के बीच विभिन्न अभिव्यक्तियाँ, जिन्हें बीजगणित में माना जाता है, एकपदी के योग एक महत्वपूर्ण स्थान रखते हैं। यहां ऐसी अभिव्यक्तियों के उदाहरण दिए गए हैं:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

एकपदी का योग बहुपद कहलाता है। बहुपद के पदों को बहुपद के पद कहा जाता है। एकपद को बहुपद के रूप में भी वर्गीकृत किया जाता है, एकपदी को एक सदस्य से युक्त बहुपद माना जाता है।

उदाहरण के लिए, एक बहुपद
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
सरलीकृत किया जा सकता है.

आइए सभी पदों को एकपदी के रूप में प्रस्तुत करें मानक दृश्य:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8बी^5 - 14बी^5 + 3बी^2 -8बी -3बी^2 + 16\)

आइए हम परिणामी बहुपद में समान पद प्रस्तुत करें:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी पद मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई भी समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

के लिए बहुपद की डिग्रीएक मानक रूप अपने सदस्यों की उच्चतम शक्तियाँ लेता है। इस प्रकार, द्विपद \(12a^2b - 7b\) की तीसरी डिग्री है, और त्रिपद \(2b^2 -7b + 6\) की दूसरी डिग्री है।

आमतौर पर, एक चर वाले मानक रूप के बहुपदों के पदों को उसकी डिग्री के घातांक के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

कई बहुपदों के योग को मानक रूप के बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी बहुपद के पदों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में बंद करना पड़ता है। चूँकि ब्रैकेटिंग ओपनिंग ब्रैकेट्स का व्युत्क्रम परिवर्तन है, इसलिए इसे तैयार करना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि कोष्ठक से पहले "+" चिन्ह लगाया जाता है, तो कोष्ठक में दिए गए शब्द उन्हीं चिन्हों के साथ लिखे जाते हैं।

यदि कोष्ठक के पहले "-" चिन्ह लगाया जाए तो कोष्ठक में दिए गए शब्द विपरीत चिन्ह के साथ लिखे जाते हैं।

एकपदी और बहुपद के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)।

गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके, आप एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल को बहुपद में बदल (सरलीकृत) कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

एकपदी और बहुपद का गुणनफल इस एकपदी और बहुपद के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

किसी एकपदी को बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको उस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा।

किसी योग से गुणा करने के लिए हम पहले ही कई बार इस नियम का उपयोग कर चुके हैं।

बहुपदों का गुणनफल. दो बहुपदों के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)।

सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का प्रयोग किया जाता है.

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र. वर्गों का योग, अंतर और वर्गों का अंतर

आपको बीजगणितीय परिवर्तनों में कुछ अभिव्यक्तियों से दूसरों की तुलना में अधिक बार निपटना पड़ता है। शायद सबसे आम अभिव्यक्तियाँ हैं \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) और \(a^2 - b^2 \), यानी योग का वर्ग, का वर्ग वर्गों का अंतर और अंतर. आपने देखा कि इन अभिव्यक्तियों के नाम अधूरे प्रतीत होते हैं, उदाहरण के लिए, \((a + b)^2 \) निःसंदेह, केवल योग का वर्ग नहीं है, बल्कि a और b के योग का वर्ग है . हालाँकि, a और b के योग का वर्ग बहुत बार नहीं आता है, एक नियम के रूप में, अक्षरों a और b के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल, अभिव्यक्तियाँ होती हैं।

व्यंजकों \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) को मानक रूप के बहुपदों में आसानी से परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही ऐसे कार्य का सामना कर चुके हैं; :
\((ए + बी)^2 = (ए + बी)(ए + बी) = ए^2 + एबी + बीए + बी^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

परिणामी पहचानों को याद रखना और मध्यवर्ती गणनाओं के बिना उन्हें लागू करना उपयोगी है। संक्षिप्त मौखिक सूत्रीकरण इसमें सहायता करते हैं।

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - योग का वर्ग योग के बराबरवर्ग और उत्पाद को दोगुना करें।

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - अंतर का वर्ग दोगुना उत्पाद के बिना वर्गों के योग के बराबर है।

