എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ. എന്താണ് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം, അത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

പ്രഭാഷണം: "പരിഹാര രീതികൾ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ».

1 . എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളിൽ അറിയപ്പെടാത്ത സമവാക്യങ്ങളെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവയിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് ax = b എന്ന സമവാക്യമാണ്, ഇവിടെ a > 0, a ≠ 1.

1) ബി< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 ന്, ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകതാനതയും റൂട്ട് സിദ്ധാന്തവും ഉപയോഗിച്ച്, സമവാക്യത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഇത് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, b = aс, аx = bс ó x = c അല്ലെങ്കിൽ x = logab എന്ന രൂപത്തിൽ b പ്രതിനിധീകരിക്കണം.

ബീജഗണിത പരിവർത്തനങ്ങൾ വഴിയുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, അവ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു:

1) ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള രീതി;

2) വിലയിരുത്തൽ രീതി;

3) ഗ്രാഫിക് രീതി;

4) പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതി;

5) ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ രീതി;

6) സൂചന - ശക്തി സമവാക്യങ്ങൾ;

7) ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഡെമോൺസ്ട്രേറ്റീവ്.

2 . ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള രീതി.

രീതി അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വത്ത്ഡിഗ്രികൾ: രണ്ട് ഡിഗ്രികൾ തുല്യവും അവയുടെ അടിത്തറയും തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ഘാതകങ്ങൾ തുല്യമാണ്, അതായത്, സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് കുറയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കണം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

1 . 3x = 81;

നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം വലത് വശം 81 = 34 രൂപത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ, യഥാർത്ഥ 3 x = 34 ന് തുല്യമായ സമവാക്യം എഴുതുക; x = 4. ഉത്തരം: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">കൂടാതെ 3x+1 = 3 – 5x; 8x = എക്സ്പോണൻ്റുകളുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം 4; x = 0.5 ഉത്തരം: 0.5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

0.2, 0.04, √5, 25 എന്നീ സംഖ്യകൾ 5 ൻ്റെ ശക്തികളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. നമുക്ക് ഇത് പ്രയോജനപ്പെടുത്തി യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

, എവിടെ നിന്ന് 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, അതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ പരിഹാരം x = -1 കണ്ടെത്തുന്നു. ഉത്തരം: -1.

5. 3x = 5. ലോഗരിതം നിർവചിച്ചാൽ, x = log35. ഉത്തരം: ലോഗ് 35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, അതായത്..png" width="181" height="49 src="> ആയതിനാൽ x – 4 =0, x = 4 എന്ന രൂപത്തിൽ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം. ഉത്തരം: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. ശക്തികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമ്മൾ 6∙ 3x - 2∙ 3x – 3x = 9 എന്ന രൂപത്തിൽ സമവാക്യം എഴുതുന്നു, തുടർന്ന് 3∙ 3x = 9, 3x+1 = 32, അതായത് x+1 = 2, x =1. ഉത്തരം: 1.

പ്രശ്നം ബാങ്ക് നമ്പർ 1.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

ടെസ്റ്റ് നമ്പർ 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) വേരുകളില്ല
	1) 7;1 2) വേരുകളില്ല 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

ടെസ്റ്റ് നമ്പർ 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) വേരുകളില്ല 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 മൂല്യനിർണ്ണയ രീതി.

റൂട്ട് സിദ്ധാന്തം: ഇടവേള I-ൽ f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ കൂടുന്നു (കുറയുന്നു) എങ്കിൽ, ഈ ഇടവേളയിൽ f എടുക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും മൂല്യമാണ് a നമ്പർ, അപ്പോൾ f(x) = a എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഇടവേള I-ൽ ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്.

എസ്റ്റിമേറ്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഈ സിദ്ധാന്തവും ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകതാനത ഗുണങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: 1. 4x = 5 – x.

പരിഹാരം. നമുക്ക് സമവാക്യം 4x +x = 5 ആയി മാറ്റിയെഴുതാം.

1. x = 1 ആണെങ്കിൽ, 41+1 = 5, 5 = 5 ശരിയാണ്, അതായത് 1 എന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്.

ഫംഗ്ഷൻ f(x) = 4x – R-ൽ വർദ്ധിക്കുന്നു, g(x) = x – R => h(x)= f(x)+g(x) R-ൽ വർദ്ധിക്കുന്നു, വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക, അപ്പോൾ x = 1 എന്നത് 4x = 5 – x എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക മൂലമാണ്. ഉത്തരം: 1.

പരിഹാരം. ഫോമിൽ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം .

1. x = -1 ആണെങ്കിൽ, പിന്നെ , 3 = 3 ശരിയാണ്, അതായത് x = -1 എന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്.

2. അവൻ ഏകനാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

3. ഫംഗ്ഷൻ f(x) = - R-ൽ കുറയുന്നു, g(x) = - x – R=> h(x) = f(x)+g(x)-ൽ കുറയുന്നു, R-ൽ കുറയുന്നു. പ്രവർത്തനങ്ങൾ കുറയുന്നു . ഇതിനർത്ഥം, റൂട്ട് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, x = -1 ആണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക റൂട്ട്. ഉത്തരം: -1.

പ്രശ്നം ബാങ്ക് നമ്പർ 2. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

a) 4x + 1 =6 - x;

സി) 2x - 2 =1 - x;

4. പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതി.

രീതി ഖണ്ഡിക 2.1 ൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു പുതിയ വേരിയബിളിൻ്റെ ആമുഖം (പകരം സ്ഥാപിക്കൽ) സാധാരണയായി സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിബന്ധനകളുടെ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് (ലളിതമാക്കൽ) ശേഷമാണ് നടത്തുന്നത്. ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. ആർസമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: 1. .

നമുക്ക് സമവാക്യം വ്യത്യസ്തമായി മാറ്റിയെഴുതാം: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

പരിഹാരം. നമുക്ക് സമവാക്യം വ്യത്യസ്തമായി മാറ്റിയെഴുതാം:

നമുക്ക് https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> നിർദ്ദേശിക്കാം - അനുയോജ്യമല്ല.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം. ഞങ്ങൾ അത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നു

സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം x = 2.5 ≤ 4 ആണ്, അതായത് 2.5 ആണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട്. ഉത്തരം: 2.5.

പരിഹാരം. ഫോമിൽ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതി ഇരുവശങ്ങളെയും 56x+6 ≠ 0 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ t1 = 1, t2 എന്നിവയാണ്<0, т. е..png" width="200" height="24">.

പരിഹാരം . ഫോമിൽ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതാം

ഇത് രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏകതാനമായ സമവാക്യമാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക.

സമവാക്യത്തെ 42x കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കും

നമുക്ക് https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം.

ഉത്തരം: 0; 0.5

പ്രശ്നം ബാങ്ക് നമ്പർ 3. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ജി)

ടെസ്റ്റ് നമ്പർ 3 ഉത്തരങ്ങളുടെ ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പിനൊപ്പം. കുറഞ്ഞ നില.

A1	1) -0.2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0.52x – 3 0.5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) വേരുകളില്ല 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) വേരുകളില്ല 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

ടെസ്റ്റ് നമ്പർ 4 ഉത്തരങ്ങളുടെ ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പിനൊപ്പം. പൊതു നില.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0.5)2x – (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) വേരുകളില്ല

5. ഫാക്ടറൈസേഷൻ രീതി.

1. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: 5x+1 - 5x-1 = 24.

പരിഹാരം..png" width="169" height="69"> , എവിടെ നിന്ന്

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

പരിഹാരം. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ 6x, വലതുവശത്ത് 2x എന്നിവ ഇടാം. നമുക്ക് 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും.

എല്ലാ x-നും 2x >0 ആയതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടുമെന്ന ഭയമില്ലാതെ നമുക്ക് ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 2x കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. നമുക്ക് 3x = 1ó x = 0 ലഭിക്കും.

പരിഹാരം. ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം.

നമുക്ക് ബൈനോമിയലിൻ്റെ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കാം

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ആണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട്.

സമവാക്യം x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

ടെസ്റ്റ് നമ്പർ 6 പൊതു നില.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
A2	1) 2.5 2) 3;4 3) ലോഗ്43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ - പവർ സമവാക്യങ്ങൾ.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളോട് ചേർന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ-പവർ സമവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്, രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

f(x)>0 ഉം f(x) ≠ 1 ഉം ആണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ പോലെയുള്ള സമവാക്യം, g(x) = f(x) എന്ന എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളെ സമീകരിക്കുന്നതിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെടും.

വ്യവസ്ഥ f(x)=0, f(x)=1 എന്നിവയുടെ സാധ്യതയെ ഒഴിവാക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമ്മൾ ഈ കേസുകൾ പരിഗണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

1..png" വീതി="182" ഉയരം="116 src=">

പരിഹാരം. x2 +2x-8 - ഏത് x നും അർത്ഥമുണ്ട്, കാരണം അത് ഒരു ബഹുപദമായതിനാൽ, സമവാക്യം മൊത്തത്തിൽ തുല്യമാണ്

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

7. പരാമീറ്ററുകളുള്ള എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

1. p എന്ന പാരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് 4 (5 - 3) എന്ന സമവാക്യം 2 +4p2-3p = 0 (1) ഉണ്ട് തീരുമാനം മാത്രം?

പരിഹാരം. നമുക്ക് പകരം 2x = t, t > 0 അവതരിപ്പിക്കാം, തുടർന്ന് സമവാക്യം (1) t2 - (5p - 3)t + 4p2 - 3p = 0. (2) എന്ന ഫോം എടുക്കും.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം (2) D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

(2) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പോസിറ്റീവ് റൂട്ട് ഉണ്ടെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിന് (1) ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്. ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് സാധ്യമാണ്.

1. D = 0, അതായത്, p = 1 എങ്കിൽ, സമവാക്യം (2) t2 – 2t + 1 = 0 എന്ന ഫോം എടുക്കും, അതിനാൽ t = 1, അതിനാൽ, (1) സമവാക്യത്തിന് x = 0 എന്ന അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

2. p1 ആണെങ്കിൽ, 9(p – 1)2 > 0, പിന്നെ സമവാക്യം (2) ന് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട് t1 = p, t2 = 4p – 3. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ ഒരു കൂട്ടം സിസ്റ്റങ്ങളാൽ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു

സിസ്റ്റങ്ങളിൽ t1, t2 എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

പരിഹാരം. അനുവദിക്കുക അപ്പോൾ സമവാക്യം (3) t2 – 6t – a = 0 എന്ന ഫോം എടുക്കും. (4)

എ പാരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, അതിനായി സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും (4) t > 0 എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

നമുക്ക് f(t) = t2 – 6t – a എന്ന ഫംഗ്ഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം. ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ സാധ്യമാണ്.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദം f(t);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

കേസ് 2. സമവാക്യത്തിന് (4) ഒരു അദ്വിതീയമുണ്ട് അനുകൂല തീരുമാനം, എങ്കിൽ

D = 0, a = – 9 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം (4) ഫോം (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 എടുക്കും.

കേസ് 3. സമവാക്യം (4) രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്, എന്നാൽ അവയിലൊന്നിന് അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല t > 0. ഇത് സാധ്യമാണെങ്കിൽ

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

അങ്ങനെ, a 0 ന്, (4) സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ പോസിറ്റീവ് റൂട്ട് ഉണ്ട് . അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന് (3) ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്

എപ്പോൾ എ< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 ആണെങ്കിൽ, x = – 1;

ഒരു  0 ആണെങ്കിൽ, പിന്നെ

സമവാക്യങ്ങൾ (1), (3) പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ നമുക്ക് താരതമ്യം ചെയ്യാം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ (1) ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായി ചുരുക്കി, അതിൻ്റെ വിവേചനം ഒരു തികഞ്ഞ ചതുരമാണ്; അങ്ങനെ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ (2) വേരുകൾ ഉടനടി കണക്കാക്കി, തുടർന്ന് ഈ വേരുകളെക്കുറിച്ചുള്ള നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേർന്നു. സമവാക്യം (3) ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായി (4) ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ വിവേചനം ഒരു പൂർണ്ണ ചതുരമല്ല, അതിനാൽ, സമവാക്യം (3) പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയലിൻ്റെ വേരുകളുടെ സ്ഥാനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്. ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ മോഡലും. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം (4) പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

നമുക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം.

പ്രശ്നം 3: സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം. ODZ: x1, x2.

