Erilaisia ​​tapoja todistaa Pythagoraan lause. Mielenkiintoisia faktoja Pythagoraan lauseesta: opi uusia asioita kuuluisasta lauseesta

(Berliinin museon papyruksen 6619 mukaan). Cantorin mukaan harpedonaptit eli "köydenkiristimet" rakensivat suoria kulmia käyttämällä suorakulmaisia ​​kolmioita, joiden sivut ovat 3, 4 ja 5.

Niiden rakentamistapa on erittäin helppo toistaa. Ota 12 m pitkä köysi ja sido se siihen värillistä nauhaa pitkin 3 m etäisyydelle toisesta päästä ja 4 metrin etäisyydelle toisesta päästä. Oikea kulma suljetaan 3–4 metrin pituisten sivujen väliin. Harpedonaptit saattavat väittää, että heidän rakennusmenetelmänsä tulee tarpeettomaksi, jos käytämme esimerkiksi kaikkien puuseppien käyttämää puista neliötä. Itse asiassa tunnetaan egyptiläisiä piirustuksia, joissa tällainen työkalu löytyy, esimerkiksi piirustuksia, jotka kuvaavat puusepänpajaa.

Babylonian Pythagoraan lauseesta tiedetään jonkin verran enemmän. Yhdessä tekstissä, joka juontaa juurensa Hammurabin aikaan, eli vuoteen 2000 eKr. e. , annetaan likimääräinen laskelma suorakulmaisen kolmion hypotenuusasta. Tästä voimme päätellä, että Mesopotamiassa osattiin tehdä laskelmia suorakulmaisilla kolmioilla, ainakin joissain tapauksissa. Perustuen toisaalta Egyptin ja Babylonin matematiikan nykyiseen tietämystasoon ja toisaalta kreikkalaisten lähteiden kriittiseen tutkimukseen, Van der Waerden (hollantilainen matemaatikko) päätteli, että on erittäin todennäköistä, että lause hypotenuusan aukio tunnettiin Intiassa jo noin 1700-luvulla eKr. e.

Noin 400 eaa. esim. Prokloksen mukaan Platon antoi menetelmän Pythagoraan kolmosten löytämiseksi yhdistämällä algebran ja geometrian. Noin 300 eaa. e. Pythagoraan lauseen vanhin aksiomaattinen todistus ilmestyi Eukleideen "Elementeissa".

Sanamuoto

Geometrinen muotoilu:

Aluksi lause muotoiltiin seuraavasti:

Algebrallinen muotoilu:

Tämä tarkoittaa kolmion läpimenon hypotenuusan pituutta ja läpivientien jalkojen pituutta ja:

Lauseen molemmat lauseet ovat ekvivalentteja, mutta toinen lause on alkeellisempi, se ei vaadi pinta-alan käsitettä. Toisin sanoen toinen lause voidaan tarkistaa tietämättä mitään pinta-alasta ja mittaamalla vain suorakulmaisen kolmion sivujen pituudet.

Käänteinen Pythagoraan lause:

Todiste

Tällä hetkellä tieteelliseen kirjallisuuteen on tallennettu 367 todistetta tästä lauseesta. Todennäköisesti Pythagoraan lause on ainoa lause, jolla on niin vaikuttava määrä todisteita. Tämä vaihtelu voidaan selittää vain geometrian lauseen perustavanlaatuisella merkityksellä.

Tietenkin käsitteellisesti ne kaikki voidaan jakaa pieneen määrään luokkia. Tunnetuimmat niistä: todistukset aluemenetelmällä, aksiomaattiset ja eksoottiset todistukset (esim. differentiaaliyhtälöitä käyttäen).

Samanlaisten kolmioiden kautta

Seuraava algebrallisen formuloinnin todistus on yksinkertaisin suoraan aksioomista rakennetuista todisteista. Erityisesti se ei käytä hahmon alueen käsitettä.

Päästää ABC on suorakulmainen kolmio, jossa on suora kulma C... Piirretään korkeus C ja merkitse sen kantaa H... Kolmio ACH kuin kolmio ABC kahdessa kulmassa. Samoin kolmio CBH on samanlainen ABC... Esittelyssä merkintä

saamme

Mikä on vastaava

Lisäämällä saamme

Alueiden todisteet

Alla olevat todistukset, huolimatta niiden näennäisestä yksinkertaisuudesta, eivät ole ollenkaan niin yksinkertaisia. Kaikki käyttävät pinta-alan ominaisuuksia, joiden todistaminen on vaikeampaa kuin itse Pythagoraan lauseen todistaminen.

Todiste tasa-arvoisesta täydentävyydestä

1. Aseta neljä samanlaista suorakulmaista kolmiota kuvan 1 mukaisesti.
2. Nelikulmainen sivuilla c on neliö, koska kahden terävän kulman summa on 90 ° ja taittamaton kulma on 180 °.
3. Koko kuvion pinta-ala on toisaalta neliön pinta-ala, jossa on sivut (a + b), ja toisaalta neljän kolmion pinta-alojen ja kolmion pinta-alan summa. sisäinen neliö.

Q.E.D.

Eukleideen todiste

Ajatus Eukleideen todisteen takana on seuraava: yritetään todistaa, että puolet hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-alasta on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen puoliskojen summa ja sitten pinta-alat suuresta ja kahdesta pienestä neliöstä ovat yhtä suuret.

Harkitse piirustusta vasemmalla. Sen päälle rakensimme neliöitä suorakulmaisen kolmion sivuille ja piirsimme säteen s suoran kulman C kärjestä kohtisuoraan hypotenuusaan AB, se leikkaa hypotenuusalle rakennetun neliön ABIK kahdeksi suorakulmioksi - BHJI ja HAKJ, vastaavasti. Osoittautuu, että näiden suorakulmioiden pinta-alat ovat täsmälleen yhtä suuret kuin vastaaville jaloille rakennettujen neliöiden pinta-alat.

Yritetään todistaa, että neliön DECA pinta-ala on yhtä suuri kuin suorakulmion pinta-ala AHJK Käytä tätä varten apuhavaintoa: Kolmion pinta-ala, jonka korkeus ja kanta on sama kuin tämä suorakulmio on yhtä suuri kuin puolet annetun suorakulmion pinta-alasta. Tämä on seurausta kolmion alueen määrittelystä puoleksi pohjan ja korkeuden tulosta. Tästä havainnosta seuraa, että kolmion ACK pinta-ala on yhtä suuri kuin kolmion AHK pinta-ala (ei näy kuvassa), joka puolestaan ​​on yhtä suuri kuin puolet suorakulmion AHJK pinta-alasta. .

Osoittakaamme nyt, että kolmion ACK pinta-ala on myös yhtä suuri kuin puolet neliön DECA pinta-alasta. Ainoa asia, joka on tehtävä tätä varten, on todistaa kolmioiden ACK ja BDA yhtäläisyys (koska kolmion BDA pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet neliön pinta-alasta yllä olevan ominaisuuden mukaan). Tasa-arvo on ilmeinen: kolmiot ovat yhtä suuret kahdella sivulla ja niiden välinen kulma. Nimittäin - AB = AK, AD = AC - kulmien CAK ja BAD yhtäläisyys on helppo todistaa liikemenetelmällä: käännämme kolmiota CAK 90° vastapäivään, jolloin on selvää, että kahden alla olevan kolmion vastaavat sivut. harkinta osuu yhteen (koska kulma neliön huipussa on 90 °).

Päättely neliön BCFG ja suorakulmion BHJI pinta-alojen yhtäläisyydestä on täysin analoginen.

Näin ollen olemme osoittaneet, että hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa. Tämän todisteen ideaa havainnollistetaan edelleen yllä olevalla animaatiolla.

