അക്ഷര പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഗുണിക്കുക. അക്ഷര പ്രയോഗങ്ങൾ

പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കാതെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ലെന്ന് അറിയാം. വൈവിധ്യമാർന്ന പ്രശ്നങ്ങളും വിവിധ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളും കൃത്യമായും വേഗത്തിലും പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് ആവശ്യമാണ്. ഇവിടെ ചർച്ച ചെയ്ത ലളിതവൽക്കരണം ഒരു ലക്ഷ്യം നേടുന്നതിന് ആവശ്യമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ കുറവുണ്ടാക്കുന്നു. തൽഫലമായി, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വളരെ ലളിതമാക്കുകയും സമയം ഗണ്യമായി ലാഭിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എന്നാൽ പദപ്രയോഗം എങ്ങനെ ലളിതമാക്കാം? ഇതിനായി, സ്ഥാപിത ഗണിത ബന്ധങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, പലപ്പോഴും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ നിയമങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് പദപ്രയോഗങ്ങൾ വളരെ ചെറുതാക്കാൻ അനുവദിക്കുകയും അതുവഴി കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഓൺലൈനിൽ പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുന്നത് ഇന്ന് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല എന്നത് രഹസ്യമല്ല. ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായവയിൽ ചിലതിലേക്കുള്ള ലിങ്കുകൾ ഇതാ:

എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ പദപ്രയോഗങ്ങളിലും ഇത് സാധ്യമല്ല. അതിനാൽ, കൂടുതൽ പരമ്പരാഗത രീതികൾ നമുക്ക് അടുത്തറിയാം.

പൊതു വിഭജനം പുറത്തെടുക്കുന്നു

ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൽ ഒരേ ഘടകങ്ങളുള്ള മോണോമിയലുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് അവയുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താനും തുടർന്ന് അവയുടെ പൊതുവായ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാനും കഴിയും. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ "പൊതു വിഭജനം നീക്കംചെയ്യൽ" എന്നും വിളിക്കുന്നു. സ്ഥിരമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു ഈ രീതി, ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് പദപ്രയോഗം ഗണ്യമായി ലളിതമാക്കാൻ കഴിയും. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ബീജഗണിതം മൊത്തത്തിൽ, ഗ്രൂപ്പിംഗിലും പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നതിലും ഘടകങ്ങളുടെയും വിഭജനങ്ങളുടെയും അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.

ചുരുക്കിയ ഗുണനത്തിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

മുമ്പ് വിവരിച്ച രീതിയുടെ അനന്തരഫലങ്ങളിലൊന്ന് ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ്. പദപ്രയോഗങ്ങൾ കൂടുതൽ ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ ലളിതമാക്കാം കൂടുതൽ വ്യക്തമാണ്, ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ പോലും മനഃപാഠമാക്കിയിട്ടില്ല, എന്നാൽ അവ എങ്ങനെയാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞത്, അതായത് അവ എവിടെ നിന്നാണ് വരുന്നതെന്നും അതനുസരിച്ച് അവയുടെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ സ്വഭാവവും അറിയുന്നു. തത്വത്തിൽ, മുൻ പ്രസ്താവന എല്ലാ ആധുനിക ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും സാധുതയുള്ളതാണ്, ഒന്നാം ഗ്രേഡ് മുതൽ മെക്കാനിക്കൽ, മാത്തമാറ്റിക്കൽ ഫാക്കൽറ്റികളുടെ ഉയർന്ന കോഴ്സുകൾ വരെ. സമചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം, വ്യത്യാസത്തിന്റെയും തുകയുടെയും വർഗ്ഗം, ക്യൂബുകളുടെ ആകെത്തുക, വ്യത്യാസം - ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളെല്ലാം പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിലും ഉയർന്ന ഗണിതത്തിലും പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കേണ്ട സന്ദർഭങ്ങളിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഏതിലും എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും സ്കൂൾ പാഠപുസ്തകംബീജഗണിതത്തിൽ, അല്ലെങ്കിൽ, അതിലും ലളിതമായി, വേൾഡ് വൈഡ് വെബിന്റെ വിശാലതയിൽ.

ഡിഗ്രി വേരുകൾ

എലിമെന്ററി മാത്തമാറ്റിക്സ്, നിങ്ങൾ മൊത്തത്തിൽ നോക്കിയാൽ, ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളില്ല. അവരുമായുള്ള ബിരുദങ്ങളും പ്രവർത്തനങ്ങളും, ചട്ടം പോലെ, മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും താരതമ്യേന എളുപ്പമാണ്. എന്നാൽ പല ആധുനിക സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമായി വരുമ്പോൾ കാര്യമായ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ നേരിടുന്നു. കൂടാതെ ഇത് തികച്ചും അടിസ്ഥാനരഹിതവുമാണ്. കാരണം വേരുകളുടെ ഗണിത സ്വഭാവം ഒരേ ഡിഗ്രികളുടെ സ്വഭാവത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല, ചട്ടം പോലെ, വളരെ കുറച്ച് ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ട്. എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു സ്ക്വയർ റൂട്ട്ഒരു സംഖ്യയുടെ, വേരിയബിൾ അല്ലെങ്കിൽ പദപ്രയോഗം ഒരേ സംഖ്യയല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല, വേരിയബിൾ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പകുതിയുടെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള പദപ്രയോഗം, ക്യൂബ് റൂട്ട് മൂന്നിലൊന്നിന്റെ ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്, അങ്ങനെ കത്തിടപാടുകൾ അനുസരിച്ച്.

ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നു

ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദപ്രയോഗം എങ്ങനെ ലളിതമാക്കാം എന്നതിന്റെ ഒരു സാധാരണ ഉദാഹരണം കൂടി നോക്കാം. എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉള്ള സന്ദർഭങ്ങളിൽ സ്വാഭാവിക ഭിന്നസംഖ്യകൾ, നിങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്നും ന്യൂമറേറ്ററിൽ നിന്നും പൊതുവായ ഘടകം വേർതിരിച്ചെടുക്കണം, തുടർന്ന് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുക. മോണോമിയലുകൾക്ക് സമാനമായ ഘടകങ്ങൾ അധികാരങ്ങളിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, അവയെ സംഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ അധികാരങ്ങൾ തുല്യമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നു

ഒരു ത്രികോണമിതി പദപ്രയോഗം എങ്ങനെ ലളിതമാക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള സംഭാഷണമാണ് ചിലർക്ക് വേറിട്ടുനിൽക്കുന്നത്. ത്രികോണമിതിയുടെ വിശാലമായ ശാഖ ഒരുപക്ഷേ ഗണിതശാസ്ത്ര വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് കുറച്ച് അമൂർത്തമായ ആശയങ്ങളും പ്രശ്നങ്ങളും അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും അഭിമുഖീകരിക്കുന്ന ആദ്യ ഘട്ടമാണ്. ഇവിടെ അനുബന്ധ സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്, അവയിൽ ആദ്യത്തേത് അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റിയാണ്. മതിയായ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ മനസ്സ് ഉള്ളതിനാൽ, വ്യത്യാസ സൂത്രവാക്യങ്ങളും ആർഗ്യുമെന്റുകളുടെ ആകെത്തുക, ഇരട്ട, ട്രിപ്പിൾ ആർഗ്യുമെന്റുകൾ, റിഡക്ഷൻ ഫോർമുലകൾ തുടങ്ങി നിരവധി അടിസ്ഥാന ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റികളുടെയും ഫോർമുലകളുടെയും ഈ ഐഡന്റിറ്റിയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ചിട്ടയായ വ്യുൽപ്പന്നം കണ്ടെത്താനാകും. തീർച്ചയായും, പുതിയ രീതികൾക്കും സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്കും ഒപ്പം പൂർണ്ണമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു പൊതു ഘടകം ചേർക്കുന്നത് പോലുള്ള ആദ്യ രീതികൾ ഇവിടെ മറക്കരുത്.

ചുരുക്കത്തിൽ, ഞങ്ങൾ വായനക്കാരന് ചില പൊതു ഉപദേശങ്ങൾ നൽകും:

• പോളിനോമിയലുകൾ ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യണം, അതായത്, ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ അവ പ്രതിനിധീകരിക്കണം - മോണോമിയലുകൾ, പോളിനോമിയലുകൾ. അത്തരമൊരു സാധ്യത നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
• എല്ലാ ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഒഴിവാക്കാതെ മനഃപാഠമാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. അവയിൽ പലതും ഇല്ല, പക്ഷേ അവ ഗണിതശാസ്ത്ര പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനമാണ്. ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൊന്നിന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമായ ത്രിപദങ്ങളിൽ തികഞ്ഞ ചതുരങ്ങളെ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്ന രീതിയെക്കുറിച്ചും നാം മറക്കരുത്.
• പദപ്രയോഗത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും കഴിയുന്നത്ര തവണ കുറയ്ക്കണം. എന്നിരുന്നാലും, ഗുണിതങ്ങൾ മാത്രമേ കുറയുന്നുള്ളൂ എന്നത് മറക്കരുത്. ബീജഗണിത ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററും ന്യൂമറേറ്ററും പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ഒരേ സംഖ്യയാൽ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ അർത്ഥങ്ങൾ മാറില്ല.
• പൊതുവേ, എല്ലാ പദപ്രയോഗങ്ങളും പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെയോ ഒരു ശൃംഖലയിലോ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം. ആദ്യ രീതി കൂടുതൽ അഭികാമ്യമാണ്, കാരണം ഇന്റർമീഡിയറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ പരിശോധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.
• പലപ്പോഴും ഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ നാം വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇരട്ട ശക്തികളുടെ വേരുകൾ ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ നിന്നോ പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്നോ മാത്രമേ എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യാനാകൂ എന്ന കാര്യം ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്, കൂടാതെ വിചിത്ര ശക്തികളുടെ വേരുകൾ ഏതെങ്കിലും പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ നിന്നോ സംഖ്യകളിൽ നിന്നോ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയും.

ഭാവിയിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനസിലാക്കാനും അവ പ്രായോഗികമായി എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് പഠിപ്പിക്കാനും ഞങ്ങളുടെ ലേഖനം നിങ്ങളെ സഹായിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

കുറിപ്പ് 1

ഒരു ബൂളിയൻ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ബൂളിയൻ എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതാം, തുടർന്ന് ലോജിക് സർക്യൂട്ടിലേക്ക് മാറ്റാം. സാധ്യമായ ഏറ്റവും ലളിതമായ (അതിനാൽ വിലകുറഞ്ഞ) ലോജിക്കൽ സർക്യൂട്ട് ലഭിക്കുന്നതിന് ലോജിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ലളിതമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു ലോജിക്കൽ ഫംഗ്ഷൻ, ഒരു ലോജിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ, ഒരു ലോജിക്കൽ സർക്യൂട്ട് എന്നിവ ഒരു എന്റിറ്റിയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്ന മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത ഭാഷകളാണ്.

ലോജിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ലളിതമാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുക ബീജഗണിത യുക്തിയുടെ നിയമങ്ങൾ.