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - वर्गों का अंतर अंतर और योग के गुणनफल के बराबर है।

ये तीन पहचानें किसी को परिवर्तनों में अपने बाएं हाथ के हिस्सों को दाएं हाथ के हिस्सों से बदलने की अनुमति देती हैं और इसके विपरीत - दाएं हाथ के हिस्सों को बाएं हाथ के हिस्सों से बदलने की अनुमति देती हैं। सबसे कठिन काम संबंधित अभिव्यक्तियों को देखना और यह समझना है कि उनमें चर a और b को कैसे प्रतिस्थापित किया जाता है। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कई उदाहरण देखें।

बीजगणितीय बहुपदों की गणना करते समय, गणना को सरल बनाने के लिए, उपयोग करें संक्षिप्त गुणन सूत्र . ऐसे कुल सात सूत्र हैं। आपको उन सभी को दिल से जानना होगा।

यह भी याद रखना चाहिए कि सूत्रों में a और b के स्थान पर या तो संख्याएँ या कोई अन्य बीजगणितीय बहुपद हो सकते हैं।

वर्गों का अंतर

दो संख्याओं के वर्गों के बीच का अंतर इन संख्याओं और उनके योग के बीच के अंतर के गुणनफल के बराबर होता है।

ए 2 - बी 2 = (ए - बी)(ए + बी)

योग का वर्ग

दो संख्याओं के योग का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के गुणनफल के दोगुने और दूसरी संख्या के योग के गुणनफल के दोगुने के बराबर होता है।

(ए + बी) 2 = ए 2 + 2 एबी + बी 2

कृपया ध्यान दें कि इस संक्षिप्त गुणन सूत्र के साथ यह आसान है वर्ग खोजें बड़ी संख्या कैलकुलेटर या लंबे गुणन का उपयोग किए बिना। आइए एक उदाहरण से समझाएं:

112 2 खोजें।

आइए 112 को उन संख्याओं के योग में विघटित करें जिनके वर्ग हमें अच्छी तरह से याद हैं।2
112 = 100 + 1

कोष्ठक में संख्याओं का योग लिखें और कोष्ठक के ऊपर एक वर्ग रखें।
112 2 = (100 + 12) 2

आइए योग के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करें:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

याद रखें कि वर्ग योग सूत्र किसी भी बीजगणितीय बहुपद के लिए भी मान्य है।

(8ए + सी) 2 = 64ए 2 + 16एसी + सी 2

चेतावनी!!!

(ए + बी) 2 ए 2 + बी 2 के बराबर नहीं

वर्गाकार अंतर

दो संख्याओं के अंतर का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है जिसमें पहली और दूसरी के गुणनफल का दोगुना और दूसरी संख्या का वर्ग जोड़ होता है।

(ए - बी) 2 = ए 2 - 2एबी + बी 2

यह एक अत्यंत उपयोगी परिवर्तन भी याद रखने योग्य है:

(ए - बी) 2 = (बी - ए) 2
उपरोक्त सूत्र को केवल कोष्ठक खोलकर सिद्ध किया जा सकता है:

(ए - बी) 2 = ए 2 - 2एबी + बी 2 = बी 2 - 2एबी + ए 2 = (बी - ए) 2

योग का घन

दो संख्याओं के योग का घन पहली संख्या के घन के बराबर होता है जिसमें पहली और दूसरी संख्या के वर्ग के गुणनफल का तिगुना होता है और दूसरी संख्या के वर्ग के गुणनफल का तिगुना होता है और दूसरे के घन का योग होता है .

(ए + बी) 3 = ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3

इस "डरावने" दिखने वाले फॉर्मूले को याद रखना काफी आसान है।

जानें कि शुरुआत में 3 आता है।

बीच के दो बहुपदों का गुणांक 3 है।

मेंयाद रखें कि शून्यवीं घात की कोई भी संख्या 1 होती है। (a 0 = 1, b 0 = 1)। यह नोटिस करना आसान है कि सूत्र में डिग्री ए में कमी और डिग्री बी में वृद्धि हुई है। आप इसे सत्यापित कर सकते हैं:
(ए + बी) 3 = ए 3 बी 0 + 3ए 2 बी 1 + 3ए 1 बी 2 + बी 3 ए 0 = ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3

चेतावनी!!!

