Qonşu bucaqların cəmini tapın. Qonşu və şaquli açılar

1. Qonşu bucaqlar.

Hər hansı bucağın tərəfini onun təpəsindən kənara uzatsaq, iki bucaq alarıq (şək. 72): ∠ABC və ∠CBD, burada bir BC tərəfi ümumi, digər ikisi AB və BD düz xətt təşkil edir.

Bir tərəfinin ortaq, digər ikisinin isə düz xətt təşkil etdiyi iki bucaq bitişik bucaq adlanır.

Qonşu bucaqları da bu yolla əldə etmək olar: əgər xəttin hansısa nöqtəsindən şüa çəksək (verilmiş xətt üzərində deyil), bitişik bucaqlar alacağıq.

Məsələn, ∠ADF və ∠FDB bitişik bucaqlardır (şək. 73).

Qonşu bucaqlar müxtəlif mövqelərə malik ola bilər (şək. 74).

Qonşu bucaqlar düz bucağa qədər toplanır, belə ki ikinin cəmi bitişik künclər 180°-yə bərabərdir

Beləliklə, düz bucaq qonşu bucağına bərabər olan bucaq kimi müəyyən edilə bilər.

Qonşu bucaqlardan birinin ölçüsünü bilməklə, ona bitişik olan digər bucağın ölçüsünü tapa bilərik.

Məsələn, bitişik bucaqlardan biri 54°-dirsə, ikinci bucaq bərabər olacaq:

180° - 54° = l26°.

2. Şaquli bucaqlar.

Bucağın tərəflərini onun təpəsindən kənara uzatsaq, alarıq şaquli açılar. Şəkil 75-də EOF və AOC bucaqları şaquli; AOE və COF bucaqları da şaqulidir.

Bir bucağın tərəfləri digər bucağın tərəflərinin davamıdırsa, iki bucaq şaquli adlanır.

∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° olsun(şək. 76). Ona bitişik ∠2 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, yəni 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°-ə bərabər olacaq.

Eyni şəkildə, siz ∠3 və ∠4-ün nəyə bərabər olduğunu hesablaya bilərsiniz.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (Şəkil 77).

∠1 = ∠3 və ∠2 = ∠4 olduğunu görürük.

Daha bir neçə eyni problemi həll edə bilərsiniz və hər dəfə eyni nəticəni əldə edəcəksiniz: şaquli bucaqlar bir-birinə bərabərdir.

Bununla belə, şaquli bucaqların həmişə bir-birinə bərabər olduğundan əmin olmaq üçün fərdi ədədi nümunələri nəzərdən keçirmək kifayət deyil, çünki müəyyən nümunələrdən çıxarılan nəticələr bəzən səhv ola bilər.

Şaquli bucaqların xassələrinin doğruluğunu isbatla yoxlamaq lazımdır.

Sübut aşağıdakı kimi həyata keçirilə bilər (Şəkil 78):

∠a +∠c= 180°;

∠b+∠c= 180°;

(bitişik bucaqların cəmi 180° olduğundan).

∠a +∠c = ∠b+∠c

(çünki bu bərabərliyin sol tərəfi 180°-yə, sağ tərəfi də 180°-yə bərabərdir).

Bu bərabərlik eyni bucağı ehtiva edir ilə.

Bərabər miqdarlardan bərabər məbləğləri çıxarsaq, bərabər məbləğlər qalacaq. Nəticə belə olacaq: ∠a = ∠b, yəni şaquli bucaqlar bir-birinə bərabərdir.

3. Ümumi təpəsi olan bucaqların cəmi.

Şəkil 79-da ∠1, ∠2, ∠3 və ∠4 xəttin bir tərəfində yerləşir və bu xəttdə ümumi təpə nöqtəsi var. Ümumilikdə, bu bucaqlar düz bucaq təşkil edir, yəni.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Şəkil 80-də ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 və ∠5 ümumi təpəyə malikdir. Bu bucaqların toplanması tam bucağa bərabərdir, yəni ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Həndəsə çoxşaxəli bir elmdir. Məntiq, təxəyyül və zəka inkişaf etdirir. Əlbəttə ki, mürəkkəbliyinə və çoxlu sayda teorem və aksioma görə məktəblilər bunu həmişə bəyənmirlər. Bundan əlavə, ümumi qəbul edilmiş standartlar və qaydalardan istifadə edərək öz nəticələrinizi daim sübut etməyə ehtiyac var.