ചില പരിവർത്തനങ്ങൾ ക്ലാസിക്കൽ ബീജഗണിതത്തിലെ ഫോർമുലകളുടെ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് സമാനമാണ് (ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കൽ, കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ്, കോമ്പിനേഷൻ നിയമങ്ങൾ മുതലായവ ഉപയോഗിച്ച്), മറ്റ് പരിവർത്തനങ്ങൾ ക്ലാസിക്കൽ ബീജഗണിതത്തിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് ഇല്ലാത്ത ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് (വിതരണം ഉപയോഗിച്ച്. സംയോജന നിയമം, ആഗിരണ നിയമങ്ങൾ, ഒട്ടിക്കൽ, ഡി മോർഗന്റെ നിയമങ്ങൾ മുതലായവ).

യുക്തിയുടെ ബീജഗണിതത്തിന്റെ നിയമങ്ങൾ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾക്കായി രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു ലോജിക്കൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ- "അല്ല" - വിപരീതം (നിഷേധം), "AND" - സംയോജനം (ലോജിക്കൽ ഗുണനം), "OR" - വിച്ഛേദിക്കൽ (ലോജിക്കൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ).

ഇരട്ട നിഷേധ നിയമം അർത്ഥമാക്കുന്നത് "NOT" എന്ന പ്രവർത്തനം പഴയപടിയാക്കാമെന്നാണ്: നിങ്ങൾ ഇത് രണ്ടുതവണ പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവസാനം ബൂളിയൻ മൂല്യംമാറില്ല.

ഏതെങ്കിലും ലോജിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ ശരിയോ തെറ്റോ ആണെന്ന് ഒഴിവാക്കിയ മധ്യ നിയമം പ്രസ്താവിക്കുന്നു ("മൂന്നാമത്തേത് ഇല്ല"). അതിനാൽ, $A=1$ ആണെങ്കിൽ, $\bar(A)=0$ (തിരിച്ചും), അതായത് ഈ അളവുകളുടെ സംയോജനം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ വിഭജനം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കും.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

നമുക്ക് ഈ ഫോർമുല ലളിതമാക്കാം:

ചിത്രം 3.

അത് പിന്തുടരുന്നത് $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

ഉത്തരം:വിദ്യാർത്ഥികൾ $B$, $C$, $D$ എന്നിവർ ചെസ്സ് കളിക്കുന്നു, എന്നാൽ വിദ്യാർത്ഥി $A$ കളിക്കില്ല.

ലോജിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ലളിതമാക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും:

1. എല്ലാ "അടിസ്ഥാനമല്ലാത്ത" പ്രവർത്തനങ്ങളെയും (തുല്യത, സൂചന, എക്സ്ക്ലൂസീവ് അല്ലെങ്കിൽ മുതലായവ) അവയുടെ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിപരീതം, സംയോജനം, വിഭജനം എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാന പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.
2. ഡി മോർഗന്റെ നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ വിപരീതങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുക, അങ്ങനെ നിഷേധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വേരിയബിളുകൾക്കായി മാത്രം നിലനിൽക്കും.
3. തുടർന്ന് ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ ഓപ്പണിംഗ് ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക, ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത് പൊതുവായ ഘടകങ്ങളും ലോജിക്കൽ ബീജഗണിതത്തിന്റെ മറ്റ് നിയമങ്ങളും സ്ഥാപിക്കുക.

ഉദാഹരണം 2

ഇവിടെ, ഡി മോർഗന്റെ ഭരണം, വിതരണ നിയമം, ഒഴിവാക്കപ്പെട്ട മധ്യത്തിന്റെ നിയമം, കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം, ആവർത്തന നിയമം, വീണ്ടും കമ്യൂട്ടേറ്റീവ് നിയമം, ആഗിരണം നിയമം എന്നിവ തുടർച്ചയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പലപ്പോഴും ജോലികൾക്ക് ലളിതമായ ഉത്തരം ആവശ്യമാണ്. ലളിതവും ലളിതമാക്കാത്തതുമായ ഉത്തരങ്ങൾ ശരിയാണെങ്കിലും, നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ലളിതമാക്കിയില്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഇൻസ്ട്രക്ടർ നിങ്ങളുടെ ഗ്രേഡ് കുറച്ചേക്കാം. മാത്രമല്ല, ലളിതമായ ഗണിത പദപ്രയോഗം പ്രവർത്തിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. അതിനാൽ, പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കാൻ പഠിക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്.

പടികൾ

ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ശരിയായ ക്രമം

1. ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിനുള്ള ശരിയായ ക്രമം ഓർക്കുക.ലളിതമാക്കുമ്പോൾ ഗണിത പദപ്രയോഗംപ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു നിശ്ചിത ക്രമം പാലിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, കാരണം ചില ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനങ്ങൾ മറ്റുള്ളവയെക്കാൾ മുൻഗണന നൽകുകയും ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടതുമാണ് (വാസ്തവത്തിൽ, പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ശരിയായ ക്രമം പാലിക്കാത്തത് നിങ്ങളെ തെറ്റായ ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കും). ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമം ഓർക്കുക: പരാൻതീസിസിലെ എക്സ്പ്രഷൻ, എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ, ഗുണനം, ഹരിക്കൽ, കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, കുറയ്ക്കൽ.

   • പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ശരിയായ ക്രമം അറിയുന്നത് ഏറ്റവും ലളിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, എന്നാൽ ഒരു പോളിനോമിയൽ (ഒരു വേരിയബിളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം) ലളിതമാക്കാൻ നിങ്ങൾ പ്രത്യേക തന്ത്രങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് (അടുത്ത ഭാഗം കാണുക).