(ए + बी) 3 ए 3 + बी 3 के बराबर नहीं

अंतर घन

दो संख्याओं के अंतर का घन पहली संख्या के घन के बराबर होता है जिसमें पहली और दूसरी संख्या के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना घटाकर पहली संख्या और दूसरे के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना जोड़कर घन के बराबर होता है दूसरे का.

(ए - बी) 3 = ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3

इस सूत्र को पिछले सूत्र की तरह ही याद किया जाता है, लेकिन केवल "+" और "-" चिह्नों के विकल्प को ध्यान में रखते हुए। पहला पद a 3 के पहले "+" आता है (गणित के नियमों के अनुसार, हम इसे नहीं लिखते हैं)। इसका मतलब यह है कि अगला पद "-" से पहले आएगा, फिर "+" आदि से।

(ए - बी) 3 = + एक 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3 = ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3

घनों का योग ( योग घन के साथ भ्रमित न हों!)

घनों का योग दो संख्याओं के योग और अंतर के आंशिक वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।

ए 3 + बी 3 = (ए + बी)(ए 2 - एबी + बी 2)

घनों का योग दो कोष्ठकों का गुणनफल है।

पहला कोष्ठक दो संख्याओं का योग है।

दूसरा कोष्ठक संख्याओं के अंतर का अपूर्ण वर्ग है। अंतर का अपूर्ण वर्ग अभिव्यक्ति है:

ए 2 - एबी + बी 2
यह वर्ग अधूरा है, क्योंकि मध्य में दोहरे गुणनफल के स्थान पर संख्याओं का सामान्य गुणनफल होता है।

घनों का अंतर (घन के अंतर से भ्रमित न हों!!!)

घनों का अंतर दो संख्याओं के अंतर और योग के आंशिक वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।

ए 3 - बी 3 = (ए - बी)(ए 2 + एबी + बी 2)

संकेत लिखते समय सावधान रहें।यह याद रखना चाहिए कि ऊपर दिए गए सभी फॉर्मूलों का प्रयोग दाएँ से बाएँ भी किया जाता है।

संक्षिप्त गुणन सूत्रों को याद करने का एक आसान तरीका, या... पास्कल का त्रिकोण।

संक्षिप्त गुणन सूत्रों को याद करने में परेशानी हो रही है? कारण की मदद करना आसान है. आपको बस यह याद रखने की ज़रूरत है कि इसे कैसे दर्शाया गया है आसान चीज, पास्कल के त्रिकोण की तरह। तब आपको ये सूत्र हमेशा और हर जगह याद रहेंगे, या यूँ कहें कि याद नहीं रहेंगे, बल्कि बहाल हो जायेंगे।

पास्कल का त्रिभुज क्या है? इस त्रिभुज में ऐसे गुणांक होते हैं जो किसी द्विपद के किसी भी अंश को बहुपद में विस्तारित करने में प्रवेश करते हैं।

आइए विस्तार करें, उदाहरण के लिए:

इस प्रविष्टि में यह याद रखना आसान है कि पहली संख्या का घन आरंभ में है, और दूसरी संख्या का घन अंत में है। लेकिन बीच में क्या है यह याद रखना मुश्किल है। और यहां तक ​​\u200b\u200bकि तथ्य यह है कि प्रत्येक बाद के कार्यकाल में एक कारक की डिग्री हर समय कम हो जाती है, और दूसरे की वृद्धि होती है - गुणांक और संकेतों को याद रखने के साथ स्थिति को नोटिस करना और याद रखना अधिक कठिन है (चाहे यह प्लस या माइनस हो)। ?).