Bitişik və şaquli bucaqlar həndəsənin ayrılmaz hissəsidir. Şübhəsiz ki, bir çox məktəblilər xassələrinin aydın və sübut edilməsi asan olduğu üçün onlara sadəcə pərəstiş edirlər.

Künclərin formalaşması

İstənilən bucaq iki düz xəttin kəsişməsindən və ya bir nöqtədən iki şüa çəkməklə əmələ gəlir. Onları ardıcıl olaraq bucağın qurulduğu nöqtələri təyin edən bir hərf və ya üç hərf adlandırmaq olar.

Bucaqlar dərəcələrlə ölçülür və (qiymətindən asılı olaraq) fərqli adlandırıla bilər. Beləliklə, kəskin, küt və açılmış düz bucaq var. Adların hər biri müəyyən dərəcə ölçüsünə və ya onun intervalına uyğundur.

Kəskin bucaq ölçüsü 90 dərəcədən çox olmayan bucaqdır.

Küt bucaq 90 dərəcədən çox olan bucaqdır.

Dərəcə ölçüsü 90 olduqda bucaq düz adlanır.

Bir kəsilməz düz xətt ilə əmələ gəldiyi və dərəcə ölçüsü 180 olduqda, genişlənmiş adlanır.

Ortaq tərəfi olan, ikinci tərəfi bir-birini davam etdirən bucaqlara bitişik deyilir. Onlar kəskin və ya kəskin ola bilər. Xəttin kəsişməsi bitişik açılar əmələ gətirir. Onların xassələri aşağıdakılardır:

1. Belə bucaqların cəmi 180 dərəcəyə bərabər olacaq (bunu sübut edən bir teorem var). Buna görə də biri məlumdursa, onlardan birini asanlıqla hesablaya bilər.
2. Birinci nöqtədən belə çıxır ki, bitişik bucaqlar iki küt və ya iki iti bucaqdan əmələ gələ bilməz.

Bu xüsusiyyətlər sayəsində hər zaman başqa bir bucağın dəyərini nəzərə alaraq və ya bucağın dərəcə ölçüsünü hesablaya bilərsiniz ən azı, aralarındakı münasibət.

Şaquli açılar

Tərəfləri bir-birinin davamı olan bucaqlara şaquli deyilir. Onların hər hansı bir növü belə bir cüt kimi çıxış edə bilər. Şaquli açılar həmişə bir-birinə bərabərdir.

Onlar düz xətlər kəsişdikdə əmələ gəlir. Onlarla yanaşı, bitişik açılar həmişə mövcuddur. Bucaq biri üçün eyni vaxtda bitişik, digəri üçün isə şaquli ola bilər.

İxtiyari bir xətti keçərkən bir neçə digər bucaq növləri də nəzərə alınır. Belə bir xətt kəsici xətt adlanır və o, uyğun, birtərəfli və çarpaz bucaqlar əmələ gətirir. Onlar bir-birinə bərabərdirlər. Onlar şaquli və bitişik açıların malik olduğu xüsusiyyətlər işığında nəzərdən keçirilə bilər.

Beləliklə, bucaqlar mövzusu olduqca sadə və başa düşülən görünür. Onların bütün xassələrini yadda saxlamaq və sübut etmək asandır. Bucaqlar uyğunlaşdıqca problemləri həll etmək çətin görünmür ədədi dəyər. Sonralar, günah və cosun öyrənilməsi başlayanda bir çox mürəkkəb düsturları, onların nəticələrini və nəticələrini əzbərləməli olacaqsınız. O vaxta qədər siz bitişik bucaqları tapmaq üçün lazım olan asan bulmacalardan həzz ala bilərsiniz.

