Penggantian trigonometri sejagat, terbitan formula, contoh.

Hubungan antara fungsi trigonometri asas - sinus, kosinus, tangen dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan kerana terdapat banyak hubungan antara fungsi trigonometri, ini menerangkan banyaknya formula trigonometri. Beberapa formula bersambung fungsi trigonometri sudut yang sama, yang lain - fungsi sudut berbilang, yang lain - membolehkan anda mengurangkan darjah, keempat - menyatakan semua fungsi melalui tangen sudut separuh, dsb.

Dalam artikel ini kami akan menyenaraikan mengikut susunan semua formula trigonometri asas, yang mencukupi untuk menyelesaikan sebahagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan hafalan dan penggunaan, kami akan mengumpulkannya mengikut tujuan dan memasukkannya ke dalam jadual.

Navigasi halaman.

Identiti asas trigonometri

Identiti asas trigonometri mentakrifkan hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi satu sudut. Mereka mengikuti dari definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, serta konsep bulatan unit. Mereka membenarkan anda untuk menyatakan satu fungsi trigonometri dari segi yang lain.

Untuk penerangan terperinci tentang formula trigonometri ini, terbitan dan contoh penggunaannya, lihat artikel.

Formula pengurangan

Formula pengurangan ikut daripada sifat sinus, kosinus, tangen dan kotangen, iaitu, ia mencerminkan sifat berkala fungsi trigonometri, sifat simetri, serta sifat anjakan mengikut sudut yang diberi. Formula trigonometri ini membolehkan anda beralih daripada bekerja dengan sudut sewenang-wenang kepada bekerja dengan sudut antara sifar hingga 90 darjah.

Rasional untuk formula ini, peraturan mnemonik untuk menghafalnya dan contoh aplikasinya boleh dikaji dalam artikel.

Formula tambahan

Formula penambahan trigonometri menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri hasil tambah atau beza dua sudut dinyatakan dalam sebutan fungsi trigonometri bagi sudut tersebut. Rumus ini berfungsi sebagai asas untuk mendapatkan formula trigonometri berikut.

Formula untuk double, triple, dsb. sudut

Formula untuk double, triple, dsb. sudut (ia juga dipanggil formula berbilang sudut) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri bagi dua, tiga, dsb. sudut () dinyatakan dalam sebutan fungsi trigonometri bagi satu sudut. Derivasi mereka adalah berdasarkan formula penambahan.

Lagi maklumat terperinci dikumpulkan dalam formula artikel untuk double, triple, dsb. sudut

Formula separuh sudut

Formula separuh sudut tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri bagi separuh sudut dinyatakan dalam sebutan kosinus bagi sudut keseluruhan. Rumus trigonometri ini mengikuti dari rumus sudut berganda.

Kesimpulan dan contoh aplikasi mereka boleh didapati dalam artikel.

Formula pengurangan darjah

Formula trigonometri untuk mengurangkan darjah direka bentuk untuk memudahkan peralihan daripada kuasa semula jadi fungsi trigonometri kepada sinus dan kosinus dalam darjah pertama, tetapi berbilang sudut. Dalam erti kata lain, ia membolehkan anda mengurangkan kuasa fungsi trigonometri kepada yang pertama.

Formula untuk jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri

Tujuan utama formula untuk jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri adalah untuk pergi ke hasil darab fungsi, yang sangat berguna apabila memudahkan ungkapan trigonometri. Formula ini juga digunakan secara meluas dalam penyelesaian persamaan trigonometri, kerana ia membenarkan anda memfaktorkan jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus.

Formula untuk hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus

Peralihan daripada hasil darab fungsi trigonometri kepada jumlah atau perbezaan dijalankan menggunakan formula hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus.

Hak cipta oleh pelajar pandai

Hak cipta terpelihara.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tiada bahagian dari www.site, termasuk bahan dalaman dan penampilan, boleh diterbitkan semula dalam apa jua bentuk atau digunakan tanpa kebenaran bertulis terlebih dahulu daripada pemegang hak cipta.

Soalan Lazim

Adakah mungkin untuk membuat setem pada dokumen mengikut sampel yang disediakan? Jawab Ya, mungkin. Hantar kepada kami alamat emel salinan imbasan atau foto kualiti yang baik, dan kami akan membuat pendua yang diperlukan.

