Er plads tilfældigt? Terninger online Sådan gør du faldet af terningerne mere eller mindre tilfældigt.

Hvad er de tre love for tilfældighed, og hvorfor uforudsigelighed giver os muligheden for at lave de mest pålidelige forudsigelser.

Vores sind modstår med al dens magt tanken om tilfældigheder. I løbet af vores udvikling som art har vi udviklet evnen til at lede efter årsag-og-virkning sammenhænge i alt. Længe før videnskabens fremkomst vidste vi allerede, at en crimson-rød solnedgang varsler en farlig storm, og en feberagtig rødme på en babys ansigt betyder, at hans mor vil have en svær nat. Vores sind forsøger automatisk at strukturere de data, vi modtager, på en sådan måde, at de hjælper os med at drage slutninger fra vores observationer og bruge disse slutninger til at forstå og forudsige begivenheder.

Ideen om tilfældighed er så svær at acceptere, fordi den modsiger det grundlæggende instinkt, der får os til at lede efter rationelle mønstre i verden omkring os. Og chancerne viser os bare, at sådanne mønstre ikke eksisterer. Det betyder, at tilfældigheder grundlæggende begrænser vores intuition, da det beviser, at der er processer, hvis forløb vi ikke helt kan forudsige. Dette koncept er ikke let at acceptere, selvom det er en væsentlig del af universets mekanisme. Uden at forstå, hvad tilfældighed er, befinder vi os i en blindgyde af en perfekt forudsigelig verden, som simpelthen ikke eksisterer uden for vores fantasi.

Jeg vil sige, at først når vi mestrer de tre aforismer - de tre tilfældighedslove - vil vi være i stand til at frigøre os fra vores primitive ønske om forudsigelighed og acceptere universet som det er, og ikke som vi gerne vil se det.

Tilfældighed eksisterer

Vi bruger enhver mental mekanisme, bare ikke for at se tilfældigheder i øjnene. Vi taler om karma, om denne kosmiske equalizer, som forbinder klart uafhængige ting. Vi tror på gode og dårlige varsler, i det faktum, at "Gud elsker treenigheden", vi hævder, at vi er påvirket af stjernernes placering, månens faser og planeternes bevægelse. Hvis vi får konstateret kræft, forsøger vi automatisk at skyde skylden på noget (eller nogen).

Men mange begivenheder kan ikke helt forudsiges eller forklares. Katastrofer sker uforudsigeligt, og både gode og dårlige mennesker lider, inklusive dem, der er født "under en heldig stjerne" eller "under et gunstigt tegn." Nogle gange formår vi at forudsige noget, men tilfældigheder kan nemt modbevise selv de mest pålidelige forudsigelser. Bliv ikke overrasket, hvis din overvægtige nabo, som er en non-stop rygende hensynsløs motorcyklist, lever længere end dig.

Desuden kan tilfældige begivenheder foregive at være ikke-tilfældige. Selv den mest kræsne videnskabsmand kan have svært ved at skelne mellem den faktiske effekt og den tilfældige udsving. Tilfældigheder kan gøre placebo til magisk kur og harmløse forbindelser til dødelig gift; og kan endda skabe subatomære partikler ud af ingenting.

Nogle begivenheder er umulige at forudsige

Hvis du går ind på et kasino i Las Vegas og ser mængden af ​​spillere ved spillebordene, vil du sandsynligvis se nogen, der tror, ​​de er heldige i dag. Han vandt flere gange i træk, og hans hjerne forsikrer ham om, at han vil fortsætte med at vinde, så spilleren fortsætter med at placere indsatser. Du vil også se en, der lige har tabt. Taberens hjerne råder ham, ligesom vinderens hjerne, også til at fortsætte spillet: Da du har tabt så mange gange i træk, begynder det nok at blive heldigt. Det er tåbeligt at forlade nu og gå glip af denne chance.

Men uanset hvad vores hjerne fortæller os, er der ingen mystisk kraft, der kan give os en "stribe af held", og heller ikke universel retfærdighed, der ville sikre, at taberen endelig begynder at vinde. Universet er fuldstændig ligeglad med, om du vinder eller taber; for hende er alle terningerne de samme.

Uanset hvor mange kræfter du lægger i at observere, hvordan terningerne faldt igen, og uanset hvor nøje du gransker spillere, der mener, at de har formået at ride deres held, vil du absolut ikke modtage information om det næste kast. Resultatet af hvert kast er fuldstændig uafhængigt af historikken for de tidligere kast. Derfor er enhver forventning om at opnå en fordel ved at se spillet dømt til at mislykkes. Sådanne begivenheder - uafhængige af noget og helt tilfældige - egner sig ikke til nogen forsøg på at finde mønstre, fordi disse mønstre simpelthen ikke eksisterer.

Tilfældighed lægger en barriere i vejen for menneskelig opfindsomhed, da den viser, at al vores logik, al vores videnskab og evne til at ræsonnere ikke fuldt ud kan forudsige universets adfærd. Uanset hvilke metoder du bruger, hvilken teori du end opfinder, hvilken logik du end bruger til at forudsige resultatet af terningkastet, vil du tabe fem ud af seks gange. Er altid.

Et kompleks af tilfældige hændelser er forudsigeligt, selvom individuelle hændelser ikke er det

Tilfældighed er skræmmende, det begrænser pålideligheden af ​​selv de mest sofistikerede teorier og skjuler visse elementer af naturen for os, uanset hvor vedholdende vi forsøger at trænge ind i deres essens. Ikke desto mindre kan det ikke argumenteres for, at det tilfældige er et synonym for det ukendelige. Dette er slet ikke tilfældet.

Tilfældighed adlyder sine egne regler, og disse regler gør den tilfældige proces forståelig og forudsigelig.

Loven om store tal siger, at selvom enkelte tilfældige hændelser er fuldstændig uforudsigelige, kan en stor nok stikprøve af disse hændelser være ret forudsigelige – og jo større stikprøven er, jo mere præcis er forudsigelsen. Et andet kraftfuldt matematisk værktøj, centrale grænsesætninger, viser også, at summen af ​​et tilstrækkeligt stort antal stokastiske variable vil have en fordeling, der er tæt på normalen. Med disse værktøjer kan vi ret præcist forudsige begivenheder på lang sigt, uanset hvor kaotiske, mærkelige og tilfældige de måtte være på kort sigt.

Tilfældighedernes regler er så magtfulde, at de dannede grundlaget for fysikkens mest urokkelige og uforanderlige love. Selvom atomer i en gasbeholder bevæger sig kaotisk, er deres generelle adfærd beskrevet af et simpelt sæt ligninger. Selv termodynamikkens love udspringer af forudsigeligheden af ​​et stort antal tilfældige begivenheder; disse love er urokkelige, netop fordi tilfældighed er så absolut.

Paradoksalt nok er det uforudsigeligheden af ​​tilfældige begivenheder, der gør os i stand til at lave vores mest pålidelige forudsigelser.

Skrevet af designer Tyler Sigman på Gamasutra. Jeg kalder den med glæde "hår i næseborene på en ork", men den gør et ret godt stykke arbejde med at opstille det grundlæggende om sandsynligheder i spil.

Denne uges emne

Indtil i dag har næsten alt, hvad vi talte om, været deterministisk, og i sidste uge tog vi et nærmere kig på transitiv mekanik og ordnede det så detaljeret, som jeg kan forklare det. Men indtil nu har vi ikke været opmærksomme på et kæmpe aspekt af mange spil, nemlig de ikke-deterministiske aspekter, med andre ord tilfældighed. At forstå karakteren af ​​tilfældighed er meget vigtigt for spildesignere, fordi vi skaber systemer, der påvirker spillerens oplevelse i et givet spil, så vi skal vide, hvordan disse systemer fungerer. Hvis der er tilfældighed i systemet, skal du forstå natur denne tilfældighed og hvordan man ændrer den for at få de resultater, vi har brug for.

Terninger

Lad os starte med noget simpelt: at kaste terningerne. Når de fleste mennesker tænker på terninger, tænker de på en sekssidet terning kendt som d6. Men de fleste spillere har set mange andre terninger: tetrahedral (d4), octahedral (d8), tolv (d12), tyve (d20) ... og hvis du ægte nørd, du har måske 30-sidede eller 100-sidede knogler et eller andet sted. Hvis du ikke er bekendt med denne terminologi, betyder "d" en terning, og tallet efter den, hvor mange ansigter den har. Hvis foran"D" står for et tal, betyder det nummer terninger, når de kastes. For eksempel, i Monopol kaster du 2d6.

Så i dette tilfælde er udtrykket "terninger" en konventionel betegnelse. Der er mange andre tilfældige talgeneratorer, der ikke er i form af en plastikklump, men udfører den samme funktion som at generere et tilfældigt tal fra 1 til n. En almindelig mønt kan også opfattes som en d2 dihedral. Jeg så to designs af en syvsidet terning: Den ene lignede en terning, og den anden lignede mere en syvsidet træblyant. Den tetraedriske dreidel (også kendt som titotum) er analog med den tetraedriske knogle. Spillefeltet med en roterende pil i spillet "Chutes & Ladders", hvor resultatet kan være fra 1 til 6, svarer til en sekskantet terning. En tilfældig talgenerator i en computer kan skabe et hvilket som helst tal fra 1 til 19, hvis designeren spørger en sådan kommando, selvom computeren ikke har en 19-sidet terning (generelt vil jeg tale mere detaljeret om sandsynligheden for at få tal på en computer kl Næste uge). Selvom disse elementer alle ser forskellige ud, er de faktisk de samme: Du har lige stor chance for at få et af flere resultater.

Terninger har nogle interessante egenskaber, som vi skal kende til. For det første er sandsynligheden for, at et ansigt falder ud, den samme (jeg går ud fra, at du slår den rigtige terning, ikke den uregelmæssige geometriske form). Så hvis du vil vide det betyde kast (også kendt blandt dem, der er glade for emnet sandsynlighed som "matematisk forventet"), summer værdierne af alle kanter og divider denne sum med nummer ansigter. Det gennemsnitlige kast for en standard sekskantet terning er 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, divider med antallet af kanter (6) for at få gennemsnittet på 21/6 = 3,5. Dette er et særligt tilfælde, fordi vi antager, at alle udfald er lige sandsynlige.

Hvad hvis du har specielle terninger? For eksempel så jeg et spil med en sekskantet terning med specielle klistermærker på kanterne: 1, 1, 1, 2, 2, 3, så det opfører sig som en mærkelig trekantet terning med en bedre chance for at få et nummer 1 end 2, og 2 end 3. Hvad er den gennemsnitlige kastværdi for denne terning? Så 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, divider med 6, er lig med 5/3 eller omkring 1,66. Så hvis du har sådan en speciel terning, og spillerne kaster tre terninger og derefter lægger resultaterne sammen, ved du, at deres omtrentlige totalsum vil være omkring 5, og du kan balancere spillet baseret på denne antagelse.

Terninger og uafhængighed

Som sagt går vi ud fra den antagelse, at hvert ansigt er lige tilbøjeligt til at falde ud. Det er lige meget, hvor mange terninger du kaster. Hvert terningkast uanset hvad, betyder det, at tidligere kast ikke påvirker resultaterne af efterfølgende. Med nok forsøg, skal du varsel En "række" af tal, såsom at falde ud af for det meste større eller mindre værdier, eller andre funktioner, og det vil vi tale om senere, men det betyder ikke, at terningerne er "varme" eller "kolde". Hvis du kaster en standard seks-sidet terning, og tallet 6 kommer op to gange i træk, er sandsynligheden for, at næste kast vil resultere i en 6, også 1/6. Sandsynligheden øges ikke af, at kuben er "varmet op". Sandsynligheden falder ikke, for tallet 6 er allerede faldet ud to gange i træk, hvilket betyder, at nu falder endnu et ansigt ud. (Selvfølgelig, hvis du kaster terningerne tyve gange, og hver gang tallet 6 kommer op, er chancerne for, at den enogtyvende gang får tallet 6 ret høje ... for måske betyder det, at du har den forkerte terning!) Men hvis du har de rigtige terninger, er sandsynligheden for at falde ud af hver af siderne den samme, uanset resultaterne af andre kast. Du kan også forestille dig, at hver gang vi udskifter terningen, så hvis tallet 6 kommer op to gange i træk, skal du fjerne den "varme" terning fra spillet og erstatte den med en ny sekssidet terning. Jeg beklager, hvis nogen af ​​jer allerede vidste om dette, men jeg var nødt til at afklare dette, før jeg gik videre.

Hvordan får man terningerne til at falde mere eller mindre tilfældigt

Lad os tale om, hvordan man får forskellige resultater på forskellige terninger. Hvis du kun kaster terningerne én eller flere gange, vil spillet føles mere tilfældigt, hvis terningerne har flere kanter. Jo flere terninger du kaster, eller jo flere terninger du kaster, jo mere kommer resultaterne tættere på gennemsnittet. Hvis du for eksempel kaster 1d6 + 4 (det vil sige en standard hex-terning én gang og lægger 4 til resultatet), vil gennemsnittet være 5 til 10. Hvis du kaster 5d2, vil gennemsnittet også være 5 til 10. Men når kaster man en sekssidet terning, er sandsynligheden for at få tallene 5, 8 eller 10 den samme. Resultatet af at kaste 5d2 vil primært være tallene 7 og 8, sjældnere andre værdier. Den samme serie, endda den samme gennemsnitsværdi (7,5 i begge tilfælde), men karakteren af ​​tilfældighederne er forskellig.

