त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती. त्रिकोणमितीय समीकरणे

घर / बायकोची फसवणूक

तुमची गोपनीयता राखणे आमच्यासाठी महत्त्वाचे आहे. या कारणास्तव, आम्ही एक गोपनीयता धोरण विकसित केले आहे जे आम्ही तुमची माहिती कशी वापरतो आणि संचयित करतो याचे वर्णन करते. कृपया आमच्या गोपनीयता पद्धतींचे पुनरावलोकन करा आणि तुम्हाला काही प्रश्न असल्यास आम्हाला कळवा.

वैयक्तिक माहितीचे संकलन आणि वापर

वैयक्तिक माहिती डेटाचा संदर्भ देते ज्याचा वापर एखाद्या विशिष्ट व्यक्तीला ओळखण्यासाठी किंवा त्याच्याशी संपर्क साधण्यासाठी केला जाऊ शकतो.

तुम्ही आमच्याशी संपर्क साधता तेव्हा तुम्हाला तुमची वैयक्तिक माहिती देण्यास सांगितले जाऊ शकते.

खाली आम्ही एकत्रित केलेल्या वैयक्तिक माहितीच्या प्रकारांची आणि आम्ही अशी माहिती कशी वापरू शकतो याची काही उदाहरणे दिली आहेत.

आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती गोळा करतो:

तुम्ही साइटवर अर्ज सबमिट करता तेव्हा, आम्ही तुमचे नाव, दूरध्वनी क्रमांक, पत्ता यासह विविध माहिती गोळा करू शकतो ईमेलइ.

आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:

आमच्याद्वारे गोळा केले वैयक्तिक माहितीआम्हाला तुमच्याशी संपर्क साधण्याची आणि तुम्हाला माहिती देण्याची परवानगी देते अद्वितीय ऑफर, जाहिराती आणि इतर कार्यक्रम आणि आगामी कार्यक्रम.
वेळोवेळी, महत्त्वाच्या सूचना आणि संप्रेषणे पाठवण्यासाठी आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
आम्ही प्रदान करत असल्या सेवा सुधारण्यासाठी आणि तुम्हाला आमच्या सेवांसंबंधी शिफारशी प्रदान करण्यासाठी ऑडिट, डेटा विश्लेषण आणि विविध संशोधन करण्यासाठी आम्ही अंतर्गत उद्देशांसाठी वैयक्तिक माहिती देखील वापरू शकतो.
तुम्ही बक्षीस सोडत, स्पर्धा किंवा तत्सम जाहिरातींमध्ये भाग घेतल्यास, आम्ही अशा कार्यक्रमांचे व्यवस्थापन करण्यासाठी तुम्ही प्रदान केलेली माहिती वापरू शकतो.

तृतीय पक्षांना माहितीचे प्रकटीकरण

तुमच्याकडून मिळालेली माहिती आम्ही तृतीय पक्षांना उघड करत नाही.

अपवाद:

आवश्यक असल्यास, कायद्यानुसार, न्यायिक प्रक्रिया, कायदेशीर कार्यवाहीमध्ये आणि/किंवा सार्वजनिक विनंत्या किंवा रशियन फेडरेशनमधील सरकारी एजन्सीच्या विनंत्यांच्या आधारावर - तुमची वैयक्तिक माहिती उघड करण्यासाठी. सुरक्षा, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा इतर सार्वजनिक महत्त्वाच्या उद्देशांसाठी असे प्रकटीकरण आवश्यक किंवा योग्य आहे हे आम्ही निर्धारित केल्यास आम्ही तुमच्याबद्दलची माहिती देखील उघड करू शकतो.
पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्री झाल्यास, आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती लागू उत्तराधिकारी तृतीय पक्षाकडे हस्तांतरित करू शकतो.

वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

तुमच्या वैयक्तिक माहितीचे नुकसान, चोरी आणि गैरवापर, तसेच अनधिकृत प्रवेश, प्रकटीकरण, बदल आणि विनाश यापासून संरक्षण करण्यासाठी आम्ही - प्रशासकीय, तांत्रिक आणि भौतिक यासह - खबरदारी घेतो.

कंपनी स्तरावर तुमच्या गोपनीयतेचा आदर करणे

तुमची वैयक्तिक माहिती सुरक्षित असल्याची खात्री करण्यासाठी, आम्ही आमच्या कर्मचाऱ्यांना गोपनीयता आणि सुरक्षा मानके संप्रेषण करतो आणि गोपनीयता पद्धतींची काटेकोरपणे अंमलबजावणी करतो.

वैयक्तिक माहितीचे संकलन आणि वापर

आम्ही कोणती वैयक्तिक माहिती गोळा करतो:

तुम्ही साइटवर अर्ज सबमिट करता तेव्हा, आम्ही तुमचे नाव, फोन नंबर, ईमेल पत्ता इत्यादीसह विविध माहिती गोळा करू शकतो.

आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती कशी वापरतो:

आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती आम्हाला अनन्य ऑफर, जाहिराती आणि इतर कार्यक्रम आणि आगामी कार्यक्रमांसह तुमच्याशी संपर्क साधण्याची अनुमती देते.
वेळोवेळी, महत्त्वाच्या सूचना आणि संप्रेषणे पाठवण्यासाठी आम्ही तुमची वैयक्तिक माहिती वापरू शकतो.
आम्ही प्रदान करत असल्या सेवा सुधारण्यासाठी आणि तुम्हाला आमच्या सेवांसंबंधी शिफारशी प्रदान करण्यासाठी ऑडिट, डेटा विश्लेषण आणि विविध संशोधन करण्यासाठी आम्ही अंतर्गत उद्देशांसाठी वैयक्तिक माहिती देखील वापरू शकतो.
तुम्ही बक्षीस सोडत, स्पर्धा किंवा तत्सम जाहिरातींमध्ये भाग घेतल्यास, आम्ही अशा कार्यक्रमांचे व्यवस्थापन करण्यासाठी तुम्ही प्रदान केलेली माहिती वापरू शकतो.

तृतीय पक्षांना माहितीचे प्रकटीकरण

तुमच्याकडून मिळालेली माहिती आम्ही तृतीय पक्षांना उघड करत नाही.

अपवाद:

आवश्यक असल्यास - कायद्यानुसार, न्यायालयीन प्रक्रियेनुसार, कायदेशीर कार्यवाहीमध्ये आणि/किंवा सार्वजनिक विनंत्या किंवा रशियन फेडरेशनमधील सरकारी संस्थांच्या विनंत्यांनुसार - तुमची वैयक्तिक माहिती उघड करण्यासाठी. सुरक्षा, कायद्याची अंमलबजावणी किंवा इतर सार्वजनिक महत्त्वाच्या उद्देशांसाठी असे प्रकटीकरण आवश्यक किंवा योग्य आहे हे आम्ही निर्धारित केल्यास आम्ही तुमच्याबद्दलची माहिती देखील उघड करू शकतो.
पुनर्रचना, विलीनीकरण किंवा विक्री झाल्यास, आम्ही संकलित केलेली वैयक्तिक माहिती लागू उत्तराधिकारी तृतीय पक्षाकडे हस्तांतरित करू शकतो.

वैयक्तिक माहितीचे संरक्षण

कंपनी स्तरावर तुमच्या गोपनीयतेचा आदर करणे

त्रिकोणमितीय समीकरणे हा सोपा विषय नाही. ते खूप वैविध्यपूर्ण आहेत.) उदाहरणार्थ, हे:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

आणि सारखे...

परंतु या (आणि इतर सर्व) त्रिकोणमितीय राक्षसांमध्ये दोन सामान्य आणि अनिवार्य वैशिष्ट्ये आहेत. प्रथम - तुमचा यावर विश्वास बसणार नाही - समीकरणांमध्ये त्रिकोणमितीय कार्ये आहेत.) दुसरे: x सह सर्व अभिव्यक्ती आढळतात या समान कार्यांमध्ये.आणि फक्त तिथेच! जर X कुठेतरी दिसतो बाहेर,उदाहरणार्थ, sin2x + 3x = 3,हे आधीच एक समीकरण असेल मिश्र प्रकार. अशा समीकरणांना वैयक्तिक दृष्टीकोन आवश्यक आहे. आम्ही त्यांचा येथे विचार करणार नाही.

आम्ही या धड्यात वाईट समीकरणे देखील सोडवणार नाही.) येथे आम्ही हाताळू सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे.का? होय कारण उपाय कोणतेहीत्रिकोणमितीय समीकरणांमध्ये दोन टप्पे असतात. पहिल्या टप्प्यावर, दुष्ट समीकरण विविध प्रकारच्या परिवर्तनांद्वारे कमी केले जाते. दुसऱ्यावर, हे सोपे समीकरण सोडवले जाते. अन्यथा, मार्ग नाही.

म्हणून, जर तुम्हाला दुसऱ्या टप्प्यावर समस्या येत असतील, तर पहिल्या टप्प्याला फारसा अर्थ नाही.)

प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी दिसतात?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

येथे ए कोणत्याही संख्येसाठी आहे. कोणतीही.

तसे, फंक्शनमध्ये शुद्ध X असू शकत नाही, परंतु काही प्रकारचे अभिव्यक्ती, जसे की:

cos(3x+π /3) = 1/2

आणि सारखे. हे जीवन गुंतागुंतीचे करते, परंतु त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवण्याच्या पद्धतीवर परिणाम करत नाही.

त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची?

त्रिकोणमितीय समीकरणे दोन प्रकारे सोडवता येतात. पहिला मार्ग: तर्कशास्त्र आणि त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरणे. हा मार्ग आपण येथे पाहू. दुसरा मार्ग - मेमरी आणि सूत्रे वापरून - पुढील धड्यात चर्चा केली जाईल.

पहिला मार्ग स्पष्ट, विश्वासार्ह आणि विसरणे कठीण आहे.) त्रिकोणमितीय समीकरणे, असमानता आणि सर्व प्रकारची अवघड नॉन-स्टँडर्ड उदाहरणे सोडवण्यासाठी तो चांगला आहे. तर्कशास्त्र स्मृतीपेक्षा मजबूत आहे!)

त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरून समीकरणे सोडवणे.