तो सबसे पहले, संभावनाएँ। उन्हें याद रखने की कोई ज़रूरत नहीं है! हम जल्दी से नोटबुक के हाशिये पर पास्कल का त्रिकोण बनाते हैं, और यहां वे हैं - गुणांक, पहले से ही हमारे सामने। हम तीन इकाइयों से चित्र बनाना शुरू करते हैं, एक ऊपर, दो नीचे, दाईं ओर और बाईं ओर - हाँ, यह पहले से ही एक त्रिकोण है:

पहली पंक्ति, एक 1 के साथ, शून्य है। फिर पहला, दूसरा, तीसरा इत्यादि आता है। दूसरी पंक्ति प्राप्त करने के लिए, आपको फिर से किनारों को निर्दिष्ट करना होगा, और केंद्र में इसके ऊपर की दो संख्याओं को जोड़कर प्राप्त संख्या को लिखना होगा:

हम तीसरी पंक्ति लिखते हैं: फिर से इकाई के किनारों के साथ, और फिर, नई पंक्ति में अगला नंबर प्राप्त करने के लिए, हम इसके ऊपर की संख्याओं को पिछली पंक्ति में जोड़ते हैं:

जैसा कि आपने अनुमान लगाया होगा, हमें प्रत्येक पंक्ति में एक द्विपद के बहुपद में विस्तार से गुणांक मिलते हैं:

खैर, संकेतों को याद रखना और भी आसान है: पहला विस्तारित द्विपद के समान है (हम योग का विस्तार करते हैं - इसका मतलब है प्लस, अंतर - इसका मतलब है शून्य), और फिर संकेत वैकल्पिक होते हैं!

ये कितनी काम की चीज़ है - पास्कल का त्रिकोण. इसका इस्तेमाल करें!

बीजगणित पाठ्यक्रम में अध्ययन किए जाने वाले पहले विषयों में से एक संक्षिप्त गुणन सूत्र है। ग्रेड 7 में, उनका उपयोग सबसे सरल स्थितियों में किया जाता है, जहां आपको एक अभिव्यक्ति में सूत्रों में से एक को पहचानने और एक बहुपद का गुणनखंड करने की आवश्यकता होती है या, इसके विपरीत, किसी योग या अंतर को जल्दी से वर्गाकार या घन करना होता है। भविष्य में, एफएसयू का उपयोग असमानताओं और समीकरणों को तुरंत हल करने और यहां तक ​​कि कैलकुलेटर के बिना कुछ संख्यात्मक अभिव्यक्तियों की गणना करने के लिए भी किया जाता है।

सूत्रों की सूची कैसी दिखती है?

ऐसे 7 बुनियादी सूत्र हैं जो आपको कोष्ठक में बहुपदों को शीघ्रता से गुणा करने की अनुमति देते हैं।

कभी-कभी इस सूची में चौथी डिग्री का विस्तार भी शामिल होता है, जो प्रस्तुत पहचानों से अनुसरण करता है और इसका रूप है:

a⁴ — b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

वर्गों के अंतर को छोड़कर सभी समानताओं में एक जोड़ा (योग-अंतर) होता है। वर्गों के योग का सूत्र नहीं दिया गया है.

शेष समानताएँ याद रखना आसान है:

यह याद रखना चाहिए कि एफएसयू किसी भी मामले में और किसी भी मूल्य के लिए काम करते हैं एऔर बी: ये या तो मनमानी संख्याएँ या पूर्णांक अभिव्यक्तियाँ हो सकती हैं।

ऐसी स्थिति में जहां आपको अचानक याद नहीं आ रहा है कि सूत्र में किसी विशेष शब्द के सामने कौन सा चिह्न है, आप कोष्ठक खोल सकते हैं और सूत्र का उपयोग करने के बाद वही परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि अंतर घन एफएसयू को लागू करते समय कोई समस्या उत्पन्न होती है, तो आपको मूल अभिव्यक्ति को लिखना होगा और एक-एक करके गुणा करें:

(ए - बी)³ = (ए - बी)(ए - बी)(ए - बी) = (ए² - एबी - एबी + बी²)(ए - बी) = ए³ - ए²बी - ए²बी + एबी² - ए²बी + एबी² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

परिणामस्वरूप, सभी समान पदों को लाने के बाद, तालिका में जैसा ही बहुपद प्राप्त हुआ। अन्य सभी एफएसयू के साथ भी यही हेरफेर किया जा सकता है।

समीकरणों को हल करने के लिए एफएसयू का अनुप्रयोग

उदाहरण के लिए, आपको एक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है घात 3 का बहुपद:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

में स्कूल के पाठ्यक्रमघन समीकरणों को हल करने के लिए सार्वभौमिक तकनीकों पर विचार नहीं किया जाता है, और ऐसे कार्यों को अक्सर अधिक हल किया जाता है सरल तरीके(उदाहरण के लिए, गुणनखंडन द्वारा)। यदि हम देखते हैं कि पहचान का बायां भाग किसी योग के घन जैसा दिखता है, तो समीकरण को सरल रूप में लिखा जा सकता है:

(x + 1)³ = 0.