Vent et øjeblik. Sagde jeg ikke lige, at terninger hverken varmer eller afkøles? Nu siger jeg, at hvis du kaster mange terninger, kommer kast så tæt på gennemsnittet? Hvorfor?

Lad mig forklare. Hvis du kaster en terninger, er sandsynligheden for at falde ud af hver af siderne den samme. Det betyder, at hvis du kaster mange terninger, vil hvert ansigt falde ud cirka det samme antal gange over tid. Jo flere terninger du kaster, jo mere vil det kumulative resultat komme tættere på gennemsnittet. Det skyldes ikke, at det udfaldne tal "gør" et andet tal, som endnu ikke er faldet ud. Men fordi en lille serie på 6 (eller 20 eller et andet tal) i sidste ende ikke betyder meget, hvis du kaster terningerne ti tusinde gange mere, og gennemsnitsværdien for det meste falder ud ... måske har du nu et par stykker tal med høj værdi, men måske senere et par tal med lav værdi og over tid vil de nærme sig gennemsnitsværdien. Ikke fordi tidligere kast påvirker terningerne (seriøst, en terning er lavet af plast, hun har ikke hjernen til at tænke: "åh, den har ikke været kastet i lang tid"), men fordi det er det, der normalt sker med et stort antal terningekast. En lille række af gentagne tal vil være næsten usynlige i et stort antal resultater.

At lave beregninger for et tilfældigt terningkast er således ret ligetil, i det mindste hvad angår beregningen af ​​den gennemsnitlige kastværdi. Der er også måder at beregne "hvor tilfældigt" noget er, en måde at sige, at resultaterne af at rulle 1d6 + 4 vil være "mere tilfældige" end 5d2, for 5d2 vil fordelingen af ​​resultaterne være mere jævn, normalt for dette beregn standardafvigelsen, og jo mere værdi, jo mere tilfældige vil resultaterne være, men dette kræver flere beregninger, end jeg gerne vil give i dag (jeg vil forklare dette emne senere). Det eneste, jeg beder dig om at vide, er, at som en generel regel, jo færre terninger der kastes, jo større tilfældighed. Og endnu en tilføjelse om dette emne: Jo flere ansigter en terning har, jo mere tilfældig, da du har flere muligheder.

Hvordan man beregner sandsynlighed ved at tælle

Du undrer dig måske: hvordan kan vi beregne den nøjagtige sandsynlighed for at få et bestemt resultat? Dette er faktisk ret vigtigt for mange spil, for hvis du kaster terningerne, vil der sandsynligvis være et optimalt resultat i starten. Svaret er: vi skal tælle to værdier. Tæl først det maksimale antal udfald ved et terningkast (uanset hvad udfaldet er). Tæl derefter antallet af gunstige resultater. Ved at dividere den anden værdi med den første, får du den sandsynlighed, du ønsker. For at få procentdelen skal du gange dit resultat med 100.

Eksempler:

Her er et meget simpelt eksempel. Du vil have en 4 eller højere til at komme op og kaste de sekskantede terninger én gang. Det maksimale antal udfald er 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Af disse er 3 resultater (4, 5, 6) gunstige. Så for at beregne sandsynligheden skal du dividere 3 med 6 og få 0,5 eller 50%.

Her er et eksempel, der er lidt mere kompliceret. Du vil kaste et lige tal på 2d6-kastet. Det maksimale antal udfald er 36 (6 for hver terning, og da den ene terning ikke påvirker den anden, multiplicerer vi 6 resultater med 6 for at få 36). Vanskeligheden ved denne type spørgsmål er, at det er nemt at tælle to gange. For eksempel er der faktisk to muligheder for udfaldet af 3 på et 2d6 kast: 1 + 2 og 2 + 1. De ser ens ud, men forskellen er, hvilket tal der vises på den første terning og hvilket på den anden. Du kan også forestille dig, at terningerne har forskellige farver, så for eksempel i dette tilfælde er den ene terning rød og den anden er blå. Tæl derefter antallet af muligheder for et lige tal: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). Det viser sig, at der er 18 muligheder for et gunstigt resultat ud af 36, ligesom i det foregående tilfælde vil sandsynligheden være 0,5 eller 50%. Måske uventet, men ret præcist.

Monte Carlo simulering

Hvad hvis du har for mange terninger til at tælle? For eksempel vil du vide, hvad sandsynligheden er for, at et beløb på 15 eller mere bliver kastet på et 8d6 kast. For otte terninger er der MANGE forskellige individuelle resultater, og det vil tage meget lang tid at tælle dem manuelt. Selvom vi kan finde en god løsning til at gruppere forskellige serier af terningkast, vil det stadig tage meget lang tid at tælle. I dette tilfælde er den nemmeste måde at beregne sandsynligheden på ikke at tælle den manuelt, men at bruge en computer. Der er to måder at beregne sandsynligheder på på en computer.

Den første metode kan bruges til at få det nøjagtige svar, men det involverer lidt programmering eller scripting. Grundlæggende vil computeren se på hver mulighed, estimere og tælle det samlede antal iterationer og antallet af iterationer, der matcher det ønskede resultat, og derefter give svar. Din kode kan se sådan ud:

int wincount = 0, totalcount = 0;

for (int i = 1; i<=6; i++) {

for (int j = 1; j<=6; j++) {

for (int k = 1; k<=6; k++) {

… // indsæt flere løkker her

hvis (i + j + k +…> = 15) (

float sandsynlighed = wincount / totalcount;

Hvis du ikke er fortrolig med programmering, og du blot mangler et upræcist, men omtrentligt svar, kan du simulere denne situation i Excel, hvor du kaster 8d6 flere tusinde gange og får svar. For at caste 1d6 i Excel skal du bruge følgende formel:

GULV (RAND () * 6) +1

Der er et navn for en situation, hvor du ikke kender svaret og bare prøver det mange gange - Monte Carlo simulering og dette er en god løsning at falde tilbage på, når du forsøger at beregne sandsynligheden, og det er for svært. Det fantastiske er, at vi i dette tilfælde ikke behøver at forstå, hvordan den matematiske beregning fungerer, og vi ved, at svaret vil være "temmelig godt", for som vi allerede ved, jo flere kast, jo mere bliver resultatet. nærmer sig gennemsnitsværdien.

Hvordan man kombinerer uafhængige tests

Hvis du spørger om flere gentagne, men uafhængige udfordringer, påvirker resultatet af et kast ikke resultatet af de andre kast. Der er en anden enklere forklaring på denne situation.

Hvordan skelner man mellem noget afhængigt og uafhængigt? Grundlæggende, hvis du kan skelne hvert terningkast (eller serie af kast) som en separat begivenhed, så er den uafhængig. For eksempel, hvis vi vil have i alt 15 til at kaste på 8d6, kan denne sag ikke opdeles i flere uafhængige terningkast. Da du for resultatet tæller summen af ​​værdierne af alle terningerne, påvirker resultatet, der faldt på den ene terning, de resultater, der skulle falde på den anden terning, for kun at tilføje alle værdierne vil du få det ønskede resultat .

Her er et eksempel på uafhængige kast: du spiller med terninger, og du kaster med sekskantede terninger flere gange. For at blive i spillet skal dit første kast være 2 eller højere. For det andet kast, 3 eller højere. Den tredje kræver 4 eller højere, den fjerde kræver 5 eller højere, og den femte kræver 6. Hvis alle fem kast lykkes, vinder du. I dette tilfælde er alle ruller uafhængige. Ja, hvis et kast mislykkes, vil det påvirke resultatet af hele spillet, men et kast påvirker ikke det andet kast. For eksempel, hvis dit andet terningkast er meget vellykket, påvirker det ikke på nogen måde sandsynligheden for, at de næste kast bliver lige så vellykkede. Derfor kan vi overveje sandsynligheden for hvert terningkast separat.

Hvis du har separate, uafhængige sandsynligheder og vil vide, hvad er sandsynligheden for, at alle begivenheder vil komme, du bestemmer hver enkelt sandsynlighed og multiplicerer dem. En anden måde: hvis du bruger konjunktionen "og" til at beskrive flere forhold (f.eks. hvad er sandsynligheden for, at en tilfældig begivenhed indtræffer og en anden uafhængig tilfældig hændelse?), tæl de individuelle sandsynligheder og gange dem.

Det er lige meget, hvad du synes aldrig læg ikke uafhængige sandsynligheder sammen. Dette er en almindelig fejl. For at forstå, hvorfor dette er forkert, skal du forestille dig en situation, hvor du kaster en 50/50-mønt, og du vil vide, hvad sandsynligheden er for, at den rammer hovederne to gange i træk. Sandsynligheden for, at hver side rammer er 50 %, så hvis du tilføjer disse to sandsynligheder, har du 100 % chance for at ramme hoveder, men vi ved, at det ikke er sandt, fordi den kan få haler to gange i træk. Hvis du i stedet gange disse to sandsynligheder, får du 50% * 50% = 25%, hvilket er det rigtige svar til at beregne sandsynligheden for at slå hoveder to gange i træk.

Eksempel

Lad os gå tilbage til spillet med en sekskantet terning, hvor du først skal have et tal højere end 2, derefter højere end 3, og så videre. op til 6. Hvad er chancerne for, at alle udfaldene i en given serie på 5 kast vil være gunstige?

Som nævnt ovenfor er disse uafhængige tests, så vi beregner sandsynligheden for hvert enkelt kast og gange dem derefter. Sandsynligheden for, at resultatet af det første kast vil være gunstigt er 5/6. Den anden er 4/6. Den tredje er 3/6. Fjerde - 2/6, femte - 1/6. Hvis du multiplicerer alle disse resultater, får vi omkring 1,5% ... Det er således ret sjældent at vinde i dette spil, så hvis du tilføjer dette element til dit spil, har du brug for en ret stor jackpot.

Negation

Her er et andet nyttigt tip: nogle gange er det svært at beregne sandsynligheden for, at en begivenhed vil indtræffe, men det er nemmere at afgøre, hvad chancerne er for, at en begivenhed finder sted. vil ikke komme.

Antag for eksempel, at vi har et andet spil, og du kaster 6d6, og hvis mindst en gang 6 er rullet, du vinder. Hvad er sandsynligheden for at vinde?

I dette tilfælde er der mange muligheder for at beregne. Det er muligt, at ét nummer 6 bliver droppet, dvs. på en af ​​terningerne vil tallet 6 falde, og på de andre numre fra 1 til 5, og der er 6 muligheder for, hvilken af ​​terningerne der bliver tallet 6. Så får du måske tallet 6 på to terninger, eller på tre, eller på endnu flere, og hver gang skal vi lave en separat optælling, så det er let at blive forvirret over dette.

Men der er en anden måde at løse dette problem på, lad os se på det fra den anden side. Du tabe hvis ikke på en tallet 6 falder ikke ud af terningerne. I dette tilfælde har vi seks uafhængige test, sandsynligheden for hver af dem er 5/6 (ethvert andet tal end 6 kan droppes på terningen). Gang dem, og du får omkring 33%. Sandsynligheden for at tabe er således 1 ud af 3.

Derfor er sandsynligheden for at vinde 67% (eller 2 til 3).

Det er tydeligt ud fra dette eksempel hvis du overvejer sandsynligheden for, at hændelsen ikke finder sted, skal du trække resultatet fra 100 %. Hvis sandsynligheden for at vinde er 67%, så er sandsynligheden at tabe — 100% minus 67 % eller 33 %. Og omvendt. Hvis det er svært at beregne én sandsynlighed, men det er let at beregne det modsatte, så beregn det modsatte, og træk derefter fra 100%.

Kombination af betingelser for én uafhængig test

Jeg sagde lige ovenfor, at man aldrig skulle opsummere sandsynligheder i uafhængige tests. Er der nogle tilfælde hvor kan summere sandsynligheder? - Ja, i en speciel situation.

Hvis du vil beregne sandsynligheden for flere ikke-relaterede gunstige udfald af samme forsøg, skal du tilføje sandsynligheden for hvert gunstigt resultat. For eksempel er sandsynligheden for at få tallene 4, 5 eller 6 på 1d6 summen sandsynligheden for at få tallet 4, sandsynligheden for at få tallet 5 og sandsynligheden for at få tallet 6. Du kan også forestille dig denne situation som følger: hvis du bruger konjunktionen "eller" i spørgsmålet om sandsynligheden (f.eks. , hvad er sandsynligheden for at eller andet udfald af én tilfældig hændelse?), udregn de individuelle sandsynligheder og opsummer dem.

Bemærk, at når du lægger op alle mulige resultater spil, skal summen af ​​alle sandsynligheder være lig med 100%. Hvis beløbet ikke er 100 %, er din beregning lavet forkert. Dette er en god måde at dobbelttjekke dine beregninger på. For eksempel, hvis du analyserede sandsynligheden for at få alle hænder i poker, hvis du lægger alle resultaterne sammen, skulle du få præcis 100 % (eller i det mindste en værdi temmelig tæt på 100 %, hvis du bruger en lommeregner, kan du have en lille afrundingsfejl. men hvis du lægger de nøjagtige tal sammen i hånden, burde det nok gå.) Hvis summen ikke stemmer overens, har du højst sandsynligt ikke taget højde for nogle kombinationer eller beregnet sandsynligheden for nogle kombinationer forkert, og så skal du dobbelttjekke dine beregninger.