പകരക്കാരനെ പരിചയപ്പെടുത്താം. 2x = t, t > 0 എന്ന് അനുവദിക്കുക, തുടർന്ന് പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി സമവാക്യം t2 + 2t – 13 – a = 0 എന്ന ഫോം എടുക്കും. (*) കുറഞ്ഞത് ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഉള്ള a യുടെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. (*) എന്ന സമവാക്യം t > 0 എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

ഉത്തരം: a > – 13, a  11, a  5, എങ്കിൽ a – 13,

a = 11, a = 5, അപ്പോൾ വേരുകൾ ഇല്ല.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

1. വിദ്യാഭ്യാസ സാങ്കേതികവിദ്യയുടെ Guzeev അടിത്തറ.

2. Guzeev സാങ്കേതികവിദ്യ: സ്വീകരണം മുതൽ തത്വശാസ്ത്രം വരെ.

എം. "സ്കൂൾ ഡയറക്ടർ" നമ്പർ 4, 1996

3. Guzeev ഒപ്പം സംഘടനാ രൂപങ്ങൾപരിശീലനം.

4. ഗുസീവും സമഗ്രമായ വിദ്യാഭ്യാസ സാങ്കേതികവിദ്യയുടെ പരിശീലനവും.

എം. "പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം", 2001

5. ഒരു പാഠത്തിൻ്റെ രൂപങ്ങളിൽ നിന്ന് Guzeev - സെമിനാർ.

സ്കൂൾ നമ്പർ 2, 1987 പേജ്. 9-11 ലെ ഗണിതം.

6. സെല്യൂക്കോ വിദ്യാഭ്യാസ സാങ്കേതികവിദ്യകൾ.

എം. "പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം", 1998

7. എപ്പിഷെവ സ്കൂൾ കുട്ടികൾ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കാൻ.

എം. "ജ്ഞാനോദയം", 1990

8. ഇവാനോവ പാഠങ്ങൾ തയ്യാറാക്കുന്നു - വർക്ക്ഷോപ്പുകൾ.

സ്കൂൾ നമ്പർ 6, 1990 പേജിലെ ഗണിതം. 37 - 40.

9. ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള സ്മിർനോവിൻ്റെ മാതൃക.

സ്കൂൾ നമ്പർ 1, 1997 പി. 32 - 36.

10. പ്രായോഗിക ജോലി സംഘടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള തരാസെങ്കോ വഴികൾ.

സ്കൂൾ നമ്പർ 1, 1993 പി. 27 - 28.

11. വ്യക്തിഗത ജോലിയുടെ തരങ്ങളിലൊന്നിനെക്കുറിച്ച്.

സ്കൂൾ നമ്പർ 2, 1994, പേജ് 63 - 64 ലെ ഗണിതം.

12. ഖസാങ്കിൻ സൃഷ്ടിപരമായ കഴിവുകൾസ്കൂൾ കുട്ടികൾ.

സ്കൂൾ നമ്പർ 2, 1989 പി. 10.

13. സ്കാനവി. പ്രസാധകർ, 1997

14. കൂടാതെ മറ്റുള്ളവ. ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും. ഉപദേശപരമായ വസ്തുക്കൾവേണ്ടി

15. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ക്രിവോനോഗോവ് ജോലികൾ.

എം. "സെപ്റ്റംബർ ആദ്യം", 2002

16. ചെർകാസോവ്. ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള കൈപ്പുസ്തകവും

സർവകലാശാലകളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നു. "എ എസ് ടി - പ്രസ് സ്കൂൾ", 2002

17. യൂണിവേഴ്സിറ്റികളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നവർക്ക് Zhevnyak.

മിൻസ്ക് ആൻഡ് റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ "റിവ്യൂ", 1996

18. ഡി എഴുതിയത്. ഞങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുകയാണ്. എം. റോൾഫ്, 1999

19. മുതലായവ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കുന്നു.

എം. "ഇൻ്റലക്റ്റ് - സെൻ്റർ", 2003

20. തുടങ്ങിയവ. EGE-യ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്നതിനുള്ള വിദ്യാഭ്യാസപരവും പരിശീലന സാമഗ്രികളും.

എം. "ഇൻ്റലിജൻസ് - സെൻ്റർ", 2003, 2004.

21 ഉം മറ്റുള്ളവയും. CMM ഓപ്ഷനുകൾ. റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ പ്രതിരോധ മന്ത്രാലയത്തിൻ്റെ ടെസ്റ്റിംഗ് സെൻ്റർ, 2002, 2003.

22. ഗോൾഡ്ബെർഗ് സമവാക്യങ്ങൾ. "ക്വാണ്ടം" നമ്പർ 3, 1971

23. Volovich M. ഗണിതശാസ്ത്രം എങ്ങനെ വിജയകരമായി പഠിപ്പിക്കാം.

ഗണിതം, 1997 നമ്പർ 3.

24 പാഠത്തിനായി ഒകുനെവ്, കുട്ടികളേ! എം. വിദ്യാഭ്യാസം, 1988

25. യാകിമാൻസ്കയ - സ്കൂളിൽ അധിഷ്ഠിത പഠനം.

26. ലൈമെറ്റുകൾ ക്ലാസിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. എം. നോളജ്, 1975

അവസാന പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പിൻ്റെ ഘട്ടത്തിൽ, ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾ "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ" എന്ന വിഷയത്തിൽ അവരുടെ അറിവ് മെച്ചപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരം ജോലികൾ സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് ചില ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നുവെന്ന് കഴിഞ്ഞ വർഷത്തെ അനുഭവം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾ, അവരുടെ തയ്യാറെടുപ്പിൻ്റെ നിലവാരം കണക്കിലെടുക്കാതെ, സിദ്ധാന്തം നന്നായി പഠിക്കുകയും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുകയും അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വം മനസ്സിലാക്കുകയും വേണം. ഇത്തരത്തിലുള്ള ജോലിയെ നേരിടാൻ പഠിച്ചതിനാൽ, ബിരുദധാരികൾക്ക് ആശ്രയിക്കാൻ കഴിയും ഉയർന്ന സ്കോറുകൾഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ പാസാകുമ്പോൾ.

Shkolkovo ഉപയോഗിച്ച് പരീക്ഷാ പരിശോധനയ്ക്ക് തയ്യാറാകൂ!

അവർ കവർ ചെയ്ത മെറ്റീരിയലുകൾ അവലോകനം ചെയ്യുമ്പോൾ, സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പല വിദ്യാർത്ഥികളും അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു. സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകംഎല്ലായ്‌പ്പോഴും കൈയിലില്ല, ഇൻറർനെറ്റിലെ ഒരു വിഷയത്തിൽ ആവശ്യമായ വിവരങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന് വളരെയധികം സമയമെടുക്കും.

Shkolkovo വിദ്യാഭ്യാസ പോർട്ടൽ ഞങ്ങളുടെ വിജ്ഞാന അടിത്തറ ഉപയോഗിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ ക്ഷണിക്കുന്നു. അന്തിമ പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്നതിനുള്ള തികച്ചും പുതിയ രീതിയാണ് ഞങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കുന്നത്. ഞങ്ങളുടെ വെബ്‌സൈറ്റിൽ പഠിക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് അറിവിലെ വിടവുകൾ തിരിച്ചറിയാനും ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ട് സൃഷ്ടിക്കുന്ന ജോലികളിൽ ശ്രദ്ധ ചെലുത്താനും കഴിയും.

Shkolkovo അധ്യാപകർ ആവശ്യമായ എല്ലാം ശേഖരിക്കുകയും ചിട്ടപ്പെടുത്തുകയും അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു വിജയകരമായ പൂർത്തീകരണം ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷാ മെറ്റീരിയൽഏറ്റവും ലളിതവും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതുമായ രൂപത്തിൽ.

അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും "സൈദ്ധാന്തിക പശ്ചാത്തലം" വിഭാഗത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

മെറ്റീരിയൽ നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ, അസൈൻമെൻ്റുകൾ പൂർത്തിയാക്കുന്നത് പരിശീലിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. കണക്കുകൂട്ടൽ അൽഗോരിതം മനസ്സിലാക്കാൻ ഈ പേജിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പരിഹാരങ്ങളുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം അവലോകനം ചെയ്യുക. അതിനുശേഷം, "ഡയറക്‌ടറികൾ" വിഭാഗത്തിൽ ടാസ്‌ക്കുകൾ നിർവഹിക്കാൻ തുടരുക. നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള ജോലികളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ നിരവധി അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. ഞങ്ങളുടെ വെബ്‌സൈറ്റിലെ വ്യായാമങ്ങളുടെ ഡാറ്റാബേസ് നിരന്തരം സപ്ലിമെൻ്റ് ചെയ്യുകയും അപ്‌ഡേറ്റ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ സൃഷ്ടിച്ച സൂചകങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ "പ്രിയപ്പെട്ടവ" എന്നതിലേക്ക് ചേർക്കാവുന്നതാണ്. ഇതുവഴി നിങ്ങൾക്ക് അവരെ വേഗത്തിൽ കണ്ടെത്താനും നിങ്ങളുടെ അധ്യാപകനുമായി പരിഹാരം ചർച്ച ചെയ്യാനും കഴിയും.

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ വിജയകരമായി വിജയിക്കാൻ, എല്ലാ ദിവസവും Shkolkovo പോർട്ടലിൽ പഠിക്കുക!

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4.8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

ഏതെങ്കിലും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അതിനെ \(a^(f(x))=a^(g(x))\) എന്ന രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു, തുടർന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുടെ തുല്യതയിലേക്ക് മാറ്റം വരുത്തുക, അതായത്:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

ഉദാഹരണത്തിന്:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

പ്രധാനം! ഒരേ യുക്തിയിൽ നിന്ന്, അത്തരമൊരു പരിവർത്തനത്തിനുള്ള രണ്ട് ആവശ്യകതകൾ പിന്തുടരുന്നു:
- നമ്പർ ഇൻ ഇടത്തും വലത്തും ഒരുപോലെയായിരിക്കണം;
- ഇടതും വലതും ഉള്ള ഡിഗ്രികൾ "ശുദ്ധം" ആയിരിക്കണം, അതായത്, ഗുണനം, വിഭജനം മുതലായവ ഉണ്ടാകരുത്.

ഉദാഹരണത്തിന്:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) എന്ന ഫോമിലേക്ക് സമവാക്യം കുറക്കാനും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം . എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
പരിഹാരം:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

\(27 = 3^3\) എന്ന് നമുക്കറിയാം. ഇത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു.

\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

\(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) എന്ന റൂട്ടിൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രകാരം നമുക്ക് \(\sqrt(3^3)=((3^3) ലഭിക്കും. )^( \frac(1)(2))\). അടുത്തതായി, \((a^b)^c=a^(bc)\), ഡിഗ്രിയുടെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ ലഭിക്കും (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

\(a^b·a^c=a^(b+c)\) എന്നും നമുക്കറിയാം. ഇത് ഇടതുവശത്ത് പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\).

\(3^(x+0.5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

ഇപ്പോൾ അത് ഓർക്കുക: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). ഈ ഫോർമുലയിലും ഉപയോഗിക്കാം മറു പുറം: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). അപ്പോൾ \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)

പ്രോപ്പർട്ടി \((a^b)^c=a^(bc)\) വലതുവശത്ത് പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: \((3^(-1))^(2x)=3^(-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഇടപെടുന്ന ഗുണകങ്ങളൊന്നും ഇല്ല. അതിനാൽ നമുക്ക് പരിവർത്തനം നടത്താം.

ഉദാഹരണം . എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
പരിഹാരം:

\(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)		ഞങ്ങൾ വീണ്ടും പവർ പ്രോപ്പർട്ടി \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) വിപരീത ദിശയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
\(4^x 4^(0.5)-5 2^x+2=0\)		ഇപ്പോൾ ഓർക്കുക \(4=2^2\).
\((2^2)^x·(2^2)^(0.5)-5·2^x+2=0\)		ഡിഗ്രികളുടെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\)
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)		ഞങ്ങൾ സമവാക്യം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുകയും പകരം \(t=2^x\) സ്വയം നിർദ്ദേശിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ \(t\) മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തി, ഞങ്ങൾക്ക് \(x\) ആവശ്യമാണ്. ഒരു റിവേഴ്‌സ് റീപ്ലേസ്‌മെൻ്റ് ഉണ്ടാക്കിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ X-കളിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		നെഗറ്റീവ് പവർ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം...
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...ഉത്തരം വരെ ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കും.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

ഉത്തരം : \(-1; 1\).