Todiste Leonardo da Vincistä

Todistuksen pääelementit ovat symmetria ja liike.

Harkitse piirustusta, kuten symmetriasta voidaan nähdä, segmentti leikkaa neliön kahteen identtiseen osaan (koska kolmiot ja ovat rakenteeltaan samanlaisia).

Kiertämällä 90 astetta vastapäivään pisteen ympäri, näemme, että varjostetut luvut ja ovat yhtä suuret.

Nyt on selvää, että varjostetun hahmon pinta-ala on yhtä suuri kuin pienten neliöiden (jalkoihin rakennettu) pinta-alojen puoliskojen summa ja alkuperäisen kolmion pinta-ala. Toisaalta se on yhtä suuri kuin puolet suuren neliön (rakennettu hypotenuusan) pinta-alasta plus alkuperäisen kolmion pinta-ala. Siten puolet pienten neliöiden pinta-alojen summasta on yhtä suuri kuin puolet suuren neliön pinta-alasta, ja siksi jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin neliön pinta-ala rakennettu hypotenuusalle.

Todistus infinitesimaalin menetelmällä

Seuraava differentiaaliyhtälöitä käyttävä todistus on usein 1900-luvun alkupuoliskolla asuneen kuuluisan englantilaisen matemaatikon Hardyn ansiota.

Katsomalla kuvassa näkyvää piirustusta ja tarkkailemalla sivun muutosta a, voimme kirjoittaa seuraavan suhteen äärettömän pienille sivujen lisäyksille Kanssa ja a(käyttäen kolmioiden samankaltaisuutta):

Käyttämällä muuttujien erottelumenetelmää löydämme

Yleisempi ilmaus hypotenuusan muuttamiseen molempien jalkojen kasvaessa

Integroimalla tämä yhtälö ja käyttämällä alkuehtoja, saamme

Siten pääsemme haluttuun vastaukseen

Kuten on helppo nähdä, neliöllinen riippuvuus lopullisessa kaavassa ilmenee kolmion sivujen ja inkrementtien välisen lineaarisen suhteellisuuden vuoksi, kun taas summa liittyy riippumattomiin panoksiin eri jalkojen lisäyksistä.

Yksinkertaisempi todiste voidaan saada, jos oletetaan, että yksi jaloista ei koe lisäystä (tässä tapauksessa jalka). Sitten saadaan integraatiovakio

Muunnelmia ja yleistyksiä

Samanlaisia ​​geometrisia muotoja kolmella sivulla

Yleistys samanlaisille kolmioille, vihreiden muotojen pinta-ala A + B = sinisen C pinta-ala

Pythagoraan lause käyttäen samanlaisia ​​suorakulmia

Pythagoraan lauseen yleistyksen teki Eukleides työssään Alkuja, laajentamalla sivuilla olevien neliöiden alueita samanlaisten geometristen muotojen alueiksi:

Jos rakennat samanlaisia ​​geometrisia muotoja (katso Euklidinen geometria) suorakulmaisen kolmion sivuille, kahden pienemmän hahmon summa on yhtä suuri kuin suuremman hahmon pinta-ala.

Tämän yleistyksen pääajatuksena on, että tällaisen geometrisen hahmon pinta-ala on verrannollinen minkä tahansa sen lineaarimitan neliöön ja erityisesti minkä tahansa sivun pituuden neliöön. Siksi samankaltaisille luvuille alueilla A, B ja C rakennettu sivuille pituudella a, b ja c, meillä on:

Mutta Pythagoraan lauseen mukaan a 2 + b 2 = c 2 siis A + B = C.

Päinvastoin, jos voimme todistaa sen A + B = C kolmelle samanlaiselle geometriselle kuviolle ilman Pythagoraan lausetta, voimme todistaa itse lauseen liikkuen vastakkaiseen suuntaan. Esimerkiksi aloituskeskikolmiota voidaan käyttää uudelleen kolmiona C hypotenuusalla ja kaksi samanlaista suorakulmaista kolmiota ( A ja B), jotka on rakennettu kahdelle muulle sivulle, jotka muodostuvat jakamalla keskimmäinen kolmio sen korkeudella. Kolmioiden kahden pienemmän alueen summa on tällöin ilmeisesti yhtä suuri kuin kolmannen pinta-ala A + B = C ja suorittamalla edelliset todistukset käänteisessä järjestyksessä, saadaan Pythagoraan lause a 2 + b 2 = c 2.

Kosinilause

Pythagoraan lause on erikoistapaus yleisemmästä kosinilauseesta, joka suhteuttaa mielivaltaisen kolmion sivujen pituudet:

missä θ on sivujen välinen kulma a ja b.

Jos θ on 90 astetta, niin cos θ = 0 ja kaava yksinkertaistetaan tavalliseen Pythagoraan lauseeseen.

Mielivaltainen kolmio

Satunnaisen kolmion, jossa on sivut, valittuun kulmaan a, b, c kirjoitamme tasakylkisen kolmion siten, että yhtäläiset kulmat sen kannalla θ ovat yhtä suuret kuin valittu kulma. Oletetaan, että valittu kulma θ on merkittyä sivua vastapäätä c... Tuloksena saimme kolmion ABD, jonka kulma on θ ja joka sijaitsee vastapäätä sivua a ja juhlia r... Toisen kolmion muodostaa kulma θ, joka on sivua vastapäätä b ja juhlia Kanssa pituus s, kuten kuvassa näkyy. Thabit Ibn Qurrah väitti, että näiden kolmen kolmion sivut ovat yhteydessä seuraavasti:

Kulman θ lähestyessä arvoa π / 2 tasakylkisen kolmion kanta pienenee ja sivut r ja s limittyvät yhä vähemmän. Kun θ = π / 2, ADB:stä tulee suorakulmainen kolmio, r + s = c ja saamme alkuperäisen Pythagoraan lauseen.

Tarkastellaanpa yhtä syytä. Kolmiolla ABC on samat kulmat kuin kolmiolla ABD, mutta käänteisessä järjestyksessä. (Kahdella kolmiolla on yhteinen kulma kärjessä B, molemmilla on kulma θ ja myös sama kolmas kulma kolmion kulmien summan mukaan.) Näin ollen ABC on samanlainen kuin kolmion DBA ABD-heijastus, kuten alemmassa kuvassa näkyy. Kirjataan ylös vastakkaisten sivujen ja kulman θ viereisten sivujen välinen suhde,

Myös toisen kolmion heijastus,

Kerrotaan murtoluvut ja lisätään nämä kaksi suhdetta:

Q.E.D.

Yleistys mielivaltaisille kolmioille suunnikkaiden avulla

Yleistys mielivaltaisille kolmioille,
vihreä alue tontti = alue sininen

Todiste opinnäytetyöstä yllä olevassa kuvassa

Yleistetään edelleen ei-suorakulmaisiin kolmioihin käyttämällä suunnikkaita kolmella sivulla neliöiden sijaan. (neliöt ovat erikoistapaus.) Ylempi kuva osoittaa, että teräväkulmaisessa kolmiossa suunnikkaan pinta-ala pitkällä sivulla on yhtä suuri kuin kahdella muulla sivulla olevien suunnikkaiden summa, edellyttäen että pitkä sivu on rakennettu kuvan osoittamalla tavalla (nuolilla merkityt mitat ovat samat ja määräävät alemman suuntaviivan sivut). Tämä neliöiden korvaaminen suunnikasilla muistuttaa selvästi Pythagoraan alkuperäistä lausetta, sen uskotaan muotoilevan Aleksandrian Pappus vuonna 4 jKr. e.