Apakah jenis pembayaran yang anda terima? Jawab Anda boleh membayar untuk dokumen tersebut setelah diterima oleh kurier, selepas menyemak ketepatan penyiapan dan kualiti pelaksanaan diploma. Ini juga boleh dilakukan di pejabat syarikat pos yang menawarkan perkhidmatan penghantaran tunai.
Semua syarat penghantaran dan pembayaran untuk dokumen diterangkan dalam bahagian "Pembayaran dan Penghantaran". Kami juga bersedia untuk mendengar cadangan anda mengenai syarat penghantaran dan pembayaran untuk dokumen tersebut.

Bolehkah saya yakin bahawa selepas membuat pesanan anda tidak akan hilang dengan wang saya? Jawab Kami mempunyai pengalaman yang agak lama dalam bidang pengeluaran diploma. Kami mempunyai beberapa laman web yang sentiasa dikemas kini. Pakar kami bekerja di sudut yang berbeza negara, menghasilkan lebih 10 dokumen sehari. Selama bertahun-tahun, dokumen kami telah membantu ramai orang menyelesaikan masalah pekerjaan atau berpindah ke pekerjaan bergaji tinggi. Kami telah memperoleh kepercayaan dan pengiktirafan di kalangan pelanggan, jadi tiada sebab untuk kami berbuat demikian. Dengan cara yang sama. Lebih-lebih lagi, ini adalah mustahil untuk dilakukan secara fizikal: anda membayar untuk pesanan anda apabila anda menerimanya di tangan anda, tiada bayaran pendahuluan.

Bolehkah saya memesan diploma dari mana-mana universiti? Jawab Secara umum, ya. Kami telah bekerja dalam bidang ini selama hampir 12 tahun. Pada masa ini, pangkalan data hampir lengkap dokumen yang dikeluarkan oleh hampir semua universiti di negara ini dan seterusnya telah dibentuk. tahun yang berbeza terbitan. Apa yang anda perlukan ialah memilih universiti, kepakaran, dokumen dan mengisi borang pesanan.

Apa yang perlu dilakukan jika anda mendapati kesilapan dan kesilapan dalam dokumen? Jawab Apabila menerima dokumen daripada kurier atau syarikat pos kami, kami mengesyorkan agar anda menyemak semua butiran dengan teliti. Sekiranya kesilapan menaip, kesilapan atau ketidaktepatan ditemui, anda mempunyai hak untuk tidak mengambil diploma, tetapi anda mesti menyatakan kekurangan yang dikesan secara peribadi kepada kurier atau secara bertulis dengan menghantar surat kepada emel.
DALAM secepat mungkin Kami akan membetulkan dokumen dan menghantarnya semula ke alamat yang ditentukan. Sudah tentu, penghantaran akan dibayar oleh syarikat kami.
Untuk mengelakkan salah faham seperti itu, sebelum mengisi borang asal, kami menghantar e-mel kepada pelanggan mock-up dokumen masa hadapan untuk semakan dan kelulusan versi akhir. Sebelum menghantar dokumen melalui kurier atau mel, kami juga mengambil foto dan video tambahan (termasuk dalam cahaya ultraviolet) supaya anda mempunyai idea yang jelas tentang apa yang akan anda terima pada akhirnya.

Apakah yang perlu saya lakukan untuk memesan diploma daripada syarikat anda? Jawab Untuk memesan dokumen (sijil, diploma, sijil akademik, dsb.), anda mesti mengisi borang pesanan dalam talian di laman web kami atau memberikan e-mel anda supaya kami boleh menghantar borang permohonan kepada anda, yang perlu anda isi dan hantar semula kepada kita.
Jika anda tidak tahu perkara yang hendak ditunjukkan dalam mana-mana medan borang pesanan/soal selidik, biarkan kosong. Oleh itu, kami akan menjelaskan semua maklumat yang hilang melalui telefon.

Ulasan terkini

Alexei:

Saya perlu memperoleh diploma untuk mendapatkan pekerjaan sebagai pengurus. Dan perkara yang paling penting ialah saya mempunyai pengalaman dan kemahiran, tetapi saya tidak boleh mendapatkan pekerjaan tanpa dokumen. Sebaik sahaja saya menjumpai laman web anda, saya akhirnya memutuskan untuk membeli diploma. Diploma siap dalam masa 2 hari!! Sekarang saya mempunyai pekerjaan yang tidak pernah saya impikan sebelum ini!! Terima kasih!

