ضمن تعبيرات مختلفة، والتي تعتبر في الجبر، ومبالغ أحادية الحد تحتل مكانا هاما. فيما يلي أمثلة على هذه التعبيرات:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

مجموع أحاديات الحد يسمى متعدد الحدود. تسمى المصطلحات الموجودة في كثير الحدود مصطلحات كثيرة الحدود. يتم تصنيف أحاديات الحد أيضًا على أنها متعددات الحدود، معتبرا أن أحادية الحد هي متعددة الحدود تتكون من عضو واحد.

على سبيل المثال، كثير الحدود
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
يمكن تبسيطها.

دعونا نمثل جميع الحدود في شكل أحاديات الحد عرض قياسي:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

دعونا نقدم مصطلحات مماثلة في كثير الحدود الناتج:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
والنتيجة هي كثيرة الحدود، وجميع حدودها هي أحادية الحد من النموذج القياسي، وليس بينها أي مماثلة. تسمى كثيرات الحدود هذه كثيرات الحدود من النموذج القياسي.

ل درجة كثير الحدودذات الشكل القياسي تأخذ أعلى صلاحيات أعضائها. وبالتالي، فإن ذات الحدين \(12a^2b - 7b\) لها الدرجة الثالثة، وثلاثية الحدود \(2b^2 -7b + 6\) لها الدرجة الثانية.

عادة، يتم ترتيب حدود كثيرات الحدود ذات الشكل القياسي التي تحتوي على متغير واحد بترتيب تنازلي للأسس. على سبيل المثال:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

يمكن تحويل (تبسيط) مجموع العديد من كثيرات الحدود إلى كثير حدود بالشكل القياسي.

في بعض الأحيان يجب تقسيم حدود كثيرة الحدود إلى مجموعات، مع وضع كل مجموعة بين قوسين. بما أن الأقواس المغلقة هي تحويل عكسي للأقواس المفتوحة، فمن السهل صياغتها قواعد فتح الأقواس:

إذا وضعت إشارة "+" قبل القوسين فإن المصطلحات التي بين القوسين تكتب بنفس الإشارة.

إذا وضعت إشارة "-" قبل القوسين، فإن المصطلحات التي بين القوسين تكتب بإشارة معاكسة.

تحويل (تبسيط) منتج أحادي الحد ومتعدد الحدود

باستخدام خاصية التوزيع للضرب، يمكنك تحويل (تبسيط) منتج أحادية الحد ومتعددة الحدود إلى كثيرة الحدود. على سبيل المثال:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

إن حاصل ضرب وحيدة الحد ومتعددة الحدود يساوي بشكل مماثل مجموع نواتج هذه وحيدة الحد وكل حد من حدود كثيرة الحدود.

عادة ما يتم صياغة هذه النتيجة كقاعدة.

لضرب أحادية الحد في كثيرة الحدود، يجب عليك ضرب تلك الأحادية الحد في كل حد من حدود كثيرة الحدود.

لقد استخدمنا هذه القاعدة بالفعل عدة مرات للضرب في مجموع.

منتج كثيرات الحدود. تحويل (تبسيط) منتج متعدد الحدود

بشكل عام، حاصل ضرب كثيرتي الحدود يساوي بشكل مماثل مجموع حاصل ضرب كل حد من كثيرات الحدود وكل حد من الحدود الأخرى.

عادة ما يتم استخدام القاعدة التالية.

لضرب كثيرة الحدود في كثيرة الحدود، تحتاج إلى ضرب كل حد من كثيرة الحدود في كل حد من الحدود الأخرى وإضافة المنتجات الناتجة.

صيغ الضرب المختصرة. مجموع المربعات والاختلافات والفرق بين المربعات

يتعين عليك التعامل مع بعض التعبيرات في التحويلات الجبرية أكثر من غيرها. ولعل التعبيرات الأكثر شيوعًا هي \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) و\(a^2 - b^2 \)، أي مربع المجموع، مربع العدد الفرق والفرق بين المربعات. لاحظت أن أسماء هذه التعبيرات تبدو غير مكتملة، على سبيل المثال \((a + b)^2 \) بالطبع ليس مربع المجموع فحسب، بل مربع مجموع a وb . ومع ذلك، فإن مربع مجموع A و B لا يحدث في كثير من الأحيان؛ كقاعدة عامة، بدلا من الحروف A و B، فإنه يحتوي على تعبيرات مختلفة، وأحيانا معقدة للغاية.

يمكن تحويل التعبيرات \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) بسهولة (تبسيطها) إلى كثيرات الحدود بالشكل القياسي؛ في الواقع، لقد واجهت هذه المهمة بالفعل عند ضرب كثيرات الحدود:
\((أ + ب)^2 = (أ + ب)(أ + ب) = أ^2 + أب + با + ب^2 = \)
\(= أ^2 + 2ab + ب^2 \)

ومن المفيد أن نتذكر الهويات الناتجة وتطبيقها دون حسابات وسيطة. تساعد الصيغ اللفظية المختصرة على ذلك.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - مربع المجموع يساوي المبلغالمربعات ومضاعفة المنتج.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - مربع الفرق يساوي مجموع المربعات بدون حاصل الضرب المزدوج.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - فرق المربعات يساوي حاصل ضرب الفرق في المجموع.

تسمح هذه الهويات الثلاث في التحولات باستبدال الأجزاء اليسرى بالأجزاء اليمنى والعكس - الأجزاء اليمنى بالأجزاء اليسرى. أصعب شيء هو رؤية التعبيرات المقابلة وفهم كيفية استبدال المتغيرين a وb فيها. دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لاستخدام صيغ الضرب المختصرة.

عند حساب كثيرات الحدود الجبرية، لتبسيط العمليات الحسابية، استخدم صيغ الضرب المختصرة . هناك سبع صيغ من هذا القبيل في المجموع. عليك أن تعرفهم جميعًا عن ظهر قلب.

يجب أن نتذكر أيضًا أنه بدلاً من a و b في الصيغ، يمكن أن يكون هناك أرقام أو أي كثيرات حدود جبرية أخرى.

فرق المربعات

الفرق بين مربعي رقمين يساوي حاصل ضرب الفرق بين هذين الرقمين ومجموعهما.

أ 2 - ب 2 = (أ - ب)(أ + ب)

مربع المبلغ

مربع مجموع رقمين يساوي مربع الرقم الأول زائد ضعف ناتج الرقم الأول والثاني زائد مربع الرقم الثاني.

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أ + ب 2

يرجى ملاحظة أنه مع صيغة الضرب المختصرة هذه يكون الأمر سهلاً العثور على المربعات أعداد كبيرة دون استخدام الآلة الحاسبة أو الضرب الطويل. دعونا نوضح بمثال:

البحث عن 1122

دعونا نحلل 112 إلى مجموع الأرقام التي نتذكر مربعاتها جيدًا.2
112 = 100 + 1

لنكتب مجموع الأعداد الموجودة بين قوسين ونضع مربعاً فوق القوسين.
112 2 = (100 + 12) 2

دعنا نستخدم صيغة مربع المجموع:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 × 100 × 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

تذكر أن صيغة المجموع المربع صالحة أيضًا لأي كثيرات حدود جبرية.

(8 أ + ج) 2 = 64 أ 2 + 16 أ + ج 2

تحذير!!!

(أ + ب) 2 لا يساوي أ2+ب2

الفرق التربيعي

مربع الفرق بين رقمين يساوي مربع الرقم الأول ناقص ضعف ناتج الأول والثاني بالإضافة إلى مربع الرقم الثاني.

(أ - ب) 2 = أ 2 - 2أ + ب 2

ومن الجدير أيضًا أن نتذكر تحولًا مفيدًا جدًا:

(أ - ب) 2 = (ب - أ) 2
يمكن إثبات الصيغة أعلاه بمجرد فتح القوسين:

(أ - ب) 2 = أ 2 - 2أ + ب 2 = ب 2 - 2أ + أ 2 = (ب - أ) 2

مكعب المبلغ

مكعب مجموع رقمين يساوي مكعب الرقم الأول بالإضافة إلى ثلاثة أضعاف ناتج مربع الرقم الأول والثاني بالإضافة إلى ثلاثة أضعاف ناتج الأول في مربع الثاني بالإضافة إلى مكعب الثاني .

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3

من السهل جدًا أن تتذكر هذه الصيغة ذات المظهر "المخيف".

تعلم أن الرقم 3 يأتي في البداية.

كثيرات الحدود في المنتصف لها معاملات 3.

فيتذكر أن أي رقم أس صفر هو 1. (أ 0 = 1، ب 0 = 1). من السهل ملاحظة أنه يوجد في الصيغة انخفاض في الدرجة أ وزيادة في الدرجة ب. يمكنك التحقق من ذلك:
(أ + ب) 3 = أ 3 ب 0 + 3 أ 2 ب 1 + 3 أ 1 ب 2 + ب 3 أ 0 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ 2 + ب 3

تحذير!!!

(أ + ب) 3 لا يساوي أ 3 + ب 3

مكعب الفرق

مكعب الفرق بين رقمين يساوي مكعب الرقم الأول ناقص ثلاثة أضعاف حاصل ضرب مربع العدد الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف حاصل ضرب الرقم الأول ومربع الثاني ناقص المكعب من الثانية.

(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3

يتم تذكر هذه الصيغة مثل الصيغة السابقة، ولكن فقط مع الأخذ بعين الاعتبار تناوب علامتي "+" و "-". الحد الأول a 3 يسبقه "+" (حسب قواعد الرياضيات، لا نكتبه). وهذا يعني أن الحد التالي سيسبقه "-"، ثم مرة أخرى "+"، وما إلى ذلك.

(أ - ب) 3 = + أ 3 - 3أ 2 ب + 3أ ب 2 - ب 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3

مجموع المكعبات ( لا ينبغي الخلط بينه وبين مجموع المكعب!)

مجموع المكعبات يساوي حاصل ضرب مجموع رقمين والمربع الجزئي للفرق.

أ 3 + ب 3 = (أ + ب)(أ 2 - أ ب + ب 2)

مجموع المكعبات هو حاصل ضرب قوسين.

القوس الأول هو مجموع رقمين.

القوس الثاني هو المربع غير الكامل للفرق بين الأرقام. المربع غير الكامل للفرق هو التعبير:

أ 2 - أ ب + ب 2
هذا المربع غير مكتمل، لأنه في المنتصف، بدلاً من المنتج المزدوج، يوجد المنتج المعتاد للأرقام.

اختلاف المكعبات (يجب عدم الخلط بينه وبين مكعب الفرق!!!)

الفرق بين المكعبات يساوي حاصل ضرب الفرق بين رقمين والمربع الجزئي للمجموع.

أ 3 - ب 3 = (أ - ب)(أ 2 + أ ب + ب 2)

كن حذرا عند كتابة العلامات.يجب أن نتذكر أن جميع الصيغ المذكورة أعلاه تُستخدم أيضًا من اليمين إلى اليسار.

طريقة سهلة لتذكر صيغ الضرب المختصرة، أو... مثلث باسكال.

هل تواجه مشكلة في تذكر صيغ الضرب المختصرة؟ السبب سهل المساعدة. عليك فقط أن تتذكر كيف تم تصوير ذلك شيء بسيطمثل مثلث باسكال. عندها ستتذكر هذه الصيغ دائمًا وفي كل مكان، أو بالأحرى لا تتذكرها، بل تستعيدها.

ما هو مثلث باسكال؟ يتكون هذا المثلث من معاملات تدخل في توسيع أي درجة من ذات الحدين من النموذج إلى كثيرة الحدود.

دعونا نتوسع، على سبيل المثال:

من السهل في هذا الإدخال أن نتذكر أن مكعب الرقم الأول موجود في البداية، ومكعب الرقم الثاني موجود في النهاية. لكن ما يوجد في المنتصف يصعب تذكره. وحتى حقيقة أنه في كل مصطلح لاحق، تنخفض درجة عامل واحد طوال الوقت، ويزيد الثاني - ليس من الصعب ملاحظة وتذكر الوضع أكثر صعوبة مع تذكر المعاملات والعلامات (هل هو زائد أو ناقص ؟).

لذا أولاً، الاحتمالات. لا حاجة لحفظها! نرسم بسرعة مثلث باسكال على هوامش الدفتر، وها هي المعاملات الموجودة أمامنا بالفعل. نبدأ الرسم بثلاث وحدات، واحدة في الأعلى، واثنتان في الأسفل، إلى اليمين وإلى اليسار - نعم، إنه مثلث بالفعل:

السطر الأول، مع واحد، هو صفر. ثم يأتي الأول والثاني والثالث وهكذا. للحصول على السطر الثاني، تحتاج إلى تعيين الحواف مرة أخرى، وفي المنتصف اكتب الرقم الذي تم الحصول عليه عن طريق إضافة الرقمين فوقه:

نكتب السطر الثالث: مرة أخرى على طول حواف الوحدة، ومرة ​​أخرى للحصول على الرقم التالي في السطر الجديد، نضيف الأرقام الموجودة فوقه في الرقم السابق:

كما كنت قد خمنت، نحصل في كل سطر على المعاملات من مفكوك ذات الحدين إلى كثيرة الحدود:

حسنًا، من الأسهل تذكر العلامات: العلامة الأولى هي نفسها كما في ذات الحدين الموسع (نقوم بتوسيع المبلغ - وهذا يعني زائد، والفرق - وهذا يعني ناقص)، ثم تتناوب العلامات!

هذا شيء مفيد - مثلث باسكال. استخدمه!

واحدة من المواضيع الأولى التي تمت دراستها في دورة الجبر هي صيغ الضرب المختصرة. في الصف السابع، يتم استخدامها في أبسط المواقف، حيث تحتاج إلى التعرف على إحدى الصيغ في التعبير وتحليل كثير الحدود أو، على العكس من ذلك، تربيع أو تكعيب المجموع أو الفرق بسرعة. في المستقبل، سيتم استخدام FSU لحل المتباينات والمعادلات بسرعة وحتى لحساب بعض التعبيرات الرقمية بدون آلة حاسبة.

كيف تبدو قائمة الصيغ؟

هناك 7 صيغ أساسية تسمح لك بضرب كثيرات الحدود بسرعة بين قوسين.

في بعض الأحيان تتضمن هذه القائمة أيضًا توسعة للدرجة الرابعة، والتي تتبع الهويات المقدمة ولها الشكل:

أ⁴ — ب⁴ = (أ - ب)(أ + ب)(أ² + ب²).

جميع المعادلات لها زوج (مجموع - فرق)، باستثناء فرق المربعات. لم يتم إعطاء صيغة مجموع المربعات.

من السهل تذكر المعادلات المتبقية:

يجب أن نتذكر أن وحدات FSU تعمل في أي حال ولأي قيم أو ب: يمكن أن تكون هذه إما أرقامًا عشوائية أو تعبيرات صحيحة.

في حالة عدم قدرتك فجأة على تذكر العلامة الموجودة أمام مصطلح معين في الصيغة، يمكنك فتح الأقواس والحصول على نفس النتيجة بعد استخدام الصيغة. على سبيل المثال، إذا نشأت مشكلة عند تطبيق مكعب الفرق FSU، فأنت بحاجة إلى كتابة التعبير الأصلي و إجراء الضرب واحدا تلو الآخر:

(أ - ب)³ = (أ - ب)(أ - ب)(أ - ب) = (أ² - أ ب - أب + ب²)(أ - ب) = أ³ - أ²ب - أ²ب + أب² - أ²ب + أب² + أب² - ب³ = أ³ - 3أ²ب + 3اب² - ب³.

ونتيجة لذلك، بعد إحضار جميع المصطلحات المتشابهة، تم الحصول على نفس كثير الحدود كما في الجدول. يمكن إجراء نفس المعالجات مع جميع وحدات FSU الأخرى.

تطبيق FSU لحل المعادلات

على سبيل المثال، تحتاج إلى حل معادلة تحتوي على متعدد الحدود من الدرجة 3:

س³ + 3س² + 3س + 1 = 0.

في المنهج المدرسيلا يتم أخذ التقنيات العالمية لحل المعادلات التكعيبية في الاعتبار، وغالبًا ما يتم حل هذه المهام بشكل أكبر طرق بسيطة(على سبيل المثال، عن طريق التخصيم). إذا لاحظنا أن الجانب الأيسر من الهوية يشبه مكعب المجموع فيمكن كتابة المعادلة بشكل أبسط:

(س + 1)³ = 0.

يتم حساب جذر هذه المعادلة شفويا: س = -1.

يتم حل عدم المساواة بطريقة مماثلة. على سبيل المثال، يمكنك حل عدم المساواة س³ – 6س² + 9س > 0.

بادئ ذي بدء، تحتاج إلى تحليل التعبير. أولا تحتاج إلى قوس س. بعد ذلك، لاحظ أنه يمكن تحويل التعبير الموجود بين قوسين إلى مربع الفرق.

ثم تحتاج إلى العثور على النقاط التي يأخذ فيها التعبير قيمًا صفرية ووضع علامة عليها على خط الأعداد. في حالة محددةستكون هذه 0 و 3. ثم، باستخدام طريقة الفاصل الزمني، حدد الفواصل الزمنية التي ستحقق فيها x شرط عدم المساواة.

قد تكون وحدات FSU مفيدة عند الأداء بعض العمليات الحسابية دون مساعدة الآلة الحاسبة:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

بالإضافة إلى ذلك، من خلال تحليل التعبيرات، يمكنك بسهولة تقليل الكسور وتبسيط التعبيرات الجبرية المختلفة.

أمثلة على المسائل للصفوف 7-8

في الختام، سنقوم بتحليل وحل مهمتين حول استخدام صيغ الضرب المختصرة في الجبر.

المهمة 1. تبسيط التعبير:

(م + 3)² + (3 م + 1) (3 م - 1) - 2 م (5 م + 3).

حل. شرط المهمة يتطلب تبسيط التعبير، أي فتح القوسين، وإجراء عمليات الضرب والأس، وكذلك إحضار جميع الحدود المتشابهة. دعونا نقسم التعبير بشكل مشروط إلى ثلاثة أجزاء (حسب عدد المصطلحات) ونفتح الأقواس واحدًا تلو الآخر، باستخدام FSU حيثما أمكن ذلك.

• (م + 3)² = م² + 6م + 9(مجموع المربع)؛
• (3م + 1)(3م - 1) = 9م2 – 1(فرق ​​المربعات)؛
• في الفصل الأخير تحتاج إلى مضاعفة: 2 م (5 م + 3) = 10 م² + 6 م.

دعنا نستبدل النتائج التي تم الحصول عليها في التعبير الأصلي:

(م² + 6 م + 9) + (9 م² – 1) - (10 م² + 6 م).

ومع مراعاة العلامات سنفتح بين القوسين ونقدم مصطلحات مشابهة:

م² + 6 م + 9 + 9 م² 1 - 10 م² – 6 م = 8.

المشكلة 2. حل معادلة تحتوي على المجهول k للقوة الخامسة:

ك⁵ + 4ك⁴ + 4ك³ – 4ك² – 4ك = ك³.

حل. في هذه الحالة، من الضروري استخدام FSU وطريقة التجميع. من الضروري نقل المصطلحين الأخير وما قبل الأخير إلى الجانب الأيمن من الهوية.

ك⁵ + 4ك⁴ + 4ك³ = ك³ + 4ك² + 4ك.

والعامل المشترك مشتق من الجانبين الأيمن والأيسر (ك² + 4 ك +4):

ك³(ك² + 4ك + 4) = ك (ك² + 4ك + 4).

يتم نقل كل شيء إلى الجانب الأيسر من المعادلة بحيث يبقى 0 على اليمين:

ك³(ك² + 4ك + 4) - ك (ك² + 4ك + 4) = 0.

مرة أخرى من الضروري إخراج العامل المشترك:

(ك³ - ك)(ك² + 4ك + 4) = 0.

من العامل الأول الذي تم الحصول عليه يمكننا استخلاصه ك. وفقا لصيغة الضرب القصيرة، فإن العامل الثاني سيكون مساويا ل (ك+2)²:

ك (ك² - 1)(ك + 2)² = 0.

باستخدام صيغة فرق المربعات:

ك (ك - 1)(ك + 1)(ك + 2)² = 0.

بما أن حاصل الضرب يساوي 0 إذا كان أحد عوامله على الأقل صفرًا، فإن العثور على جميع جذور المعادلة ليس بالأمر الصعب:

1. ك = 0؛
2. ك - 1 = 0؛ ك = 1؛
3. ك + 1 = 0؛ ك = -1؛
4. (ك + 2)² = 0؛ ك = -2.

استنادا إلى الأمثلة التوضيحية، يمكنك فهم كيفية تذكر الصيغ، والاختلافات بينها، وكذلك حل العديد من المسائل العملية باستخدام FSU. المهام بسيطة ويجب ألا تكون هناك صعوبات في إكمالها.

>>الرياضيات: صيغ الضرب المختصرة

صيغ الضرب المختصرة

هناك العديد من الحالات التي ينتج فيها ضرب كثيرة الحدود بأخرى نتيجة مدمجة وسهلة التذكر. وفي هذه الحالات يفضل عدم الضرب بواحد في كل مرة متعدد الحدودمن ناحية أخرى، واستخدام النتيجة النهائية. دعونا ننظر في هذه الحالات.

1. المجموع التربيعي والفرق التربيعي:

مثال 1.قم بتوسيع الأقواس في التعبير:

أ) (ز س + 2) 2؛

ب) (5أ2 - 4ب3) 2

أ) دعونا نستخدم الصيغة (1)،مع الأخذ في الاعتبار أن دور a هو 3x، ودور b هو الرقم 2.
نحصل على:

(3س + 2) 2 = (3س) 2 + 2 3س 2 + 2 2 = 9س 2 + 12س + 4.

ب) لنستخدم الصيغة (2)مع الأخذ في الاعتبار ذلك في الدور أيقف 5 أ 2، وفي الدور بيقف 4 ب 3. نحصل على:

(5أ 2 -4ب 3) 2 = (5أ 2) 2 - 2- 5أ 2 4ب 3 + (4ب 3) 2 = 25أ 4 -40أ 2 ب 3 + 16ب 6.

عند استخدام صيغ المجموع التربيعي أو الفرق التربيعي، ضع في اعتبارك ذلك
(- أ - ب) 2 = (أ + ب) 2 ;
(ب-أ) 2 = (أ-ب) 2 .

ويترتب على ذلك حقيقة أن (- أ) 2 = أ 2.

لاحظ أن الصيغتين (1) و (2) تعتمدان على بعض الحيل الرياضية التي تسمح لك بإجراء الحسابات الذهنية.

على سبيل المثال، يمكنك تقريبًا تربيع الأرقام التي تنتهي بالرقم 1 و9 لفظيًا

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - ط) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

في بعض الأحيان يمكنك تربيع رقم ينتهي بالرقم 2 أو 8 بسرعة. على سبيل المثال،

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

لكن الخدعة الأكثر أناقة تتضمن تربيع الأرقام التي تنتهي بالرقم 5.
دعونا ننفذ المنطق المقابل لـ 85 2 .

لدينا:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

نلاحظ أنه لحساب 85 ​​2 كان يكفي ضرب 8 في 9 وإضافة 25 إلى اليمين إلى النتيجة الناتجة، ويمكنك فعل الشيء نفسه في حالات أخرى. على سبيل المثال، 35 2 = 1225 (تمت إضافة 3 4 = 12 و25 إلى الرقم الناتج على اليمين)؛

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 و25 تمت إضافتها إلى الرقم الناتج على اليمين).

نظرا لأننا نتحدث عن ظروف غريبة مختلفة تتعلق بالصيغ المملة (للوهلة الأولى) (1) و (2)، فسوف نكمل هذه المحادثة بالتفكير الهندسي التالي. دع a و b يكونان أرقام إيجابية. خذ بعين الاعتبار مربعًا ذو ضلع أ + ب ومقطع في زاويتيه مربعات ذات أضلاع تساوي أ و ب، على التوالي (الشكل 4).

مساحة المربع الذي ضلعه أ + ب تساوي (أ + ب) 2. لكننا نقطع هذا المربع إلى أربعة أجزاء: مربع ضلعه أ (مساحته تساوي أ 2)، مربع ضلعه ب (مساحته تساوي ب 2)، مستطيلان ضلعاه أ و ب (مساحةهما كل مستطيل يساوي أب). وهذا يعني (أ + ب) 2 = أ 2 + ب 2 + 2أ، أي أننا حصلنا على الصيغة (1).

اضرب ذات الحدين a + b في ذات الحدين a - b. نحصل على:
(أ + ب) (أ - ب) = أ 2 - أ ب + با - ب 2 = أ 2 - ب 2.
لذا

يتم استخدام أي مساواة في الرياضيات من اليسار إلى اليمين (أي يتم استبدال الجانب الأيسر من المساواة بـ الجانب الأيمن)، ومن اليمين إلى اليسار (أي يتم استبدال الجانب الأيمن من المساواة بجانبها الأيسر). إذا تم استخدام الصيغة C) من اليسار إلى اليمين، فإنها تسمح لك باستبدال المنتج (أ + ب) (أ - ب) بالنتيجة النهائية أ 2 - ب 2. يمكن استخدام نفس الصيغة من اليمين إلى اليسار، ثم تسمح لك باستبدال فرق المربعات a 2 - b 2 بحاصل الضرب (a + b) (a - b). تُعطى الصيغة (3) في الرياضيات اسمًا خاصًا - فرق المربعات.

تعليق. لا تخلط بين مصطلحي "الفرق بين المربعات" و"الفرق المربع". الفرق بين المربعين هو أ 2 - ب 2، مما يعني نحن نتحدث عنهحول الصيغة (3)؛ مربع الفرق هو (أ- ب) 2، مما يعني أننا نتحدث عن الصيغة (2). في اللغة العادية، تُقرأ الصيغة (3) "من اليمين إلى اليسار" على النحو التالي:

الفرق بين مربعي رقمين (التعبيرات) يساوي حاصل ضرب مجموع هذه الأرقام (التعبيرات) والفرق بينهما،

مثال 2.إجراء الضرب

(3س- 2ص)(3س+ 2ص)
حل. لدينا:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

مثال 3.عبر عن ذات الحدين 16x 4 - 9 كحاصل ضرب ذات الحدين.

حل. لدينا: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2، مما يعني أن ذات الحدين المعطاة هي الفرق بين المربعات، أي. ويمكن تطبيق الصيغة (3) عليها، وتقرأ من اليمين إلى اليسار. ثم نحصل على:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

تُستخدم الصيغة (3)، مثل الصيغتين (1) و(2)، في الحيل الرياضية. يرى:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

دعونا ننهي المحادثة حول صيغة الفرق بين المربعات بمنطق هندسي مثير للاهتمام. اجعل a وb عددين موجبين، وa > b. خذ بعين الاعتبار مستطيلًا بأضلاعه a + b وa - b (الشكل 5). مساحتها (أ + ب) (أ - ب). لنقطع مستطيلاً بأضلاعه b وa-b ونلصقه بالجزء المتبقي كما هو موضح في الشكل 6. ومن الواضح أن الشكل الناتج له نفس المساحة، أي (a + b) (a - b). ولكن هذا الرقم يمكن أن يكون
بناء مثل هذا: من مربع مع الجانب أ، قطع مربع مع الجانب ب (وهذا واضح للعيان في الشكل 6). لذلك المنطقة شخصية جديدةيساوي أ 2 - ب 2. إذن (أ + ب) (أ - ب) = أ 2 - ب 2، أي حصلنا على الصيغة (3).

3. الفرق بين المكعبات ومجموع المكعبات

اضرب ذات الحدين a - b في ثلاثية الحدود a 2 + ab + b 2 .
نحصل على:
(أ - ب) (أ 2 + أ + ب 2) = أ أ 2 + أ أب + أ ب 2 - ب أ 2 - ب أب -ب ب 2 = أ 3 + أ 2 ب + أب 2 -أ 2 ب- أ ب 2 - ب 3 = أ 3 -ب 3.

على نفس المنوال

(أ + ب) (أ 2 - أ ب + ب 2) = أ 3 + ب 3

(تحقق من ذلك بنفسك). لذا،

عادة ما تسمى الصيغة (4). اختلاف المكعباتالصيغة (5) - مجموع المكعبات. دعونا نحاول ترجمة الصيغتين (4) و (5) إلى لغة عادية. قبل القيام بذلك، لاحظ أن التعبير a 2 + ab + b 2 يشبه التعبير a 2 + 2ab + b 2، الذي ظهر في الصيغة (1) وأعطى (a + b) 2؛ التعبير a 2 - ab + b 2 يشبه التعبير a 2 - 2ab + b 2 الذي ظهر في الصيغة (2) وأعطى (a - b) 2.

لتمييز (في اللغة) هذه الأزواج من التعبيرات عن بعضها البعض، كل تعبير من التعبيرات a 2 + 2ab + b 2 و a 2 - 2ab + b 2 يسمى مربعًا كاملاً (المجموع أو الفرق)، وكل تعبير من التعبيرات a 2 + ab + b 2 و a 2 - ab + b 2 يُطلق عليهما مربع غير مكتمل (المجموع أو الفرق). ثم نحصل على الترجمة التالية للصيغتين (4) و (5) (اقرأ "من اليمين إلى اليسار") إلى اللغة العادية:

الفرق بين مكعبات رقمين (التعبيرات) يساوي ناتج الفرق بين هذه الأرقام (التعبيرات) في المربع غير الكامل لمجموعهما؛ مجموع مكعبات رقمين (التعبيرات) يساوي منتج مجموع هذه الأرقام (التعبيرات) والمربع غير الكامل للفرق بينهما.

تعليق. يتم استخدام جميع الصيغ (1)-(5) التي تم الحصول عليها في هذه الفقرة من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار، فقط في الحالة الأولى (من اليسار إلى اليمين) يقولون أن (1)-(5) عبارة عن ضرب مختصر الصيغ، وفي الحالة الثانية (من اليمين إلى اليسار) يقولون أن (1) - (5) هي صيغ تحليلية.

مثال 4.إجراء الضرب (2x-1)(4x2 + 2x +1).

حل. بما أن العامل الأول هو الفرق بين وحيدات الحد 2x و1، والعامل الثاني هو المربع غير الكامل لمجموعهما، فيمكننا استخدام الصيغة (4). نحصل على:

(2س - 1)(4س 2 + 2س + 1) = (2س) 3 - أنا 3 = 8س 3 - 1.

مثال 5.قم بتمثيل ذات الحدين 27a 6 + 8b 3 كحاصل ضرب كثيرات الحدود.

حل. لدينا: 27 أ 6 = (لـ 2) 3، 8 ب 3 = (2 ب) 3. هذا يعني أن ذات الحدين المعطاة هي مجموع المكعبات، أي أنه يمكن تطبيق الصيغة 95 عليها، وقراءتها من اليمين إلى اليسار. ثم نحصل على:

27أ 6 + 8ب 3 = (من أجل 2) 3 + (2ب) 3 = (من أجل 2 + 2ب) ((من أجل 2) 2 - من أجل 2 2ب + (2ب) 2) = (من أجل 2 + 2ب) (9أ 4 - 6أ2ب+4ب2).

مساعدة لأطفال المدارس عبر الإنترنت، تنزيل الرياضيات للصف السابع والتقويم والتخطيط المواضيعي

A. V. Pogorelov، الهندسة للصفوف 7-11، كتاب مدرسي ل المؤسسات التعليمية

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم معلوماتك الشخصية:

• تم جمعها من قبلنا معلومات شخصيةيسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، في الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من الوكالات الحكومية في الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الخلف المعني.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.