Instruktioner

10, 30, 90, 270...

Det er nødvendigt at finde nævneren for den geometriske progression.
Opløsning:

Mulighed 1. Tag et vilkårligt led af progressionen (for eksempel 90) og divider det med det foregående (30): 90/30 = 3.

Hvis du kender summen af ​​flere medlemmer af en geometrisk progression eller summen af ​​alle medlemmer af en aftagende geometrisk progression, skal du bruge de passende formler for at finde nævneren for progressionen:
Sn = b1 * (1-q ^ n) / (1-q), hvor Sn er summen af ​​de første n led af en geometrisk progression og
S = b1 / (1-q), hvor S er summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression (summen af ​​alle medlemmer af progressionen med en nævner mindre end én).
Eksempel.

Det første led i en aftagende geometrisk progression er lig med én, og summen af ​​alle dens medlemmer er lig med to.

Det er nødvendigt at bestemme nævneren for denne progression.
Opløsning:

Sæt dataene fra problemet ind i formlen. Det vil vise sig:
2 = 1 / (1-q), hvorfra - q = 1/2.

Progression er en række tal. I en geometrisk progression fås hvert efterfølgende led ved at gange det foregående med et eller andet tal q, kaldet progressionens nævner.

Instruktioner

Hvis du kender to naboled af de geometriske b (n + 1) og b (n), for at få nævneren, skal du dividere tallet med et stort med det der går forud: q = b (n + 1) /b (n). Dette følger af definitionen af ​​en progression og dens nævner. En vigtig betingelse er uligheden af ​​det første led og nævneren for progressionen til nul, ellers betragtes den som udefineret.

Så der etableres følgende relationer mellem medlemmerne af progressionen: b2 = b1 q, b3 = b2 q,..., b (n) = b (n-1) q. Med formlen b (n) = b1 q ^ (n-1) kan ethvert led i en geometrisk progression beregnes, hvori nævneren q og udtrykket b1 er kendt. Hver af progressionen i modul er også lig med gennemsnittet af dens nabomedlemmer: | b (n) | = √, derfor fik progressionen sin egen.

En analog til en geometrisk progression er den enkleste eksponentielle funktion y = a ^ x, hvor x er i eksponenten og a er et tal. I dette tilfælde falder nævneren af ​​progressionen sammen med det første led og er lig med tallet a. Værdien af ​​funktionen y kan forstås som det n-te led i progressionen, hvis argumentet x tages som et naturligt tal n (tæller).

Eksisterer for summen af ​​de første n led af en geometrisk progression: S (n) = b1 (1-q ^ n) / (1-q). Denne formel er gyldig for q ≠ 1. Hvis q = 1, så beregnes summen af ​​de første n led ved formlen S (n) = n b1. Progressionen vil i øvrigt hedde stigende for q større end én og positiv b1. Hvis nævneren for progressionen ikke overstiger én i absolut værdi, vil progressionen blive kaldt aftagende.

Et særligt tilfælde af en geometrisk progression er en uendeligt aftagende geometrisk progression (b.d.p.). Faktum er, at medlemmerne af en aftagende geometrisk progression vil falde igen og igen, men de vil aldrig nå nul. På trods af dette kan du finde summen af ​​alle medlemmer af en sådan progression. Det bestemmes af formlen S = b1 / (1-q). Det samlede antal medlemmer n er uendeligt.

For at visualisere, hvordan du kan tilføje et uendeligt antal tal og ikke få uendeligt på samme tid, skal du bage en kage. Skær halvdelen af. Skær derefter 1/2 fra halvdelen, og så videre. De stykker, du får, er intet andet end medlemmer af en uendeligt faldende geometrisk progression med en nævner på 1/2. Hvis du tilføjer alle disse stykker, har du den originale kage.

Geometriproblemer er en særlig form for øvelse, der kræver rumlig tænkning. Hvis du ikke er i stand til at løse det geometriske opgave, prøv at følge reglerne nedenfor.

Instruktioner

Læs redegørelsen af ​​problemet meget omhyggeligt, hvis du ikke husker eller forstår noget, så læs den igen.

Prøv at afgøre, hvilken slags geometriske problemer det er, for eksempel: beregningsmæssige, når du skal finde ud af en værdi, problemer for det kræver en logisk kæde af ræsonnement, konstruktionsproblemer med et kompas og en lineal. Mere blandede problemer. Når du har fundet ud af typen af ​​problem, så prøv at tænke logisk.

Anvend det nødvendige teorem til dette problem, men hvis der er tvivl eller slet ingen muligheder, så prøv at huske teorien, som du har givet om det relevante emne.

Tegn løsningen på problemet også på et udkast. Prøv at bruge kendte metoder til at kontrollere, at din løsning er korrekt.

Udfyld løsningen på problemet pænt i en notesbog, uden klatter og overstreget, og vigtigst af alt - Det kan tage tid og kræfter at løse de første geometriske problemer. Men så snart du mestrer denne proces, vil du begynde at klikke opgaver på, ligesom nødder, have det sjovt!

En geometrisk progression er en rækkefølge af tal b1, b2, b3, ..., b (n-1), b (n), således at b2 = b1 * q, b3 = b2 * q, ..., b (n) ) = b (n-1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0. Med andre ord, hvert led i progressionen fås fra det foregående ved at gange det med en eller anden ikke-nul nævner af progressionen q.

Instruktioner

Problemer på progressionen løses oftest ved at tegne og følge et system i forhold til første led af progressionen b1 og nævneren for progressionen q. Det er nyttigt at huske nogle formler, når du skriver ligninger.

Sådan udtrykkes det n-te led af en progression i form af det første led af progressionen og nævneren for progressionen: b (n) = b1 * q ^ (n-1).

Overvej sagen særskilt | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Lektion og oplæg om emnet: "Talsekvenser. Geometrisk progression"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 9. klasse
Grader og rødder Funktioner og grafer

Gutter, i dag vil vi stifte bekendtskab med en anden type progression.
Emnet for dagens lektion er geometrisk progression.

Geometrisk progression

Eksempel. 1,2,4,8,16 ... Geometrisk progression, hvor det første led er lig med en, og $ q = 2 $.

Eksempel. 8,8,8,8 ... En geometrisk progression, hvor det første led er otte,
og $ q = 1 $.

Eksempel. 3, -3,3, -3,3 ... Geometrisk progression, hvor det første led er lig med tre,
og $ q = -1 $.

Den geometriske progression har monotoniens egenskaber.
Hvis $ b_ (1)> 0 $, $ q> 1 $,
så er rækkefølgen stigende.
Hvis $ b_ (1)> 0 $, $ 0 Sekvensen betegnes normalt som: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Såvel som i en aritmetisk progression, hvis antallet af elementer er begrænset i en geometrisk progression, så kaldes progressionen en endelig geometrisk progression.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Bemærk, hvis sekvensen er en geometrisk progression, så er sekvensen af ​​kvadrater af medlemmer også en geometrisk progression. For den anden sekvens er det første led $ b_ (1) ^ 2 $, og nævneren er $ q ^ 2 $.

Formel for det n-te led i en geometrisk progression

Lad os gå tilbage til vores eksempler.