Alakuvassa näkyy todistuksen eteneminen. Katsotaanpa kolmion vasenta puolta. Vasemmalla vihreällä suunnikkaalla on sama pinta-ala kuin sinisen suuntaviivan vasemmalla puolella, koska niillä on sama kanta b ja korkeus h... Lisäksi vasemmalla vihreällä suunnikkaalla on sama pinta-ala kuin vasemmalla vihreällä suunnikkaalla yläkuvassa, koska niillä on yhteinen kanta (kolmion vasen yläpuoli) ja kokonaiskorkeus kohtisuorassa kolmion tälle sivulle. Väittelemällä samalla tavalla kolmion oikeaa puolta, todistamme, että alemmalla suunnikkaalla on sama pinta-ala kuin kahdella vihreällä suunnikkaalla.

Monimutkaiset luvut

Pythagoraan lausetta käytetään kahden pisteen välisen etäisyyden selvittämiseen suorakulmaisessa koordinaatistossa, ja tämä lause pätee kaikkiin todellisiin koordinaatteihin: etäisyys s kahden pisteen välillä ( a, b) ja ( c, d) on yhtä suuri

Kaavan kanssa ei ole ongelmaa, jos käsittelet kompleksilukuja vektoreina, joissa on reaalikomponentteja x + minä y = (x, y). ... Esimerkiksi etäisyys s välillä 0 + 1 i ja 1 + 0 i laskemme vektorin moduulina (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), tai

Kuitenkin operaatioissa vektoreilla, joilla on monimutkaisia ​​koordinaatteja, on tarpeen tehdä tietty parannus Pythagoraan kaavaan. Pisteiden välinen etäisyys kompleksiluvuilla ( a, b) ja ( c, d); a, b, c, ja d kaikki monimutkaiset, muotoilemme käyttämällä absoluuttisia arvoja. Etäisyys s vektorieron perusteella (a − c, b − d) seuraavassa muodossa: anna eron a − c = p+ i q, missä p- eron todellinen osa, q on imaginaariosa, ja i = √ (−1). Samoin anna b − d = r+ i s... Sitten:

missä on kompleksikonjugaattiluku. Esimerkiksi pisteiden välinen etäisyys (a, b) = (0, 1) ja (c, d) = (i, 0) , laskemme eron (a − c, b − d) = (−i, 1) ja tuloksena saamme 0, jos kompleksisia konjugaatteja ei käytetä. Siksi parannettua kaavaa käyttämällä saamme

Moduuli on määritelty seuraavasti:

Stereometria

Merkittävä yleistys Pythagoraan lauseesta kolmiulotteiselle avaruudelle on de Guan lause, joka on nimetty J.-P. de Gua: jos tetraedrilla on suora kulma (kuten kuutiossa), niin suoraa kulmaa vastapäätä olevan kasvon alueen neliö on yhtä suuri kuin kolmen muun pinnan neliöiden summa. Tämä johtopäätös voidaan tiivistää seuraavasti: " n-ulotteinen Pythagoraan lause ":

Pythagoraan lause kolmiulotteisessa avaruudessa yhdistää diagonaalin AD kolmeen sivuun.

Toinen yleistys: Pythagoraan lausetta voidaan soveltaa stereometriaan seuraavassa muodossa. Tarkastellaan suorakaiteen muotoista suuntaissärmiötä kuvan osoittamalla tavalla. Etsitään diagonaalin BD pituus Pythagoraan lauseella:

jossa kolme sivua muodostavat suorakulmaisen kolmion. Käytämme vaakasuoraa diagonaalia BD ja pystyreunaa AB lävistäjän AD pituuden selvittämiseen, tähän taas käytetään Pythagoraan lausetta:

tai jos kaikki on kirjoitettu yhteen yhtälöön:

Tämä tulos on 3D-lauseke vektorin suuruuden määrittämiseksi v(diagonaali AD) ilmaistuna sen kohtisuorassa komponentissa ( v k) (kolme keskenään kohtisuoraa sivua):

Tätä yhtälöä voidaan pitää Pythagoraan lauseen yleistyksenä moniulotteiselle avaruudelle. Tuloksena on kuitenkin itse asiassa vain Pythagoraan lauseen toistuva soveltaminen suorakulmaisten kolmioiden sarjaan peräkkäin kohtisuorassa tasossa.

Vector avaruus

Ortogonaalisen vektorijärjestelmän tapauksessa yhtälö pätee, jota kutsutaan myös Pythagoraan lauseeksi:

Jos on vektorin projektio koordinaattiakseleille, niin tämä kaava osuu yhteen euklidisen etäisyyden kanssa - ja tarkoittaa, että vektorin pituus on yhtä suuri kuin sen komponenttien neliösumman neliöjuuri.

Tämän yhtälön analogia äärettömän vektorijärjestelmän tapauksessa kutsutaan Parsevalin yhtälöksi.

Ei-euklidinen geometria

Pythagoraan lause on johdettu euklidisen geometrian aksioomeista, eikä se itse asiassa päde ei-euklidiselle geometrialle siinä muodossa, jossa se on kirjoitettu yllä. (Toisin sanoen Pythagoraan lause osoittautuu eräänlaiseksi vastineeksi Euklidesin rinnakkaispostulaatille) Toisin sanoen ei-euklidisessa geometriassa kolmion sivujen välinen suhde on välttämättä eri muodossa kuin Pythagoraan lause. . Esimerkiksi pallogeometriassa suorakulmaisen kolmion kaikki kolme sivua (esim a, b ja c), jotka rajoittavat yksikköpallon oktanttia (kahdeksas osa), ovat pituudeltaan π / 2, mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa, koska a 2 + b 2 ≠ c 2 .

Tarkastellaan tässä kahta ei-euklidisen geometrian tapausta - pallomaista ja hyperbolista geometriaa; molemmissa tapauksissa, kuten suorakulmaisten kolmioiden euklidisessa avaruudessa, kosinilauseesta seuraa Pythagoraan lauseen korvaava tulos.

Pythagoraan lause pätee kuitenkin hyperboliseen ja elliptiseen geometriaan, jos kolmion suorakulmaisuuden vaatimus korvataan ehdolla, että kolmion kahden kulman summan on oltava yhtä suuri kuin kolmas, esim. A+B = C... Sitten sivujen välinen suhde näyttää tältä: halkaisijaltaan olevien ympyröiden pinta-alojen summa a ja b yhtä suuri kuin halkaisijaltaan ympyrän pinta-ala c.

Pallomainen geometria

Jokaiselle suorakulmaiselle kolmiolle sädepallolla R(esimerkiksi jos kolmion kulma γ on suora) sivuilla a, b, c osapuolten välinen suhde näyttää tältä:

Tämä yhtälö voidaan johtaa pallokosinisilauseen erikoistapauksena, joka pätee kaikkiin pallomaisiin kolmioihin:

jossa cosh on hyperbolinen kosini. Tämä kaava on hyperbolisen kosinilauseen erikoistapaus, joka pätee kaikkiin kolmioihin:

missä γ on kulma, jonka kärki on sivua vastapäätä c.

missä g ij kutsutaan metriseksi tensoriksi. Se voi olla sijainnin funktio. Tällaisiin kaareviin tiloihin kuuluu yleisenä esimerkkinä Riemannilainen geometria. Tämä muotoilu sopii myös euklidiseen avaruuteen käytettäessä kaarevia koordinaatteja. Esimerkiksi napakoordinaateille:

Vector tuote

Pythagoraan lause yhdistää kaksi vektoritulon suuruuden lauseketta. Yksi lähestymistapa ristitulon määrittelemiseen edellyttää, että se täyttää yhtälön:

tämä kaava käyttää pistetuotetta. Yhtälön oikeaa puolta kutsutaan Gram-determinantiksi for a ja b, joka on yhtä suuri kuin näiden kahden vektorin muodostaman suuntaviivan pinta-ala. Perustuu tähän vaatimukseen sekä vaatimukseen, joka koskee vektoritulon kohtisuoraisuutta sen komponentteihin nähden a ja b tästä seuraa, että lukuun ottamatta triviaaleja 0- ja 1-ulotteisen avaruuden tapauksia, vektoritulo määritellään vain kolmessa ja seitsemässä ulottuvuudessa. Käytämme kulman määritelmää in n-ulotteinen tila:

tämä vektoritulon ominaisuus antaa arvon seuraavassa muodossa:

Pythagoraan trigonometrisen perusidentiteetin kautta saamme toisen muodon sen arvon kirjaamiseen:

Vaihtoehtoinen lähestymistapa ristiintulon määrittämiseen käyttää sen suuruuden ilmaisua. Sitten käänteisessä järjestyksessä väittelemällä saamme yhteyden pistetuloon:

Katso myös

Huomautuksia (muokkaa)

1. Historian aihe: Pythagoraan lause Babylonin matematiikassa
2. (, s. 351) s. 351
3. (, osa I, s. 144)
4. Keskustelu historiallisista tosiseikoista on (, s. 351) sivulla 351
5. Kurt Von Fritz (huhtikuu 1945). "Metapontumin Hippasuksen tekemä epäyhdenmukaisuuden löytö." The Annals of Mathematics, toinen sarja(Matematiikan lehdet) 46 (2): 242–264.
6. Lewis Carroll, "A Story with Knots", M., Mir, 1985, s. 7
7. Asger aaboe Jaksot matematiikan varhaisesta historiasta. - Mathematical Association of America, 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131
8. Pythagoraan lause, kirjoittanut Elisha Scott Loomis
9. Eukleideen Elementit: Kirja VI, Propositio VI 31: "Suorakulmaisissa kolmioissa oikeaa kulmaa alittavalla puolella oleva kuva on yhtä suuri kuin samankaltaiset ja samalla tavalla kuvatut kuviot sivuilla, jotka sisältävät oikean kulman."
10. Lawrence S. Leff lainattu työ... - Barron's Educational Series. - P. 326. - ISBN 0764128922
11. Howard whitley eves§4.8: ... Pythagoraan lauseen yleistys // Matematiikan suuria hetkiä (ennen vuotta 1650). - Mathematical Association of America, 1983. - s. 41. - ISBN 0883853108
12. Tâbit ibn Qorra (koko nimi Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 jKr.) oli Bagdadissa asunut lääkäri, joka kirjoitti laajasti Eukleideen elementeistä ja muista matemaattisista aiheista.
13. Aydin Sayili (maaliskuu 1960). "Thâbit ibn Qurran" yleistys Pythagoraan lauseesta." Isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086 / 348837.
14. Judith D. Sally, Paul Sally Harjoitus 2.10 (ii) // Lainattu työ. - s. 62. - ISBN 0821844032
15. Katso tällaisen rakenteen yksityiskohdat George jennings Kuva 1.32: Yleistetty Pythagoraan lause // Moderni geometria sovelluksilla: 150 kuviolla. - 3. - Springer, 1997. - s. 23. - ISBN 038794222X
16. Arlen Brown, Carl M. Pearcy Tuote C: Normi ​​mielivaltaiselle n-tuple ... // Johdatus analyysiin. - Springer, 1995. - s. 124. - ISBN 0387943692 Katso myös sivut 47-50.
17. Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Moderni käyrien ja pintojen differentiaaligeometria Mathematicalla. - 3. - CRC Press, 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487
18. Rajendra Bhatia Matriisianalyysi. - Springer, 1997. - s. 21. - ISBN 0387948465
19. Stephen W. Hawking lainattu työ... - 2005. - s. 4. - ISBN 0762419229
20. Eric W. Weisstein CRC:n ytimekäs matematiikan tietosanakirja. - 2. - 2003. - s. 2147. - ISBN 1584883472
21. Alexander R. Pruss

Voidaan olla sataprosenttisesti varma, että kun kysytään, mikä hypotenuusan neliö on, kuka tahansa aikuinen vastaa rohkeasti: "Jalkojen neliöiden summa." Tämä teoreema on juurtunut tiukasti jokaisen koulutetun ihmisen mieleen, mutta riittää, että pyydät jotakuta todistamaan se, ja silloin voi syntyä vaikeuksia. Siksi muistetaan ja harkitaan erilaisia ​​tapoja todistaa Pythagoraan lause.

Lyhyt elämäkerta

Pythagoraan lause on tuttu melkein kaikille, mutta jostain syystä sen synnyttäneen henkilön elämäkerta ei ole niin suosittu. Tämä on korjattavissa. Siksi ennen kuin opit eri tapoja todistaa Pythagoran lause, sinun on tutustuttava lyhyesti hänen persoonallisuuteensa.

Pythagoras on filosofi, matemaatikko, ajattelija, joka on alunperin kotoisin. Nykyään on erittäin vaikea erottaa hänen elämäkertaansa legendoista, jotka ovat kehittyneet tämän suuren miehen muistoksi. Mutta kuten seuraajiensa kirjoituksista ilmenee, Samoksen Pythagoras syntyi Samoksen saarella. Hänen isänsä oli tavallinen kivenhakkaaja, mutta hänen äitinsä oli kotoisin aatelisperheestä.

Legendan mukaan Pythagoraan syntymän ennusti nainen nimeltä Pythia, jonka kunniaksi poika nimettiin. Hänen ennustuksensa mukaan syntyneen pojan olisi pitänyt tuoda ihmiskunnalle monia etuja ja hyvyyttä. Minkä hän todella teki.

Lauseen synty

Nuoruudessaan Pythagoras muutti Egyptiin tapaamaan siellä kuuluisia egyptiläisiä viisaita. Heidän tapaamisensa jälkeen hänet hyväksyttiin opiskelemaan, jossa hän oppi kaikki egyptiläisen filosofian, matematiikan ja lääketieteen suuret saavutukset.

Todennäköisesti Egyptissä Pythagoras inspiroitui pyramidien majesteettisuudesta ja kauneudesta ja loi suuren teoriansa. Tämä saattaa järkyttää lukijoita, mutta nykyaikaiset historioitsijat uskovat, että Pythagoras ei todistanut teoriaansa. Hän välitti tietonsa vain seuraajilleen, jotka myöhemmin suorittivat kaikki tarvittavat matemaattiset laskelmat.

Oli miten oli, nykyään ei tunneta yhtäkään menetelmää tämän lauseen todistamiseksi, vaan useita kerralla. Nykyään on vain arvattava, kuinka tarkasti muinaiset kreikkalaiset tekivät laskelmansa, joten tässä tarkastellaan erilaisia ​​​​tapoja todistaa Pythagoraan lause.

Pythagoraan lause

Ennen kuin aloitat laskelmia, sinun on selvitettävä, mikä teoria on todistettava. Pythagoraan lause kuuluu seuraavasti: "Kolmiossa, jonka yksi kulmista on 90 °, jalkojen neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö."

Yhteensä Pythagoraan lausetta voidaan todistaa 15 eri tavalla. Tämä on melko suuri luku, joten kiinnitetään huomiota suosituimpiin niistä.

Menetelmä yksi

Ensin määritellään, mitä meille annetaan. Nämä tiedot koskevat myös muita Pythagoraan lauseen todistamismenetelmiä, joten sinun tulee heti muistaa kaikki käytettävissä olevat nimitykset.

