முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் எளிதான தலைப்பு அல்ல. அவை மிகவும் வேறுபட்டவை.) எடுத்துக்காட்டாக, இவை:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

பாவம்(5x+π /4) = கட்டில்(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

முதலியன...

ஆனால் இந்த (மற்றும் மற்ற அனைத்து) முக்கோணவியல் அரக்கர்கள் இரண்டு பொதுவான மற்றும் கட்டாய அம்சங்களைக் கொண்டுள்ளனர். முதலில் - நீங்கள் நம்பமாட்டீர்கள் - சமன்பாடுகளில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் உள்ளன.) இரண்டாவது: x உடன் அனைத்து வெளிப்பாடுகளும் காணப்படுகின்றன இதே செயல்பாடுகளுக்குள்.மற்றும் அங்கு மட்டுமே! X எங்காவது தோன்றினால் வெளியே,உதாரணத்திற்கு, sin2x + 3x = 3,இது ஏற்கனவே ஒரு சமன்பாடாக இருக்கும் கலப்பு வகை. இத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு தனிப்பட்ட அணுகுமுறை தேவைப்படுகிறது. அவற்றை இங்கு கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம்.

இந்தப் பாடத்திலும் தீய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க மாட்டோம்.) இங்கே நாம் சமாளிப்போம் எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.ஏன்? ஆம் ஏனெனில் தீர்வு ஏதேனும் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது. முதல் கட்டத்தில், பல்வேறு மாற்றங்களின் மூலம் தீய சமன்பாடு எளிமையான ஒன்றாக குறைக்கப்படுகிறது. இரண்டாவதாக, இந்த எளிய சமன்பாடு தீர்க்கப்படுகிறது. வேறு வழியில்லை.

எனவே, இரண்டாவது கட்டத்தில் உங்களுக்கு சிக்கல்கள் இருந்தால், முதல் நிலை மிகவும் அர்த்தமுள்ளதாக இருக்காது.)

அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் எப்படி இருக்கும்?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

இங்கே ஏ எந்த எண்ணையும் குறிக்கிறது. ஏதேனும்.

மூலம், ஒரு செயல்பாட்டிற்குள் ஒரு தூய X இல்லாமல் இருக்கலாம், ஆனால் சில வகையான வெளிப்பாடு, இது போன்றது:

cos(3x+π /3) = 1/2

முதலியன இது வாழ்க்கையை சிக்கலாக்குகிறது, ஆனால் முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை தீர்க்கும் முறையை பாதிக்காது.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கலாம். முதல் வழி: தர்க்கம் மற்றும் முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்துதல். இந்த பாதையை இங்கு பார்ப்போம். இரண்டாவது வழி - நினைவகம் மற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துதல் - அடுத்த பாடத்தில் விவாதிக்கப்படும்.

முதல் வழி தெளிவானது, நம்பகமானது மற்றும் மறக்க கடினமாக உள்ளது.) முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள், ஏற்றத்தாழ்வுகள் மற்றும் அனைத்து வகையான தந்திரமான தரமற்ற எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கு இது நல்லது. நினைவகத்தை விட தர்க்கம் வலிமையானது!)

முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

நாங்கள் அடிப்படை தர்க்கம் மற்றும் முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறனை உள்ளடக்குகிறோம். எப்படி என்று உங்களுக்குத் தெரியாதா? இருப்பினும்... டிரிகோனோமெட்ரியில் உங்களுக்கு கடினமாக இருக்கும்...) ஆனால் அது முக்கியமில்லை. "முக்கோணவியல் வட்டம்...... அது என்ன?" என்ற பாடங்களைப் பாருங்கள். மற்றும் "ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தில் கோணங்களை அளவிடுதல்." அங்கு எல்லாம் எளிமையானது. பாடப்புத்தகங்களைப் போலல்லாமல்...)

ஓ, தெரியுமா!? மேலும் "முக்கோணவியல் வட்டத்துடன் நடைமுறை வேலை" கூட மாஸ்டர்!? வாழ்த்துகள். இந்த தலைப்பு உங்களுக்கு நெருக்கமாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் இருக்கும்.) நீங்கள் எந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கிறீர்கள் என்பதை முக்கோணவியல் வட்டம் கவனிக்கவில்லை என்பது மிகவும் மகிழ்ச்சி அளிக்கிறது. சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோட்டான்ஜென்ட் - எல்லாமே அவருக்கு ஒன்றுதான். ஒரே ஒரு தீர்வு கொள்கை உள்ளது.

எனவே நாம் எந்த அடிப்படை முக்கோணவியல் சமன்பாட்டையும் எடுத்துக்கொள்கிறோம். குறைந்தபட்சம் இது:

cosx = 0.5

நாம் X ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நாம் பேசினால் மனித மொழி, வேண்டும் கோசைன் 0.5 ஆக இருக்கும் கோணத்தை (x) கண்டறியவும்.

நாம் முன்பு வட்டத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்தினோம்? அதில் ஒரு கோணத்தை வரைந்தோம். டிகிரி அல்லது ரேடியன்களில். மற்றும் உடனே பார்த்தேன் இந்த கோணத்தின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள். இப்போது எதிர் செய்வோம். வட்டத்தில் 0.5 க்கு சமமான மற்றும் உடனடியாக ஒரு கொசைனை வரைவோம் நாம் பார்ப்போம் மூலையில். பதிலை எழுதுவதுதான் மிச்சம்.) ஆம், ஆம்!

ஒரு வட்டத்தை வரைந்து, கோசைனை 0.5க்கு சமமாகக் குறிக்கவும். கொசைன் அச்சில், நிச்சயமாக. இது போன்ற:

இப்போது இந்த கொசைன் நமக்குத் தரும் கோணத்தை வரைவோம். படத்தின் மீது உங்கள் சுட்டியை வைக்கவும் (அல்லது உங்கள் டேப்லெட்டில் உள்ள படத்தைத் தொடவும்), மற்றும் நீங்கள் காண்பீர்கள்இந்த மூலையில் எக்ஸ்.

எந்த கோணத்தின் கொசைன் 0.5?

x = π /3

cos 60°= காஸ்( π /3) = 0,5

சிலர் சந்தேகத்துடன் சிரிப்பார்கள், ஆம்... எல்லாம் ஏற்கனவே தெளிவாக இருக்கும்போது ஒரு வட்டத்தை உருவாக்குவது மதிப்புக்குரியதா ... நீங்கள் நிச்சயமாக சிரிக்கலாம் ...) ஆனால் உண்மை என்னவென்றால் இது ஒரு தவறான பதில். அல்லது மாறாக, போதாது. 0.5 கோசைனைக் கொடுக்கும் மற்ற கோணங்களின் மொத்தக் கூட்டமும் இங்கே இருப்பதை வட்ட ஆர்வலர்கள் புரிந்துகொள்கிறார்கள்.

நீங்கள் நகரும் பக்க OA திரும்பினால் முழு திருப்பம், புள்ளி A அதன் அசல் நிலைக்குத் திரும்பும். அதே கொசைன் 0.5க்கு சமம். அந்த. கோணம் மாறும் 360° அல்லது 2π ரேடியன்கள், மற்றும் கொசைன் - இல்லை.புதிய கோணம் 60° + 360° = 420° நமது சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாக இருக்கும், ஏனெனில்

இப்படி எண்ணற்ற முழுமையான புரட்சிகளை உருவாக்க முடியும்... மேலும் இந்த புதிய கோணங்கள் அனைத்தும் நமது முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகளாக இருக்கும். மேலும் அவை அனைத்தும் பதிலுக்கு எப்படியாவது எழுதப்பட வேண்டும். அனைத்து.இல்லையெனில், முடிவு கணக்கிடப்படாது, ஆம்...)

கணிதம் இதை எளிமையாகவும் நேர்த்தியாகவும் செய்ய முடியும். ஒரு குறுகிய பதிலில் எழுதுங்கள் எல்லையற்ற தொகுப்புமுடிவுகள். எங்கள் சமன்பாட்டிற்கு இது எப்படி இருக்கும் என்பது இங்கே:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

நான் அதை புரிந்துகொள்கிறேன். இன்னும் எழுதுங்கள் அர்த்தமுள்ளதாகசில மர்மமான எழுத்துக்களை முட்டாள்தனமாக வரைவதை விட இது மிகவும் இனிமையானது, இல்லையா?)

π /3 - இது நாம் இருக்கும் அதே மூலை பார்த்தேன்வட்டத்தில் மற்றும் தீர்மானிக்கப்பட்டதுகொசைன் அட்டவணையின்படி.

2π ரேடியன்களில் ஒரு முழுமையான புரட்சி.

n - இது முழுமையானவற்றின் எண்ணிக்கை, அதாவது. முழுவதும்ஆர்பிஎம் என்பது தெளிவாகிறது n 0, ±1, ±2, ±3.... மற்றும் பலவற்றிற்கு சமமாக இருக்கலாம். குறுகிய பதிவில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளபடி:

n ∈ Z

n சொந்தமானது ( ∈ முழு எண்களின் தொகுப்பு ( Z ) மூலம், கடிதத்திற்கு பதிலாக n எழுத்துக்களை நன்றாகப் பயன்படுத்தலாம் கே, மீ, டி முதலியன

இந்த குறியீடானது நீங்கள் எந்த முழு எண்ணையும் எடுக்கலாம் n . குறைந்தது -3, குறைந்தது 0, குறைந்தது +55. என்ன வேணும்னாலும். இந்த எண்ணை நீங்கள் பதிலில் மாற்றினால், நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தைப் பெறுவீர்கள், இது நிச்சயமாக எங்கள் கடுமையான சமன்பாட்டிற்கு தீர்வாக இருக்கும்.)

அல்லது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், x = π /3 எல்லையற்ற தொகுப்பின் ஒரே வேர். மற்ற அனைத்து வேர்களையும் பெற, π /3 ( n ) ரேடியன்களில். அந்த. 2πn ரேடியன்.

அனைத்து? இல்லை. நான் வேண்டுமென்றே மகிழ்ச்சியை நீட்டிக்கிறேன். நன்றாக நினைவில் கொள்ள.) எங்கள் சமன்பாட்டிற்கான பதில்களில் ஒரு பகுதியை மட்டுமே நாங்கள் பெற்றோம். தீர்வின் முதல் பகுதியை இப்படி எழுதுகிறேன்:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ஒரு ரூட் மட்டுமல்ல, ஒரு முழுத் தொடர் வேர்கள், குறுகிய வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன.

ஆனால் 0.5 கொசைனைக் கொடுக்கும் கோணங்களும் உள்ளன!

பதிலை எழுதிய நம் படத்திற்கு வருவோம். இதோ அவள்:

படத்தின் மீது உங்கள் சுட்டியை வட்டமிடுங்கள் நாங்கள் பார்க்கிறோம்மற்றொரு கோணம் 0.5 என்ற கொசைனையும் கொடுக்கிறது.இது எதற்கு சமம் என்று நினைக்கிறீர்கள்? முக்கோணங்களும் ஒன்றே... ஆம்! அவர் கோணத்திற்கு சமம் எக்ஸ் , எதிர்மறை திசையில் மட்டுமே தாமதம். இதுதான் மூலை -எக்ஸ். ஆனால் நாம் ஏற்கனவே x கணக்கிட்டுள்ளோம். π /3 அல்லது 60°. எனவே, நாம் பாதுகாப்பாக எழுதலாம்:

x 2 = - π /3

சரி, நிச்சயமாக, முழு புரட்சிகள் மூலம் பெறப்பட்ட அனைத்து கோணங்களையும் நாங்கள் சேர்க்கிறோம்:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

இப்போது அவ்வளவுதான்.) முக்கோணவியல் வட்டத்தில் நாம் பார்த்தேன்(நிச்சயமாக யார் புரிந்துகொள்கிறார்கள்)) அனைத்து 0.5 கோசைனைக் கொடுக்கும் கோணங்கள். இந்த கோணங்களை சுருக்கமாக எழுதினார் கணித வடிவம். பதில் இரண்டு முடிவிலா தொடர் வேர்களை விளைவித்தது:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

இதுவே சரியான விடை.

நம்பிக்கை, முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான கொள்கைஒரு வட்டத்தைப் பயன்படுத்துவது தெளிவாக உள்ளது. ஒரு வட்டத்தில் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து கொசைன் (sine, tangent, cotangent) குறியிட்டு, அதற்குரிய கோணங்களை வரைந்து பதிலை எழுதுகிறோம்.நிச்சயமாக, நாம் என்ன மூலைகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் பார்த்தேன்வட்டத்தில். சில நேரங்களில் அது அவ்வளவு தெளிவாக இல்லை. சரி, இங்கே தர்க்கம் தேவை என்று சொன்னேன்.)

எடுத்துக்காட்டாக, மற்றொரு முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம்:

சமன்பாடுகளில் 0.5 என்ற எண் மட்டுமே சாத்தியமான எண் அல்ல என்பதை நினைவில் கொள்க!) வேர்கள் மற்றும் பின்னங்களை விட இதை எழுதுவது எனக்கு மிகவும் வசதியானது.

நாங்கள் பொதுவான கொள்கையின்படி செயல்படுகிறோம். நாம் ஒரு வட்டத்தை வரைகிறோம், குறி (சைன் அச்சில், நிச்சயமாக!) 0.5. இந்த சைனுடன் தொடர்புடைய அனைத்து கோணங்களையும் ஒரே நேரத்தில் வரைகிறோம். இந்த படத்தைப் பெறுகிறோம்:

முதலில் கோணத்தை கையாள்வோம் எக்ஸ் முதல் காலாண்டில். நாம் சைன்களின் அட்டவணையை நினைவுபடுத்துகிறோம் மற்றும் இந்த கோணத்தின் மதிப்பை தீர்மானிக்கிறோம். இது ஒரு எளிய விஷயம்:

x = π /6

முழு திருப்பங்களைப் பற்றி நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம், தெளிவான மனசாட்சியுடன், முதல் தொடர் பதில்களை எழுதுங்கள்:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

பாதி வேலை முடிந்தது. ஆனால் இப்போது நாம் தீர்மானிக்க வேண்டும் இரண்டாவது மூலையில்...கொசைன்களைப் பயன்படுத்துவதை விட இது தந்திரமானது, ஆம்... ஆனால் தர்க்கம் நம்மைக் காப்பாற்றும்! இரண்டாவது கோணத்தை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது x மூலம்? ஆம் எளிதானது! படத்தில் உள்ள முக்கோணங்கள் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் சிவப்பு மூலையில் உள்ளன எக்ஸ் கோணத்திற்கு சமம் எக்ஸ் . எதிர்மறை திசையில் π கோணத்தில் இருந்து மட்டுமே அது கணக்கிடப்படுகிறது. அதனால்தான் இது சிவப்பு.) மேலும் பதிலுக்கு நமக்கு ஒரு கோணம் தேவை, சரியாக அளவிடப்படுகிறது, நேர்மறை அரை-அச்சு OX, அதாவது. 0 டிகிரி கோணத்தில் இருந்து.

வரைபடத்தின் மேல் கர்சரை வைத்து எல்லாவற்றையும் பார்க்கிறோம். படத்தை சிக்கலாக்காதபடி முதல் மூலையை அகற்றினேன். நாம் விரும்பும் கோணம் (பச்சை நிறத்தில் வரையப்பட்டது) இதற்கு சமமாக இருக்கும்:

π - x

X இது எங்களுக்குத் தெரியும் π /6 . எனவே, இரண்டாவது கோணம் இருக்கும்:

π - π /6 = 5π /6

முழு புரட்சிகளைச் சேர்ப்பதைப் பற்றி மீண்டும் நினைவில் வைத்து, இரண்டாவது தொடர் பதில்களை எழுதுகிறோம்:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

அவ்வளவுதான். ஒரு முழுமையான பதில் இரண்டு தொடர் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான கொள்கையைப் பயன்படுத்தி தொடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் சமன்பாடுகளை எளிதாகத் தீர்க்க முடியும். ஒரு முக்கோணவியல் வட்டத்தில் தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் எப்படி வரைய வேண்டும் என்பது உங்களுக்குத் தெரிந்திருந்தால்.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில், நான் சைன் மற்றும் கொசைனின் அட்டவணை மதிப்பைப் பயன்படுத்தினேன்: 0.5. அந்த. மாணவருக்குத் தெரிந்த அர்த்தங்களில் ஒன்று வேண்டும்.இப்போது நமது திறன்களை விரிவுபடுத்துவோம் மற்ற அனைத்து மதிப்புகள்.முடிவு செய்யுங்கள், எனவே முடிவு செய்யுங்கள்!)

எனவே, இந்த முக்கோணவியல் சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று சொல்லலாம்:

அத்தகைய கொசைன் மதிப்பு சுருக்கமான அட்டவணைகள்இல்லை. இந்த பயங்கரமான உண்மையை நாங்கள் அமைதியாக புறக்கணிக்கிறோம். ஒரு வட்டத்தை வரையவும், கோசைன் அச்சில் 2/3 ஐக் குறிக்கவும் மற்றும் தொடர்புடைய கோணங்களை வரையவும். இந்தப் படம் நமக்குக் கிடைக்கிறது.

முதலில், முதல் காலாண்டில் கோணத்தில் பார்க்கலாம். x என்றால் என்ன என்று தெரிந்தால் உடனே பதிலை எழுதி விடுவோம்! நமக்குத் தெரியாது... தோல்வி!? அமைதி! கணிதம் அதன் சொந்த மக்களை சிக்கலில் விடாது! அவள் இந்த வழக்கிற்காக ஆர்க் கொசைன்களை கொண்டு வந்தாள். தெரியாது? வீண். கண்டுபிடிக்கவும், நீங்கள் நினைப்பதை விட இது மிகவும் எளிதானது. இந்த இணைப்பில் "தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள்" பற்றி ஒரு தந்திரமான எழுத்துப்பிழை இல்லை... இந்த தலைப்பில் இது மிகையானது.

உங்களுக்குத் தெரிந்திருந்தால், நீங்களே சொல்லுங்கள்: "எக்ஸ் என்பது கோசைன் 2/3க்கு சமமான கோணம்." உடனடியாக, ஆர்க் கொசைனின் வரையறையின்படி, நாம் எழுதலாம்:

கூடுதல் புரட்சிகளைப் பற்றி நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம் மற்றும் எங்கள் முக்கோணவியல் சமன்பாட்டின் வேர்களின் முதல் தொடரை அமைதியாக எழுதுகிறோம்:

x 1 = ஆர்க்கோஸ் 2/3 + 2π n, n ∈ Z

இரண்டாவது கோணத்திற்கான இரண்டாவது தொடர் வேர்கள் தானாகவே எழுதப்படும். எல்லாம் ஒன்றுதான், எக்ஸ் (ஆர்க்கோஸ் 2/3) மட்டுமே மைனஸுடன் இருக்கும்:

x 2 = - ஆர்க்கோஸ் 2/3 + 2π n, n ∈ Z

அவ்வளவுதான்! இதுவே சரியான விடை. அட்டவணை மதிப்புகளைக் காட்டிலும் எளிதானது. எதையும் நினைவில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டிய அவசியமில்லை.) இந்த படம் ஆர்க் கொசைன் மூலம் தீர்வைக் காட்டுகிறது என்பதை மிகவும் கவனத்துடன் கவனிப்பார்கள். சாராம்சத்தில், cosx = 0.5 என்ற சமன்பாட்டிற்கான படத்திலிருந்து வேறுபட்டது இல்லை.

சரியாக! பொதுவான கொள்கைஅதனால்தான் இது பொதுவானது! கிட்டத்தட்ட ஒரே மாதிரியான இரண்டு படங்களை வேண்டுமென்றே வரைந்தேன். வட்டம் நமக்கு கோணத்தைக் காட்டுகிறது எக்ஸ் அதன் கொசைன் மூலம். இது டேபுலர் கொசைனா இல்லையா என்பது அனைவருக்கும் தெரியாது. இது என்ன வகையான கோணம், π /3, அல்லது ஆர்க் கொசைன் என்றால் என்ன - அதை நாம்தான் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

சைனுடன் அதே பாடல். உதாரணத்திற்கு:

மீண்டும் ஒரு வட்டத்தை வரையவும், சைனை 1/3 க்கு சமமாகக் குறிக்கவும், கோணங்களை வரையவும். நமக்குக் கிடைத்த படம் இதுதான்:

மீண்டும் படம் கிட்டத்தட்ட சமன்பாட்டைப் போலவே உள்ளது sinx = 0.5.மீண்டும் நாம் முதல் காலாண்டில் மூலையில் இருந்து தொடங்குகிறோம். அதன் சைன் 1/3 என்றால் X என்பது எதற்கு சமம்? எந்த பிரச்சினையும் இல்லை!

இப்போது வேர்களின் முதல் பேக் தயாராக உள்ளது:

x 1 = ஆர்க்சின் 1/3 + 2π n, n ∈ Z

இரண்டாவது கோணத்தை கையாள்வோம். 0.5 அட்டவணை மதிப்பு கொண்ட எடுத்துக்காட்டில், இது சமமாக இருந்தது:

π - x

இங்கேயும் சரியாகவே இருக்கும்! x மட்டும் வேறுபட்டது, ஆர்க்சின் 1/3. அதனால் என்ன!? இரண்டாவது பேக் வேர்களை நீங்கள் பாதுகாப்பாக எழுதலாம்:

x 2 = π - ஆர்க்சின் 1/3 + 2π n, n ∈ Z

இது முற்றிலும் சரியான பதில். இது மிகவும் பழக்கமானதாகத் தெரியவில்லை என்றாலும். ஆனால் அது தெளிவாக உள்ளது, நான் நம்புகிறேன்.)

ஒரு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் இப்படித்தான் தீர்க்கப்படுகின்றன. இந்த பாதை தெளிவாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் இருக்கிறது. ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியில், முக்கோணவியல் ஏற்றத்தாழ்வுகளில் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளில் சேமிப்பவர் அவர்தான் - அவை பொதுவாக எப்போதும் ஒரு வட்டத்தில் தீர்க்கப்படுகின்றன. சுருக்கமாக, எந்தவொரு பணியிலும் நிலையானவற்றை விட சற்று கடினமாக இருக்கும்.

அறிவை நடைமுறையில் பயன்படுத்தலாமா?)

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

இந்த பாடத்திலிருந்து முதலில், எளிமையானது.

இப்போது அது மிகவும் சிக்கலானது.

குறிப்பு: இங்கே நீங்கள் வட்டத்தைப் பற்றி சிந்திக்க வேண்டும். தனிப்பட்ட முறையில்.)

இப்போது அவை வெளிப்புறமாக எளிமையானவை ... அவை சிறப்பு வழக்குகள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

குறிப்பு: இங்கே நீங்கள் ஒரு வட்டத்தில் இரண்டு தொடர் பதில்கள் மற்றும் ஒன்று எங்கே என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்... மேலும் இரண்டு தொடர் பதில்களுக்குப் பதிலாக ஒன்றை எழுதுவது எப்படி. ஆம், முடிவில்லாத எண்ணிலிருந்து ஒரு ரூட் கூட இழக்கப்படாது!)

சரி, மிகவும் எளிமையானது):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

குறிப்பு: ஆர்க்சைன் மற்றும் ஆர்க்கோசின் என்ன என்பதை இங்கே நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்? ஆர்க்டேன்ஜென்ட், ஆர்க்கோடேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன? மிகவும் எளிய வரையறைகள். ஆனால் நீங்கள் எந்த அட்டவணை மதிப்புகளையும் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டியதில்லை!)

பதில்கள், நிச்சயமாக, ஒரு குழப்பம்:

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - ஆர்க்சின்0.3 + 2

எல்லாம் சரியாகவில்லையா? நடக்கும். பாடத்தை மீண்டும் படியுங்கள். மட்டுமே சிந்தனையுடன்(அப்படி இருக்கிறது வழக்கற்றுப் போன சொல்...) மற்றும் இணைப்புகளைப் பின்பற்றவும். முக்கிய இணைப்புகள் வட்டத்தைப் பற்றியது. அது இல்லாமல், முக்கோணவியல் என்பது கண்களை மூடிக்கொண்டு சாலையைக் கடப்பது போன்றது. சில நேரங்களில் அது வேலை செய்கிறது.)

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.

மிகவும் சிக்கலான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்

சமன்பாடுகள்

பாவம் x = a,
cos x = a,
டிஜி x = a,
ctg x = a

எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள். இந்த பத்தியில் குறிப்பிட்ட உதாரணங்கள்நாம் மிகவும் சிக்கலான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம். அவற்றின் தீர்வு, ஒரு விதியாக, எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் இறங்குகிறது.

உதாரணமாக 1 . சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

பாவம் 2 எக்ஸ்= காஸ் எக்ஸ்பாவம் 2 எக்ஸ்.

இந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் இடது பக்கத்திற்கு மாற்றி, அதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டைக் காரணியாக்குவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

பாவம் 2 எக்ஸ்(1 - காஸ் எக்ஸ்) = 0.

இரண்டு வெளிப்பாடுகளின் பலன் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். எண் மதிப்பு, அது வரையறுக்கப்படும் வரை.

என்றால் பாவம் 2 எக்ஸ் = 0 , பின்னர் 2 எக்ஸ்= என் π ; எக்ஸ் = π / 2 என்.

என்றால் 1 - காஸ் எக்ஸ் = 0 , பிறகு cos எக்ஸ் = 1; எக்ஸ் = 2kπ .

எனவே, எங்களுக்கு இரண்டு குழுக்களின் வேர்கள் கிடைத்துள்ளன: எக்ஸ் = π / 2 என்; எக்ஸ் = 2kπ . n = 4k க்கு வெளிப்பாடு என்பதால், வேர்களின் இரண்டாவது குழு முதலில் முதலில் உள்ளது எக்ஸ் = π / 2 என்ஆகிறது
எக்ஸ் = 2kπ .

எனவே, பதிலை ஒரு சூத்திரத்தில் எழுதலாம்: எக்ஸ் = π / 2 என், எங்கே n- எந்த முழு எண்.

இந்த சமன்பாட்டை sin 2 ஆல் குறைப்பதன் மூலம் தீர்க்க முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்க எக்ஸ். உண்மையில், குறைத்த பிறகு நாம் 1 - cos x = 0, எங்கிருந்து பெறுவோம் எக்ஸ்= 2k π . எனவே நாம் சில வேர்களை இழப்போம், உதாரணமாக π / 2 , π , 3π / 2 .

எடுத்துக்காட்டு 2.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

ஒரு பின்னம் அதன் எண் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.
அதனால் தான் பாவம் 2 எக்ஸ் = 0 , எங்கிருந்து 2 எக்ஸ்= என் π ; எக்ஸ் = π / 2 என்.

இந்த மதிப்புகளிலிருந்து எக்ஸ் நீங்கள் அந்த மதிப்புகளை புறம்பானதாக தூக்கி எறிய வேண்டும் பாவம்எக்ஸ் பூஜ்ஜியத்திற்குச் செல்கிறது (பூஜ்ஜியப் பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களுக்கு அர்த்தம் இல்லை: பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் வரையறுக்கப்படவில்லை). இந்த மதிப்புகள் பல மடங்குகளாக இருக்கும் எண்கள் π . சூத்திரத்தில்
எக்ஸ் = π / 2 என்அவை சமமாகப் பெறப்படுகின்றன n. எனவே, இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்களாக இருக்கும்

எக்ஸ் = π / 2 (2k + 1),

k என்பது எந்த முழு எண்.

உதாரணமாக 3 . சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

2 பாவம் 2 எக்ஸ்+ 7 காஸ் எக்ஸ் - 5 = 0.

வெளிப்படுத்துவோம் பாவம் 2 எக்ஸ் மூலம் cosஎக்ஸ் : பாவம் 2 எக்ஸ் = 1 - காஸ் 2எக்ஸ் . பின்னர் இந்த சமன்பாட்டை இவ்வாறு மீண்டும் எழுதலாம்

2 (1 - காஸ் 2 எக்ஸ்) + 7கோஸ் எக்ஸ் - 5 = 0 , அல்லது

2 காஸ் 2 எக்ஸ்- 7 காஸ் எக்ஸ் + 3 = 0.

நியமித்தல் cosஎக்ஸ் மூலம் மணிக்கு, நாம் இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம்

2у 2 - 7у + 3 = 0,

அதன் வேர்கள் எண்கள் 1/2 மற்றும் 3 ஆகும். இதன் பொருள் ஒன்று cos எக்ஸ்= 1/2, அல்லது விலை எக்ஸ்= 3. இருப்பினும், பிந்தையது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் எந்த கோணத்தின் கொசைன் முழுமையான மதிப்பில் 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லை.

அதை ஒப்புக்கொள்ள வேண்டியதுதான் cos எக்ஸ் = 1 / 2 , எங்கே

எக்ஸ் = ± 60° + 360° n.

உதாரணமாக 4 . சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

2 பாவம் எக்ஸ்+ 3 காஸ் எக்ஸ் = 6.

பாவம் என்பதால் எக்ஸ்மற்றும் cos எக்ஸ்முழுமையான மதிப்பில் 1 ஐ விட அதிகமாக இல்லை, பின்னர் வெளிப்பாடு
2 பாவம் எக்ஸ்+ 3 காஸ் எக்ஸ் விட அதிகமான மதிப்புகளை எடுக்க முடியாது 5 . எனவே, இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.

உதாரணமாக 5 . சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

பாவம் எக்ஸ்+காஸ் எக்ஸ் = 1

இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிப்பதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

பாவம் 2 எக்ஸ்+ 2 பாவம் எக்ஸ் cos எக்ஸ்+ காஸ் 2 எக்ஸ் = 1,

ஆனாலும் பாவம் 2 எக்ஸ் + காஸ் 2 எக்ஸ் = 1 . அதனால் தான் 2 பாவம் எக்ஸ் cos எக்ஸ் = 0 . என்றால் பாவம் எக்ஸ் = 0 , அந்த எக்ஸ் = nπ ; என்றால்
cos எக்ஸ் , அந்த எக்ஸ் = π / 2 + கேπ . இந்த இரண்டு குழுக்களின் தீர்வுகளை ஒரு சூத்திரத்தில் எழுதலாம்:

எக்ஸ் = π / 2 என்

இந்தச் சமன்பாட்டின் இருபக்கங்களையும் நாம் ஸ்கொயர் செய்ததால், நாம் பெற்ற வேர்களில் வெளிப்புற வேர்கள் இருக்க வாய்ப்புள்ளது. அதனால்தான் இந்த எடுத்துக்காட்டில், முந்தைய அனைத்தையும் போலல்லாமல், ஒரு காசோலை செய்ய வேண்டியது அவசியம். அனைத்து அர்த்தங்களும்

எக்ஸ் = π / 2 என் 4 குழுக்களாக பிரிக்கலாம்

	1) எக்ஸ் = 2kπ .	(n = 4k)
	2) எக்ஸ் = π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) எக்ஸ் = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) எக்ஸ் = 3π / 2 + 2kπ .	(n = 4k + 3)

மணிக்கு எக்ஸ் = 2kπபாவம் எக்ஸ்+காஸ் எக்ஸ்= 0 + 1 = 1. எனவே, எக்ஸ் = 2kπஇந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

மணிக்கு எக்ஸ் = π / 2 + 2kπ. பாவம் எக்ஸ்+காஸ் எக்ஸ்= 1 + 0 = 1 எனவே எக்ஸ் = π / 2 + 2kπ- இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களும்.

மணிக்கு எக்ஸ் = π + 2kπபாவம் எக்ஸ்+காஸ் எக்ஸ்= 0 - 1 = - 1. எனவே, மதிப்புகள் எக்ஸ் = π + 2kπஇந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் அல்ல. அது போலவே காட்டப்பட்டுள்ளது எக்ஸ் = 3π / 2 + 2kπ. வேர்கள் அல்ல.

எனவே, இந்த சமன்பாடு பின்வரும் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: எக்ஸ் = 2kπமற்றும் எக்ஸ் = π / 2 + 2mπ., எங்கே கேமற்றும் மீ- எந்த முழு எண்கள்.

பலவற்றை தீர்க்கும் போது கணித சிக்கல்கள், குறிப்பாக 10 ஆம் வகுப்புக்கு முன் நிகழும் செயல்கள், இலக்கை அடைய வழிவகுக்கும் செயல்களின் வரிசை தெளிவாக வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. இத்தகைய சிக்கல்கள், எடுத்துக்காட்டாக, நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகள், நேரியல் மற்றும் இருபடி ஏற்றத்தாழ்வுகள், பகுதி சமன்பாடுகள் மற்றும் இருபடிக்கு குறைக்கும் சமன்பாடுகள். குறிப்பிடப்பட்ட ஒவ்வொரு சிக்கலையும் வெற்றிகரமாக தீர்ப்பதற்கான கொள்கை பின்வருமாறு: நீங்கள் எந்த வகையான சிக்கலை தீர்க்கிறீர்கள் என்பதை நீங்கள் நிறுவ வேண்டும், விரும்பிய முடிவுக்கு வழிவகுக்கும் செயல்களின் தேவையான வரிசையை நினைவில் கொள்ளுங்கள், அதாவது. பதில் மற்றும் இந்த வழிமுறைகளை பின்பற்றவும்.

ஒரு குறிப்பிட்ட சிக்கலைத் தீர்ப்பதில் வெற்றி அல்லது தோல்வி முக்கியமாக தீர்க்கப்படும் சமன்பாட்டின் வகை எவ்வளவு சரியாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அதன் தீர்வின் அனைத்து நிலைகளின் வரிசையும் எவ்வளவு சரியாக மீண்டும் உருவாக்கப்படுகிறது என்பதைப் பொறுத்தது என்பது வெளிப்படையானது. நிச்சயமாக, இந்த விஷயத்தில் ஒரே மாதிரியான மாற்றங்கள் மற்றும் கணக்கீடுகளைச் செய்வதற்கான திறன்கள் அவசியம்.

உடன் நிலைமை வேறு முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்.சமன்பாடு முக்கோணவியல் என்பதை நிறுவுவது கடினம் அல்ல. சரியான பதிலுக்கு வழிவகுக்கும் செயல்களின் வரிசையை தீர்மானிக்கும்போது சிரமங்கள் எழுகின்றன.

மூலம் தோற்றம்சமன்பாடு, அதன் வகையை தீர்மானிக்க சில நேரங்களில் கடினமாக உள்ளது. சமன்பாட்டின் வகையை அறியாமல், பல டஜன் முக்கோணவியல் சூத்திரங்களிலிருந்து சரியான ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பது கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது.

முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் முயற்சிக்க வேண்டும்:

1. சமன்பாட்டில் உள்ள அனைத்து செயல்பாடுகளையும் "ஒரே கோணங்களுக்கு" கொண்டு வரவும்;
2. சமன்பாட்டை "ஒரே மாதிரியான செயல்பாடுகளுக்கு" கொண்டு வாருங்கள்;
3. சமன்பாட்டின் இடது பக்க காரணி, முதலியன.

கருத்தில் கொள்வோம் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள்.

I. எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளுக்கான குறைப்பு

தீர்வு வரைபடம்

படி 1.எக்ஸ்பிரஸ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுஅறியப்பட்ட கூறுகள் மூலம்.

படி 2.சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி செயல்பாட்டு வாதத்தைக் கண்டறியவும்:

cos x = a; x = ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

பாவம் x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

டான் x = a; x = ஆர்க்டான் a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

படி 3.அறியப்படாத மாறியைக் கண்டறியவும்.

உதாரணமாக.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

தீர்வு.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

பதில்: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. மாறி மாற்று

தீர்வு வரைபடம்

படி 1.முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளில் ஒன்றைப் பொறுத்து சமன்பாட்டை இயற்கணித வடிவத்திற்குக் குறைக்கவும்.

படி 2.இதன் விளைவாக வரும் செயல்பாட்டை t மாறியால் குறிக்கவும் (தேவைப்பட்டால், t மீது கட்டுப்பாடுகளை அறிமுகப்படுத்தவும்).

படி 3.இதன் விளைவாக வரும் இயற்கணித சமன்பாட்டை எழுதி தீர்க்கவும்.

படி 4.தலைகீழ் மாற்றீடு செய்யுங்கள்.

படி 5.எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

உதாரணமாக.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

தீர்வு.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) பாவம் (x/2) = t, எங்கே |t| ≤ 1.

3) 2டி 2 + 5டி + 3 = 0;

t = 1 அல்லது e = -3/2, நிபந்தனையை |t| பூர்த்தி செய்யவில்லை ≤ 1.

4) பாவம்(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

பதில்: x = π + 4πn, n Є Z.

III. சமன்பாடு வரிசை குறைப்பு முறை

தீர்வு வரைபடம்

படி 1.பட்டத்தைக் குறைப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாட்டை நேரியல் ஒன்றுடன் மாற்றவும்:

பாவம் 2 x = 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

படி 2. I மற்றும் II முறைகளைப் பயன்படுத்தி விளைவாக சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

உதாரணமாக.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

தீர்வு.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 காஸ் 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

பதில்: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்

தீர்வு வரைபடம்

படி 1.இந்த சமன்பாட்டை படிவத்தில் குறைக்கவும்

a) a sin x + b cos x = 0 (முதல் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு)

அல்லது பார்வைக்கு

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு).

படி 2.சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வகுக்கவும்

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

டான் xக்கான சமன்பாட்டைப் பெறவும்:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

படி 3.அறியப்பட்ட முறைகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

உதாரணமாக.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

தீர்வு.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) tg x = t, பிறகு

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 அல்லது t = -4, அதாவது

tg x = 1 அல்லது tg x = -4.

முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து x = π/4 + πn, n Є Z; இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

பதில்: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

வி. முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு சமன்பாட்டை மாற்றும் முறை

தீர்வு வரைபடம்

படி 1.சாத்தியமான அனைத்து முக்கோணவியல் சூத்திரங்களையும் பயன்படுத்தி, இந்த சமன்பாட்டை I, II, III, IV முறைகள் மூலம் தீர்க்கப்படும் சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கவும்.

படி 2.அறியப்பட்ட முறைகளைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

உதாரணமாக.

பாவம் x + பாவம் 2x + பாவம் 3x = 0.

தீர்வு.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

பாவம் 2x = 0 அல்லது 2cos x + 1 = 0;

முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து 2x = π/2 + πn, n Є Z; இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து cos x = -1/2.

எங்களிடம் x = π/4 + πn/2, n Є Z; இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

இதன் விளைவாக, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

பதில்: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் திறனும் திறமையும் மிக அதிகம் முக்கியமானது, அவர்களின் வளர்ச்சிக்கு மாணவர் மற்றும் ஆசிரியரின் தரப்பில் குறிப்பிடத்தக்க முயற்சி தேவைப்படுகிறது.

ஸ்டீரியோமெட்ரி, இயற்பியல் போன்றவற்றின் பல சிக்கல்கள் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வோடு தொடர்புடையவை.

முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் பொதுவாக கணிதம் மற்றும் தனிப்பட்ட வளர்ச்சியைக் கற்கும் செயல்பாட்டில் முக்கிய இடத்தைப் பெறுகின்றன.

இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா? முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று தெரியவில்லையா?
ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.
முதல் பாடம் இலவசம்!

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

முக்கோணவியலின் அடிப்படை சூத்திரங்கள் பற்றிய அறிவு தேவை - சைன் மற்றும் கொசைன் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை, சைன் மற்றும் கொசைன் மூலம் தொடுகின் வெளிப்பாடு மற்றும் பிற. அவற்றை மறந்துவிட்ட அல்லது தெரியாதவர்களுக்கு, "" கட்டுரையைப் படிக்க பரிந்துரைக்கிறோம்.
எனவே, அடிப்படை முக்கோணவியல் சூத்திரங்களை நாங்கள் அறிவோம், அவற்றை நடைமுறையில் பயன்படுத்த வேண்டிய நேரம் இது. முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதுமணிக்கு சரியான அணுகுமுறை- போதும் உற்சாகமான செயல்பாடுஎடுத்துக்காட்டாக, ரூபிக் கனசதுரத்தைத் தீர்ப்பது போன்றது.

பெயரின் அடிப்படையில், முக்கோணவியல் சமன்பாடு என்பது முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் தெரியாத ஒரு சமன்பாடு என்பது தெளிவாகிறது.
எளிமையான முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுபவை உள்ளன. அவை எப்படி இருக்கும் என்பது இங்கே: sinx = a, cos x = a, tan x = a. கருத்தில் கொள்வோம் அத்தகைய முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது, தெளிவுக்காக, ஏற்கனவே தெரிந்த முக்கோணவியல் வட்டத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

sinx = a

cos x = a

டான் x = a

கட்டில் x = a

எந்த முக்கோணவியல் சமன்பாடும் இரண்டு நிலைகளில் தீர்க்கப்படுகிறது: சமன்பாட்டை அதன் எளிய வடிவத்திற்குக் குறைத்து, அதை ஒரு எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாடாக தீர்க்கிறோம்.
முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் தீர்க்கப்படும் 7 முக்கிய முறைகள் உள்ளன.

1. மாறி மாற்று மற்றும் மாற்று முறை

2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

குறைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

cos(x + /6) ஐ y உடன் மாற்றவும், எளிமைப்படுத்தவும் வழக்கமான இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறவும்:

2y 2 – 3y + 1 + 0

இதன் வேர்கள் y 1 = 1, y 2 = 1/2

இப்போது தலைகீழ் வரிசையில் செல்லலாம்

y இன் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்புகளை நாங்கள் மாற்றுகிறோம் மற்றும் இரண்டு பதில் விருப்பங்களைப் பெறுகிறோம்:

2. காரணியாக்கம் மூலம் முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

sin x + cos x = 1 சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?

எல்லாவற்றையும் இடதுபுறமாக நகர்த்துவோம், இதனால் 0 வலதுபுறத்தில் இருக்கும்:

sin x + cos x – 1 = 0

சமன்பாட்டை எளிதாக்க மேலே விவாதிக்கப்பட்ட அடையாளங்களைப் பயன்படுத்துவோம்:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

காரணியாக்குவோம்:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

நாம் இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பெறுகிறோம்

3. ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டிற்கு குறைப்பு

ஒரு சமன்பாடு சைன் மற்றும் கொசைனைப் பொறுத்து ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், அதன் அனைத்து விதிமுறைகளும் ஒரே கோணத்தின் அதே அளவிலான சைன் மற்றும் கொசைனுடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால். ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, பின்வருமாறு தொடரவும்:

a) அதன் அனைத்து உறுப்பினர்களையும் இடது பக்கத்திற்கு மாற்றவும்;

b) அனைத்து பொதுவான காரணிகளையும் அடைப்புக்குறிக்குள் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்;

c) அனைத்து காரணிகளையும் அடைப்புக்குறிகளையும் 0க்கு சமன்;

ஈ) குறைந்த பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு அடைப்புக்குறிக்குள் பெறப்படுகிறது, இது அதிக அளவு சைன் அல்லது கொசைனாக பிரிக்கப்படுகிறது;

e) tgக்கான சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்

sin 2 x + cos 2 x = 1 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி வலதுபுறத்தில் திறந்த இரண்டை அகற்றுவோம்:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x ஆல் வகுக்க:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x ஐ y உடன் மாற்றி இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறவும்:

y 2 + 4y +3 = 0, இதன் வேர்கள் y 1 =1, y 2 = 3

இங்கிருந்து அசல் சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு தீர்வுகளைக் காணலாம்:

x 2 = ஆர்க்டான் 3 + கே

4. அரை கோணத்திற்கு மாற்றுவதன் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

3sin x – 5cos x = 7 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

x/2 க்கு செல்லலாம்:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

எல்லாவற்றையும் இடது பக்கம் நகர்த்துவோம்:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos (x/2) ஆல் வகுக்கவும்:

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

5. துணை கோணத்தின் அறிமுகம்

கருத்தில் கொள்ள, படிவத்தின் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம்: a sin x + b cos x = c,

இதில் a, b, c என்பது சில தன்னிச்சையான குணகங்கள், மற்றும் x என்பது தெரியவில்லை.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிப்போம்:



இப்போது சமன்பாட்டின் குணகங்கள் படி முக்கோணவியல் சூத்திரங்கள்பாவம் மற்றும் காஸ் ஆகிய பண்புகளைக் கொண்டிருக்கின்றன, அதாவது: அவற்றின் மாடுலஸ் 1க்கு மேல் இல்லை மற்றும் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை = 1. அவற்றை முறையே காஸ் மற்றும் சின் என குறிப்பிடுவோம், எங்கே - இது துணைக் கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:

cos * sin x + sin * cos x = C

அல்லது sin(x + ) = C

இந்த எளிய முக்கோணவியல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு

x = (-1) k * arcsin C - + k, எங்கே



காஸ் மற்றும் சின் குறியீடுகள் ஒன்றுக்கொன்று மாறக்கூடியவை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

sin 3x – cos 3x = 1 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள குணகங்கள்:

a = , b = -1, எனவே இரு பக்கங்களையும் = 2 ஆல் வகுக்கவும்

உங்கள் தனியுரிமையை பராமரிப்பது எங்களுக்கு முக்கியம். இந்த காரணத்திற்காக, உங்கள் தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் சேமிப்போம் என்பதை விவரிக்கும் தனியுரிமைக் கொள்கையை நாங்கள் உருவாக்கியுள்ளோம். எங்கள் தனியுரிமை நடைமுறைகளை மதிப்பாய்வு செய்து, ஏதேனும் கேள்விகள் இருந்தால் எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்தவும்.

தனிப்பட்ட தகவல்களை சேகரித்தல் மற்றும் பயன்படுத்துதல்

தனிப்பட்ட தகவல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நபரை அடையாளம் காண அல்லது தொடர்பு கொள்ள பயன்படுத்தப்படும் தரவைக் குறிக்கிறது.

நீங்கள் எங்களைத் தொடர்பு கொள்ளும்போது எந்த நேரத்திலும் உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வழங்குமாறு கேட்கப்படலாம்.

நாங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய தனிப்பட்ட தகவல்களின் சில எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அத்தகைய தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்தலாம்.

என்ன தனிப்பட்ட தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கிறோம்:

• நீங்கள் தளத்தில் விண்ணப்பத்தை சமர்ப்பிக்கும் போது, ​​உங்கள் பெயர், தொலைபேசி எண், முகவரி உள்ளிட்ட பல்வேறு தகவல்களை நாங்கள் சேகரிக்கலாம் மின்னஞ்சல்முதலியன

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் எவ்வாறு பயன்படுத்துகிறோம்:

• எங்களால் சேகரிக்கப்பட்டது தனிப்பட்ட தகவல்உங்களைத் தொடர்பு கொள்ளவும், உங்களுக்குத் தெரிவிக்கவும் எங்களை அனுமதிக்கிறது தனித்துவமான சலுகைகள், விளம்பரங்கள் மற்றும் பிற நிகழ்வுகள் மற்றும் வரவிருக்கும் நிகழ்வுகள்.
• அவ்வப்போது, ​​முக்கியமான அறிவிப்புகள் மற்றும் தகவல்தொடர்புகளை அனுப்ப உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.
• நாங்கள் வழங்கும் சேவைகளை மேம்படுத்துவதற்கும் எங்கள் சேவைகள் தொடர்பான பரிந்துரைகளை உங்களுக்கு வழங்குவதற்கும் தணிக்கைகள், தரவு பகுப்பாய்வு மற்றும் பல்வேறு ஆராய்ச்சி போன்ற உள் நோக்கங்களுக்காக தனிப்பட்ட தகவலைப் பயன்படுத்துவோம்.
• பரிசுக் குலுக்கல், போட்டி அல்லது அது போன்ற விளம்பரங்களில் நீங்கள் பங்கேற்றால், அத்தகைய திட்டங்களை நிர்வகிக்க நீங்கள் வழங்கும் தகவலை நாங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

மூன்றாம் தரப்பினருக்கு தகவலை வெளிப்படுத்துதல்

உங்களிடமிருந்து பெறப்பட்ட தகவல்களை மூன்றாம் தரப்பினருக்கு நாங்கள் வெளியிட மாட்டோம்.

விதிவிலக்குகள்:

• தேவைப்பட்டால், சட்டத்தின்படி, நீதி நடைமுறை, சட்ட நடவடிக்கைகளில், மற்றும்/அல்லது பொது கோரிக்கைகள் அல்லது ரஷ்ய கூட்டமைப்பில் உள்ள அரசு நிறுவனங்களின் கோரிக்கைகளின் அடிப்படையில் - உங்கள் தனிப்பட்ட தகவலை வெளிப்படுத்த. பாதுகாப்பு, சட்ட அமலாக்கம் அல்லது பிற பொது முக்கியத்துவம் வாய்ந்த நோக்கங்களுக்காக இதுபோன்ற வெளிப்படுத்தல் அவசியம் அல்லது பொருத்தமானது என்று நாங்கள் தீர்மானித்தால், உங்களைப் பற்றிய தகவலையும் நாங்கள் வெளியிடலாம்.
• மறுசீரமைப்பு, இணைப்பு அல்லது விற்பனையின் போது, ​​நாங்கள் சேகரிக்கும் தனிப்பட்ட தகவலை பொருந்தக்கூடிய மூன்றாம் தரப்பினருக்கு மாற்றலாம்.

தனிப்பட்ட தகவல்களின் பாதுகாப்பு

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல்களை இழப்பு, திருட்டு மற்றும் தவறாகப் பயன்படுத்துதல், அத்துடன் அங்கீகரிக்கப்படாத அணுகல், வெளிப்படுத்துதல், மாற்றம் செய்தல் மற்றும் அழித்தல் போன்றவற்றிலிருந்து பாதுகாப்பதற்கு - நிர்வாகம், தொழில்நுட்பம் மற்றும் உடல்நிலை உள்ளிட்ட முன்னெச்சரிக்கை நடவடிக்கைகளை மேற்கொள்கிறோம்.

நிறுவன அளவில் உங்கள் தனியுரிமைக்கு மதிப்பளித்தல்

உங்கள் தனிப்பட்ட தகவல் பாதுகாப்பானது என்பதை உறுதிப்படுத்த, நாங்கள் எங்கள் ஊழியர்களுக்கு தனியுரிமை மற்றும் பாதுகாப்பு தரங்களைத் தொடர்புகொண்டு தனியுரிமை நடைமுறைகளை கண்டிப்பாகச் செயல்படுத்துகிறோம்.