Ulige sandsynligheder

Indtil nu har vi antaget, at hver side af terningen falder ud med samme frekvens, fordi det er sådan, terningerne fungerer. Men nogle gange står du over for en situation, hvor forskellige udfald er mulige, og det har de forskellige chancer for at falde ud. For eksempel, i en af ​​tilføjelserne til kortspillet "Nuclear War" er der et spillefelt med en pil, som resultatet af affyringen af ​​en raket afhænger af: dybest set giver den normal skade, stærkere eller svagere, men nogle gange øges skaden med to eller tre gange, eller raketten eksploderer ved affyringsrampen og gør dig ondt, eller der opstår en anden begivenhed. I modsætning til spillefeltet med en pil i "Chutes & Ladders" eller "A Game of Life", er resultaterne af spillefeltet i "Nuclear War" ujævne. Nogle sektioner af spillefeltet er større, og pilen stopper oftere ved dem, mens andre sektioner er meget små, og pilen stopper sjældent ved dem.

Så ved første øjekast ser knoglen sådan ud: 1, 1, 1, 2, 2, 3; vi har allerede talt om det, det er noget som en vægtet 1d3, derfor skal vi opdele alle disse sektioner i lige store dele, finde den mindste måleenhed, som er et multiplum af alt, og derefter repræsentere situationen i form af d522 (eller en anden ), hvor mange sider af terningerne vil repræsentere den samme situation, men med flere resultater. Og dette er en af ​​måderne at løse problemet på, og det er teknisk muligt, men der er en nemmere måde.

Lad os gå tilbage til vores standard hex terninger. Vi sagde, at for at beregne den gennemsnitlige rulleværdi for en normal terning, skal du summere værdierne på alle kanter og dividere dem med antallet af kanter, men hvordan Nemlig afvikling er i gang? Man kan sige det anderledes. For en sekskantet terning er sandsynligheden for, at hvert ansigt falder ud nøjagtigt 1/6. Nu formerer vi os Exodus hvert ansigt på sandsynlighed dette resultat (i dette tilfælde 1/6 for hvert ansigt), så opsummerer vi de opnåede værdier. Så opsummering (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , får vi samme resultat (3,5) som i beregningen ovenfor. Faktisk tæller vi dette hver gang: vi multiplicerer hvert udfald med sandsynligheden for det resultat.

Kan vi lave den samme beregning for en skytte på banen i atomkrig? Selvfølgelig kan vi det. Og hvis vi lægger alle de fundne resultater sammen, får vi gennemsnittet. Alt vi skal gøre er at beregne sandsynligheden for hvert udfald for pilen på tavlen og gange med resultatet.

Et andet eksempel

Denne metode til at beregne gennemsnittet ved at gange hvert udfald med dets individuelle sandsynlighed er også velegnet, hvis udfaldene er lige sandsynlige, men har forskellige fordele, for eksempel hvis du kaster en terning og vinder mere på nogle kanter end andre. Overvej for eksempel et kasinospil: du satser og kaster 2d6. Hvis tre tal med den laveste værdi (2, 3, 4) eller fire tal med den højeste værdi (9, 10, 11, 12) kommer op, vinder du et beløb svarende til din indsats. Tallene med den laveste og højeste værdi er specielle: Hvis en 2 eller 12 kommer op, vinder du dobbelt så meget end din sats. Hvis et andet tal falder ud (5, 6, 7, 8), mister du din indsats. Det er et ret simpelt spil. Men hvad er sandsynligheden for at vinde?

Lad os starte med at beregne, hvor mange gange du kan vinde:

• Det maksimale antal udfald på et 2d6 kast er 36. Hvor mange vellykkede udfald er der?
• Der er 1 mulighed for to og 1 mulighed for tolv.
• Der er 2 muligheder for hvad der kommer ud tre og elleve.
• Der er 3 muligheder for fire og 3 muligheder for ti.
• Der er 4 muligheder for ni.
• Når vi opsummerer alle mulighederne, får vi antallet af gunstige resultater 16 ud af 36.

Så under normale forhold vil du vinde 16 gange ud af 36 mulige ... sandsynligheden for at vinde er lidt mindre end 50%.

Men i to tilfælde ud af disse 16 vil du vinde dobbelt så meget, dvs. det er som at vinde to gange! Hvis du spiller dette spil 36 gange, satser $1 hver gang, og hvert af alle mulige udfald kommer op én gang, vinder du $18 (faktisk vinder du 16 gange, men to gange af dem tæller som to gevinster). Hvis du spiller 36 gange og vinder $18, betyder det så ikke, at det er en lige chance?

Du skal ikke skynde dig. Hvis du tæller antallet af gange, du kan tabe, så får du 20, ikke 18. Hvis du spiller 36 gange og satser $1 hver gang, vinder du i alt $18 på alle gunstige udfald ... men du vil tabe det samlede beløb på $20 med alle 20 ugunstige resultater! Som et resultat vil du være lidt bagud: du taber i gennemsnit $ 2 netto for hver 36 spil (du kan også sige, at du i gennemsnit taber $ 1/18 per dag). Nu kan du se, hvor nemt det er i dette tilfælde at lave en fejl og beregne sandsynligheden forkert!

Permutation

Indtil nu har vi antaget, at rækkefølgen af ​​tallene, når man kaster terningerne, ikke har nogen betydning. Et kast med 2 + 4 er det samme som et kast med 4 + 2. I de fleste tilfælde beregner vi manuelt antallet af gunstige resultater, men nogle gange er denne metode upraktisk, og det er bedre at bruge en matematisk formel.

Et eksempel på denne situation er fra spillet med terningerne "Farkle". For hver ny runde kaster du 6d6. Hvis du er heldig og alle mulige resultater er 1-2-3-4-5-6 ("lige"), vil du modtage en stor bonus. Hvad er sandsynligheden for, at dette vil ske? I dette tilfælde er der mange muligheder for denne kombination!

Løsningen ser sådan ud: en af ​​terningerne (og kun en) skal have tallet 1! Hvor mange varianter af tallet 1 falder ud på en terning? Seks, da der er 6 terninger, og enhver af dem kan have tallet 1. Tag derfor en terning og læg den til side. Nu skal en af ​​de resterende terninger have et nummer 2. Der er fem muligheder for dette. Tag en anden terning og læg den til side. Så følger det, at på fire af de resterende terninger kan tallet 3 falde ud, på tre af de resterende terninger kan tallet 4 falde ud, på to - tallet 5 og som et resultat har du en terning, hvorpå 6-tallet skal fald (i sidstnævnte tilfælde er terningen én, og der er intet valg). For at beregne antallet af gunstige resultater for kombinationen "lige", multiplicerer vi alle de forskellige, uafhængige muligheder: 6x5x4x3x2x1 = 720 - det ser ud til, at der er ret mange muligheder for, hvad denne kombination vil komme op med.

For at beregne sandsynligheden for at få en straight, skal vi dividere 720 med antallet af alle mulige udfald for 6d6 kast. Hvad er antallet af alle mulige udfald? Hver terning kan have 6 flader, så vi ganger 6x6x6x6x6x6 = 46656 (tallet er meget større!). Vi deler 720/46656 og vi får en sandsynlighed på omkring 1,5%. Hvis du designede dette spil, ville det være nyttigt for dig at vide, så du kan oprette et passende scoringssystem. Nu forstår vi, hvorfor du i spillet "Farkle" vil modtage så stor en bonus, hvis du får en kombination "straight", fordi denne situation er ret sjælden!

Resultatet er også interessant af en anden grund. Eksemplet viser, hvor sjældent der i en kort periode falder et resultat svarende til sandsynligheden ud. Selvfølgelig, hvis vi skulle kaste flere tusinde terninger, ville forskellige sider af terningerne falde ud ret ofte. Men når vi kun kaster seks terninger, næsten aldrig det sker ikke, at hvert ansigt falder ud! Ud fra dette bliver det klart, at det er tåbeligt at forvente, at endnu et ansigt falder ud, som endnu ikke er faldet ud “fordi vi ikke har fået tallet 6 i lang tid, hvilket betyder, at det vil falde ud nu” .

Hør her, din tilfældige talgenerator er ødelagt...

Dette fører os til en almindelig misforståelse om sandsynlighed: antagelsen om, at alle udfald kommer med samme frekvens. i en kort periode hvilket faktisk ikke er tilfældet. Hvis vi kaster terningerne flere gange, vil frekvensen af ​​hver af kanterne ikke være den samme.

Hvis du nogensinde har arbejdet på et online spil med en form for tilfældig talgenerator, er du højst sandsynligt stødt på en situation, hvor en spiller skriver til teknisk support for at sige, at din tilfældige talgenerator er ødelagt og ikke viser tilfældige tal. og han kom til denne konklusion, fordi han lige havde dræbt 4 monstre i træk og modtaget 4 nøjagtig de samme belønninger, og disse belønninger skulle kun falde ud i 10% af tilfældene, så dette Næsten aldrig burde ikke finde sted, hvilket betyder det naturligvis at din tilfældige talgenerator er ødelagt.

Du laver en matematisk udregning. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 er lig med 1 ud af 10.000, hvilket betyder, at dette er et ret sjældent tilfælde. Og det er, hvad spilleren forsøger at fortælle dig. Er der et problem i dette tilfælde?

Det hele afhænger af omstændighederne. Hvor mange spillere er der på din server nu? Antag, at du har et ret populært spil, og 100.000 mennesker spiller det hver dag. Hvor mange spillere vil dræbe fire monstre i træk? Alt er muligt, flere gange om dagen, men lad os antage, at halvdelen af ​​dem blot udveksler forskellige genstande på auktioner eller omskrivning på RP-servere, eller udfører andre spilhandlinger, så faktisk kun halvdelen af ​​dem er på jagt efter monstre. Hvad er sandsynligheden for det til nogen Vil den samme belønning blive droppet? I denne situation kan du forvente, at den samme belønning i hvert fald kan falde ud flere gange om dagen!

Forresten, så det ser ud til, at hvert par uger i hvert fald nogen vinder i lotteriet, selvom at nogen aldrig ikke dig eller dine venner. Hvis nok folk spiller hver uge, er chancerne der i det mindste en heldig ... men hvis du Hvis du spiller lotteri, er der mindre sandsynlighed for, at du vinder et job på Infinity Ward.

Kort og afhængighed

Vi har diskuteret uafhængige begivenheder, såsom at kaste en terning, og nu kender vi mange kraftfulde værktøjer til at analysere tilfældigheder i mange spil. Det er lidt vanskeligere at beregne sandsynlighed, når det kommer til at tage kort ud af bunken, fordi hvert kort vi tager ud påvirker de resterende kort i bunken. Hvis du har et standardkort med 52 kort og trækker f.eks. 10 hjerter og vil vide sandsynligheden for, at det næste kort vil være af samme farve, er sandsynligheden ændret, fordi du allerede har fjernet et kort af hjertefarven fra dækket. Hvert kort, du fjerner, ændrer sandsynligheden for det næste kort i bunken. Da den forrige hændelse i dette tilfælde påvirker den næste, kalder vi denne sandsynlighed afhængig.

Bemærk, at når jeg siger kort, mener jeg nogen spilmekanik, hvor der er et sæt genstande, og du fjerner en af ​​genstandene uden at erstatte den, et "kortspil" i dette tilfælde er analogt med en pose med tokens, hvorfra du tager et token ud og ikke erstatter det , eller en urne, hvorfra du tager farvede kugler ud (faktisk har jeg aldrig set et spil, der havde en urne, hvorfra man kunne tage farvede kugler ud, men det ser ud til, at lærerne i sandsynlighedsteori foretrækker dette eksempel af en eller anden grund) .

Afhængighedsegenskaber

Jeg vil gerne præcisere, at når det kommer til kort, så går jeg ud fra, at man trækker kort, ser på dem og fjerner dem fra bunken. Hver af disse handlinger er en vigtig egenskab.

Hvis jeg havde et spil med f.eks. seks kort med tal fra 1 til 6, og jeg blandede dem og tog et kort ud og derefter blandede alle seks kort igen, ville det være som at kaste en sekssidet terning; ét resultat påvirker ikke følgende. Kun hvis jeg trækker kort og ikke erstatter dem, vil resultatet af det faktum, at jeg trækker et kort med tallet 1, øge sandsynligheden for, at næste gang jeg trækker et kort med tallet 6 (sandsynligheden vil stige, indtil jeg til sidst tager ud af dette kort, eller indtil jeg blander kortene).

Det faktum, at vi se på kort er også vigtigt. Hvis jeg tager et kort ud af bunken og ikke ser på det, har jeg ingen yderligere information, og sandsynligheden ændrer sig faktisk ikke. Dette kan lyde kontraintuitivt. Hvordan kan en simpel vending af et kort på magisk vis ændre en sandsynlighed? Men det er muligt, fordi du kun kan beregne sandsynligheden for ukendte objekter ud fra, at du du ved... For eksempel, hvis du blander et standardspil kort, afslører 51 kort, og ingen af ​​dem er kløverdronning, vil du vide med 100 % sikkerhed, at det resterende kort er en kløverdronning. Hvis du blander standardbunken med kort og trækker 51 kort, på trods af på dem vil sandsynligheden for, at det resterende kort er en dronning af køller stadig være 1/52. Ved at åbne hvert kort får du flere oplysninger.

At beregne sandsynligheden for afhængige hændelser følger samme principper som for uafhængige hændelser, bortset fra at det er lidt mere kompliceret, da sandsynligheden ændres, når du åbner kort. Du skal altså gange mange forskellige værdier i stedet for at gange den samme værdi. Faktisk betyder det, at vi er nødt til at kombinere alle de beregninger, vi lavede, i én kombination.