ചോദ്യം അവശേഷിക്കുന്നു - ഏത് രീതി എപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കണമെന്ന് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം? ഇത് അനുഭവത്തോടൊപ്പം വരുന്നു. നിങ്ങൾ അത് പ്രവർത്തിക്കുന്നത് വരെ, പരിഹരിക്കാൻ പൊതുവായ ശുപാർശ ഉപയോഗിക്കുക സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികൾ- "എന്ത് ചെയ്യണമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുന്നത് ചെയ്യുക." അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ സമവാക്യം തത്വത്തിൽ പരിവർത്തനം ചെയ്യാമെന്ന് നോക്കുക, അത് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കുക - എന്ത് സംഭവിച്ചാൽ? ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള പരിവർത്തനങ്ങൾ മാത്രം ചെയ്യുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം.

പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്ത എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

വിദ്യാർത്ഥികളെ പലപ്പോഴും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്ന രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങൾ കൂടി നോക്കാം:
- പോസിറ്റീവ് നമ്പർപൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ശക്തിയിലേക്ക്, ഉദാഹരണത്തിന്, \(2^x=0\);
- ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ തുല്യമാണ് നെഗറ്റീവ് നമ്പർ, ഉദാഹരണത്തിന്, \(2^x=-4\).

ക്രൂരമായ ബലപ്രയോഗത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. x ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, x വളരുമ്പോൾ, മുഴുവൻ ശക്തിയും \(2^x\) വർദ്ധിക്കും:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

കൂടാതെ. നെഗറ്റീവ് എക്സ് ശേഷിക്കുന്നു. \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) പ്രോപ്പർട്ടി ഓർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു:

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

ഓരോ ചുവടുവെയ്‌ക്കും സംഖ്യ ചെറുതാകുമെങ്കിലും, അത് ഒരിക്കലും പൂജ്യത്തിൽ എത്തുകയില്ല. അതിനാൽ നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രി ഞങ്ങളെ രക്ഷിച്ചില്ല. ഞങ്ങൾ ഒരു യുക്തിസഹമായ നിഗമനത്തിലെത്തുന്നു:

ഏത് അളവിലും പോസിറ്റീവ് നമ്പർ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായി തുടരും.

അതിനാൽ, മുകളിലുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾക്കും പരിഹാരങ്ങളില്ല.

വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

പ്രായോഗികമായി, ചിലപ്പോൾ പരസ്പരം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയാത്ത വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടുമുട്ടുന്നു, അതേ സമയം ഒരേ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുമുണ്ട്. അവ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), ഇവിടെ \(a\), \(b\) എന്നിവ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും വശങ്ങൾ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ (സാധാരണയായി വലത് വശത്ത്, അതായത് \(b^(f(x))\) ഹരിച്ചാൽ അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, കാരണം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ ഏത് ശക്തിക്കും പോസിറ്റീവ് ആണ് (അതായത്, ഞങ്ങൾ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കില്ല) നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

ഉദാഹരണം . എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
പരിഹാരം:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		ഇവിടെ നമുക്ക് അഞ്ചിനെ മൂന്നാക്കി മാറ്റാൻ കഴിയില്ല, അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും (അതനുസരിച്ച് ഇത്രയെങ്കിലും, ഉപയോഗമില്ലാതെ ). ഇതിനർത്ഥം നമുക്ക് \(a^(f(x))=a^(g(x))\) എന്ന രൂപത്തിലേക്ക് വരാൻ കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, സൂചകങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്. നമുക്ക് സമവാക്യത്തെ വലത് വശത്ത്, അതായത് \(3^(x+7)\) കൊണ്ട് ഹരിക്കാം (മൂന്ന് ഒരു ഡിഗ്രിയിലും പൂജ്യമാകില്ലെന്ന് നമുക്ക് അറിയാവുന്നതിനാൽ ഇത് ചെയ്യാം).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		ഇപ്പോൾ \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) എന്ന പ്രോപ്പർട്ടി ഓർക്കുക, ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് എതിർദിശയിൽ ഉപയോഗിക്കുക. വലതുവശത്ത്, ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നു.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		കാര്യങ്ങൾ മെച്ചപ്പെട്ടില്ല എന്ന് തോന്നുന്നു. എന്നാൽ ശക്തിയുടെ ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി കൂടി ഓർക്കുക: \(a^0=1\), മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ: "പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും \(1\) ന് തുല്യമാണ്." വിപരീതവും ശരിയാണ്: "പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്ക് ഏത് സംഖ്യയായും ഒന്നിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം." വലതുവശത്തെ അടിസ്ഥാനം ഇടതുവശത്തുള്ളതുപോലെയാക്കി ഇത് പ്രയോജനപ്പെടുത്താം.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		വോയില! അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാം.
		ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രതികരണം എഴുതുകയാണ്.

ഉത്തരം : \(-7\).

ചില സമയങ്ങളിൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുടെ “സമത്വം” വ്യക്തമല്ല, പക്ഷേ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകളുടെ സമർത്ഥമായ ഉപയോഗം ഈ പ്രശ്‌നം പരിഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം . എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
പരിഹാരം:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		സമവാക്യം വളരെ സങ്കടകരമായി തോന്നുന്നു... ബേസുകളെ ഒരേ സംഖ്യയിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് മാത്രമല്ല (ഏഴ് ഒരു തരത്തിലും \(\frac(1)(3)\) ന് തുല്യമായിരിക്കില്ല), മാത്രമല്ല എക്സ്പോണൻ്റുകളും വ്യത്യസ്തമാണ്. .. എന്നിരുന്നാലും, ലെഫ്റ്റ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഡ്യൂസ് ഉപയോഗിക്കാം.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		\((a^b)^c=a^(b·c)\) എന്ന പ്രോപ്പർട്ടി ഓർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		ഇപ്പോൾ, നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രി \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) എന്നതിൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടി ഓർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ വലതുഭാഗത്ത് നിന്ന് രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		ഹല്ലേലൂയാ! സൂചകങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്! ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം പരിചിതമായ സ്കീം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു, ഉത്തരത്തിന് മുമ്പ് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ഉത്തരം : \(2\).

ആദ്യ നില

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് (2019)

ഹലോ! പ്രാഥമികമായേക്കാവുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഇന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുമായി ചർച്ച ചെയ്യും (ഈ ലേഖനം വായിച്ചതിനുശേഷം, മിക്കവാറും എല്ലാം നിങ്ങൾക്ക് അങ്ങനെയായിരിക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു), കൂടാതെ സാധാരണയായി "പൂരിപ്പിക്കുന്നതിന്" നൽകിയിരിക്കുന്നവയും. പ്രത്യക്ഷത്തിൽ ഒടുവിൽ ഉറങ്ങാൻ. എന്നാൽ ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ സാധ്യമായതെല്ലാം ചെയ്യാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കും. ഞാൻ ഇനി കുറ്റിക്കാട്ടിൽ അടിക്കില്ല, ഞാൻ അത് ഉടൻ തുറക്കും ചെറിയ രഹസ്യം: ഇന്ന് നമ്മൾ പഠിക്കും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

അവ പരിഹരിക്കാനുള്ള വഴികൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനു മുമ്പ്, ഈ വിഷയത്തെ ആക്രമിക്കാൻ തിരക്കുകൂട്ടുന്നതിന് മുമ്പ് നിങ്ങൾ ആവർത്തിക്കേണ്ട ചോദ്യങ്ങളുടെ (വളരെ ചെറുത്) ഞാൻ നിങ്ങൾക്കായി ഉടനടി രൂപരേഖ നൽകും. അതിനാൽ, ലഭിക്കാൻ മികച്ച ഫലം, ദയവായി, ആവർത്തിച്ച്:

പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഒപ്പം
പരിഹാരവും സമവാക്യങ്ങളും

ആവർത്തിച്ചോ? അത്ഭുതം! അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഒരു സംഖ്യയാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുണ്ടാകില്ല. ഞാൻ അത് എങ്ങനെ ചെയ്തുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കൃത്യമായി മനസ്സിലായോ? ഇത് സത്യമാണോ? അപ്പോൾ നമുക്ക് തുടരാം. ഇപ്പോൾ എൻ്റെ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുക, മൂന്നാമത്തെ ശക്തിക്ക് തുല്യമായത് എന്താണ്? നിങ്ങൾ പറഞ്ഞത് തികച്ചും ശരിയാണ്: . രണ്ടിൻ്റെ ഏത് ശക്തിയാണ് എട്ട്? അത് ശരിയാണ് - മൂന്നാമത്തേത്! കാരണം. ശരി, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം: ഞാൻ സംഖ്യയെ ഒരു തവണ ഗുണിച്ച് ഫലം നേടട്ടെ. ചോദ്യം, ഞാൻ സ്വയം എത്ര തവണ ഗുണിച്ചു? തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് ഇത് നേരിട്ട് പരിശോധിക്കാം:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \ end( വിന്യസിക്കുക)

അപ്പോൾ ഞാൻ എന്നെക്കൊണ്ട് ഇരട്ടിയാക്കി എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് എങ്ങനെ പരിശോധിക്കാനാകും? എങ്ങനെയെന്നത് ഇതാ: ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്: . പക്ഷേ, നിങ്ങൾ സമ്മതിക്കണം, ലഭിക്കാൻ രണ്ടെണ്ണം കൊണ്ട് തന്നെ എത്ര തവണ ഗുണിക്കണമെന്ന് ഞാൻ ചോദിച്ചാൽ, പറയൂ, നിങ്ങൾ എന്നോട് പറയും: മുഖത്ത് നീല നിറമാകുന്നതുവരെ ഞാൻ എന്നെത്തന്നെ കബളിപ്പിക്കുകയും സ്വയം വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യില്ല. അവൻ തികച്ചും ശരിയായിരിക്കും. കാരണം നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ കഴിയും എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളും ഹ്രസ്വമായി എഴുതുക(ഒപ്പം സംക്ഷിപ്തത പ്രതിഭയുടെ സഹോദരിയാണ്)

എവിടെ - ഇവ ഒന്നുതന്നെയാണ് "സമയം", നിങ്ങൾ സ്വയം ഗുണിക്കുമ്പോൾ.

നിങ്ങൾക്ക് അറിയാമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു (നിങ്ങൾക്ക് അറിയില്ലെങ്കിൽ, അടിയന്തിരമായി, വളരെ അടിയന്തിരമായി ഡിഗ്രികൾ ആവർത്തിക്കുക!) അപ്പോൾ എൻ്റെ പ്രശ്നം ഫോമിൽ എഴുതപ്പെടും:

നിങ്ങൾക്ക് ഇത് എങ്ങനെ ന്യായമായും നിഗമനം ചെയ്യാം:

അതിനാൽ, ശ്രദ്ധിക്കപ്പെടാതെ, ഞാൻ ഏറ്റവും ലളിതമായത് എഴുതി എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം:

ഞാൻ അവനെ കണ്ടെത്തി റൂട്ട്. എല്ലാം തീർത്തും നിസ്സാരമാണെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നില്ലേ? ഞാൻ കൃത്യമായി അങ്ങനെ തന്നെ കരുതുന്നു. നിങ്ങൾക്കായി മറ്റൊരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

പക്ഷെ എന്ത് ചെയ്യണം? എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇത് ഒരു (ന്യായമായ) സംഖ്യയുടെ ശക്തിയായി എഴുതാൻ കഴിയില്ല. നിരാശപ്പെടരുത്, ഈ രണ്ട് സംഖ്യകളും ഒരേ സംഖ്യയുടെ ശക്തിയിലൂടെ തികച്ചും പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. അതിൽ ഏത്? വലത്: . അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം രൂപത്തിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു:

എവിടെ, നിങ്ങൾ ഇതിനകം മനസ്സിലാക്കിയതുപോലെ, . ഇനിയും താമസിക്കാതെ എഴുതാം നിർവചനം:

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ: .

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കിക്കൊണ്ട് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു:

തുടർന്ന് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു

വാസ്തവത്തിൽ, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഞങ്ങൾ അത് ചെയ്തു: ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിച്ചു: ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചു.

സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തോന്നുന്നില്ല, അല്ലേ? ആദ്യം ഏറ്റവും ലളിതമായവ പരിശീലിക്കാം ഉദാഹരണങ്ങൾ:

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലത്, ഇടത് വശങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തികളായി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും കാണുന്നു. ശരിയാണ്, ഇടതുവശത്ത് ഇത് ഇതിനകം ചെയ്തു, എന്നാൽ വലതുവശത്ത് ഒരു സംഖ്യയുണ്ട്. പക്ഷെ കുഴപ്പമില്ല, കാരണം എൻ്റെ സമവാക്യം അത്ഭുതകരമായിഇതിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടും:

ഞാൻ ഇവിടെ എന്താണ് ഉപയോഗിക്കേണ്ടത്? എന്ത് നിയമം? "ഡിഗ്രികൾക്കുള്ളിൽ ഡിഗ്രി" എന്ന നിയമംഅത് വായിക്കുന്നു:

അങ്ങനെയെങ്കിൽ:

ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക പൂരിപ്പിക്കാം:

കുറവ് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് കുറഞ്ഞ മൂല്യം, എന്നിരുന്നാലും, ഈ മൂല്യങ്ങളെല്ലാം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്. അത് എപ്പോഴും അങ്ങനെ തന്നെയായിരിക്കും!!! ഏതൊരു സൂചകവും ഉള്ള ഏത് അടിസ്ഥാനത്തിലും ഒരേ പ്രോപ്പർട്ടി ശരിയാണ്!! (ഏതെങ്കിലും കൂടാതെ). അപ്പോൾ സമവാക്യത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് എന്ത് നിഗമനം ചെയ്യാം? അത് എന്താണെന്ന് ഇതാ: അത് വേരുകളില്ല! ഏതൊരു സമവാക്യത്തിനും വേരുകളില്ലാത്തതുപോലെ. ഇനി നമുക്ക് പരിശീലിക്കാം ഒപ്പം നമുക്ക് ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം:

നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം:

1. ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ഒഴികെ ഇവിടെ നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒന്നും ആവശ്യമില്ല (അത്, ഞാൻ നിങ്ങളോട് ആവർത്തിക്കാൻ ആവശ്യപ്പെട്ടു!) ചട്ടം പോലെ, എല്ലാം ഏറ്റവും ചെറിയ അടിത്തറയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: , . അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നവയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും: എനിക്ക് വേണ്ടത് ശക്തികളുടെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ്: ഒരേ അടിസ്ഥാനങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ശക്തികൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കപ്പെടുന്നു, വിഭജിക്കുമ്പോൾ അവ കുറയ്ക്കുന്നു.അപ്പോൾ എനിക്ക് ലഭിക്കും: ശരി, ഇപ്പോൾ വ്യക്തമായ മനസ്സാക്ഷിയോടെ ഞാൻ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ലീനിയറിലേക്ക് നീങ്ങും: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\അവസാനം (വിന്യസിക്കുക)

2. രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, നമ്മൾ കൂടുതൽ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ഇടതുവശത്ത് ഒരേ സംഖ്യയെ ഒരു ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ നമുക്ക് കഴിയില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗപ്രദമാണ് വ്യത്യസ്‌ത ബേസുകളുള്ള, എന്നാൽ ഒരേ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള ശക്തികളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: ഇത് നമുക്ക് എന്താണ് നൽകിയത്? ഇവിടെ എന്താണ്: വ്യത്യസ്‌ത അടിസ്ഥാനങ്ങളുള്ളതും എന്നാൽ ഒരേ ഘാതകങ്ങളുള്ളതുമായ സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കാവുന്നതാണ്.ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു, പക്ഷേ സൂചകം മാറില്ല:

എൻ്റെ സാഹചര്യത്തിൽ ഇത് നൽകും:

\ആരംഭിക്കുക(വിന്യസിക്കുക)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\അവസാനം (വിന്യസിക്കുക)

മോശമല്ല, അല്ലേ?

3. അനാവശ്യമായി, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് എനിക്ക് രണ്ട് പദങ്ങളും മറുവശത്ത് ഒന്നുമില്ലാത്തപ്പോൾ എനിക്ക് അത് ഇഷ്ടമല്ല (ചിലപ്പോൾ, തീർച്ചയായും, ഇത് ന്യായീകരിക്കപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ ഇപ്പോൾ അങ്ങനെയല്ല). ഞാൻ മൈനസ് പദം വലത്തേക്ക് നീക്കും:

ഇപ്പോൾ, മുമ്പത്തെപ്പോലെ, മൂന്നിൻ്റെ ശക്തികളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഞാൻ എല്ലാം എഴുതാം:

ഞാൻ ഇടതുവശത്തുള്ള ഡിഗ്രികൾ ചേർക്കുകയും തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു

നിങ്ങൾക്ക് അതിൻ്റെ റൂട്ട് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:

4. ഉദാഹരണം മൂന്നിലെന്നപോലെ, മൈനസ് പദത്തിന് വലതുവശത്ത് ഒരു സ്ഥാനമുണ്ട്!

എൻ്റെ ഇടതുവശത്ത്, മിക്കവാറും എല്ലാം ശരിയാണ്, എന്തല്ലാതെ? അതെ, രണ്ടുപേരുടെയും "തെറ്റായ ബിരുദം" എന്നെ അലട്ടുന്നു. എന്നാൽ എനിക്ക് ഇത് എഴുതുന്നതിലൂടെ ഇത് എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാനാകും: . യുറീക്ക - ഇടതുവശത്ത് എല്ലാ അടിസ്ഥാനങ്ങളും വ്യത്യസ്തമാണ്, എന്നാൽ എല്ലാ ഡിഗ്രികളും ഒന്നുതന്നെയാണ്! നമുക്ക് ഉടനടി വർദ്ധിപ്പിക്കാം!

ഇവിടെയും എല്ലാം വ്യക്തമാണ്: (എനിക്ക് എങ്ങനെ മാന്ത്രികമായി അവസാന സമത്വം ലഭിച്ചുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലായില്ലെങ്കിൽ, ഒരു മിനിറ്റ് വിശ്രമിക്കുക, ശ്വാസം എടുത്ത് ബിരുദത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ വീണ്ടും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് ഒഴിവാക്കാമെന്ന് ആരാണ് പറഞ്ഞത്? ബിരുദം നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണോ? ശരി, ഇവിടെ ഞാൻ ആരുമില്ലാത്ത കാര്യമാണ്). ഇപ്പോൾ എനിക്ക് ലഭിക്കും:

\ആരംഭിക്കുക(വിന്യസിക്കുക)
& ((2)^(4\ഇടത്((x) -9 \വലത്)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\അവസാനം (വിന്യസിക്കുക)

നിങ്ങൾക്ക് പരിശീലിക്കേണ്ട ചില പ്രശ്‌നങ്ങൾ ഇതാ, അതിനുള്ള ഉത്തരങ്ങൾ മാത്രമേ ഞാൻ നൽകൂ (എന്നാൽ ഒരു "മിക്സഡ്" രൂപത്തിൽ). അവ പരിഹരിക്കുക, പരിശോധിക്കുക, നിങ്ങളും ഞാനും ഞങ്ങളുടെ ഗവേഷണം തുടരും!

തയ്യാറാണ്? ഉത്തരങ്ങൾഇവ പോലെ:

ഏതെങ്കിലും നമ്പർ

ശരി, ശരി, ഞാൻ തമാശ പറയുകയായിരുന്നു! പരിഹാരങ്ങളുടെ ചില രേഖാചിത്രങ്ങൾ ഇതാ (ചിലത് വളരെ ചുരുക്കം!)

ഇടതുവശത്തുള്ള ഒരു അംശം മറ്റൊന്ന് "വിപരീതമായത്" ആകസ്മികമല്ലെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നില്ലേ? ഇത് പ്രയോജനപ്പെടുത്താതിരിക്കുന്നത് പാപമാണ്:

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഈ നിയമം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, ഇത് നന്നായി ഓർക്കുക!

അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇതുപോലെയാകും:

ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന വേരുകൾ ലഭിക്കും:

2. മറ്റൊരു പരിഹാരം: സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഇടതുവശത്തുള്ള (അല്ലെങ്കിൽ വലത്) എക്സ്പ്രഷൻ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. വലതുവശത്തുള്ളത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, അപ്പോൾ എനിക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

എവിടെ (എന്തുകൊണ്ട്?!)

3. ഞാൻ സ്വയം ആവർത്തിക്കാൻ പോലും ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല, എല്ലാം ഇതിനകം വളരെ "ചവച്ച" ചെയ്തു.

4. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ, വേരുകൾ

5. ആദ്യ പ്രശ്നത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുല നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കും:

സമവാക്യം ഒരു നിസ്സാര സ്വത്വമായി മാറിയിരിക്കുന്നു, അത് ഏതൊരാൾക്കും ശരിയാണ്. അപ്പോൾ ഉത്തരം ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.

ശരി, ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് പരിശീലിച്ചു ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.ഇപ്പോൾ ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് കുറച്ച് നൽകാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു ജീവിത ഉദാഹരണങ്ങൾ, അവ തത്വത്തിൽ ആവശ്യമായിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും. ഇവിടെ ഞാൻ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകും. അവയിലൊന്ന് തികച്ചും ദൈനംദിനമാണ്, എന്നാൽ മറ്റൊന്ന് പ്രായോഗിക താൽപ്പര്യത്തേക്കാൾ ശാസ്ത്രീയമാണ്.

ഉദാഹരണം 1 (വ്യാപാരം)നിങ്ങൾക്ക് റൂബിൾസ് ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ, എന്നാൽ നിങ്ങൾ അത് റൂബിളാക്കി മാറ്റാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. പലിശയുടെ പ്രതിമാസ മൂലധനവൽക്കരണത്തോടെ (പ്രതിമാസ അക്യുവൽ) വാർഷിക നിരക്കിൽ നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ഈ പണം എടുക്കാൻ ബാങ്ക് നിങ്ങൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു. ചോദ്യം, ആവശ്യമായ അന്തിമ തുകയിൽ എത്താൻ എത്ര മാസം നിങ്ങൾ ഒരു നിക്ഷേപം തുറക്കണം? തികച്ചും ലൗകികമായ ഒരു ദൗത്യം, അല്ലേ? എന്നിരുന്നാലും, അതിൻ്റെ പരിഹാരം അനുബന്ധ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർമ്മാണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: അനുവദിക്കുക - പ്രാരംഭ തുക, - അവസാന തുക, - പലിശ നിരക്ക്ഓരോ കാലഘട്ടത്തിനും, - കാലഘട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണം. അപ്പോൾ:

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ (നിരക്ക് വാർഷികമാണെങ്കിൽ, അത് പ്രതിമാസം കണക്കാക്കുന്നു). എന്തുകൊണ്ടാണ് അതിനെ വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നത്? ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം നിങ്ങൾക്ക് അറിയില്ലെങ്കിൽ, "" വിഷയം ഓർക്കുക! അപ്പോൾ നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം ലഭിക്കും:

ഈ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മാത്രമേ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയൂ (അതിൻ്റെ രൂപംഇതിനെക്കുറിച്ചുള്ള സൂചനകൾ, ഇതിന് ലോഗരിതങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ്, അത് ഞങ്ങൾ കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് പരിചയപ്പെടും), അത് ഞാൻ ചെയ്യും: ... അങ്ങനെ, ഒരു ദശലക്ഷം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു മാസത്തേക്ക് ഒരു നിക്ഷേപം നടത്തേണ്ടതുണ്ട് ( വളരെ വേഗം അല്ല, അല്ലേ?).