Kami akan memulakan kajian trigonometri kami dengan segi tiga tepat. Mari kita tentukan apakah sinus dan kosinus, serta tangen dan kotangen sudut akut. Ini adalah asas trigonometri.

Mari kita ingat semula sudut tepat ialah sudut sama dengan 90 darjah. Dalam erti kata lain, separuh sudut berpaling.

Sudut tajam- kurang daripada 90 darjah.

Sudut cakah- lebih daripada 90 darjah. Berhubung dengan sudut sedemikian, "bodoh" bukanlah satu penghinaan, tetapi istilah matematik :-)

Mari kita lukis segi tiga tepat. Sudut tegak biasanya dilambangkan dengan . Sila ambil perhatian bahawa bahagian yang bertentangan dengan sudut ditunjukkan oleh huruf yang sama, hanya kecil. Oleh itu, sisi bertentangan sudut A ditetapkan .

Sudut ditunjukkan oleh yang sepadan huruf Yunani.

Hipotenus bagi segi tiga tegak ialah sisi yang bertentangan dengan sudut tegak.

kaki- sisi terletak bertentangan sudut akut.

Kaki yang terletak bertentangan dengan sudut dipanggil bertentangan(berbanding dengan sudut). Kaki yang lain, yang terletak pada salah satu sisi sudut, dipanggil bersebelahan.

Resdung Sudut lancip dalam segi tiga tepat ialah nisbah sisi bertentangan dengan hipotenus:

kosinus sudut akut dalam segi tiga tepat - nisbah kaki bersebelahan dengan hipotenus:

Tangen sudut akut dalam segi tiga tepat - nisbah sisi bertentangan dengan yang bersebelahan:

Takrifan lain (bersamaan): tangen bagi sudut akut ialah nisbah sinus sudut kepada kosinusnya:

Kotangen sudut akut dalam segi tiga tepat - nisbah sisi bersebelahan dengan bertentangan (atau, yang sama, nisbah kosinus kepada sinus):

Perhatikan hubungan asas untuk sinus, kosinus, tangen, dan kotangen di bawah. Mereka akan berguna kepada kita apabila menyelesaikan masalah.

Mari kita buktikan sebahagian daripada mereka.

Okay, kami telah memberikan definisi dan formula yang ditulis. Tetapi mengapa kita masih memerlukan sinus, kosinus, tangen dan kotangen?

Kami tahu itu jumlah sudut mana-mana segi tiga adalah sama dengan.

Kami tahu hubungan antara pihak segi tiga tepat. Ini ialah teorem Pythagoras: .

Ternyata dengan mengetahui dua sudut dalam segitiga, anda boleh mencari yang ketiga. Mengetahui dua sisi segi tiga tepat, anda boleh mencari yang ketiga. Ini bermakna bahawa sudut mempunyai nisbah mereka sendiri, dan sisi mempunyai sendiri. Tetapi apakah yang perlu anda lakukan jika dalam segi tiga tepat anda tahu satu sudut (kecuali sudut tepat) dan satu sisi, tetapi anda perlu mencari sisi yang lain?

Inilah yang dihadapi orang pada masa lalu apabila membuat peta kawasan dan langit berbintang. Lagipun, tidak selalu mungkin untuk mengukur secara langsung semua sisi segitiga.

Sinus, kosinus dan tangen - mereka juga dipanggil fungsi sudut trigonometri- memberi hubungan antara pihak Dan sudut segi tiga. Mengetahui sudut, anda boleh mencari semua fungsi trigonometrinya menggunakan jadual khas. Dan mengetahui sinus, kosinus dan tangen bagi sudut segitiga dan salah satu sisinya, anda boleh mencari yang lain.

Kami juga akan melukis jadual nilai sinus, kosinus, tangen dan kotangen untuk sudut "baik" dari ke.

Sila ambil perhatian dua sengkang merah di dalam jadual. Pada nilai sudut yang sesuai, tangen dan kotangen tidak wujud.

Mari kita lihat beberapa masalah trigonometri daripada Bank Tugas FIPI.

1. Dalam segi tiga, sudut ialah , . Cari .

Masalahnya diselesaikan dalam masa empat saat.

Kerana ia , .