Eksempel

Du blander et standardkort med 52 kort og trækker to kort. Hvad er sandsynligheden for, at du vil tage et par ud? Der er flere måder at beregne denne sandsynlighed på, men den enkleste er måske som følger: Hvad er sandsynligheden for, at når du tager et kort, vil du ikke være i stand til at trække et par ud? Denne sandsynlighed er nul, så det er ligegyldigt hvilket første kort du trækker, så længe det matcher det andet. Det er lige meget hvilket kort vi tager først, vi har stadig en chance for at tage et par, så sandsynligheden for at vi kan tage et par efter at have taget det første kort er 100%.

Hvad er sandsynligheden for, at det andet kort vil matche det første? Der er 51 kort tilbage i bunken, og 3 af dem falder sammen med det første kort (faktisk ville der være 4 ud af 52, men du fjernede allerede et af de matchende kort, da du tog det første kort!), Så sandsynligheden er 1/17. (Så næste gang fyren på den anden side af bordet fra dig, der spiller Texas Hold'em, siger: "Fedt, et par mere? Jeg er heldig i aften," vil du vide, at der er en ret stor chance for, at han bluffer.)

Hvad hvis vi tilføjer to jokere, og nu har vi 54 kort i bunken, og vi vil vide, hvad er sandsynligheden for at tage et par ud? Det første kort kan være en joker, og så vil bunken kun indeholde en kort, ikke tre, som vil matche. Hvordan finder du sandsynligheden i dette tilfælde? Vi deler sandsynligheden op og multiplicerer hver mulighed.

Vores første kort kunne være en joker eller et andet kort. Sandsynligheden for at trække en joker er 2/54, sandsynligheden for at trække et hvilket som helst andet kort er 52/54.

Hvis det første kort er en joker (2/54), så er sandsynligheden for, at det andet kort falder sammen med det første, 1/53. Multiplicer værdierne (vi kan gange dem, fordi disse er separate begivenheder, og vi ønsker begge hændelser skete), og vi får 1/1431 - mindre end en tiendedel procent.

Hvis du trækker et andet kort først (52/54), er sandsynligheden for sammenfald med det andet kort 3/53. Multiplicer værdierne og få 78/1431 (lidt mere end 5,5%).

Hvad gør vi med disse to resultater? De krydser hinanden ikke, og vi vil gerne vide sandsynligheden af hver af dem, så vi opsummerer værdierne! Vi får det endelige resultat 79/1431 (stadig ca. 5,5%).

Hvis vi ville være sikre på nøjagtigheden af ​​svaret, kunne vi beregne sandsynligheden for alle andre mulige udfald: at tage jokeren ud og mismatche det andet kort, eller trække et andet kort og mismatche det andet kort og summere dem alle op med sandsynligheden for at vinde, ville vi få præcis 100%. Jeg vil ikke give en matematisk beregning her, men du kan prøve at regne den ud for at dobbelttjekke.

Monty Hall paradoks

Dette bringer os til et ret velkendt paradoks, der ofte forvirrer mange – Monty Hall-paradokset. Paradokset er opkaldt efter "Let's Make a Deal"-værten Monty Hall. Hvis du aldrig har set dette show, var det det modsatte af The Price Is Right TV-show. I "The Price Is Right" er værten (tidligere Bob Barker, nu... Drew Carey? Anyway...) din ven. Han har lyst så du kan vinde penge eller flotte præmier. Han forsøger at give dig alle muligheder for at vinde, forudsat at du kan gætte, hvor meget de varer købt af sponsorer faktisk koster.

Monty Hall opførte sig anderledes. Han var som Bob Barkers onde tvilling. Hans mål var at få dig til at ligne en idiot på nationalt tv. Hvis du var med i showet, var han din modstander, du spillede mod ham, og oddsene for at vinde var i hans favør. Jeg er måske for hård, men når chancen for at blive valgt som rival synes at stå i direkte forhold til, om du har et latterligt jakkesæt på, kommer jeg til denne form for konklusion.

Men et af de mest berømte memes i showet var dette: Der var tre døre foran dig, og de hed dør nummer 1, dør nummer 2 og dør nummer 3. Du kunne vælge en hvilken som helst dør ... gratis! Bag en af ​​disse døre var der en flot præmie, såsom en ny personbil. Der var ingen præmier bag de andre døre, disse to døre var uden værdi. Deres formål var at ydmyge dig, og derfor var det ikke, at der ikke var noget bag dem, der var noget bag dem, der så dumt ud, for eksempel bag dem var en ged eller en kæmpe tube tandpasta, eller noget ... noget, hvad præcis var ikke en ny personbil.

Du valgte en af ​​dørene, og Monty var ved at åbne den, så du ville vide, om du vandt eller ej... men vent, før vi ved det, lad os tage et kig på en af de der døre til dig ikke valgt... Da Monty ved hvilken dør præmien er placeret bagved, og der kun er én præmie og to døre, som du ikke har valgt, uanset hvad, kan han altid åbne en dør, som der ikke er nogen præmie for. “Vælger du dør nummer 3? Så lad os åbne dør 1 for at vise, at der ikke var nogen præmie bag." Og nu, af generøsitet, tilbyder han dig chancen for at bytte den valgte dør nummer 3 med den bag dør nummer 2. Det er i dette øjeblik, at spørgsmålet opstår om sandsynligheden: øges eller mindskes muligheden for at vælge en anden dør din sandsynlighed for at vinde, eller forbliver den uændret? Hvad synes du?

Korrekt svar: muligheden for at vælge en anden dør stiger sandsynlighed for at vinde fra 1/3 til 2/3. Dette er ulogisk. Hvis du ikke har stødt på dette paradoks før, tænker du højst sandsynligt: ​​vent, ved at åbne en dør, ændrede vi på magisk vis sandsynligheden? Men som vi allerede har set i eksemplet med kortene ovenfor, er dette Nemlig hvad sker der, når vi modtager mere information. Det er indlysende, at sandsynligheden for at vinde første gang, du vælger, er 1/3, og det formoder jeg, at alle vil være enige i. Når en dør åbner, ændrer det slet ikke på sandsynligheden for at vinde for førstevalget, stadig er sandsynligheden 1/3, men det betyder, at sandsynligheden for at den anden den rigtige dør er nu 2/3.

Lad os se på dette eksempel fra et andet perspektiv. Du vælger døren. Sandsynligheden for at vinde er 1/3. Jeg foreslår, at du skifter to andre døre, som Monty Hall faktisk foreslår at gøre. Selvfølgelig åbner han en af ​​dørene for at vise, at der ikke ligger nogen præmie bag, men han altid kan det, så det ændrer ikke rigtig noget. Selvfølgelig vil du gerne vælge en anden dør!

Hvis du ikke er helt klar over dette spørgsmål, og du har brug for en mere overbevisende forklaring, skal du klikke på dette link for at navigere til en vidunderlig lille Flash-applikation, der giver dig mulighed for at studere dette paradoks mere detaljeret. Du kan spille startende med omkring 10 døre og derefter gradvist flytte til et spil med tre døre; der er også en simulator, hvor du kan vælge et hvilket som helst antal døre fra 3 til 50 og spille eller køre flere tusinde simuleringer og se, hvor mange gange du vandt, hvis du spillede.

En bemærkning fra læreren i højere matematik og specialist i spilbalance Maxim Soldatov, som Schreiber selvfølgelig ikke havde, men uden hvilken det er ret svært at forstå denne magiske transformation:

Vælg en dør, en af ​​tre, sandsynligheden for at "vinde" er 1/3. Nu har du 2 strategier: skift valget efter at have åbnet den forkerte dør eller ej. Hvis du ikke ændrer dit valg, så vil sandsynligheden forblive 1/3, da valget kun er på første trin, og du skal gætte med det samme, hvis du ændrer, så kan du vinde, hvis du vælger den forkerte dør først ( så åbner de en anden forkert, forbliver sand, du ændrer mening og tager den bare)
Sandsynligheden for at vælge den forkerte dør i starten er 2/3, så det viser sig, at ved at ændre din beslutning gør du sandsynligheden for at vinde 2 gange højere

Og igen om Monty Hall-paradokset

Med hensyn til selve showet vidste Monty Hall dette, for selvom hans rivaler ikke var gode til matematik, han forstår det godt. Her er hvad han gjorde for at ændre spillet lidt. Hvis du vælger den dør, som præmien var placeret bag, hvis sandsynlighed er 1/3, altid tilbudt dig muligheden for at vælge en anden dør. Når alt kommer til alt, valgte du en personbil, og så ændrer du den til en ged, og du vil se ret dum ud, hvilket er præcis, hvad han har brug for, for han er en slags ond fyr. Men hvis du vælger døren bag hvilken der vil ikke være nogen præmie, kun på det halve I sådanne tilfælde vil han tilbyde dig at vælge en anden dør, og i andre tilfælde vil han blot vise dig din nye ged, og du forlader scenen. Lad os analysere dette nye spil, hvor Monty Hall kan Vælg tilbyde dig en chance for at vælge en anden dør eller ej.

Antag, at han følger denne algoritme: hvis du vælger en dør med en præmie, giver han dig altid muligheden for at vælge en anden dør, ellers er sandsynligheden for, at han vil tilbyde dig at vælge en anden dør eller give en ged, 50/50. Hvad er sandsynligheden for, at du vinder?

I en af ​​de tre muligheder vælger du med det samme den dør, som præmien er placeret bag, og værten inviterer dig til at vælge en anden dør.

Af de resterende to muligheder ud af tre (du vælger i første omgang en dør uden præmie) vil værten i halvdelen af ​​tilfældene tilbyde dig at vælge en anden dør, og i den anden halvdel af tilfældene ikke. Halvdelen af ​​2/3 er 1/3, dvs. i ét tilfælde ud af tre får du en ged, i ét tilfælde ud af tre vælger du den forkerte dør, og værten vil tilbyde dig at vælge en anden, og i ét tilfælde ud af tre vælger du den rigtige dør, og han vil bede dig om at vælge en anden dør.

Hvis lederen tilbyder at vælge en anden dør, ved vi allerede, at det ene tilfælde ud af tre, da han giver os en ged, og vi går, ikke skete. Dette er nyttig information, fordi det betyder, at vores chancer for at vinde har ændret sig. I to ud af tre tilfælde, når vi har mulighed for at vælge, betyder det i det ene tilfælde, at vi har gættet rigtigt, og i det andet, at vi har gættet forkert, så hvis vi overhovedet blev tilbudt muligheden for at vælge, betyder det, at sandsynligheden for at vi vinder er 50/50, og der er ingen matematisk fordele, bliv ved dit valg eller vælg en anden dør.

Ligesom poker er det nu et psykologisk spil, ikke et matematisk spil. Monty tilbød dig et valg, fordi han tror, ​​at du er en simpel mand, der ikke ved, at det at vælge en anden dør er den "rigtige" beslutning, og at du stædigt vil holde fast i dit valg, fordi psykologisk set er situationen, da du valgte en bil, men så tabte det, sværere? Eller tror han, at du er klog og vælger en anden dør, og han tilbyder dig denne chance, fordi han ved, at du oprindeligt gættede rigtigt, og at du vil blive fanget og fanget? Eller måske er han atypisk venlig over for sig selv og presser dig til at gøre noget i din personlige interesse, fordi han ikke har givet en bil i lang tid, og hans producere fortæller ham, at publikum er ved at kede sig, og det ville være bedre, hvis han gav en stor præmie snart for at holde seertallene fra at falde?

Således formår Monty at tilbyde et valg (nogle gange), og den samlede sandsynlighed for at vinde forbliver lig med 1/3. Husk at der er 1/3 chance for at du taber med det samme. Sandsynligheden for at du får det med det samme er 1/3, og i 50% af disse tilfælde vinder du (1/3 x 1/2 = 1/6). Sandsynligheden for, at du først gætter forkert, men så har du mulighed for at vælge en anden dør, er 1/3, og i 50% af disse tilfælde vinder du (også 1/6). Tilføj to uafhængige vinderchancer, og du får en sandsynlighed svarende til 1/3, så det er lige meget om du bliver ved dit valg eller vælger en anden dør, den samlede sandsynlighed for din gevinst gennem hele spillet er lig med 1/3 . .. sandsynligheden bliver ikke større end i en situation hvor du ville gætte døren og oplægsholderen ville vise dig hvad der er bag denne dør, uden mulighed for at vælge en anden dør! Så pointen med at tilbyde muligheden for at vælge en anden dør er ikke at ændre sandsynligheden, men at gøre beslutningsprocessen sjovere for tv-kiggeri.

Det er i øvrigt en af ​​grundene til, at poker kan være så interessant: I de fleste formater mellem runder, når der foretages væddemål (for eksempel floppet, turn og river i Texas Hold'em), afsløres kort gradvist, og hvis du i begyndelsen af ​​spillet har en sandsynlighed for at vinde, så ændres denne sandsynlighed efter hver indsatsrunde, når flere kort er åbne.

Dreng og pige paradoks

Dette fører os til et andet velkendt paradoks, som som regel undrer alle - drengens og pigens paradoks. Det eneste, jeg skriver om i dag, som ikke er direkte relateret til spil (selvom jeg går ud fra, at dette blot betyder, at jeg bør nusse dig til at skabe den passende spilmekanik). Dette er mere et puslespil, men interessant, og for at løse det skal du forstå den betingede sandsynlighed, som vi talte om ovenfor.

