Mencari luas segi empat selari melalui pepenjuru. Paralelogram dan sifatnya
segi empat selari Merupakan segi empat, yang sisinya selari berpasangan.
Dalam rajah ini, sisi dan sudut yang bertentangan adalah sama antara satu sama lain. Diagonal segi empat selari bersilang pada satu titik dan dibelah dua olehnya. Rumus kawasan segi empat selari membolehkan anda mencari nilai dari segi sisi, ketinggian dan pepenjuru. Paralelogram juga boleh dibentangkan dalam kes khas. Mereka dianggap sebagai segi empat tepat, segi empat sama dan rombus.
Sebagai permulaan, pertimbangkan contoh pengiraan luas segi empat selari dalam ketinggian dan sisi yang diturunkan.
Kes ini dianggap klasik dan tidak memerlukan siasatan tambahan. Adalah lebih baik untuk mempertimbangkan formula untuk mengira kawasan melalui dua sisi dan sudut di antara mereka. Kaedah yang sama digunakan dalam pengiraan. Jika sisi dan sudut di antaranya diberi, maka luasnya dikira seperti berikut: 
Katakan sebuah segi empat selari diberi dengan sisi a = 4 cm, b = 6 cm Sudut di antaranya ialah α = 30 °. Mari cari kawasan: 
Luas segi empat selari melalui pepenjuru
Formula untuk luas segi empat selari dari segi pepenjuru membolehkan anda mencari nilai dengan cepat.
Untuk pengiraan, anda memerlukan nilai sudut antara pepenjuru.
Mari kita pertimbangkan contoh pengiraan luas segi empat selari melalui pepenjuru. Biarkan sebuah segiempat selari diberi dengan pepenjuru D = 7 cm, d = 5 cm Sudut antaranya ialah α = 30 °. Mari kita gantikan data ke dalam formula: 
Contoh pengiraan luas segi empat selari melalui pepenjuru memberikan kami hasil yang sangat baik - 8.75.
Mengetahui formula untuk kawasan segi empat tepat melalui pepenjuru, anda boleh menyelesaikan banyak masalah menarik. Mari kita lihat salah satu daripada mereka.
Tugasan: Anda diberi segi empat selari dengan keluasan 92 persegi. lihat Titik F terletak di tengah-tengah sisi BC. Mari cari luas trapezoid ADFB yang akan terletak dalam segi empat selari kami. Sebagai permulaan, mari kita lukis semua yang kami terima mengikut syarat.
Mari mulakan penyelesaian: 
Mengikut keadaan kami, ah = 92, dan dengan itu, luas trapezoid kami akan sama 
Nota... Ini adalah sebahagian daripada pelajaran dengan masalah geometri (paralelogram bahagian). Jika anda perlu menyelesaikan masalah geometri yang tiada di sini, tulis mengenainya di forum. Untuk menyatakan tindakan mengekstrak punca kuasa dua dalam penyelesaian masalah, simbol √ atau sqrt () digunakan, dan ungkapan radikal ditunjukkan dalam kurungan.
Bahan teori
Penjelasan untuk formula mencari luas segi empat selari:
- Luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab panjang salah satu sisinya dengan ketinggian yang diturunkan ke sisi ini
- Luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab dua sisi yang bersebelahan dengan sinus sudut di antara mereka
- Luas segi empat selari ialah separuh hasil daripada pepenjurunya dengan sinus sudut di antara mereka
Tugas untuk mencari luas segi empat selari
Tugasan.Dalam segi empat selari, tinggi yang lebih kecil dan sisi yang lebih kecil adalah sama dengan 9 cm dan punca 82, pepenjuru besar ialah 15 cm. Cari luas segi empat selari.
Penyelesaian.
Mari kita nyatakan ketinggian bawah segi empat selari ABCD, diturunkan dari titik B ke tapak AD yang lebih besar, sebagai BK.
Cari nilai kaki segi tiga bersudut tegak ABK, dibentuk oleh ketinggian yang lebih kecil, sisi yang lebih kecil dan sebahagian daripada tapak yang lebih besar. Dengan teorem Pythagoras:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
Mari kita panjangkan tapak atas segi empat selari BC dan turunkan ketinggian AN dari tapak bawahnya ke atasnya. AN = BK sebagai sisi segi empat tepat ANBK. Cari kaki NC bagi segi tiga bersudut tegak ANC yang terhasil.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC = 12
Sekarang cari tapak BC yang lebih besar bagi segi empat selari ABCD.
BC = NC - NB
Kami mengambil kira bahawa NB = AK sebagai sisi segi empat tepat, kemudian
BC = 12 - 1 = 11
Luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab tapak dan ketinggian tapak ini.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Jawab: 99 cm 2.
Tugasan
Dalam segi empat selari AVSD, VO serenjang diturunkan ke pepenjuru AC. Cari luas segi empat selari jika AO = 8, OC = 6 dan BO = 4.
Penyelesaian.
Mari kita jatuhkan satu lagi DK berserenjang ke АС pepenjuru.
Sehubungan itu, segi tiga AOB dan DKC, COB dan AKD adalah sama berpasangan. Salah satu sisi ialah sisi bertentangan segi empat tepat, salah satu sudutnya lurus, kerana ia berserenjang dengan pepenjuru, dan salah satu sudut yang tinggal ialah salib dalam yang terletak untuk sisi selari segi empat selari dan pepenjuru sekan.
Oleh itu, luas segi empat selari adalah sama dengan luas segi tiga yang ditunjukkan. Itu dia
Selari = 2S AOB + 2S BOC
Luas segi tiga bersudut tegak ialah separuh hasil darab kaki. di mana
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Jawab: 56 cm 2.