ഉദാഹരണം 2 (പകരം ശാസ്ത്രീയം).അവൻ്റെ ചില “ഒറ്റപ്പെടൽ” ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, നിങ്ങൾ അവനെ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു: അവൻ പതിവായി “ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിലേക്ക് വഴുതിവീഴുന്നു!! (പ്രശ്നം "യഥാർത്ഥ" പതിപ്പിൽ നിന്ന് എടുത്തതാണ്) ഒരു റേഡിയോ ആക്ടീവ് ഐസോടോപ്പിൻ്റെ ശോഷണ സമയത്ത്, അതിൻ്റെ പിണ്ഡം നിയമം അനുസരിച്ച് കുറയുന്നു, ഇവിടെ (മി.ഗ്രാം) ഐസോടോപ്പിൻ്റെ പ്രാരംഭ പിണ്ഡമാണ്, (മിനി.) ആണ് പ്രാരംഭ നിമിഷം, (മിനി.) ആണ് അർദ്ധായുസ്സ്. സമയത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷത്തിൽ, ഐസോടോപ്പിൻ്റെ പിണ്ഡം mg ആണ്. അതിൻ്റെ അർദ്ധായുസ്സ് മിനിറ്റാണ്. എത്ര മിനിറ്റിനുശേഷം ഐസോടോപ്പിൻ്റെ പിണ്ഡം മില്ലിഗ്രാമിന് തുല്യമാകും? കുഴപ്പമില്ല: ഞങ്ങൾക്ക് നിർദ്ദേശിച്ച ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ എല്ലാ ഡാറ്റയും എടുത്ത് പകരം വയ്ക്കുക:

നമുക്ക് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വിഭജിക്കാം, ഇടതുവശത്ത് ദഹിപ്പിക്കാവുന്ന എന്തെങ്കിലും ലഭിക്കുമെന്ന പ്രതീക്ഷയിൽ:

ശരി, ഞങ്ങൾ വളരെ ഭാഗ്യവാന്മാർ! ഇത് ഇടതുവശത്താണ്, തുടർന്ന് നമുക്ക് തുല്യമായ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം:

മിനിറ്റ് എവിടെയാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പ്രായോഗികമായി വളരെ യഥാർത്ഥ പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു (ലളിതമായ) മാർഗം ഇപ്പോൾ ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് കാണിച്ചുതരാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, അത് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുത്ത് നിബന്ധനകൾ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. എൻ്റെ വാക്കുകൾ കേട്ട് പേടിക്കേണ്ട, ഏഴാം ക്ലാസ്സിൽ പോളിനോമിയലുകൾ പഠിക്കുമ്പോൾ ഈ രീതി നിങ്ങൾ കണ്ടു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് പദപ്രയോഗം ഫാക്ടർ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ:

നമുക്ക് ഗ്രൂപ്പുചെയ്യാം: ഒന്നും മൂന്നും നിബന്ധനകൾ, അതുപോലെ രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെയും. ആദ്യത്തേതും മൂന്നാമത്തേതും ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്:

രണ്ടാമത്തേതും നാലാമത്തേതും മൂന്നിൻ്റെ ഒരു പൊതു ഘടകം ഉണ്ട്:

അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

പൊതുവായ ഘടകം എവിടെ നിന്ന് ലഭിക്കും എന്നത് ഇനി ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല:

അതിനാൽ,

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഏകദേശം ഇതാണ് ചെയ്യുന്നത്: നിബന്ധനകൾക്കിടയിൽ “സാധാരണത്വം” നോക്കുക, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുക, തുടർന്ന് - എന്ത് വന്നാലും, ഞങ്ങൾ ഭാഗ്യവാന്മാരാകുമെന്ന് ഞാൻ വിശ്വസിക്കുന്നു =)) ഉദാഹരണത്തിന്:

വലതുവശത്ത് ഏഴിൻ്റെ ശക്തിയിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ് (ഞാൻ പരിശോധിച്ചു!) ഇടതുവശത്ത് - ഇത് അൽപ്പം മികച്ചതാണ്, നിങ്ങൾക്ക് തീർച്ചയായും, ആദ്യ ടേമിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ഫാക്ടർ എയെ “വെട്ടുക”, തുടർന്ന് കൈകാര്യം ചെയ്യാം. നിങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ച കാര്യങ്ങളിൽ, എന്നാൽ നിങ്ങളോട് കൂടുതൽ വിവേകത്തോടെയിരിക്കാം. "തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ" അനിവാര്യമായും രൂപപ്പെടുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ ഞാൻ അത് പുറത്തെടുക്കേണ്ടതല്ലേ? അപ്പോൾ എനിക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല: അവർ പറയുന്നതുപോലെ, ചെന്നായ്ക്കൾക്ക് ഭക്ഷണം നൽകുന്നു, ആടുകൾ സുരക്ഷിതമാണ്:

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ എക്സ്പ്രഷൻ കണക്കാക്കുക. മാന്ത്രികമായി, മാന്ത്രികമായി, അത് മാറുന്നു (ആശ്ചര്യകരമെന്നു പറയട്ടെ, മറ്റെന്താണ് നമ്മൾ പ്രതീക്ഷിക്കേണ്ടത്?).

അപ്പോൾ നമ്മൾ ഈ ഘടകം കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും കുറയ്ക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: , നിന്ന്.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ (തീർച്ചയായും, ശരിക്കും):

എന്തൊരു പ്രശ്നം! ഞങ്ങൾക്ക് ഇവിടെ ഒരു പൊതു ഗ്രൗണ്ട് ഇല്ല! ഇപ്പോൾ എന്തുചെയ്യണമെന്ന് പൂർണ്ണമായും വ്യക്തമല്ല. നമുക്ക് കഴിയുന്നത് ചെയ്യാം: ആദ്യം, "ഫോറുകൾ" ഒരു വശത്തേക്കും "ഫൈവ്സ്" മറുവശത്തേക്കും നീക്കുക:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഇടതും വലതും ഉള്ള "ജനറൽ" എടുക്കാം:

ഇനിയിപ്പോള് എന്താ? ഇത്തരമൊരു വിഡ്ഢി സംഘത്തിൻ്റെ പ്രയോജനം എന്താണ്? ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ അത് ദൃശ്യമല്ല, പക്ഷേ നമുക്ക് കൂടുതൽ ആഴത്തിൽ നോക്കാം:

ശരി, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇടതുവശത്ത് c എന്ന പദപ്രയോഗം മാത്രമാണെന്നും വലതുവശത്ത് - മറ്റെല്ലാം ഉണ്ടെന്നും ഉറപ്പാക്കും. ഞങ്ങൾ ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യും? എങ്ങനെയെന്നത് ഇതാ: സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ആദ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക (അതിനാൽ നമ്മൾ വലതുവശത്തുള്ള ഘാതം ഒഴിവാക്കും), തുടർന്ന് രണ്ട് വശങ്ങളും കൊണ്ട് ഹരിക്കുക (അതിനാൽ നമുക്ക് ഇടതുവശത്തുള്ള സംഖ്യാ ഘടകം ഒഴിവാക്കാം). ഒടുവിൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അവിശ്വസനീയം! ഇടതുവശത്ത് നമുക്ക് ഒരു പദപ്രയോഗമുണ്ട്, വലതുവശത്ത് നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ പദപ്രയോഗമുണ്ട്. അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഉടനെ അത് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു

നിങ്ങൾക്ക് ശക്തിപ്പെടുത്താനുള്ള മറ്റൊരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

ഞാൻ അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഹ്രസ്വമായ പരിഹാരം നൽകും (വിശദീകരണങ്ങളിൽ എന്നെത്തന്നെ ബുദ്ധിമുട്ടിക്കാതെ), പരിഹാരത്തിൻ്റെ എല്ലാ "സൂക്ഷ്മതകളും" സ്വയം മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

ഇപ്പോൾ പൊതിഞ്ഞ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ അന്തിമ ഏകീകരണത്തിനായി. ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ സ്വയം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഹ്രസ്വ ശുപാർശകളും നുറുങ്ങുകളും ഞാൻ നൽകും:

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം: എവിടെ:
നമുക്ക് ആദ്യത്തെ എക്സ്പ്രഷൻ ഫോമിൽ അവതരിപ്പിക്കാം: , രണ്ട് വശങ്ങളും കൊണ്ട് ഹരിച്ച് അത് നേടുക
, അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം രൂപത്തിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു: ശരി, ഇപ്പോൾ ഒരു സൂചന - നിങ്ങളും ഞാനും ഈ സമവാക്യം എവിടെയാണെന്ന് നോക്കുക!
എങ്ങനെ, എങ്ങനെ, ഓ, നന്നായി, തുടർന്ന് ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം ലഭിക്കും.
ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുക.
ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുക.

എക്സ്പോണൻ്ററി സമവാക്യങ്ങൾ. ശരാശരി നില

ആദ്യ ലേഖനം വായിച്ചതിനുശേഷം, അത് സംസാരിച്ചുവെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു എന്താണ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം, ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അറിവ് നിങ്ങൾ നേടിയിട്ടുണ്ട്.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു രീതി ഞാൻ ഇപ്പോൾ നോക്കും, ഇതാണ്

"ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതി" (അല്ലെങ്കിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ).എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ (കൂടാതെ സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രമല്ല) വിഷയത്തിലെ മിക്ക “ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള” പ്രശ്‌നങ്ങളും അദ്ദേഹം പരിഹരിക്കുന്നു. ഈ രീതി പ്രായോഗികമായി ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒന്നാണ്. ആദ്യം, ഈ വിഷയവുമായി നിങ്ങൾ സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

പേരിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾ ഇതിനകം മനസ്സിലാക്കിയതുപോലെ, നിങ്ങളുടെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒന്നായി മാറുന്ന തരത്തിൽ വേരിയബിളിൻ്റെ അത്തരമൊരു മാറ്റം അവതരിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് ഈ രീതിയുടെ സാരാംശം. ഈ "ലളിതമാക്കിയ സമവാക്യം" പരിഹരിച്ചതിന് ശേഷം നിങ്ങൾക്കായി അവശേഷിക്കുന്നത് ഒരു "റിവേഴ്സ് റീപ്ലേസ്മെൻ്റ്" ഉണ്ടാക്കുക എന്നതാണ്: അതായത്, മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിൽ നിന്ന് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിലേക്ക് മടങ്ങുക. വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നമ്മൾ ഇപ്പോൾ പറഞ്ഞ കാര്യങ്ങൾ വിശദീകരിക്കാം:

ഉദാഹരണം 1:

ഈ സമവാക്യം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അപകീർത്തികരമായി വിളിക്കുന്നത് പോലെ "ലളിതമായ ഒരു പകരം വയ്ക്കൽ" ഉപയോഗിച്ചാണ് പരിഹരിക്കുന്നത്. വാസ്തവത്തിൽ, ഇവിടെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് ഏറ്റവും വ്യക്തമാണ്. അത് ഒന്ന് കണ്ടാൽ മതി

അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇതിലേക്ക് മാറും:

എങ്ങനെയെന്ന് ഞങ്ങൾ അധികമായി സങ്കൽപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എന്താണ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതെന്ന് വ്യക്തമാണ്: തീർച്ചയായും, . അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം എന്താണ്? ഇവിടെ എന്താണ്:

നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി അതിൻ്റെ വേരുകൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും: . നമ്മൾ ഇപ്പോൾ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങാനുള്ള സമയമാണിത്. എന്താണ് ഞാൻ പറയാൻ മറന്നത്? അതായത്: ഒരു നിശ്ചിത ബിരുദം ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ (അതായത്, ഒരു തരം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ), എനിക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടാകും പോസിറ്റീവ് വേരുകൾ മാത്രം!എന്തുകൊണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയും. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്കും എനിക്കും താൽപ്പര്യമില്ല, പക്ഷേ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് ഞങ്ങൾക്ക് തികച്ചും അനുയോജ്യമാണ്:

പിന്നെ എവിടെ നിന്ന്.

ഉത്തരം:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു പകരക്കാരൻ ഞങ്ങളുടെ കൈകൾ ആവശ്യപ്പെടുകയായിരുന്നു. നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും അങ്ങനെയല്ല. എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് സങ്കടകരമായ കാര്യത്തിലേക്ക് നേരിട്ട് പോകരുത്, എന്നാൽ ലളിതമായ ഒരു പകരക്കാരനായി നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി പരിശീലിക്കാം.

ഉദാഹരണം 2.

മിക്കവാറും നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കേണ്ടിവരുമെന്ന് വ്യക്തമാണ് (ഇത് ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ശക്തികളിൽ ഏറ്റവും ചെറുതാണ്), എന്നാൽ ഒരു പകരം വയ്ക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം അതിനായി "തയ്യാറാക്കേണ്ടതുണ്ട്", അതായത്: , . അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, അതിൻ്റെ ഫലമായി എനിക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം ലഭിക്കും:

ഓ ഹൊറർ: അത് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തികച്ചും ഭയാനകമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളുള്ള ഒരു ക്യൂബിക് സമവാക്യം (നന്നായി, സംസാരിക്കുന്നു പൊതുവായ കാഴ്ച). എന്നാൽ ഉടൻ തന്നെ നിരാശപ്പെടരുത്, എന്നാൽ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടതെന്ന് നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം. വഞ്ചന ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കാം: "മനോഹരമായ" ഉത്തരം ലഭിക്കാൻ, അത് മൂന്നിൻ്റെ ചില ശക്തിയുടെ രൂപത്തിൽ ലഭിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം (എന്തുകൊണ്ടായിരിക്കും അത്?). നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഊഹിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം (മൂന്നിൻ്റെ ശക്തികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞാൻ ഊഹിക്കാൻ തുടങ്ങും).

