya shoka na, hii haina athari kwa mwelekeo wa matawi. . Kwa hivyo, tunaweza kuhitimisha kuwa wanajibika kwa "harakati" ya grafu ya parabola kando ya mfumo wa kuratibu. Grafu ya chaguo za kukokotoa hugusa mhimili kwa uhakika. Hii ina maana kwamba equation ina mizizi moja. Kwa hivyo, chaguo za kukokotoa huchukua thamani kubwa kuliko au sawa na sifuri. Tunafuata mantiki sawa na grafu ya chaguo la kukokotoa. Inagusa mhimili wa x kwa uhakika. Hii ina maana kwamba equation ina mizizi moja. Kwa hivyo, kazi inachukua maadili chini ya au sawa na sifuri, yaani. Kwa hivyo, ili kuamua ishara ya usemi, jambo la kwanza unahitaji kufanya ni kupata mizizi ya equation. Hii itatufaa sana. Wakati wa kusuluhisha kukosekana kwa usawa kama huo, tutahitaji uwezo wa kuamua mahali ambapo utendaji wa quadratic ni mkubwa, mdogo, au sawa na sifuri. Hiyo ni: Ikiwa kukosekana kwa usawa sio kali, basi mizizi (kuratibu za makutano ya parabola na mhimili) hujumuishwa katika muda unaohitajika wa nambari; Hii yote ni rasmi kabisa, lakini usikate tamaa au kuwa na hofu! Sasa hebu tuangalie mifano, na kila kitu kitaanguka mahali. Wakati wa kutatua usawa wa quadratic, tutazingatia algorithm iliyotolewa, na mafanikio yasiyoepukika yanatungojea! Nimeelewa? Kisha endelea na ubandike! Mfano: Naam, ilifanya kazi? Ikiwa una shida yoyote, tafuta suluhisho. Suluhisho: Hebu tuandike vipindi vinavyolingana na ishara "", kwa kuwa ishara ya usawa ni "". Kukosekana kwa usawa sio kali, kwa hivyo mizizi imejumuishwa katika vipindi: Wacha tuandike equation ya quadratic inayolingana: Wacha tupate mizizi ya equation hii ya quadratic: Wacha tuweke alama kwenye mizizi iliyopatikana kwenye mhimili na kupanga ishara: Hebu tuandike vipindi vinavyolingana na ishara "", kwa kuwa ishara ya usawa ni "". Kukosekana kwa usawa ni kali, kwa hivyo mizizi haijajumuishwa katika vipindi: Wacha tuandike equation ya quadratic inayolingana: Wacha tupate mizizi ya equation hii ya quadratic: equation hii ina mzizi mmoja Wacha tuweke alama kwenye mizizi iliyopatikana kwenye mhimili na kupanga ishara: Hebu tuandike vipindi vinavyolingana na ishara "", kwa kuwa ishara ya usawa ni "". Kwa yoyote, chaguo za kukokotoa huchukua maadili yasiyo hasi. Kwa kuwa usawa sio mkali, jibu litakuwa. Wacha tuandike equation ya quadratic inayolingana: Wacha tupate mizizi ya equation hii ya quadratic: Wacha tuchore kimkakati grafu ya parabola na kupanga ishara: Hebu tuandike vipindi vinavyolingana na ishara "", kwa kuwa ishara ya usawa ni "". Kwa yoyote, kazi inachukua maadili chanya, kwa hivyo, suluhisho la ukosefu wa usawa litakuwa muda: Kabla ya kuzungumza juu ya mada "kukosekana kwa usawa wa quadratic," hebu tukumbuke kazi ya quadratic ni nini na grafu yake ni nini. Kwa maneno mengine, hii polynomial ya shahada ya pili. Grafu ya kazi ya quadratic ni parabola (kumbuka hiyo ni nini?). Matawi yake yanaelekezwa juu ikiwa "a) kazi inachukua tu maadili chanya kwa wote, na kwa pili () - hasi tu: Katika kesi wakati equation () ina mzizi mmoja (kwa mfano, ikiwa ubaguzi ni sifuri), hii inamaanisha kuwa grafu inagusa mhimili: Kisha, sawa na kesi ya awali, kwa ". Kwa hivyo, hivi majuzi tulijifunza jinsi ya kuamua ni wapi kazi ya quadratic ni kubwa kuliko sifuri na iko chini: Ikiwa usawa wa quadratic sio kali, basi mizizi imejumuishwa katika muda wa nambari, ikiwa ni kali, sio. Ikiwa kuna mzizi mmoja tu, ni sawa, ishara sawa itakuwa kila mahali. Ikiwa hakuna mizizi, kila kitu kinategemea tu mgawo: ikiwa "25((x)^(2))-30x+9 Majibu: 2) 25((x)^(2))-30x+9> Hakuna mizizi, kwa hivyo usemi mzima upande wa kushoto huchukua ishara ya mgawo hapo awali: Utendaji wa Quadratic ni kazi ya umbo:, Grafu ya kazi ya quadratic ni parabola. Matawi yake yanaelekezwa juu ikiwa, na chini ikiwa: Aina za usawa wa quadratic: Ukosefu wote wa usawa wa quadratic umepunguzwa kwa aina nne zifuatazo: Algorithm ya suluhisho:
KUTOKUWA NA USAWA WA MWANJA. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU
Algorithm
Mfano:
1) Wacha tuandike equation ya quadratic inayolingana na usawa (badilisha tu ishara ya usawa kuwa ishara sawa "").
2) Wacha tupate mizizi ya equation hii.
3) Weka alama kwenye mizizi kwenye mhimili na uonyeshe kimkakati mwelekeo wa matawi ya parabola ("juu" au "chini")
4) Wacha tuweke ishara kwenye mhimili unaolingana na ishara ya kazi ya quadratic: ambapo parabola iko juu ya mhimili, tunaweka "", na wapi chini - "".
5) Andika muda unaolingana na “ ” au “ ”, kulingana na ishara ya ukosefu wa usawa. Ikiwa kutofautiana sio kali, mizizi imejumuishwa katika muda, ikiwa ni kali, sio.
Njia za kutatua usawa wa quadratic
Mbinu ya picha
Mbinu ya muda
Kutenga mraba wa binomial
Ukosefu wa usawa unaopungua hadi quadratic
Algorithm ya kutumia njia ya muda
Somo na uwasilishaji juu ya mada: "Usawa wa Quadratic, mifano ya suluhisho"
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.
Kitabu cha maandishi ya elektroniki "Jiometri inayoeleweka" kwa darasa la 7-9
Ugumu wa elimu 1C: "Jiometri, daraja la 9"
Ukosefu wa usawa wa quadratic Aina hii ya ukosefu wa usawa inaitwa:
Sheria zote ambazo tulifafanua kwa usawa wa mstari pia hufanya kazi hapa. Rudia sheria hizi mwenyewe!
Ikiwa trinomial $ax^2+bx+c$ ina kibaguzi hasi, basi ukibadilisha thamani yoyote ya x, ishara ya utatu itakuwa sawa na ishara ya mgawo a.Mifano ya kutatua usawa wa quadratic
inaweza kutatuliwa kwa kupanga grafu au vipindi vya kupanga. Hebu tuangalie mifano ya ufumbuzi wa kutofautiana.
1. Tatua ukosefu wa usawa: $x^2-2x-8
Suluhisho:
Hebu tutafute mizizi ya equation $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ na $x_2=-2$.
Utatu wetu wa quadratic huchukua thamani chini ya sifuri ambapo grafu ya chaguo za kukokotoa iko chini ya mhimili wa x.
Kuangalia grafu ya chaguo la kukokotoa, tunapata jibu: $x^2-2x-8 Jibu: $-2
Hebu tubadilishe ukosefu wa usawa: $-x^2+5x-6 Hebu tugawanye ukosefu wa usawa kwa kutoa moja. Tusisahau kubadilisha ishara: $x^2-5x+6>0$.
Hebu tutafute mizizi ya utatu: $x_1=2$ na $x_2=3$.
Utatu wetu wa quadratic huchukua thamani kubwa kuliko sifuri ambapo grafu ya chaguo za kukokotoa iko juu ya mhimili wa x. Kuangalia grafu ya kazi, tunapata jibu: $ 5x-6
Hebu tutafute mizizi ya utatu wetu, kwa hili tunahesabu kibaguzi: $D=2^2-4*2=-4 Kibaguzi ni chini ya sifuri. Wacha tuitumie sheria tuliyoanzisha mwanzoni. Ishara ya usawa itakuwa sawa na ishara ya mgawo wa mraba. Kwa upande wetu, mgawo ni chanya, ambayo ina maana kwamba equation yetu itakuwa chanya kwa thamani yoyote ya x.
Jibu: Kwa yote x, ukosefu wa usawa ni mkubwa kuliko sifuri.
Suluhisho:
Hebu tutafute mizizi ya trinomial na kuiweka kwenye mstari wa kuratibu: $x_1=-2$ na $x_2=1$. 
Ikiwa $x>1$ na $x Ikiwa $x>-2$ na $x Jibu: $x>-2$ na $xMatatizo ya kutatua usawa wa quadratic
Tatua ukosefu wa usawa:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$. Ukosefu wa usawa wa quadratic. Mwongozo wa Mwisho (2019)
Utendaji wa Quadratic
Ukosefu wa usawa wa quadratic
Algorithm
Mfano:
1) Wacha tuandike equation ya quadratic inayolingana na usawa (badilisha tu ishara ya usawa kuwa ishara sawa "=").
2) Wacha tupate mizizi ya equation hii.
3) Weka alama kwenye mizizi kwenye mhimili na uonyeshe kimkakati mwelekeo wa matawi ya parabola ("juu" au "chini")
4) Wacha tuweke ishara kwenye mhimili unaolingana na ishara ya kazi ya quadratic: ambapo parabola iko juu ya mhimili, tunaweka "", na wapi chini - "".
5) Andika muda unaolingana na “ ” au “ ”, kulingana na ishara ya ukosefu wa usawa. Ikiwa kutofautiana sio kali, mizizi imejumuishwa katika muda, ikiwa ni kali, sio.
KUTOKUWA NA USAWA WA MWANJA. KIWANGO CHA WASTANI
Utendaji wa Quadratic.
Kazi ya quadratic ni kazi ya fomu,
KUTOKUWA NA USAWA WA MWANJA. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU
Algorithm
Mfano:
1) Wacha tuandike equation ya quadratic inayolingana na usawa (badilisha tu ishara ya usawa kuwa ishara sawa "").
2) Wacha tupate mizizi ya equation hii.
3) Weka alama kwenye mizizi kwenye mhimili na uonyeshe kimkakati mwelekeo wa matawi ya parabola ("juu" au "chini")
4) Wacha tuweke ishara kwenye mhimili unaolingana na ishara ya kazi ya quadratic: ambapo parabola iko juu ya mhimili, tunaweka "", na wapi chini - "".
5) Andika muda unaolingana na “ ” au “ ”, kulingana na ishara ya ukosefu wa usawa. Ikiwa kutofautiana sio kali, mizizi imejumuishwa katika muda, ikiwa ni kali, sio.
