പവർ സമവാക്യങ്ങളും പദപ്രയോഗങ്ങളും എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം. പ്രഭാഷണം: "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

വീട് / മനഃശാസ്ത്രം

ഈ ലേഖനത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാ തരത്തിലുമുള്ള പരിചയമുണ്ടാകും എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾഅവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതങ്ങളും, അത് ഏത് തരത്തിൽ പെട്ടതാണെന്ന് തിരിച്ചറിയാൻ പഠിക്കുക എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം, നിങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടത്, അത് പരിഹരിക്കാൻ ഉചിതമായ രീതി പ്രയോഗിക്കുക. ഉദാഹരണങ്ങളുടെ വിശദമായ പരിഹാരം എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾഅനുബന്ധ വീഡിയോ പാഠങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഓരോ തരവും കാണാൻ കഴിയും.

ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്നത് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻറിൽ അജ്ഞാതമായത് അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ്.

നിങ്ങൾ ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, കുറച്ച് ചെയ്യുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ് പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ , അത് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി സുഗമമാക്കും. ഇവയാണ് ഘട്ടങ്ങൾ:

1. അധികാരങ്ങളുടെ എല്ലാ അടിസ്ഥാനങ്ങളെയും പ്രധാന ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കുക.

2. വേരുകൾ ഒരു ബിരുദമായി അവതരിപ്പിക്കുക.

3. ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളെ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളായി അവതരിപ്പിക്കുക.

4. മിക്സഡ് നമ്പറുകൾ തെറ്റായ ഭിന്നസംഖ്യകളായി എഴുതുക.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രയോജനങ്ങൾ നിങ്ങൾ തിരിച്ചറിയും.

പ്രധാന തരങ്ങൾ നോക്കാം എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾഅവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതങ്ങളും.

1. ഫോമിന്റെ സമവാക്യം

ഈ സമവാക്യം സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്

ഈ വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയലിൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം കാണുക ഈ തരം.

2. ഫോമിന്റെ സമവാക്യം

ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ:

b) എക്‌സ്‌പോണന്റിലെ അജ്ഞാതന്റെ ഗുണകങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഏറ്റവും ചെറിയ ഘടകം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ തരത്തിലുള്ള ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം:

വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയൽ കാണുക.

3. ഫോമിന്റെ സമവാക്യം

ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ അതിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

a) എല്ലാ ഡിഗ്രികൾക്കും ഒരേ അടിത്തറയുണ്ട്

b) എക്‌സ്‌പോണന്റിലെ അജ്ഞാതത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ വേരിയബിളുകളുടെ മാറ്റങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. ഒരു പകരക്കാരനെ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, എക്‌സ്‌പോണന്റിലെ സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകൾ ഒഴിവാക്കുന്നതാണ് ഉചിതം. (, , തുടങ്ങിയവ)

ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയൽ കാണുക:

4. ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾദയയുള്ള

ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ സവിശേഷ സവിശേഷതകൾ:

a) എല്ലാ മോണോമിയലുകൾക്കും ഒരേ ഡിഗ്രി ഉണ്ട്,

b) സ്വതന്ത്ര പദം പൂജ്യമാണ്,

c) സമവാക്യത്തിൽ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുള്ള ശക്തികൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

സമാനമായ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും വിഭജിക്കുന്നു (ഇത് കൊണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ വിഭജിക്കാം)

ശ്രദ്ധ!ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ വലത്, ഇടത് വശങ്ങൾ അജ്ഞാതമായ ഒരു പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ നഷ്ടപ്പെടാം. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും വിഭജിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിന്റെ വേരുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ, അജ്ഞാതമായ ഒരു മൂല്യത്തിനും പദപ്രയോഗം പൂജ്യമല്ലാത്തതിനാൽ, ഭയമില്ലാതെ നമുക്ക് അതിനെ വിഭജിക്കാം. ഈ പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തെ ടേം കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും കുറയ്ക്കാം:

പകരക്കാരനെ നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം:

അതിലുപരി ശീർഷകം="t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം:

നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം, തലക്കെട്ട് = "t>0" എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയൽ കാണുക വിശദമായ പരിഹാരംഏകതാനമായ സമവാക്യം:

5. ഫോമിന്റെ സമവാക്യം

ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, തലക്കെട്ട്="f(x)>0 എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകും">!}

പ്രാരംഭ സമത്വം രണ്ട് കേസുകളിൽ തൃപ്തികരമാണ്:

1. 1 മുതൽ ഏതെങ്കിലും ശക്തി 1 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ,

2. രണ്ട് നിബന്ധനകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ:

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ()">!}

സമവാക്യത്തിന്റെ വിശദമായ പരിഹാരത്തിനായി വീഡിയോ ട്യൂട്ടോറിയൽ കാണുക

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. ചിലത് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരിഗണിച്ചിട്ടുണ്ട് - ഇവ ലോഗരിഥമിക്, ത്രികോണമിതി, യുക്തിസഹമാണ്. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഇതാ.

സമീപകാല ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിച്ചു, അത് ഉപയോഗപ്രദമാകും. സമവാക്യങ്ങൾ തന്നെ ലളിതമായും വേഗത്തിലും പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. നിങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ അറിഞ്ഞാൽ മതി... ഇതിനെക്കുറിച്ച്കൂടുതൽ.

നമുക്ക് എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുടെ സവിശേഷതകൾ പട്ടികപ്പെടുത്താം:

ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും പൂജ്യം ശക്തി ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

ഈ വസ്തുവിൽ നിന്നുള്ള ഒരു അനന്തരഫലം:

കുറച്ചുകൂടി സിദ്ധാന്തം.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്നത് എക്‌സ്‌പോണൻറിലെ ഒരു വേരിയബിൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ്, അതായത്, ഇത് ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്:

എഫ്(x) ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന എക്സ്പ്രഷൻ

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

1. പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, സമവാക്യം രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം:

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രോപ്പർട്ടി പ്രയോഗിക്കുന്നു:

2. ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കുമ്പോൾ ഒരു എഫ് (x) = ബിലോഗരിതം നിർവചനം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

3. പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, നിങ്ങൾക്ക് ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും:

ലോഗരിതം പ്രയോഗിച്ചു:

എക്സ്പ്രസ് ചെയ്ത് കണ്ടെത്തുക.

ചുമതലകളിൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ ഓപ്ഷനുകൾആദ്യ രീതി ഉപയോഗിച്ചാൽ മതിയാകും.

അതായത്, ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളുടെ രൂപത്തിൽ ഇടതും വലതും വശങ്ങൾ പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളെ തുല്യമാക്കുകയും സാധാരണ രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

4 1-2x = 64 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക.

ഇടത് വശത്ത് എന്ന് ഉറപ്പാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് വലത് ഭാഗങ്ങൾഒരു അടിത്തറയുള്ള പ്രകടനാത്മക പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നു. നമുക്ക് 64-നെ 3-ന്റെ ശക്തിയിൽ 4 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

പരീക്ഷ:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

ഉത്തരം: -1

സമവാക്യം 3 ന്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക x–18 = 1/9.

എന്നാണ് അറിയുന്നത്

അതിനാൽ 3 x-18 = 3 -2

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യമാണ്, നമുക്ക് സൂചകങ്ങളെ തുല്യമാക്കാം:

x – 18 = – 2

x = 16

പരീക്ഷ:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

ഉത്തരം: 16

സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക:

1/64 എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയെ നാലിലൊന്ന് മുതൽ മൂന്നാമത്തെ ശക്തി വരെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

പരീക്ഷ:

ഉത്തരം: 11

സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക:

1/3 3 -1 ആയും 9 3 ചതുരായും സങ്കൽപ്പിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

(3-1) 8-2x = 3 2

3 –1∙(8–2x) = 3 2

3 –8+2x = 3 2

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സൂചകങ്ങളെ തുല്യമാക്കാം:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

പരീക്ഷ:

ഉത്തരം: 5

26654. സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക:

പരിഹാരം:

ഉത്തരം: 8.75

തീർച്ചയായും, നമ്മൾ എത്രത്തോളം ഉയർത്തിയാലും പ്രശ്നമില്ല പോസിറ്റീവ് നമ്പർ a, നമുക്ക് ഒരു തരത്തിലും നെഗറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിക്കില്ല.