ആദ്യം ഊഹം. ഒരു റൂട്ട് അല്ല. അയ്യോ അയ്യോ...

.
ഇടതുവശം തുല്യമാണ്.
വലത് ഭാഗം:!
കഴിക്കുക! ആദ്യത്തെ റൂട്ട് ഊഹിച്ചു. ഇപ്പോൾ കാര്യങ്ങൾ എളുപ്പമാകും!

"കോർണർ" ഡിവിഷൻ സ്കീമിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ? തീർച്ചയായും നിങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു, നിങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യയെ മറ്റൊന്നായി ഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ അത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാൽ പോളിനോമിയലുകളിലും ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്ന് കുറച്ച് ആളുകൾക്ക് അറിയാം. അതിശയകരമായ ഒരു സിദ്ധാന്തമുണ്ട്:

എൻ്റെ സാഹചര്യത്തിന് ബാധകമാക്കുമ്പോൾ, ഇത് ബാക്കിയില്ലാതെ ഹരിക്കാവുന്നതാണെന്ന് ഇത് എന്നോട് പറയുന്നു. വിഭജനം എങ്ങനെയാണ് നടപ്പിലാക്കുന്നത്? അങ്ങനെയാണ്:

വ്യക്തമാകാൻ ഏത് മോണോമിയൽ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണമെന്ന് ഞാൻ നോക്കുന്നു, തുടർന്ന്:

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഞാൻ ഇതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു, എനിക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇപ്പോൾ, ലഭിക്കാൻ ഞാൻ എന്താണ് ഗുണിക്കേണ്ടത്? അപ്പോൾ എനിക്ക് ലഭിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ബാക്കിയുള്ളതിൽ നിന്ന് വീണ്ടും കുറയ്ക്കുക:

ശരി, ശേഷിക്കുന്ന പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ് അവസാന ഘട്ടം:

ഹുറേ, വിഭജനം അവസാനിച്ചു! ഞങ്ങൾ സ്വകാര്യമായി എന്താണ് ശേഖരിച്ചത്? അത് സ്വയം: .

യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന വികാസം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു:

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

ഇതിന് വേരുകളുണ്ട്:

അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം:

മൂന്ന് വേരുകൾ ഉണ്ട്:

തീർച്ചയായും, അവസാന റൂട്ട് ഞങ്ങൾ ഉപേക്ഷിക്കും പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്. റിവേഴ്‌സ് റീപ്ലേസ്‌മെൻ്റിന് ശേഷമുള്ള ആദ്യ രണ്ട് നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ നൽകും:

ഉത്തരം: ..

ഈ ഉദാഹരണത്തിലൂടെ, നിങ്ങളെ ഭയപ്പെടുത്താൻ ഞാൻ ഒട്ടും ആഗ്രഹിച്ചില്ല; പകരം, ഞങ്ങൾക്ക് വളരെ ലളിതമായ ഒരു പകരക്കാരൻ ഉണ്ടെങ്കിലും, അത് വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിച്ചുവെന്ന് കാണിക്കുക എന്നതായിരുന്നു എൻ്റെ ലക്ഷ്യം, അതിൻ്റെ പരിഹാരത്തിന് ഞങ്ങളിൽ നിന്ന് ചില പ്രത്യേക കഴിവുകൾ ആവശ്യമാണ്. ശരി, ആരും ഇതിൽ നിന്ന് മുക്തരല്ല. എന്നാൽ ഈ കേസിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ വളരെ വ്യക്തമായിരുന്നു.

കുറച്ചുകൂടി വ്യക്തമായ പകരമുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:

നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടതെന്ന് വ്യക്തമല്ല: നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിൽ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുണ്ട്, ഒരു അടിസ്ഥാനം മറ്റേതിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും (യുക്തിസഹമായ, സ്വാഭാവികമായി) ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിക്കൊണ്ട് നേടാനാവില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം. എന്നിരുന്നാലും, നമ്മൾ എന്താണ് കാണുന്നത്? രണ്ട് അടിത്തറകളും ചിഹ്നത്തിൽ മാത്രം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒന്നിന് തുല്യമായ ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസമാണ്:

നിർവ്വചനം:

അതിനാൽ, നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തിലെ അടിസ്ഥാനങ്ങളായ സംഖ്യകൾ സംയോജിതമാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്മാർട്ട് ഘട്ടം ആയിരിക്കും സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഓൺ, അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വശം തുല്യമാകും, വലത്. ഞങ്ങൾ ഒരു പകരം വയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇതുപോലെയാകും:

അതിൻ്റെ വേരുകൾ, അപ്പോൾ, അത് ഓർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും.

ഉത്തരം:, .

ചട്ടം പോലെ, മിക്ക "സ്കൂൾ" എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതി മതിയാകും. യൂണിഫൈഡ് സ്റ്റേറ്റ് എക്സാമിനേഷൻ C1 ൽ നിന്ന് താഴെപ്പറയുന്ന ജോലികൾ എടുത്തിട്ടുണ്ട് (പ്രയാസത്തിൻ്റെ വർദ്ധിച്ച നില). ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം സാക്ഷരതയുണ്ട്. ആവശ്യമായ പകരം വയ്ക്കൽ മാത്രമേ ഞാൻ തരൂ.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:
സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:
സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: . സെഗ്മെൻ്റിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തുക:

ഇപ്പോൾ ചില ഹ്രസ്വ വിശദീകരണങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും:

ഇവിടെ നമ്മൾ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ മതി... അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും: ഈ സമവാക്യം മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സ്വയം ചെയ്യുക. അവസാനം, നിങ്ങളുടെ ചുമതല ലളിതമായ ത്രികോണമിതി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കും (സൈൻ അല്ലെങ്കിൽ കോസൈൻ അനുസരിച്ച്). മറ്റ് വിഭാഗങ്ങളിൽ സമാനമായ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നോക്കും.
ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് സബ്‌സ്‌റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഇല്ലാതെ പോലും ചെയ്യാൻ കഴിയും: സബ്‌ട്രഹെൻഡ് വലത്തേക്ക് നീക്കി രണ്ട് അടിസ്ഥാനങ്ങളെയും രണ്ട് ശക്തികളിലൂടെ പ്രതിനിധീകരിക്കുക: , തുടർന്ന് നേരിട്ട് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകുക.
മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യവും തികച്ചും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയി പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു: എങ്ങനെയെന്ന് നമുക്ക് ഊഹിക്കാം. പിന്നീട്, മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും: അപ്പോൾ,
ഒരു ലോഗരിതം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം, അല്ലേ? ഇല്ലേ? അപ്പോൾ വിഷയം അടിയന്തിരമായി വായിക്കുക!

ആദ്യ റൂട്ട് ഈ വിഭാഗത്തിൽ പെട്ടതല്ല, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തേത് വ്യക്തമല്ല! എന്നാൽ ഞങ്ങൾ വളരെ വേഗം കണ്ടെത്തും! അപ്പോൾ മുതൽ (ഇത് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഒരു സ്വത്താണ്!) നമുക്ക് താരതമ്യം ചെയ്യാം:

രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്നും കുറയ്ക്കുക, തുടർന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇടതുവശത്തെ ഇതുപോലെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

രണ്ട് വശങ്ങളും ഗുണിക്കുക:

തുടർന്ന് ഗുണിക്കാവുന്നതാണ്

തുടർന്ന് താരതമ്യം ചെയ്യുക:

അന്ന് മുതൽ:

അപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് ആവശ്യമുള്ള ഇടവേളയുടേതാണ്

ഉത്തരം:

നിങ്ങൾ കാണുന്നതുപോലെ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ച് ആഴത്തിലുള്ള അറിവ് ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ കഴിയുന്നത്ര ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കാൻ ഞാൻ നിങ്ങളെ ഉപദേശിക്കുന്നു. നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതുപോലെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ എല്ലാം പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു! എൻ്റെ ഗണിത അധ്യാപകൻ പറഞ്ഞതുപോലെ: "ചരിത്രം പോലെ ഗണിതവും ഒറ്റരാത്രികൊണ്ട് വായിക്കാൻ കഴിയില്ല."

ചട്ടം പോലെ, എല്ലാം C1 പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ബുദ്ധിമുട്ട് കൃത്യമായി സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പാണ്.ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി പരിശീലിക്കാം:

സമവാക്യം തന്നെ വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഒരു പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു:

ആദ്യം നമുക്ക് ആദ്യത്തെ റൂട്ട് നോക്കാം. നമുക്ക് താരതമ്യം ചെയ്യാം: മുതൽ, അപ്പോൾ. (സ്വത്ത് ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻ, at). അപ്പോൾ ആദ്യത്തെ റൂട്ട് നമ്മുടെ ഇടവേളയിൽ പെട്ടതല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട്: . (ലെ ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നതിനാൽ) എന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഇത് താരതമ്യം ചെയ്യാൻ അവശേഷിക്കുന്നു ...

മുതൽ, അതേ സമയം. ഇതുവഴി എനിക്ക് "ഒരു കുറ്റി ഓടിക്കാൻ" കഴിയും. ഈ കുറ്റി ഒരു സംഖ്യയാണ്. ആദ്യത്തെ പ്രയോഗം കുറവാണ്, രണ്ടാമത്തേത് വലുതാണ്. അപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗം ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണ്, റൂട്ട് ഇടവേളയിൽ പെടുന്നു.

ഉത്തരം: .

അവസാനമായി, പകരം വയ്ക്കൽ തികച്ചും നിലവാരമില്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

എന്തുചെയ്യാൻ കഴിയും, എന്താണ് - തത്വത്തിൽ, ചെയ്യാൻ കഴിയും, പക്ഷേ അത് ചെയ്യാതിരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. മൂന്ന്, രണ്ട്, ആറ് എന്നീ ശക്തികളിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാം സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും. അത് എവിടേക്കാണ് നയിക്കുന്നത്? ഇത് ഒന്നിലേക്കും നയിക്കില്ല: ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു കലഹം, അവയിൽ ചിലത് ഒഴിവാക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും. അപ്പോൾ എന്താണ് വേണ്ടത്? ഒരു ശ്രദ്ധിക്കുക, ഇത് നമുക്ക് എന്ത് നൽകും? നമുക്ക് തീരുമാനം കുറയ്ക്കാം എന്നതും ഈ ഉദാഹരണംപരിഹരിക്കാൻ ലളിതമായ ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം മതി! ആദ്യം, നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം:

ഇപ്പോൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഇങ്ങനെ ഹരിക്കാം:

യുറീക്ക! ഇപ്പോൾ നമുക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ശരി, ഇപ്പോൾ പ്രകടന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള നിങ്ങളുടെ ഊഴമാണ്, നിങ്ങൾ വഴിതെറ്റി പോകാതിരിക്കാൻ ഞാൻ അവർക്ക് ഹ്രസ്വമായ അഭിപ്രായങ്ങൾ മാത്രം നൽകും! നല്ലതുവരട്ടെ!

1. ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളത്! ഇവിടെ പകരക്കാരനെ കാണുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്! എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് പൂർണ്ണമായും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുന്നു. ഇത് പരിഹരിക്കാൻ, ഇത് ശ്രദ്ധിച്ചാൽ മതി:

എങ്കിൽ ഇതാ നിങ്ങളുടെ പകരക്കാരൻ:

(ഇവിടെ ഞങ്ങളുടെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് നെഗറ്റീവ് റൂട്ട് നിരസിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക!!! എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾ ചിന്തിക്കുന്നത്?)

ഇപ്പോൾ ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

ഇവ രണ്ടും ഒരു "സ്റ്റാൻഡേർഡ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ" വഴി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും (എന്നാൽ ഒരു ഉദാഹരണത്തിൽ രണ്ടാമത്തേത്!)

2. അത് ശ്രദ്ധിക്കുകയും പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക.

3. കോപ്രൈം ഘടകങ്ങളിലേക്ക് സംഖ്യയെ വിഘടിപ്പിക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുക.

4. ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും (അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ) കൊണ്ട് ഹരിച്ച് പകരം വയ്ക്കുക അല്ലെങ്കിൽ.

5. അക്കങ്ങളും സംയോജിതവും ശ്രദ്ധിക്കുക.

എക്സ്പോണൻ്ററി സമവാക്യങ്ങൾ. അഡ്വാൻസ്ഡ് ലെവൽ

കൂടാതെ, നമുക്ക് മറ്റൊരു വഴി നോക്കാം - ലോഗരിതം രീതി ഉപയോഗിച്ച് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ ജനപ്രിയമാണെന്ന് എനിക്ക് പറയാനാവില്ല, എന്നാൽ ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ മാത്രമേ ഇത് നമ്മെ നയിക്കൂ ശരിയായ തീരുമാനംഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം. "" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ പരിഹരിക്കാൻ ഇത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു സമ്മിശ്ര സമവാക്യങ്ങൾ ": അതായത്, വ്യത്യസ്ത തരത്തിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടക്കുന്നവ.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം:

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് വശങ്ങളുടെയും (ഉദാഹരണത്തിന്, അടിത്തറയിലേക്ക്) ലോഗരിതം എടുത്ത് മാത്രമേ ഇത് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയൂ, അതിൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നവയായി മാറും:

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നോക്കാം:

ലോഗരിതമിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ODZ അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ODZ-ൽ നിന്ന് മാത്രമല്ല, ഒരു കാരണം കൂടി പിന്തുടരുന്നു. അത് ഏതാണെന്ന് ഊഹിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുണ്ടാകില്ലെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.

നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളുടെയും ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് എടുക്കാം:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ലോഗരിതം എടുക്കുന്നത് ശരിയായ (മനോഹരമായ!) ഉത്തരത്തിലേക്ക് ഞങ്ങളെ നയിച്ചു. ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി പരിശീലിക്കാം:

ഇവിടെയും തെറ്റൊന്നുമില്ല: സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളുടെയും ലോഗരിതം അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക് എടുക്കാം, തുടർന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം:

എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും നഷ്ടമായി! എനിക്ക് എവിടെയാണ് തെറ്റ് പറ്റിയതെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചോ? എല്ലാത്തിനുമുപരി, പിന്നെ:

ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്തത് (അത് എവിടെ നിന്നാണ് വന്നതെന്ന് ചിന്തിക്കുക!)

ഉത്തരം:

ചുവടെയുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം എഴുതാൻ ശ്രമിക്കുക:

ഇപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ തീരുമാനം ഇതുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക:

1. ഇത് കണക്കിലെടുത്ത് നമുക്ക് രണ്ട് വശങ്ങളും അടിത്തറയിലേക്ക് ലോഗരിതം ചെയ്യാം:

(മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമല്ല)

2. അടിസ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിലേക്ക് മാറ്റാം:

എക്സ്പോണൻ്ററി സമവാക്യങ്ങൾ. സംക്ഷിപ്ത വിവരണവും അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം

ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യം:

വിളിച്ചു ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം.

ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

പരിഹാരത്തിനുള്ള സമീപനങ്ങൾ

അതേ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കുറയ്ക്കൽ
ഒരേ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിലേക്ക് കുറയ്ക്കൽ
വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ
പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുകയും മുകളിൽ പറഞ്ഞവയിൽ ഒന്ന് പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക വകുപ്പ് 555-ലെ സാമഗ്രികൾ.
വളരെ "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്ക് വേണ്ടി
കൂടാതെ "വളരെയധികം...")

എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നത് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം? അജ്ഞാതരും (x) അവയ്‌ക്കൊപ്പമുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങളും ഉള്ള ഒരു സമവാക്യമാണിത് സൂചകങ്ങൾചില ഡിഗ്രികൾ. അവിടെ മാത്രം! അതു പ്രധാനമാണ്.

നിങ്ങൾ അവിടെയുണ്ട് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ:

3 x 2 x = 8 x+3

കുറിപ്പ്! ഡിഗ്രികളുടെ അടിത്തറയിൽ (ചുവടെ) - അക്കങ്ങൾ മാത്രം. IN സൂചകങ്ങൾഡിഗ്രികൾ (മുകളിൽ) - X ഉള്ള വൈവിധ്യമാർന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ. പെട്ടെന്ന്, ഒരു സൂചകം അല്ലാതെ മറ്റെവിടെയെങ്കിലും സമവാക്യത്തിൽ ഒരു X ദൃശ്യമാകുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്:

ഇതൊരു സമവാക്യമായിരിക്കും മിശ്രിത തരം. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് അവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് വ്യക്തമായ നിയമങ്ങളില്ല. ഞങ്ങൾ അവരെ ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കില്ല. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നുഅതിൻ്റെ ശുദ്ധമായ രൂപത്തിൽ.

വാസ്തവത്തിൽ, ശുദ്ധമായ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പോലും എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യക്തമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നില്ല. എന്നാൽ ഉണ്ട് ചില തരംപരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും പരിഹരിക്കേണ്ടതുമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. ഈ തരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നത്.

ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ആദ്യം, നമുക്ക് വളരെ അടിസ്ഥാനപരമായ എന്തെങ്കിലും പരിഹരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്:

സിദ്ധാന്തങ്ങളൊന്നുമില്ലെങ്കിലും, ലളിതമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പിലൂടെ x = 2 എന്ന് വ്യക്തമാണ്. കൂടുതൽ ഒന്നുമില്ല, അല്ലേ!? X ൻ്റെ മറ്റൊരു മൂല്യവും പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല. ഇനി ഈ ട്രിക്കി എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം നോക്കാം:

നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്തത്? വാസ്തവത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരേ അടിത്തറകൾ (ട്രിപ്പിൾസ്) എറിഞ്ഞു. പൂർണ്ണമായും പുറത്താക്കി. ഒപ്പം, നല്ല വാർത്ത, ഞങ്ങൾ തലയിൽ ആണി അടിച്ചു!

തീർച്ചയായും, ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ ഇടത്തും വലത്തും ഉണ്ടെങ്കിൽ അതുതന്നെഏതെങ്കിലും ശക്തികളിലെ സംഖ്യകൾ, ഈ സംഖ്യകൾ നീക്കം ചെയ്യാനും എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ തുല്യമാക്കാനും കഴിയും. ഗണിതശാസ്ത്രം അനുവദിക്കുന്നു. വളരെ ലളിതമായ ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. കൊള്ളാം, അല്ലേ?)

എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് ദൃഢമായി ഓർക്കാം: ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും ഉള്ള അടിസ്ഥാന സംഖ്യകൾ ഗംഭീരമായ ഐസൊലേഷനിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് ബേസ് നീക്കം ചെയ്യാൻ കഴിയൂ!അയൽക്കാരും ഗുണകങ്ങളും ഇല്ലാതെ. സമവാക്യങ്ങളിൽ നമുക്ക് പറയാം:

2 x +2 x+1 = 2 3, അല്ലെങ്കിൽ

രണ്ടെണ്ണം നീക്കം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല!

ശരി, ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം മാസ്റ്റർ ചെയ്തു. ദുഷിച്ച എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ എക്‌സ്‌പ്രെഷനുകളിൽ നിന്ന് ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് എങ്ങനെ നീങ്ങാം.

"അതാണ് സമയങ്ങൾ!" - നീ പറയു. "പരീക്ഷകളിലും പരീക്ഷകളിലും ഇത്തരമൊരു പ്രാകൃത പാഠം ആരാണ് നൽകുന്നത്!?"

ഞാൻ സമ്മതിക്കണം. ആരും ചെയ്യില്ല. എന്നാൽ തന്ത്രപരമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എവിടെ ലക്ഷ്യമിടണമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം. ഇടതും വലതും ഒരേ അടിസ്ഥാന നമ്പർ ഉള്ള ഫോമിലേക്ക് അത് കൊണ്ടുവരണം. അപ്പോൾ എല്ലാം എളുപ്പമാകും. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഒരു ക്ലാസിക് ആണ്. ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണം എടുത്ത് അത് ആവശ്യമുള്ള ഒന്നിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു ഞങ്ങളെമനസ്സ്. ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, തീർച്ചയായും.

അവയെ ഏറ്റവും ലളിതമായി ചുരുക്കാൻ ചില അധിക ശ്രമം ആവശ്യമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം. നമുക്ക് അവരെ വിളിക്കാം ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പ്രധാന നിയമങ്ങൾ ഇവയാണ് ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ച് അറിവില്ലാതെ ഒന്നും പ്രവർത്തിക്കില്ല.

ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്, ഒരാൾ വ്യക്തിപരമായ നിരീക്ഷണവും ചാതുര്യവും ചേർക്കണം. നമുക്ക് ഒരേ അടിസ്ഥാന സംഖ്യകൾ ആവശ്യമാണോ? അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അവ ഉദാഹരണത്തിൽ വ്യക്തമായതോ എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്തതോ ആയ രൂപത്തിൽ തിരയുന്നു.

ഇത് പ്രായോഗികമായി എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് നോക്കാം?

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം:

2 2x - 8 x+1 = 0

ആദ്യത്തെ സൂക്ഷ്മമായ നോട്ടം അതിലേക്കാണ് മൈതാനങ്ങൾ.അവർ... അവർ വ്യത്യസ്തരാണ്! രണ്ടും എട്ടും. എന്നാൽ നിരുത്സാഹപ്പെടാൻ വളരെ നേരത്തെ തന്നെ. അത് ഓർക്കാൻ സമയമായി

രണ്ടും എട്ടും ഡിഗ്രിയിൽ ബന്ധുക്കളാണ്.) എഴുതാൻ തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണ്:

8 x+1 = (2 3) x+1

ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഓർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ:

(a n) m = a nm,

ഇത് നന്നായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണം ഇതുപോലെ കാണാൻ തുടങ്ങി:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

ഞങ്ങൾ കൈമാറുന്നു 2 3 (x+1)വലതുവശത്ത് (ഗണിതത്തിൻ്റെ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആരും റദ്ദാക്കിയിട്ടില്ല!), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

2 2x = 2 3(x+1)

പ്രായോഗികമായി അത്രമാത്രം. അടിസ്ഥാനങ്ങൾ നീക്കംചെയ്യുന്നു:

ഞങ്ങൾ ഈ രാക്ഷസനെ പരിഹരിച്ച് നേടുന്നു

ഇതാണ് ശരിയായ ഉത്തരം.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, രണ്ടിൻ്റെ ശക്തികൾ അറിയുന്നത് ഞങ്ങളെ സഹായിച്ചു. ഞങ്ങൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞുഎട്ടിൽ ഒരു എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്ത രണ്ട് ഉണ്ട്. ഈ സാങ്കേതികത (എൻക്രിപ്ഷൻ പൊതുവായ അടിസ്ഥാനങ്ങൾകീഴിൽ വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾ) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിലെ വളരെ ജനപ്രിയമായ ഒരു സാങ്കേതികതയാണ്! അതെ, ലോഗരിതങ്ങളിലും. സംഖ്യകളിലെ മറ്റ് സംഖ്യകളുടെ ശക്തി തിരിച്ചറിയാൻ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയണം. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.

ഏത് സംഖ്യയും ഏതെങ്കിലും ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് ഒരു പ്രശ്നമല്ല എന്നതാണ് വസ്തുത. കടലാസിൽ പോലും ഗുണിക്കുക, അത്രമാത്രം. ഉദാഹരണത്തിന്, ആർക്കും 3-നെ അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താം. ഗുണനപ്പട്ടിക അറിയാമെങ്കിൽ 243 പ്രവർത്തിക്കും.) എന്നാൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ, പലപ്പോഴും ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല, മറിച്ച് തിരിച്ചും... കണ്ടെത്തുക ഏത് സംഖ്യ ഏത് ഡിഗ്രി വരെ 243 എന്ന നമ്പറിന് പിന്നിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ, പറയുക, 343... ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററും ഇവിടെ നിങ്ങളെ സഹായിക്കില്ല.

ചില സംഖ്യകളുടെ ശക്തി നിങ്ങൾ കണ്ടറിയണം, അല്ലേ... നമുക്ക് പരിശീലിക്കാം?

സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെ ശക്തികളാണെന്നും ഏത് സംഖ്യകളാണെന്നും നിർണ്ണയിക്കുക:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

ഉത്തരങ്ങൾ (ഒരു കുഴപ്പത്തിൽ, തീർച്ചയായും!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാൽ കാണാം വിചിത്രമായ വസ്തുത. ടാസ്‌ക്കുകളേക്കാൾ കൂടുതൽ ഉത്തരങ്ങളുണ്ട്! ശരി, അത് സംഭവിക്കുന്നു... ഉദാഹരണത്തിന്, 2 6, 4 3, 8 2 - അത്രമാത്രം 64.

സംഖ്യകളുമായുള്ള പരിചയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം.) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന കാര്യവും ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. എല്ലാംഗണിതശാസ്ത്ര അറിവിൻ്റെ ശേഖരം. ജൂനിയർ, മിഡിൽ ക്ലാസുകളിൽ നിന്നുള്ളവർ ഉൾപ്പെടെ. നിങ്ങൾ നേരെ ഹൈസ്കൂളിൽ പോയില്ല, അല്ലേ?)

ഉദാഹരണത്തിന്, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം ഇടുന്നത് പലപ്പോഴും സഹായിക്കുന്നു (ഏഴാം ഗ്രേഡിലേക്ക് ഹലോ!). നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

3 2x+4 -11 9 x = 210

വീണ്ടും, ആദ്യ നോട്ടം അടിത്തറയിലേക്കാണ്! ഡിഗ്രികളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ്... മൂന്ന്, ഒമ്പത്. പക്ഷേ, അവർ അങ്ങനെതന്നെ ആയിരിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ശരി, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ആഗ്രഹം പൂർണ്ണമായും പൂർത്തീകരിക്കപ്പെടുന്നു!) കാരണം:

9 x = (3 2) x = 3 2x

ഡിഗ്രികൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിന് സമാന നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

അത് കൊള്ളാം, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് എഴുതാം:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

അതേ കാരണങ്ങളാൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകി. അപ്പോൾ, അടുത്തത് എന്താണ്!? നിങ്ങൾക്ക് ത്രീകൾ എറിയാൻ കഴിയില്ല ... ഡെഡ് എൻഡ്?

ഒരിക്കലുമില്ല. ഏറ്റവും സാർവത്രികവും ശക്തവുമായ തീരുമാന നിയമം ഓർക്കുക എല്ലാവരുംഗണിത ജോലികൾ:

നിങ്ങൾക്ക് എന്താണ് വേണ്ടതെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അറിയില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുന്നത് ചെയ്യുക!

നോക്കൂ, എല്ലാം പ്രവർത്തിക്കും).

ഈ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ എന്താണ് ഉള്ളത് കഴിയുംചെയ്യണോ? അതെ, ഇടതുവശത്ത് അത് ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാൻ അപേക്ഷിക്കുന്നു! 3 2x ൻ്റെ മൊത്തത്തിലുള്ള ഗുണിതം ഇത് വ്യക്തമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നമുക്ക് ശ്രമിക്കാം, തുടർന്ന് നമുക്ക് കാണാം:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

ഉദാഹരണം മെച്ചപ്പെടുകയും മെച്ചപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു!

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കാൻ, ഗുണകങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ, ശുദ്ധമായ ഒരു ബിരുദം ആവശ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു. 70 എന്ന സംഖ്യ നമ്മെ അലട്ടുന്നു. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 70 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ശ്ശോ! എല്ലാം മെച്ചപ്പെട്ടു!

ഇതാണ് അന്തിമ ഉത്തരം.

എന്നിരുന്നാലും, അതേ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ടാക്സി ചെയ്യൽ നേടിയെടുക്കുന്നു, പക്ഷേ അവയുടെ ഉന്മൂലനം സാധ്യമല്ല. മറ്റ് തരത്തിലുള്ള എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഈ തരം മാസ്റ്റർ ചെയ്യാം.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

4 x - 3 2 x +2 = 0

ആദ്യം - പതിവുപോലെ. നമുക്ക് ഒരു അടിത്തറയിലേക്ക് പോകാം. ഒരു ഡ്യൂസിലേക്ക്.

4 x = (2 2) x = 2 2x

നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

ഇവിടെയാണ് ഞങ്ങൾ ഹാംഗ് ഔട്ട് ചെയ്യുന്നത്. മുൻ തന്ത്രങ്ങൾഎത്ര നോക്കിയാലും പ്രവർത്തിക്കില്ല. ഞങ്ങളുടെ ആയുധപ്പുരയിൽ നിന്ന് ശക്തവും സാർവത്രികവുമായ മറ്റൊരു രീതി ഞങ്ങൾ പുറത്തെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനെ വിളിക്കുന്നു വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ.

രീതിയുടെ സാരാംശം അതിശയകരമാംവിധം ലളിതമാണ്. ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഐക്കണിന് പകരം (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ - 2 x) ഞങ്ങൾ മറ്റൊന്ന് എഴുതുന്നു, ലളിതമാണ് (ഉദാഹരണത്തിന് - t). അത്തരം അർത്ഥശൂന്യമായ ഒരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ അതിശയകരമായ ഫലങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു!) എല്ലാം വ്യക്തവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതുമായിത്തീരുന്നു!

അതിനാൽ അനുവദിക്കുക

അപ്പോൾ 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ എല്ലാ ശക്തികളെയും x ഉപയോഗിച്ച് t ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

ശരി, ഇത് നിങ്ങൾക്ക് ഉദിക്കുന്നുണ്ടോ?) ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾനിങ്ങൾ ഇതുവരെ മറന്നോ? വിവേചനത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം നിർത്തരുത്, സംഭവിക്കുന്നത് പോലെ ... ഇത് ഇതുവരെ ഉത്തരം അല്ല, ഞങ്ങൾക്ക് x ആണ് വേണ്ടത്, t അല്ല. നമുക്ക് X-കളിലേക്ക് മടങ്ങാം, അതായത്. ഞങ്ങൾ ഒരു റിവേഴ്സ് റീപ്ലേസ്മെൻ്റ് ഉണ്ടാക്കുന്നു. ടി 1-ന് ആദ്യം:

അതാണ്,

ഒരു റൂട്ട് കണ്ടെത്തി. ഞങ്ങൾ t 2 ൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേത് തിരയുകയാണ്:

ഹോ... ഇടതുവശത്ത് 2 x, വലതുവശത്ത് 1... പ്രശ്നമുണ്ടോ? ഒരിക്കലുമില്ല! ഒരു യൂണിറ്റ് ആണെന്ന് (അധികാരങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന്, അതെ...) ഓർത്താൽ മതി ഏതെങ്കിലുംപൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ. ഏതെങ്കിലും. എന്ത് ആവശ്യമുണ്ടെങ്കിലും ഞങ്ങൾ അത് ഇൻസ്റ്റാൾ ചെയ്യും. നമുക്ക് രണ്ടെണ്ണം വേണം. അർത്ഥം:

ഇപ്പോൾ അത്രമാത്രം. ഞങ്ങൾക്ക് 2 വേരുകൾ ലഭിച്ചു:

ഇതാണ് ഉത്തരം.

ചെയ്തത് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നുഅവസാനം ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള വിചിത്രമായ പദപ്രയോഗത്തിലൂടെ അവസാനിക്കും. തരം:

ഏഴ് മുതൽ രണ്ട് വരെ ലളിതമായ ബിരുദംപ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല. അവർ ബന്ധുക്കളല്ല... നമ്മൾ എങ്ങനെയിരിക്കും? ആരെങ്കിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലായേക്കാം... എന്നാൽ ഈ സൈറ്റിൽ "ഒരു ലോഗരിതം എന്താണ്?" എന്ന വിഷയം വായിച്ച വ്യക്തി. , മിതമായി പുഞ്ചിരിക്കുക, ഉറച്ച കൈകൊണ്ട് തികച്ചും ശരിയായ ഉത്തരം എഴുതുക:

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ "ബി" ടാസ്ക്കുകളിൽ അത്തരമൊരു ഉത്തരം ഉണ്ടാകില്ല. അവിടെ ഒരു പ്രത്യേക നമ്പർ ആവശ്യമാണ്. എന്നാൽ "സി" ടാസ്ക്കുകളിൽ ഇത് എളുപ്പമാണ്.

ഈ പാഠം ഏറ്റവും സാധാരണമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നു. പ്രധാന പോയിൻ്റുകൾ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാം.

പ്രായോഗിക ഉപദേശം:

1. ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു മൈതാനങ്ങൾഡിഗ്രികൾ. അവ ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് ഞങ്ങൾ ആശ്ചര്യപ്പെടുന്നു സമാനമായ.സജീവമായി ഉപയോഗിച്ച് ഇത് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കാം ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ. x ഇല്ലാത്ത സംഖ്യകളും ശക്തികളാക്കി മാറ്റാമെന്ന കാര്യം മറക്കരുത്!

2. ഇടത്തും വലത്തും ഉള്ളപ്പോൾ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു. അതുതന്നെഏതെങ്കിലും ശക്തികളിലെ സംഖ്യകൾ. ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾഒപ്പം ഘടകവൽക്കരണം.അക്കങ്ങളിൽ എന്ത് കണക്കാക്കാം, ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു.

3. രണ്ടാമത്തെ ടിപ്പ് പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, വേരിയബിൾ റീപ്ലേസ്മെൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ശ്രമിക്കുക. ഫലം എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു സമവാക്യമായിരിക്കാം. മിക്കപ്പോഴും - ചതുരം. അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ, അത് ചതുരമായി കുറയുന്നു.

4. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ചില സംഖ്യകളുടെ ശക്തി നിങ്ങൾ കാഴ്ചയിലൂടെ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

പതിവുപോലെ, പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം അൽപ്പം തീരുമാനിക്കാൻ നിങ്ങളെ ക്ഷണിക്കുന്നു.) സ്വന്തമായി. ലളിതം മുതൽ സങ്കീർണ്ണത വരെ.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

കൂടുതൽ പ്രയാസമാണ്:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0.5x+1 - 8 = 0

വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുക:

2 3's + 2 x = 9

സംഭവിച്ചത്?

എങ്കിൽ ശരി ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണം(തീരുമാനിച്ചെങ്കിലും മനസ്സിൽ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

എന്താണ് കൂടുതൽ രസകരമായത്? എങ്കിൽ ഇതാ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മോശം ഉദാഹരണം. വർധിച്ച ബുദ്ധിമുട്ടുകൾക്ക് തികച്ചും പ്രലോഭനം. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, നിങ്ങളെ രക്ഷിക്കുന്നത് ചാതുര്യവും എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്‌നങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും സാർവത്രിക നിയമവുമാണെന്ന് ഞാൻ സൂചിപ്പിക്കട്ടെ.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം, വിശ്രമത്തിനായി):

9 2 x - 4 3 x = 0

പിന്നെ ഡെസേർട്ടിനും. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

അതെ അതെ! ഇതൊരു മിക്സഡ് ടൈപ്പ് സമവാക്യമാണ്! ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കാത്തത്. എന്തുകൊണ്ടാണ് അവ പരിഗണിക്കേണ്ടത്, അവ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്!) ഈ പാഠം സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ പര്യാപ്തമാണ്. ശരി, നിങ്ങൾക്ക് ചാതുര്യം ആവശ്യമാണ്... കൂടാതെ ഏഴാം ക്ലാസ് നിങ്ങളെ സഹായിക്കട്ടെ (ഇതൊരു സൂചനയാണ്!).

ഉത്തരങ്ങൾ (അക്രമത്തിൽ, അർദ്ധവിരാമങ്ങളാൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു):

1; 2; 3; 4; പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല; 2; -2; -5; 4; 0.

എല്ലാം വിജയകരമാണോ? കൊള്ളാം.

ഒരു കുഴപ്പമുണ്ട്? ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! സ്പെഷ്യൽ സെക്ഷൻ 555 വിശദമായ വിശദീകരണങ്ങളോടെ ഈ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെല്ലാം പരിഹരിക്കുന്നു. എന്ത്, എന്തുകൊണ്ട്, എന്തുകൊണ്ട്. കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, എല്ലാത്തരം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ വിലപ്പെട്ട വിവരങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഇവ മാത്രമല്ല.)

പരിഗണിക്കേണ്ട അവസാനത്തെ രസകരമായ ചോദ്യം. ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിച്ചു. എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞാൻ ഇവിടെ ODZ നെ കുറിച്ച് ഒരക്ഷരം പറയാത്തത്?സമവാക്യങ്ങളിൽ, ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു കാര്യമാണ്, വഴിയിൽ ...

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. നമുക്ക് പഠിക്കാം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.