2. Dalam segitiga, sudutnya ialah , , . Cari .

Mari cari menggunakan teorem Pythagoras.

Masalah selesai.

Selalunya dalam masalah terdapat segi tiga dengan sudut dan atau dengan sudut dan. Ingat nisbah asas untuk mereka dengan hati!

Untuk segi tiga dengan sudut dan kaki bertentangan sudut di adalah sama dengan separuh daripada hipotenus.

Segitiga bersudut dan adalah sama kaki. Di dalamnya, hipotenus adalah kali lebih besar daripada kaki.

Kami melihat masalah untuk diselesaikan segi tiga tepat- iaitu untuk mencari sisi atau sudut yang tidak diketahui. Tetapi bukan itu sahaja! DALAM Pilihan Peperiksaan Negeri Bersatu dalam matematik terdapat banyak masalah di mana sinus, kosinus, tangen atau kotangen sudut luar segitiga muncul. Lebih lanjut mengenai perkara ini dalam artikel seterusnya.

Dalam artikel ini kita akan melihat secara menyeluruh. Identiti trigonometri asas ialah kesamaan yang mewujudkan hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi satu sudut, dan membolehkan seseorang mencari mana-mana fungsi trigonometri ini melalui sudut lain yang diketahui.

Marilah kita segera menyenaraikan identiti trigonometri utama yang akan kita analisis dalam artikel ini. Mari tuliskannya dalam jadual, dan di bawah kami akan memberikan output formula ini dan memberikan penjelasan yang diperlukan.

Navigasi halaman.

Hubungan antara sinus dan kosinus satu sudut

Kadang-kadang mereka tidak bercakap tentang identiti trigonometri utama yang disenaraikan dalam jadual di atas, tetapi tentang satu tunggal identiti asas trigonometri baik hati . Penjelasan untuk fakta ini agak mudah: kesamaan diperoleh daripada identiti trigonometri utama selepas membahagikan kedua-dua bahagiannya dengan dan, masing-masing, dan kesamaan. Dan ikut daripada takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Kami akan membincangkan perkara ini dengan lebih terperinci dalam perenggan berikut.

Iaitu, kesamaan yang menjadi kepentingan khusus, yang diberi nama identiti trigonometri utama.

Sebelum membuktikan identiti trigonometri utama, kami memberikan rumusannya: jumlah kuasa dua sinus dan kosinus satu sudut adalah sama dengan satu. Sekarang mari kita buktikan.

Identiti asas trigonometri sangat kerap digunakan apabila menukarkan ungkapan trigonometri. Ia membenarkan jumlah kuasa dua sinus dan kosinus satu sudut digantikan dengan satu. Tidak kurang kerap, identiti trigonometri asas digunakan dalam susunan terbalik: unit digantikan dengan jumlah kuasa dua sinus dan kosinus mana-mana sudut.

Tangen dan kotangen melalui sinus dan kosinus

Identiti yang menghubungkan tangen dan kotangen dengan sinus dan kosinus satu sudut pandangan dan ikut serta-merta daripada takrif sinus, kosinus, tangen dan kotangen. Sesungguhnya, mengikut takrifan, sinus ialah ordinat bagi y, kosinus ialah absis bagi x, tangen ialah nisbah ordinat kepada absis, iaitu, , dan kotangen ialah nisbah absis kepada ordinat, iaitu, .

Terima kasih kepada kejelasan identiti dan Tangen dan kotangen sering ditakrifkan bukan melalui nisbah absis dan ordinat, tetapi melalui nisbah sinus dan kosinus. Jadi tangen suatu sudut ialah nisbah sinus kepada kosinus sudut ini, dan kotangen ialah nisbah kosinus kepada sinus.

Sebagai kesimpulan perkara ini, perlu diingatkan bahawa identiti dan berlaku untuk semua sudut di mana fungsi trigonometri yang disertakan di dalamnya masuk akal. Jadi formula itu sah untuk sebarang , selain daripada (jika tidak, penyebut akan mempunyai sifar, dan kami tidak mentakrifkan pembahagian dengan sifar), dan formula - untuk semua , berbeza daripada , di mana z ialah sebarang .

Hubungan antara tangen dan kotangen

Identiti trigonometri yang lebih jelas daripada dua sebelumnya ialah identiti yang menghubungkan tangen dan kotangen satu sudut bentuk . Adalah jelas bahawa ia memegang untuk sebarang sudut selain daripada , jika tidak sama ada tangen atau kotangen tidak ditakrifkan.