ഉചിതമായ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള ഏതെങ്കിലും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഒന്നോ അതിലധികമോ ലളിതമായവ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.ഈ വിഭാഗത്തിൽ ഞങ്ങൾ ചില സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതും നോക്കും, അത് നഷ്ടപ്പെടുത്തരുത്!അത്രയേയുള്ളൂ. നിങ്ങൾക്ക് ആശംസകൾ!

വിശ്വസ്തതയോടെ, അലക്സാണ്ടർ ക്രുറ്റിറ്റ്സ്കിഖ്.

P.S: സോഷ്യൽ നെറ്റ്‌വർക്കുകളിലെ സൈറ്റിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ എന്നോട് പറഞ്ഞാൽ ഞാൻ നന്ദിയുള്ളവനായിരിക്കും.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, അജ്ഞാതമായത് എക്‌സ്‌പോണന്റിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നവയാണ്. ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്: a x = a b, ഇവിടെ a> 0, a 1, x അജ്ഞാതമാണ്.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുന്ന ശക്തികളുടെ പ്രധാന ഗുണങ്ങൾ: a>0, b>0.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവയും ഉപയോഗിക്കുന്നു ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങൾഎക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ: y = a x, a > 0, a1:

ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ, അടിസ്ഥാനം ഉപയോഗിക്കുക ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി: b = , a > 0, a1, b > 0.

"എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ" എന്ന വിഷയത്തിലെ പ്രശ്‌നങ്ങളും പരിശോധനകളും

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ
പാഠങ്ങൾ: 4 അസൈൻമെന്റുകൾ: 21 ടെസ്റ്റുകൾ: 1
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ - പ്രധാനപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ ആവർത്തിക്കുന്നതിന്
ചുമതലകൾ: 14
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ - പ്രകടനാത്മകവും ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്ഷൻഗ്രേഡ് 11
പാഠങ്ങൾ: 1 അസൈൻമെന്റുകൾ: 15 ടെസ്റ്റുകൾ: 1
§2.1. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു
പാഠങ്ങൾ: 1 ടാസ്ക്കുകൾ: 27
§7 എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും - വിഭാഗം 5. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ, ഗ്രേഡ് 10
പാഠങ്ങൾ: 1 ടാസ്ക്കുകൾ: 17

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ശക്തികളുടെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ, അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി എന്നിവ നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് പ്രധാന രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

a f(x) = a g(x) എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് f(x) = g(x) എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റം;
പുതിയ ലൈനുകളുടെ ആമുഖം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

1. സമവാക്യങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായി ചുരുക്കി. സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ചുരുക്കിക്കൊണ്ട് അവ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

3 x = 9 x – 2.

പരിഹാരം:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x - 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

ഉത്തരം: 4.

2. ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുത്ത് പരിഹരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ.

പരിഹാരം:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

ഉത്തരം: 3.

3. വേരിയബിളിന്റെ മാറ്റം ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു.

പരിഹാരം:

2 2x + 2 x – 12 = 0
ഞങ്ങൾ 2 x = y സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ല, കാരണം 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 ലോഗ് 2 3 ; x = ലോഗ് 2 3.

ഉത്തരം:ലോഗ് 2 3.

4. രണ്ട് വ്യത്യസ്ത (പരസ്പരം കുറയ്ക്കാൻ കഴിയാത്ത) ബേസുകളുള്ള ശക്തികൾ അടങ്ങുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x – 2 = 5 x + 2 x – 2.

3× 2 x + 1 – 2 x – 2 = 5 x – 2 × 5 x – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x– 2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

ഉത്തരം: 2.

5. a x, b x എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾ.

പൊതുവായ ഫോം: .

9 x + 4 x = 2.5 × 6 x.

പരിഹാരം:

3 2x – 2.5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0.
നമുക്ക് (3/2) x = y സൂചിപ്പിക്കാം.
y 2 – 2.5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

ഉത്തരം:ലോഗ് 3/2 2; - ലോഗ് 3/2 2.

എന്താണ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം? ഉദാഹരണങ്ങൾ.

അതിനാൽ, ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം... വൈവിധ്യമാർന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ ഞങ്ങളുടെ പൊതു പ്രദർശനത്തിലെ ഒരു പുതിയ അതുല്യമായ പ്രദർശനം!) മിക്കവാറും എല്ലായ്‌പ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നതുപോലെ, ഏതൊരു പുതിയ ഗണിതശാസ്ത്ര പദത്തിന്റെയും പ്രധാന വാക്ക് അതിനെ ചിത്രീകരിക്കുന്ന അനുബന്ധ നാമവിശേഷണമാണ്. അതിനാൽ അത് ഇവിടെയുണ്ട്. കീവേഡ്പദത്തിൽ "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം" എന്നത് വാക്കാണ് "സൂചക". എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? ഈ വാക്കിന്റെ അർത്ഥം അജ്ഞാതമായ (x) സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു എന്നാണ് ഏതെങ്കിലും ഡിഗ്രികളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ.അവിടെ മാത്രം! ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

അല്ലെങ്കിൽ ഈ രാക്ഷസന്മാർ പോലും:

2 sin x = 0.5

ദയവായി ഒരു കാര്യം ഉടൻ ശ്രദ്ധിക്കുക പ്രധാന കാര്യം: വി കാരണങ്ങൾഡിഗ്രി (താഴെ) - അക്കങ്ങൾ മാത്രം. എന്നാൽ അകത്ത് സൂചകങ്ങൾഡിഗ്രികൾ (മുകളിൽ) - X ഉള്ള വൈവിധ്യമാർന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ. തികച്ചും ഏതെങ്കിലും.) എല്ലാം നിർദ്ദിഷ്ട സമവാക്യംആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. സൂചകത്തിനുപുറമെ (3 x = 18 + x 2 എന്ന് പറയുക) സമവാക്യത്തിൽ മറ്റെവിടെയെങ്കിലും x പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യം ഇതിനകം ഒരു സമവാക്യമായിരിക്കും മിശ്രിത തരം . അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് അവ പരിഹരിക്കുന്നതിന് വ്യക്തമായ നിയമങ്ങളില്ല. അതിനാൽ, ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ അവ പരിഗണിക്കില്ല. വിദ്യാർത്ഥികളുടെ സന്തോഷത്തിനായി.) ഇവിടെ നമ്മൾ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ അവയുടെ "ശുദ്ധമായ" രൂപത്തിൽ മാത്രം പരിഗണിക്കും.

പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, എല്ലായ്‌പ്പോഴും ശുദ്ധമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പോലും വ്യക്തമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. എന്നാൽ എല്ലാ സമ്പന്നമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്കിടയിലും ഉണ്ട് ചില തരം, പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നതും പരിഹരിക്കേണ്ടതും. ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നത്. ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കും.) അതിനാൽ നമുക്ക് സുഖമായി കഴിയാം, നമുക്ക് പോകാം! കംപ്യൂട്ടർ ഷൂട്ടറുകളിലേത് പോലെ, ലെവലുകളിലൂടെയാണ് ഞങ്ങളുടെ യാത്ര നടക്കുന്നത്.) പ്രാഥമികത്തിൽ നിന്ന് ലളിതത്തിലേക്കും ലളിതത്തിൽ നിന്ന് ഇന്റർമീഡിയറ്റിലേക്കും ഇന്റർമീഡിയറ്റിൽ നിന്ന് സങ്കീർണ്ണത്തിലേക്കും. വഴിയിൽ, ഒരു രഹസ്യ തലവും നിങ്ങളെ കാത്തിരിക്കും - നിലവാരമില്ലാത്ത ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാങ്കേതികതകളും രീതികളും. നിങ്ങൾ അധികം വായിക്കാത്തവ സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ... ശരി, അവസാനം, തീർച്ചയായും, ഗൃഹപാഠത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ അന്തിമ ബോസ് നിങ്ങളെ കാത്തിരിക്കുന്നു.)