2. പരാൻതീസിസിലെ പദപ്രയോഗം പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് ആരംഭിക്കുക.ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, പരാൻതീസിസുകൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് അവയ്ക്കുള്ളിലെ പദപ്രയോഗമാണ് ആദ്യം വിലയിരുത്തേണ്ടത്. അതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും ഗണിത പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുമ്പോൾ, പരാൻതീസിസിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗം പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് ആരംഭിക്കുക (പരാന്തീസിസിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾ എന്ത് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തണം എന്നത് പ്രശ്നമല്ല). എന്നാൽ ബ്രാക്കറ്റിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു എക്സ്പ്രഷനിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമം പാലിക്കണം, അതായത്, ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദങ്ങൾ ആദ്യം ഗുണിക്കുക, വിഭജിക്കുക, കൂട്ടിച്ചേർക്കുക, കുറയ്ക്കുക തുടങ്ങിയവ.

   • ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാം 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). ഇവിടെ നമ്മൾ ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ആരംഭിക്കുന്നു: 5 + 2 = 7, 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • രണ്ടാമത്തെ ജോഡി പരാൻതീസിസിലെ എക്സ്പ്രഷൻ 5 ആയി ലളിതമാക്കുന്നു, കാരണം 4/2 ആദ്യം വിഭജിക്കണം (ശരിയായ പ്രവർത്തന ക്രമം അനുസരിച്ച്). നിങ്ങൾ ഈ ഓർഡർ പാലിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് തെറ്റായ ഉത്തരം ലഭിക്കും: 3 + 4 = 7, 7 ÷ 2 = 7/2.
   • പരാൻതീസിസിൽ മറ്റൊരു ജോടി പരാൻതീസിസുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അകത്തെ പരാൻതീസിസിലെ പദപ്രയോഗം പരിഹരിച്ച് ലളിതമാക്കാൻ ആരംഭിക്കുക, തുടർന്ന് ബാഹ്യ പരാൻതീസിസിലെ എക്സ്പ്രഷൻ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകുക.

3. എക്സ്പോണൻഷ്യേറ്റ് ചെയ്യുക.പരാൻതീസിസിലെ പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരിഹരിച്ച ശേഷം, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷനിലേക്ക് നീങ്ങുക (ഒരു ശക്തിക്ക് ഒരു എക്‌സ്‌പോണന്റും ബേസും ഉണ്ടെന്ന് ഓർക്കുക). അനുബന്ധ പദപ്രയോഗം (അല്ലെങ്കിൽ നമ്പർ) ഒരു പവറിലേക്ക് ഉയർത്തി നിങ്ങൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് ഫലം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

   • ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഒരേയൊരു പദപ്രയോഗം (നമ്പർ) 3 2: 3 2 = 9 ആണ്. നിങ്ങൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ, 3 2 എന്നത് 9 ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. ഗുണിക്കുക.ഗുണന പ്രവർത്തനത്തെ ഇനിപ്പറയുന്ന ചിഹ്നങ്ങളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക: "x", "∙" അല്ലെങ്കിൽ "*". എന്നാൽ സംഖ്യയ്ക്കും വേരിയബിളിനുമിടയിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, 2x) അല്ലെങ്കിൽ പരാൻതീസിസിലെ സംഖ്യയ്ക്കും സംഖ്യയ്ക്കും ഇടയിലോ (ഉദാഹരണത്തിന്, 4(7)) ചിഹ്നങ്ങൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, ഇതും ഒരു ഗുണന പ്രവർത്തനമാണ്.

   • ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, രണ്ട് ഗുണന പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്: 2x (രണ്ടെണ്ണം "x" വേരിയബിൾ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ) കൂടാതെ 4(7) (നാല് ഗുണനം ഏഴ്). x ന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ 2x എന്ന പദപ്രയോഗം അതേപടി വിടും. 4(7) = 4 x 7 = 28. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം: 2x + 28 + 9 - 5.

5. വീതിക്കുക.ഡിവിഷൻ പ്രവർത്തനത്തെ ഇനിപ്പറയുന്ന ചിഹ്നങ്ങളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഓർക്കുക: "/", "÷" അല്ലെങ്കിൽ "-" (നിങ്ങൾ ഈ അവസാന പ്രതീകം ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ കണ്ടേക്കാം). ഉദാഹരണത്തിന്, 3/4 എന്നത് മൂന്നിനെ നാലായി ഹരിക്കുന്നു.

   • ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇനി ഒരു ഡിവിഷൻ ഓപ്പറേഷൻ ഇല്ല, കാരണം നിങ്ങൾ ഇതിനകം 4-നെ 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു (4/2) പരാൻതീസിസിലെ പദപ്രയോഗം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ. അതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകാം. മിക്ക പദപ്രയോഗങ്ങളിലും എല്ലാ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളും (അവയിൽ ചിലത് മാത്രം) അടങ്ങിയിട്ടില്ലെന്ന് ഓർക്കുക.

6. മടക്കുക.ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ നിബന്ധനകൾ ചേർക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും അകലെയുള്ള (ഇടത് വശത്ത്) പദത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യം എളുപ്പത്തിൽ ചേർക്കുന്ന പദങ്ങൾ ചേർക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, 49 + 29 + 51 +71 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ, ആദ്യം 49 + 51 = 100, പിന്നീട് 29 + 71 = 100, ഒടുവിൽ 100 ​​+ 100 = 200 എന്നിവ ചേർക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഇതുപോലെ ചേർക്കുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ 2x + 28 + 9 + 5 രണ്ട് കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഏറ്റവും പുറത്തുള്ള (ഇടത്) പദത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം: 2x + 28; "x" എന്ന വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം നിങ്ങൾക്ക് അറിയാത്തതിനാൽ നിങ്ങൾക്ക് 2x, 28 എന്നിവ ചേർക്കാൻ കഴിയില്ല. അതിനാൽ, 28 + 9 = 37 ചേർക്കുക. ഇപ്പോൾ എക്സ്പ്രഷൻ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം: 2x + 37 - 5.

7. കുറയ്ക്കുക.ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിന്റെ ശരിയായ ക്രമത്തിലുള്ള അവസാന പ്രവർത്തനമാണിത്. ഈ ഘട്ടത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ചേർക്കാനും കഴിയും നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾഅല്ലെങ്കിൽ അംഗങ്ങളെ ചേർക്കുന്ന ഘട്ടത്തിൽ ചെയ്യുക - ഇത് അന്തിമ ഫലത്തെ ഒരു തരത്തിലും ബാധിക്കില്ല.

   • ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണം 2x + 37 - 5 ൽ ഒരു കുറയ്ക്കൽ പ്രവർത്തനം മാത്രമേയുള്ളൂ: 37 - 5 = 32.

8. ഈ ഘട്ടത്തിൽ, എല്ലാ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളും ചെയ്ത ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ലളിതമായ പദപ്രയോഗം ലഭിക്കണം.എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ ഒന്നോ അതിലധികമോ വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, വേരിയബിളുമായുള്ള പദം അതേപടി നിലനിൽക്കുമെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക. ഒരു വേരിയബിളുമായി ഒരു പദപ്രയോഗം പരിഹരിക്കുന്നത് (ലളിതമാക്കുന്നില്ല) ആ വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. ചിലപ്പോൾ വേരിയബിൾ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമാക്കാം പ്രത്യേക രീതികൾ(അടുത്ത ഭാഗം കാണുക).

   • ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, അന്തിമ ഉത്തരം 2x + 32 ആണ്. "x" എന്ന വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം അറിയുന്നതുവരെ നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പദങ്ങൾ ചേർക്കാൻ കഴിയില്ല. വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞുകഴിഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഈ ദ്വിപദത്തെ എളുപ്പത്തിൽ ലളിതമാക്കാം.

   സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നു

   1. സമാന പദങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ.നിങ്ങൾക്ക് സമാന പദങ്ങൾ കുറയ്ക്കാനും ചേർക്കാനും മാത്രമേ കഴിയൂ, അതായത് ഒരേ വേരിയബിളും ഒരേ എക്‌സ്‌പോണന്റും ഉള്ള പദങ്ങൾ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയൂ എന്ന് ഓർമ്മിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് 7x, 5x എന്നിവ ചേർക്കാം, എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് 7x, 5x 2 എന്നിവ ചേർക്കാൻ കഴിയില്ല (എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ വ്യത്യസ്തമായതിനാൽ).

      • ഒന്നിലധികം വേരിയബിളുകളുള്ള അംഗങ്ങൾക്കും ഈ നിയമം ബാധകമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് 2xy 2, -3xy 2 എന്നിവ ചേർക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് 2xy 2, -3x 2 y അല്ലെങ്കിൽ 2xy 2, -3y 2 എന്നിവ ചേർക്കാൻ കഴിയില്ല.
      • നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: x 2 + 3x + 6 - 8x. ഇവിടെ സമാന പദങ്ങൾ 3x, 8x ആണ്, അതിനാൽ അവ ഒരുമിച്ച് ചേർക്കാം. ഒരു ലളിതമായ പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: x 2 - 5x + 6.

   2. സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യ ലളിതമാക്കുക.അത്തരമൊരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും അക്കങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു (ഒരു വേരിയബിൾ ഇല്ലാതെ). ഒരു സംഖ്യാ അംശം പല തരത്തിൽ ലളിതമാക്കാം. ആദ്യം, ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ന്യൂമറേറ്റർ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. രണ്ടാമതായി, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഫാക്ടർ ചെയ്യുകയും സമാന ഘടകങ്ങൾ റദ്ദാക്കുകയും ചെയ്യുക (ഒരു സംഖ്യ സ്വയം ഹരിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് 1 ലഭിക്കും). മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ന്യൂമറേറ്ററിനും ഡിനോമിനേറ്ററിനും ഒരേ ഘടകം ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് അത് ഉപേക്ഷിച്ച് ലളിതമായ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ലഭിക്കും.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, ഭിന്നസംഖ്യ 36/60 പരിഗണിക്കുക. ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്, 0.6 ലഭിക്കുന്നതിന് 36 നെ 60 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. എന്നാൽ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഫാക്ടർ ചെയ്തുകൊണ്ട് നിങ്ങൾക്ക് ഈ ഭിന്നസംഖ്യയെ മറ്റൊരു രീതിയിൽ ലളിതമാക്കാം: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). 6/6 = 1 ആയതിനാൽ, ലളിതമാക്കിയ ഭിന്നസംഖ്യ ഇതാണ്: 1 x 6/10 = 6/10. എന്നാൽ ഈ ഭിന്നസംഖ്യയും ലളിതമാക്കാം: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയിൽ ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, വേരിയബിളിനൊപ്പം ഘടകങ്ങൾ പോലെ നിങ്ങൾക്ക് റദ്ദാക്കാം.ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ഫാക്‌ടർ ചെയ്‌ത് സമാന ഘടകങ്ങളെ റദ്ദാക്കുക, അവയിൽ വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിലും (ഇവിടെയുള്ള സമാന ഘടകങ്ങളിൽ വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ ഇല്ലായിരിക്കാം എന്ന് ഓർക്കുക).

      • നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). ഈ പദപ്രയോഗം ഫോമിൽ (ഘടകമായി) മാറ്റിയെഴുതാം: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). 3x പദം ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും ഉള്ളതിനാൽ, ലളിതമായ ഒരു പദപ്രയോഗം നൽകാൻ നിങ്ങൾക്കത് റദ്ദാക്കാം: (x + 1)/(5 - x). നമുക്ക് മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • നിങ്ങൾക്ക് നിബന്ധനകളൊന്നും റദ്ദാക്കാനാകില്ലെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക - ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും ഉള്ള സമാന ഘടകങ്ങൾ മാത്രമേ റദ്ദാക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ളൂ. ഉദാഹരണത്തിന്, (x(x + 2))/x എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ, വേരിയബിൾ (ഘടകം) “x” ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും ഉണ്ട്, അതിനാൽ ലളിതമായ ഒരു പദപ്രയോഗം ലഭിക്കുന്നതിന് “x” കുറയ്ക്കാം: (x + 2)/1 = x + 2. എന്നിരുന്നാലും, എക്സ്പ്രഷനിൽ (x + 2)/x, വേരിയബിൾ "x" കുറയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല ("x" എന്നത് ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഒരു ഘടകമല്ല എന്നതിനാൽ).

   4. പരാന്തീസിസ് തുറക്കുക.ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്തുള്ള പദത്തെ ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ചിലപ്പോൾ ഇത് ലളിതമാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു സങ്കീർണ്ണമായ ആവിഷ്കാരം. ഉള്ള രണ്ട് അംഗങ്ങൾക്കും ഇത് ബാധകമാണ് പ്രധാന സംഖ്യകൾ, കൂടാതെ വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന അംഗങ്ങൾക്കും.

      • ഉദാഹരണത്തിന്, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, കൂടാതെ 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • എന്നതിൽ ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും ഒരേ ഘടകം ഉണ്ടെങ്കിൽ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, (3(x 2 + 8))/3x എന്ന എക്‌സ്‌പ്രഷനിൽ പരാൻതീസിസുകൾ വികസിപ്പിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, കാരണം ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് 3-ന്റെ ഫാക്ടർ റദ്ദാക്കി ലളിതമായ പദപ്രയോഗം (x 2 + 8)/x ലഭിക്കും. ഈ പദപ്രയോഗം പ്രവർത്തിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്; നിങ്ങൾ പരാൻതീസിസ് തുറന്നാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗം ലഭിക്കും: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. ഫാക്ടർ ബഹുപദങ്ങൾ.ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ചില പദപ്രയോഗങ്ങളും ബഹുപദങ്ങളും ലളിതമാക്കാം. പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കുന്നതിന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ് ഫാക്‌ടറിംഗ്, അതായത്, രണ്ട് എക്‌സ്‌പ്രഷനുകളുടെ ഗുണനമായാണ് ഒരു എക്‌സ്‌പ്രഷൻ എഴുതുന്നത്, ഓരോന്നും പരാൻതീസിസിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരേ എക്സ്പ്രഷൻ കുറയ്ക്കാൻ ഫാക്‌ടറിംഗ് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പ്രത്യേക സന്ദർഭങ്ങളിൽ (സാധാരണയായി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ) ഫാക്ടറിംഗ് നിങ്ങളെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ അനുവദിക്കും.

      • x 2 - 5x + 6 എന്ന പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക. ഇത് ഫാക്ടർ ചെയ്തിരിക്കുന്നു: (x - 3)(x - 2). അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷൻ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), നിങ്ങൾക്ക് അത് (x - 3)(x - 2)/(2(x) എന്ന് പുനരാലേഖനം ചെയ്യാം - 2)), എക്സ്പ്രഷൻ കുറയ്ക്കുക (x - 2) കൂടാതെ ലളിതമായ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ (x - 3)/2 നേടുക.
      • ഫാക്ടറിംഗ് പോളിനോമിയലുകൾ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് (വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്) ഉപയോഗിക്കുന്നു (ഒരു സമവാക്യം 0 ന് തുല്യമായ ബഹുപദമാണ്). ഉദാഹരണത്തിന്, x 2 - 5x + 6 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. അതിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് (x - 3) (x - 2) = 0 ലഭിക്കും. 0 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ഏതൊരു പദപ്രയോഗവും 0 ന് തുല്യമായതിനാൽ, നമുക്ക് അത് ഇതുപോലെ എഴുതാം. ഇത് : x - 3 = 0, x - 2 = 0. അങ്ങനെ, x = 3, x = 2, അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വേരുകൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

ഏത് ഭാഷയ്ക്കും ഒരേ വിവരങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും വ്യത്യസ്ത വാക്കുകളിൽവിപ്ലവങ്ങളും. ഗണിത ഭാഷയും അപവാദമല്ല. എന്നാൽ ഒരേ പദപ്രയോഗം തുല്യമായി വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ എഴുതാം. ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ, എൻട്രികളിൽ ഒന്ന് ലളിതമാണ്. ഈ പാഠത്തിൽ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കും.

ആളുകൾ ആശയവിനിമയം നടത്തുന്നു വ്യത്യസ്ത ഭാഷകൾ. ഞങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഒരു പ്രധാന താരതമ്യം "റഷ്യൻ ഭാഷ - ഗണിത ഭാഷ" ജോഡിയാണ്. ഒരേ വിവരങ്ങൾ വിവിധ ഭാഷകളിൽ ആശയവിനിമയം നടത്താം. പക്ഷേ, ഇതുകൂടാതെ, ഇത് ഒരു ഭാഷയിൽ വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ ഉച്ചരിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്: "പെത്യ വാസ്യയുമായി ചങ്ങാതിമാരാണ്", "വാസ്യ പെത്യയുമായി ചങ്ങാതിമാരാണ്", "പെത്യയും വാസ്യയും സുഹൃത്തുക്കളാണ്". വ്യത്യസ്തമായി പറഞ്ഞു, പക്ഷേ ഒരേ കാര്യം. ഈ വാക്യങ്ങളിലൊന്നിൽ നിന്ന് നമ്മൾ എന്താണ് സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് നമുക്ക് മനസ്സിലാകും.

നമുക്ക് ഈ വാചകം നോക്കാം: "പെത്യ എന്ന ആൺകുട്ടിയും വാസ്യ എന്ന ആൺകുട്ടിയും സുഹൃത്തുക്കളാണ്." ഞങ്ങൾ എന്താണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ വാചകത്തിന്റെ ശബ്ദം ഞങ്ങൾ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നില്ല. നമുക്ക് ഇത് ലളിതമാക്കാൻ കഴിയില്ലേ, അതേ കാര്യം തന്നെ പറയൂ, എന്നാൽ ലളിതമാണോ? "ആൺകുട്ടിയും ആൺകുട്ടിയും" - നിങ്ങൾക്ക് ഒരിക്കൽ പറയാം: "ആൺകുട്ടികൾ പെത്യയും വാസ്യയും സുഹൃത്തുക്കളാണ്."

"ആൺകുട്ടികൾ"... അവരുടെ പേരുകളിൽ നിന്ന് അവർ പെൺകുട്ടികളല്ലെന്ന് വ്യക്തമല്ലേ? ഞങ്ങൾ "ആൺകുട്ടികളെ" നീക്കംചെയ്യുന്നു: "പെത്യയും വാസ്യയും സുഹൃത്തുക്കളാണ്." “സുഹൃത്തുക്കൾ” എന്ന വാക്ക് “സുഹൃത്തുക്കൾ” എന്ന് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം: “പെത്യയും വാസ്യയും സുഹൃത്തുക്കളാണ്.” തൽഫലമായി, ആദ്യത്തെ, ദൈർഘ്യമേറിയ, വൃത്തികെട്ട പദസമുച്ചയം, പറയാൻ എളുപ്പമുള്ളതും മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമുള്ളതുമായ തുല്യമായ ഒരു പ്രസ്താവന ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി. ഞങ്ങൾ ഈ വാചകം ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു. ലളിതമാക്കുക എന്നതിനർത്ഥം കൂടുതൽ ലളിതമായി പറയുക, എന്നാൽ അർത്ഥം നഷ്ടപ്പെടുകയോ വളച്ചൊടിക്കുകയോ ചെയ്യരുത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയിൽ, ഏകദേശം ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കുന്നു. ഒരേ കാര്യം പറയാം, വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം. ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക എന്നതിന്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? ഇതിനർത്ഥം യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗത്തിന് തുല്യമായ നിരവധി പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഉണ്ടെന്നാണ്, അതായത്, ഒരേ കാര്യം അർത്ഥമാക്കുന്നവ. ഈ വൈവിധ്യത്തിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും ലളിതമായത്, ഞങ്ങളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, അല്ലെങ്കിൽ ഞങ്ങളുടെ തുടർന്നുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായത് തിരഞ്ഞെടുക്കണം.

ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യാ പദപ്രയോഗം പരിഗണിക്കുക. ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഇത് ആദ്യ രണ്ടിനും തുല്യമായിരിക്കും: .

ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കി, ഏറ്റവും ചെറിയ തുല്യമായ പദപ്രയോഗം കണ്ടെത്തി.

സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾക്കായി, നിങ്ങൾ എല്ലായ്‌പ്പോഴും എല്ലാം ചെയ്യുകയും തുല്യമായ പദപ്രയോഗം ഒരൊറ്റ സംഖ്യയായി നേടുകയും വേണം.

ഒരു അക്ഷര പ്രയോഗത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം . വ്യക്തമായും, ഇത് കൂടുതൽ ലളിതമായിരിക്കും.

അക്ഷരീയ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുമ്പോൾ, സാധ്യമായ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കേണ്ടത് എല്ലായ്പ്പോഴും ആവശ്യമാണോ? ഇല്ല, ചിലപ്പോൾ തത്തുല്യമായതും എന്നാൽ ദൈർഘ്യമേറിയതുമായ പ്രവേശനം ഞങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം: നിങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു സംഖ്യ കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ട്.

കണക്കുകൂട്ടാൻ സാധിക്കും, എന്നാൽ ആദ്യത്തെ സംഖ്യയെ അതിന്റെ തുല്യമായ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് പ്രതിനിധീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ: , അപ്പോൾ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ തൽക്ഷണം ആയിരിക്കും: .

അതായത്, കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് ലളിതമായ ഒരു പദപ്രയോഗം എല്ലായ്പ്പോഴും ഞങ്ങൾക്ക് പ്രയോജനകരമല്ല.

എന്നിരുന്നാലും, "പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക" എന്ന് തോന്നുന്ന ഒരു ജോലിയാണ് പലപ്പോഴും നമ്മൾ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നത്.

പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക: .

പരിഹാരം

1) ഒന്നും രണ്ടും ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക: .

2) നമുക്ക് ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണക്കാക്കാം: .

വ്യക്തമായും, അവസാന പദപ്രയോഗത്തിന് പ്രാരംഭ രൂപത്തേക്കാൾ ലളിതമായ രൂപമുണ്ട്. ഞങ്ങൾ അത് ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു.

പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുന്നതിന്, അത് തുല്യമായ (തുല്യം) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള തുല്യമായ പദപ്രയോഗം നിർണ്ണയിക്കാൻ:

1) സാധ്യമായ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും ചെയ്യുക,

2) കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാൻ സങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം, ഹരിക്കൽ എന്നിവയുടെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക.

സങ്കലനത്തിന്റെയും കുറയ്ക്കലിന്റെയും ഗുണങ്ങൾ:

1. കൂട്ടിച്ചേർക്കലിന്റെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി: നിബന്ധനകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നത് തുകയിൽ മാറ്റം വരുത്തില്ല.

2. സങ്കലനത്തിന്റെ കോമ്പിനേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി: രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയിൽ മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ ചേർക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ആദ്യ സംഖ്യയിലേക്ക് ചേർക്കാം.

3. ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു തുക കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള സ്വത്ത്: ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു തുക കുറയ്ക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഓരോ പദവും വെവ്വേറെ കുറയ്ക്കാം.

ഗുണനത്തിന്റെയും വിഭജനത്തിന്റെയും ഗുണങ്ങൾ

1. ഗുണനത്തിന്റെ കമ്മ്യൂട്ടേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി: ഘടകങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നത് ഉൽപ്പന്നത്തെ മാറ്റില്ല.

2. കോമ്പിനേറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി: രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്താൽ ഒരു സംഖ്യയെ ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ആദ്യം അതിനെ ആദ്യ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തെ രണ്ടാമത്തെ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം.

3. ഗുണനത്തിന്റെ വിതരണ സ്വത്ത്: ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു തുക കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അതിനെ ഓരോ പദത്തിലും വെവ്വേറെ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

നമ്മൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ മാനസിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നോക്കാം.

കണക്കാക്കുക:

പരിഹാരം

1) എങ്ങനെയെന്ന് നമുക്ക് ഊഹിക്കാം

2) ആദ്യ ഘടകം ബിറ്റ് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി സങ്കൽപ്പിക്കുകയും ഗുണനം നടത്തുകയും ചെയ്യാം:

3) ഗുണനം എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്നും നിർവ്വഹിക്കാമെന്നും നിങ്ങൾക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും:

4) ആദ്യ ഘടകം പകരം തുല്യമായ തുക നൽകുക:

വിതരണ നിയമം ഉപയോഗിക്കാനും കഴിയും മറു പുറം: .

ഈ ഘട്ടങ്ങൾ പാലിക്കുക:

1) 2)

പരിഹാരം

1) സൗകര്യാർത്ഥം, നിങ്ങൾക്ക് വിതരണ നിയമം ഉപയോഗിക്കാം, വിപരീത ദിശയിൽ മാത്രം ഉപയോഗിക്കുക - ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കുക.

2) ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം

അടുക്കളയിലും ഇടനാഴിയിലും ലിനോലിയം വാങ്ങേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അടുക്കള പ്രദേശം - , ഇടനാഴി - . മൂന്ന് തരം ലിനോലിയങ്ങൾ ഉണ്ട്: ഇതിനായി, റൂബിൾസ്. ഓരോന്നിനും എത്ര വില വരും? മൂന്ന് തരംലിനോലിയം? (ചിത്രം 1)

അരി. 1. പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയ്ക്കുള്ള ചിത്രീകരണം

പരിഹാരം

രീതി 1. അടുക്കളയ്ക്കായി ലിനോലിയം വാങ്ങാൻ എത്ര പണം എടുക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പ്രത്യേകം കണ്ടെത്താനാകും, തുടർന്ന് അത് ഇടനാഴിയിൽ വയ്ക്കുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യുക.

സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം എന്നിവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കൊപ്പം, അക്ഷര പദപ്രയോഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നതും ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു ബീജഗണിത പദപ്രയോഗത്തെ ഫ്രാക്ഷണൽ ബീജഗണിത പദപ്രയോഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇവയാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, പദപ്രയോഗങ്ങൾ

രണ്ട് പൂർണ്ണ ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ (ഉദാഹരണത്തിന്, മോണോമിയലുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ബഹുപദങ്ങൾ) വിഭജനത്തിന്റെ ഒരു ഘടകത്തിന്റെ രൂപമുള്ള ബീജഗണിത ഭിന്നസംഖ്യയെ ഞങ്ങൾ ബീജഗണിത പദപ്രയോഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇവയാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, പദപ്രയോഗങ്ങൾ

പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ മൂന്നാമത്തേത്).

ഫ്രാക്ഷണൽ ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ സമാന രൂപാന്തരങ്ങൾ പ്രധാനമായും അവയെ ബീജഗണിത ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ലക്ഷ്യമിടുന്നു. പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്താൻ, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു - അവയുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൊതുവായ ഗുണിതം കണ്ടെത്തുന്നതിന് പദങ്ങൾ. ബീജഗണിത ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ കർശനമായ ഐഡന്റിറ്റി ലംഘിക്കപ്പെടാം: കുറയ്ക്കുന്ന ഘടകം പൂജ്യമാകുന്ന അളവുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഒഴിവാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഫ്രാക്ഷണൽ ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ സമാന പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം.

ഉദാഹരണം 1: ഒരു പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക

എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്ററായി ചുരുക്കാം (അവസാന പദത്തിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിലെ ചിഹ്നവും അതിന് മുന്നിലുള്ള ചിഹ്നവും മാറ്റുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്):

ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും ഞങ്ങളുടെ പദപ്രയോഗം തുല്യമാണ്; ഇത് നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല, ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നത് നിയമവിരുദ്ധമാണ്).

ഉദാഹരണം 2. പദപ്രയോഗത്തെ ബീജഗണിത ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുക

പരിഹാരം. പദപ്രയോഗം ഒരു പൊതു വിഭാഗമായി എടുക്കാം. ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി കണ്ടെത്തുന്നു:

വ്യായാമങ്ങൾ

1. നിർദ്ദിഷ്ട പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾക്കായി ബീജഗണിത പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക:

2. ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുക.