Sådan tilføjes uægte brøker. Handlinger med brøker

Denne lektion vil dække addition og subtraktion af algebraiske brøker med forskellige nævnere. Vi ved allerede, hvordan man adderer og subtraherer fællesbrøker med forskellige nævnere. For at gøre dette skal brøkerne reduceres til en fællesnævner. Det viser sig, at algebraiske brøker overholder de samme regler. Desuden ved vi allerede, hvordan man bringer algebraiske brøker til en fællesnævner. Tilføjelse og fratrækning af brøker med forskellige nævnere er et af de vigtigste og sværeste emner i 8. klasseforløbet. Desuden vil dette emne blive fundet i mange emner på algebrakurset, som du vil studere i fremtiden. Som en del af lektionen vil vi studere reglerne for addition og subtraktion af algebraiske brøker med forskellige nævnere, samt analysere en række typiske eksempler.

Lad os overveje det enkleste eksempel for almindelige brøker.

Eksempel 1. Tilføj brøker:.

Opløsning:

Lad os huske reglen for at tilføje brøker. Til at begynde med skal brøkerne bringes til en fællesnævner. Fællesnævneren for almindelige brøker er mindste fælles multiplum(LCM) indledende nævnere.

Definition

Det mindste naturlige tal, der er deleligt med tallene og på samme tid.

For at finde LCM er det nødvendigt at udvide nævnerne til primfaktorer og derefter vælge alle primfaktorer, der indgår i udvidelsen af ​​begge nævnere.

; ... Derefter skal LCM af tal omfatte to toere og to tripler:.

Efter at have fundet fællesnævneren, er det nødvendigt at finde en ekstra faktor for hver af brøkerne (faktisk dividere fællesnævneren med nævneren af ​​den tilsvarende brøk).

Derefter ganges hver brøk med den resulterende yderligere faktor. Der opnås brøker med de samme nævnere, som vi har lært at lægge til og trække fra i tidligere lektioner.

Vi får: .

Svar:.

Overvej nu tilføjelsen af ​​algebraiske brøker med forskellige nævnere. Overvej først brøker, hvis nævnere er tal.

Eksempel 2. Tilføj brøker:.

Opløsning:

Løsningsalgoritmen ligner fuldstændig det foregående eksempel. Det er let at finde en fællesnævner for disse brøker: og yderligere faktorer for hver af dem.

.

Svar:.

Så lad os formulere algoritme til addition og subtraktion af algebraiske brøker med forskellige nævnere:

1. Find den laveste fællesnævner for brøkerne.

2. Find yderligere faktorer for hver af brøkerne (ved at dividere fællesnævneren med nævneren for den givne brøk).

3. Gang tællerne med de tilsvarende yderligere faktorer.

4. Tilføj eller subtraher brøker ved at bruge reglerne for at lægge til og trække brøker fra med samme nævner.

Betragt nu et eksempel med brøker med bogstavelige udtryk i nævneren.

Eksempel 3. Tilføj brøker:.

Opløsning:

Da de bogstavelige udtryk i begge nævnere er ens, bør du finde en fællesnævner for tallene. Den endelige fællesnævner vil være:. Løsningen på dette eksempel ser således ud:

Svar:.

Eksempel 4. Træk brøker fra:.

Opløsning:

Hvis du ikke kan "snyde" når du vælger en fællesnævner (du kan ikke faktorisere den eller bruge de forkortede multiplikationsformler), så skal du tage produktet af nævnerne af begge brøker som fællesnævner.

Svar:.

Generelt, når man løser sådanne eksempler, er den sværeste opgave at finde en fællesnævner.

Lad os se på et mere komplekst eksempel.

Eksempel 5. Forenkle:.

Opløsning:

Når du skal finde en fællesnævner, skal du først prøve at faktorisere nævnerne af de oprindelige brøker (for at forenkle fællesnævneren).

I dette særlige tilfælde:

Så er det nemt at bestemme fællesnævneren: .

Vi bestemmer yderligere faktorer og løser dette eksempel:

Svar:.

Lad os nu rette reglerne for addition og subtraktion af brøker med forskellige nævnere.

Eksempel 6. Forenkle:.

Opløsning:

Svar:.

Eksempel 7. Forenkle:.

Opløsning:

.

Svar:.

Overvej nu et eksempel, hvor ikke to, men tre brøker lægges til (trods alt forbliver reglerne for addition og subtraktion for flere brøker de samme).

Eksempel 8. Forenkle:.

Denne lektion vil dække addition og subtraktion af algebraiske brøker med forskellige nævnere. Vi ved allerede, hvordan man adderer og subtraherer fællesbrøker med forskellige nævnere. For at gøre dette skal brøkerne reduceres til en fællesnævner. Det viser sig, at algebraiske brøker overholder de samme regler. Desuden ved vi allerede, hvordan man bringer algebraiske brøker til en fællesnævner. Tilføjelse og fratrækning af brøker med forskellige nævnere er et af de vigtigste og sværeste emner i 8. klasseforløbet. Desuden vil dette emne blive fundet i mange emner på algebrakurset, som du vil studere i fremtiden. Som en del af lektionen vil vi studere reglerne for addition og subtraktion af algebraiske brøker med forskellige nævnere, samt analysere en række typiske eksempler.

Lad os overveje det enkleste eksempel for almindelige brøker.

Eksempel 1. Tilføj brøker:.

Opløsning:

Lad os huske reglen for at tilføje brøker. Til at begynde med skal brøkerne bringes til en fællesnævner. Fællesnævneren for almindelige brøker er mindste fælles multiplum(LCM) indledende nævnere.

Definition

Det mindste naturlige tal, der er deleligt med tallene og på samme tid.

For at finde LCM er det nødvendigt at udvide nævnerne til primfaktorer og derefter vælge alle primfaktorer, der indgår i udvidelsen af ​​begge nævnere.

; ... Derefter skal LCM af tal omfatte to toere og to tripler:.

Efter at have fundet fællesnævneren, er det nødvendigt at finde en ekstra faktor for hver af brøkerne (faktisk dividere fællesnævneren med nævneren af ​​den tilsvarende brøk).

Derefter ganges hver brøk med den resulterende yderligere faktor. Der opnås brøker med de samme nævnere, som vi har lært at lægge til og trække fra i tidligere lektioner.

Vi får: .

Svar:.

Overvej nu tilføjelsen af ​​algebraiske brøker med forskellige nævnere. Overvej først brøker, hvis nævnere er tal.

Eksempel 2. Tilføj brøker:.

Opløsning:

Løsningsalgoritmen ligner fuldstændig det foregående eksempel. Det er let at finde en fællesnævner for disse brøker: og yderligere faktorer for hver af dem.

.

Svar:.

Så lad os formulere algoritme til addition og subtraktion af algebraiske brøker med forskellige nævnere:

1. Find den laveste fællesnævner for brøkerne.

2. Find yderligere faktorer for hver af brøkerne (ved at dividere fællesnævneren med nævneren for den givne brøk).

3. Gang tællerne med de tilsvarende yderligere faktorer.

4. Tilføj eller subtraher brøker ved at bruge reglerne for at lægge til og trække brøker fra med samme nævner.

Betragt nu et eksempel med brøker med bogstavelige udtryk i nævneren.

Eksempel 3. Tilføj brøker:.

Opløsning:

Da de bogstavelige udtryk i begge nævnere er ens, bør du finde en fællesnævner for tallene. Den endelige fællesnævner vil være:. Løsningen på dette eksempel ser således ud:

Svar:.

Eksempel 4. Træk brøker fra:.

Opløsning:

Hvis du ikke kan "snyde" når du vælger en fællesnævner (du kan ikke faktorisere den eller bruge de forkortede multiplikationsformler), så skal du tage produktet af nævnerne af begge brøker som fællesnævner.

Svar:.

Generelt, når man løser sådanne eksempler, er den sværeste opgave at finde en fællesnævner.

Lad os se på et mere komplekst eksempel.

Eksempel 5. Forenkle:.

Opløsning:

Når du skal finde en fællesnævner, skal du først prøve at faktorisere nævnerne af de oprindelige brøker (for at forenkle fællesnævneren).

I dette særlige tilfælde:

Så er det nemt at bestemme fællesnævneren: .

Vi bestemmer yderligere faktorer og løser dette eksempel:

Svar:.

Lad os nu rette reglerne for addition og subtraktion af brøker med forskellige nævnere.

Eksempel 6. Forenkle:.

Opløsning:

Svar:.

Eksempel 7. Forenkle:.

Opløsning:

.

Svar:.

Overvej nu et eksempel, hvor ikke to, men tre brøker lægges til (trods alt forbliver reglerne for addition og subtraktion for flere brøker de samme).

Eksempel 8. Forenkle:.

Brøkudtryk er svære for et barn at forstå. De fleste har vanskeligheder forbundet med. Når man studerer emnet "tilføje brøker med heltal", falder barnet i en stupor og finder det svært at løse opgaven. I mange eksempler skal der udføres en række beregninger, før en handling udføres. Omregn f.eks. brøker eller konverter en uægte brøk til en korrekt.

Lad os forklare barnet visuelt. Lad os tage tre æbler, hvoraf to vil være hele, og det tredje vil blive skåret i 4 dele. Vi adskiller en skive fra det skårne æble og lægger de tre andre ved siden af ​​to hele frugter. Vi får ¼ æbler i den ene side og 2 ¾ i den anden. Hvis vi kombinerer dem, får vi tre hele æbler. Lad os prøve at reducere 2 ¾ æbler med ¼, det vil sige fjern en skive mere, vi får 2 2/4 æbler.

Lad os se nærmere på handlinger med brøker, der indeholder heltal:

Til at begynde med, lad os huske regnereglen for brøkudtryk med en fællesnævner:

Ved første øjekast er alt nemt og enkelt. Men dette gælder kun for udtryk, der ikke kræver konvertering.

Hvordan finder man betydningen af ​​et udtryk, hvor nævnerne er forskellige

I nogle opgaver er det nødvendigt at finde betydningen af ​​et udtryk, hvor nævnerne er forskellige. Lad os overveje et specifikt tilfælde:
3 2/7+6 1/3

Vi finder værdien af ​​dette udtryk, for dette finder vi en fællesnævner for to brøker.

For tallene 7 og 3 - dette er 21. Vi lader hele delene være de samme, og brøkdelene reduceres til 21, for dette multiplicerer vi den første brøk med 3, den anden med 7, får vi:
6/21 + 7/21, glem ikke, at hele dele ikke kan konverteres. Som et resultat får vi to brøker med én nævner og beregner deres sum:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Hvad hvis tilføjelsen resulterer i en forkert brøk, der allerede har en heltalsdel:
2 1/3+3 2/3
I dette tilfælde tilføjer vi hele dele og brøkdele, vi får:
5 3/3, som du ved, er 3/3 en enhed, så 2 1/3 + 3 2/3 = 5 3/3 = 5 + 1 = 6

Med at finde summen er alt klart, lad os analysere subtraktionen:

Ud fra alt det, der er blevet sagt, følger reglen om handlinger med blandede tal, som lyder sådan:

• Hvis det er nødvendigt at trække et heltal fra et brøkudtryk, behøver du ikke at repræsentere det andet tal som en brøk, det er nok kun at udføre en handling på heltalsdele.

Lad os selv prøve at beregne værdien af ​​udtrykkene:

Lad os se nærmere på eksemplet under bogstavet "m":

4 5 / 11-2 8/11, er tælleren for den første brøk mindre end den anden. For at gøre dette tager vi et heltal fra den første brøk, vi får,
3 5/11 + 11/11 = 3 hele 16/11, træk den anden fra den første brøk:
3 16 / 11-2 8/11 = 1 heltal 8/11

• Vær forsigtig, når du udfører opgaven, glem ikke at konvertere de uregelmæssige fraktioner til blandede, og fremhæve hele delen. For at gøre dette skal du dividere værdien af ​​tælleren med værdien af ​​nævneren, så træder det der skete i stedet for hele delen, resten vil være tælleren, for eksempel:

19/4 = 4 ¾, tjek: 4 * 4 + 3 = 19, i nævneren forbliver 4 uændret.

Sammenfatte:

Inden man går videre med opgaven vedrørende brøker, er det nødvendigt at analysere, hvad det er for et udtryk, hvilke transformationer der skal udføres på brøken for at løsningen er korrekt. Se efter en mere rationel løsning. Tag ikke svære veje. Planlæg alle handlingerne, beslut først i et udkast, og overfør derefter til en skolenotesbog.

For at undgå forvirring, når du løser brøkudtryk, skal du følge sekvensreglen. Beslut alt omhyggeligt uden at skynde sig.

En af de vigtigste videnskaber, hvis anvendelse kan ses i discipliner som kemi, fysik og endda biologi, er matematik. Studiet af denne videnskab giver dig mulighed for at udvikle nogle mentale kvaliteter, forbedre og evnen til at koncentrere dig. Et af de emner, der fortjener særlig opmærksomhed på kurset "Matematik", er addition og subtraktion af brøker. For mange elever er det svært at lære det. Måske vil vores artikel hjælpe dig med bedre at forstå dette emne.

Hvordan man trækker brøker med de samme nævnere

Brøker er de samme tal, som du kan udføre forskellige handlinger med. De adskiller sig fra heltal i nærvær af en nævner. Det er derfor, når du udfører handlinger med brøker, skal du studere nogle af deres funktioner og regler. Det enkleste tilfælde er subtraktionen af ​​almindelige brøker, hvis nævnere er repræsenteret som det samme tal. Denne handling vil ikke være svær, hvis du kender en simpel regel:

• For at trække den anden fra en brøk, er det nødvendigt at trække tælleren for den subtraherede brøk fra tælleren for den reducerede brøk. Vi skriver dette tal i tælleren af ​​forskellen, og lader nævneren være den samme: k / m - b / m = (k-b) / m.

Eksempler på at trække brøker fra med de samme nævnere

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Vi trækker tælleren for den subtraherede brøk "3" fra tælleren for den reducerede brøk "7", vi får "4". Vi skriver dette tal i tælleren for svaret, og i nævneren sætter vi det samme tal, som var i nævnerne af første og anden brøk - "19".

Billedet nedenfor viser nogle flere lignende eksempler.

Overvej et mere komplekst eksempel, hvor brøker med de samme nævnere trækkes fra:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Fra tælleren for den reducerede brøk "29" ved på skift at trække tællerne for alle efterfølgende brøker - "3", "8", "2", "7". Som et resultat får vi resultatet "9", som vi skriver i svarets tæller, og i nævneren skriver vi det tal ned, der er i nævnerne af alle disse brøker - "47".

Tilføjelse af brøker med samme nævner

Tilføjelse og subtraktion af almindelige brøker udføres efter samme princip.