ऐसे समीकरण की जड़ की गणना मौखिक रूप से की जाती है: एक्स = -1.

असमानताओं को इसी प्रकार हल किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप असमानता को हल कर सकते हैं x³ – 6x² + 9x > 0.

सबसे पहले, आपको अभिव्यक्ति को कारक बनाने की आवश्यकता है। सबसे पहले आपको ब्रैकेट लगाने की आवश्यकता है एक्स. इसके बाद ध्यान दें कि कोष्ठक में दिए गए भाव को अंतर के वर्ग में बदला जा सकता है।

फिर आपको उन बिंदुओं को ढूंढना होगा जिन पर अभिव्यक्ति शून्य मान लेती है और उन्हें संख्या रेखा पर चिह्नित करती है। में विशिष्ट मामलाये 0 और 3 होंगे। फिर, अंतराल विधि का उपयोग करके निर्धारित करें कि किस अंतराल में x असमानता की स्थिति को संतुष्ट करेगा।

प्रदर्शन करते समय एफएसयू उपयोगी हो सकते हैं कैलकुलेटर की सहायता के बिना कुछ गणनाएँ:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

इसके अतिरिक्त, व्यंजकों का गुणनखंडन करके, आप आसानी से भिन्नों को कम कर सकते हैं और विभिन्न बीजगणितीय व्यंजकों को सरल बना सकते हैं।

ग्रेड 7-8 के लिए समस्याओं के उदाहरण

अंत में, हम बीजगणित में संक्षिप्त गुणन सूत्रों के उपयोग पर दो समस्याओं का विश्लेषण और समाधान करेंगे।

कार्य 1. अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

(एम + 3)² + (3एम + 1)(3एम - 1) - 2एम (5एम + 3)।

समाधान। कार्य की स्थिति के लिए अभिव्यक्ति को सरल बनाना आवश्यक है, अर्थात कोष्ठक खोलना, गुणन और घातांक की संक्रियाएँ करना, और सभी समान पदों को लाना। आइए हम अभिव्यक्ति को सशर्त रूप से तीन भागों में विभाजित करें (शब्दों की संख्या के अनुसार) और जहां संभव हो, एफएसयू का उपयोग करके कोष्ठक को एक-एक करके खोलें।

• (एम + 3)² = एम² + 6एम + 9(योग वर्ग);
• (3मी + 1)(3मी - 1) = 9मी² – 1(वर्गों का अंतर);
• अंतिम कार्यकाल में आपको गुणा करना होगा: 2 मी (5 मी + 3) = 10 मी² + 6 मी.

आइए प्राप्त परिणामों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करें:

(एम² + 6एम + 9) + (9एम² – 1) - (10एम² + 6एम).

संकेतों को ध्यान में रखते हुए, हम कोष्ठक खोलेंगे और समान शब्द प्रस्तुत करेंगे:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² – 6m = 8.

समस्या 2. अज्ञात k से 5वीं घात वाले समीकरण को हल करें:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.

समाधान। इस मामले में, एफएसयू और ग्रुपिंग विधि का उपयोग करना आवश्यक है। अंतिम और अंतिम पदों को पहचान के दाईं ओर ले जाना आवश्यक है।

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

उभयनिष्ठ कारक दाएँ और बाएँ पक्षों से प्राप्त होता है (के² + 4के +4):

k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

सब कुछ समीकरण के बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है ताकि 0 दाईं ओर बना रहे:

k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

फिर से सामान्य कारक को निकालना आवश्यक है:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

प्राप्त प्रथम कारक से हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं के. संक्षिप्त गुणन सूत्र के अनुसार, दूसरा गुणनखंड समान रूप से बराबर होगा (के+2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

वर्गों के अंतर सूत्र का उपयोग करना:

के (के - 1)(के + 1)(के + 2)² = 0.

चूँकि कोई गुणनफल 0 के बराबर होता है यदि उसका कम से कम एक गुणनखंड शून्य हो, तो समीकरण के सभी मूल ज्ञात करना कठिन नहीं है:

1. के = 0;
2. के - 1 = 0; के = 1;
3. के + 1 = 0; के = -1;
4. (के + 2)² = 0; के = -2.

उदाहरणात्मक उदाहरणों के आधार पर, आप समझ सकते हैं कि सूत्रों को कैसे याद रखें, उनके अंतर, और एफएसयू का उपयोग करके कई व्यावहारिक समस्याओं को भी हल करें। कार्य सरल हैं और उन्हें पूरा करने में कोई कठिनाई नहीं होनी चाहिए।

>>गणित: संक्षिप्त गुणन सूत्र

संक्षिप्त गुणन सूत्र

ऐसे कई मामले हैं जहां एक बहुपद को दूसरे से गुणा करने पर एक संक्षिप्त, याद रखने में आसान परिणाम प्राप्त होता है। इन मामलों में बेहतर होगा कि हर बार एक से गुणा न किया जाए बहुपददूसरे पर, और तैयार परिणाम का उपयोग करें। आइए इन मामलों पर विचार करें.

1. वर्ग योग और वर्ग अंतर:

उदाहरण 1.अभिव्यक्ति में कोष्ठक का विस्तार करें:

ए) (जेडएक्स + 2) 2;

बी) (5ए 2 - 4बी 3) 2

क) आइए सूत्र (1) का उपयोग करें,इस बात को ध्यान में रखते हुए कि a की भूमिका 3x है, और b की भूमिका संख्या 2 है।
हम पाते हैं:

(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4।

बी) आइए सूत्र का उपयोग करें (2), भूमिका में इसे ध्यान में रखते हुए एखड़ा 5ए 2, और भूमिका में बीखड़ा 4बी 3. हम पाते हैं:

(5ए 2 -4बी 3) 2 = (5ए 2) 2 - 2- 5ए 2 4बी 3 + (4बी 3) 2 = 25ए 4 -40ए 2 बी 3 + 16बी 6।

वर्ग योग या वर्ग अंतर सूत्रों का उपयोग करते समय, इसे ध्यान में रखें
(- ए - बी) 2 = (ए + बी) 2 ;
(बी-ए) 2 = (ए-बी) 2।

यह इस तथ्य से निकलता है कि (- ए) 2 = ए 2.

ध्यान दें कि सूत्र (1) और (2) कुछ गणितीय युक्तियों पर आधारित हैं जो आपको मानसिक गणना करने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए, आप लगभग मौखिक रूप से 1 और 9 पर समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग कर सकते हैं। वास्तव में

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + आई) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - आई) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761।

कभी-कभी आप 2 या 8 पर समाप्त होने वाली संख्या का तुरंत वर्ग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

लेकिन सबसे सुंदर युक्ति में 5 से समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग करना शामिल है।
आइए हम 85 2 के लिए संगत तर्क को आगे बढ़ाएँ।

हमारे पास है:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

हम ध्यान दें कि 85 2 की गणना करने के लिए 8 को 9 से गुणा करना और परिणामी परिणाम के दाईं ओर 25 जोड़ना पर्याप्त था। आप अन्य मामलों में भी ऐसा ही कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 और 25 को दाईं ओर परिणामी संख्या में जोड़ा गया था);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 और दाईं ओर परिणामी संख्या में 25 जोड़ा गया)।