आम्ही प्राथमिक तर्कशास्त्र आणि त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरण्याची क्षमता समाविष्ट करतो. तुम्हाला कसे माहित नाही? तथापि... तुम्हाला त्रिकोणमितीमध्ये कठीण वेळ लागेल...) पण काही फरक पडत नाही. धड्यांवर एक नजर टाका "त्रिकोणमितीय वर्तुळ...... ते काय आहे?" आणि "त्रिकोणमितीय वर्तुळावरील कोन मोजणे." तेथे सर्व काही सोपे आहे. पाठ्यपुस्तकांच्या विपरीत...)

अरे, तुला माहीत आहे? आणि अगदी "त्रिकोणमितीय वर्तुळासह व्यावहारिक कार्य" मध्ये प्रभुत्व मिळवले!? अभिनंदन. हा विषय तुम्हाला जवळचा आणि समजण्यासारखा असेल.) विशेषत: आनंददायी गोष्ट म्हणजे त्रिकोणमितीय वर्तुळ तुम्ही कोणते समीकरण सोडवता याकडे लक्ष देत नाही. साइन, कोसाइन, स्पर्शिका, कोटँजेंट - त्याच्यासाठी सर्व काही समान आहे. समाधानाचे तत्व एकच आहे.

म्हणून आपण कोणतेही प्राथमिक त्रिकोणमितीय समीकरण घेऊ. किमान हे:

cosx = 0.5

आम्हाला एक्स शोधण्याची गरज आहे. बोललो तर मानवी भाषा, आवश्यक आहे कोन (x) शोधा ज्याचा कोसाइन 0.5 आहे.

आम्ही पूर्वी वर्तुळ कसे वापरायचे? आम्ही त्यावर एक कोन काढला. अंश किंवा रेडियन मध्ये. आणि लगेच पाहिले या कोनाची त्रिकोणमितीय कार्ये. आता उलट करू. वर्तुळावर ०.५ आणि लगेच कोसाइन काढू आम्ही पाहू कोपरा बाकी फक्त उत्तर लिहायचे आहे.) होय, होय!

एक वर्तुळ काढा आणि कोसाइन 0.5 च्या समान चिन्हांकित करा. कोसाइन अक्षावर, अर्थातच. याप्रमाणे:

आता हा कोसाइन आपल्याला देतो तो कोन काढू. तुमचा माउस चित्रावर फिरवा (किंवा तुमच्या टॅब्लेटवरील चित्राला स्पर्श करा), आणि तुम्ही पहालहाच कोपरा एक्स.

कोणत्या कोनाचा कोसाइन ०.५ आहे?

x = π /3

कारण ६०°= कारण( π /3) = 0,5

काही लोक संशयाने हसतील, होय... जसे की, सर्वकाही आधीच स्पष्ट असताना वर्तुळ बनवणे फायदेशीर होते का... तुम्ही अर्थातच हसू शकता...) पण वस्तुस्थिती अशी आहे की हे चुकीचे उत्तर आहे. किंवा त्याऐवजी, अपुरा. वर्तुळाचे पारखी समजतात की येथे इतर कोनांचा संपूर्ण समूह आहे जो ०.५ कोसाइन देखील देतो.

जर तुम्ही हलणारी बाजू OA वळवली पूर्ण वळण, बिंदू A त्याच्या मूळ स्थितीकडे परत येईल. 0.5 च्या समान कोसाइनसह. त्या. कोन बदलेल 360° किंवा 2π रेडियन, आणि कोसाइन - नाही.नवीन कोन 60° + 360° = 420° हे देखील आपल्या समीकरणाचे निराकरण होईल, कारण

अशा पूर्ण आवर्तनांची अनंत संख्या केली जाऊ शकते... आणि हे सर्व नवीन कोन आपल्या त्रिकोणमितीय समीकरणाचे निराकरण करतील. आणि ते सर्व कसे तरी प्रतिसादात लिहिणे आवश्यक आहे. सर्व.अन्यथा, निर्णय मोजला जात नाही, होय...)

गणित हे सोप्या आणि सुरेखपणे करू शकते. एका छोट्या उत्तरात लिहा अनंत संचनिर्णय आमच्या समीकरणासाठी ते कसे दिसते ते येथे आहे:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

मी त्याचा उलगडा करेन. तरीही लिहा अर्थपूर्णमूर्खपणाने काही गूढ अक्षरे काढण्यापेक्षा हे अधिक आनंददायी आहे, बरोबर?)

π /3 - हा तोच कोपरा आहे जो आपण पाहिलेमंडळावर आणि निर्धारितकोसाइन सारणीनुसार.

2π रेडियनमधील एक संपूर्ण क्रांती आहे.

n - ही पूर्ण संख्या आहे, म्हणजे संपूर्णआरपीएम हे स्पष्ट आहे n 0, ±1, ±2, ±3.... आणि असेच असू शकते. लहान नोंदीद्वारे सूचित केल्याप्रमाणे:

n ∈ Z

n च्या मालकीचे ( ∈ ) पूर्णांकांचा संच ( झेड ). तसे, पत्राऐवजी n अक्षरे चांगली वापरली जाऊ शकतात k, m, t इ.

या नोटेशनचा अर्थ तुम्ही कोणताही पूर्णांक घेऊ शकता n . किमान -3, किमान 0, किमान +55. जे पाहिजे ते. तुम्ही उत्तरामध्ये या क्रमांकाची जागा घेतल्यास, तुम्हाला एक विशिष्ट कोन मिळेल, जो निश्चितपणे आमच्या कठोर समीकरणावर उपाय असेल.)