Qonşu bucaq nədir

Künc- Bu həndəsi fiqur(Şəkil 1), bir O nöqtəsindən (bucağın təpəsində) çıxan iki OA və OB şüaları (bucağın tərəfləri) tərəfindən yaradılmışdır.

BONŞU KÜCƏLƏR- cəmi 180° olan iki bucaq. Bu bucaqların hər biri digərini tam açı ilə tamamlayır.

Qonşu açılar- (Agles adjacets) ümumi üstü və ümumi tərəfi olanlar. Əsasən bu ad, qalan iki tərəfinin çəkilmiş bir düz xəttin əks istiqamətlərində olduğu bucaqlara aiddir.

Bir tərəfi ortaqdırsa, iki bucaq bitişik adlanır və bu bucaqların digər tərəfləri bir-birini tamamlayan yarım xətlərdir.

düyü. 2

Şəkil 2-də a1b və a2b bucaqları bitişikdir. Onların ümumi b tərəfi var və a1, a2 tərəfləri əlavə yarım xətlərdir.

düyü. 3

Şəkil 3 AB düz xəttini göstərir, C nöqtəsi A və B nöqtələri arasında yerləşir. D nöqtəsi AB düz üzərində uzanmayan nöqtədir. Belə çıxır ki, BCD və ACD bucaqları bitişikdir. Onların ümumi yan CD-si var və CA və CB tərəfləri AB düz xəttinin əlavə yarım xətləridir, çünki A, B nöqtələri C başlanğıc nöqtəsi ilə ayrılır.

Qonşu bucaq teoremi

Teorem: bitişik bucaqların cəmi 180°-dir

Sübut:
a1b və a2b bucaqları bitişikdir (bax şək. 2) b şüası açılmamış bucağın a1 və a2 tərəfləri arasında keçir. Deməli, a1b və a2b bucaqlarının cəmi işlənmiş bucağa, yəni 180°-ə bərabərdir. Teorem sübut edilmişdir.

90°-yə bərabər olan bucaq düz bucaq adlanır. Qonşu bucaqların cəminə dair teoremdən belə çıxır ki, düz bucağa bitişik olan bucaq da düz bucaqdır. 90°-dən kiçik bucaq iti, 90°-dən böyük bucaq isə küt adlanır. Qonşu bucaqların cəmi 180° olduğundan, ona bitişik bucaq kəskin bucaq- küt bucaq. Küt bucağa bitişik bucaq iti bucaqdır.

Qonşu açılar- tərəflərindən biri ortaq, qalan tərəfləri isə eyni düz xətt üzərində yerləşən (üst-üstə düşməyən) ümumi təpəsi olan iki bucaq. Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir.

Tərif 1. Bucaq, ortaq mənşəli iki şüa ilə məhdudlaşan müstəvi hissəsidir.

Tərif 1.1. Bucaq bir nöqtədən - bucağın təpəsində - və bu nöqtədən çıxan iki fərqli yarım xəttdən - bucağın tərəflərindən ibarət bir fiqurdur.
Məsələn, Şəkil 1-də BOC bucağı, əvvəlcə iki kəsişən xətti nəzərdən keçirək. Düz xətlər kəsişdikdə bucaqlar əmələ gətirir. Xüsusi hallar var:

Tərif 2. Bucağın tərəfləri bir düz xəttin əlavə yarım xətləridirsə, bucaq inkişaf etmiş adlanır.

Tərif 3. Düz bucaq 90 dərəcə olan bucaqdır.

Tərif 4. 90 dərəcədən kiçik bucaq kəskin bucaq adlanır.

Tərif 5. 90 dərəcədən böyük və 180 dərəcədən kiçik bucaq küt bucaq adlanır.
kəsişən xətlər.

Tərif 6. Bir tərəfi ümumi, digər tərəfləri eyni düz xətt üzərində yerləşən iki bucaq bitişik adlanır.

Tərif 7. Tərəfləri bir-birini davam etdirən bucaqlara şaquli bucaqlar deyilir.
Şəkil 1-də:
bitişik: 1 və 2; 2 və 3; 3 və 4; 4 və 1
şaquli: 1 və 3; 2 və 4
Teorem 1. Qonşu bucaqların cəmi 180 dərəcədir.
Sübut üçün Şəkildə nəzərdən keçirin. 4 bitişik bucaq AOB və BOC. Onların cəmi işlənmiş AOC bucağıdır. Buna görə də bu bitişik bucaqların cəmi 180 dərəcədir.

düyü. 4

Riyaziyyat və musiqi arasında əlaqə

“İncəsənət və elm, onların qarşılıqlı əlaqələri və ziddiyyətləri haqqında düşünərək belə qənaətə gəldim ki, riyaziyyat və musiqi ifrat qütblərdədir. insan ruhu"Bu iki antipodun məhdud olduğunu və insanın bütün yaradıcı mənəvi fəaliyyəti ilə müəyyən edildiyini və onların arasında bəşəriyyətin elm və sənət sahəsində yaratdığı hər şeyin olduğunu."
G. Neuhaus
Belə görünür ki, incəsənət riyaziyyatdan çox mücərrəd bir sahədir. Lakin riyaziyyatın elmlərin ən mücərrəd, musiqinin isə incəsənətin ən mücərrəd növü olmasına baxmayaraq, riyaziyyatla musiqi arasındakı əlaqə həm tarixi, həm də daxili olaraq müəyyən edilir.
Konsonans simin xoş səsini müəyyən edir
Bu musiqi sistemi iki böyük alimin - Pifaqor və Arxitasın adını daşıyan iki qanuna əsaslanırdı. Bunlar qanunlardır:
1. İki səslənən sim, uzunluqları 10=1+2+3+4 üçbucaqlı ədədi təşkil edən tam ədədlər kimi əlaqəli olarsa, samitliyi müəyyən edir, yəni. 1:2, 2:3, 3:4 kimi. Üstəlik, n:(n+1) (n=1,2,3) nisbətində n ədədi nə qədər kiçik olarsa, yaranan interval bir o qədər samit olur.
2. Səslənən simin w vibrasiya tezliyi onun uzunluğu l ilə tərs mütənasibdir.
w = a:l,
burada a səciyyələndirici əmsaldır fiziki xassələri simlər.

Mən də sizə iki riyaziyyatçının mübahisəsi haqqında gülməli bir parodiya təqdim edəcəm =)

Ətrafımızdakı həndəsə

Həyatımızda həndəsənin əhəmiyyəti az deyil. Ona görə ki, ətrafa baxdığınız zaman müxtəlif həndəsi fiqurlarla əhatə olunduğumuzu görmək çətin olmayacaq. Onlara hər yerdə rast gəlirik: küçədə, sinifdə, evdə, parkda, içəridə idman zalı, məktəb bufetində, əsasən sən və mən harada oluruqsa olsunlar. Ancaq bugünkü dərsimizin mövzusu bitişik kömürlərdir. Beləliklə, gəlin ətrafa nəzər salaq və bu mühitdə bucaqlar tapmağa çalışaq. Pəncərəyə diqqətlə baxsanız, bəzi ağac budaqlarının bitişik küncləri əmələ gətirdiyini, darvazadakı arakəsmələrdə isə çoxlu şaquli bucaqları görə bilərsiniz. Ətrafınızda müşahidə etdiyiniz bitişik bucaqlara öz nümunələrinizi verin.

Məşq 1.

1. Kitab stendində stolun üstündə bir kitab var. Hansı bucaq əmələ gətirir?
2. Amma tələbə noutbukda işləyir. Burada hansı bucağı görürsünüz?
3. Foto çərçivə stenddə hansı bucaq yaradır?
4. Sizcə, iki qonşu bucağın bərabər olması mümkündürmü?

Tapşırıq 2.

Qarşınızda həndəsi fiqur var. Bu nə cür fiqurdur, ad verin? İndi bu həndəsi fiqurda görə biləcəyiniz bütün bitişik bucaqları adlandırın.

Tapşırıq 3.

Budur rəsm və rəsm şəkli. Onlara diqqətlə baxın və şəkildə hansı balıq növlərini gördüyünüzü, şəkildə hansı bucaqları gördüyünüzü deyin.

Problemin həlli

Əvvəllər öyrənilmiş materialı nəzərdən keçirmək üçün riyazi diktə

Problemləri həll etmək:

1. 2 düz xəttin kəsişməsindən yaranan 3 bucağın cəmi 100°-yə bərabər ola bilərmi? 370°?
2. Şəkildə bitişik bucaqların bütün cütlərini tapın. İndi şaquli açılar. Bu açıları adlandırın.

3. Ona bitişik olandan üç dəfə böyük olan bucaq tapmaq lazımdır.
4. İki düz xətt bir-birini kəsdi. Bu kəsişmə nəticəsində dörd künc yaranıb. Onlardan hər hansı birinin dəyərini müəyyən etmək şərti ilə:

a) dörd bucağın 2 bucağının cəmi 84°-dir;
b) 2 bucaq arasındakı fərq 45°-dir;
c) bir bucaq ikincidən 4 dəfə kiçikdir;
d) bu bucaqların üçünün cəmi 290°-dir.

Dərsin xülasəsi

1. 2 düz xəttin kəsişməsində yaranan bucaqları adlandırın?
2. Şəkildəki bütün mümkün cüt bucaqları adlandırın və onların növünü təyin edin.

Ev tapşırığı:

1. Onlardan biri ikincisindən 54° böyük olduqda bitişik bucaqların dərəcə ölçülərinin nisbətini tapın.
2. 2 düz xəttin kəsişməsində yaranan bucaqları tapın, bu şərtlə ki, bucaqlardan biri ona bitişik olan digər 2 bucağın cəminə bərabər olsun.
3. Onlardan birinin bissektoru ikincinin tərəfi ilə ikinci bucaqdan 60° böyük olan bucaq əmələ gətirdikdə bitişik bucaqları tapmaq lazımdır.
4. 2 bitişik bucaq arasındakı fərq bu iki bucağın cəminin üçdə birinə bərabərdir. 2 bitişik bucağın dəyərlərini təyin edin.
5. 2 bitişik bucağın fərqi və cəmi müvafiq olaraq 1:5 nisbətindədir. Qonşu açıları tapın.
6. İki qonşu arasındakı fərq onların cəminin 25%-ni təşkil edir. 2 bitişik bucağın dəyərləri necə əlaqələndirilir? 2 bitişik bucağın dəyərlərini təyin edin.

Suallar:

1. Bucaq nədir?
2. Hansı növ bucaqlar var?
3. Qonşu bucaqların xüsusiyyəti nədir?

Sual 1. Hansı bucaqlara bitişik deyilir?
Cavab verin. Bir tərəfi ortaqdırsa, iki bucaq bitişik adlanır və bu bucaqların digər tərəfləri bir-birini tamamlayan yarım xətlərdir.
Şəkil 31-də bucaqlar (a 1 b) və (a 2 b) bitişikdir. Onların ümumi b tərəfi var və a 1 və a 2 tərəfləri əlavə yarım xətlərdir.

Sual 2. Qonşu bucaqların cəminin 180° olduğunu sübut edin.
Cavab verin. Teorem 2.1. Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir.
Sübut. Bucaq (a 1 b) və bucaq (a 2 b) bitişik bucaqlar verilsin (bax şək. 31). B şüası düz bucağın a 1 və a 2 tərəfləri arasından keçir. Buna görə də (a 1 b) və (a 2 b) bucaqların cəmi açılmamış bucağa bərabərdir, yəni 180°. Q.E.D.

Sual 3. Sübut edin ki, iki bucaq bərabərdirsə, onların bitişik bucaqları da bərabərdir.
Cavab verin.

Teoremdən 2.1 Buradan belə çıxır ki, əgər iki bucaq bərabərdirsə, onların bitişik bucaqları da bərabərdir.
Tutaq ki, (a 1 b) və (c 1 d) bucaqları bərabərdir. (a 2 b) və (c 2 d) bucaqlarının da bərabər olduğunu sübut etməliyik.
Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir. Buradan belə nəticə çıxır ki, a 1 b + a 2 b = 180° və c 1 d + c 2 d = 180°. Deməli, a 2 b = 180° - a 1 b və c 2 d = 180° - c 1 d. Bucaqlar (a 1 b) və (c 1 d) bərabər olduğundan a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d olduğunu alırıq. Bərabər işarənin keçid xüsusiyyətindən belə nəticə çıxır ki, a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Sual 4. Hansı bucaq düz (kəskin, küt) adlanır?
Cavab verin. 90°-yə bərabər olan bucaq düz bucaq adlanır.
90°-dən kiçik bucaq kəskin bucaq adlanır.
90°-dən böyük və 180°-dən kiçik bucaq küt adlanır.

Sual 5. Düz bucağa bitişik bucağın düz bucaq olduğunu sübut edin.
Cavab verin. Qonşu bucaqların cəminə dair teoremdən belə çıxır ki, düz bucağa bitişik olan bucaq düz bucaqdır: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Sual 6. Hansı bucaqlara şaquli deyilir?
Cavab verin. Bir bucağın tərəfləri digərinin tərəflərinin tamamlayıcı yarım xətləri olarsa, iki bucaq şaquli adlanır.

Sual 7.Şaquli bucaqların bərabər olduğunu sübut edin.
Cavab verin. Teorem 2.2. Şaquli açılar bərabərdir.
Sübut. Verilmiş şaquli bucaqlar (a 1 b 1) və (a 2 b 2) olsun (şək. 34). Bucaq (a 1 b 2) bucağa (a 1 b 1) və bucağa (a 2 b 2) bitişikdir. Buradan, bitişik bucaqların cəminə dair teoremdən istifadə edərək belə nəticəyə gəlirik ki, bucaqların hər biri (a 1 b 1) və (a 2 b 2) bucağı (a 1 b 2) 180° tamamlayır, yəni. bucaqlar (a 1 b 1) və (a 2 b 2) bərabərdir. Q.E.D.

Sual 8. Sübut edin ki, iki xətt kəsişdikdə bucaqlardan biri düzdürsə, digər üç bucaq da düzdür.
Cavab verin. Tutaq ki, AB və CD xətləri bir-birini O nöqtəsində kəsir. Tutaq ki, AOD bucağı 90°-dir. Qonşu bucaqların cəmi 180° olduğundan AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90° olduğunu alırıq. COB bucağı AOD bucağına dikdir, ona görə də onlar bərabərdir. Yəni COB bucağı = 90°. COA bucağı BOD bucağına dikdir, ona görə də onlar bərabərdir. Yəni BOD bucağı = 90°. Beləliklə, bütün bucaqlar 90 ° -ə bərabərdir, yəni hamısı düz bucaqlardır. Q.E.D.

Sual 9. Hansı xətlərə perpendikulyar deyilir? Xətlərin perpendikulyarlığını göstərmək üçün hansı işarədən istifadə olunur?
Cavab verin.İki xətt düz bucaq altında kəsişirsə, ona perpendikulyar deyilir.
Xətlərin perpendikulyarlığı \(\perp\) işarəsi ilə göstərilir. \(a\perp b\) girişində deyilir: "A xətti b xəttinə perpendikulyardır."

Sual 10. Sübut edin ki, xəttin istənilən nöqtəsi vasitəsilə ona perpendikulyar bir xətt çəkə bilərsiniz və yalnız bir.
Cavab verin. Teorem 2.3. Hər bir xətt vasitəsilə ona perpendikulyar bir xətt çəkə bilərsiniz və yalnız bir.
Sübut. Verilmiş xətt və A onun üzərində verilmiş nöqtə olsun. Başlanğıc nöqtəsi A olan a düz xəttinin yarım xətlərindən birini 1 ilə işarə edək (şək. 38). a 1 yarım xəttindən 90°-yə bərabər olan bucağı (a 1 b 1) çıxaq. Onda b 1 şüasını ehtiva edən düz xətt a düz xəttinə perpendikulyar olacaqdır.