चूँकि हम उबाऊ (पहली नज़र में) सूत्र (1) और (2) से संबंधित विभिन्न जिज्ञासु परिस्थितियों के बारे में बात कर रहे हैं, हम इस बातचीत को निम्नलिखित ज्यामितीय तर्क के साथ पूरक करेंगे। चलो a और b हो सकारात्मक संख्या. a + b भुजा वाले एक वर्ग पर विचार करें और इसके दोनों कोनों में क्रमशः a और b के बराबर भुजाओं वाले वर्ग काट लें (चित्र 4)।

a + b भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल (a + b) 2 के बराबर है। लेकिन हमने इस वर्ग को चार भागों में काटा: एक भुजा a वाला वर्ग (इसका क्षेत्रफल a 2 के बराबर है), भुजा b वाला एक वर्ग (इसका क्षेत्रफल b 2 के बराबर है), भुजा a और b वाले दो आयत (इसका क्षेत्रफल a 2 के बराबर है) ​ऐसा प्रत्येक आयत ab के बराबर है)। इसका अर्थ है (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, यानी हमें सूत्र (1) मिलता है।

द्विपद a + b को द्विपद a - b से गुणा करें। हम पाते हैं:
(ए + बी) (ए - बी) = ए 2 - एबी + बीए - बी 2 = ए 2 - बी 2।
इसलिए

गणित में किसी भी समानता का उपयोग बाएँ से दाएँ के रूप में किया जाता है (अर्थात समानता के बाएँ पक्ष को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है)। दाहिनी ओर), और दाएँ से बाएँ (अर्थात समानता के दाएँ पक्ष को उसके बाएँ पक्ष से बदल दिया जाता है)। यदि सूत्र C) का उपयोग बाएं से दाएं किया जाता है, तो यह आपको उत्पाद (a + b) (a - b) को अंतिम परिणाम a 2 - b 2 से बदलने की अनुमति देता है। एक ही सूत्र का उपयोग दाएँ से बाएँ तक किया जा सकता है, फिर यह आपको वर्गों के अंतर a 2 - b 2 को गुणनफल (a + b) (a - b) से बदलने की अनुमति देता है। गणित में सूत्र (3) को एक विशेष नाम दिया गया है - वर्गों का अंतर।

टिप्पणी। "वर्गों के अंतर" को "अंतर के वर्ग" के साथ भ्रमित न करें। वर्गों का अंतर a 2 - b 2 है, जिसका अर्थ है हम बात कर रहे हैंसूत्र के बारे में (3); अंतर का वर्ग (a- b) 2 है, जिसका अर्थ है कि हम सूत्र (2) के बारे में बात कर रहे हैं। सामान्य भाषा में सूत्र (3) को "दाएँ से बाएँ" इस प्रकार पढ़ा जाता है:

दो संख्याओं (अभिव्यक्तियों) के वर्गों का अंतर इन संख्याओं (अभिव्यक्तियों) के योग और उनके अंतर के गुणनफल के बराबर है,

उदाहरण 2.गुणन करें

(3x- 2y)(3x+ 2y)
समाधान। हमारे पास है:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

उदाहरण 3.द्विपद 16x 4 - 9 को द्विपद के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

समाधान। हमारे पास है: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, जिसका अर्थ है कि दिया गया द्विपद वर्गों का अंतर है, अर्थात। इस पर सूत्र (3) लागू किया जा सकता है, दाएँ से बाएँ पढ़ा जा सकता है। तब हमें मिलता है:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

सूत्र (3), सूत्र (1) और (2) की तरह, गणितीय युक्तियों के लिए उपयोग किया जाता है। देखना:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - आई2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = डी0 + 2) डी0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596।

आइए एक दिलचस्प ज्यामितीय तर्क के साथ वर्गों के अंतर के सूत्र के बारे में बातचीत समाप्त करें। मान लीजिए a और b धनात्मक संख्याएँ हैं, और a > b। a + b और a - b भुजाओं वाले एक आयत पर विचार करें (चित्र 5)। इसका क्षेत्रफल (a + b) (a - b) है। आइए b और a - b भुजाओं वाला एक आयत काटें और इसे शेष भाग पर चिपका दें जैसा कि चित्र 6 में दिखाया गया है। यह स्पष्ट है कि परिणामी आकृति का क्षेत्रफल समान है, अर्थात (a + b) (a - b)। लेकिन ये आंकड़ा हो सकता है
इस तरह बनाएं: भुजा a वाले एक वर्ग से, भुजा b वाला एक वर्ग काट लें (चित्र 6 में यह स्पष्ट रूप से दिखाई देता है)। तो क्षेत्र नया आंकड़ाए 2 - बी 2 के बराबर। तो, (ए + बी) (ए - बी) = ए 2 - बी 2, यानी हमें सूत्र (3) मिला।

3. घनों का अंतर और घनों का योग

द्विपद a - b को त्रिपद a 2 + ab + b 2 से गुणा करें।
हम पाते हैं:
(ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2) = ए ए 2 + ए एबी + ए बी 2 - बी ए 2 - बी एबी -बी बी 2 = ए 3 + ए 2 बी + एबी 2 -ए 2 बी- एबी 2 - बी 3 = ए 3 -बी 3.