Eksempel. 1,2,4,8,16 ... Geometrisk progression, hvor det første led er lig med en,
og $ q = 2 $.
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $.

Eksempel. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... En geometrisk progression, hvor det første led er seksten og $ q = \ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

Eksempel. 8,8,8,8 ... En geometrisk progression, hvor det første led er otte og $ q = 1 $.
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 $.

Eksempel. 3, -3,3, -3,3 ... En geometrisk progression, hvor det første led er tre og $ q = -1 $.
$ b_ (n) = 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

Eksempel. Du får en geometrisk progression $ b_ (1), b_ (2),..., b_ (n),... $.
a) Det er kendt, at $ b_ (1) = 6, q = 3 $. Find $ b_ (5) $.
b) Det er kendt, at $ b_ (1) = 6, q = 2, b_ (n) = 768 $. Find n.
c) Det er kendt, at $ q = -2, b_ (6) = 96 $. Find $ b_ (1) $.
d) Det er kendt, at $ b_ (1) = - 2, b_ (12) = 4096 $. Find q.

Opløsning.
a) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 $.
b) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 $.
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $ siden $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7; n = 8 $.
c) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 $.
d) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 $.

Eksempel. Forskellen mellem det syvende og femte led i den geometriske progression er 192, summen af ​​det femte og sjette led af progressionen er 192. Find det tiende led i denne progression.

Opløsning.
Vi ved, at: $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ og $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $.
Vi ved også: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $.
Derefter:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 $.
Vi har et ligningssystem:
$ \ begynder (tilfælde) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ slut (tilfælde) $.
Ved at ligne får vores ligninger:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 = q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 = 0 $.
Vi har to løsninger q: $ q_ (1) = 2, q_ (2) = - 1 $.
Substituer sekventielt i den anden ligning:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ ingen løsninger.
Vi fik det: $ b_ (1) = 4, q = 2 $.
Find det tiende led: $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $.

Summen af ​​en endelig geometrisk progression

Lad en endelig geometrisk progression gives: $ b_ (1), b_ (2),..., b_ (n-1), b_ (n) $.
Lad os introducere notationen for summen af ​​dens medlemmer: $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
I det tilfælde, hvor $ q = 1 $. Alle medlemmer af den geometriske progression er lig med det første led, så er det indlysende, at $ S_ (n) = n * b_ (1) $.
Overvej nu sagen $ q ≠ 1 $.
Gang ovenstående sum med q.
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Bemærk:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

Vi fik formlen for summen af ​​en endelig geometrisk progression.

Opløsning.
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 $.

Eksempel.
Find det femte led i den geometriske progression, som er kendt: $ b_ (1) = - 3 $; $ b_ (n) = - 3072 $; $ S_ (n) = - 4095 $.

Opløsning.
$ b_ (n) = (- 3) * q ^ (n-1) = - 3072 $.
$ q ^ (n-1) = 1024 $.
$ q ^ (n) = 1024q $.

$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 $.
$ -4095 (q-1) = - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (q-1) = - 3 * (1024q-1) $.
$ 1365q-1365 = 1024q-1 $.
$341q = $1364.
$ q = 4 $.
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 $.

Karakteristisk egenskab ved en geometrisk progression

En numerisk sekvens er kun en geometrisk progression, når kvadratet af hvert af dets medlemmer er lig med produktet af to tilstødende medlemmer af progressionen. Glem ikke, at for en endelig progression er denne betingelse ikke opfyldt for det første og sidste medlem.

Modulet for ethvert element i en geometrisk progression er lig med det geometriske middelværdi af to tilstødende elementer.

Opløsning.
Lad os bruge den karakteristiske egenskab:
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 = 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 = 0 $.
$ x_ (1) = 2 $ og $ x_ (2) = - 1 $.
Vores løsninger sekventielt erstatter det originale udtryk:
Med $ x = 2 $ fik vi sekvensen: 4; 6; 9 - en geometrisk progression, hvor $ q = 1,5 $.
Med $ x = -1 $ fik vi sekvensen: 1; 0; 0.
Svar: $ x = 2. $

Opgaver til selvstændig løsning

Geometrisk progression er sammen med aritmetik en vigtig talrække, som studeres i skolealgebraforløbet i 9. klasse. I denne artikel vil vi overveje nævneren for en geometrisk progression, og hvordan dens værdi påvirker dens egenskaber.

Definition af en geometrisk progression

Til at begynde med, lad os give definitionen af ​​denne talrække. Geometrisk progression kaldes en række rationelle tal, som er dannet ved sekventielt at gange dets første element med et konstant tal kaldet nævneren.

For eksempel er tallene i rækken 3, 6, 12, 24, ... en geometrisk progression, for hvis du gange 3 (det første element) med 2, får du 6. Ganger du 6 med 2, får du 12, og så videre.

Medlemmerne af den betragtede sekvens er sædvanligvis angivet med symbolet ai, hvor i er et heltal, der angiver tallet på et element i rækken.

Ovenstående definition af en progression kan skrives på matematiksproget som følger: an = bn-1 * a1, hvor b er nævneren. Det er nemt at kontrollere denne formel: hvis n = 1, så er b1-1 = 1, og vi får a1 = a1. Hvis n = 2, så er an = b * a1, og vi kommer igen til definitionen af ​​rækken af ​​tal, der overvejes. Lignende ræsonnement kan fortsættes for store værdier af n.

Nævner for geometrisk progression

Tallet b bestemmer helt, hvilken karakter hele talrækken skal have. Nævneren b kan være positiv, negativ eller større end én eller mindre. Alle disse muligheder fører til forskellige sekvenser:

• b> 1. Der er en stigende række af rationelle tal. For eksempel, 1, 2, 4, 8, ... Hvis elementet a1 er negativt, vil hele sekvensen kun stige i absolut værdi, men falde under hensyntagen til tallenes fortegn.
• b = 1. Et sådant tilfælde kaldes ofte ikke en progression, da der er en almindelig række af identiske rationale tal. For eksempel -4, -4, -4.

Formel for mængden

Før man går videre til overvejelsen af ​​specifikke problemer ved at bruge nævneren for den betragtede type progression, bør der gives en vigtig formel for summen af ​​dens første n elementer. Formlen er: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Du kan selv få dette udtryk, hvis du overvejer en rekursiv sekvens af medlemmer af progressionen. Bemærk også, at i ovenstående formel er det nok kun at kende det første element og nævneren for at finde summen af ​​et vilkårligt antal led.

Uendeligt faldende sekvens

Ovenfor fik man en forklaring på, hvad det er. Nu, når du kender formlen for Sn, skal du anvende den på denne talrække. Da ethvert tal, hvis modul ikke overstiger 1, når det hæves til store grader, har tendens til nul, det vil sige b∞ => 0, hvis -1

Da forskellen (1 - b) altid vil være positiv, uanset værdien af ​​nævneren, er fortegnet for summen af ​​den aftagende uendelige progression af geometriske S∞ entydigt bestemt af tegnet for dets første element a1.

Nu vil vi overveje flere opgaver, hvor vi vil vise, hvordan man anvender den opnåede viden på specifikke tal.

Opgave nummer 1. Beregning af de ukendte elementer i progressionen og summen

Du får en geometrisk progression, nævneren for progressionen er 2, og dens første element er 3. Hvad bliver dens 7. og 10. led, og hvad er summen af ​​dens syv begyndelseselementer?

Betingelsen for problemet er ganske enkelt sammensat og involverer direkte brug af ovenstående formler. Så for at beregne elementet med nummer n bruger vi udtrykket an = bn-1 * a1. For det 7. element har vi: a7 = b6 * a1, idet vi erstatter de kendte data, får vi: a7 = 26 * 3 = 192. Vi gør det samme for det 10. led: a10 = 29 * 3 = 1536.

Lad os bruge den velkendte formel for summen og bestemme denne værdi for de første 7 elementer i serien. Vi har: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Opgave nummer 2. Bestemmelse af summen af ​​vilkårlige elementer i progressionen

Lad -2 være nævneren for den eksponentielle progression bn-1 * 4, hvor n er et heltal. Det er nødvendigt at bestemme beløbet fra det 5. til det 10. element i denne serie, inklusive.

Det stillede problem kan ikke løses direkte ved hjælp af kendte formler. Det kan løses ved 2 forskellige metoder. For fuldstændighedens skyld præsenterer vi begge dele.

Metode 1. Dens idé er enkel: det er nødvendigt at beregne de to tilsvarende summer af de første led og derefter trække den anden fra den ene. Vi beregner det mindre beløb: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nu udregner vi den store sum: S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Bemærk, at i det sidste udtryk blev kun 4 led summeret, da den 5. allerede er inkluderet i summen, der skal beregnes i henhold til problemets tilstand. Tag endelig forskellen: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metode 2. Inden du substituerer tal og tæller, kan du få en formel for summen mellem medlemmerne m og n i den pågældende række. Vi gør præcis det samme som i metode 1, kun vi først arbejder med den symbolske repræsentation af summen. Vi har: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . I det resulterende udtryk kan du erstatte kendte tal og beregne det endelige resultat: S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344.

Opgave nummer 3. Hvad er nævneren?

Lad a1 = 2, find nævneren for den geometriske progression, forudsat at dens uendelige sum er 3, og det er kendt, at dette er en aftagende talrække.

Ud fra problemets tilstand er det let at gætte, hvilken formel der skal bruges til at løse det. Selvfølgelig, for summen af ​​progressionen er uendeligt faldende. Vi har: S∞ = a1 / (1 - b). Hvorfra vi udtrykker nævneren: b = 1 - a1 / S∞. Det er tilbage at erstatte de kendte værdier og få det nødvendige antal: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 eller -0,333 (3). Dette resultat kan kontrolleres kvalitativt, hvis vi husker, at for denne type sekvens bør modul b ikke gå ud over 1. Som du kan se, | -1 / 3 |

Opgave nummer 4. Gendannelse af en række tal

Lad 2 elementer i en numerisk serie være givet, for eksempel er den 5. lig med 30 og den 10. er lig med 60. Det er nødvendigt at rekonstruere hele serien ud fra disse data, vel vidende at den opfylder egenskaberne for en geometrisk progression.

For at løse problemet skal du først skrive det tilsvarende udtryk ned for hvert kendt medlem. Vi har: a5 = b4 * a1 og a10 = b9 * a1. Nu dividerer vi det andet udtryk med det første, vi får: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Herfra bestemmer vi nævneren ved at tage den femte rod af forholdet mellem de led kendt fra problemets tilstand, b = 1,148698. Vi erstatter det resulterende tal i et af udtrykkene for det kendte element, vi får: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698) 4 = 17,2304966.

Således har vi fundet, hvad nævneren for progressionen bn er, og den geometriske progression bn-1 * 17,2304966 = an, hvor b = 1,148698.

Hvor bruges geometriske progressioner?

Hvis der ikke var nogen anvendelse af denne nummerserie i praksis, ville dens undersøgelse blive reduceret til en rent teoretisk interesse. Men der er sådan en ansøgning.

Nedenfor er de 3 mest kendte eksempler:

• Zenos paradoks, hvor den kloge Achilleus ikke kan hamle op med den langsomme skildpadde, løses ved hjælp af konceptet om en uendeligt faldende talrække.
• Hvis du lægger hvedekorn på hver firkant af skakbrættet, så der sættes 1 korn på 1. felt, 2 - på 2., 3 - på 3. og så videre, så skal der 18446744073709551615 korn til for at fylde alle firkanterne i bestyrelse!
• I Tower of Hanoi-spillet, for at omarrangere diske fra en stang til en anden, er det nødvendigt at udføre 2n - 1 operationer, det vil sige, at deres antal vokser eksponentielt med antallet af brugte diske n.

Første niveau

Geometrisk progression. Omfattende guide med eksempler (2019)

Nummerrækkefølge

Så lad os sætte os ned og begynde at skrive nogle tal. For eksempel:

Du kan skrive alle tal, og der kan være lige så mange, som du vil (i vores tilfælde dem). Uanset hvor mange tal vi skriver, kan vi altid sige, hvilket der er det første, hvilket er det andet, og så videre til det sidste, det vil sige, vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en talrække:

Nummerrækkefølge er et sæt numre, som hver kan tildeles et unikt nummer.

For eksempel for vores sekvens:

Det tildelte nummer er specifikt for kun ét nummer i sekvensen. Med andre ord er der ikke tre sekunders tal i sekvensen. Det andet tal (som det -th tal) er altid et.

Nummeret med nummeret kaldes det te medlem af rækkefølgen.

Vi kalder normalt hele sekvensen et bogstav (f.eks.), og hvert medlem af denne sekvens er det samme bogstav med et indeks svarende til tallet på dette medlem:.

I vores tilfælde:

De mest almindelige typer progression er aritmetiske og geometriske. I denne tråd vil vi tale om den anden slags - geometrisk progression.

Hvorfor har vi brug for en geometrisk progression og dens oprindelseshistorie.

Selv i oldtiden var den italienske matematiker Leonardo af Pisa (bedre kendt som Fibonacci) engageret i at løse de praktiske behov for handel. Munken stod over for opgaven med at bestemme ved hjælp af hvilken mindste mængde vægte det er muligt at veje godset? I sine skrifter beviser Fibonacci, at et sådant vægtsystem er optimalt: Dette er en af ​​de første situationer, hvor folk skulle stå over for en geometrisk progression, som du sikkert allerede har hørt om og i det mindste har et generelt koncept. Når du fuldt ud forstår emnet, så tænk på, hvorfor et sådant system er optimalt?

I øjeblikket, i livspraksis, manifesteres en geometrisk progression, når man investerer penge i en bank, når rentebeløbet opkræves på det beløb, der er akkumuleret på kontoen for den foregående periode. Med andre ord, hvis du sætter penge på et tidsindskud i en sparekasse, så vil indskuddet om et år stige med mere end det oprindelige beløb, dvs. det nye beløb vil være lig med indbetalingen ganget med. Om endnu et år vil dette beløb stige med, dvs. beløbet opnået på det tidspunkt vil blive ganget med igen og så videre. En lignende situation er beskrevet i problemerne med at beregne den såkaldte renters rente- procentsatsen tages hver gang af beløbet på kontoen under hensyntagen til den tidligere rente. Vi vil tale om disse opgaver lidt senere.

Der er mange flere simple tilfælde, hvor der anvendes geometrisk progression. For eksempel spredning af influenza: en person inficerede en person, de inficerede til gengæld en anden person, og dermed er den anden bølge af infektion en person, og de inficerede til gengæld en anden ... og så videre .. .

Den finansielle pyramide, den samme MMM, er i øvrigt en enkel og tør beregning baseret på egenskaberne for en geometrisk progression. Interessant? Lad os finde ud af det.

Geometrisk progression.

Lad os sige, at vi har en numerisk rækkefølge:

Du vil straks svare, at dette er nemt, og navnet på en sådan sekvens er en aritmetisk progression med forskellen på dens medlemmer. Hvad med dette:

Hvis du trækker det forrige fra det næste tal, så vil du se, at hver gang en ny forskel opnås (og så videre), men rækkefølgen eksisterer bestemt, og det er let at bemærke - hvert næste tal er gange større end det forrige en!

Denne form for talrække kaldes geometrisk progression og er angivet med.

Geometrisk progression () er en numerisk sekvens, hvis første led er ikke-nul, og hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående, ganget med det samme tal. Dette tal kaldes nævneren for den geometriske progression.

Begrænsninger, at det første led () ikke er ens og ikke tilfældigt. Lad os sige, at der ikke er nogen, og det første led er stadig lige, og q er lig, hmm .. lad, så viser det sig:

Enig i, at dette ikke længere er nogen progression.

Som du forstår, vil vi få de samme resultater, hvis det er et hvilket som helst andet tal end nul, og. I disse tilfælde vil der simpelthen ikke være en progression, da hele talrækken enten vil være alle nuller, eller ét tal, og alle andre nuller.

Lad os nu tale mere detaljeret om nævneren for den geometriske progression, det vil sige Fr.

Lad os gentage: er et tal, hvor mange gange ændres hvert efterfølgende led geometrisk progression.

Hvad tror du, det kan være? Korrekt, positiv og negativ, men ikke nul (vi talte om dette lidt højere).

Lad os sige, at vi har en positiv. Lad det også i vores tilfælde. Hvad er den anden periode og? Det kan du nemt svare på:

Alt er korrekt. Derfor, hvis, så har alle efterfølgende medlemmer af progressionen det samme tegn - de positiv.

Hvad hvis negativt? For eksempel, en. Hvad er den anden periode og?

Det her er en helt anden historie.

Prøv at tælle løbetiden for denne progression. Hvor meget fik du det? Jeg har. Således, hvis, så veksler tegnene på medlemmerne af den geometriske progression. Det vil sige, at hvis du ser en progression med skiftende fortegn på dens medlemmer, så er dens nævner negativ. Denne viden kan hjælpe dig med at teste dig selv, når du løser problemer om dette emne.

Lad os nu øve os lidt: prøv at bestemme, hvilke talsekvenser der er en geometrisk progression, og hvilke der er aritmetiske:

Forstået? Lad os sammenligne vores svar:

• Geometrisk progression - 3, 6.
• Aritmetisk progression - 2, 4.
• Det er hverken aritmetiske eller geometriske progressioner - 1, 5, 7.

Lad os vende tilbage til vores sidste progression og prøve at finde dens term på samme måde som i aritmetik. Som du måske kan gætte, er der to måder at finde det på.

Vi gange successivt hvert led med.

Så det te medlem af den beskrevne geometriske progression er lig med.

Som du måske kan gætte, vil du nu selv udlede en formel, der vil hjælpe dig med at finde ethvert medlem af en geometrisk progression. Eller har du allerede bragt det frem for dig selv og beskrevet, hvordan du finder det th medlem trin for trin? Hvis ja, så tjek rigtigheden af ​​din begrundelse.

Lad os illustrere dette med eksemplet med at finde det te medlem af en given progression:

Med andre ord:

Find på egen hånd værdien af ​​et medlem af en given geometrisk progression.

sket? Lad os sammenligne vores svar:

Vær opmærksom på, at du fik nøjagtig det samme tal som i den foregående metode, når vi successivt multiplicerede med hvert tidligere led i den geometriske progression.
Lad os prøve at "depersonalisere" denne formel - vi bringer den i en generel form og får:

Den afledte formel er korrekt for alle værdier, både positive og negative. Tjek det selv ved at beregne medlemmerne af den geometriske progression med følgende betingelser:, a.

Har du talt det? Lad os sammenligne de opnåede resultater:

Aftal at det ville være muligt at finde et medlem af progressionen på samme måde som et medlem, dog er der mulighed for fejloptælling. Og hvis vi allerede har fundet det tredje led i den geometriske progression, hvad kunne så være nemmere end at bruge den "afskårne" del af formlen.

En uendeligt faldende geometrisk progression.

For nylig talte vi om, at det enten kan være større end eller mindre end nul, men der er specielle værdier, hvor en geometrisk progression kaldes uendeligt aftagende.

Hvorfor tænker du sådan et navn?
Lad os først nedskrive en geometrisk progression bestående af medlemmer.
Antag, a, så:

Vi ser, at hvert efterfølgende led er mindre end det foregående, én efter én faktor, men vil der være et tal? Du vil straks svare nej. Det er derfor, det uendeligt faldende - falder, falder og bliver aldrig nul.

For klart at forstå, hvordan det ser ud visuelt, lad os prøve at tegne en graf over vores progression. Så for vores tilfælde har formlen følgende form:

Det er sædvanligt for os at bygge afhængighed af diagrammer, derfor:

Essensen af ​​udtrykket har ikke ændret sig: i den første post viste vi afhængigheden af ​​værdien af ​​et geometrisk progressionsmedlem af dets ordenstal, og i den anden post tog vi simpelthen værdien af ​​et geometrisk progressionsled som, og ordenstallet blev ikke angivet hvordan, men hvordan. Det eneste, der skal gøres, er at bygge en graf.
Lad os se, hvad du får. Her er grafen jeg fik:

Se? Funktionen falder, har en tendens til nul, men krydser den aldrig, så den er uendeligt faldende. Lad os markere vores punkter på grafen, og samtidig hvad koordinaten og betyder:

Prøv skematisk at afbilde en graf over en geometrisk progression, hvis dens første led også er lig. Analyser, hvad er forskellen med vores tidligere diagram?

Klarede du dig? Her er grafen jeg fik:

Nu hvor du helt har forstået det grundlæggende i temaet for en geometrisk progression: du ved hvad det er, du ved hvordan du finder dets term, og du ved også hvad en uendeligt faldende geometrisk progression er, lad os gå videre til dens hovedegenskab.

Egenskaben for en geometrisk progression.

Kan du huske egenskaben for medlemmerne af en aritmetisk progression? Ja, ja, hvordan finder man værdien af ​​et bestemt antal af en progression, når der er tidligere og efterfølgende værdier for medlemmerne af en given progression. husket? Det her:

Nu står vi over for nøjagtig det samme spørgsmål til medlemmerne af en geometrisk progression. For at udlede en lignende formel, lad os begynde at tegne og ræsonnere. Du vil se, det er meget nemt, og hvis du glemmer det, kan du tage det frem på egen hånd.

Lad os tage endnu en enkel geometrisk progression, hvor vi kender og. Hvordan finder man? Med en aritmetisk progression er dette nemt og enkelt, men hvad med her? Faktisk er der heller ikke noget kompliceret i geometrisk - du skal bare skrive ned hver værdi, der er givet os i henhold til formlen.

Du spørger, og hvad skal vi gøre med det nu? Det er meget enkelt. Til at begynde med vil vi afbilde disse formler i figuren og forsøge at udføre forskellige manipulationer med dem for at nå frem til en værdi.

Vi abstraherer fra de tal, vi får, vi vil kun fokusere på at udtrykke dem gennem en formel. Vi skal finde den værdi, der er fremhævet med orange, ved at kende de medlemmer, der støder op til den. Lad os prøve at udføre forskellige handlinger med dem, som et resultat af hvilke vi kan modtage.

Tilføjelse.
Lad os prøve at tilføje to udtryk, og vi får:

Fra dette udtryk, som du kan se, kan vi ikke udtrykke på nogen måde, derfor vil vi prøve en anden mulighed - subtraktion.

Subtraktion.

Som du kan se, kan vi heller ikke udtrykke ud fra dette, derfor vil vi forsøge at gange disse udtryk med hinanden.

Multiplikation.

Se nu omhyggeligt, hvad vi har, multiplicer medlemmerne af den geometriske progression givet os i sammenligning med det, der skal findes:

Gæt hvad jeg taler om? Korrekt, for at finde, skal vi tage kvadratroden af ​​de geometriske progressionstal ved siden af ​​det ønskede tal ganget med hinanden:

Vær så god. Du har selv udledt egenskaben ved en geometrisk progression. Prøv at skrive denne formel i generelle vendinger. sket?

Glemt betingelsen for? Tænk over, hvorfor det er vigtigt, prøv fx selv at regne det ud, hvis. Hvad sker der i dette tilfælde? Det er rigtigt, fuldstændig nonsens, da formlen ser sådan ud:

Glem derfor ikke denne begrænsning.

Lad os nu beregne, hvad der er lig med

Rigtigt svar - ! Hvis du ved beregningen ikke glemte den anden mulige værdi, så er du en fantastisk fyr, og du kan straks gå videre til træning, og hvis du har glemt det, læs hvad der er diskuteret nedenfor og vær opmærksom på, hvorfor det er nødvendigt at skrive ned både rødder i svaret.

Lad os tegne begge vores geometriske progressioner - den ene med mening og den anden med mening og tjekke, om de begge har ret til at eksistere:

For at kontrollere, om en sådan geometrisk progression eksisterer eller ej, er det nødvendigt at se, om det er ens mellem alle dets givne medlemmer? Beregn q for det første og andet tilfælde.

Se hvorfor vi skal skrive to svar? Fordi tegnet på det påkrævede udtryk afhænger af, om det er positivt eller negativt! Og da vi ikke ved, hvad han er, skal vi skrive begge svar med et plus og et minus.

Nu hvor du har mestret hovedpunkterne og udledt formlen for egenskaben for en geometrisk progression, find, kend og

Sammenlign de modtagne svar med de rigtige:

Hvad synes du, hvad hvis vi ikke fik værdierne for medlemmerne af den geometriske progression, der støder op til det ønskede tal, men lige langt fra det. For eksempel skal vi finde, og er givet og. Kan vi i dette tilfælde bruge den formel vi udledte? Prøv at bekræfte eller afkræfte denne mulighed på samme måde ved at skrive ud, hvad hver værdi består af, som du gjorde, da du oprindeligt udledte formlen, for.
Hvad gjorde du?

Se nu godt efter igen.
og tilsvarende:

Ud fra dette kan vi konkludere, at formlen virker ikke kun med naboer med de nødvendige vilkår for den geometriske progression, men også med lige langt fra de eftertragtede medlemmer.

Vores indledende formel har således formen:

Det vil sige, at hvis vi i det første tilfælde sagde det, siger vi nu, at det kan være lig med ethvert naturligt tal, der er mindre. Det vigtigste er at være ens for begge givne tal.

Øv dig med specifikke eksempler, vær bare ekstremt forsigtig!

1. ,. Finde.
2. ,. Finde.
3. ,. Finde.

Besluttede? Jeg håber, du var yderst opmærksom og bemærkede en lille fangst.

Vi sammenligner resultaterne.

I de første to tilfælde anvender vi roligt ovenstående formel og får følgende værdier:

I det tredje tilfælde, efter omhyggelig overvejelse af ordenstallene for de numre, vi har fået, forstår vi, at de ikke er lige langt fra det tal, vi leder efter: det er det forrige tal, men fjernet i position, så det er ikke muligt at anvende formlen.

Hvordan løses det? Det er faktisk ikke så svært, som det lyder! Lad os skrive ned med dig, hvad hvert nummer givet til os og det nødvendige antal består af.

Så vi har og. Lad os se, hvad vi kan gøre med dem? Jeg foreslår at dividere med. Vi får:

Vi erstatter vores data med formlen:

Det næste trin kan vi finde - til dette skal vi tage terningroden af ​​det resulterende tal.

Og nu ser vi igen, hvad vi har. Vi har, men vi skal finde, og han er til gengæld lig med:

Vi fandt alle de nødvendige data til beregningen. Erstat i formlen:

Vores svar: .

Prøv selv at løse et andet lignende problem:
Givet:,
Finde:

Hvor meget fik du det? Jeg har - .

Som du kan se, har du faktisk brug for husk kun én formel-. Du kan til enhver tid hæve resten uden problemer på egen hånd. For at gøre dette skal du bare skrive den enkleste geometriske progression på et stykke papir og skrive ned, hvad ifølge ovenstående formel, hvert af dets tal er ens.

Summen af ​​medlemmerne af en geometrisk progression.

Overvej nu formlerne, der giver os mulighed for hurtigt at beregne summen af ​​medlemmerne af en geometrisk progression i et givet interval:

For at udlede formlen for summen af ​​medlemmerne af en endelig geometrisk progression multiplicerer vi alle dele af den højere ligning med. Vi får:

Se godt efter: hvad har de to sidste formler til fælles? Det er rigtigt, f.eks. almindelige medlemmer og så videre, bortset fra første og sidste medlem. Lad os prøve at trække 1. fra 2. ligning. Hvad gjorde du?

Udtryk nu udtrykket for den geometriske progression gennem formlen og erstat det resulterende udtryk i vores sidste formel:

Gruppér udtrykket. Du bør få:

Det eneste, der er tilbage at gøre, er at udtrykke:

Følgelig i dette tilfælde.

Hvad hvis? Hvilken formel virker så? Forestil dig en geometrisk progression kl. Hvordan er hun? Korrekt en række af identiske tal, henholdsvis, vil formlen se sådan ud:

Der er mange legender i både aritmetisk og geometrisk progression. En af dem er legenden om Seth, skaberen af ​​skak.

Mange mennesker ved, at skakspillet blev opfundet i Indien. Da den hinduistiske konge mødte hende, var han henrykt over hendes vid og de mange mulige positioner i hende. Efter at have lært, at det var opfundet af en af ​​hans undersåtter, besluttede kongen at belønne ham personligt. Han tilkaldte opfinderen til sig og beordrede at bede ham om, hvad han ville, og lovede at opfylde selv det mest dygtige ønske.

Seta bad om betænkningstid, og da Seta næste dag viste sig for kongen, overraskede han kongen med den enestående beskedenhed i hans anmodning. Han bad om at afgive et hvedekorn til den første celle på skakbrættet, for det andet hvedekorn, til det tredje, til det fjerde osv.

Kongen blev vred og drev Seth bort, idet han sagde, at tjenerens anmodning var uværdig til den kongelige generøsitet, men lovede, at tjeneren ville modtage sine korn til alle tavlens celler.

Og nu spørgsmålet: ved hjælp af formlen for summen af ​​medlemmerne af en geometrisk progression, beregne hvor mange korn Seta skal modtage?

Lad os begynde at ræsonnere. Da Seth ifølge betingelsen bad om et hvedekorn til den første celle på skakbrættet, til den anden, til den tredje, til den fjerde osv., ser vi, at problemet handler om en geometrisk progression. Hvad er lige i dette tilfælde?
Ret.

Samlet antal celler på skakbrættet. Henholdsvis, . Vi har alle data, det er kun at erstatte det i formlen og beregne.

For at repræsentere mindst tilnærmelsesvis "skalaerne" af et givet tal, transformerer vi ved hjælp af gradens egenskaber:

Selvfølgelig, hvis du vil, kan du tage en lommeregner og beregne, hvilket tal du får til sidst, men hvis ikke, må du tage mit ord for det: den endelige værdi af udtrykket bliver.
Det er:

quintillion quadrillion billioner milliarder millioner tusinde.

Fuh) Hvis du vil forestille dig omfanget af dette tal, så estimer hvor stor stalden ville være nødvendig for at indeholde hele mængden af ​​korn.
Med en staldhøjde m og en bredde på m skulle dens længde strække sig over km, dvs. dobbelt så langt som fra Jorden til Solen.

Hvis zaren var stærk i matematik, kunne han foreslå, at videnskabsmanden selv tæller kornene, for for at tælle en million korn, ville han have brug for mindst en dags utrættelig optælling, og givet at det er nødvendigt at tælle kvintillioner, ville kornene skal tælles hele sit liv.

Lad os nu løse et simpelt problem for summen af ​​medlemmerne af en geometrisk progression.
En elev på 5 A klasse Vasya, fik influenza, men fortsætter med at gå i skole. Hver dag inficerer Vasya to mennesker, som til gengæld inficerer yderligere to mennesker, og så videre. Der er mennesker i klassen. Hvor mange dage bliver hele klassen syg af influenza?

Så det første medlem af den geometriske progression er Vasya, det vil sige en person. medlem af den geometriske progression, disse er de to personer, som han inficerede på den første dag efter hans ankomst. Det samlede antal medlemmer i progressionen er lig med antallet af elever 5A. Derfor taler vi om en progression, hvor:

Lad os erstatte vores data med formlen for summen af ​​medlemmer af en geometrisk progression:

Hele klassen bliver syg om dage. Tror du ikke på formler og tal? Prøv selv at skildre elevernes "infektion". sket? Se hvordan det ser ud for mig:

Beregn selv, hvor mange dage det ville tage eleverne at få influenza, hvis hver enkelt smitter en person, og der var en person i klassen.

Hvilken værdi fik du? Det viste sig, at alle begyndte at blive syge efter en dag.

Som du kan se, ligner en sådan opgave og tegning til den en pyramide, hvor hver efterfølgende "bringer" nye mennesker. Men før eller siden kommer der et øjeblik, hvor sidstnævnte ikke kan tiltrække nogen. I vores tilfælde, hvis vi forestiller os, at klassen er isoleret, vil personen fra lukke kæden (). Således, hvis en person var involveret i en finansiel pyramide, hvor der blev givet penge, hvis du tog to andre deltagere med, så ville personen (eller i det generelle tilfælde) ikke bringe nogen, henholdsvis, de ville miste alt, hvad de investerede i dette økonomisk fidus.

Alt, hvad der blev sagt ovenfor, refererer til en aftagende eller stigende geometrisk progression, men som du husker, har vi en speciel slags - en uendeligt aftagende geometrisk progression. Hvordan beregner man summen af ​​sine medlemmer? Og hvorfor har denne type progression visse funktioner? Lad os ordne det sammen.

Så lad os først se igen på denne figur af en uendeligt faldende geometrisk progression fra vores eksempel:

Lad os nu se på formlen for summen af ​​en geometrisk progression, afledt lidt tidligere:
eller

Hvad stræber vi efter? Det er rigtigt, grafen viser, at den har en tendens til nul. Det vil sige, at det vil være næsten lige, henholdsvis når vi beregner udtrykket, får vi næsten. I denne henseende mener vi, at når man beregner summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progression, kan denne parentes negligeres, da den vil være ens.

- formlen er summen af ​​vilkårene for en uendeligt aftagende geometrisk progression.

VIGTIG! Vi bruger kun formlen for summen af ​​led i en uendeligt faldende geometrisk progression, hvis betingelsen udtrykkeligt siger, at vi skal finde summen endeløs antal medlemmer.

Hvis et bestemt tal n er angivet, så bruger vi formlen for summen af ​​n led, også hvis eller.

Lad os nu øve os.

1. Find summen af ​​de første led i en geometrisk progression med og.
2. Find summen af ​​vilkårene for en uendeligt aftagende geometrisk progression med og.

Jeg håber, du var yderst opmærksom. Lad os sammenligne vores svar:

Nu ved du alt om geometrisk progression, og det er tid til at gå fra teori til praksis. De mest almindelige eksponentielle problemer, man støder på i eksamen, er problemer med renters rente. Det er om dem, vi vil tale.

Opgaver til beregning af renters rente.

Du har sikkert hørt om den såkaldte rentesammensatte formel. Forstår du hvad hun mener? Hvis ikke, så lad os finde ud af det, for efter at have realiseret selve processen, vil du straks forstå, og her er en geometrisk progression.

Vi går alle til banken og ved, at der er forskellige betingelser for indskud: dette er udtrykket, og ekstra service og renter med to forskellige måder at beregne det på - enkel og kompleks.

MED simpel rente alt er mere eller mindre klart: renten beregnes én gang ved udløbet af depositumperioden. Det vil sige, hvis vi siger, at vi sætter 100 rubler for et år under, så bliver de først krediteret i slutningen af ​​året. Derfor vil vi modtage rubler ved udgangen af ​​depositum.

Renters rente- det er den mulighed, der er kapitalisering af renter, dvs. deres tilføjelse til indskudsbeløbet og den efterfølgende beregning af indkomst ikke fra den oprindelige, men fra det akkumulerede beløb af indskuddet. Store bogstaver forekommer ikke konstant, men med en vis hyppighed. Som regel er sådanne perioder lige store, og oftest bruger banker en måned, et kvartal eller et år.

Lad os sige, at vi sætter alle de samme rubler til årlige kurser, men med en månedlig kapitalisering af depositum. Hvad får vi?

Forstår du alt her? Hvis ikke, så lad os finde ud af det i etaper.

Vi bragte rubler til banken. Ved udgangen af ​​måneden skulle vores konto have et beløb bestående af vores rubler plus renter på dem, det vil sige:

Jeg er enig?

Vi kan sætte det uden for beslaget, og så får vi:

Enig, denne formel ligner allerede mere den, vi skrev i begyndelsen. Det er tilbage at håndtere interessen

I problemformuleringen får vi fortalt om det årlige. Som du ved, multiplicerer vi ikke med - vi konverterer procenter til decimalbrøker, det vil sige:

Ret? Nu spørger du, hvor kom nummeret fra? Meget simpelt!
Jeg gentager: problemformuleringen siger om ÅRLIGT påløbne renter MÅNEDLIGE... Som du ved, vil banken i henholdsvis et år på måneder opkræve os en del af den årlige rente pr. måned:

Gik op for? Prøv nu at skrive, hvordan denne del af formlen vil se ud, hvis jeg siger, at renten beregnes dagligt.
Klarede du dig? Lad os sammenligne resultaterne:

Godt klaret! Lad os vende tilbage til vores opgave: skriv ned, hvor meget der vil blive krediteret vores konto for den anden måned, idet der tages højde for, at der opkræves renter på det akkumulerede depositum.
Her er hvad jeg fik:

Eller med andre ord:

Jeg tror, ​​at du allerede har bemærket et mønster og set en geometrisk progression i alt dette. Skriv ned, hvad dets medlem vil være lig med, eller med andre ord, hvor mange penge vi vil modtage i slutningen af ​​måneden.
gjorde? Tjekker!

Som du kan se, hvis du sætter penge i banken i et år til en simpel rente, vil du modtage rubler, og hvis til en kompleks sats - rubler. Fordelen er lille, men dette sker kun i løbet af det år, men i en længere periode er kapitalisering meget mere rentabel:

Lad os overveje en anden type problemer med renters rente. Efter hvad du har fundet ud af, vil det være elementært for dig. Så opgaven:

Zvezda-virksomheden begyndte at investere i industrien i 2000 med kapital i dollars. Hvert år siden 2001 har hun et overskud, som er fra kapitalen fra det foregående år. Hvor meget overskud vil Zvezda-virksomheden modtage ved udgangen af ​​2003, hvis overskuddet ikke er trukket ud af omløb?

Kapital i virksomheden "Zvezda" i 2000.
- kapitalen i virksomheden "Zvezda" i 2001.
- kapitalen i virksomheden "Zvezda" i 2002.
- kapitalen i virksomheden "Zvezda" i 2003.

Eller vi kan skrive kort:

For vores tilfælde:

2000, 2001, 2002 og 2003.

Henholdsvis:
rubler
Bemærk at vi i denne opgave ikke har nogen division hverken med eller efter, da procenten er givet ÅRLIG og den udregnes ÅRLIG. Det vil sige, når du læser et problem for renters rente, skal du være opmærksom på, hvilken procentdel der gives, og i hvilken periode det opkræves, og først derefter gå videre til beregningerne.
Nu ved du alt om geometrisk progression.

Træning.

1. Find det eksponentielle led, hvis det er kendt, og
2. Find summen af ​​de første led i den geometriske progression, hvis det er kendt, og
3. MDM Capital begyndte at investere i industrien i 2003 med kapital i dollars. Hvert år, startende i 2004, tjener hun et overskud, som er fra kapitalen fra det foregående år. Virksomheden "MSK Cash Flows" begyndte at investere i industrien i 2005 i mængden af ​​$ 10.000, og begyndte at tjene penge i 2006 i mængden af. Hvor mange dollars er kapitalen i et selskab mere end et andet ved udgangen af ​​2007, hvis overskuddet ikke er trukket ud af omløb?

Svar:

1. Da problemformuleringen ikke siger, at progressionen er uendelig, og det er nødvendigt at finde summen af ​​et bestemt antal af dens medlemmer, udføres beregningen efter formlen:
2. 
   MDM kapital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - stiger med 100%, det vil sige 2 gange.
   Henholdsvis:
   rubler
   MSK pengestrømme:

   2005, 2006, 2007.
   - stiger med, det vil sige gange.
   Henholdsvis:
   rubler
   rubler

Lad os opsummere.

1) Geometrisk progression () er en numerisk sekvens, hvis første led er ikke-nul, og hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående, ganget med det samme tal. Dette tal kaldes nævneren for den geometriske progression.

2) Ligning af medlemmer af en geometrisk progression -.

3) kan tage alle værdier, undtagen og.

• hvis, så har alle efterfølgende medlemmer af progressionen det samme tegn - de positiv;
• hvis, så alle efterfølgende medlemmer af progressionen alternative tegn;
• at - progressionen kaldes uendeligt aftagende.

4), for er egenskaben af ​​en geometrisk progression (tilstødende led)

eller
, på (lige afstande)

Når du finder, så glem ikke det der burde være to svar.

For eksempel,

5) Summen af ​​medlemmerne af en geometrisk progression beregnes ved formlen:
eller

Hvis progressionen er uendeligt faldende, så:
eller

VIGTIG! Vi bruger kun formlen for summen af ​​led i en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis betingelsen udtrykkeligt siger, at det er nødvendigt at finde summen af ​​et uendeligt antal led.

6) Problemer for renters rente beregnes også efter formlen for det -. led af en geometrisk progression, forudsat at midlerne ikke er trukket ud af omløb:

GEOMETRISK PROGRESSION. KORT OM DE VIGTIGSTE

Geometrisk progression() er en numerisk sekvens, hvis første led er ikke-nul, og hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående, ganget med det samme tal. Dette nummer kaldes nævneren for en geometrisk progression.

Nævner for geometrisk progression kan tage alle værdier undtagen og.

• Hvis så alle efterfølgende medlemmer af progressionen har det samme tegn - de er positive;
• hvis, så skifter alle efterfølgende medlemmer af progressionen tegn;
• at - progressionen kaldes uendeligt aftagende.

Ligning af medlemmer af en geometrisk progression - .

Summen af ​​medlemmerne af en geometrisk progression beregnet med formlen:
eller

>> Matematik: Geometrisk progression

Af hensyn til læserens bekvemmelighed er dette afsnit opbygget nøjagtigt efter de samme linjer, som vi fulgte i det foregående afsnit.

1. Grundlæggende begreber.

Definition. En numerisk sekvens, hvis alle medlemmer er forskellige fra 0, og hvor hvert led, startende fra det andet, er opnået fra det foregående led ved at gange det med det samme tal, kaldes en geometrisk progression. I dette tilfælde kaldes tallet 5 for nævneren for en geometrisk progression.

En geometrisk progression er således en numerisk sekvens (b n) givet rekursivt af relationerne

Er det muligt ved at se på talrækken at afgøre, om det er en geometrisk progression? Kan. Hvis du er overbevist om, at forholdet mellem ethvert medlem af sekvensen og det foregående medlem er konstant, så har du en geometrisk progression.
Eksempel 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
B 1 = 1, q = 3.

Eksempel 2.

Dette er en geometrisk progression, hvori
Eksempel 3.

Dette er en geometrisk progression, hvori
Eksempel 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Dette er en geometrisk progression med b 1 - 8, q = 1.

Bemærk, at denne rækkefølge også er en aritmetisk progression (se eksempel 3 i § 15).

Eksempel 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Dette er en geometrisk progression, hvor b 1 = 2, q = -1.

Det er klart, at en geometrisk progression er en stigende sekvens, hvis b 1> 0, q> 1 (se eksempel 1), og aftagende, hvis b 1> 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

For at indikere, at sekvensen (b n) er en geometrisk progression, er følgende notation nogle gange praktisk:

Ikonet erstatter udtrykket "geometrisk progression".
Lad os bemærke en nysgerrig og samtidig ret åbenlys egenskab ved den geometriske progression:
Hvis rækkefølgen er en geometrisk progression, så rækkefølgen af ​​kvadrater, dvs. er en eksponentiel progression.
I den anden geometriske progression er det første led lig med a er lig med q 2.
Hvis vi kasserer eksponentielt alle led efter b n, får vi en endelig geometrisk progression
I de efterfølgende afsnit i dette afsnit vil vi overveje de vigtigste egenskaber ved en geometrisk progression.

2. Formel for det n-te led i en geometrisk progression.

Overvej en geometrisk progression nævner q. Vi har:

Det er ikke svært at gætte det for et hvilket som helst antal n ligheden

Dette er formlen for det n. led i en geometrisk progression.

Kommentar.

Hvis du har læst en vigtig bemærkning fra det foregående afsnit og forstået den, så prøv at bevise formel (1) ved hjælp af matematisk induktionsmetode, ligesom det blev gjort for formlen for det n'te led i en aritmetisk progression.

Lad os omskrive formlen for det n'te led i den geometriske progression

og indfør notationen: Vi får y = mq 2, eller mere detaljeret,
Argumentet x er indeholdt i en eksponent, så dette kaldes en eksponentiel funktion. Dette betyder, at en geometrisk progression kan ses som en eksponentiel funktion defineret på mængden N af naturlige tal. I fig. 96a viser grafen for funktionen Fig. 966 - funktionsgraf I begge tilfælde har vi isolerede punkter (med abscisser x = 1, x = 2, x = 3 osv.) liggende på en bestemt kurve (begge figurer viser den samme kurve, kun placeret forskelligt og afbildet i forskellige skalaer). Denne kurve kaldes eksponentiel. Mere information om eksponentialfunktionen og dens graf vil blive diskuteret i 11. klasses algebrakursus.

Lad os gå tilbage til eksempel 1-5 fra det foregående afsnit.

1) 1, 3, 9, 27, 81, .... Dette er en geometrisk progression, hvor b 1 = 1, q = 3. Lad os sammensætte formlen for det n'te led
2) Dette er en geometrisk progression, hvor Lad os komponere formlen for det n'te led

Dette er en geometrisk progression, hvori Lad os sammensætte formlen for det n'te led
4) 8, 8, 8, ..., 8, .... Dette er en geometrisk progression, hvor b 1 = 8, q = 1. Lad os sammensætte formlen for det n-te led
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Dette er en geometrisk progression, hvor b 1 = 2, q = -1. Lad os sammensætte formlen for det n'te led

Eksempel 6.

Der er givet en geometrisk progression

I alle tilfælde er løsningen baseret på formlen for det n. led i den geometriske progression

a) Sætter vi i formlen det n'te led i den geometriske progression n = 6, får vi

b) Vi har

Da 512 = 2 9, får vi n - 1 = 9, n = 10.

d) Vi har

Eksempel 7.

Forskellen mellem det syvende og femte led i den geometriske progression er 48, summen af ​​det femte og sjette led af progressionen er også 48. Find det tolvte led i denne progression.

Første etape. Udarbejdelse af en matematisk model.

Betingelserne for problemet kan kort skrives som følger:

Ved at bruge formlen for det n'te led i den geometriske progression får vi:
Så kan den anden betingelse for opgaven (b 7 - b 5 = 48) skrives i formen

Den tredje betingelse for opgaven (b 5 + b 6 = 48) kan skrives som

Som et resultat får vi et system af to ligninger med to variable b 1 og q:

som i kombination med ovenstående betingelse 1) er en matematisk model af problemet.

Anden fase.

Arbejder med den kompilerede model. Ved at sætte lighedstegn mellem venstre side af begge systemets ligninger får vi:

(vi har opdelt begge sider af ligningen i et udtryk, der ikke er nul b 1 q 4).

Fra ligningen q 2 - q - 2 = 0 finder vi q 1 = 2, q 2 = -1. Ved at indsætte værdien q = 2 i systemets anden ligning får vi
Ved at erstatte værdien q = -1 i systemets anden ligning får vi b 1 1 0 = 48; denne ligning har ingen løsninger.

Så b 1 = 1, q = 2 - dette par er en løsning af det sammensatte ligningssystem.

Nu kan vi nedskrive den geometriske progression, der henvises til i opgaven: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Trin tre.

Svaret på spørgsmålet om problemet. Det er nødvendigt at beregne b 12. Vi har

Svar: b 12 = 2048.

3. Formlen for summen af ​​medlemmerne af en endelig geometrisk progression.

Lad en endelig geometrisk progression gives

Vi betegner med S n summen af ​​dets led, dvs.

Lad os udlede en formel for at finde dette beløb.

Lad os starte med det simpleste tilfælde, når q = 1. Så består den geometriske progression b 1, b 2, b 3, ..., bn af n tal lig med b 1, dvs. progressionen har formen b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Summen af ​​disse tal er nb 1.

Lad nu q = 1 For at finde S n anvender vi en kunstig metode: udføre nogle transformationer af udtrykket S n q. Vi har:

Ved at udføre transformationer brugte vi for det første definitionen af ​​en geometrisk progression, ifølge hvilken (se den tredje linje af ræsonnement); for det andet tilføjede og fratrak de, hvorfor betydningen af ​​udtrykket naturligvis ikke ændrede sig (se ræsonnementets fjerde linje); for det tredje brugte vi formlen for det n'te led i en geometrisk progression:

Fra formel (1) finder vi:

Dette er formlen for summen af ​​n led af en geometrisk progression (for det tilfælde, hvor q = 1).

Eksempel 8.

En endelig geometrisk progression er givet

a) summen af ​​medlemmerne af progressionen; b) summen af ​​kvadraterne af dens medlemmer.

b) Ovenfor (se s. 132) har vi allerede bemærket, at hvis alle led i en geometrisk progression er kvadreret, så får vi en geometrisk progression med det første led b 2 og nævneren q 2. Derefter vil summen af ​​seks medlemmer af den nye progression blive beregnet pr

Eksempel 9.

Find 8. led i en geometrisk progression med

Faktisk har vi bevist følgende sætning.

En numerisk sekvens er en geometrisk progression, hvis og kun hvis kvadratet af hvert af dets medlemmer, bortset fra den første sætning (og den sidste, i tilfælde af en endelig sekvens), er lig med produktet af de foregående og efterfølgende led ( karakteristisk egenskab ved en geometrisk progression).