Fərz edək ki, A nöqtəsindən də keçən və a xəttinə perpendikulyar olan başqa bir xətt var. Bu xəttin b 1 şüası ilə eyni yarımmüstəvidə yerləşən yarım xəttini c 1 ilə işarə edək.
Hər biri 90°-yə bərabər olan bucaqlar (a 1 b 1) və (a 1 c 1) a 1 yarım xəttindən bir yarım müstəvidə düzülür. Lakin verilmiş yarım müstəvidə yarım xəttdən 90°-yə bərabər yalnız bir bucaq qoyula bilər. Buna görə də A nöqtəsindən keçən və a xəttinə perpendikulyar olan başqa bir xətt ola bilməz. Teorem sübut edilmişdir.

Sual 11. Xəttə perpendikulyar nədir?
Cavab verin. Verilmiş xəttə perpendikulyar, uclarından biri kəsişmə nöqtəsində olan, verilmiş xəttə perpendikulyar olan xəttin seqmentidir. Seqmentin bu sonu deyilir əsas perpendikulyar.

Sual 12. Ziddiyyətlə sübutun nədən ibarət olduğunu izah edin.
Cavab verin. Teorem 2.3-də istifadə etdiyimiz sübut üsuluna ziddiyyətlə sübut deyilir. Bu sübut üsulu ondan ibarətdir ki, biz əvvəlcə fərziyyə edirik bunun əksi, bu teorem tərəfindən ifadə edilir. Sonra mülahizə yürütərək, aksiomlara və sübut edilmiş teoremlərə əsaslanaraq, ya teoremin şərtlərinə, ya aksiomlardan birinə, ya da əvvəllər sübut edilmiş teoremə zidd olan bir nəticəyə gəlirik. Buna əsaslanaraq belə qənaətə gəlirik ki, bizim fərziyyəmiz düzgün deyildi və buna görə də teoremin ifadəsi doğrudur.

Sual 13. Bucağın bissektoru nədir?
Cavab verin. Bucağın bisektoru bucağın təpəsindən çıxan, onun tərəfləri arasından keçən və bucağı yarıya bölən şüadır.

Bir tərəfi ortaqdırsa, iki bucaq bitişik adlanır və bu bucaqların digər tərəfləri bir-birini tamamlayan şüalardır. Şəkil 20-də AOB və BOC bucaqları bitişikdir.

Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir

Teorem 1. Qonşu bucaqların cəmi 180°-dir.

Sübut. Şüa OB (bax. Şəkil 1) açılmamış bucağın tərəfləri arasında keçir. Buna görə də ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

1-ci teoremdən belə çıxır ki, əgər iki bucaq bərabərdirsə, deməli, onların bitişik bucaqları da bərabərdir.

Şaquli açılar bərabərdir

Bir bucağın tərəfləri digərinin tərəflərinin tamamlayıcı şüalarıdırsa, iki bucaq şaquli adlanır. İki düz xəttin kəsişməsində əmələ gələn AOB və COD, BOD və AOC bucaqları şaquli olur (şək. 2).

Teorem 2. Şaquli bucaqlar bərabərdir.

Sübut. AOB və COD şaquli açılarını nəzərdən keçirək (bax. Şəkil 2). BOD bucağı AOB və COD bucaqlarının hər birinə bitişikdir. Teorem 1-ə görə ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Buradan belə nəticəyə gəlirik ki, ∠ AOB = ∠ COD.

Nəticə 1. Düz bucağa bitişik bucaq düz bucaqdır.

İki kəsişən AC və BD düz xəttini nəzərdən keçirək (şək. 3). Onlar dörd künc təşkil edirlər. Onlardan biri düzdürsə (şəkil 3-də 1-ci bucaq), onda qalan bucaqlar da düzdür (1 və 2, 1 və 4-cü bucaqlar bitişik, 1 və 3-cü bucaqlar şaquli). Bu zaman deyirlər ki, bu xətlər düz bucaq altında kəsişir və onlara perpendikulyar (yaxud qarşılıqlı perpendikulyar) deyilir. AC və BD xətlərinin perpendikulyarlığı aşağıdakı kimi işarələnir: AC ⊥ BD.