Oletetaan, että on annettu suorakulmainen kolmio, jonka jalat a, b ja hypotenuusa on yhtä suuri kuin c. Ensimmäinen todistusmenetelmä perustuu siihen, että sinun on piirrettävä neliö suorakulmaisesta kolmiosta.

Tätä varten sinun on piirrettävä segmentti, joka on yhtä suuri kuin jalka b, pituuteen a ja päinvastoin. Tämän pitäisi luoda neliön kaksi yhtä suurta sivua. Jää vain piirtää kaksi yhdensuuntaista viivaa, ja neliö on valmis.

Tuloksena olevan kuvan sisään sinun on piirrettävä toinen neliö, jonka sivu on yhtä suuri kuin alkuperäisen kolmion hypotenuusa. Tätä varten sinun on piirrettävä pisteistä ac ja sv kaksi rinnakkaista segmenttiä, jotka ovat yhtä suuria kuin c. Siten saamme neliön kolme sivua, joista yksi on alkuperäisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Jäljelle jää vain neljäs jakso.

Tuloksena olevan kuvan perusteella voimme päätellä, että ulomman neliön pinta-ala on (a + b) 2. Kun katsot kuvion sisään, huomaat, että sisäneliön lisäksi se sisältää neljä suorakulmaista kolmiota. Jokaisen pinta-ala on 0,5 av.

Siksi pinta-ala on yhtä suuri kuin: 4 * 0.5av + s 2 = 2av + s 2

Näin ollen (a + b) 2 = 2ab + c 2

Ja siksi c 2 = a 2 + b 2

Lause on todistettu.

Tapa kaksi: samanlaiset kolmiot

Tämä Pythagoraan lauseen todistuksen kaava johdettiin geometria-osion väittämän perusteella samanlaisista kolmioista. Siinä sanotaan, että suorakulmaisen kolmion jalka on sen hypotenuusan ja 90° kulman huipusta lähtevän hypotenuusan segmentin suhteellinen keskiarvo.

Alkutiedot pysyvät samoina, joten aloitetaan heti todistuksella. Piirretään segmentti SD kohtisuoraan sivua AB vastaan. Yllä olevan väitteen perusteella kolmioiden jalat ovat:

AC = √AB * HELL, SV = √AB * DV.

Pythagoraan lauseen todistamiseen vastaamiseksi todistus on suoritettava neliöimällä molemmat epäyhtälöt.

AC 2 = AB * HELL ja SV 2 = AB * DV

Nyt sinun on laskettava yhteen tuloksena olevat epätasa-arvot.

AC 2 + SV 2 = AB * (HELVETTI * DV), jossa HELL + DV = AB

Osoittautuu, että:

AC 2 + SV 2 = AB * AB

Ja siksi:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Pythagoraan lauseen todistaminen ja sen eri ratkaisutavat vaativat monipuolista lähestymistapaa tähän ongelmaan. Tämä vaihtoehto on kuitenkin yksi yksinkertaisimmista.

Toinen laskentatekniikka

Pythagoraan lauseen eri todistamistapojen kuvaus ei välttämättä kerro mitään, ennen kuin alat harjoitella itse. Monet tekniikat tarjoavat paitsi matemaattisia laskelmia, myös uusien lukujen rakentamista alkuperäisestä kolmiosta.

Tässä tapauksessa on tarpeen täydentää toinen suorakulmainen VSD:n kolmio BC:n haarasta. Näin ollen nyt on kaksi kolmiota, joilla on yhteinen jalka BC.

Kun tiedät, että tällaisten kuvioiden pinta-aloilla on suhde niiden samanlaisten lineaaristen mittojen neliöinä, niin:

S awd * s 2 - S awd * in 2 = S awd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) = a 2 * (S awd -S vd)

s 2 - w 2 = a 2

c 2 = a 2 + b 2

Koska tämä vaihtoehto tuskin sopii Pythagoraan lauseen eri todistusmenetelmiin arvosanalle 8, voit käyttää seuraavaa tekniikkaa.

Helpoin tapa todistaa Pythagoraan lause. Arvostelut

Historioitsijat uskovat, että tätä menetelmää käytettiin ensimmäisen kerran todistamaan lause muinaisessa Kreikassa. Se on yksinkertaisin, koska se ei vaadi mitään laskelmia. Jos piirrät kuvan oikein, todiste väitteelle, että 2 + in 2 = c 2, on selvästi näkyvissä.

Tämän menetelmän ehdot ovat hieman erilaiset kuin edellisessä. Lauseen todistamiseksi oletetaan, että suorakulmainen kolmio ABC on tasakylkinen.

Otetaan AC-hypotenuusa neliön sivuksi ja jaetaan sen kolme sivua. Lisäksi tuloksena olevaan neliöön on piirrettävä kaksi diagonaalista viivaa. Joten sen sisällä on neljä tasakylkistä kolmiota.

Jalkoihin AB ja CB on myös piirrettävä neliö ja yksi vinoviiva kumpaankin niistä. Ensimmäinen viiva vedetään kärjestä A, toinen pisteestä C.

Nyt sinun on tarkasteltava tarkasti tuloksena olevaa piirustusta. Koska AC-hypotenuusalla on neljä alkuperäistä kolmiota ja jaloissa kaksi, tämä puhuu tämän lauseen todenperäisyydestä.

Muuten, tämän Pythagoraan lauseen todistamismenetelmän ansiosta syntyi kuuluisa lause: "Pythagoran housut ovat tasa-arvoisia kaikkiin suuntiin."

J. Garfieldin todiste

James Garfield on Yhdysvaltojen 20. presidentti. Sen lisäksi, että hän jätti jälkensä historiaan Yhdysvaltojen hallitsijana, hän oli myös lahjakas itseoppinut henkilö.

Uransa alussa hän oli tavallinen opettaja kansankoulussa, mutta pian hänestä tuli yhden korkeakoulun johtaja. Halu itsensä kehittämiseen ja antoi hänelle mahdollisuuden ehdottaa uutta teoriaa Pythagoraan lauseen todisteeksi. Lause ja esimerkki sen ratkaisusta ovat seuraavat.

Ensin sinun on piirrettävä kaksi suorakulmaista kolmiota paperiarkille niin, että toisen jalka on jatkoa toiselle. Näiden kolmioiden kärjet on yhdistettävä, jotta ne muodostavat lopulta puolisuunnikkaan.

Kuten tiedät, puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen kantajen ja korkeuden puolisumman tulo.

S = a + b / 2 * (a + b)

Jos tarkastellaan tuloksena olevaa puolisuunnikasta kuviona, joka koostuu kolmesta kolmiosta, sen pinta-ala löytyy seuraavasti:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

Nyt sinun on tasoitettava kaksi alkuperäistä lauseketta

2av / 2 + s / 2 = (a + b) 2/2

c 2 = a 2 + b 2

Pythagoraan lauseesta ja sen todistusmenetelmistä voidaan kirjoittaa useampi kuin yksi osa oppikirjasta. Mutta onko siinä järkeä, kun tätä tietoa ei voida soveltaa käytännössä?

Pythagoraan lauseen käytännön sovellus

Valitettavasti nykyaikaiset koulujen opetussuunnitelmat mahdollistavat tämän lauseen käytön vain geometrisissa ongelmissa. Valmistuneet poistuvat pian koulun seinistä tietämättä, kuinka he voivat soveltaa tietojaan ja taitojaan käytännössä.

Itse asiassa jokainen voi käyttää Pythagoraan lausetta jokapäiväisessä elämässään. Eikä vain ammatillisessa toiminnassa, vaan myös tavallisissa kotitöissä. Tarkastellaan useita tapauksia, joissa Pythagoraan lause ja sen todistusmenetelmät voivat olla erittäin tarpeellisia.

Lauseen ja tähtitieteen yhteys

Vaikuttaa siltä, ​​​​että tähdet ja kolmiot voidaan yhdistää paperille. Itse asiassa tähtitiede on tieteenala, jolla Pythagoraan lausetta käytetään laajalti.

Harkitse esimerkiksi valonsäteen liikettä avaruudessa. Tiedetään, että valo liikkuu molempiin suuntiin samalla nopeudella. Rata AB, jota valonsäde liikkuu, kutsutaan nimellä l. Ja puolet ajasta, jolloin valo pääsee pisteestä A pisteeseen B, soitetaan t... Ja säteen nopeus - c. Osoittautuu, että: c * t = l

Jos katsot tätä sädettä toisesta tasosta, esimerkiksi avaruuslinjasta, joka liikkuu nopeudella v, niin tällaisella kappaleiden havainnolla niiden nopeus muuttuu. Tässä tapauksessa myös paikallaan olevat elementit alkavat liikkua nopeudella v vastakkaiseen suuntaan.

Oletetaan, että sarjakuvalaiva purjehtii oikealle. Sitten pisteet A ja B, joiden väliin säde heitetään, siirtyvät vasemmalle. Lisäksi, kun säde siirtyy pisteestä A pisteeseen B, pisteellä A on aikaa liikkua ja vastaavasti valo saapuu jo uuteen pisteeseen C. Saadaksesi puolet etäisyydestä, jolla piste A on siirtynyt, sinun on kerrottava vuorauksen nopeus puolella säteen matka-ajasta (t ").

Ja saadaksesi selville, kuinka pitkän matkan valonsäde voisi kulkea tänä aikana, sinun on osoitettava puolet polusta uudella kirjaimella s ja saatava seuraava lauseke:

Jos kuvittelemme, että valon C ja B pisteet sekä avaruusviiva ovat tasakylkisen kolmion huippuja, jana pisteestä A linjaan jakaa sen kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Siksi Pythagoraan lauseen ansiosta voit löytää etäisyyden, jonka valonsäde voisi kulkea.

Tämä esimerkki ei tietenkään ole paras, sillä vain harvat voivat olla onnekkaita kokeilemaan sitä käytännössä. Siksi tarkastelemme tämän lauseen arkipäiväisempiä sovelluksia.

Mobiilisignaalin lähetyssäde

Nykyaikaista elämää on jo mahdoton kuvitella ilman älypuhelimia. Mutta olisiko niistä paljon hyötyä, jos he eivät voisi yhdistää tilaajia matkaviestinnän kautta?!

Matkaviestinnän laatu riippuu suoraan matkapuhelinoperaattorin antennin sijainnista. Pythagoraan lauseen avulla voit laskea, kuinka pitkälle puhelin voi vastaanottaa signaalia matkaviestintornista.

Oletetaan, että sinun on löydettävä paikallaan olevan tornin likimääräinen korkeus, jotta se voi levittää signaalia 200 kilometrin säteellä.

AB (tornin korkeus) = x;

Lentokone (signaalin lähetyssäde) = 200 km;

Käyttöjärjestelmä (maapallon säde) = 6380 km;

OB = OA + ABOV = r + x

Pythagoraan lausetta soveltaen saamme selville, että tornin vähimmäiskorkeuden tulee olla 2,3 kilometriä.

Pythagoraan lause jokapäiväisessä elämässä

Kummallista kyllä, Pythagoran lause voi olla hyödyllinen myös arkipäivän asioissa, kuten esimerkiksi vaatekaapin korkeuden määrittämisessä. Ensi silmäyksellä ei ole tarvetta käyttää niin monimutkaisia ​​laskelmia, koska voit yksinkertaisesti tehdä mittauksia mittanauhalla. Mutta monet ovat yllättyneitä siitä, miksi kokoonpanoprosessin aikana ilmenee tiettyjä ongelmia, jos kaikki mittaukset tehtiin enemmän kuin tarkasti.

Tosiasia on, että vaatekaappi kootaan vaakasuoraan asentoon ja vasta sitten se nousee ja asennetaan seinää vasten. Siksi kaapin sivun rakenteen nostoprosessissa tulee kulkea vapaasti sekä huoneen korkeudessa että vinosti.

Oletetaan, että sinulla on vaatekaappi, jonka syvyys on 800 mm. Etäisyys lattiasta kattoon - 2600 mm. Kokenut huonekalusuunnittelija kertoo, että kaapin korkeuden tulee olla 126 mm pienempi kuin huoneen korkeus. Mutta miksi juuri 126 mm? Katsotaanpa esimerkkiä.

Kaapin ihanteellisilla mitoilla tarkistamme Pythagoraan lauseen toiminnan:

AC = √AB 2 + √BC 2

AC = √2474 2 +800 2 = 2600 mm - kaikki konvergoi.

Oletetaan, että kaapin korkeus ei ole 2474 mm, vaan 2505 mm. Sitten:

AC = √2505 2 + √800 2 = 2629 mm.

Siksi tämä kaappi ei sovellu asennettavaksi tähän huoneeseen. Koska sen nostaminen pystyasentoon voi vahingoittaa sen vartaloa.

Ehkä, kun olemme pohtineet erilaisia ​​tapoja todistaa Pythagoran lause eri tutkijoilla, voimme päätellä, että se on enemmän kuin totta. Nyt voit käyttää saamaasi tietoa päivittäisessä elämässäsi ja olla täysin varma, että kaikki laskelmat eivät ole vain hyödyllisiä, vaan myös oikeita.

Pythagoraan lauseen animoitu todistus on yksi perustavanlaatuinen Euklidisen geometrian lauseita, jotka määrittävät suorakulmaisen kolmion sivujen välisen suhteen. Uskotaan, että sen todisti kreikkalainen matemaatikko Pythagoras, jonka mukaan se on nimetty (on muitakin versioita, erityisesti vaihtoehtoinen mielipide, että tämän lauseen yleismuodossa muotoili Pythagoraan matemaatikko Hippasus).
Lause sanoo:

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa.

Osoittaa kolmion hypotenuusan pituutta c, ja jalkojen pituudet kuten a ja b, saamme seuraavan kaavan:

Siten Pythagoraan lause muodostaa suhteen, jonka avulla voit määrittää suorakulmaisen kolmion sivun, kun tiedät kahden muun pituudet. Pythagoraan lause on kosinilauseen erikoistapaus, joka määrittää mielivaltaisen kolmion sivujen välisen suhteen.
Käänteinen väite on myös todistettu (kutsutaan myös käänteiseksi Pythagoraan lauseeksi):

Minkä tahansa kolmen positiivisen luvun a, b ja c tapauksessa, että a? + b? = c?, on suorakulmainen kolmio, jonka jalat a ja b ja hypotenuusa c.

Visuaaliset todisteet kolmiosta (3, 4, 5) kirjasta "Chu Pei" 500-200 eKr. Lauseen historia voidaan jakaa neljään osaan: tieto Pythagoran luvuista, tieto suorakulmaisen kolmion sivujen suhteesta, tieto vierekkäisten kulmien suhteesta ja lauseen todistus.
Megaliittiset rakenteet noin 2500 eKr Egyptissä ja Pohjois-Euroopassa, sisältävät suorakulmaisia ​​kolmioita, joiden sivut ovat kokonaislukuja. Bartel Leendert van der Waerden arveli, että tuolloin Pythagoran luvut löydettiin algebrallisesti.
Kirjoitettu vuosina 2000-1876 eKr Keski-Egyptin valtakunnan papyrus Berliini 6619 sisältää ongelman, jonka ratkaisu on Pythagoraan luvut.
Hammurabi Suuren hallituskaudella, Babylonian taulu Plimpton 322, kirjoitettu vuosina 1790–1750 eKr. sisältää monia Pythagoraan lukuihin läheisesti liittyviä merkintöjä.
Budhayana-sutroissa, jotka on eri versioiden mukaan päivätty 8. tai toiselle vuosisadalle eKr. Intiassa, sisältää algebrallisesti johdetut Pythagoraan luvut, Pythagoraan lauseen muotoilun ja geometrisen todisteen painuvasta suorakulmaisesta kolmiosta.
Apastamba-sutrat (n. 600 eKr.) tarjoavat Pythagoraan lauseen numeerisen todisteen pinta-alalaskelmien avulla. Van der Waerden uskoo, että se perustui edeltäjiensä perinteisiin. Albert Burkon mukaan tämä on alkuperäinen todistus lauseesta ja hän olettaa Pythagoran vierailevan arakonien luona ja kopioineen sen.
Pythagoras, jonka elinvuodet ilmoitetaan yleensä 569 - 475 eKr. käyttää algebrallisia menetelmiä Pythagoraan lukujen laskemiseen Proklovin Eukleideen kommentin mukaan. Proclus kuitenkin eli vuosina 410-485 jKr. Thomas Giesen mukaan lauseen kirjoittajuudesta ei ole viitteitä viiteen vuosisataan Pythagoraan jälkeen. Kuitenkin, kun kirjoittajat, kuten Plutarch tai Cicero, antavat lauseen Pythagoraan syyksi, he tekevät sen ikään kuin kirjoittaja olisi laajalti tunnettu ja kiistaton.
Noin 400 eaa Prokloksen mukaan Platon antoi menetelmän Pythagoraan lukujen laskemiseen yhdistäen algebran ja geometrian. Noin 300 eKr Alkuja Euclid, meillä on vanhin aksiomaattinen todiste, joka on säilynyt tähän päivään asti.
Kirjoitettu jossain 500 eaa. välillä ja 200 eKr., kiinalainen matemaattinen kirja "Chu Pei" (????), antaa visuaalisen todisteen Pythagoraan lauseesta, jota Kiinassa kutsutaan gugu (????) -lauseeksi, kolmiolle, jossa on sivut (3). , 4, 5). Han-dynastian hallituskaudella vuodesta 202 eKr ennen vuotta 220 jKr Pythagoraan lukuja esiintyy matematiikan taiteen yhdeksässä osassa, samoin kuin suorakulmaiset kolmiot.
Lauseen käyttö kirjattiin ensimmäisen kerran Kiinassa, jossa se tunnetaan nimellä gugu (????) -lause, ja Intiassa, jossa se tunnetaan Baskarin lauseena.
On väitetty, että Pythagoraan lause löydettiin kerran tai monta kertaa. Boyer (1991) uskoo, että Shulba Sutran tieto saattaa olla Mesopotamialaista alkuperää.
Algebrallinen todiste
Neliöt muodostetaan neljästä suorakulmaisesta kolmiosta. Pythagoraan lauseen todisteita tunnetaan yli sata. Tässä on olemassaolon lauseeseen perustuva todiste kuvion alueelle:

Aseta neljä identtistä suorakulmaista kolmiota kuvan osoittamalla tavalla.
Nelikulma sivuilla c on neliö, koska kahden terävän kulman summa, taittamaton kulma on.
Koko kuvion pinta-ala on toisaalta neliön pinta-ala, jonka sivut ovat "a + b", ja toisaalta neljän kolmion ja sisemmän neliön pinta-alojen summa.

Mikä on todistettava.
Kolmioiden samankaltaisuuden perusteella
Käytä samanlaisia ​​kolmioita. Päästää ABC On suorakulmainen kolmio, jossa kulma C suoraan kuvan osoittamalla tavalla. Piirretään korkeus pisteestä C, ja soita H sivun leikkauspiste AB. Muodostuu kolmio ACH kuin kolmio ABC, koska ne ovat molemmat suorakaiteen muotoisia (korkeuden määritelmän mukaan) ja niillä on yhteinen kulma A, ilmeisesti kolmas kulma on sama myös näissä kolmioissa. Samoin mirkuyuchy, kolmio CBH myös kuin kolmio ABC. Kolmioiden samankaltaisuudesta: Jos

Tämä voidaan kirjoittaa näin

Jos lisäämme nämä kaksi yhtäläisyyttä, saamme

HB + c kertaa AH = c kertaa (HB + AH) = c ^ 2,! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Toisin sanoen Pythagoraan lause:

Eukleideen todiste
Eukleideen todistus euklidisissa "periaatteissa", Pythagoraan lauseessa on todistettu suuntaviivamenetelmällä. Päästää A, B, C suorakulmaisen kolmion kärjet, suorakulmainen A. Pudota kohtisuora pisteestä A hypotenuusan vastakkaiselle puolelle hypotenuusalle rakennetussa neliössä. Viiva jakaa neliön kahteen suorakulmioon, joista kummankin pinta-ala on sama kuin jalkoihin rakennetuilla neliöillä. Todistuksen pääajatuksena on, että ylemmät neliöt muuttuvat saman alueen suunnikasiksi, ja sitten ne palaavat ja muuttuvat alemmassa neliössä suorakulmioiksi ja uudelleen samalla pinta-alalla.

Piirretään segmentit CF ja ILMOITUS, saamme kolmioita BCF ja BDA.
Kulmat OHJAAMO ja LAUKKU- suorat viivat; vastaavasti pistettä C, A ja G Ovat kollineaarisia. Samalla tavalla B, A ja H.
Kulmat CBD ja FBA- molemmat suorat, sitten kulma ABD yhtä suuri kuin kulma FBC, koska molemmat ovat suoran kulman ja kulman summa ABC.
Kolmio ABD ja FBC molemmilla puolilla ja niiden välisessä kulmassa.
Pisteiden jälkeen A, K ja L- kollineaarinen, suorakulmion BDLK pinta-ala on yhtä suuri kuin kaksi kolmion aluetta ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Samoin saamme CKLE = ACIH = AC 2
Yksi sivualue CBDE yhtä suuri kuin suorakulmioiden pinta-alojen summa BDLK ja CKLE, ja toisaalta neliön pinta-ala eKr 2, tai AB 2 + AC 2 = eKr. 2.

Differentiaalien käyttö
Differentiaalien käyttö. Pythagoraan lauseeseen voidaan päätyä tarkastelemalla sivuvahvistuksen vaikutusta hypotenuusan suuruuteen oikeanpuoleisen kuvan mukaisesti ja käyttämällä pientä laskelmaa.
Sivun kasvun seurauksena a, samankaltaisia ​​kolmioita äärettömän pienillä lisäyksillä

Integrointi saamme

Jos a= 0 sitten c = b, siis "vakio" on b 2. Sitten

Kuten näet, neliöt saadaan lisäysten ja sivujen välisestä suhteesta johtuen, kun taas summa on tulos sivujen lisäyksien riippumattomasta osuudesta, joka ei ole ilmeistä geometrisista todisteista. Näissä yhtälöissä da ja DC- vastaavasti äärettömän pienet sivut a ja c. Mutta niiden sijaan käytämme? a ja? c, niin suhteen raja, jos ne pyrkivät nollaan, on da / DC, johdannainen ja on myös yhtä suuri kuin c / a, kolmioiden sivujen pituuksien suhde, tuloksena saadaan differentiaaliyhtälö.
Ortogonaalisen vektorijärjestelmän tapauksessa yhtälö pätee, jota kutsutaan myös Pythagoraan lauseeksi:

Jos - Tämä on vektorin projektio koordinaattiakseleille, tämä kaava osuu yhteen euklidisen etäisyyden kanssa ja tarkoittaa, että vektorin pituus on yhtä suuri kuin sen komponenttien neliösumman neliöjuuri.
Tämän yhtälön analogia äärettömän vektorijärjestelmän tapauksessa kutsutaan Parsevalin yhtälöksi.

Pythagoraan lause

Todiste

Tällä hetkellä tieteelliseen kirjallisuuteen on tallennettu 367 todistetta tästä lauseesta. Todennäköisesti Pythagoraan lause on ainoa lause, jolla on niin vaikuttava määrä todisteita. Tämä vaihtelu voidaan selittää vain geometrian lauseen perustavanlaatuisella merkityksellä.
Tietenkin käsitteellisesti ne kaikki voidaan jakaa pieneen määrään luokkia. Tunnetuimpia niistä ovat: todistukset aluemenetelmällä, aksiomaattiset ja eksoottiset todistukset (esimerkiksi differentiaaliyhtälöitä käyttäen).

Samanlaisten kolmioiden kautta

Seuraava algebrallisen formuloinnin todistus on yksinkertaisin suoraan aksioomista rakennetuista todisteista. Erityisesti se ei käytä hahmon alueen käsitettä.
Olkoon ABC suorakulmainen kolmio, jonka kulma on C. Piirrä C:stä korkeus ja merkitse sen kanta H:lla. Kolmio ACH on samanlainen kuin kolmio ABC kahdessa kulmassa.
Samoin kolmio CBH on samanlainen kuin ABC. Esittelyssä merkintä

saamme

Mikä on vastaava

Lisäämällä saamme

tai

Alueiden todisteet

Alla olevat todistukset, huolimatta niiden näennäisestä yksinkertaisuudesta, eivät ole ollenkaan niin yksinkertaisia. Kaikki käyttävät pinta-alan ominaisuuksia, joiden todistaminen on vaikeampaa kuin itse Pythagoraan lauseen todistaminen.

Todiste tasa-arvoisesta täydentävyydestä

Todisteet hajallaan

Esimerkki yhdestä sellaisesta todistuksesta on esitetty oikealla olevassa piirustuksessa, jossa hypotenuusalle rakennettu neliö muunnetaan permutaatiolla kahdeksi jaloille rakennetuksi neliöksi.

Eukleideen todiste

Todiste Leonardo da Vincistä

Todistuksen pääelementit ovat symmetria ja liike.

Tarkastellaan piirustusta, kuten symmetriasta voidaan nähdä, jana CI leikkaa neliön ABHJ kahteen identtiseen osaan (koska kolmiot ABC ja JHI ovat rakenteeltaan samanlaisia). Kiertämällä sitä 90 astetta vastapäivään näemme, että varjostetut luvut CAJI ja GDAB ovat yhtä suuret. Nyt on selvää, että varjostetun hahmon pinta-ala on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alan puolikkaat ja alkuperäisen kolmion pinta-ala. Toisaalta se on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-alasta plus alkuperäisen kolmion pinta-ala. Todistuksen viimeinen vaihe jätetään lukijalle.

PYTHAGORUS-TEOREEMIN mielenkiintoisimmat todisteet

Pythagoraan lause on yksi euklidisen geometrian peruslauseista, joka määrittää suorakulmaisen kolmion sivujen välisen suhteen. c2 = a2 + b2 On monia tapoja todistaa tämä lause, mutta valitsimme mielenkiintoisimman ...

Morsiantuoli Kuvassa jalkoihin rakennetut neliöt on sijoitettu portaittain vierekkäin. Tämä luku, joka löytyy todisteista jo 800-luvulta jKr. eli intiaanit kutsuivat "morsiamen tuolia". Tapa muodostaa neliö, jonka sivu on yhtä suuri kuin hypotenuusa, on selkeä piirroksesta. Kahden jaloille rakennetun neliön ja hypotenuusalle rakennetun neliön yhteinen osa on epäsäännöllinen varjostettu viisikulmio 5. Kun siihen liitetään kolmiot 1 ja 2, saadaan molemmat jalkoihin rakennetut neliöt; jos korvaamme kolmiot 1 ja 2 yhtäläisillä kolmioilla 3 ja 4, saadaan hypotenuusalle rakennettu neliö. Alla olevissa kuvissa on kaksi eri sijaintia lähellä ensimmäisessä kuvassa annettua sijaintia.

Todiste intialaisesta matemaatikko Bhaskarista Tarkastellaan kuvassa näkyvää neliötä. Neliön sivu on yhtä suuri kuin b, neliön päälle asetetaan 4 alkuperäistä kolmiota, joissa on jalat a ja c, kuten kuvassa. Keskellä olevan pienen neliön sivu on c - a, jolloin: b2 = 4 * a * c / 2 + (ca) 2 = = 2 * a * c + c2 - 2 * a * c + a2 = = a2 + c2

Pythagoraan lauseen yksinkertaisin todiste. Harkitse kuvassa näkyvää neliötä. Neliön sivu on a + c. Yhdessä tapauksessa (vasemmalla) neliö on jaettu neliöön, jonka sivu on b ja neljä suorakulmaista kolmiota, joissa on jalat a ja c. Toisessa tapauksessa (oikealla) neliö on jaettu kahteen neliöön, joiden sivut ovat a ja c, ja neljään suorakulmaiseen kolmioon, joiden jalat a ja c. Siten huomaamme, että neliön, jonka sivu on b, pinta-ala on yhtä suuri kuin sivujen a ja c neliöiden pinta-alojen summa.

Todistaminen samankaltaisten kolmioiden läpi Olkoon ABC suorakulmainen kolmio, jonka kulma on C. Piirrä korkeus C:stä ja merkitse sen kanta H:llä. Kolmio ACH on samanlainen kuin kolmio ABC kahdessa kulmassa. Samoin kolmio CBH on samanlainen kuin ABC. Esittelemällä merkinnän saamme Mikä on ekvivalentti, ja lisäämällä saamme jommankumman

Hawkinsin todistus Tässä on vielä yksi todistus, joka on luonteeltaan laskennallinen, mutta on hyvin erilainen kuin kaikki edelliset. Sen julkaisi englantilainen Hawkins vuonna 1909; onko se tiedetty ennen, on vaikea sanoa. Kierrä suorakulmaista kolmiota ABC, jossa on oikea kulma C, 90° siten, että se ottaa aseman A "CB". Jatketaan hypotenuusa A "B" pisteen A yli "kunnes se leikkaa suoran AB pisteessä D. Jakso B" D on kolmion B "AB" korkeus. Tarkastellaan nyt varjostettua nelikulmiota A" AB "B. Se voi olla jaettu kahteen tasakylkiseen kolmioon CAA" ja SVB "(tai kahdeksi kolmioksi A" B "A ja A" B "B). SCAA" = b² / 2 SCBB "= a² / 2 SA" AB "B = (a² + b²) / 2 Kolmioilla A" B " A ja A "B" B on yhteinen kanta c ja korkeudet DA ja DB, joten: SA "AB" B = c * DA / 2 + c * DB / 2 = c (DA + DB ) / 2 = c² / 2 Vertaamalla kahta pinta-alalle saatua lauseketta saadaan: a ² + b ² = c ² Lause on todistettu.

Woldheimin todistus Tämä todistus on luonteeltaan laskennallinen. Lauseen todistamiseksi ensimmäistä lukua käyttämällä riittää, että ilmaistaan ​​puolisuunnikkaan pinta-ala kahdella tavalla. Strapetsit = (a + b) ² / 2 Strapeziumit = a²b² + c² / 2 Yhtälöimällä oikeanpuoleiset sivut saadaan: a² + b² = c² Lause on todistettu.