Bukti formula sangat ringkas. Mengikut definisi dan dari mana . Buktinya boleh dilakukan dengan cara yang sedikit berbeza. Sejak , Itu .

Jadi, tangen dan kotangen bagi sudut yang sama di mana ia masuk akal ialah .

Kosinus hasil tambah dan beza dua sudut

Dalam bahagian ini dua formula berikut akan dibuktikan:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Kosinus hasil tambah (beza) dua sudut adalah sama dengan hasil darab kosinus sudut-sudut ini tolak (tambah) hasil darab sinus sudut-sudut ini.

Adalah lebih mudah untuk kita mulakan dengan pembuktian formula (2). Untuk kesederhanaan persembahan, mari kita anggap dahulu bahawa sudut α Dan β memenuhi syarat berikut:

1) setiap sudut ini bukan negatif dan kurang 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Biarkan bahagian positif paksi 0x menjadi sisi permulaan sepunya bagi sudut α Dan β .

Kami menandakan sisi hujung sudut ini dengan 0A dan 0B, masing-masing. Jelas sekali sudutnya α - β boleh dianggap sebagai sudut di mana rasuk 0B perlu diputar mengelilingi titik 0 lawan jam supaya arahnya bertepatan dengan arah rasuk 0A.

Pada sinar 0A dan 0B kita menandakan titik M dan N, terletak pada jarak 1 dari asal koordinat 0, supaya 0M = 0N = 1.

Dalam sistem koordinat x0y, titik M mempunyai koordinat ( cos α, sin α), dan titik N ialah koordinat ( cos β, sin β). Oleh itu, kuasa dua jarak antara mereka ialah:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

Dalam pengiraan kami, kami menggunakan identiti

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Sekarang pertimbangkan satu lagi sistem koordinat B0C, yang diperoleh dengan memutarkan paksi 0x dan 0y mengelilingi titik 0 lawan jam mengikut sudut β .

Dalam sistem koordinat ini, titik M mempunyai koordinat (cos ( α - β ), dosa ( α - β )), dan titiknya ialah N-koordinat (1,0). Oleh itu, kuasa dua jarak antara mereka ialah:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) = 2 .

Tetapi jarak antara titik M dan N tidak bergantung pada sistem koordinat mana kita sedang mempertimbangkan titik-titik ini berhubung dengannya. sebab tu

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Di sinilah formula (2) mengikuti.

Sekarang kita harus ingat dua sekatan yang kita kenakan untuk kesederhanaan persembahan pada sudut α Dan β .

Keperluan bahawa setiap sudut α Dan β bukan negatif, tidak begitu ketara. Lagipun, pada mana-mana sudut ini anda boleh menambah sudut yang merupakan gandaan 2, yang tidak akan menjejaskan kesahihan formula (2). Dengan cara yang sama, daripada setiap sudut ini anda boleh menolak sudut yang merupakan gandaan 2π. Oleh itu kita boleh mengandaikan bahawa 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Keadaan itu juga ternyata tidak penting α > β . Sesungguhnya, jika α < β , Itu β >α ; oleh itu, diberi pariti fungsi cos X , kita mendapatkan:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

yang pada asasnya bertepatan dengan formula (2). Jadi formulanya

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

benar untuk semua sudut α Dan β . Khususnya, menggantikan di dalamnya β pada - β dan memandangkan fungsi itu cosX adalah genap, dan fungsinya dosaX ganjil, kita dapat:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

yang membuktikan formula (1).

Jadi, formula (1) dan (2) terbukti.

Contoh.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Senaman

1 . Kira tanpa menggunakan jadual trigonometri:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Permudahkan ungkapan:

a). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + dosa (36° + α ) dosa ( α - 24°).

V). dosa(π/4 - α ) dosa (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α + tg α dosa 2 α .

3 . Kira :

a) cos(α - β), Jika

cos α = - 2 / 5 , dosa β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) cos ( α + π / 6), jika cos α = 0,6;

3π/2< α < 2π.

4 . Cari cos(α + β) dan cos (α - β) ,jika diketahui dosa itu α = 7 / 25, cos β = - 5 / 13 dan kedua-dua sudut ( α Dan β ) berakhir pada suku yang sama.

5 .Kira:

A). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]