Udfordring: Jeg har en ven med to børn, mindst en barnet er en pige. Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også pige? Lad os antage, at i enhver familie er chancen for at få en pige eller dreng 50/50, og det gælder for hvert barn (faktisk har nogle mænd mere sæd med et X-kromosom eller et Y-kromosom, så sandsynligheden ændres en smule, hvis du ved, at et barn er en pige, er sandsynligheden for at føde en pige lidt højere, derudover er der andre forhold, for eksempel hermafroditisme, men for at løse dette problem vil vi ikke tage højde for dette og antage, at et barns fødsel er en uafhængig begivenhed, og sandsynligheden for at få en dreng eller piger er den samme).

Da vi taler om en 1/2 chance, forventer vi intuitivt, at svaret højst sandsynligt vil være 1/2 eller 1/4, eller et andet rundt tal, der er et multiplum af to. Men svaret er: 1/3 ... Vent hvorfor?

Vanskeligheden i dette tilfælde er, at den information, vi har, reducerer antallet af muligheder. Antag, at forældrene er fans af Sesame Street, og uanset om en dreng eller en pige blev født, gav de deres børn navnet A og B. Under normale forhold er der fire lige sandsynlige muligheder: A og B er to drenge, A og B er to piger, A er en dreng, og B er en pige, A er en pige og B er en dreng. Siden vi ved det mindst en barnet er en pige, kan vi eliminere muligheden for, at A og B er to drenge, så vi står tilbage med tre (stadig lige sandsynlige) muligheder. Hvis alle muligheder er lige sandsynlige, og der er tre af dem, ved vi, at sandsynligheden for hver af dem er 1/3. I kun én af disse tre muligheder er begge børn to piger, så svaret er 1/3.

Og igen om paradokset med en dreng og en pige

Løsningen på problemet bliver endnu mere ulogisk. Tænk hvis jeg fortæller dig, at min ven har to børn og et barn - pigen, der blev født i tirsdags... Antag, at under normale forhold er sandsynligheden for at få en baby på en af ​​ugens syv dage den samme. Hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også er en pige? Du tror måske, at svaret stadig ville være 1/3; hvad betyder tirsdag? Men selv i dette tilfælde svigter intuitionen os. Svar: 13/27 hvilket ikke bare ikke er intuitivt, det er meget mærkeligt. Hvad er der galt I dette tilfælde?

Faktisk ændrer tirsdag sandsynligheden, fordi vi ikke ved det hvilken barnet er født en tirsdag eller evt to børn blev født i tirsdags. I dette tilfælde bruger vi samme logik som ovenfor, vi tæller alle mulige kombinationer, når mindst et barn er en pige, der blev født i tirsdags. Som i det foregående eksempel, antag, at børnene hedder A og B, er kombinationerne som følger:

• A - en pige, der blev født på tirsdag, B - en dreng (i denne situation er der 7 muligheder, en for hver dag i ugen, hvor en dreng kunne blive født).
• B - en pige, der blev født i tirsdags, A - en dreng (også 7 muligheder).
• A - en pige, der blev født i tirsdags, B - en pige, der blev født den en anden ugedag (6 muligheder).
• B - en pige, der blev født på tirsdag, A - en pige, der blev født på en ikke-tirsdag (også 6 sandsynligheder).
• A og B - to piger, der blev født om tirsdagen (1 mulighed, du skal være opmærksom på dette for ikke at tælle to gange).

Vi opsummerer og får 27 forskellige lige mulige kombinationer af børns fødsel og dage med mindst én mulighed for at få en pige på tirsdag. Heraf er 13 muligheder, når to piger bliver født. Det ser også fuldstændig ulogisk ud, og det ser ud til, at denne opgave kun er skabt for at forårsage hovedpine. Hvis du stadig undrer dig over dette eksempel, har spilteoretiker Jesper Yule en god forklaring på sagen på sin hjemmeside.

Hvis du i øjeblikket arbejder på et spil...

Hvis der er tilfældighed i det spil, du designer, er dette en fantastisk mulighed for at analysere det. Vælg et element, du vil analysere. Spørg først dig selv, hvad du forventer, at sandsynligheden for et givet element er, hvad du mener, det skal være i forbindelse med spillet. For eksempel, hvis du opretter en RPG og spekulerer på, hvad sandsynligheden for, at en spiller er i stand til at besejre et monster i kamp, ​​skal være, så spørg dig selv, hvor stor en procentdel af gevinster, der virker rigtigt for dig. Normalt når spillere spiller konsol-RPG'er, bliver spillere meget frustrerede, når de taber, så det er bedst, at de ikke taber ofte ... måske 10% af tiden eller mindre? Hvis du er en RPG-designer, ved du sikkert bedre end jeg gør, men du skal have en grundlæggende idé om, hvad sandsynlighed skal være.

Spørg så dig selv, om det er noget afhængig(som kort) eller uafhængig(som terninger). Gennemgå alle mulige udfald og deres sandsynligheder. Sørg for, at summen af ​​alle sandsynligheder er 100%. Til sidst skal du selvfølgelig sammenligne de resultater, du får, med dine forventninger. Uanset om du kaster terninger eller trækker kort på den måde, du havde tænkt dig, eller du ser, at du skal justere værdierne. Og selvfølgelig hvis du finde hvad der skal justeres, kan du bruge de samme beregninger til at bestemme, hvor meget du skal justere noget!

Lektier

Dine "hjemmeopgaver" i denne uge vil hjælpe dig med at finpudse dine sandsynlige færdigheder. Her er to terningespil og et kortspil, som du vil analysere ved hjælp af sandsynlighed, samt en mærkelig spilmekaniker, som jeg engang har udviklet, som du kan bruge til at teste Monte Carlo-metoden.

Spil nummer 1 - Drageknogler

Dette er et terningespil, som vi engang opfandt sammen med kolleger (takket være Jeb Havens og Jesse King!), Og som bevidst tager hjernen ud til folk med dens sandsynligheder. Dette er et simpelt casinospil kaldet Dragon Bones og er en terningkonkurrence mellem spilleren og huset. Du får den sædvanlige 1d6 terning. Formålet med spillet er at kaste et tal højere end huset. Tom får en ikke-standard 1d6 - den samme som din, men i stedet for en på én flade - billedet af Dragon (casinoet har således en Dragon-2-3-4-5-6 terning). Hvis huset får en Drage, vinder det automatisk, og du - taber. Hvis I begge får det samme nummer, er det uafgjort, og du kaster terningerne igen. Den, der kaster det højeste tal, vinder.

Alt går selvfølgelig ikke helt til fordel for spilleren, for casinoet har en fordel i form af Dragon's Edge. Men er det virkelig sådan? Du skal finde ud af det. Men før det, tjek din intuition. Lad os sige, at gevinsten er 2 til 1. Så hvis du vinder, beholder du din indsats og bliver fordoblet. For eksempel, hvis du satser $1 og vinder, beholder du den dollar og får 2 mere oveni for i alt $3. Hvis du taber, taber du kun din indsats. Ville du spille? Så føler du intuitivt, at sandsynligheden er større end 2 til 1, eller tror du stadig, at den er mindre? Med andre ord, forventer du i gennemsnit i 3 spil at vinde mere end én gang, mindre eller én gang?

Når din intuition er ordnet, skal du anvende matematikken. Der er kun 36 mulige positioner for begge terninger, så du kan beregne dem alle uden problemer. Hvis du er usikker på denne 2-til-1 sætning, så tænk over dette: Antag, at du spillede spillet 36 gange (ved at satse $ 1 hver gang). For hver gevinst får du $2, for hvert tab taber du $1, og uafgjort ændrer intet. Beregn alle dine sandsynlige gevinster og tab, og afgør, om du vil tabe nogle beløb eller gevinster. Spørg så dig selv, hvor korrekt din intuition var. Og så - indse, hvilken skurk jeg er.

Og, ja, hvis du allerede har tænkt over dette spørgsmål – jeg forvirrer dig bevidst ved at forvrænge terningespils virkelige mekanik, men jeg er sikker på, at du kan overvinde denne forhindring med bare en god portion omtanke. Prøv selv at løse dette problem. Jeg vil poste alle svarene her i næste uge.

Spil # 2 - Lykkekast

Det er et hasardspil, der kaldes Luck Roll (også Fuglebur, for nogle gange bliver terningerne ikke kastet, men placeret i et stort trådbur, der minder om Bingoburet). Det er et simpelt spil, der koger ned til noget som dette: sats f.eks. $1 på et tal mellem 1 og 6. Så kaster du 3d6. For hver terning, der rammer dit nummer, modtager du $1 (og beholder din oprindelige indsats). Hvis dit nummer ikke står på nogen af ​​terningerne, får casinoet din dollar, og du - ingenting. Så hvis du satser på 1, og du får en 1 på kanterne tre gange, får du $3.

Intuitivt ser dette spil ud til at have lige store chancer. Hver terning er en individuel 1 ud af 6 chance for at vinde, så på summen af ​​alle tre er din chance for at vinde 3 til 6. Husk dog selvfølgelig, at du sammensætter tre separate terninger, og du må kun tilføje evt. vi taler om separate vindende kombinationer af de samme terninger. Noget du bliver nødt til at formere.

Når du først har fundet ud af alle de mulige resultater (det er nok nemmere at gøre dette i Excel end i hånden, da der er 216 af dem), ser spillet stadig mærkeligt og jævnt ud ved første øjekast. Men i virkeligheden har casinoet stadig flere chancer for at vinde – hvor meget mere? Især, hvor mange penge forventer du i gennemsnit at tabe for hver runde af spillet? Det eneste du skal gøre er at lægge sejre og tab af alle 216 resultater sammen og derefter dividere med 216, hvilket burde være ret simpelt... Men som du kan se, er der et par faldgruber, du kan falde i, hvorfor jeg Jeg fortæller dig: Hvis du føler, at oddsene for at vinde er lige i dette spil, har du misforstået det hele.

Spil # 3 - 5 Card Stud Poker

Hvis du har varmet op i tidligere spil, så lad os tjekke, hvad vi ved om betinget sandsynlighed med dette kortspil. Lad os især forestille os poker med et kortspil med 52 kort. Lad os også forestille os 5 Card Stud, hvor hver spiller kun modtager 5 kort. Du kan ikke kassere et kort, du kan ikke trække et nyt, ingen fælles kort - du får kun 5 kort.

En Royal Flush er 10-J-Q-K-A i én hånd, der er fire i alt, så der er fire mulige måder at få en Royal Flush på. Beregn sandsynligheden for, at du får en sådan kombination.

Jeg må advare dig om én ting: husk, at du kan trække disse fem kort i vilkårlig rækkefølge. Det vil sige, at du først kan trække et es eller en ti, det er lige meget. Så mens du beregner dette, skal du huske på, at der faktisk er mere end fire måder at få en Royal Flush på, forudsat at kortene blev givet i rækkefølge!

Spil # 4 - IMF Lotteri

Det fjerde problem vil ikke være så let at løse med de metoder, vi talte om i dag, men du kan nemt simulere situationen ved hjælp af programmering eller Excel. Det er på eksemplet med dette problem, at du kan udarbejde Monte Carlo-metoden.

Jeg nævnte tidligere spillet "Chron X", som jeg arbejdede på, og der var et meget interessant kort - IMF-lotteriet. Sådan fungerede det: du brugte det i spillet. Efter runden sluttede, blev kortene omfordelt, og der var 10% mulighed for, at kortet ville forlade spillet, og at en tilfældig spiller ville modtage 5 enheder af hver type ressource, hvis token var til stede på dette kort. Kortet blev sat i spil uden et eneste token, men hver gang det forblev i spillet i begyndelsen af ​​næste runde, modtog det én token. Så der var 10 % chance for, at du ville bringe hende i spil, runden ville slutte, kortet ville forlade spillet, og ingen ville få noget. Hvis dette ikke sker (med 90 % sandsynlighed), er der 10 % chance (faktisk 9 %, da dette er 10 % ud af 90 %) for, at hun i næste runde forlader spillet, og nogen vil modtage 5 ressourceenheder. Hvis kortet forlader spillet efter en runde (10% af de tilgængelige 81%, så sandsynligheden er 8,1%), vil nogen modtage 10 enheder, efter endnu en runde - 15, yderligere 20, og så videre. Spørgsmål: Hvad er den generelle forventede værdi af antallet af ressourcer, som du vil modtage fra dette kort, når det endelig forlader spillet?

Typisk ville vi forsøge at løse dette problem ved at finde muligheden for hvert udfald og gange med antallet af alle udfald. Så der er 10 % chance for, at du får 0 (0,1 * 0 = 0). 9 %, at du vil modtage 5 ressourceenheder (9 % * 5 = 0,45 ressourcer). 8,1% af hvad du får 10 (8,1% * 10 = 0,81 samlede ressourcer, den forventede værdi). Etc. Og så ville vi lægge det hele sammen.

Og nu er problemet åbenlyst for dig: Der er altid en chance for, at kortet ikke vil forlade spillet, så hun kan blive i spillet for evigt, for et uendeligt antal runder, således at mulighederne for at regne enhver chance eksisterer ikke. De metoder, vi lærte i dag, giver os ikke mulighed for at beregne uendelig rekursion, så vi bliver nødt til at skabe det kunstigt.

Hvis du er god nok med programmering, så skriv et program, der simulerer dette kort. Du bør have en tidsløkke, der bringer variablen tilbage til dens oprindelige nulposition, viser et tilfældigt tal og har 10 % chance for, at variablen går ud af løkken. Ellers tilføjer den 5 til variablen, og løkken gentages. Når det endelig bryder ud af løkken, skal du øge det samlede antal prøvekørsler med 1 og det samlede antal ressourcer (hvor meget afhænger af, hvor variablen slap). Nulstil derefter variablen og start forfra. Kør programmet flere tusinde gange. Til sidst skal du dividere de samlede ressourcer med de samlede kørsler - dette vil være din forventede Monte Carlo-værdi. Kør programmet flere gange for at sikre dig, at de tal, du får, er nogenlunde de samme; hvis spredningen stadig er stor, skal du øge antallet af gentagelser i den ydre løkke, indtil du begynder at få matcher. Du kan være sikker på, at de tal, du ender med, vil være nogenlunde korrekte.

Hvis du ikke er bekendt med programmering (eller endda hvis du er det), er her en lille øvelse til at varme dine Excel-færdigheder op. Hvis du er spildesigner, er Excel-færdigheder aldrig overflødige.

Indtil videre vil IF- og RAND-funktionerne være nyttige. RAND kræver ingen værdier, den udsender bare et tilfældigt decimaltal mellem 0 og 1. Normalt kombinerer vi det med FLOOR og fordele og ulemper for at simulere terningens kast, som jeg nævnte tidligere. Men i dette tilfælde efterlader vi kun 10% chance for, at kortet forlader spillet, så vi kan nøjes med at tjekke, om RAND-værdien er mindre end 0,1, og ikke bøvle med det mere.

HVIS har tre betydninger. I rækkefølge, en betingelse, der enten er sand eller ej, derefter en værdi, der returneres, hvis betingelsen er sand, og en værdi, der returneres, hvis betingelsen ikke er sand. Så følgende funktion vil returnere 5% af tiden, og 0 de andre 90% af tiden:
= HVIS (RAND ()<0.1,5,0)

Der er mange måder at indstille denne kommando på, men jeg ville bruge en formel som denne for den celle, der repræsenterer den første runde, lad os sige, at det er celle A1:

HVIS (RAND ()<0.1,0,-1)

Her bruger jeg en negativ variabel til at betyde "dette kort har ikke forladt spillet og har endnu ikke doneret nogen ressourcer." Så hvis første runde er slut, og kortet er ude af spil, er A1 0; ellers er det -1.

For den næste celle, der repræsenterer anden runde:

HVIS (A1> -1, A1, HVIS (RAND ()<0.1,5,-1))

Så hvis den første runde er slut, og kortet forlader spillet med det samme, er A1 0 (antallet af ressourcer), og denne celle vil simpelthen kopiere denne værdi. I det modsatte tilfælde er A1 -1 (kortet har ikke forladt spillet endnu), og denne celle fortsætter med at bevæge sig tilfældigt: 10 % af tiden vil den returnere 5 enheder ressourcer, resten af ​​tiden vil dens værdi stadig være -1. Hvis vi anvender denne formel på yderligere celler, får vi yderligere runder, og hvilken celle der falder ud til dig til sidst, vil du få det endelige resultat (eller -1, hvis kortet ikke har forladt spillet efter alle de runder, du har spillet) .

Tag denne række af celler, som er den eneste runde med dette kort, og kopier og indsæt flere hundrede (eller tusinder) rækker. Det kan vi måske ikke endeløs test for Excel (der er et begrænset antal celler i tabellen), men vi kan i det mindste dække de fleste tilfælde. Vælg derefter en celle, hvor du vil placere gennemsnittet af resultaterne for alle runder (Excel giver venligst funktionen AVERAGE () til dette).

På Windows kan du i det mindste trykke på F9 for at tælle alle tilfældige tal. Som før, gør dette flere gange og se, om de værdier, du får, er de samme. Hvis spredningen er for bred, skal du fordoble antallet af kørsler og prøve igen.

Uløste opgaver

Hvis du tilfældigvis har en grad i sandsynlighed, og ovenstående problemer virker for nemme for dig, er her to problemer, som jeg har gået og puslet over i årevis, men desværre er jeg ikke så god til matematik til at løse dem. Hvis du pludselig kender en løsning, så skriv den gerne her i kommentarerne, jeg læser den med fornøjelse.

Uløst problem nummer 1: LotteriIMF

Det første uløste problem er den tidligere hjemmeopgave. Jeg kan nemt anvende Monte Carlo-metoden (ved hjælp af C++ eller Excel), og jeg vil være sikker på svaret på spørgsmålet "hvor mange ressourcer spilleren får", men jeg ved ikke præcis, hvordan jeg skal give en nøjagtig bevisbar svar matematisk (dette er en endeløs serie). Hvis du kender svaret, så post det her ... efter at have tjekket det ud med Monte Carlo, selvfølgelig.

Uløst problem # 2: Sekvenser af figurer

Dette problem (og igen går det langt ud over opgaverne løst i denne blog) blev kastet til mig af en velkendt spiller for mere end 10 år siden. Han lagde mærke til en interessant egenskab, da han spillede blackjack i Vegas: Da han tog kort fra sin sko til 8 spil, så han ti brikker i træk (en brik eller et brikkort - 10, Joker, Konge eller Dronning, så der er 16 af dem i et standardkort med 52 kort, så der er 128 af dem i en sko med 416 kort). Hvad er sandsynligheden for, at i denne sko i det mindste en sekvens ti eller mere tal? Lad os antage, at de blev blandet ærligt, i tilfældig rækkefølge. (Eller, hvis du bedre kan lide det, hvad er sandsynligheden for, at ikke fundet nogen steder en sekvens af ti eller flere former?)

Vi kan forenkle opgaven. Her er en sekvens på 416 dele. Hver brik er 0 eller 1. Der er 128 enere og 288 nuller tilfældigt spredt ud over sekvensen. Hvor mange måder er der til tilfældigt at blande 128 enere med 288 nuller, og hvor mange gange på disse måder vil der være mindst én gruppe på ti eller flere?

Hver gang, så snart jeg begyndte at løse dette problem, virkede det nemt og indlysende for mig, men så snart jeg dykkede ned i detaljerne, faldt det pludselig fra hinanden og forekom mig simpelthen umuligt. Så skynd dig ikke at sløre svaret: sæt dig ned, tænk dig grundigt om, studer betingelserne for problemet, prøv at erstatte reelle tal, fordi alle de mennesker, som jeg talte med om dette problem (herunder flere kandidatstuderende, der arbejder i dette område) reagerede omtrent på samme måde: "Det er ret indlysende ... åh, nej, vent, det er slet ikke indlysende." Dette er tilfældet, hvor jeg ikke har en metode til at beregne alle mulighederne. Jeg kunne helt sikkert brute force problemet gennem en computeralgoritme, men det ville være meget mere nysgerrig at kende den matematiske måde at løse dette problem på.

Oversættelse - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Einsteins påstand om, at Gud ikke spiller terninger med universet, er blevet fejlfortolket

Få af Einsteins slagord er blevet så bredt citeret som hans bemærkning om, at Gud ikke spiller terninger med universet. Folk tager naturligvis denne vittige kommentar af ham som bevis på, at han var dogmatisk modstander af kvantemekanikken, som ser tilfældighed som et karakteristisk træk ved den fysiske verden. Når kernen af ​​et radioaktivt grundstof henfalder, sker det spontant, der er ingen regel, der fortæller dig præcis, hvornår eller hvorfor det vil ske. Når en partikel af lys rammer et halvgennemsigtigt spejl, reflekteres den enten fra det eller passerer igennem. Resultatet kan være et hvilket som helst indtil det øjeblik, hvor denne begivenhed fandt sted. Og du behøver ikke at gå til laboratoriet for at se denne form for processer: mange internetsider viser strømme af tilfældige tal genereret af Geiger-tællere eller kvanteoptik. Selvom de er uforudsigelige selv i princippet, er sådanne tal ideelle til kryptografi, statistik og online pokerturneringer.

Einstein, som standardlegenden siger. nægtede at acceptere det faktum, at nogle begivenheder er ikke-deterministiske af deres natur. - de sker bare, og der kan ikke gøres noget for at finde ud af hvorfor. Forblev næsten i pragtfuld isolation, omgivet af sine jævnaldrende, med begge hænder klamrede han sig til den klassiske fysiks mekaniske univers, mekanisk målte sekunderne, hvor hvert øjeblik forudbestemmer, hvad der vil ske i det næste. Terningstregen var tegn på den anden side af hans liv: tragedien om en revolutionær, der blev reaktionær, der revolutionerede fysikken med sin relativitetsteori, men - som Niels Bohr diplomatisk udtrykte det - da han stod over for kvanteteorien, "gik han til middag. "

Men gennem årene har mange historikere, filosoffer og fysikere sat spørgsmålstegn ved denne fortolkning af historien. Da de kastede sig ud i havet af alt, hvad Einstein faktisk sagde, fandt de ud af, at hans domme om uforudsigelighed var mere radikale og havde en bredere vifte af nuancer, end de normalt maler. "At prøve at grave en sand historie frem bliver en slags missionsarbejde," siger Don A. Howard, en historiker ved University of Notre Dame. Som han og andre videnskabshistorikere har vist, anerkendte Einstein kvantemekanikkens ikke-deterministiske natur - hvilket ikke er overraskende, da det var ham, der opdagede dens indeterminisme. Hvad han aldrig indrømmede var, at indeterminisme er fundamental i naturen. Alt dette tydede på, at problemet opstår på et dybere niveau af virkeligheden, hvilket teorien ikke afspejlede. Hans kritik var ikke mystisk, men fokuserede på specifikke videnskabelige problemer, der forbliver uløste den dag i dag.

Spørgsmålet om, hvorvidt urværket er universet eller terningebordet, knuser grundlaget for, hvad vi tror, ​​fysik er: søgen efter de simple regler, der ligger til grund for naturens forbløffende mangfoldighed. Hvis noget sker uden grund, sætter det en stopper for rationel forskning. "Fundamental indeterminisme ville betyde enden på videnskaben," siger Andrew S. Friedman, en kosmolog ved Massachusetts Institute of Technology. Alligevel har filosoffer gennem historien troet, at indeterminisme er en nødvendig betingelse for menneskets frie vilje. Enten er vi alle et urværks gear, og derfor er alt, hvad vi gør, forudbestemt på forhånd, eller også er vi den handlende kraft af vores egen skæbne, i hvilket tilfælde universet stadig ikke burde være deterministisk.

Denne dikotomi havde meget reelle konsekvenser, manifesteret i den måde, hvorpå samfundet gør folk ansvarlige for deres handlinger. Vores retssystem er baseret på antagelsen om fri vilje; for at den tiltalte kunne findes skyldig, måtte han handle med forsæt. Domstolene er konstant i gang med deres hjerner over spørgsmålet: hvad nu hvis en person er uskyldig på grund af sindssyge, ungdommelig impulsivitet eller et råddent socialt miljø?

Men når folk taler om en dikotomi, har de en tendens til at forsøge at afsløre det som en misforståelse. Faktisk mener mange filosoffer, at det er meningsløst at tale om, hvorvidt universet er deterministisk eller ikke-deterministisk. Det kan være begge dele, alt efter hvor stort eller komplekst forskningsemnet er: partikler, atomer, molekyler, celler, organismer, psyke, fællesskaber. "Forskellen mellem determinisme og indeterminisme er en forskel afhængigt af studiet af problemet," siger Christian List, en filosof ved London School of Economics and Political Science. med indeterminisme på både højere og lavere niveauer." Atomerne i vores hjerne kan opføre sig på en absolut deterministisk måde, samtidig med at de lader os frie til at agere, når atomer og organer fungerer på forskellige niveauer.

Ligeledes søgte Einstein et deterministisk subkvanteniveau, mens han ikke benægtede, at kvanteniveauet er sandsynligt.

Hvad Einstein protesterede mod

Hvordan Einstein fik mærket som en modstander af kvanteteori er næsten lige så stort et mysterium som kvantemekanikken selv. Selve begrebet et kvante - en diskret energienhed - var frugten af ​​hans overvejelser i 1905, og i halvandet årti stod han praktisk talt alene i dets forsvar. Einstein foreslog det. hvad fysikere i dag anser for at være kvantefysikkens hovedtræk, såsom lysets mærkelige evne til at fungere som en partikel og som en bølge, og det var ud fra sine overvejelser om bølgefysik, at Erwin Schrödinger udviklede den mest accepterede formulering af kvante. teori i 1920'erne. Einstein var heller ikke modstander af tilfældigheder. I 1916 viste han, at når atomer udsender fotoner, er tiden og retningen for strålingen tilfældige størrelser.

"Dette er i modstrid med den populære fremstilling af Einstein som en modstander af den sandsynlige tilgang," argumenterer Jan von Plateau fra Helsinki Universitet. Men Einstein og hans samtidige stod over for et alvorligt problem. Kvantefænomener er tilfældige, men kvanteteorien i sig selv er det ikke. Schrödingers ligning er 100 % deterministisk. Den beskriver en partikel eller et system af partikler ved hjælp af det, der kaldes en bølgefunktion, som udnytter partiklernes bølgenatur og forklarer det bølgelignende mønster, som en samling af partikler danner. Ligningen forudsiger præcis, hvad der vil ske med bølgefunktionen på et givet tidspunkt. På mange måder er denne ligning mere deterministisk end Newtons bevægelseslove: den fører ikke til forvirring, såsom singularitet (hvor mængder bliver uendelige og derfor umulige at beskrive) eller kaos (hvor bevægelse bliver uforudsigelig).

Fangsten er, at Schrödinger-ligningens determinisme er bølgefunktionens determinisme, og bølgefunktionen kan ikke observeres direkte, i modsætning til partiklernes placering og hastigheder. I stedet bestemmer bølgefunktionen de mængder, der kan observeres, og sandsynligheden for hver af de mulige muligheder. Teorien lader spørgsmålene om, hvad selve bølgefunktionen er, åbne, og om den bogstaveligt talt skal betragtes som en reel bølge i vores materielle verden. Følgende spørgsmål forbliver åbent: er den observerede tilfældighed en integreret iboende egenskab ved naturen eller er det blot dens facade? "Det hævdes, at kvantemekanikken er ikke-deterministisk, men det er en for forhastet konklusion," siger filosoffen Christian Wuthrich fra universitetet i Genève i Schweiz.