वैसे ही

(ए + बी) (ए 2 - एबी + बी 2) = ए 3 + बी 3

(इसे आप खुद जांचें)। इसलिए,

आमतौर पर फॉर्मूला (4) कहा जाता है घनों का अंतर, सूत्र (5) - घनों का योग। आइए सूत्र (4) और (5) का सामान्य भाषा में अनुवाद करने का प्रयास करें। ऐसा करने से पहले, ध्यान दें कि अभिव्यक्ति a 2 + ab + b 2 अभिव्यक्ति a 2 + 2ab + b 2 के समान है, जो सूत्र (1) में दिखाई देती है और (a + b) 2 देती है; अभिव्यक्ति a 2 - ab + b 2, अभिव्यक्ति a 2 - 2ab + b 2 के समान है, जो सूत्र (2) में प्रकट हुआ और (a - b) 2 दिया गया।

(भाषा में) अभिव्यक्ति के इन युग्मों को एक दूसरे से अलग करने के लिए, प्रत्येक अभिव्यक्ति a 2 + 2ab + b 2 और a 2 - 2ab + b 2 को एक पूर्ण वर्ग (योग या अंतर) कहा जाता है, और प्रत्येक अभिव्यक्ति a 2 + ab + b 2 और a 2 - ab + b 2 को अपूर्ण वर्ग (योग या अंतर) कहा जाता है। फिर हमें सूत्र (4) और (5) ("दाएं से बाएं" पढ़ें) का सामान्य भाषा में निम्नलिखित अनुवाद मिलता है:

दो संख्याओं (अभिव्यक्तियों) के घनों का अंतर उनके योग के अपूर्ण वर्ग द्वारा इन संख्याओं (अभिव्यक्तियों) के अंतर के उत्पाद के बराबर है; दो संख्याओं (अभिव्यक्तियों) के घनों का योग इन संख्याओं (अभिव्यक्तियों) के योग और उनके अंतर के अपूर्ण वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।

टिप्पणी। इस अनुच्छेद में प्राप्त सभी सूत्र (1)-(5) बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों में उपयोग किए जाते हैं, केवल पहले मामले में (बाएँ से दाएँ) वे कहते हैं कि (1)-(5) संक्षिप्त गुणन हैं सूत्र, और दूसरे मामले में (दाएं से बाएं) वे कहते हैं कि (1)-(5) गुणनखंडन सूत्र हैं।

उदाहरण 4.गुणन करें (2x - 1)(4x 2 + 2x +1)।

समाधान। चूँकि पहला कारक एकपदी 2x और 1 के बीच का अंतर है, और दूसरा कारक उनके योग का अपूर्ण वर्ग है, हम सूत्र (4) का उपयोग कर सकते हैं। हम पाते हैं:

(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - मैं 3 = 8x 3 - 1.

उदाहरण 5.द्विपद 27a 6 + 8b 3 को बहुपदों के गुणनफल के रूप में निरूपित करें।

समाधान। हमारे पास है: 27ए 6 = (2 के लिए) 3, 8बी 3 = (2बी) 3। इसका मतलब यह है कि दिया गया द्विपद घनों का योग है, यानी इसमें सूत्र 95 लागू किया जा सकता है, दाएं से बाएं पढ़ा जा सकता है। तब हमें मिलता है:

27ए 6 + 8बी 3 = (2 के लिए) 3 + (2बी) 3 = (2 + 2बी के लिए) ((2 के लिए) 2 - 2 2बी के लिए + (2बी) 2) = (2 + 2बी के लिए) (9ए 4 - 6ए 2 बी + 4बी 2).

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ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों

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