ലെവൽ 0. ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്താണ്? ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ആദ്യം, നമുക്ക് ചില വ്യക്തമായ പ്രാഥമിക കാര്യങ്ങൾ നോക്കാം. നിങ്ങൾ എവിടെയെങ്കിലും തുടങ്ങണം, അല്ലേ? ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ സമവാക്യം:

2 x = 2 2

സിദ്ധാന്തങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ പോലും, ലളിതമായ യുക്തി അനുസരിച്ച് സാമാന്യ ബോധം x = 2 എന്ന് വ്യക്തമാണ്. വേറെ വഴിയില്ല, അല്ലേ? X എന്നതിന്റെ മറ്റൊരു അർത്ഥവും അനുയോജ്യമല്ല... ഇനി നമുക്ക് ഇതിലേക്ക് ശ്രദ്ധ തിരിക്കാം തീരുമാനത്തിന്റെ രേഖഈ രസകരമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം:

2 x = 2 2

X = 2

ഞങ്ങൾക്ക് എന്ത് സംഭവിച്ചു? പിന്നെ സംഭവിച്ചത്. ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ അത് എടുത്തു ... ലളിതമായി ഒരേ അടിത്തറകൾ (രണ്ട്) എറിഞ്ഞു! പൂർണ്ണമായും പുറത്താക്കി. ഒപ്പം, നല്ല വാർത്ത, ഞങ്ങൾ കാളയുടെ കണ്ണിൽ പെട്ടു!

അതെ, തീർച്ചയായും, ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ ഇടത്തും വലത്തും ഉണ്ടെങ്കിൽ അതുതന്നെഏതെങ്കിലും ശക്തികളിലുള്ള സംഖ്യകൾ, അപ്പോൾ ഈ സംഖ്യകൾ നിരസിക്കുകയും ഘാതാങ്കങ്ങളെ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യാം. ഗണിതശാസ്ത്രം അനുവദിക്കുന്നു.) തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് സൂചകങ്ങളുമായി വെവ്വേറെ പ്രവർത്തിക്കാനും വളരെ ലളിതമായ ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനും കഴിയും. കൊള്ളാം, അല്ലേ?

അത് പ്രധാന ആശയംഏതെങ്കിലും (അതെ, കൃത്യമായി ഏതെങ്കിലും!) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ: സമാന പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതും വലതും വശങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് ഉറപ്പാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് അതുതന്നെ വിവിധ ശക്തികളിലുള്ള അടിസ്ഥാന സംഖ്യകൾ. തുടർന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അതേ അടിത്തറകൾ സുരക്ഷിതമായി നീക്കം ചെയ്യാനും എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ തുല്യമാക്കാനും കഴിയും. കൂടാതെ ലളിതമായ ഒരു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുക.

ഇനി നമുക്ക് ഓർക്കാം ഇരുമ്പ് ഭരണം: സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത്തും വലത്തും ഉള്ള സംഖ്യകൾക്ക് അടിസ്ഥാന സംഖ്യകളുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ സമാന ബേസുകൾ നീക്കംചെയ്യാൻ കഴിയൂ. അഭിമാനകരമായ ഏകാന്തതയിൽ.

അതിമനോഹരമായ ഒറ്റപ്പെടലിൽ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ഇതിനർത്ഥം അയൽക്കാരും ഗുണകങ്ങളും ഇല്ലാതെ. എന്നെ വിശദമാക്കാൻ അനുവദിക്കൂ.

ഉദാഹരണത്തിന്, Eq ൽ.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

ത്രീകൾ നീക്കം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല! എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം ഇടതുവശത്ത് നമുക്ക് ഡിഗ്രിയിലേക്കുള്ള ഏകാന്തമായ മൂന്ന് മാത്രമല്ല, മറിച്ച് ജോലി 3·3 x-5 . മൂന്ന് അധികമായി ഇടപെടുന്നു: ഗുണകം, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു.)

സമവാക്യത്തെക്കുറിച്ചും ഇതുതന്നെ പറയാം

5 3 x = 5 2 x +5 x

ഇവിടെയും എല്ലാ അടിസ്ഥാനങ്ങളും ഒന്നുതന്നെയാണ് - അഞ്ച്. എന്നാൽ വലതുവശത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് അഞ്ചിന്റെ ഒരൊറ്റ ശക്തിയില്ല: അധികാരങ്ങളുടെ ഒരു തുകയുണ്ട്!

ചുരുക്കത്തിൽ, നമ്മുടെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഇതുപോലെയും ഇതുപോലെയും കാണുമ്പോൾ മാത്രമേ സമാന അടിത്തറകൾ നീക്കംചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുള്ളൂ:

എഎഫ് (x) = ഒരു ജി (x)

ഇത്തരത്തിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ഏറ്റവും ലളിതമായത്. അല്ലെങ്കിൽ, ശാസ്ത്രീയമായി, കാനോനിക്കൽ . നമുക്ക് മുന്നിൽ എന്ത് വളഞ്ഞ സമവാക്യം ഉണ്ടായാലും, ഒരു തരത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിൽ, ഞങ്ങൾ അതിനെ ഈ ലളിതമായ (കാനോനിക്കൽ) രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കും. അല്ലെങ്കിൽ, ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, വരെ സമഗ്രതഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ. അപ്പോൾ നമ്മുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം പൊതുവായ കാഴ്ചഇതുപോലെ മാറ്റിയെഴുതുക:

F(x) = g(x)

അത്രയേയുള്ളൂ. ഇത് തുല്യമായ പരിവർത്തനമായിരിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, f(x) ഉം g(x) ഉം ഒരു x ഉള്ള ഏത് പദപ്രയോഗവും ആകാം. എന്തുതന്നെയായാലും.

ഒരു പ്രത്യേക അന്വേഷണാത്മക വിദ്യാർത്ഥി ഒരുപക്ഷേ ആശ്ചര്യപ്പെടും: എന്തുകൊണ്ടാണ് ഭൂമിയിൽ നമ്മൾ ഇടത്തും വലത്തും ഉള്ള ഒരേ അടിത്തറകൾ നിരസിക്കുകയും ഘാതങ്ങളെ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നത്? അവബോധം അവബോധമാണ്, എന്നാൽ ചില സമവാക്യങ്ങളിലും ചില കാരണങ്ങളാലും ഈ സമീപനം തെറ്റാണെന്ന് തെളിഞ്ഞാലോ? ഒരേ കാരണങ്ങളെ തള്ളിക്കളയുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും നിയമപരമാണോ?നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഇതിന് കർശനമായ ഗണിതശാസ്ത്ര ഉത്തരത്തിനായി താൽപ്പര്യം ചോദിക്കുകനിങ്ങൾ വളരെ ആഴത്തിലും ഗൗരവത്തിലും മുങ്ങേണ്ടതുണ്ട് പൊതു സിദ്ധാന്തംഉപകരണവും പ്രവർത്തന സ്വഭാവവും. കുറച്ചുകൂടി വ്യക്തമായി - പ്രതിഭാസത്തിൽ കർശനമായ ഏകതാനത.പ്രത്യേകിച്ച്, കർശനമായ ഏകതാനത എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻവൈ= ഒരു x. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിന് അടിവരയിടുന്നത് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളും ആയതിനാൽ, അതെ.) ഈ ചോദ്യത്തിനുള്ള വിശദമായ ഉത്തരം വ്യത്യസ്ത ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഏകതാനത ഉപയോഗിച്ച് സങ്കീർണ്ണമായ നിലവാരമില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രത്യേക പ്രത്യേക പാഠത്തിൽ നൽകും.)

ഈ കാര്യം ഇപ്പോൾ വിശദമായി വിശദീകരിക്കുന്നത് ശരാശരി വിദ്യാർത്ഥിയുടെ മനസ്സിനെ തകർക്കുകയും വരണ്ടതും കനത്തതുമായ ഒരു സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് അവനെ ഭയപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യും. ഞാൻ ഇത് ചെയ്യില്ല.) കാരണം നമ്മുടെ പ്രധാനം ഈ നിമിഷംചുമതല - എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കൂ!ഏറ്റവും ലളിതമായവ! അതിനാൽ, ഇനിയും വിഷമിക്കേണ്ടതില്ല, അതേ കാരണങ്ങൾ ധൈര്യത്തോടെ തള്ളിക്കളയുക. ഈ കഴിയും, അതിനായി എന്റെ വാക്ക് എടുക്കുക!) തുടർന്ന് നമ്മൾ f(x) = g(x) എന്ന തുല്യ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു. ചട്ടം പോലെ, യഥാർത്ഥ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലിനേക്കാൾ ലളിതമാണ്.

എക്‌സ്‌പോണന്റുകളിൽ x ഇല്ലാതെ കുറഞ്ഞത് , സമവാക്യങ്ങൾ എന്നിവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ആളുകൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാമെന്ന് കരുതപ്പെടുന്നു.) ഇപ്പോഴും എങ്ങനെയെന്ന് അറിയാത്തവർക്ക്, ഈ പേജ് അടയ്ക്കാൻ മടിക്കേണ്ടതില്ല, പ്രസക്തമായ ലിങ്കുകൾ പിന്തുടർന്ന് പൂരിപ്പിക്കുക. പഴയ വിടവുകൾ. അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും, അതെ ...

അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ ഉയർന്നുവരുന്ന യുക്തിരഹിതവും ത്രികോണമിതിയും മറ്റ് ക്രൂരവുമായ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചല്ല ഞാൻ സംസാരിക്കുന്നത്. എന്നാൽ പരിഭ്രാന്തരാകരുത്, ഡിഗ്രികളുടെ കാര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ക്രൂരത പരിഗണിക്കില്ല: ഇത് വളരെ നേരത്തെ തന്നെ. ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രം പരിശീലിപ്പിക്കും.)

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അവയെ ഏറ്റവും ലളിതമായി ചുരുക്കാൻ കുറച്ച് അധിക പരിശ്രമം ആവശ്യമായ സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കാം. വ്യതിരിക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് അവരെ വിളിക്കാം ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. അതിനാൽ, നമുക്ക് അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകാം!

ലെവൽ 1. ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. നമുക്ക് ബിരുദങ്ങൾ തിരിച്ചറിയാം! സ്വാഭാവിക സൂചകങ്ങൾ.

ഏതെങ്കിലും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന നിയമങ്ങൾ ഇവയാണ് ഡിഗ്രികൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ. ഈ അറിവും കഴിവും കൂടാതെ ഒന്നും പ്രവർത്തിക്കില്ല. അയ്യോ. അതിനാൽ, ഡിഗ്രികളിൽ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, ആദ്യം നിങ്ങൾക്ക് സ്വാഗതം. കൂടാതെ, നമുക്കും ആവശ്യമായി വരും. ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ (അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം!) എല്ലാ ഗണിത സമവാക്യങ്ങളും പൊതുവായി പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനമാണ്. കൂടാതെ പ്രകടനാത്മകമായവ മാത്രമല്ല. അതിനാൽ, ആരു മറന്നാലും, ലിങ്ക് നോക്കുക: ഞാൻ അവരെ അവിടെ വെക്കുകയല്ല.

എന്നാൽ അധികാരങ്ങളും സ്വത്വ പരിവർത്തനങ്ങളും ഉള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ മാത്രം പോരാ. വ്യക്തിപരമായ നിരീക്ഷണവും ചാതുര്യവും ആവശ്യമാണ്. നമുക്കും ഇതേ കാരണങ്ങൾ വേണം, അല്ലേ? അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഉദാഹരണം പരിശോധിച്ച് അവ വ്യക്തമായതോ വേഷംമാറിയതോ ആയ രൂപത്തിൽ തിരയുന്നു!

ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ സമവാക്യം:

3 2 x – 27 x +2 = 0

ആദ്യം നോക്കുക മൈതാനങ്ങൾ. അവർ വ്യത്യസ്തരാണ്! മൂന്ന് ഇരുപത്തിയേഴ്. എന്നാൽ പരിഭ്രാന്തരാകാനും നിരാശപ്പെടാനും വളരെ നേരത്തെ തന്നെ. അത് ഓർക്കാൻ സമയമായി

27 = 3 3

3-ഉം 27-ഉം സംഖ്യകൾ ഡിഗ്രി പ്രകാരം ബന്ധുക്കളാണ്! ഒപ്പം അടുത്തവരും.) അതിനാൽ, നമുക്കുണ്ട് എല്ലാ അവകാശങ്ങളുംഎഴുതുക:

27 x +2 = (3 3) x+2

ഇനി നമുക്ക് നമ്മുടെ അറിവിനെ സംബന്ധിക്കാം ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ(ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് മുന്നറിയിപ്പ് നൽകി!). വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ ഒരു ഫോർമുലയുണ്ട്:

(a m) n = a mn

നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഇത് പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് മികച്ചതായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

യഥാർത്ഥ ഉദാഹരണം ഇപ്പോൾ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

കൊള്ളാം, ഡിഗ്രികളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ നിരപ്പായി. അതാണ് ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിച്ചത്. പകുതി യുദ്ധം പൂർത്തിയായി.) ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ഐഡന്റിറ്റി ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ സമാരംഭിക്കുന്നു - 3 3(x +2) വലത്തേക്ക് നീക്കുക. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ ആരും റദ്ദാക്കിയിട്ടില്ല, അതെ.) നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

3 2 x = 3 3(x +2)

ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യം നമുക്ക് എന്താണ് നൽകുന്നത്? ഇപ്പോൾ നമ്മുടെ സമവാക്യം കുറഞ്ഞു എന്നതാണ് വസ്തുത കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക്: ഇടതും വലതും ഒരേ സംഖ്യകൾ (മൂന്ന്) ശക്തികളിൽ ഉണ്ട്. മാത്രമല്ല, രണ്ടുപേരും ഗംഭീരമായ ഒറ്റപ്പെടലിലാണ്. ട്രിപ്പിൾ നീക്കം ചെയ്യാനും നേടാനും മടിക്കേണ്ടതില്ല:

2x = 3(x+2)

ഞങ്ങൾ ഇത് പരിഹരിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

X = -6

അത്രയേയുള്ളൂ. ഇതാണ് ശരിയായ ഉത്തരം.)

ഇനി നമുക്ക് പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാം. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ എന്താണ് ഞങ്ങളെ രക്ഷിച്ചത്? മൂന്ന് പേരുടെ ശക്തികളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ഞങ്ങളെ രക്ഷിച്ചു. കൃത്യമായി എങ്ങനെ? ഞങ്ങൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞുനമ്പർ 27-ൽ എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്ത മൂന്ന് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു! ഈ ട്രിക്ക് (കീഴിലുള്ള അതേ അടിത്തറയുടെ എൻക്രിപ്ഷൻ വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾ) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഏറ്റവും പ്രചാരമുള്ള ഒന്നാണ്! അത് ഏറ്റവും ജനപ്രിയമല്ലെങ്കിൽ. അതെ, അതേ രീതിയിൽ, വഴി. അതുകൊണ്ടാണ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിരീക്ഷണവും മറ്റ് സംഖ്യകളുടെ ശക്തികൾ തിരിച്ചറിയാനുള്ള കഴിവും വളരെ പ്രധാനമായത്!

പ്രായോഗിക ഉപദേശം:

ജനപ്രിയ സംഖ്യകളുടെ ശക്തി നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. മുഖത്ത്!

തീർച്ചയായും, ആർക്കും രണ്ടിനെ ഏഴാമത്തെ ശക്തിയിലേക്കോ മൂന്നെണ്ണം അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയിലേക്കോ ഉയർത്താം. എന്റെ മനസ്സിലില്ല, കുറഞ്ഞത് ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റിലെങ്കിലും. എന്നാൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ, പലപ്പോഴും ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല, മറിച്ച്, 128 അല്ലെങ്കിൽ 243 എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് പിന്നിൽ ഏത് സംഖ്യയും ഏത് ശക്തിയുമാണ് മറഞ്ഞിരിക്കുന്നതെന്ന് കണ്ടെത്തുക. ഇത് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാണ്. ലളിതമായി ഉയർത്തുന്നതിനേക്കാൾ, നിങ്ങൾ സമ്മതിക്കും. അവർ പറയുന്നതുപോലെ വ്യത്യാസം അനുഭവിക്കുക!

വ്യക്തിപരമായി ഡിഗ്രികൾ തിരിച്ചറിയാനുള്ള കഴിവ് ഈ തലത്തിൽ മാത്രമല്ല, അടുത്ത ഘട്ടത്തിലും ഉപയോഗപ്രദമാകുമെന്നതിനാൽ, നിങ്ങൾക്കായി ഇതാ ഒരു ചെറിയ ടാസ്ക്:

സംഖ്യകൾ ഏതൊക്കെ ശക്തികളാണെന്നും ഏത് സംഖ്യകളാണെന്നും നിർണ്ണയിക്കുക:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

ഉത്തരങ്ങൾ (ക്രമരഹിതമായി, തീർച്ചയായും):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

അതെ അതെ! ടാസ്‌ക്കുകളേക്കാൾ കൂടുതൽ ഉത്തരങ്ങൾ ഉണ്ടെന്നതിൽ ആശ്ചര്യപ്പെടേണ്ടതില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, 2 8, 4 4, 16 2 എന്നിവയെല്ലാം 256 ആണ്.

ലെവൽ 2. ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. നമുക്ക് ബിരുദങ്ങൾ തിരിച്ചറിയാം! നെഗറ്റീവ്, ഫ്രാക്ഷണൽ സൂചകങ്ങൾ.

ഈ തലത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ഡിഗ്രികളെക്കുറിച്ചുള്ള ഞങ്ങളുടെ അറിവ് പരമാവധി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതായത്, ഞങ്ങൾ ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു ആവേശകരമായ പ്രക്രിയനെഗറ്റീവ്, ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ! അതെ അതെ! നമുക്ക് ശക്തി വർദ്ധിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അല്ലേ?

ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ ഭയങ്കരമായ സമവാക്യം:

വീണ്ടും, ആദ്യ നോട്ടം അടിത്തറയിലാണ്. കാരണങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ്! ഇത്തവണ അവർ പരസ്പരം വിദൂരമായി പോലും സാമ്യമുള്ളവരല്ല! 5 ഉം 0.04 ഉം... കൂടാതെ ബേസുകൾ ഇല്ലാതാക്കാൻ, അത് തന്നെ വേണം... എന്ത് ചെയ്യണം?

ഇത് ഒകെയാണ്! വാസ്തവത്തിൽ, എല്ലാം ഒന്നുതന്നെയാണ്, അഞ്ചിനും 0.04 നും ഇടയിലുള്ള കണക്ഷൻ ദൃശ്യപരമായി മോശമാണ്. നമുക്ക് എങ്ങനെ പുറത്തുകടക്കാൻ കഴിയും? നമുക്ക് ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായി 0.04 എന്ന സംഖ്യയിലേക്ക് പോകാം! എന്നിട്ട്, നിങ്ങൾ കാണുന്നു, എല്ലാം പ്രവർത്തിക്കും.)

0,04 = 4/100 = 1/25

വൗ! 0.04 1/25 ആണെന്ന് മാറുന്നു! ശരി, ആരാണ് ചിന്തിക്കുക!)

അപ്പോൾ എങ്ങനെ? 5-ഉം 1/25-ഉം തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കാണുന്നത് ഇപ്പോൾ എളുപ്പമാണോ? അത്രയേയുള്ളൂ...

ഇപ്പോൾ ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് നെഗറ്റീവ് സൂചകംനിങ്ങൾക്ക് സ്ഥിരമായ കൈകൊണ്ട് എഴുതാം:

അത് ഗംഭീരമാണ്. അങ്ങനെ ഞങ്ങൾ ഒരേ അടിത്തറയിൽ എത്തി - അഞ്ച്. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ 5 -2 എന്ന സമവാക്യത്തിലെ അസൗകര്യമുള്ള സംഖ്യ 0.04 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

വീണ്ടും, ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തന നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഇപ്പോൾ എഴുതാം:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

ബിരുദങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് (ആർക്കെങ്കിലും അറിയില്ലെങ്കിൽ) ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു ഏതെങ്കിലുംസൂചകങ്ങൾ! നെഗറ്റീവായവ ഉൾപ്പെടെ.) അതിനാൽ, ഉചിതമായ റൂൾ അനുസരിച്ച് സൂചകങ്ങൾ (-2), (x-1) എടുത്ത് ഗുണിക്കാൻ മടിക്കേണ്ടതില്ല. ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യം കൂടുതൽ മെച്ചപ്പെടുകയും മെച്ചപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു:

എല്ലാം! ഇടതും വലതും ഉള്ള ശക്തികളിൽ ഏകാന്തമായ അഞ്ചിനല്ലാതെ മറ്റൊന്നില്ല. സമവാക്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. പിന്നെ - വളഞ്ഞ ട്രാക്കിലൂടെ. ഞങ്ങൾ ഫൈവുകൾ നീക്കം ചെയ്യുകയും സൂചകങ്ങളെ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

ഉദാഹരണം ഏതാണ്ട് പരിഹരിച്ചു. എലിമെന്ററി മിഡിൽ സ്കൂൾ കണക്ക് മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത് - ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് (ശരിയായി!) ഇടതുവശത്തുള്ള എല്ലാം ശേഖരിക്കുക:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

ഞങ്ങൾ ഇത് പരിഹരിച്ച് രണ്ട് വേരുകൾ നേടുന്നു:

x 1 = 1; x 2 = 3

അത്രയേയുള്ളൂ.)

ഇനി നമുക്ക് ഒന്നുകൂടി ആലോചിക്കാം. IN ഈ ഉദാഹരണത്തിൽഞങ്ങൾക്ക് വീണ്ടും ഒരേ സംഖ്യ വ്യത്യസ്ത ഡിഗ്രികളിൽ തിരിച്ചറിയേണ്ടി വന്നു! അതായത്, 0.04 എന്ന നമ്പറിൽ ഒരു എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്ത അഞ്ച് കാണാൻ. ഈ സമയം - ഇൻ നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രി!ഞങ്ങൾ ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്തു? ബാറ്റിൽ നിന്ന് തന്നെ - വഴിയില്ല. എന്നാൽ നിന്ന് പരിവർത്തനത്തിന് ശേഷം ദശാംശം 0.04 മുതൽ പൊതു ഭിന്നസംഖ്യ 1/25 വരെ, അത്രമാത്രം! തുടർന്ന് മുഴുവൻ തീരുമാനവും ക്ലോക്ക് വർക്ക് പോലെ പോയി.)

അതിനാൽ, മറ്റൊരു പച്ച പ്രായോഗിക ഉപദേശം.

ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നമ്മൾ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ നിന്ന് സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു. IN സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾനിരവധി ജനപ്രിയ സംഖ്യകളുടെ ശക്തി തിരിച്ചറിയുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്! തിരിച്ചറിവിനു ശേഷം, ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ നിന്ന് നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഈ ട്രിക്ക് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക! എന്നാൽ വ്യക്തി വിഷയത്തിലില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, അവൻ 32, 0.125 എന്നീ അക്കങ്ങൾ നോക്കുകയും അസ്വസ്ഥനാകുകയും ചെയ്യുന്നു. അവനറിയാതെ, ഇത് ഒരേ ഡ്യൂസ് ആണ്, അതിൽ മാത്രം വ്യത്യസ്ത ഡിഗ്രികൾ...എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഇതിനകം വിഷയത്തിലാണ്!)

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

അകത്ത്! ഇത് ശാന്തമായ ഭയാനകമാണെന്ന് തോന്നുന്നു ... എന്നിരുന്നാലും, രൂപം വഞ്ചനയാണ്. ഭയാനകമാണെങ്കിലും ഇത് ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യമാണ് രൂപം. ഇപ്പോൾ ഞാൻ അത് നിങ്ങൾക്ക് കാണിച്ചുതരാം.)

ആദ്യം, അടിസ്ഥാനങ്ങളിലും ഗുണകങ്ങളിലുമുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകളും നോക്കാം. അവർ തീർച്ചയായും വ്യത്യസ്തരാണ്, അതെ. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോഴും ഒരു റിസ്ക് എടുത്ത് അവ ഉണ്ടാക്കാൻ ശ്രമിക്കും സമാനമായ! എത്താൻ ശ്രമിക്കാം വ്യത്യസ്ത ശക്തികളിൽ ഒരേ സംഖ്യ. മാത്രമല്ല, വെയിലത്ത്, സംഖ്യകൾ കഴിയുന്നത്ര ചെറുതാണ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഡീകോഡിംഗ് ആരംഭിക്കാം!

ശരി, നാലെണ്ണത്തിൽ എല്ലാം ഉടനടി വ്യക്തമാണ് - ഇത് 2 2 ആണ്. ശരി, അത് ഇതിനകം ഒരു കാര്യമാണ്.)

0.25 ന്റെ ഒരു അംശം കൊണ്ട് - അത് ഇപ്പോഴും അവ്യക്തമാണ്. പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് പ്രായോഗിക ഉപദേശം ഉപയോഗിക്കാം - ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയിലേക്ക് നീങ്ങുക:

0,25 = 25/100 = 1/4

ഇതിനകം വളരെ മികച്ചത്. കാരണം ഇപ്പോൾ 1/4 2 -2 ആണെന്ന് വ്യക്തമായി കാണാം. മികച്ചത്, കൂടാതെ 0.25 എന്ന സംഖ്യയും രണ്ടിന് സമാനമാണ്.)

ഇതുവരെ വളരെ നല്ലതായിരുന്നു. എന്നാൽ ഏറ്റവും മോശമായ സംഖ്യ അവശേഷിക്കുന്നു - രണ്ടിന്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം!ഈ കുരുമുളക് എന്തുചെയ്യണം? ഇതിനെ രണ്ടിന്റെ ശക്തിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമോ? പിന്നെ ആർക്കറിയാം...

ശരി, നമുക്ക് വീണ്ടും ഡിഗ്രികളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവിന്റെ ഖജനാവിലേക്ക് കടക്കാം! ഈ സമയം ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ അറിവിനെ അധികമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു വേരുകളെ കുറിച്ച്. 9-ാം ക്ലാസ്സിലെ കോഴ്സ് മുതൽ, ഞാനും നിങ്ങളും പഠിച്ചിരിക്കണം, വേണമെങ്കിൽ ഏത് റൂട്ടും എപ്പോഴും ഒരു ബിരുദമാക്കി മാറ്റാം ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഇൻഡിക്കേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്.

ഇതുപോലെ:

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ:

വൗ! രണ്ടിന്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം 2 1/2 ആണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അത്രയേയുള്ളൂ!

അത് കൊള്ളാം! ഞങ്ങളുടെ എല്ലാ അസുഖകരമായ നമ്പറുകളും യഥാർത്ഥത്തിൽ എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്ത രണ്ടായി മാറി.) ഞാൻ വാദിക്കുന്നില്ല, എവിടെയോ വളരെ സങ്കീർണ്ണമായി എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ അത്തരം സൈഫറുകൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ പ്രൊഫഷണലിസവും മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നു! അപ്പോൾ എല്ലാം ഇതിനകം വ്യക്തമാണ്. നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിൽ, സംഖ്യകൾ 4, 0.25, രണ്ടിന്റെ റൂട്ട് എന്നിവ രണ്ടിന്റെ ശക്തികൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

എല്ലാം! ഉദാഹരണത്തിലെ എല്ലാ ഡിഗ്രികളുടെയും അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയായി - രണ്ട്. ഇപ്പോൾ ഡിഗ്രികളുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഒരു എംഒരു എൻ = ഒരു എം + എൻ

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

ഇടതുവശത്ത് നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

വലതുവശത്ത് ഇത് ഇതായിരിക്കും:

ഇപ്പോൾ നമ്മുടെ ദുഷിച്ച സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഈ സമവാക്യം എങ്ങനെയാണ് ഉണ്ടായതെന്ന് കൃത്യമായി മനസ്സിലാക്കാത്തവർക്ക്, ഇവിടെ ചോദ്യം എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചല്ല. ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ചാണ് ചോദ്യം. പ്രശ്‌നങ്ങളുള്ളവരോട് ഇത് അടിയന്തിരമായി ആവർത്തിക്കാൻ ഞാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടു!

ഇതാ ഫിനിഷ് ലൈൻ! എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ രൂപം ലഭിച്ചു! അപ്പോൾ എങ്ങനെ? എല്ലാം അത്ര ഭയാനകമല്ലെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ബോധ്യപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടോ? ;) ഞങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം നീക്കം ചെയ്യുകയും സൂചകങ്ങളെ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഈ രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്. എങ്ങനെ? സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, തീർച്ചയായും.) എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് തീരുമാനിക്കുക! രണ്ട് വശങ്ങളും രണ്ടായി ഗുണിക്കുക (3/2 ഭിന്നസംഖ്യ നീക്കംചെയ്യാൻ), X ന്റെ പദങ്ങൾ ഇടത്തേക്ക് നീക്കുക, X ഇല്ലാതെ വലത്തേക്ക്, സമാനവ കൊണ്ടുവരിക, എണ്ണുക - നിങ്ങൾ സന്തുഷ്ടരാകും!

എല്ലാം മനോഹരമായി മാറണം:

X=4

ഇനി നമുക്ക് വീണ്ടും പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാം. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, നിന്ന് പരിവർത്തനം ഞങ്ങളെ സഹായിച്ചു സ്ക്വയർ റൂട്ട് ലേക്ക് ഘാതം 1/2 ഉള്ള ബിരുദം. മാത്രമല്ല, അത്തരമൊരു തന്ത്രപരമായ പരിവർത്തനം മാത്രമാണ് എല്ലായിടത്തും ഒരേ അടിത്തറയിൽ (രണ്ട്) എത്താൻ ഞങ്ങളെ സഹായിച്ചത്, ഇത് സാഹചര്യം സംരക്ഷിച്ചു! കൂടാതെ, അതിനല്ലെങ്കിൽ, എന്നെന്നേക്കുമായി മരവിപ്പിക്കാനുള്ള എല്ലാ അവസരങ്ങളും നമുക്കുണ്ടാകും, ഈ ഉദാഹരണത്തെ ഒരിക്കലും നേരിടാൻ കഴിയില്ല, അതെ...

അതിനാൽ, അടുത്ത പ്രായോഗിക ഉപദേശം ഞങ്ങൾ അവഗണിക്കുന്നില്ല:

ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ വേരുകൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നമ്മൾ വേരുകളിൽ നിന്ന് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ശക്തികളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു. മിക്കപ്പോഴും, അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം മാത്രമേ കൂടുതൽ സാഹചര്യം വ്യക്തമാക്കുന്നുള്ളൂ.

തീർച്ചയായും, നെഗറ്റീവ്, ഫ്രാക്ഷണൽ ശക്തികൾ ഇതിനകം സ്വാഭാവിക ശക്തികളേക്കാൾ വളരെ സങ്കീർണ്ണമാണ്. കുറഞ്ഞത് വീക്ഷണകോണിൽ നിന്നെങ്കിലും വിഷ്വൽ പെർസെപ്ഷൻകൂടാതെ, പ്രത്യേകിച്ച്, വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ട് തിരിച്ചറിയൽ!

നേരിട്ട് ഉയർത്തുന്നത്, ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് പവർ -3 അല്ലെങ്കിൽ നാല് പവർ -3/2 ലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് അങ്ങനെയല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഒരു വലിയ പ്രശ്നം. അറിവുള്ളവർക്ക് വേണ്ടി.)

എന്നാൽ പോകുക, ഉദാഹരണത്തിന്, അത് ഉടനടി മനസ്സിലാക്കുക

0,125 = 2 -3

അഥവാ

ഇവിടെ, പരിശീലനവും സമ്പന്നമായ അനുഭവവും മാത്രം, അതെ. തീർച്ചയായും, വ്യക്തമായ ഒരു ആശയം, എന്താണ് നെഗറ്റീവ്, ഫ്രാക്ഷണൽ ഡിഗ്രി?ഒപ്പം - പ്രായോഗിക ഉപദേശം! അതെ, അതെ, അവ തന്നെ പച്ച.) വൈവിധ്യമാർന്ന ഡിഗ്രികളുടെ മുഴുവൻ മികച്ച നാവിഗേറ്റ് ചെയ്യാനും നിങ്ങളുടെ വിജയസാധ്യതകൾ ഗണ്യമായി വർദ്ധിപ്പിക്കാനും അവ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു! അതുകൊണ്ട് അവരെ അവഗണിക്കരുത്. ഞാൻ വെറുതെയല്ല പച്ചഞാൻ ചിലപ്പോൾ എഴുതാറുണ്ട്.)

എന്നാൽ നെഗറ്റീവ്, ഫ്രാക്ഷണൽ പോലുള്ള വിചിത്രമായ ശക്തികൾ ഉപയോഗിച്ച് പോലും നിങ്ങൾ പരസ്പരം അറിയുകയാണെങ്കിൽ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിങ്ങളുടെ കഴിവുകൾ വളരെയധികം വികസിക്കും, കൂടാതെ നിങ്ങൾക്ക് ഏത് തരത്തിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ കഴിയും. ശരി, ഒന്നുമല്ലെങ്കിൽ, എല്ലാ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെയും 80 ശതമാനവും - ഉറപ്പാണ്! അതെ, അതെ, ഞാൻ തമാശ പറയുകയല്ല!

അതിനാൽ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുമായി പരിചയപ്പെടുന്നതിനുള്ള ഞങ്ങളുടെ ആദ്യ ഭാഗം അവസാനിച്ചു. യുക്തിസഹമായ നിഗമനം. കൂടാതെ, ഒരു ഇന്റർമീഡിയറ്റ് വർക്ക്ഔട്ട് എന്ന നിലയിൽ, ഒരു ചെറിയ സ്വയം പ്രതിഫലനം ചെയ്യാൻ ഞാൻ പരമ്പരാഗതമായി നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.)

വ്യായാമം 1.

നെഗറ്റീവ്, ഫ്രാക്ഷണൽ ശക്തികൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള എന്റെ വാക്കുകൾ വെറുതെയാകാതിരിക്കാൻ, ഒരു ചെറിയ ഗെയിം കളിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു!

സംഖ്യകളെ രണ്ടിന്റെ ശക്തികളായി പ്രകടിപ്പിക്കുക:

ഉത്തരങ്ങൾ (അരാജകത്വത്തിൽ):

സംഭവിച്ചത്? കൊള്ളാം! തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഒരു പോരാട്ട ദൗത്യം ചെയ്യുന്നു - ഏറ്റവും ലളിതവും ലളിതവുമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക!

ടാസ്ക് 2.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക (എല്ലാ ഉത്തരങ്ങളും ഒരു കുഴപ്പമാണ്!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

ഉത്തരങ്ങൾ:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

സംഭവിച്ചത്? തീർച്ചയായും, ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്!

തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ അടുത്ത ഗെയിം പരിഹരിക്കുന്നു:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x ·7 x

ഉത്തരങ്ങൾ:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഒന്ന് അവശേഷിക്കുന്നുണ്ടോ? കൊള്ളാം! നിങ്ങൾ വളരുകയാണ്! അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ലഘുഭക്ഷണം കഴിക്കാനുള്ള ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

ഉത്തരങ്ങൾ:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

എന്നിട്ട് ഇത് തീരുമാനിച്ചോ? നന്നായി, ബഹുമാനം! ഞാൻ എന്റെ തൊപ്പി എടുക്കുന്നു.) അതിനാൽ, പാഠം വെറുതെയായില്ല, ഒപ്പം ആദ്യ നിലഎക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വിജയകരമായി പ്രാവീണ്യം നേടിയതായി കണക്കാക്കാം. അടുത്ത ലെവലുകളും കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങളും മുന്നിലാണ്! ഒപ്പം പുതിയ സാങ്കേതിക വിദ്യകളും സമീപനങ്ങളും. കൂടാതെ നിലവാരമില്ലാത്ത ഉദാഹരണങ്ങളും. പുതിയ ആശ്ചര്യങ്ങളും.) ഇതെല്ലാം അടുത്ത പാഠത്തിലാണ്!

എന്തെങ്കിലും കുഴപ്പം സംഭവിച്ചോ? ഇതിനർത്ഥം, മിക്കവാറും പ്രശ്നങ്ങൾ ഉള്ളതാണെന്നാണ്. അല്ലെങ്കിൽ ഇൻ. അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും ഒരേസമയം. ഞാൻ ഇവിടെ ശക്തിയില്ലാത്തവനാണ്. എനിക്ക് അകത്തേക്ക് വരാം ഒരിക്കൽ കൂടിഎനിക്ക് ഒരു കാര്യം മാത്രമേ നിർദ്ദേശിക്കാനാവൂ - അലസത കാണിക്കാതെ ലിങ്കുകൾ പിന്തുടരുക.)

തുടരും.)

ഉപകരണം:

കമ്പ്യൂട്ടർ,
മൾട്ടിമീഡിയ പ്രൊജക്ടർ,
സ്ക്രീൻ,
അനെക്സ് 1(പവർപോയിന്റ് സ്ലൈഡ് അവതരണം) "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ"
അനുബന്ധം 2(വേഡിലെ "മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത ശക്തികളുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ" പോലെയുള്ള ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു)
അനുബന്ധം 3(പ്രായോഗിക ജോലികൾക്കായി വേഡിലെ ലഘുലേഖകൾ).
അനുബന്ധം 4(ഗൃഹപാഠത്തിനുള്ള വേഡിലുള്ള കൈരേഖ).

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ

1. സംഘടനാ ഘട്ടം

പാഠ വിഷയത്തിന്റെ സന്ദേശം (ബോർഡിൽ എഴുതിയത്),
10-11 ഗ്രേഡുകളിൽ ഒരു പൊതു പാഠത്തിന്റെ ആവശ്യകത:

സജീവമായ പഠനത്തിനായി വിദ്യാർത്ഥികളെ തയ്യാറാക്കുന്ന ഘട്ടം

ആവർത്തനം

നിർവ്വചനം.

ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഒരു ഘാതം (വിദ്യാർത്ഥി ഉത്തരങ്ങൾ) ഉള്ള ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ്.

അധ്യാപകന്റെ കുറിപ്പ്. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ അതീന്ദ്രിയ സമവാക്യങ്ങളുടെ വിഭാഗത്തിൽ പെടുന്നു. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ, പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഈ ഉച്ചരിക്കാൻ കഴിയാത്ത പേര് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

കമ്പ്യൂട്ടറുകളിലെ സംഖ്യാ രീതികളിലൂടെ മാത്രമേ അവ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയൂ. എന്നാൽ പരീക്ഷാ ജോലികളുടെ കാര്യമോ? ഒരു അപഗ്രഥനപരമായ പരിഹാരം അനുവദിക്കുന്ന വിധത്തിൽ പരീക്ഷകൻ പ്രശ്നം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു എന്നതാണ് തന്ത്രം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഈ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്ന സമാന പരിവർത്തനങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് നടത്താനാകും (ആവശ്യമാണ്!). ഈ ലളിതമായ സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു: ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം. അത് പരിഹരിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ് ലോഗരിതം വഴി.

ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാഹചര്യം ഒരു ലാബിരിന്തിലൂടെയുള്ള യാത്രയെ അനുസ്മരിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് പ്രശ്നത്തിന്റെ രചയിതാവ് പ്രത്യേകം കണ്ടുപിടിച്ചതാണ്. ഈ പൊതുവായ വാദങ്ങളിൽ നിന്ന് വളരെ നിർദ്ദിഷ്ട ശുപാർശകൾ പിന്തുടരുക.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യണം:

1. എല്ലാ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഐഡന്റിറ്റികളും സജീവമായി അറിയുക മാത്രമല്ല, ഈ ഐഡന്റിറ്റികൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങളുടെ സെറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക, അതിനാൽ ഈ ഐഡന്റിറ്റികൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അനാവശ്യമായ വേരുകൾ ലഭിക്കില്ല, അതിലുപരിയായി, പരിഹാരങ്ങൾ നഷ്‌ടപ്പെടുത്തരുത്. സമവാക്യത്തിലേക്ക്.

2. എല്ലാ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഐഡന്റിറ്റികളും സജീവമായി അറിയുക.

3. വ്യക്തമായും വിശദമായും പിശകുകളില്ലാതെയും സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക (സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് പദങ്ങൾ മാറ്റുക, ചിഹ്നം മാറ്റാൻ മറക്കരുത്, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക മുതലായവ). ഇതിനെ ഗണിത സംസ്കാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതേ സമയം, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സ്വയം സ്വപ്രേരിതമായി കൈകൊണ്ട് ചെയ്യണം, കൂടാതെ പരിഹാരത്തിന്റെ പൊതുവായ ഗൈഡിംഗ് ത്രെഡിനെക്കുറിച്ച് തല ചിന്തിക്കണം. പരിവർത്തനങ്ങൾ കഴിയുന്നത്ര ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വിശദമായി നടത്തണം. ഇത് മാത്രമേ ശരിയായ, പിശകില്ലാത്ത തീരുമാനത്തിന് ഉറപ്പുനൽകൂ. ഓർക്കുക: ഒരു ചെറിയ ഗണിത പിശകിന് ഒരു അതീന്ദ്രിയ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കാൻ കഴിയും, അത് തത്വത്തിൽ, വിശകലനപരമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. നിങ്ങൾക്ക് വഴി തെറ്റി ലാബിരിന്തിന്റെ മതിലിൽ ഇടിച്ചതായി ഇത് മാറുന്നു.

4. പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ അറിയുക (അതായത്, സൊല്യൂഷൻ മാസിലൂടെയുള്ള എല്ലാ വഴികളും അറിയുക). ഓരോ ഘട്ടത്തിലും ശരിയായി നാവിഗേറ്റ് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ (ബോധപൂർവ്വം അല്ലെങ്കിൽ അവബോധപൂർവ്വം!):

നിർവ്വചിക്കുക സമവാക്യ തരം;
അനുബന്ധ തരം ഓർക്കുക പരിഹാര രീതിചുമതലകൾ.

പഠിച്ച മെറ്റീരിയലിന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണത്തിന്റെയും ചിട്ടപ്പെടുത്തലിന്റെയും ഘട്ടം.

ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഉപയോഗിക്കുന്ന വിദ്യാർത്ഥികളുമായി ചേർന്ന് അധ്യാപകൻ, എല്ലാത്തരം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെയും അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളുടെയും അവലോകനം നടത്തുന്നു, സമാഹരിക്കുന്നു പൊതു പദ്ധതി. (ഉപയോഗിച്ച പരിശീലനം കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാം L.Ya ബോറെവ്സ്കി "ഗണിതശാസ്ത്ര കോഴ്സ് - 2000", പവർപോയിന്റ് അവതരണത്തിന്റെ രചയിതാവ് ടി.എൻ. കുപ്ത്സോവ.)

അരി. 1.എല്ലാത്തരം എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെയും ഒരു പൊതു ഡയഗ്രം ചിത്രം കാണിക്കുന്നു.

ഈ ഡയഗ്രാമിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തന്ത്രം, നൽകിയിരിക്കുന്ന എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക എന്നതാണ്, ഒന്നാമതായി, ഡിഗ്രികളുടെ അതേ അടിസ്ഥാനങ്ങളോടെ , പിന്നെ - ഒപ്പം ഒരേ ഡിഗ്രി സൂചകങ്ങൾക്കൊപ്പം.

ഒരേ ബേസുകളും എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുമുള്ള ഒരു സമവാക്യം ലഭിച്ചതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഈ എക്‌സ്‌പോണന്റിനെ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി, ഈ പുതിയ വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു ലളിതമായ ബീജഗണിത സമവാക്യം (സാധാരണയായി ഫ്രാക്ഷണൽ-റേഷണൽ അല്ലെങ്കിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക്) നേടുക.

ഈ സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് റിവേഴ്സ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉണ്ടാക്കിയ ശേഷം, ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് പൊതുവായ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു കൂട്ടം ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ അവസാനിക്കും.

(ഭാഗിക) ശക്തികളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ മാത്രം കാണപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ വേറിട്ടുനിൽക്കുന്നു. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഐഡന്റിറ്റികൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ സമവാക്യങ്ങളെ ഉടനടി ഒരു അടിസ്ഥാനത്തിലേക്ക്, പ്രത്യേകിച്ചും, ഏറ്റവും ലളിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ സാധിക്കും.

മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത അടിത്തറകളുള്ള ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നോക്കാം.

(L.Ya. Borevsky "കോഴ്‌സ് ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്‌സ് - 2000" യുടെ വിദ്യാഭ്യാസ കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാം അധ്യാപകന് ഉണ്ടെങ്കിൽ, സ്വാഭാവികമായും ഞങ്ങൾ ഡിസ്കിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, ഇല്ലെങ്കിൽ, ഓരോ ഡെസ്‌കിനും അതിൽ നിന്ന് ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യത്തിന്റെ പ്രിന്റൗട്ട് നിങ്ങൾക്ക് ഉണ്ടാക്കാം, ചുവടെ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.)