Werner Heisenberg, en anden af ​​pionererne, der lagde grundlaget for kvanteteorien, forestillede sig bølgefunktionen som en tåge af potentiel eksistens. Hvis det ikke er muligt klart og utvetydigt at angive, hvor partiklen er, skyldes det, at partiklen ikke rigtig findes nogen steder et bestemt sted. Først når du observerer en partikel, materialiserer den sig et sted i rummet. Bølgefunktionen kan være sløret i et enormt område af rummet, men i det øjeblik, hvor observationen er foretaget, kollapser den øjeblikkeligt, trækker sig sammen til et smalt punkt placeret et enkelt specifikt sted, og pludselig dukker en partikel op der. Men selv når du ser på en partikel - bang! - hun holder pludselig op med at opføre sig deterministisk og hopper til den endelige tilstand, som et barn, der griber en stol i spillet om "musikalske stole". (Leget består i, at børnene danser i en runddans rundt om stolene, hvis antal er én mindre end antallet af spillere, og forsøger at sætte sig på et tomt sæde, så snart musikken stopper).

Der er ingen lov til at styre dette sammenbrud. Der er ingen ligning for ham. Det sker bare - det er alt! Sammenbruddet blev et centralt element i den københavnske fortolkning: et syn på kvantemekanikken opkaldt efter byen, hvor Bohr og hans institut sammen med Heisenberg udførte det meste af det grundlæggende arbejde. (Paradoksalt nok genkendte Bohr ikke selv sammenbruddet af bølgefunktionen). Københavns Skole anser kvantefysikkens observerede tilfældighed for at være dens nominelle egenskab, der trodser yderligere forklaring. De fleste fysikere er enige i dette, en af ​​grundene til dette er den såkaldte ankereffekt, eller forankringseffekt, kendt fra psykologien: dette er en fuldstændig tilfredsstillende forklaring, og den dukkede op først. Selvom Einstein ikke var modstander af kvantemekanikken, var han absolut modstander af dens københavnske fortolkning. Han tog udgangspunkt i ideen om, at måling forårsager et brud i den kontinuerlige udvikling af det fysiske system, og det var i denne sammenhæng, han begyndte at udtrykke sin modstand mod det guddommelige knoglekast. "Det er netop derfor, Einstein beklagede sig i 1926, og ikke på grund af den altomfattende metafysiske påstand om determinisme som en absolut nødvendig betingelse," siger Howard.

Pluralitet af virkelighed.Og alligevel - er verden deterministisk eller ej? Svaret på dette spørgsmål afhænger ikke kun af de grundlæggende love for bevægelse, men også på det niveau, hvor vi beskriver systemet. Overvej fem atomer i en gas, der bevæger sig deterministisk (øverste diagram). De begynder deres rejse fra næsten samme sted og divergerer gradvist. På det makroskopiske niveau (nederste diagram) er det dog ikke enkelte atomer, der er synlige, men en amorf strømning i gassen. Efter nogen tid vil gassen sandsynligvis blive tilfældigt fordelt over flere strømme. Denne tilfældighed på makroniveau er et biprodukt af observatørens uvidenhed om mikroniveauets love, det er en objektiv naturegenskab, der afspejler den måde, hvorpå atomer samles. Ligeledes foreslog Einstein, at universets deterministiske indre struktur fører til kvanterigets sandsynlighedsmæssige natur.

Sammenbrud kunne næppe være en reel proces, hævdede Einstein. Dette ville kræve øjeblikkelig handling på afstand - den mystiske mekanisme, hvorved f.eks. både venstre og højre side af bølgefunktionen kollapser til det samme lille punkt, selv når ingen kraft matcher deres adfærd. Ikke kun Einstein, men enhver fysiker på sin tid mente, at en sådan proces var umulig, den skulle ske hurtigere end lysets hastighed, hvilket er i åbenlys modstrid med relativitetsteorien. Faktisk lægger kvantemekanikken ikke bare terninger i hænderne – det giver dig terningepar, der altid falder ud på samme kant, selvom du kaster den ene i Vegas og den anden i Vega. For Einstein virkede det indlysende, at terningerne måtte være snyd, hvilket på en skjult måde tillod at påvirke udfaldet af kastene på forhånd. Men den københavnske skole afviser enhver sådan mulighed og antyder, at knoerne øjeblikkeligt påvirker hinanden på tværs af det store rum. Derudover var Einstein bekymret for den magt, som københavnerne tillagde målehandlingen. Når alt kommer til alt, hvad er en dimension? Kan det være noget, som kun følende væsener, eller endda kun fastansatte professorer, kan gøre? Heisenberg og andre repræsentanter for den københavnske skole specificerede aldrig dette koncept. Nogle mennesker foreslår, at vi skaber den omgivende virkelighed i vores sind i processen med at observere den – en idé, der ser poetisk ud, måske endda for poetisk. Einstein betragtede også højden af ​​Københavns frækhed at hævde, at kvantemekanikken var fuldstændig komplet, at det var den ultimative teori, der aldrig ville blive afløst af en anden. Han betragtede alle teorier, inklusive sine egne, som broer til noget endnu større.

Rent faktisk. Howard argumenterer for, at Einstein ville være glad for at omfavne indeterminisme, hvis han havde svar på alle sine problemer, der skulle løses - hvis for eksempel nogen klart kunne formulere, hvad en måling er, og hvordan partikler kan forblive synkroniserede uden lang rækkevidde. En indikation af, at Einstein anså indeterminisme for at være et sekundært problem, er, at han stillede de samme krav og afviste de deterministiske alternativer til den københavnske skole. En anden historiker, Arthur Fine fra University of Washington. mener. At Howard overdriver Einsteins modtagelighed over for indeterminisme, men er enig i, at hans domme er baseret på mere solidt grundlag, end flere generationer af fysikere er kommet til at tro, baseret på stumper af hans udsagn om terninger.

Tilfældige tanker

Hvis man tovtrækker på siden af ​​den københavnske skole, mente Einstein, vil man opdage, at kvanteforstyrrelser er ligesom alle andre typer forstyrrelser i fysikken: Det er et produkt af dybere indsigt. Dansen af ​​små støvpartikler i en lysstråle afslører den komplekse bevægelse af molekyler, og emissionen af ​​fotoner eller radioaktivt henfald af kerner er en lignende proces, mente Einstein. Efter hans mening er kvantemekanik en evaluerende teori, der udtrykker naturens byggestens generelle adfærd, men som ikke har nok opløsning til at fange individuelle detaljer.

En dybere, mere komplet teori vil fuldt ud forklare bevægelsen - uden nogen kryptiske spring. Fra dette synspunkt er bølgefunktionen en samlet beskrivelse, som et udsagn om, at den korrekte terning, hvis den kastes gentagne gange, vil falde cirka det samme antal gange på hver af dens sider. Sammenbruddet af bølgefunktionen er ikke en fysisk proces, men tilegnelsen af ​​viden. Hvis du kaster en seks-sidet terning og kommer op med f.eks. en firer, krymper udvalget af valg fra en til seks, eller du kan sige kollapser til den faktiske værdi af fire. En gudelignende dæmon, der er i stand til at spore detaljerne i den atomare struktur, der påvirker resultatet af en knogle, der falder ud (dvs. nøjagtigt at måle, hvordan din hånd skubber og drejer terningen, før den taber den på bordet), vil aldrig tale om kollaps.

Einsteins intuition blev forstærket af hans tidlige arbejde med den kollektive effekt af molekylær bevægelse, studeret i en gren af ​​fysikken kaldet statistisk mekanik, hvori han viste, at fysik kan være sandsynliggjort, selv når fænomenet er baseret på deterministisk virkelighed. I 1935 skrev Einstein til filosoffen Karl Popper: "Jeg tror ikke, du har ret i dit udsagn om, at det er umuligt at drage statistiske konklusioner baseret på deterministisk teori. Tag for eksempel klassisk statistisk mekanik (teorien om gasser hhv. teorien om Brownsk bevægelse). Sandsynlighederne i Einsteins forståelse var lige så reelle som i den københavnske skoles fortolkning. De manifesterer sig i de grundlæggende bevægelseslove og afspejler andre egenskaber i den omgivende verden, de er ikke kun artefakter af menneskelig uvidenhed. Einstein foreslog Popper, som et eksempel, at overveje en partikel, der bevæger sig i en cirkel med konstant hastighed; sandsynligheden for at finde en partikel i en given sektion af cirkelbuen afspejler symmetrien af ​​dens bane. Ligeledes er sandsynligheden for, at en terning lander på en given flade, en sjettedel, da den har seks lige store facetter. "Han forstod bedre end de fleste på det tidspunkt, at en vigtig fysisk enhed var indeholdt i detaljerne om statistisk-mekanisk sandsynlighed," siger Howard.

En anden lektie i statistisk mekanik var, at de mængder, vi observerer, ikke nødvendigvis eksisterer på et dybere niveau. For eksempel har en gas en temperatur, men det giver ingen mening at tale om temperaturen på et enkelt gasmolekyle. Analogt kom Einstein til at tro, at en subkvanteteori var påkrævet for at betegne et radikalt brud med kvantemekanikken. I 1936 skrev han: "Der er ingen tvivl om, at kvantemekanikken har fanget det smukke element af sandhed<...>Jeg tror dog ikke på, at kvantemekanikken vil være udgangspunktet i søgen efter dette fundament, ligesom man ikke kan gå fra termodynamik (henholdsvis statistisk mekanik) til mekanikkens grundlag. ”For at udfylde dette dybere niveau skubbede Einstein hen imod en samlet teori et felt, hvor partikler er afledte af strukturer, der slet ikke ligner partikler. Kort sagt, den konventionelle visdom, at Einstein nægtede at anerkende kvantefysikkens sandsynlighedsbeskaffenhed, er forkert. Han forsøgte at forklare tilfældigheder i stedet for at gøre det synes, at det slet ikke eksisterer.

Gør dit niveau til det bedste

Selvom Einsteins projekt om at skabe en samlet teori mislykkedes, holder de grundlæggende principper i hans intuitive tilgang til tilfældighed stadig stik: indeterminisme kan opstå fra determinisme. Kvante- og subkvanteniveauer - eller et hvilket som helst andet niveaupar i naturens hierarki - er sammensat af forskellige typer strukturer, så de adlyder forskellige typer love. Loven, der styrer ét niveau, kan naturligvis tillade et element af tilfældighed, selvom lovene på det lavere niveau er fuldt ud reguleret. "Deterministisk mikrofysik genererer ikke deterministisk makrofysik," siger filosof Jeremy Butterfield fra University of Cambridge.

Tænk på terningerne på atomniveau. En terning kan bestå af et ufatteligt stort antal konfigurationer af atomer, der for det blotte øje er fuldstændigt uskydelige fra hinanden. Hvis du sporer nogen af ​​disse konfigurationer under terningens rotation, vil det føre til et specifikt resultat - strengt deterministisk. I nogle konfigurationer vil terningen stoppe med en prik på den øverste kant, i andre med to. etc. Derfor kan en enkelt makroskopisk tilstand (hvis du får kuben til at dreje) føre til flere mulige makroskopiske udfald (en af ​​de seks flader vil være øverst). "Hvis vi beskriver terningerne på makroniveau, kan vi se det som et stokastisk system, der giver mulighed for objektiv tilfældighed," siger List, der studerer niveaukonjugering med Marcus Pivato, en matematiker ved Cergy-Pontoise Universitetet i Frankrig.

Selvom det højere niveau bygger på det lavere niveau, er det autonomt. For at beskrive terningerne skal du arbejde på det niveau, hvor terningerne eksisterer som sådan, og når du gør dette, kan du ikke undgå at negligere atomerne og deres dynamik. Hvis du krydser et niveau med et andet, snyder du ved at erstatte en kategori: Det er som at spørge om politisk tilhørsforhold til en laksesandwich (for at bruge eksemplet med filosoffen David Albert fra Columbia University). "Når vi har et fænomen, der kan beskrives på forskellige niveauer, skal vi konceptuelt være meget forsigtige med ikke at blande niveauerne," siger List. Af denne grund ser resultatet af at kaste terningerne ikke bare tilfældigt ud. Det er virkelig tilfældigt. Den gudelignende dæmon kan prale af, at han ved præcis, hvad der vil ske, men han ved kun, hvad der vil ske med atomerne. Han har ikke engang mistanke om, hvad en terning er, da det er information på et højere niveau. Dæmonen ser aldrig skoven, kun træerne. Han er som hovedpersonen i den argentinske forfatter Jorge Luis Borges' historie "Memorable Funes" - en mand, der husker alt, men ikke fatter noget. "At tænke betyder at glemme forskellen, at generalisere, at abstrahere," skriver Borges. Til dæmonen, så han ved, hvilken side terningerne vil falde på, er det nødvendigt at forklare, hvad man skal kigge efter. "Dæmonen vil kun kunne forstå, hvad der sker på topniveau, hvis han får en detaljeret beskrivelse af, hvordan vi definerer grænsen mellem niveauerne," siger List. Ja, efter dette vil dæmonen sandsynligvis blive jaloux på, at vi er dødelige.

Niveaulogik virker også i den modsatte retning. Nondeterministisk mikrofysik kan føre til deterministisk makrofysik. En baseball kan være lavet af partikler, der udviser kaotisk adfærd, men dens flugt er fuldstændig forudsigelig; kvantetilfældighed, gennemsnit. forsvinder. Ligeledes er gasser sammensat af molekyler, der laver ekstremt komplekse - og praktisk talt ikke-deterministiske - bevægelser, men deres temperatur og andre egenskaber overholder love, der er så enkle som to og to. Mere spekulativt antyder nogle fysikere, såsom Robert Laughlin fra Stanford University, at bundniveauet er absolut irrelevant. Byggestenene kan være hvad som helst, og stadig vil deres kollektive adfærd være den samme. Når alt kommer til alt, adlyder systemer, selv systemer så forskellige som vandmolekyler, stjerner i galaksen og biler på motorvejen, de samme love for væskestrøm.

Endelig fri

Når du tænker i niveauer, forsvinder bekymringen om, at indeterminisme sandsynligvis vil varsle slutningen på videnskaben. Omkring os er der ingen høj mur, der beskytter vores lovlydige fragment af universet fra emnet anarki og resten af ​​det uforståeligt. Faktisk er verden en lagkage af determinisme og indeterminisme. Jordens klima er for eksempel styret af Nyotons deterministiske bevægelseslove, men vejrudsigten er sandsynlig, og samtidig er sæsonmæssige og langsigtede klimatendenser igen forudsigelige. Biologi stammer også fra deterministisk fysik, men organismer og økosystemer kræver andre beskrivelsesmetoder, såsom darwinistisk evolution. "Determinisme forklarer ikke alt," siger Daniel Dennett, filosof ved Tufts University.

Folk er blandet inde i denne butterdej. Vi har en stærk følelse af fri vilje. Vi tager ofte uforudsigelige og for det meste vitale beslutninger, vi indser, at vi kunne have gjort anderledes (og ofte fortryder vi ikke at have gjort det). I årtusinder har de såkaldte libertarianere, tilhængere af den filosofiske doktrin om fri vilje (ikke at forveksle med den politiske tendens!), hævdet, at menneskelig frihed kræver en partikels frihed. Noget må ødelægge det deterministiske hændelsesforløb, for eksempel kvantetilfældigheder eller "afvigelser", som, som nogle gamle filosoffer troede, atomer kunne opleve under deres bevægelse (konceptet om en utilsigtet uforudsigelig afvigelse af et atom fra dets oprindelige bane blev introduceret af Lucretius ind i oldtidens filosofi for at beskytte Epikurs atomlære) ...

Hovedproblemet med denne tankegang er, at den frigør partiklerne, men efterlader os slaver. Det er lige meget om din beslutning blev forudbestemt under Big Bang eller en lille partikel, det er stadig ikke din beslutning. For at være fri har vi brug for indeterminisme ikke på partikelniveau, men på det menneskelige niveau. Og det er muligt, fordi det menneskelige niveau og partikelniveauet er uafhængige af hinanden. Selvom alt, hvad du gør, kunne spores tilbage til de allerførste trin, er du herre over dine handlinger, fordi hverken du eller dine handlinger eksisterer på materiens niveau, men kun på makroniveauet af bevidsthed. "Denne mikrodeterminisme-baserede makroindeterminisme garanterer sandsynligvis fri vilje," siger Butterfield. Makroindeterminisme er ikke årsagen til dine beslutninger. Dette er din beslutning.

Nogle mennesker vil sikkert indvende og fortælle dig, at du stadig er en dukke, og naturens love fungerer som dukkeføreren, og at din frihed ikke er andet end en illusion. Men selve ordet "illusion" fremkalder i erindringen om luftspejlinger i ørkenen og kvinder, savet i halve: alt dette eksisterer ikke i virkeligheden. Makroindeterminisme er slet ikke det samme. Det er ret reelt, bare ikke fundamentalt. Det kan sammenlignes med livet. Individuelle atomer er absolut livløst stof, men deres enorme masse kan leve og ånde. "Alt, der har at gøre med agenter, deres intentionstilstande, deres beslutninger og valg - ingen af ​​disse entiteter har noget at gøre med den grundlæggende fysiks konceptuelle værktøjskasse, men det betyder ikke, at disse fænomener ikke er virkelige," bemærker Liszt . betyder bare, at de alle er fænomener på et meget højere niveau."

Det ville være en kategorisk fejl, hvis ikke fuldstændig uvidenhed, at beskrive menneskelige beslutninger af mekanikeren for bevægelsen af ​​atomer i dit hoved. I stedet er det nødvendigt at bruge alle psykologiens begreber: ønske, mulighed, intention. Hvorfor drak jeg vand og ikke vin? Fordi jeg gerne ville. Mine ønsker forklarer mine handlinger. I de fleste tilfælde, når vi stiller spørgsmålet "Hvorfor?", søger vi motivationen for den enkelte, og ikke hans fysiske baggrund. Psykologiske forklaringer giver mulighed for en vis form for indeterminisme, som List taler om. For eksempel modellerer spilteoretikere menneskelig beslutningstagning ved at opstille en række muligheder og forklare, hvilken du vil vælge, hvis du handler rationelt. Din frihed til at vælge en bestemt mulighed driver dit valg, selvom du aldrig nøjes med den mulighed.

Lists argumenter forklarer selvfølgelig ikke fuldt ud den frie vilje. Niveauhierarkiet åbner plads til fri vilje, adskiller psykologi fra fysik og giver os mulighed for at gøre uventede ting. Men vi skal benytte denne mulighed. Hvis vi for eksempel tog alle beslutninger ved at kaste en mønt, ville dette stadig blive betragtet som makroindeter-minisme, men man kunne næppe kvalificere det som fri vilje i nogen meningsfuld forstand. På den anden side kan nogle menneskers beslutningstagning være så udmattende, at de ikke kan siges at handle frit.

Denne tilgang til problemet med determinisme giver mening og fortolkning til kvanteteorien, som blev foreslået et par år efter Einsteins død i 1955. Det kaldes mange-verdenernes fortolkning, eller Everetts fortolkning. Dens tilhængere hævder, at kvantemekanikken beskriver en samling af parallelle universer - et multivers, der som helhed opfører sig deterministisk, men som for os virker ikke-deterministisk, da vi kun kan se ét enkelt univers. For eksempel kan et atom udsende en foton til højre eller til venstre; kvanteteorien lader resultatet af denne begivenhed stå åbent. Ifølge mange-verdenernes fortolkning observeres et sådant billede, fordi præcis den samme situation opstår i et uendeligt antal parallelle universer: I nogle af dem flyver fotonen deterministisk til venstre, og i resten til højre. Uden at kunne sige præcist hvilket af universerne vi befinder os i, kan vi ikke forudsige, hvad der vil ske, så denne situation ser uforklarlig ud indefra. "Der er ingen ægte tilfældighed i rummet, men begivenheder kan forekomme tilfældige for observatørens øje," forklarer MIT-kosmolog Max Tegmark, en velkendt fortaler for denne opfattelse. "Tilfældighed afspejler din manglende evne til at bestemme, hvor du er."

Det er som at sige, at en die eller en hjerne kan bygges ud fra en hvilken som helst af de utallige atomkonfigurationer. Denne konfiguration i sig selv kan være deterministisk, men da vi ikke kan vide, hvilken der svarer til vores die eller vores hjerne, er vi tvunget til at antage, at resultatet er ikke-deterministisk. Parallelle universer er således ikke nogen eksotisk idé, der svæver i en syg fantasi. Vores krop og vores hjerne er små multivers, det er mangfoldigheden af ​​muligheder, der giver os frihed.

Terninger er blevet brugt af mennesker i tusinder af år.

I det 21. århundrede giver nye teknologier dig mulighed for at kaste terningerne til enhver tid, og hvis du har internetadgang, på et passende sted. Terningerne er altid med dig derhjemme eller på farten.

Terninggeneratoren giver dig mulighed for at kaste online fra 1 til 4 terninger.

Kast rimeligt med terningerne online

Ved brug af rigtige terninger kan man bruge manuel fingerfærdighed eller specialfremstillede terninger med overvægt på den ene side. For eksempel kan du dreje en terning langs en af ​​akserne, og så ændres sandsynlighedsfordelingen. Et træk ved vores virtuelle terninger er brugen af ​​en software-generator for pseudo-tilfældige tal. Dette giver dig mulighed for at give en virkelig tilfældig mulighed for dette eller hint resultat.

Og hvis du tilføjer denne side til dine bogmærker, så vil dine online terninger ikke gå tabt nogen steder og vil altid være ved hånden på det rigtige tidspunkt!

Nogle mennesker har vænnet sig til at bruge terninger online til at fortælle spå eller lave forudsigelser og horoskoper.

Godt humør, god dag og held og lykke!

Den mest almindelige form er i form af en terning, på hver side af hvilken der er afbildet tal fra et til seks. Spilleren, der kaster den på en flad overflade, ser resultatet på den øverste kant. Knogler er et rigtigt talerør for tilfældigheder, held eller uheld.

Ulykke.
Terninger (knogler) har eksisteret i lang tid, men de fik det traditionelle udseende med seks sider omkring 2600 f.Kr. e. De gamle grækere elskede at spille med terninger, og i deres legender omtales helten Palamed, uretmæssigt anklaget for forræderi af Odysseus, som deres opfinder. Ifølge legenden opfandt han dette spil for at underholde soldaterne, der belejrede Troja, fanget af en enorm træhest. Romerne under Julius Cæsars tid hyggede sig også med en række terningespil. På latin blev kuben kaldt datum, som betyder "givet".

Forbud.
I middelalderen, omkring det 12. århundrede, blev terningespillet meget populært i Europa: terninger, som kan tages med overalt, er populære blandt både soldater og bønder. Det siges, at der var over seks hundrede forskellige spil! Produktionen af ​​terninger er ved at blive et selvstændigt erhverv. Kong Ludvig IX (1214-1270), der vendte tilbage fra korstoget, afviste hasardspil og beordrede produktion af terninger, der skulle forbydes i hele riget. Mere end selve spillet var myndighederne utilfredse med optøjerne i forbindelse med det – så spillede de hovedsageligt på værtshuse og festerne endte ofte i slagsmål og knivstik. Men ingen forbud forhindrede terningerne i at overleve tiden og overleve den dag i dag.

Knogler med en "ladning"!
Resultatet af terningkastet er altid tilfældigt, men nogle snydere forsøger at ændre det. Ved at bore et hul i kuben og hælde bly eller kviksølv i den, kan du opnå det samme resultat hver gang du kaster. Sådan en terning kaldes "ladet". Fremstillet af forskellige materialer, det være sig guld, sten, krystal, ben, terninger kan have forskellige former. Der er fundet små terninger i form af en pyramide (tetraeder) i gravene til de egyptiske faraoer, der byggede store pyramider! På forskellige tidspunkter blev der lavet knogler med 8, 10, 12, 20 og endda 100 sider. Normalt anvendes tal på dem, men bogstaver eller billeder kan også dukke op i deres sted, hvilket giver plads til fantasi.

Sådan kaster du terningerne.
Terninger kommer ikke kun i forskellige former, men de har også forskellige måder at spille på. Nogle spil kræver, at kastet udføres på en bestemt måde, normalt for at undgå et beregnet kast eller for at forhindre terningen i at stoppe i en skrå position. Nogle gange er et specielt glas fastgjort til dem for at undgå at blive snydt eller falde ned fra spillebordet. I det engelske spil crepe skal alle tre terninger ramme spillebordet eller væggen, for ikke at tillade tricksterne at forfalske et kast ved blot at flytte terningen, men ikke dreje den.

Tilfældighed og sandsynlighed.
Terningen giver altid et tilfældigt resultat, som ikke kan forudsiges. Med én terning har spilleren lige så mange chancer for at kaste en 1 som han gør 6 - alt bestemmes af tilfældigheder. Med to terninger, tværtimod, falder niveauet af tilfældighed, da spilleren har mere information om resultatet: for eksempel med to terninger kan tallet 7 opnås på flere måder - ved at kaste 1 og 6, 5 og 2 eller 4 og 3 ... Men muligheden for at få tallet 2 er kun én: rulle to gange 1. Således er sandsynligheden for at få 7 højere end at få 2! Dette kaldes sandsynlighedsteori. Mange spil er forbundet med dette princip, især pengespil.

Om brugen af ​​terninger.
Terningerne kan være et selvstændigt spil uden andre elementer. Det eneste, der praktisk talt ikke eksisterer, er spil til en enkelt terning. Reglerne kræver mindst to (for eksempel crepe). For at spille terningpoker skal du bruge fem terninger, en kuglepen og papir. Målet er at udfylde kombinationer svarende til kombinationerne af kortspillet af samme navn ved at skrive pointene for dem ned i en speciel tabel. Derudover er terningen en meget populær del til brætspil, så du kan flytte chips eller bestemme udfaldet af spilkampe.

Die er støbt.
I 49 f.Kr. e. den unge Julius Cæsar erobrede Gallien og vendte tilbage til Pompeji. Men hans magt vakte bekymring blandt senatorerne, som besluttede at opløse sin hær før hans tilbagevenden. Den fremtidige kejser, der er ankommet til republikkens grænser, beslutter sig for at overtræde ordren ved at krydse den med en hær. Før han krydsede Rubicon (floden, der var grænsen), udtalte han "Alea jacta est" ("loddet er kastet") foran sine legionærer. Denne dictum er blevet en catch phrase, hvis betydning er, at det, som i spillet, efter nogle beslutninger er truffet, er det ikke længere muligt at trække sig tilbage.