Seqmentə perpendikulyar bisektor bu seqmentə perpendikulyar olan və onun orta nöqtəsindən keçən xəttdir.

AN - xəttə perpendikulyar

a düz xəttini və onun üzərində olmayan A nöqtəsini nəzərdən keçirək (şək. 4). Seqmenti olan A nöqtəsini a düz xətti ilə H nöqtəsinə birləşdirək. AN və a xətləri perpendikulyar olarsa, AN seqmentinə A nöqtəsindən a xəttinə çəkilmiş perpendikulyar deyilir. H nöqtəsinə perpendikulyarın əsası deyilir.

Kvadrat çəkmə

Aşağıdakı teorem doğrudur.

Teorem 3. Xətt üzərində olmayan istənilən nöqtədən bu xəttə perpendikulyar və üstəlik yalnız bir nöqtə çəkmək olar.

Rəsmdə bir nöqtədən düz xəttə perpendikulyar çəkmək üçün rəsm kvadratından istifadə edin (şək. 5).

Şərh. Teoremin tərtibi adətən iki hissədən ibarətdir. Bir hissə veriləndən danışır. Bu hissə teoremin şərti adlanır. Digər hissə isə sübut edilməli olanlardan bəhs edir. Bu hissə teoremin nəticəsi adlanır. Məsələn, Teorem 2-nin şərti bucaqların şaquli olmasıdır; nəticə - bu açılar bərabərdir.

İstənilən teoremi sözlə təfərrüatlı şəkildə ifadə etmək olar ki, onun şərti “əgər” sözü ilə, nəticəsi isə “onda” sözü ilə başlasın. Məsələn, 2-ci teoremi aşağıdakı kimi təfərrüatlı şəkildə ifadə etmək olar: “Əgər iki bucaq şaqulidirsə, onda onlar bərabərdirlər”.

Misal 1. Qonşu bucaqlardan biri 44°-dir. Digəri nəyə bərabərdir?

Həll. Başqa bucağın dərəcə ölçüsünü x ilə işarə edək, onda Teorem 1-ə uyğun olaraq.
44° + x = 180°.
Yaranan tənliyi həll edərək, tapırıq ki, x = 136 °. Deməli, digər bucaq 136°-dir.

Misal 2.Şəkil 21-dəki COD bucağı 45° olsun. AOB və AOC bucaqları hansılardır?

Həll. COD və AOB bucaqları şaqulidir, buna görə də Teorem 1.2-yə görə onlar bərabərdir, yəni ∠ AOB = 45°. AOC bucağı COD bucağına bitişikdir, yəni Teorem 1-ə uyğundur.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Misal 3.Əgər onlardan biri digərindən 3 dəfə böyükdürsə, qonşu bucaqları tapın.

Həll. Kiçik bucağın dərəcə ölçüsünü x ilə işarə edək. Onda daha böyük bucağın dərəcə ölçüsü 3x olacaqdır. Qonşu bucaqların cəmi 180°-yə bərabər olduğundan (Teorem 1), onda x + 3x = 180°, buradan x = 45° olur.
Bu o deməkdir ki, bitişik açılar 45° və 135°-dir.

Misal 4.İki şaquli bucağın cəmi 100°-dir. Dörd bucağın hər birinin ölçüsünü tapın.

Həll. Şəkil 2 məsələnin şərtlərinə cavab versin.COD-dən AOB-ə şaquli bucaqlar bərabərdir (Teorem 2), bu o deməkdir ki, onların dərəcə ölçüləri də bərabərdir. Buna görə də, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (şərtə görə onların cəmi 100°-dir). BOD bucağı (həmçinin AOC bucağı) COD bucağına bitişikdir və buna görə də Teorem 1-ə görə
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.