किंवा, दुसऱ्या शब्दांत, x = π /3 अनंत संचाचे एकमेव मूळ आहे. इतर सर्व मुळे मिळविण्यासाठी, π /3 (मध्ये कितीही पूर्ण क्रांती जोडणे पुरेसे आहे) n ) रेडियन मध्ये. त्या. 2πn रेडियन

सर्व? नाही. मी मुद्दाम आनंद लांबवतो. अधिक चांगले लक्षात ठेवण्यासाठी.) आम्हाला आमच्या समीकरणाच्या उत्तरांचा फक्त एक भाग प्राप्त झाला. मी समाधानाचा हा पहिला भाग याप्रमाणे लिहीन:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x १ - फक्त एक मूळ नाही, तर मुळांची संपूर्ण मालिका, लहान स्वरूपात लिहिली आहे.

परंतु असे कोन देखील आहेत जे 0.5 चा कोसाइन देखील देतात!

आपण आपल्या चित्राकडे परत जाऊया ज्यावरून आपण उत्तर लिहिले आहे. येथे आहे:

तुमचा माउस इमेजवर फिरवा आणि आम्ही पाहतोदुसरा कोन जो ०.५ ची कोसाइन देखील देते.तुम्हांला ते काय समान वाटते? त्रिकोण समान आहेत... होय! तो कोनाच्या समान एक्स , फक्त नकारात्मक दिशेने विलंब. हा कोपरा आहे -एक्स. पण आपण आधीच x ची गणना केली आहे. π /3 किंवा६०° म्हणून, आम्ही सुरक्षितपणे लिहू शकतो:

x 2 = - π /3

बरं, अर्थातच, आम्ही पूर्ण क्रांतीद्वारे प्राप्त होणारे सर्व कोन जोडतो:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

आता एवढेच आहे.) त्रिकोणमितीय वर्तुळावर आपण पाहिले(कोण समजते, अर्थातच)) सर्व०.५ कोसाइन देणारे कोन. आणि हे अँगल थोडक्यात लिहून काढले गणितीय फॉर्म. या उत्तराचा परिणाम मूळांच्या दोन अनंत मालिकांमध्ये झाला:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

हे योग्य उत्तर आहे.

आशा, त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी सामान्य तत्त्ववर्तुळ वापरणे स्पष्ट आहे. आपण वर्तुळावर दिलेल्या समीकरणातून कोसाइन (साइन, स्पर्शिका, कोटॅन्जेंट) चिन्हांकित करतो, त्यास अनुरूप कोन काढतो आणि उत्तर लिहून काढतो.अर्थात, आपण कोणते कोपरे आहोत हे शोधून काढले पाहिजे पाहिलेवर्तुळावर. कधीकधी ते इतके स्पष्ट नसते. बरं, मी म्हटलं की इथे तर्कशास्त्र आवश्यक आहे.)

उदाहरणार्थ, दुसरे त्रिकोणमितीय समीकरण पाहू:

कृपया लक्षात घ्या की 0.5 ही संख्या समीकरणांमध्ये एकमेव संभाव्य संख्या नाही!) मुळ आणि अपूर्णांकांपेक्षा ते लिहिणे माझ्यासाठी अधिक सोयीचे आहे.

आम्ही सामान्य तत्त्वानुसार कार्य करतो. आम्ही वर्तुळ काढतो, चिन्हांकित करतो (साइन अक्षावर, अर्थातच!) 0.5. आपण या साइनशी संबंधित सर्व कोन एकाच वेळी काढतो. आम्हाला हे चित्र मिळाले:

चला प्रथम कोन हाताळूया एक्स पहिल्या तिमाहीत. आम्ही साइन्सचे टेबल आठवतो आणि या कोनाचे मूल्य निर्धारित करतो. ही एक साधी बाब आहे:

x = π /6

आम्हाला पूर्ण वळणे आठवतात आणि स्पष्ट विवेकाने, उत्तरांची पहिली मालिका लिहा:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

अर्धे काम झाले आहे. पण आता ठरवायला हवं दुसरा कोपरा...कोसाइन वापरण्यापेक्षा हे अवघड आहे, होय... पण तर्क आपल्याला वाचवेल! दुसरा कोन कसा ठरवायचा x द्वारे? हे सोपे आहे! चित्रातील त्रिकोण समान आहेत, आणि लाल कोपरा एक्स कोनाच्या समान एक्स . फक्त ते नकारात्मक दिशेने π कोनातून मोजले जाते. म्हणूनच ते लाल आहे.) आणि उत्तरासाठी आपल्याला सकारात्मक अर्ध-अक्ष OX वरून अचूक गणना केलेला कोन आवश्यक आहे, म्हणजे. 0 डिग्रीच्या कोनातून.

आम्ही रेखांकनावर कर्सर फिरवतो आणि सर्वकाही पाहतो. चित्र गुंतागुंतीचे होऊ नये म्हणून मी पहिला कोपरा काढला. आम्हाला स्वारस्य असलेला कोन (हिरव्या रंगात काढलेला) समान असेल:

π - x

X आम्हाला हे माहित आहे π /6 . म्हणून, दुसरा कोन असेल:

π - π /6 = 5π /6

पुन्हा आम्ही पूर्ण क्रांती जोडण्याबद्दल लक्षात ठेवतो आणि उत्तरांची दुसरी मालिका लिहा:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

बस्स. संपूर्ण उत्तरामध्ये मुळांच्या दोन मालिका असतात:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी समान सामान्य तत्त्व वापरून स्पर्शिका आणि कोटँजेंट समीकरणे सहजपणे सोडवता येतात. जर, अर्थातच, त्रिकोणमितीय वर्तुळावर स्पर्शिका आणि कोटँजेंट कसे काढायचे हे तुम्हाला माहित असेल.

वरील उदाहरणांमध्ये, मी साइन आणि कोसाइनचे टेबल मूल्य वापरले: 0.5. त्या. विद्यार्थ्याला माहित असलेला एक अर्थ उपकृतआता आपल्या क्षमतांचा विस्तार करूया इतर सर्व मूल्ये.ठरवा, म्हणून ठरवा!)

तर, हे त्रिकोणमितीय समीकरण सोडवायचे आहे असे म्हणू या:

मध्ये असे कोसाइन मूल्य संक्षिप्त सारण्यानाही. या भयंकर वस्तुस्थितीकडे आपण थंडपणे दुर्लक्ष करतो. एक वर्तुळ काढा, कोसाइन अक्षावर 2/3 चिन्हांकित करा आणि संबंधित कोन काढा. आम्हाला हे चित्र मिळते.

चला, प्रथम, पहिल्या तिमाहीतील कोनात पाहू. x बरोबर काय आहे हे आम्हाला कळले असते तर आम्ही लगेच उत्तर लिहून ठेवू! आम्हाला माहित नाही... अयशस्वी!? शांत! गणित आपल्याच माणसांना अडचणीत सोडत नाही! तिने या केससाठी आर्क कोसाइन आणले. माहित नाही? व्यर्थ. शोधा, हे तुम्हाला वाटते त्यापेक्षा खूप सोपे आहे. या लिंकवर “रिव्हर्स” बद्दल एकही अवघड शब्दलेखन नाही त्रिकोणमितीय कार्ये"नाही... या विषयात हे अनावश्यक आहे.

तुम्हाला माहिती असल्यास, फक्त स्वतःला सांगा: "X हा एक कोन आहे ज्याचा कोसाइन 2/3 च्या बरोबरीचा आहे." आणि ताबडतोब, पूर्णपणे आर्क कोसाइनच्या व्याख्येनुसार, आम्ही लिहू शकतो:

आम्हाला अतिरिक्त क्रांत्या आठवतात आणि आमच्या त्रिकोणमितीय समीकरणाच्या मुळांची पहिली मालिका शांतपणे लिहा:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

दुसऱ्या कोनासाठी मुळांची दुसरी मालिका जवळजवळ आपोआप लिहिली जाते. सर्व काही समान आहे, फक्त X (arccos 2/3) वजा सह असेल:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

आणि तेच! हे योग्य उत्तर आहे. टेबल मूल्यांपेक्षा अगदी सोपे. काहीही लक्षात ठेवण्याची गरज नाही.) तसे, सर्वात लक्षवेधी लक्षात येईल की हे चित्र कंस कोसाइनद्वारे समाधान दर्शवते. थोडक्यात, cosx = 0.5 या समीकरणासाठी चित्रापेक्षा वेगळे नाही.

बरोबर आहे! सामान्य तत्त्वम्हणूनच हे सामान्य आहे! मी मुद्दाम दोन जवळजवळ सारखीच चित्रे काढली. वर्तुळ आपल्याला कोन दाखवते एक्स त्याच्या कोसाइन द्वारे. हे सारणी कोसाइन आहे की नाही हे प्रत्येकासाठी अज्ञात आहे. हा कोणता कोन आहे, π /3, किंवा चाप कोसाइन कोणता आहे - हे आपल्यावर अवलंबून आहे.

साईन बरोबर तेच गाणे. उदाहरणार्थ:

पुन्हा वर्तुळ काढा, साइन 1/3 च्या समान चिन्हांकित करा, कोन काढा. आम्हाला मिळालेले हे चित्र आहे:

आणि पुन्हा चित्र जवळजवळ समीकरणासारखेच आहे sinx = 0.5.पुन्हा आम्ही पहिल्या तिमाहीत कोपऱ्यापासून सुरुवात करतो. जर त्याची साइन 1/3 असेल तर X बरोबर किती आहे? प्रश्नच नाही!

आता मुळांचा पहिला पॅक तयार आहे:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

चला दुसरा कोन हाताळूया. 0.5 च्या सारणी मूल्यासह उदाहरणामध्ये, ते समान होते:

π - x

इथेही अगदी तसंच असेल! फक्त x वेगळे आहे, arcsin 1/3. मग काय!? आपण मुळांचा दुसरा पॅक सुरक्षितपणे लिहू शकता:

x 2 = π - आर्कसिन 1/3 + 2π n, n ∈ Z

हे पूर्णपणे योग्य उत्तर आहे. जरी ते फारसे ओळखीचे वाटत नाही. पण हे स्पष्ट आहे, मला आशा आहे.)

अशा प्रकारे वर्तुळ वापरून त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवली जातात. हा मार्ग स्पष्ट आणि समजण्यासारखा आहे. तोच त्रिकोणमितीय समीकरणांमध्ये दिलेल्या मध्यांतरावर मुळांच्या निवडीसह, त्रिकोणमितीय असमानतेमध्ये बचत करतो - ते साधारणपणे नेहमी वर्तुळात सोडवले जातात. थोडक्यात, कोणत्याही कामात जे मानक कामांपेक्षा थोडे अधिक कठीण असतात.

चला ज्ञान व्यवहारात लागू करूया?)

त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवा:

प्रथम, सोपे, सरळ या धड्यातून.

आता ते अधिक क्लिष्ट आहे.

इशारा: येथे तुम्हाला वर्तुळाचा विचार करावा लागेल. वैयक्तिकरित्या.)

आणि आता ते बाह्यतः साधे आहेत... त्यांना विशेष केस देखील म्हणतात.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

इशारा: येथे तुम्हाला वर्तुळात दोन उत्तरांच्या मालिका आहेत आणि कुठे एक आहे हे शोधून काढणे आवश्यक आहे... आणि दोन उत्तरांच्या मालिकेऐवजी एक कसे लिहायचे. होय, जेणेकरून अनंत संख्येतील एकही मूळ नष्ट होणार नाही!)

बरं, अगदी सोपं):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

इशारा: येथे तुम्हाला आर्क्साइन आणि आर्कोसिन म्हणजे काय हे माहित असणे आवश्यक आहे? आर्कटँजेंट, आर्कोटँजेंट म्हणजे काय? सर्वात जास्त साध्या व्याख्या. परंतु तुम्हाला कोणतेही टेबल मूल्य लक्षात ठेवण्याची गरज नाही!)

उत्तरे अर्थातच गोंधळाची आहेत):

x १= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

सर्वकाही कार्य करत नाही? घडते. धडा पुन्हा वाचा. फक्त विचारपूर्वक(असे आहे अप्रचलित शब्द...) आणि लिंक्स फॉलो करा. मुख्य दुवे वर्तुळाबद्दल आहेत. त्याशिवाय त्रिकोणमिती म्हणजे डोळ्यावर पट्टी बांधून रस्ता ओलांडण्यासारखे आहे. कधीकधी ते कार्य करते.)

जर तुम्हाला ही साइट आवडली असेल तर...

तसे, माझ्याकडे तुमच्यासाठी आणखी काही मनोरंजक साइट्स आहेत.)

तुम्ही उदाहरणे सोडवण्याचा सराव करू शकता आणि तुमची पातळी शोधू शकता. त्वरित पडताळणीसह चाचणी. चला जाणून घेऊ - स्वारस्याने!)

आपण फंक्शन्स आणि डेरिव्हेटिव्ह्जसह परिचित होऊ शकता.

त्रिकोणमितीच्या मूलभूत सूत्रांचे ज्ञान आवश्यक आहे - साइन आणि कोसाइनच्या वर्गांची बेरीज, साइन आणि कोसाइनद्वारे स्पर्शिकेची अभिव्यक्ती आणि इतर. जे त्यांना विसरले आहेत किंवा त्यांना ओळखत नाहीत त्यांच्यासाठी आम्ही "" लेख वाचण्याची शिफारस करतो.
म्हणून, आम्हाला मूलभूत त्रिकोणमितीय सूत्रे माहित आहेत, ती सराव मध्ये वापरण्याची वेळ आली आहे. त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणेयेथे योग्य दृष्टीकोन- पुरेसे रोमांचक क्रियाकलाप, उदाहरणार्थ, रुबिक्स क्यूब सोडवणे.

नावावरच आधारित, हे स्पष्ट आहे की त्रिकोणमितीय समीकरण हे एक समीकरण आहे ज्यामध्ये अज्ञात त्रिकोणमितीय कार्याच्या चिन्हाखाली आहे.
तथाकथित सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे आहेत. ते कसे दिसतात ते येथे आहे: sinx = a, cos x = a, tan x = a. चला विचार करूया अशी त्रिकोणमितीय समीकरणे कशी सोडवायची, स्पष्टतेसाठी, आम्ही आधीच परिचित त्रिकोणमितीय वर्तुळ वापरू.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

cot x = a

कोणतेही त्रिकोणमितीय समीकरण दोन टप्प्यात सोडवले जाते: आम्ही समीकरण त्याच्या सर्वात सोप्या स्वरूपात कमी करतो आणि नंतर ते एक साधे त्रिकोणमितीय समीकरण म्हणून सोडवतो.
7 मुख्य पद्धती आहेत ज्याद्वारे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवली जातात.

व्हेरिएबल प्रतिस्थापन आणि प्रतिस्थापन पद्धत

2cos 2 (x + /6) – 3sin(/3 – x) +1 = 0 हे समीकरण सोडवा

कपात सूत्रे वापरून आम्हाला मिळते:

2cos 2 (x + /6) - 3cos(x + /6) +1 = 0

सामान्य चतुर्भुज समीकरण सोपे करण्यासाठी cos(x + /6) ला y ने बदला:

2y 2 – 3y + 1 + 0

ज्याची मुळे y 1 = 1, y 2 = 1/2 आहेत

आता उलट क्रमाने जाऊया

आम्ही y ची सापडलेली मूल्ये बदलतो आणि दोन उत्तर पर्याय मिळवतो:

गुणांकनाद्वारे त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे

sin x + cos x = 1 हे समीकरण कसे सोडवायचे?

चला सर्वकाही डावीकडे हलवू जेणेकरुन 0 उजवीकडे राहील:

sin x + cos x – 1 = 0

समीकरण सोपे करण्यासाठी वर चर्चा केलेल्या ओळखीचा वापर करूया:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

चला फॅक्टराइज करूया:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

आपल्याला दोन समीकरणे मिळतात

एकसंध समीकरणात घट

साइन आणि कोसाइनच्या संदर्भात समीकरण एकसंध असते जर त्याच्या सर्व संज्ञा एकाच कोनाच्या समान बळाच्या साइन आणि कोसाइनशी संबंधित असतील. एकसंध समीकरण सोडवण्यासाठी खालीलप्रमाणे पुढे जा:

अ) त्याचे सर्व सदस्य डाव्या बाजूला हस्तांतरित करा;

b) सर्व सामान्य घटक कंसातून बाहेर काढा;

c) सर्व घटक आणि कंस 0 च्या समान करा;

ड) कंसात कमी पदवीचे एकसंध समीकरण प्राप्त होते, जे यामधून उच्च पदवीच्या साइन किंवा कोसाइनमध्ये विभागले जाते;

e) tg चे परिणामी समीकरण सोडवा.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 हे समीकरण सोडवा

चला sin 2 x + cos 2 x = 1 हे सूत्र वापरू आणि उजवीकडील उघडलेल्या दोनपासून मुक्त होऊ:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cos x ने भागा:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

tan x ला y ने बदला आणि चतुर्भुज समीकरण मिळवा:

y 2 + 4y +3 = 0, ज्याची मुळे y 1 =1, y 2 = 3 आहेत

येथून आपल्याला मूळ समीकरणाचे दोन उपाय सापडतात:

x 2 = आर्कटान 3 + k

अर्ध्या कोनात संक्रमणाद्वारे समीकरणे सोडवणे

3sin x – 5cos x = 7 हे समीकरण सोडवा

चला x/2 वर जाऊ:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

चला सर्वकाही डावीकडे हलवू:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2) ने भागा:

tg 2 (x/2) - 3tg(x/2) + 6 = 0

सहायक कोन परिचय

विचारासाठी, फॉर्मचे एक समीकरण घेऊ: a sin x + b cos x = c,

जेथे a, b, c काही अनियंत्रित गुणांक आहेत आणि x हे अज्ञात आहे.

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना खालीलप्रमाणे विभागू.

आता त्यानुसार समीकरणाचे गुणांक त्रिकोणमितीय सूत्रे sin आणि cos गुणधर्म आहेत, म्हणजे: त्यांचे मापांक 1 पेक्षा जास्त नाही आणि वर्गांची बेरीज = 1. आपण त्यांना अनुक्रमे cos आणि sin म्हणून दर्शवू, जेथे - हा तथाकथित सहायक कोन आहे. मग समीकरण फॉर्म घेईल:

cos * sin x + sin * cos x = C

किंवा sin(x + ) = C

या सर्वात सोप्या त्रिकोणमितीय समीकरणाचा उपाय आहे

x = (-1) k * arcsin C - + k, कुठे

हे लक्षात घ्यावे की नोटेशन cos आणि sin परस्पर बदलण्यायोग्य आहेत.

sin 3x – cos 3x = 1 हे समीकरण सोडवा

या समीकरणातील गुणांक आहेत:

a = , b = -1, म्हणून दोन्ही बाजूंना = 2 ने विभाजित करा

साधी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे.

जटिलतेच्या कोणत्याही स्तराची त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवणे शेवटी सर्वात सोपी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यापर्यंत येते. आणि यामध्ये त्रिकोणमितीय वर्तुळ पुन्हा सर्वोत्तम सहाय्यक ठरते.

चला कोसाइन आणि साइनच्या व्याख्या आठवूया.

कोनाचा कोसाइन म्हणजे दिलेल्या कोनातून फिरणाऱ्या एकक वर्तुळावरील एका बिंदूचा abscissa (म्हणजे अक्षाच्या बाजूने असलेला समन्वय) असतो.

कोनाचे साइन हे दिलेल्या कोनातून फिरणाऱ्या एकक वर्तुळावरील एका बिंदूचे ऑर्डिनेट (म्हणजे अक्षासह समन्वय) असते.

त्रिकोणमितीय वर्तुळावरील हालचालीची सकारात्मक दिशा घड्याळाच्या उलट दिशेने असते. 0 अंश (किंवा 0 रेडियन) चे रोटेशन निर्देशांक (1;0) सह बिंदूशी संबंधित आहे

साधी त्रिकोणमितीय समीकरणे सोडवण्यासाठी आम्ही या व्याख्या वापरतो.

1. समीकरण सोडवा

हे समीकरण परिभ्रमण कोनाच्या सर्व मूल्यांद्वारे समाधानी आहे जे वर्तुळावरील बिंदूंशी संबंधित आहे ज्यांचे ऑर्डिनेट समान आहे.

ऑर्डिनेट अक्षावर ऑर्डिनेटसह बिंदू चिन्हांकित करू:

x-अक्षाच्या समांतर एक क्षैतिज रेषा काढा जोपर्यंत ती वर्तुळाला छेदत नाही. आपल्याला वर्तुळावर पडलेले आणि एक ऑर्डिनेट असलेले दोन बिंदू मिळतात. हे बिंदू रेडियन आणि मधील रोटेशन कोनांशी संबंधित आहेत:

जर आपण प्रति रेडियन रोटेशनच्या कोनाशी संबंधित बिंदू सोडून पूर्ण वर्तुळाभोवती फिरलो, तर आपण प्रति रेडियन रोटेशनच्या कोनाशी संबंधित असलेल्या एका बिंदूवर पोहोचू आणि समान ऑर्डिनेट असेल. म्हणजेच हा रोटेशन अँगल देखील आपले समीकरण पूर्ण करतो. आपण आपल्याला पाहिजे तितक्या “निष्क्रिय” क्रांती करू शकतो, त्याच बिंदूकडे परत जाऊ शकतो आणि ही सर्व कोन मूल्ये आपले समीकरण पूर्ण करतील. "निष्क्रिय" क्रांतीची संख्या अक्षराने (किंवा) दर्शविली जाईल. आपण या क्रांती सकारात्मक आणि नकारात्मक दोन्ही दिशेने करू शकतो, (किंवा) कोणतीही पूर्णांक मूल्ये घेऊ शकतो.

म्हणजेच, मूळ समीकरणाच्या सोल्यूशनच्या पहिल्या मालिकेचे स्वरूप आहे:

, , - पूर्णांकांचा संच (1)

त्याचप्रमाणे, सोल्यूशन्सच्या दुसऱ्या मालिकेचे स्वरूप आहे:

, कुठे , . (२)

जसे तुम्ही अंदाज लावला असेल, सोल्यूशनची ही मालिका वर्तुळावरील बिंदूच्या परिभ्रमणाच्या कोनाशी संबंधित बिंदूवर आधारित आहे.

समाधानाच्या या दोन मालिका एका नोंदीमध्ये एकत्र केल्या जाऊ शकतात:

जर आपण या नोंदीमध्ये (म्हणजे सम) घेतले तर आपल्याला समाधानांची पहिली मालिका मिळेल.

जर आपण या नोंदीमध्ये (म्हणजे विषम) घेतले तर आपल्याला समाधानांची दुसरी मालिका मिळेल.

2. आता समीकरण सोडवू

कोनातून फिरवून मिळवलेल्या एकक वर्तुळावरील बिंदूचा हा ॲब्सिसा असल्याने, आपण अक्षावरील ॲब्सिसासह बिंदू चिन्हांकित करतो:

जोपर्यंत ती वर्तुळाला छेदत नाही तोपर्यंत अक्षाच्या समांतर एक उभी रेषा काढा. आपल्याला वर्तुळावर पडलेले आणि abscissa असलेले दोन बिंदू मिळतील. हे बिंदू रेडियन आणि मधील रोटेशन कोनांशी संबंधित आहेत. लक्षात ठेवा की घड्याळाच्या दिशेने फिरताना आपल्याला नकारात्मक रोटेशन कोन मिळतो:

आपण उपायांची दोन मालिका लिहूया:

(मुख्य पूर्ण वर्तुळातून जाऊन आपण इच्छित बिंदूवर पोहोचतो, म्हणजे.

चला या दोन मालिका एका नोंदीमध्ये एकत्र करूया:

3. समीकरण सोडवा

स्पर्शरेषा OY अक्षाच्या समांतर एकक वर्तुळाच्या निर्देशांक (1,0) सह बिंदूमधून जाते

त्यावर 1 च्या समान ऑर्डिनेटसह एक बिंदू चिन्हांकित करू (ज्या स्पर्शिकेचा कोन 1 बरोबर आहे ते आपण शोधत आहोत):

चला हा बिंदू एका सरळ रेषेने निर्देशांकांच्या उत्पत्तीशी जोडू आणि रेषेच्या छेदनबिंदूचे बिंदू एकक वर्तुळाने चिन्हांकित करू. सरळ रेषेचे छेदनबिंदू आणि वर्तुळ वरील रोटेशनच्या कोनांशी संबंधित आहेत आणि:

आपले समीकरण पूर्ण करणाऱ्या रोटेशन कोनांशी संबंधित बिंदू एकमेकांपासून रेडियन्सच्या अंतरावर असल्याने, आपण समाधान अशा प्रकारे लिहू शकतो:

4. समीकरण सोडवा

अक्षाच्या समांतर असलेल्या एकक वर्तुळाच्या समन्वयांसह कोटँजंट्सची रेषा बिंदूमधून जाते.

कोटँजेंट रेषेवर abscissa -1 ने बिंदू चिन्हांकित करू:

चला हा बिंदू सरळ रेषेच्या उगमाशी जोडू आणि जोपर्यंत तो वर्तुळाला छेदत नाही तोपर्यंत पुढे चालू ठेवू. ही सरळ रेषा वर्तुळाला आणि रेडियन्समधील रोटेशनच्या कोनांशी संबंधित बिंदूंवर छेदेल: