Jinsi ya kutatua milinganyo ya trigonometric. Milinganyo ya Trigonometric

Milinganyo ya trigonometric sio mada rahisi. Zinatofautiana sana.) Kwa mfano, hizi:

dhambi 2 x + cos3x = ctg5x

dhambi(5x+π /4) = kitanda(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Na kadhalika...

Lakini hizi (na zingine zote) monsters za trigonometric zina sifa mbili za kawaida na za lazima. Kwanza - hutaamini - kuna utendaji wa trigonometric katika milinganyo.) Pili: misemo yote yenye x hupatikana. ndani ya kazi hizi hizo. Na hapo tu! Ikiwa X inaonekana mahali fulani nje, Kwa mfano, sin2x + 3x = 3, hii tayari itakuwa equation aina mchanganyiko. Equations kama hizo zinahitaji mbinu ya mtu binafsi. Hatutazingatia hapa.

Hatutatua milinganyo miovu katika somo hili pia.) Hapa tutashughulikia milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric. Kwa nini? Ndio kwa sababu suluhisho yoyote milinganyo ya trigonometric lina hatua mbili. Katika hatua ya kwanza, equation mbaya hupunguzwa hadi rahisi kupitia mabadiliko anuwai. Kwa pili, equation hii rahisi zaidi inatatuliwa. Hakuna njia nyingine.

Kwa hivyo, ikiwa una shida katika hatua ya pili, hatua ya kwanza haina maana sana.)

Je, milinganyo ya msingi ya trigonometric inaonekanaje?

dhambi = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Hapa A inasimama kwa nambari yoyote. Yoyote.

Kwa njia, ndani ya kazi kunaweza kusiwe na X safi, lakini aina fulani ya usemi, kama:

cos(3x+π /3) = 1/2

na kadhalika. Hii inachanganya maisha, lakini haiathiri njia ya kutatua equation ya trigonometric.

Jinsi ya kutatua equations za trigonometric?

Milinganyo ya trigonometric inaweza kutatuliwa kwa njia mbili. Njia ya kwanza: kutumia mantiki na mduara wa trigonometric. Tutaangalia njia hii hapa. Njia ya pili - kutumia kumbukumbu na fomula - itajadiliwa katika somo linalofuata.

Njia ya kwanza ni wazi, ya kutegemewa, na ni ngumu kusahau.) Ni nzuri kwa kutatua milinganyo ya trigonometric, ukosefu wa usawa, na kila aina ya mifano gumu isiyo ya kawaida. Mantiki ni nguvu kuliko kumbukumbu!)

Kutatua milinganyo kwa kutumia mduara wa trigonometric.

Tunajumuisha mantiki ya msingi na uwezo wa kutumia mduara wa trigonometric. Je, hujui jinsi gani? Hata hivyo ... Utakuwa na wakati mgumu katika trigonometry ...) Lakini haijalishi. Angalia masomo "Trigonometric circle...... Ni nini?" na "Kupima pembe kwenye mduara wa trigonometric." Kila kitu ni rahisi huko. Tofauti na vitabu vya kiada ...)

Oh, unajua!? Na hata kujua "Kazi ya vitendo na mduara wa trigonometric"!? Hongera sana. Mada hii itakuwa karibu na kueleweka kwako.) Kinachopendeza hasa ni kwamba mduara wa trigonometric haujali ni equation gani unayosuluhisha. Sine, cosine, tangent, cotangent - kila kitu ni sawa kwake. Kuna kanuni moja tu ya suluhisho.

Kwa hivyo tunachukua mlinganyo wowote wa msingi wa trigonometric. Angalau hii:

cosx = 0.5

Tunahitaji kupata X. Ikiwa tunazungumza lugha ya binadamu, haja tafuta pembe (x) ambayo kosini yake ni 0.5.

Hapo awali tulitumia mduara vipi? Tulichora pembe juu yake. Katika digrii au radiani. Na mara moja saw kazi za trigonometric za pembe hii. Sasa tufanye kinyume. Hebu tuchore cosine kwenye mduara sawa na 0.5 na mara moja tutaona kona. Kilichobaki ni kuandika jibu.) Ndiyo, ndiyo!

Chora duara na uweke alama ya cosine sawa na 0.5. Kwenye mhimili wa cosine, bila shaka. Kama hii:

Sasa hebu tuchore pembe ambayo cosine hii inatupa. Weka kipanya chako juu ya picha (au gusa picha kwenye kompyuta yako ndogo), na utaona kona hii X.

Kosini ya pembe gani ni 0.5?

x = π /3

cos 60°= maana ( π /3) = 0,5

Watu wengine watacheka kwa wasiwasi, ndiyo ... Kama, ilikuwa ni thamani ya kufanya mduara wakati kila kitu tayari ni wazi ... Unaweza, bila shaka, chuckle ...) Lakini ukweli ni kwamba hii ni jibu la makosa. Au tuseme, haitoshi. Wajuzi wa duara wanaelewa kuwa kuna rundo zima la pembe zingine hapa ambazo pia hutoa cosine ya 0.5.

Ukigeuza upande wa kusonga OA zamu kamili, hatua A itarudi kwenye nafasi yake ya awali. Na cosine sawa na 0.5. Wale. pembe itabadilika kwa 360° au 2π radiani, na cosine - hapana. Pembe mpya 60 ° + 360 ° = 420 ° pia itakuwa suluhisho kwa mlinganyo wetu, kwa sababu.

Idadi isiyo na kikomo ya mapinduzi kamili kama haya yanaweza kufanywa ... Na pembe hizi zote mpya zitakuwa suluhisho kwa mlingano wetu wa trigonometric. Na wote wanahitaji kuandikwa kwa namna fulani kwa kujibu. Wote. Vinginevyo, uamuzi hauhesabu, ndio ...)

Hisabati inaweza kufanya hivyo kwa urahisi na kifahari. Andika kwa jibu moja fupi seti isiyo na mwisho maamuzi. Hivi ndivyo inavyoonekana kwa mlinganyo wetu:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Nitaifafanua. Bado kuandika kwa maana Inafurahisha zaidi kuliko kuchora kwa ujinga herufi kadhaa za kushangaza, sivyo?)

π /3 - hii ni kona sawa na sisi saw kwenye duara na kuamua kulingana na jedwali la cosine.

2p ni mapinduzi moja kamili katika radiani.

n - hii ni idadi ya kamili, i.e. mzima rpm Ni wazi kwamba n inaweza kuwa sawa na 0, ±1, ±2, ±3.... na kadhalika. Kama inavyoonyeshwa na ingizo fupi:

n ∈ Z

n ni mali ( ∈ ) seti ya nambari kamili ( Z ) Kwa njia, badala ya barua n barua inaweza kutumika vizuri k, m, t na kadhalika.

Nukuu hii inamaanisha unaweza kuchukua nambari yoyote kamili n . Angalau -3, angalau 0, angalau +55. Chochote unachotaka. Ukibadilisha nambari hii kwenye jibu, utapata pembe maalum, ambayo bila shaka itakuwa suluhisho la mlinganyo wetu mkali.)

Au, kwa maneno mengine, x = π /3 ndio mzizi pekee wa seti isiyo na mwisho. Ili kupata mizizi mingine yote, inatosha kuongeza idadi yoyote ya mapinduzi kamili kwa π /3 ( n ) katika radiani. Wale. 2pn radian.

Wote? Hapana. Ninaongeza furaha kwa makusudi. Ili kukumbuka vyema.) Tulipokea sehemu tu ya majibu ya mlingano wetu. Nitaandika sehemu hii ya kwanza ya suluhisho kama hii:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - sio mizizi moja tu, lakini mfululizo mzima wa mizizi, iliyoandikwa kwa fomu fupi.

Lakini pia kuna pembe ambazo pia hutoa cosine ya 0.5!

Wacha turudi kwenye picha yetu ambayo tuliandika jibu. Huyu hapa:

Hover mouse yako juu ya picha na tunaona pembe nyingine hiyo pia inatoa cosine ya 0.5. Unafikiri ni sawa na nini? Pembetatu ni sawa ... Ndiyo! Yeye sawa na pembe X , imechelewa tu katika mwelekeo mbaya. Hii ndio kona -X. Lakini tayari tumehesabu x. π /3 au 60°. Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwa usalama:

x 2 = - π /3

Kweli, kwa kweli, tunaongeza pembe zote ambazo hupatikana kupitia mapinduzi kamili:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Hiyo ndiyo yote sasa.) Kwenye mduara wa trigonometric sisi saw(nani anaelewa, bila shaka)) Wote pembe zinazotoa kosini ya 0.5. Na aliandika pembe hizi kwa kifupi fomu ya hisabati. Jibu lilisababisha safu mbili zisizo na mwisho za mizizi:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Hili ndilo jibu sahihi.

Tumaini, kanuni ya jumla ya kutatua milinganyo ya trigonometric kutumia mduara ni wazi. Tunaweka alama ya cosine (sine, tangent, cotangent) kutoka kwa equation iliyotolewa kwenye mduara, chora pembe zinazolingana nayo na uandike jibu. Kwa kweli, tunahitaji kujua ni pembe gani sisi ni saw kwenye mduara. Wakati mwingine sio wazi sana. Kweli, nilisema kwamba mantiki inahitajika hapa.)

Kwa mfano, hebu tuangalie equation nyingine ya trigonometric:

Tafadhali zingatia kwamba nambari 0.5 sio nambari pekee inayowezekana katika milinganyo!) Ni rahisi zaidi kwangu kuiandika kuliko mizizi na sehemu.

Tunafanya kazi kulingana na kanuni ya jumla. Tunatoa mduara, alama (kwenye mhimili wa sine, bila shaka!) 0.5. Tunatoa pembe zote zinazofanana na sine hii mara moja. Tunapata picha hii:

Wacha tushughulike na pembe kwanza X katika robo ya kwanza. Tunakumbuka meza ya sines na kuamua thamani ya pembe hii. Ni jambo rahisi:

x = π /6

Tunakumbuka zamu kamili na, kwa dhamiri safi, andika safu ya kwanza ya majibu:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Nusu ya kazi imekamilika. Lakini sasa tunahitaji kuamua kona ya pili... Ni ngumu zaidi kuliko kutumia cosines, ndio ... Lakini mantiki itatuokoa! Jinsi ya kuamua angle ya pili kupitia x? Ndiyo Rahisi! Pembetatu kwenye picha ni sawa, na kona nyekundu X sawa na pembe X . Ni tu inayohesabiwa kutoka kwa pembe π katika mwelekeo mbaya. Ndiyo sababu ni nyekundu.) Na kwa jibu tunahitaji angle, iliyopimwa kwa usahihi, kutoka kwa OX ya nusu-axis chanya, i.e. kutoka kwa pembe ya digrii 0.

Tunaelekeza mshale juu ya mchoro na kuona kila kitu. Niliondoa kona ya kwanza ili sio ngumu picha. Pembe tunayovutiwa nayo (iliyochorwa kwa kijani kibichi) itakuwa sawa na:

π - x

X tunajua hili π /6 . Kwa hivyo, pembe ya pili itakuwa:

π - π /6 = 5π /6

Tena tunakumbuka juu ya kuongeza mapinduzi kamili na kuandika safu ya pili ya majibu:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ni hayo tu. Jibu kamili lina safu mbili za mizizi:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Milinganyo ya tanji na kotanji inaweza kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia kanuni ya jumla sawa ya kutatua milinganyo ya trigonometriki. Ikiwa, bila shaka, unajua jinsi ya kuteka tangent na cotangent kwenye mduara wa trigonometric.

Katika mifano hapo juu, nilitumia thamani ya meza ya sine na cosine: 0.5. Wale. mojawapo ya maana hizo ambazo mwanafunzi anazijua lazima. Sasa tupanue uwezo wetu maadili mengine yote. Amua, kwa hivyo amua!)

Kwa hivyo, wacha tuseme tunahitaji kutatua equation hii ya trigonometric:

Thamani kama hiyo ya cosine ndani meza fupi Hapana. Tunapuuza ukweli huu mbaya. Chora mduara, alama 2/3 kwenye mhimili wa cosine na uchora pembe zinazofanana. Tunapata picha hii.

Wacha tuangalie, kwanza, kwa pembe katika robo ya kwanza. Laiti tungejua x ni sawa na nini, tungeandika jibu mara moja! Hatujui ... Kushindwa!? Tulia! Hisabati haiwaachi watu wake kwenye matatizo! Alikuja na arc cosines kwa kesi hii. Sijui? Kwa bure. Jua, Ni rahisi sana kuliko unavyofikiria. Hakuna herufi moja ya hila kuhusu "utendaji kinyume cha trigonometric" kwenye kiungo hiki... Hili ni jambo la ziada katika mada hii.

Ikiwa unafahamu, jiambie tu: "X ni pembe ambayo cosine ni sawa na 2/3." Na mara moja, kwa ufafanuzi wa arc cosine, tunaweza kuandika:

Tunakumbuka juu ya mapinduzi ya ziada na kwa utulivu tunaandika safu ya kwanza ya mizizi ya equation yetu ya trigonometric:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Mfululizo wa pili wa mizizi kwa pembe ya pili ni karibu kuandikwa moja kwa moja. Kila kitu ni sawa, X pekee (arccos 2/3) itakuwa na minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Na ndivyo hivyo! Hili ndilo jibu sahihi. Hata rahisi kuliko na maadili ya meza. Hakuna haja ya kukumbuka chochote.) Kwa njia, makini zaidi ataona kwamba picha hii inaonyesha suluhisho kupitia arc cosine. kwa asili, hakuna tofauti na picha kwa equation cosx = 0.5.

Hasa! Kanuni ya jumla Ndiyo maana ni kawaida! Nilichora kwa makusudi picha mbili karibu zinazofanana. Mduara unatuonyesha pembe X kwa cosine yake. Ikiwa ni cosine ya tabular au la haijulikani kwa kila mtu. Hii ni pembe ya aina gani, π /3, au arc cosine ni nini - ni juu yetu kuamua.

Wimbo sawa na sine. Kwa mfano:

Chora mduara tena, alama sine sawa na 1/3, chora pembe. Hii ndio picha tunayopata:

Na tena picha ni karibu sawa na kwa equation sinx = 0.5. Tena tunaanza kutoka kona katika robo ya kwanza. X ni sawa na nini ikiwa sine yake ni 1/3? Hakuna shida!

Sasa pakiti ya kwanza ya mizizi iko tayari:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Wacha tushughulike na pembe ya pili. Katika mfano na thamani ya jedwali ya 0.5, ilikuwa sawa na:

π - x

Itakuwa sawa kabisa hapa pia! x pekee ni tofauti, arcsin 1/3. Kwa hiyo!? Unaweza kuandika kwa usalama pakiti ya pili ya mizizi:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Hili ni jibu sahihi kabisa. Ingawa haionekani kujulikana sana. Lakini ni wazi, natumai.)

Hivi ndivyo milinganyo ya trigonometric hutatuliwa kwa kutumia duara. Njia hii ni wazi na inaeleweka. Ni yeye ambaye anaokoa katika hesabu za trigonometric na uteuzi wa mizizi kwa muda fulani, katika usawa wa trigonometric - kwa ujumla hutatuliwa karibu kila mara katika mduara. Kwa kifupi, katika kazi yoyote ambayo ni ngumu zaidi kuliko ile ya kawaida.

Wacha tutumie maarifa kwa vitendo?)

Tatua milinganyo ya trigonometric:

Kwanza, rahisi zaidi, moja kwa moja kutoka kwa somo hili.

Sasa ni ngumu zaidi.

Kidokezo: hapa itabidi ufikirie juu ya duara. Binafsi.)

Na sasa ni rahisi nje ... Pia huitwa kesi maalum.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Kidokezo: hapa unahitaji kufikiri katika mduara ambapo kuna mfululizo wa majibu mawili na ambapo kuna moja ... Na jinsi ya kuandika moja badala ya mfululizo wa majibu mawili. Ndio, ili hakuna mzizi mmoja kutoka kwa nambari isiyo na kikomo inayopotea!)

Kweli, rahisi sana):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Kidokezo: hapa unahitaji kujua arcsine na arccosine ni nini? arctangent ni nini, arccotangent? wengi zaidi ufafanuzi rahisi. Lakini huna haja ya kukumbuka maadili yoyote ya meza!)

Majibu ni, bila shaka, fujo):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Je! si kila kitu kitafanya kazi? Hutokea. Soma somo tena. Pekee kwa kufikiri(kuna vile neno la kizamani...) Na fuata viungo. Viungo kuu ni kuhusu mduara. Bila hivyo, trigonometria ni kama kuvuka barabara ukiwa umefumba macho. Wakati mwingine inafanya kazi.)

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Milinganyo changamano zaidi ya trigonometriki

Milinganyo

dhambi x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ndio milinganyo rahisi zaidi ya trigonometric. Katika aya hii mifano maalum Tutaangalia milinganyo changamano zaidi ya trigonometriki. Suluhisho lao, kama sheria, linakuja chini ya kutatua hesabu rahisi zaidi za trigonometric.

Mfano 1 . Tatua mlinganyo

dhambi 2 X=cos X dhambi 2 x.

Kuhamisha masharti yote ya equation hii kwa upande wa kushoto na kuzingatia usemi unaosababishwa, tunapata:

dhambi 2 X(1 - kos X) = 0.

Bidhaa ya misemo miwili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja ya sababu ni sawa na sifuri, na nyingine inachukua yoyote. thamani ya nambari, mradi tu imefafanuliwa.

Kama dhambi 2 X = 0 , kisha 2 X= n π ; X = π / 2n.

Kama 1 - cos X = 0 , kisha cos X = 1; X = 2kπ .

Kwa hivyo, tulipata vikundi viwili vya mizizi: X = π / 2n; X = 2kπ . Kundi la pili la mizizi ni dhahiri zilizomo katika kwanza, kwani kwa n = 4k usemi X = π / 2n inakuwa
X = 2kπ .

Kwa hivyo, jibu linaweza kuandikwa kwa fomula moja: X = π / 2n, Wapi n- nambari yoyote.

Kumbuka kwamba mlingano huu haungeweza kutatuliwa kwa kupunguza kwa dhambi 2 x. Hakika, baada ya kupunguzwa tungepata 1 - cos x = 0, kutoka wapi X= 2k π . Kwa hivyo tungepoteza mizizi kadhaa, kwa mfano π / 2 , π , 3π / 2 .

Mfano 2. Tatua mlinganyo

Sehemu ni sawa na sifuri ikiwa tu nambari yake ni sawa na sifuri.
Ndiyo maana dhambi 2 X = 0 , kutoka wapi 2 X= n π ; X = π / 2n.

Kutoka kwa maadili haya X unahitaji kutupa nje kama za nje maadili hayo ambayo dhambiX huenda hadi sifuri (sehemu zilizo na madhehebu ya sifuri hazina maana: mgawanyiko kwa sifuri haujafafanuliwa). Thamani hizi ni nambari ambazo ni nyingi π . Katika fomula
X = π / 2n zinapatikana kwa usawa n. Kwa hiyo, mizizi ya equation hii itakuwa namba

X = π / 2 (k 2 + 1),

ambapo k ni nambari yoyote.

Mfano 3 . Tatua mlinganyo

2 dhambi 2 X+ 7 cos x - 5 = 0.

Hebu tueleze dhambi 2 X kupitia cosx : dhambi 2 X = 1 - cos 2x . Kisha equation hii inaweza kuandikwa upya kama

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , au

2 kos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Uteuzi cosx kupitia katika, tunafika kwenye equation ya quadratic

2у 2 - 7у + 3 = 0,

ambao mizizi yake ni nambari 1/2 na 3. Hii ina maana kwamba ama cos x= 1/2, au cos X= 3. Hata hivyo, mwisho hauwezekani, kwani cosine ya angle yoyote haizidi 1 kwa thamani kamili.

Inabakia kukubali hilo cos x = 1 / 2 , wapi

x = ± 60° + 360° n.

Mfano 4 . Tatua mlinganyo

2 dhambi X+ 3cos x = 6.

Tangu dhambi x na cos x kwa thamani kamili usizidi 1, kisha usemi
2 dhambi X+ 3cos x haiwezi kuchukua maadili makubwa kuliko 5 . Kwa hiyo, equation hii haina mizizi.

Mfano 5 . Tatua mlinganyo

dhambi X+cos x = 1

Kwa kugawanya pande zote mbili za equation hii, tunapata:

dhambi 2 X+ 2 dhambi x cos x+ cos 2 x = 1,

Lakini dhambi 2 X + kos 2 x = 1 . Ndiyo maana 2 dhambi x cos x = 0 . Kama dhambi x = 0 , Hiyo X = nπ ; kama
cos x , Hiyo X = π / 2 + kπ . Vikundi hivi viwili vya suluhisho vinaweza kuandikwa kwa fomula moja:

X = π / 2n

Kwa kuwa tuliweka pande zote mbili za mlinganyo huu, inawezekana kwamba kuna mizizi ya nje kati ya mizizi tuliyopata. Ndiyo maana katika mfano huu, tofauti na wote uliopita, ni muhimu kufanya hundi. Maana zote

X = π / 2n inaweza kugawanywa katika vikundi 4

	1) X = 2 kπ .	(n = 4k)
	2) X = π / 2 + 2 kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2 kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X = 3π / 2 + 2 kπ .	(n = 4k + 3)

Katika X = 2kp dhambi x+cos x= 0 + 1 = 1. Kwa hiyo, X = 2kp ndio mizizi ya equation hii.

Katika X = π / 2 + 2kp. dhambi x+cos x= 1 + 0 = 1 Hivyo X = π / 2 + 2kp- pia mizizi ya equation hii.

Katika X = π + 2kp dhambi x+cos x= 0 - 1 = - 1. Kwa hiyo, maadili X = π + 2kp sio mizizi ya equation hii. Vile vile inaonyeshwa kuwa X = 3π / 2 + 2kp. sio mizizi.

Kwa hivyo, equation hii ina mizizi ifuatayo: X = 2kp Na X = π / 2 + 2 mp., wapi k Na m- nambari yoyote.

Wakati wa kutatua mengi matatizo ya hisabati, hasa yale yanayotokea kabla ya daraja la 10, utaratibu wa vitendo vinavyofanyika ambavyo vitasababisha lengo hufafanuliwa wazi. Matatizo hayo ni pamoja na, kwa mfano, linear na milinganyo ya quadratic, mstari na usawa wa quadratic, milinganyo ya sehemu na milinganyo ambayo inapungua hadi quadratic. Kanuni ya kusuluhisha kwa mafanikio kila moja ya shida zilizotajwa ni kama ifuatavyo: unahitaji kuanzisha aina gani ya shida unayosuluhisha, kumbuka mlolongo muhimu wa vitendo ambao utasababisha matokeo yaliyohitajika, i.e. jibu na ufuate hatua hizi.

Ni dhahiri kwamba mafanikio au kushindwa katika kutatua tatizo fulani inategemea hasa jinsi kwa usahihi aina ya equation inayotatuliwa imedhamiriwa, jinsi kwa usahihi mlolongo wa hatua zote za ufumbuzi wake hutolewa tena. Bila shaka, katika kesi hii ni muhimu kuwa na ujuzi wa kufanya mabadiliko na mahesabu sawa.

Hali ni tofauti na milinganyo ya trigonometric. Si vigumu hata kidogo kuanzisha ukweli kwamba equation ni trigonometric. Ugumu hutokea wakati wa kuamua mlolongo wa vitendo ambavyo vinaweza kusababisha jibu sahihi.

Na mwonekano equation wakati mwingine ni vigumu kuamua aina yake. Na bila kujua aina ya equation, karibu haiwezekani kuchagua moja sahihi kutoka kwa fomula kadhaa za trigonometric.

Ili kutatua equation ya trigonometric, unahitaji kujaribu:

1. kuleta utendaji wote uliojumuishwa katika equation kwa "pembe sawa";
2. kuleta equation kwa "kazi zinazofanana";
3. kipengele upande wa kushoto wa equation, nk.

Hebu tuzingatie njia za msingi za kutatua milinganyo ya trigonometric.

I. Kupunguza hadi milinganyo rahisi zaidi ya trigonometriki

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Express kazi ya trigonometric kupitia vipengele vinavyojulikana.

Hatua ya 2. Pata hoja ya kazi kwa kutumia fomula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

dhambi x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Hatua ya 3. Tafuta tofauti isiyojulikana.

Mfano.

2 cos(3x - π/4) = -√2.

Suluhisho.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x - π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x - π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ± 3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ± 3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Jibu: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Uingizwaji unaobadilika

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Punguza mlingano kuwa umbo la aljebra kuhusiana na mojawapo ya vitendakazi vya trigonometriki.

Hatua ya 2. Onyesha kazi inayotokana na t ya kutofautiana (ikiwa ni lazima, anzisha vikwazo kwenye t).

Hatua ya 3. Andika na utatue mlingano wa aljebra unaotokana.

Hatua ya 4. Fanya uingizwaji wa nyuma.

Hatua ya 5. Tatua mlinganyo rahisi zaidi wa trigonometric.

Mfano.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Suluhisho.

1) 2(1 – dhambi 2 (x/2)) – 5dhambi (x/2) – 5 = 0;

2dhambi 2 (x/2) + 5dhambi (x/2) + 3 = 0.

2) Acha dhambi (x/2) = t, wapi |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 au e = -3/2, haikidhi masharti |t| ≤ 1.

4) dhambi(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Jibu: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Mbinu ya kupunguza mpangilio wa equation

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Badilisha equation hii na ya mstari, kwa kutumia fomula ya kupunguza digrii:

dhambi 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Hatua ya 2. Tatua mlingano unaotokana kwa kutumia njia I na II.

Mfano.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Suluhisho.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Jibu: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Milinganyo ya homogeneous

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Punguza equation hii kwa fomu

a) dhambi x + b cos x = 0 (mlingano wa homogeneous wa shahada ya kwanza)

au kwa mtazamo

b) dhambi 2 x + b dhambi x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogeneous equation ya shahada ya pili).

Hatua ya 2. Gawa pande zote mbili za mlinganyo kwa

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

na upate equation ya tan x:

a) tan x + b = 0;

b) tani 2 x + b arctan x + c = 0.

Hatua ya 3. Tatua mlinganyo kwa kutumia njia zinazojulikana.

Mfano.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Suluhisho.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

dhambi 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Hebu tg x = t, basi

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 au t = -4, ambayo ina maana

tg x = 1 au tg x = -4.

Kutoka kwa equation ya kwanza x = π/4 + πn, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Jibu: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Mbinu ya kubadilisha mlinganyo kwa kutumia fomula za trigonometriki

Mchoro wa suluhisho

Hatua ya 1. Kwa kutumia fomula zote za trigonometriki, punguza mlingano huu hadi mlinganyo uliotatuliwa kwa mbinu I, II, III, IV.

Hatua ya 2. Tatua equation inayotokana kwa kutumia njia zinazojulikana.

Mfano.

dhambi x + dhambi 2x + dhambi 3x = 0.

Suluhisho.

1) (dhambi x + dhambi 3x) + dhambi 2x = 0;

2sin 2x cos x + dhambi 2x = 0.

2) dhambi 2x (2cos x + 1) = 0;

dhambi 2x = 0 au 2cos x + 1 = 0;

Kutoka kwa equation ya kwanza 2x = π/2 + πn, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili cos x = -1/2.

Tunayo x = π/4 + πn/2, n Є Z; kutoka kwa equation ya pili x = ± (π - π/3) + 2πk, k Є Z.

Matokeo yake, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Jibu: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Uwezo na ustadi wa kutatua milinganyo ya trigonometric ni sana muhimu, maendeleo yao yanahitaji jitihada kubwa, kwa upande wa mwanafunzi na kwa upande wa mwalimu.

Matatizo mengi ya sterometry, fizikia, nk yanahusishwa na ufumbuzi wa equations trigonometric Mchakato wa kutatua matatizo hayo unajumuisha ujuzi na ujuzi mwingi unaopatikana kwa kujifunza vipengele vya trigonometry.

Equations Trigonometric inachukua nafasi muhimu katika mchakato wa kujifunza hisabati na maendeleo ya kibinafsi kwa ujumla.

Bado una maswali? Je! hujui jinsi ya kutatua milinganyo ya trigonometric?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu, jiandikishe.
Somo la kwanza ni bure!

tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.

Inahitaji ujuzi wa kanuni za msingi za trigonometry - jumla ya mraba wa sine na cosine, usemi wa tangent kupitia sine na cosine, na wengine. Kwa wale ambao wamewasahau au hawajui, tunapendekeza kusoma makala "".
Kwa hiyo, tunajua kanuni za msingi za trigonometric, ni wakati wa kuzitumia katika mazoezi. Kutatua milinganyo ya trigonometric katika njia sahihi- kutosha shughuli ya kusisimua, kama, kwa mfano, kutatua mchemraba wa Rubik.

Kulingana na jina yenyewe, ni wazi kwamba equation ya trigonometric ni equation ambayo haijulikani ni chini ya ishara ya kazi ya trigonometric.
Kuna kinachojulikana milinganyo rahisi ya trigonometric. Hivi ndivyo zinavyoonekana: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Hebu tuzingatie jinsi ya kutatua milinganyo kama hiyo ya trigonometric, kwa uwazi, tutatumia mduara wa trigonometric tayari unaojulikana.

dhambi = a

maana x = a

tani x = a

kitanda x = a

Mlinganyo wowote wa trigonometriki hutatuliwa katika hatua mbili: tunapunguza mlinganyo kwa umbo lake rahisi na kisha kuutatua kama mlinganyo rahisi wa trigonometriki.
Kuna njia 7 kuu ambazo milinganyo ya trigonometric hutatuliwa.

1. Njia ya ubadilishanaji na uwekaji mbadala

Tatua mlingano 2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0

Kwa kutumia fomula za kupunguza tunapata:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Badilisha cos(x + /6) na y ili kurahisisha na kupata equation ya kawaida ya quadratic:

Miaka 2 - 3y + 1 + 0

Mizizi ambayo ni y 1 = 1, y 2 = 1/2

Sasa hebu tuende kwa mpangilio wa nyuma

Tunabadilisha maadili yaliyopatikana ya y na kupata chaguzi mbili za jibu:

2. Kutatua milinganyo ya trigonometriki kupitia uwekaji alama

Jinsi ya kutatua equation sin x + cos x = 1?

Wacha tuhamishe kila kitu kushoto ili 0 ibaki kulia:

dhambi x + cos x - 1 = 0

Wacha tutumie vitambulisho vilivyojadiliwa hapo juu ili kurahisisha mlinganyo:

dhambi x - 2 dhambi 2 (x/2) = 0

Wacha tuimarishe:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 dhambi 2 (x/2) = 0

2dhambi(x/2) * = 0

Tunapata equations mbili

3. Kupunguzwa kwa equation ya homogeneous

Mlinganyo ni sawa kuhusiana na sine na kosine ikiwa masharti yake yote yanahusiana na sine na kosine ya nguvu sawa ya pembe sawa. Ili kutatua equation ya homogeneous, endelea kama ifuatavyo:

a) kuhamisha wanachama wake wote upande wa kushoto;

b) kuchukua mambo yote ya kawaida nje ya mabano;

c) kusawazisha mambo yote na mabano kwa 0;

d) usawa wa homogeneous wa shahada ya chini hupatikana katika mabano, ambayo kwa upande wake imegawanywa katika sine au cosine ya shahada ya juu;

e) kutatua mlinganyo unaotokana na tg.

Tatua mlingano 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Wacha tutumie formula sin 2 x + cos 2 x = 1 na tuondoe mbili zilizo wazi upande wa kulia:

3dhambi 2 x + 4 dhambi x cos x + 5 cos x = 2dhambi 2 x + 2cos 2 x

dhambi 2 x + 4 dhambi x cos x + 3 cos 2 x = 0

Gawanya kwa cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Badilisha tan x na y na upate equation ya quadratic:

y 2 + 4y +3 = 0, ambayo mizizi yake ni y 1 =1, y 2 = 3

Kuanzia hapa tunapata suluhisho mbili kwa equation ya asili:

x 2 = arctan 3 + k

4. Kutatua milinganyo kupitia mpito hadi pembe ya nusu

Tatua mlingano 3sin x - 5cos x = 7

Wacha tuendelee hadi x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) - 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Wacha tuhamishe kila kitu kushoto:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Gawanya kwa cos(x/2):

tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0

5. Utangulizi wa pembe ya msaidizi

Kwa kuzingatia, hebu tuchukue equation ya fomu: dhambi x + b cos x = c,

ambapo a, b, c ni baadhi ya viambajengo vya kiholela, na x haijulikani.

Wacha tugawanye pande zote mbili za equation na:



Sasa coefficients ya equation kulingana na fomula za trigonometric kuwa na mali sin na cos, yaani: modulus yao si zaidi ya 1 na jumla ya mraba = 1. Hebu tuwaeleze kwa mtiririko huo kama cos na dhambi, ambapo - hii ndiyo inayoitwa angle ya msaidizi. Kisha equation itachukua fomu:

cos * dhambi x + dhambi * cos x = C

au dhambi(x + ) = C

Suluhisho la equation hii rahisi zaidi ya trigonometric ni

x = (-1) k * arcsin C - + k, wapi



Ikumbukwe kwamba nukuu cos na dhambi zinaweza kubadilishana.

Tatua equation sin 3x - cos 3x = 1

Coefficients katika equation hii ni:

a = , b = -1, kwa hivyo gawanya pande zote mbili kwa = 2

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

• Unapotuma ombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

• Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi inaturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
• Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
• Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
• Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

• Ikiwa ni lazima, kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika kesi za kisheria, na/au kwa misingi ya maombi ya umma au maombi kutoka kwa mashirika ya serikali katika Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
• Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.