• For at tilføje brøker, hvis nævnere er de samme, skal du tilføje tællere. Det resulterende tal er tælleren af ​​summen, og nævneren forbliver den samme: k / m + b / m = (k + b) / m.

Lad os se, hvordan det ser ud i et eksempel:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Til tælleren for det første led i brøken - "1" - tilføj tælleren for det andet led i brøken - "2". Resultatet - "3" - skrives i summens tæller, og nævneren er den samme som i brøkerne - "4".

Brøker med forskellige nævnere og deres subtraktion

Vi har allerede overvejet handlingen med brøker, der har samme nævner. Som du kan se, ved at kende de enkle regler, er det ret nemt at løse sådanne eksempler. Men hvad hvis du skal udføre en handling med brøker, der har forskellige nævnere? Mange gymnasieelever er forvirrede over disse eksempler. Men selv her, hvis du kender princippet om løsningen, vil eksemplerne ikke længere byde på vanskeligheder for dig. Der er også en regel her, uden hvilken løsningen af ​​sådanne fraktioner simpelthen er umulig.

For at trække brøker med forskellige nævnere, skal du bringe dem til den samme laveste nævner.



Vi vil tale mere detaljeret om, hvordan man gør dette.

Brøkegenskab

For at bringe flere brøker til samme nævner, skal du bruge brøkens hovedegenskab i løsningen: efter at have divideret eller ganget tælleren og nævneren med det samme tal, får du en brøk lig med den givne.

Så for eksempel kan brøken 2/3 have sådanne nævnere som "6", "9", "12" osv., det vil sige, den kan have form af ethvert tal, der er et multiplum af "3". Efter at vi har ganget tælleren og nævneren med "2", får vi brøken 4/6. Efter at vi har ganget tælleren og nævneren af ​​den oprindelige brøk med "3", får vi 6/9, og hvis vi udfører den samme handling med tallet "4", får vi 8/12. Med én lighed kan det skrives sådan:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Sådan konverteres flere brøker til den samme nævner

Lad os overveje, hvordan man bringer flere brøker til den samme nævner. Tag for eksempel brøkerne vist på billedet nedenfor. Først skal du bestemme, hvilket tal der kan blive nævneren for dem alle. For at gøre det nemmere faktoriserer vi de tilgængelige nævnere.

Nævneren af ​​1/2 og 2/3 kan ikke faktoriseres. Nævneren 7/9 har to faktorer 7/9 = 7 / (3 x 3), nævneren for brøken 5/6 = 5 / (2 x 3). Nu skal du bestemme, hvilke faktorer der vil være de mindste for alle disse fire fraktioner. Da den første brøk i nævneren indeholder tallet "2", hvilket betyder, at den skal være til stede i alle nævnere, er der to tripler i 7/9-brøken, hvilket betyder, at de begge også skal være til stede i nævneren. I betragtning af ovenstående bestemmer vi, at nævneren består af tre faktorer: 3, 2, 3 og er lig med 3 x 2 x 3 = 18.



Overvej den første brøk - 1/2. Dens nævner indeholder "2", men der er ikke et enkelt ciffer "3", men der skal være to. For at gøre dette multiplicerer vi nævneren med to tripler, men ifølge brøkens egenskab skal vi gange tælleren med to tripler:
1/2 = (1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3) = 9/18.

På samme måde udfører vi handlinger med de resterende brøker.

• 2/3 - en tre og en to mangler i nævneren:
  2/3 = (2 x 3 x 2) / (3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 eller 7 / (3 x 3) - to mangler i nævneren:
  7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18.
• 5/6 eller 5 / (2 x 3) - nævneren mangler en tredobbelt:
  5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.

Tilsammen ser det sådan ud:



Hvordan man trækker og adderer brøker med forskellige nævnere

Som nævnt ovenfor, for at tilføje eller subtrahere brøker med forskellige nævnere, skal de reduceres til den samme nævner, og derefter bruge reglerne for fratrækning af brøker med samme nævner, som allerede er beskrevet.

Lad os tage et kig på dette eksempel: 4/18 - 3/15.

Find et multiplum af 18 og 15:

• Nummer 18 består af 3 x 2 x 3.
• Tallet 15 består af 5 x 3.
• Det fælles multiplum vil være 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Efter at nævneren er fundet, er det nødvendigt at beregne den faktor, der vil være forskellig for hver brøk, det vil sige det tal, som ikke kun nævneren, men også tælleren skal ganges med. For at gøre dette divideres det tal, vi fandt (det fælles multiplum) med nævneren for den brøk, som yderligere faktorer skal bestemmes for.

• 90 divideret med 15. Det resulterende tal "6" vil være en faktor for 3/15.
• 90 divideret med 18. Det resulterende tal "5" vil være en multiplikator for 4/18.

Det næste trin i vores løsning er at bringe hver brøk til nævneren "90".

Vi har allerede diskuteret, hvordan dette gøres. Lad os se, hvordan dette er skrevet i et eksempel:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Hvis brøkerne er med små tal, så kan fællesnævneren bestemmes, som i eksemplet vist på billedet nedenfor.



På samme måde er det produceret og har forskellige nævnere.

Subtraktion og have hele dele

Vi har allerede dækket subtraktionen af ​​brøker og deres addition i detaljer. Men hvordan trækker man fra, hvis brøken har en heltalsdel? Igen, lad os bruge et par regler:

• Alle brøker, der har en heltalsdel, skal konverteres til forkerte. Enkelt sagt, fjern hele delen. For at gøre dette skal du gange tallet på heltalsdelen med nævneren af ​​brøken, tilføje det resulterende produkt til tælleren. Tallet, der opnås efter disse handlinger, er tælleren for den uægte brøk. Nævneren forbliver uændret.
• Hvis brøker har forskellige nævnere, bør du bringe dem til det samme.
• Tilføj eller subtraher med de samme nævnere.
• Hvis du får en forkert brøk, skal du vælge hele delen.



Der er en anden måde, hvorpå du kan tilføje og trække brøker med hele dele. Til dette udføres handlinger separat med hele dele, og separat handlinger med fraktioner, og resultaterne registreres sammen.



Ovenstående eksempel består af brøker, der har samme nævner. I det tilfælde, hvor nævnerne er forskellige, skal de reduceres til det samme, og derefter udføre handlingerne, som vist i eksemplet.

At trække brøker fra et heltal

En anden af ​​handlingstyperne med brøker er tilfældet, når brøken skal trækkes fra Ved første øjekast virker dette eksempel svært at løse. Alt er dog ret simpelt her. For at løse det er det nødvendigt at konvertere et heltal til en brøk, og med samme nævner, som er i brøken, der skal trækkes fra. Dernæst laver vi en subtraktion, svarende til subtraktion med de samme nævnere. For eksempel ser det sådan ud:

7 - 4/9 = (7 x 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Subtraktionen af ​​brøker (karakter 6) givet i denne artikel er grundlaget for at løse mere komplekse eksempler, som overvejes i efterfølgende klasser. Kendskabet til dette emne bruges efterfølgende til at løse funktioner, afledte og så videre. Derfor er det meget vigtigt at forstå og forstå handlingerne med brøker diskuteret ovenfor.

§ 87. Tilføjelse af brøker.

Brøkaddition har mange ligheder med heltalsaddition. Addition af brøker er en handling, der består i, at flere givne tal (led) kombineres til ét tal (sum), som indeholder alle lednes enheder og brøker af enheder.

Vi vil overveje tre sager i rækkefølge:

1. Tilføjelse af brøker med samme nævnere.
2. Tilføjelse af brøker med forskellige nævnere.
3. Tilføjelse af blandede tal.

1. Tilføjelse af brøker med samme nævnere.

Overvej et eksempel: 1/5 + 2/5.

Tag segmentet AB (fig. 17), tag det som en enhed og del det i 5 lige store dele, så vil delen AC af dette segment være lig med 1/5 af segmentet AB, og delen af ​​samme segment CD vil være lig med 2/5 AB.

Tegningen viser, at hvis du tager segmentet AD, så vil det være lig med 3/5 AB; men segmentet AD er blot summen af ​​segmenterne AC og CD. Derfor kan vi skrive:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

I betragtning af disse vilkår og den resulterende sum, ser vi, at tælleren af ​​summen blev opnået fra tilføjelsen af ​​tællere af vilkårene, og nævneren forblev uændret.

Herfra får vi følgende regel: for at tilføje brøker med samme nævner, skal du tilføje deres tællere og lade den samme nævner stå.

Lad os overveje et eksempel:

2. Tilføjelse af brøker med forskellige nævnere.

Vi tilføjer brøkerne: 3/4 + 3/8 Først skal de reduceres til den laveste fællesnævner:

Mellemleddet 6/8 + 3/8 kunne ikke være skrevet; vi skrev det her for klarhedens skyld.

For at tilføje brøker med forskellige nævnere skal du altså først bringe dem til den laveste fællesnævner, tilføje deres tællere og underskrive fællesnævneren.

Overvej et eksempel (vi vil skrive yderligere faktorer over de tilsvarende brøker):

3. Tilføjelse af blandede tal.

Tilføj tallene: 2 3/8 + 3 5/6.

Først bringer vi brøkdelene af vores tal til en fællesnævner og omskriver dem igen:

Lad os nu tilføje hele og brøkdele sekventielt:

§ 88. Fradrag af brøker.

At trække brøker fra er defineret på samme måde som at trække hele tal fra. Dette er en handling, hvorved der for en given sum af to led og en af ​​dem findes et andet led. Lad os overveje tre tilfælde i rækkefølge:

1. Subtraktion af brøker med samme nævner.
2. Subtraktion af brøker med forskellige nævnere.
3. Subtraktion af blandede tal.

1. Subtraktion af brøker med samme nævner.

Lad os overveje et eksempel:

13 / 15 - 4 / 15

Tag segmentet AB (fig. 18), tag det som en enhed og del det i 15 lige store dele; så vil en del af AC i dette segment være 1/15 af AB, og en del af AD i samme segment vil svare til 13/15 AB. Lad os lægge segmentet ED til side, lig med 4/15 AB.

Vi skal trække 4/15 fra 13/15. På tegningen betyder det, at du skal trække segmentet ED fra segmentet AD. Som følge heraf forbliver segmentet AE, hvilket er 9/15 af segmentet AB. Så vi kan skrive:

Vores eksempel viser, at forskellens tæller fås ved at trække tællerne fra, men nævneren forbliver den samme.

For at subtrahere brøker med den samme nævner skal du derfor trække tælleren for det subtraherede fra tælleren for de dekrementerede og lade den samme nævner stå.

2. Subtraktion af brøker med forskellige nævnere.

Eksempel. 3/4 - 5/8

Først bringer vi disse brøker til den laveste fællesnævner:

Mellem 6/8 - 5/8 er skrevet her for klarhedens skyld, men kan udelades herefter.

For at trække en brøk fra en brøk skal du altså først bringe dem til den laveste fællesnævner, derefter trække tælleren fra den fratrækkede fra tælleren i den reducerede og underskrive fællesnævneren under deres differens.

Lad os overveje et eksempel:

3. Subtraktion af blandede tal.

Eksempel. 10 3/4 - 7 2/3.

Lad os bringe brøkdelene af det reducerede og subtraherede til den laveste fællesnævner:

Vi trækker helheden fra helheden og brøken fra brøken. Men der er tidspunkter, hvor brøkdelen af ​​det subtraherede er større end brøkdelen af ​​det reducerede. I sådanne tilfælde skal du tage en enhed fra hele den formindskede del, opdele den i de dele, hvor brøkdelen er udtrykt, og tilføje den til brøkdelen af ​​den formindskede. Og så vil subtraktionen blive udført på samme måde som i det foregående eksempel:

§ 89. Brøkformering.

Når vi studerer multiplikation af brøker, vil vi overveje følgende spørgsmål:

1. Multiplikation af en brøk med et heltal.
2. Finde brøkdelen af ​​et givet tal.
3. Multiplikation af et heltal med en brøk.
4. Multiplikation af en brøk med en brøk.
5. Multiplikation af blandede tal.
6. Rentebegrebet.
7. Finde procentdelen af ​​et givet tal. Lad os overveje dem sekventielt.

1. Multiplikation af en brøk med et heltal.

At gange en brøk med et heltal har samme betydning som at gange et heltal med et heltal. At multiplicere en brøk (multiplikator) med et heltal (multiplikator) betyder at sammensætte summen af ​​de samme led, hvor hvert led er lig med multiplikatoren, og antallet af led er lig med multiplikatoren.

Så hvis du skal gange 1/9 med 7, så kan dette gøres sådan her:

Vi fik let resultatet, da handlingen blev reduceret til at tilføje brøker med de samme nævnere. Derfor,

Betragtning af denne handling viser, at multiplikation af en brøk med et heltal svarer til at øge denne brøk så mange gange, som der er enheder i det hele tal. Og da en stigning i brøken opnås enten ved at øge dens tæller

eller ved at formindske dens nævner , så kan vi enten gange tælleren med et heltal eller dividere nævneren med det, hvis en sådan division er mulig.

Herfra får vi reglen:

For at gange en brøk med et heltal skal du gange tælleren med dette heltal og lade nævneren være den samme, eller, hvis det er muligt, dividere nævneren med det tal, så tælleren forbliver uændret.

Ved multiplikation er forkortelser mulige, for eksempel:

2. Finde brøkdelen af ​​et givet tal. Der er mange problemer i løsningen, som du skal finde eller beregne en del af et givet tal af. Forskellen mellem disse opgaver fra andre er, at de giver antallet af nogle objekter eller måleenheder, og det er påkrævet at finde en del af dette tal, som også her er angivet med en bestemt brøkdel. For at gøre det lettere at forstå, vil vi først give eksempler på sådanne problemer, og derefter vil vi introducere dig til måden at løse dem på.

Mål 1. Jeg havde 60 rubler; Jeg brugte 1/3 af disse penge på indkøb af bøger. Hvor meget kostede bøgerne?

Mål 2. Toget skal køre afstanden mellem byerne A og B, svarende til 300 km. Han har allerede tilbagelagt 2/3 af denne distance. Hvor mange kilometer er det?

Mål 3. Der er 400 huse i landsbyen, hvoraf 3/4 er mursten, resten er træ. Hvor mange murstenshuse er der?

Her er nogle af de mange problemer med at finde en brøkdel af et givet tal, som vi står over for. De kaldes normalt problemer med at finde brøkdelen af ​​et givet tal.

Løsning på opgave 1. Fra 60 rubler. Jeg brugte på bøger 1/3; Så for at finde prisen på bøger skal du dividere tallet 60 med 3:

Løsning på opgave 2. Meningen med problemet er, at du skal finde 2/3 af 300 km. Lad os beregne den første 1/3 af 300; dette opnås ved at dividere 300 km med 3:

300: 3 = 100 (dette er 1/3 af 300).

For at finde to tredjedele af 300 skal du fordoble den resulterende kvotient, det vil sige gange med 2:

100 x 2 = 200 (dette er 2/3 af 300).

Løsning på problem 3. Her skal du bestemme antallet af murstenshuse, som er 3/4 af 400. Lad os finde først 1/4 af 400,

400: 4 = 100 (dette er 1/4 af 400).

For at beregne tre fjerdedele af 400 skal den resulterende kvotient tredobles, det vil sige ganget med 3:

100 x 3 = 300 (dette er 3/4 af 400).

Baseret på løsningen af ​​disse problemer kan vi udlede følgende regel:

For at finde værdien af ​​en brøkdel af et givet tal, skal du dividere dette tal med nævneren af ​​brøken og gange den resulterende kvotient med dens tæller.

3. Multiplikation af et heltal med en brøk.

Tidligere (§ 26) blev det fastslået, at multiplikationen af ​​heltal skal forstås som addition af de samme led (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). I dette afsnit (punkt 1) blev det fastslået, at multiplikation af en brøk med et heltal betyder, at man finder summen af ​​de samme led lig med denne brøk.

I begge tilfælde bestod multiplikationen i at finde summen af ​​de samme led.

Vi vender os nu til heltalsmultiplikation med en brøk. Her vil vi møde sådan for eksempel multiplikation: 9 2/3. Det er helt indlysende, at den tidligere definition af multiplikation ikke passer til dette tilfælde. Dette kan ses af, at vi ikke kan erstatte en sådan multiplikation ved at lægge tal lig med hinanden.

På grund af dette bliver vi nødt til at give en ny definition af multiplikation, det vil sige, svare på spørgsmålet om, hvad der skal forstås ved multiplikation med en brøk, hvordan denne handling skal forstås.

Betydningen af ​​at gange et heltal med en brøk er tydeliggjort ud fra følgende definition: at gange et heltal (multiplikator) med en brøk (multiplikator) betyder at finde denne brøkdel af multiplikatoren.

At gange 9 med 2/3 betyder nemlig at finde 2/3 af ni enheder. I det foregående afsnit blev sådanne opgaver løst; så det er nemt at regne ud, at vi ender med 6.

Men nu opstår et interessant og vigtigt spørgsmål: hvorfor så tilsyneladende forskellige handlinger, såsom at finde summen af ​​lige tal og finde brøkdelen af ​​et tal, kaldes i aritmetik med det samme ord "multiplikation"?

Dette sker, fordi den forrige handling (gentagelse af tallet ved summanderne flere gange) og den nye handling (at finde brøkdelen af ​​et tal) giver svar på homogene spørgsmål. Det betyder, at vi her går ud fra de betragtninger, at homogene spørgsmål eller problemer løses ved samme handling.

For at forstå dette skal du overveje følgende problem: "1 meter klud koster 50 rubler. Hvor meget vil 4 m sådan klud koste?"

Dette problem løses ved at gange antallet af rubler (50) med antallet af meter (4), dvs. 50 x 4 = 200 (rubler).

Lad os tage det samme problem, men i det vil mængden af ​​klud blive udtrykt som et brøktal: "1 m klud koster 50 rubler. Hvor meget vil 3/4 m af sådan en klud koste?"

Dette problem skal også løses ved at gange antallet af rubler (50) med antallet af meter (3/4).

Det er muligt og flere gange, uden at ændre betydningen af ​​problemet, at ændre tallene i det, for eksempel tage 9/10 m eller 2 3/10 m osv.

Da disse opgaver har samme indhold og kun adskiller sig i tal, kalder vi de handlinger, der bruges til at løse dem, for det samme ord - multiplikation.

Hvordan bliver et heltal ganget med en brøk?

Lad os tage tallene i den sidste opgave:

Ifølge definitionen skal vi finde 3/4 af 50. Først finder vi 1/4 af 50, og derefter 3/4.

1/4 af tallet 50 er 50/4;

3/4 af tallet 50 er.

Derfor.

Overvej et andet eksempel: 12 5/8 =?

1/8 af 12 er 12/8,

5/8 af tallet 12 er.

Derfor,

Herfra får vi reglen:

For at gange et heltal med en brøk, skal du gange hele tallet med brøkens tæller og gøre dette produkt til tælleren og underskrive nævneren for denne brøk som nævneren.

Lad os skrive denne regel med bogstaver:

For at gøre denne regel fuldstændig klar, skal det huskes, at en brøk kan ses som en kvotient. Derfor er det nyttigt at sammenligne den fundne regel med reglen for at gange et tal med en kvotient, som blev præsenteret i § 38

Det skal huskes, at før du udfører multiplikationen, skal du gøre (hvis muligt) reduktioner, For eksempel:

4. Multiplikation af en brøk med en brøk. At gange en brøk med en brøk har samme betydning som at gange et heltal med en brøk, det vil sige, at når man multiplicerer en brøk med en brøk, skal man finde brøken i faktoren fra den første brøk (multiplikation).

At gange 3/4 med 1/2 (halvdelen) betyder nemlig at finde halvdelen af ​​3/4.

Hvordan foregår multiplikationen af ​​en brøk med en brøk?

Lad os tage et eksempel: 3/4 gange 5/7. Det betyder, at du skal finde 5/7 af 3/4. Find først 1/7 af 3/4, og derefter 5/7

1/7 af 3/4 vil blive udtrykt således:

5/7 af 3/4 vil blive udtrykt således:

På denne måde

Et andet eksempel: 5/8 gange 4/9.

1/9 af 5/8 er,

4/9 af tallet 5/8 er.

På denne måde

I betragtning af disse eksempler kan følgende regel udledes:

For at gange en brøk med en brøk skal du gange tælleren med tælleren og nævneren med nævneren og gøre det første produkt til tælleren, og det andet til produktets nævner.

Generelt kan denne regel skrives som følger:

Ved multiplikation er det nødvendigt at lave (hvis muligt) reduktioner. Lad os overveje nogle eksempler:

5. Multiplikation af blandede tal. Da blandede tal nemt kan erstattes af uægte brøker, bruges denne omstændighed normalt ved multiplikation af blandede tal. Det betyder, at i tilfælde, hvor multiplikatoren eller faktoren eller begge faktorer er udtrykt med blandede tal, så erstattes de med forkerte brøker. Lad os for eksempel gange de blandede tal: 2 1/2 og 3 1/5. Lad os konvertere hver af dem til en uregelmæssig brøk, og så vil vi gange de resulterende brøker i henhold til reglen om at gange en brøk med en brøk:

Herske. For at gange blandede tal skal du først konvertere dem til uægte brøker og derefter gange dem i henhold til reglen om at gange en brøk med en brøk.

Bemærk. Hvis en af ​​faktorerne er et heltal, så kan multiplikationen udføres baseret på fordelingsloven som følger:

6. Rentebegrebet. Når vi løser opgaver og udfører forskellige praktiske beregninger, bruger vi alle slags brøker. Men det skal huskes, at mange mængder ikke tillader nogen, men naturlige underopdelinger for dem. For eksempel kan du tage en hundrededel (1/100) af en rubel, det vil være en kopek, to hundrededele er 2 kopek, tre hundrededele - 3 kopek. Du kan tage 1/10 af en rubel, det vil være "10 kopek, eller en skilling. Du kan tage en fjerdedel af en rubel, det vil sige 25 kopek, en halv rubel, det vil sige 50 kopek (halvtreds kopek). Men de tager praktisk talt ikke for eksempel 2/7 rubler, fordi rublen ikke er opdelt i syvende.

Måleenheden for vægt, det vil sige kilogrammet, tillader først og fremmest decimaldelinger, for eksempel 1/10 kg eller 100 g. Og sådanne fraktioner af et kilogram som 1/6, 1/11, 1/13 er ualmindelige.

Generelt er vores (metriske) mål decimaler og tillader decimaldelinger.

Det skal dog bemærkes, at det er yderst nyttigt og bekvemt i en lang række tilfælde at bruge den samme (ensartede) metode til underinddeling af mængder. Mange års erfaring har vist, at en så gennemprøvet division er den "hundrede" division. Overvej nogle få eksempler fra en lang række områder af menneskelig praksis.

1. Prisen på bøger er faldet med 12/100 af den tidligere pris.

Eksempel. Den tidligere pris for bogen er 10 rubler. Det faldt med 1 rubel. 20 kopek

2. Sparekasser udbetaler til indskydere 2/100 af det beløb, der er afsat til opsparing i løbet af året.

Eksempel. Kassereren har 500 rubler, indkomsten fra dette beløb for året er 10 rubler.

3. Antallet af dimittender fra én skole var 5/100 af det samlede antal elever.

EKSEMPEL Kun 1.200 elever studerede på skolen, 60 af dem dimitterede fra skolen.

En hundrededel af et tal kaldes en procentdel..

Ordet "procent" er lånt fra det latinske sprog, og dets rod "cent" betyder hundrede. Sammen med præpositionen (pro centum) betyder dette ord "over hundrede." Betydningen af ​​dette udtryk følger af det faktum, at renter oprindeligt i det gamle Rom blev kaldt penge, som skyldneren betalte til långiveren "for hvert hundrede". Ordet "cent" høres i sådanne velkendte ord: centner (et hundrede kilo), centimeter (den nævnte centimeter).

For eksempel, i stedet for at sige, at anlægget for den seneste måned gav skrot 1/100 af alle sine produkter, vil vi sige dette: anlægget for den seneste måned gav én procent af skrot. I stedet for at sige: Anlægget producerede 4/100 mere end den fastlagte plan, vil vi sige: Anlægget overskred planen med 4 procent.

Ovenstående eksempler kan angives anderledes:

1. Prisen på bøger er faldet 12 procent fra den tidligere pris.

2. Sparekasser udbetaler til indskydere 2 procent om året af det beløb, der er afsat til opsparing.

3. Antallet af dimittender fra én skole var 5 procent af alle elever på skolen.

For at forkorte bogstavet er det sædvanligt at skrive %-symbolet i stedet for ordet "procent".

Det skal dog huskes, at i beregninger skrives %-tegnet normalt ikke, det kan skrives i problemformuleringen og i det endelige resultat. Når du udfører beregninger, skal du skrive en brøk med en nævner på 100 i stedet for et heltal med dette tegn.

Du skal være i stand til at erstatte et heltal med det angivne ikon med en brøk med en nævner på 100:

Omvendt skal du vænne dig til at skrive et heltal med det angivne tegn i stedet for en brøk med en nævner på 100:

7. Finde procentdelen af ​​et givet tal.

Mål 1. Skolen fik 200 kubikmeter. m brænde, hvor birkebrænde udgør 30%. Hvor meget birkebrænde var der?

Meningen med denne problemstilling er, at birkebrænde kun var en del af det brænde, der blev leveret til skolen, og denne del er udtrykt som en brøkdel af 30/100. Det betyder, at vi står over for opgaven med at finde brøkdelen af ​​et tal. For at løse det skal vi gange 200 med 30/100 (problemerne med at finde brøken af ​​et tal løses ved at gange tallet med en brøk.).

Det betyder, at 30 % af 200 er lig med 60.

Fraktionen 30/100, man støder på i denne opgave, kan reduceres med 10. Man kunne have udført denne reduktion helt fra begyndelsen; løsningen på problemet ville ikke have ændret sig.

Mål 2. Der var 300 børn i forskellige aldre i lejren. Børn på 11 år tegnede sig for 21 %, børn på 12 år tegnede sig for 61 % og endelig udgjorde 13-årige børn 18 %. Hvor mange børn i hver alder var der i lejren?

I denne opgave skal du udføre tre beregninger, dvs. sekventielt finde antallet af børn på 11 år, derefter 12 år og til sidst 13 år.

Det betyder, at du her skal finde brøkdelen af ​​tallet tre gange. Lad os gøre det:

1) Hvor mange børn var 11 år?

2) Hvor mange børn var 12 år?

3) Hvor mange børn var 13 år?

Efter at have løst problemet, er det nyttigt at tilføje de fundne tal; deres sum skal være 300:

63 + 183 + 54 = 300

Du skal også være opmærksom på, at summen af ​​renter givet i problemets tilstand er 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Dette tyder på, at det samlede antal børn i lejren blev taget til 100 %.

3 tilfælde 3. Arbejderen modtog 1.200 rubler om måneden. Heraf brugte han 65% på mad, 6% - på lejlighed og varme, 4% - på gas, elektricitet og radio, 10% - til kulturelle behov og 15% - sparet. Hvor mange penge blev der brugt på de behov, der var angivet i opgaven?

For at løse dette problem skal du finde brøkdelen af ​​tallet 1 200 5 gange. Lad os gøre det.

1) Hvor mange penge blev der brugt på mad? Problemet siger, at denne udgift er 65% af den samlede indtjening, det vil sige 65/100 af tallet 1200. Lad os lave beregningen:

2) Hvor mange penge blev der betalt for en lejlighed med varme? Ræsonnere som den foregående, når vi frem til følgende beregning:

3) Hvor mange penge betalte du for gas, elektricitet og radio?

4) Hvor mange penge blev brugt på kulturelle behov?

5) Hvor mange penge sparede arbejderen?

Det er nyttigt at tilføje tallene i disse 5 spørgsmål for at teste. Beløbet skal være 1.200 rubler. Al indtjening tages som 100 %, hvilket er let at kontrollere ved at lægge de procentsatser, der er angivet i problemformuleringen sammen.

Vi har løst tre problemer. På trods af at disse problemer handlede om forskellige ting (levering af brænde til skolen, antallet af børn i forskellige aldre, arbejderens udgifter), blev de løst på samme måde. Dette skete, fordi det i alle problemer var nødvendigt at finde nogle få procent af de givne tal.

§ 90. Brøkdeling.

Når vi studerer brøkdelingen, vil vi overveje følgende spørgsmål:

1. Division af et heltal med et heltal.
2. Division af en brøk med et heltal
3. Division af et heltal i en brøk.
4. Opdeling af en brøk i en brøk.
5. Division af blandede tal.
6. At finde et tal for en given brøk.
7. Find tallet ved dets procent.

Lad os overveje dem sekventielt.

1. Division af et heltal med et heltal.

Som det blev angivet i afsnittet med heltal, er division en handling, der består i, at der for et givet produkt af to faktorer (delelig) og en af ​​disse faktorer (divisor) findes en anden faktor.

Vi så på divisionen af ​​et heltal med et heltal i afdelingen for heltal. Vi stødte på to tilfælde af division der: division uden rest eller "helt" (150: 10 = 15) og division med rest (100: 9 = 11 og 1 i rest). Vi kan derfor sige, at inden for hele tal er nøjagtig division ikke altid mulig, fordi udbyttet ikke altid er produktet af divisoren med et heltal. Efter introduktionen af ​​multiplikation med en brøk, kan vi overveje ethvert tilfælde af division af heltal muligt (kun division med nul er udelukket).

For eksempel betyder at dividere 7 med 12 at finde et tal, hvis produkt med 12 ville være 7. Det tal er 7/12, fordi 7/12 12 = 7. Et andet eksempel: 14:25 = 14/25, fordi 14/25 25 = 14.

For at dividere et heltal med et heltal skal du således komponere en brøk, hvis tæller er udbyttet, og nævneren er divisor.

2. Division af en brøk med et heltal.

Divider brøken 6/7 med 3. Ifølge definitionen af ​​division ovenfor har vi her produktet (6/7) og en af ​​faktorerne (3); det er nødvendigt at finde en sådan anden faktor, som ud fra multiplikation med 3 ville give det givne produkt 6/7. Det skal naturligvis være tre gange mindre end dette stykke. Det betyder, at opgaven var at reducere brøken 6/7 med 3 gange.

Vi ved allerede, at formindskelse af en brøk kan udføres enten ved at formindske dens tæller eller ved at øge dens nævner. Derfor kan man skrive:

I dette tilfælde er tælleren på 6 delelig med 3, så tælleren skal reduceres med 3 gange.

Lad os tage et andet eksempel: divider 5/8 med 2. Her er tælleren på 5 ikke ligeligt delelig med 2, så du skal gange nævneren med dette tal:

Ud fra dette kan vi formulere en regel: for at dividere en brøk med et heltal, skal du dividere brøkens tæller med dette heltal(hvis det er muligt), efterlader den samme nævner, eller gang brøkens nævner med dette tal, og efterlader den samme tæller.

3. Division af et heltal i en brøk.

Antag, at det er påkrævet at dividere 5 med 1/2, dvs. finde et tal, der efter at have ganget med 1/2 vil give produktet 5. Dette tal skal naturligvis være større end 5, da 1/2 er en regulær brøk, og når man multiplicerer tallet for en regulær brøk, skal produktet være mindre end det multiplicerende. For at gøre det klarere, lad os skrive vores handlinger som følger: 5: 1/2 = x , så x 1/2 = 5.

Sådan et nummer skal vi finde x , som, hvis ganget med 1/2, ville give 5. Siden multiplicering af et tal med 1/2 - betyder det at finde 1/2 af dette tal, så derfor 1/2 af det ukendte tal x er lig med 5, og hele tallet x dobbelt så meget, dvs. 5 2 = 10.

Så 5: 1/2 = 5 2 = 10

Lad os tjekke:

Lad os tage et andet eksempel. Antag, at du vil dividere 6 med 2/3. Lad os prøve først at finde det ønskede resultat ved hjælp af tegningen (fig. 19).

Fig. 19

Lad os tegne et segment AB, der svarer til ca. 6 enheder, og opdele hver enhed i 3 lige store dele. I hver enhed er tre tredjedele (3/3) i hele segmentet AB 6 gange mere, dvs. e. 18/3. Vi forbinder ved hjælp af små beslag 18 opnåede segmenter af 2; der vil kun være 9 segmenter. Det betyder, at brøken 2/3 er indeholdt i 6 enheder 9 gange, eller med andre ord, brøken 2/3 er 9 gange mindre end 6 hele enheder. Derfor,

Hvordan kan du få dette resultat uden en plan kun ved hjælp af beregninger? Vi vil argumentere som følger: det er påkrævet at dividere 6 med 2/3, det vil sige, det er nødvendigt at besvare spørgsmålet, hvor mange gange 2/3 er indeholdt i 6. Lad os først finde ud af: hvor mange gange 1/3 er indeholdt i 6? I en hel enhed - 3 tredjedele, og i 6 enheder - 6 gange mere, det vil sige 18 tredjedele; for at finde dette tal skal vi gange 6 med 3. Det betyder, at 1/3 er indeholdt i 6 enheder 18 gange, og 2/3 er indeholdt i 6 ikke 18 gange, men halvt så mange gange, det vil sige 18: 2 = 9. Derfor, når vi dividerede 6 med 2/3, gjorde vi følgende:

Herfra får vi reglen for at dividere et heltal med en brøk. For at dividere et heltal i en brøk, skal du gange dette heltal med nævneren for den givne brøk, og efter at have gjort dette produkt til tælleren skal du dividere det med tælleren for den givne brøk.

Lad os skrive reglen med bogstaver:

For at gøre denne regel fuldstændig klar, skal det huskes, at en brøk kan ses som en kvotient. Derfor er det nyttigt at sammenligne den fundne regel med reglen for at dividere et tal med en kvotient, som blev præsenteret i § 38. Bemærk, at den samme formel blev opnået der.

Ved opdeling er forkortelser mulige, for eksempel:

4. Opdeling af en brøk i en brøk.

Antag, at du vil dividere 3/4 med 3/8. Hvad bliver det tal, der vil være resultatet af division? Det vil besvare spørgsmålet om, hvor mange gange brøken 3/8 er indeholdt i brøken 3/4. For at forstå dette problem, lad os lave en tegning (fig. 20).

Tag segmentet AB, tag det som en enhed, del det i 4 lige store dele og marker 3 sådanne dele. AC-segmentet vil være lig med 3/4 af AB-segmentet. Lad os nu dele hvert af de fire indledende segmenter i to, så vil AB-segmentet blive opdelt i 8 lige store dele, og hver sådan del vil være lig med 1/8 af AB-segmentet. Lad os forbinde 3 sådanne segmenter med buer, så vil hvert af segmenterne AD og DC være lig med 3/8 af segmentet AB. Tegningen viser, at segmentet lig med 3/8 er indeholdt i segmentet lig med 3/4 nøjagtigt 2 gange; derfor kan resultatet af divisionen skrives som følger:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Lad os tage et andet eksempel. Lad os dividere 15/16 med 32/3:

Vi kan ræsonnere sådan her: Du skal finde et tal, der efter at have ganget med 3/32 vil give et produkt svarende til 15/16. Lad os skrive beregningerne sådan her:

15 / 16: 3 / 32 = x

3 / 32 x = 15 / 16

3/32 ukendt nummer x er 15/16

1/32 af et ukendt antal x er,

32/32 numre x makeup.

Derfor,

For at opdele en brøk i en brøk skal du altså gange tælleren for den første brøk med nævneren af ​​den anden, og gange nævneren af ​​den første brøk med tælleren i den anden, og gøre det første produkt til tælleren, og den anden, nævneren.

Lad os skrive reglen med bogstaver:

Ved opdeling er forkortelser mulige, for eksempel:

5. Division af blandede tal.

Når man dividerer blandede tal, skal de først konverteres til uægte brøker, og derefter dividere de resulterende brøker efter reglerne for division af brøktal. Lad os overveje et eksempel:

Lad os konvertere de blandede tal til uægte brøker:

Lad os nu dele:

For at dividere blandede tal skal du konvertere dem til uægte brøker og derefter dividere med reglen om brøkdeling.

6. At finde et tal for en given brøk.

Blandt de forskellige problemer med brøker er der nogle gange dem, hvor værdien af ​​en brøkdel af et ukendt tal er givet, og det er nødvendigt at finde dette tal. Denne type problemer vil være omvendt i forhold til problemet med at finde brøkdelen af ​​et givet tal; der blev der givet et tal, og det krævedes at finde en bestemt brøkdel af dette tal, her gives en brøkdel af et tal, og det kræves at finde dette tal selv. Denne idé vil blive endnu klarere, hvis vi vender os mod løsningen af ​​denne type problemer.

Mål 1. Den første dag har glarmestrene glaseret 50 vinduer, hvilket er 1/3 af alle vinduer i det byggede hus. Hvor mange vinduer er der i dette hus?

Opløsning. Problemet siger, at 50 glasruder udgør 1/3 af alle vinduer i huset, hvilket betyder, at der er 3 gange flere vinduer i alt, dvs.

Huset havde 150 vinduer.

Mål 2. Butikken solgte 1.500 kg mel, hvilket er 3/8 af butikkens samlede meludbud. Hvad var butikkens oprindelige melforsyning?

Opløsning. Det ses af problemformuleringen, at de solgte 1.500 kg mel udgør 3/8 af det samlede lager; Det betyder, at 1/8 af denne bestand vil være 3 gange mindre, det vil sige, for at beregne det, skal du reducere 1500 med 3 gange:

1.500: 3 = 500 (det er 1/8 af bestanden).

Det er klart, at hele bestanden bliver 8 gange større. Derfor,

5008 = 4000 (kg).

Det oprindelige lager af mel i butikken var 4.000 kg.

Ud fra overvejelserne om dette problem kan følgende regel udledes.

For at finde et tal for en given værdi af dens brøk, er det nok at dividere denne værdi med brøkens tæller og gange resultatet med nævneren af ​​brøken.

Vi har løst to problemer med at finde et tal fra en given brøk. Sådanne problemer, som det især tydeligt ses af sidstnævnte, løses ved to handlinger: division (når en del findes) og multiplikation (når hele tallet findes).

Men efter at vi har studeret brøkdelingen, kan ovenstående problemer løses i én handling, nemlig: division med brøk.

For eksempel kan den sidste opgave løses i et trin som dette:

I fremtiden vil vi løse problemet med at finde et tal ved dets brøk i én handling - division.

7. Find tallet ved dets procent.

I disse opgaver skal du finde et tal ved at kende nogle få procent af dette tal.

Mål 1. I begyndelsen af ​​dette år modtog jeg 60 rubler fra en sparekasse. indtægt fra det beløb, jeg lagde på opsparing for et år siden. Hvor mange penge har jeg lagt i en sparekasse? (Kasseskranker giver bidragydere 2 % indkomst om året.)

Meningen med problemet er, at en vis sum penge blev indsat af mig i en sparekasse og blev der i et år. Efter et år modtog jeg 60 rubler fra hende. indkomst, hvilket er 2/100 af de penge, jeg sætter ind. Hvor mange penge har jeg lagt ind?

Derfor, når vi kender en del af disse penge, udtrykt på to måder (i rubler og i brøk), skal vi finde hele det hidtil ukendte beløb. Dette er en almindelig opgave med at finde et tal fra en given brøk. Følgende opgaver løses ved division:

Det betyder, at der blev sat 3000 rubler i sparekassen.

Mål 2. Fiskerne opfyldte månedsplanen med 64 % på to uger efter at have høstet 512 tons fisk. Hvad var deres plan?

Det vides fra problemformuleringen, at fiskerne har opfyldt en del af planen. Denne del svarer til 512 tons, hvilket er 64% af planen. Vi ved ikke, hvor mange tons fisk, der skal tilberedes efter planen. At finde dette nummer vil være løsningen på problemet.

Sådanne opgaver løses ved at dividere:

Det betyder, at der efter planen skal tilberedes 800 tons fisk.

Mål 3. Toget gik fra Riga til Moskva. Da han passerede den 276. kilometer, spurgte en af ​​passagererne den forbipasserende konduktør, hvilken del af vejen de allerede havde passeret. Hertil svarede konduktøren: "Vi har allerede tilbagelagt 30% af hele ruten." Hvad er afstanden fra Riga til Moskva?

Det kan ses af problemformuleringen, at 30 % af ruten fra Riga til Moskva er 276 km. Vi skal finde hele afstanden mellem disse byer, det vil sige, for en given del, finde helheden:

§ 91. Indbyrdes gensidige tal. At erstatte division med multiplikation.

Tag brøken 2/3 og flyt tælleren til nævneren, så du får 3/2. Vi fik det omvendte af denne brøk.

For at få det omvendte af den givne brøk, skal du sætte dens tæller i stedet for nævneren, og nævneren i stedet for tælleren. På denne måde kan vi få den gensidige af enhver brøk. For eksempel:

3/4, omvendt 4/3; 5/6, omvendt 6/5

To brøker med den egenskab, at tælleren af ​​den første er nævneren af ​​den anden, og nævneren af ​​den første er tælleren af ​​den anden, kaldes indbyrdes omvendt.

Lad os nu tænke på, hvilken brøk der vil være det omvendte af 1/2. Det er klart, at det vil være 2/1, eller bare 2. Leder vi efter det omvendte af den givne brøk, får vi et heltal. Og denne sag er ikke en isoleret sag; tværtimod, for alle brøker med tæller 1 (en), vil heltal være inverse, for eksempel:

1/3, omvendt 3; 1/5, omvendt 5

Da vi, når vi ledte efter gensidige brøker, også mødtes med heltal, vil vi i det følgende ikke tale om gensidige brøker, men om gensidige tal.

Lad os finde ud af, hvordan man skriver det gensidige af et heltal. For brøker kan dette løses enkelt: du skal sætte nævneren i stedet for tælleren. På samme måde kan du få det omvendte tal for et heltal, da ethvert heltal kan have en nævner 1. Derfor vil tallet omvendt til 7 være 1/7, fordi 7 = 7/1; for tallet 10 vil det omvendte være 1/10, da 10 = 10/1

Denne tanke kan udtrykkes på en anden måde: det omvendte af et givet tal fås ved at dividere en med et givet tal... Denne erklæring gælder ikke kun for heltal, men også for brøker. Faktisk, hvis vi vil skrive den reciproke af brøken 5/9, så kan vi tage 1 og dividere den med 5/9, dvs.

Lad os nu påpege en ejendom gensidigt gensidige tal, som vil være nyttige for os: produktet af indbyrdes gensidige tal er lig med en. Ja:

Ved at bruge denne egenskab kan vi finde gensidige på følgende måde. Antag, at du skal finde det omvendte af 8.

Lad os betegne det med bogstavet x , derefter 8 x = 1, derfor x = 1/8. Lad os finde et andet tal, det omvendte af 7/12, angive det med et bogstav x , derefter 7/12 x = 1, derfor x = 1: 7/12 eller x = 12 / 7 .

Vi introducerede her begrebet gensidigt gensidige tal for lidt at supplere informationen om brøkdelingen.

Når vi dividerer tallet 6 med 3/5, så gør vi følgende:

Vær meget opmærksom på udtrykket og sammenlign det med det givne:.

Hvis vi tager udtrykket separat, uden forbindelse med det foregående, så er det umuligt at løse spørgsmålet om, hvor det kom fra: ved at dividere 6 med 3/5 eller fra at gange 6 med 5/3. I begge tilfælde er resultatet det samme. Så kan vi sige at dividere et tal med et andet kan erstattes ved at gange udbyttet med divisorens gensidige.

De eksempler, vi giver nedenfor, understøtter fuldt ud denne konklusion.