Apabila menyelesaikan masalah mengenai topik ini, sebagai tambahan kepada sifat asas segi empat selari dan formula yang sepadan, anda boleh mengingati dan menggunakan yang berikut:
- Pembahagi bagi sudut dalam segi empat selari memotong segi tiga sama kaki daripadanya
- Pembelah dua bagi sudut dalam yang bersebelahan dengan salah satu sisi segi empat selari adalah saling berserenjang
- Pembahagi dua yang muncul dari sudut dalam yang bertentangan bagi segi empat selari adalah selari antara satu sama lain atau terletak pada satu garis lurus
- Jumlah kuasa dua pepenjuru segi empat selari adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua sisinya
- Luas segi empat selari ialah separuh hasil darab pepenjuru dengan sinus sudut di antara mereka
Mari kita pertimbangkan tugas dalam penyelesaian yang mana sifat ini digunakan.
Objektif 1.
Pembelah dua bagi sudut C segi empat selari ABCD memotong sisi AD pada titik M dan kesinambungan sisi AB melepasi titik A pada titik E. Cari perimeter segiempat selari itu jika AE = 4, DМ = 3.
Penyelesaian.
1. Segitiga CMD ialah sama kaki. (Hartanah 1). Oleh itu, CD = MD = 3 cm.
2. Segitiga EAM ialah sama kaki.
Oleh itu, AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Perimeter ABCD = 20 cm.
Jawab. 20 sm.
Objektif 2.
Diagonal dilukis dalam segi empat cembung ABCD. Diketahui bahawa luas segi tiga ABD, ACD, BCD adalah sama. Buktikan bahawa sisi empat yang diberi ialah segi empat selari.
Penyelesaian.
1. Biarkan BE - ketinggian segi tiga ABD, CF - ketinggian segi tiga ACD. Oleh kerana, mengikut keadaan masalah, kawasan segi tiga adalah sama dan mereka mempunyai tapak sepunya AD, ketinggian segi tiga ini adalah sama. BE = CF.
2. BE, CF berserenjang dengan AD. Titik B dan C terletak pada bahagian yang sama pada garis AD. BE = CF. Akibatnya, garis lurus ВС || AD. (*)
3. Biarkan АL ialah ketinggian segi tiga АСD, BK - ketinggian segi tiga BCD. Oleh kerana, mengikut keadaan masalah, kawasan segi tiga adalah sama dan mereka mempunyai CD tapak yang sama, ketinggian segi tiga ini adalah sama. AL = BK.
4. AL dan BK berserenjang dengan CD. Titik B dan A terletak pada sisi yang sama pada garis lurus CD. AL = BK. Akibatnya, garis lurus AB || CD (**)
5. Daripada keadaan (*), (**) berikut - segi empat selari ABCD.
Jawab. Terbukti. ABCD - segi empat selari.
Objektif 3.
Pada sisi BC dan CD segi empat selari ABCD, titik M dan H ditanda, masing-masing, supaya segmen BM dan HD bersilang pada titik O;<ВМD = 95 о,
Penyelesaian.
1. Dalam segi tiga DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Dalam segi tiga bersudut tegak DHC Kemudian<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Tetapi CD = AB. Kemudian AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Jawapan: AB: НD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Tugasan 4. Salah satu pepenjuru segi empat selari, 4√6 panjang, membuat sudut 60 ° dengan tapak, dan pepenjuru kedua membuat sudut 45 ° dengan tapak yang sama. Cari pepenjuru kedua. Penyelesaian.
1. AO = 2√6. 2. Kami menggunakan teorem sinus pada segi tiga AOD. AO / sin D = OD / sin A. 2√6 / sin 45 о = OD / sin 60 о. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 √3 / 2) / (√2 / 2) = 2√18 / √2 = 6. Jawapan: 12.
Tugasan 5. Sebuah segi empat selari dengan sisi 5√2 dan 7√2 mempunyai sudut yang lebih kecil di antara pepenjuru yang sama dengan sudut yang lebih kecil bagi segi empat selari. Cari hasil tambah panjang pepenjuru itu. Penyelesaian.
Biarkan d 1, d 2 ialah pepenjuru bagi segi empat selari, dan sudut antara pepenjuru dan sudut yang lebih kecil bagi segi empat selari adalah sama dengan φ. 1. Mari kita mengira dua yang berbeza S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin φ, S ABCD = 1/2 AС ВD sin AОВ = 1/2 d 1 d 2 sin ф. Kami memperoleh kesamaan 5√2 7√2 sin ф = 1 / 2d 1 d 2 sin ф atau 2 5√2 7√2 = d 1 d 2; 2. Menggunakan nisbah antara sisi dan pepenjuru segiempat selari, kami menulis kesamaan (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Mari kita susun sistem: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Kami mendarabkan persamaan kedua sistem dengan 2 dan menambahnya kepada yang pertama. Kita dapat (d 1 + d 2) 2 = 576. Oleh itu Id 1 + d 2 I = 24. Oleh kerana d 1, d 2 ialah panjang pepenjuru segi empat selari, maka d 1 + d 2 = 24. Jawapan: 24.
Tugasan 6. Sisi segi empat selari ialah 4 dan 6. Sudut lancip antara pepenjuru ialah 45 °. Cari luas segi empat selari. Penyelesaian.
1. Daripada segi tiga AOB, menggunakan teorem kosinus, kita menulis hubungan antara sisi segiempat selari dan pepenjuru. AB 2 = AO 2 + BO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2) √2 / 2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Begitu juga, kita tuliskan hubungan bagi segi tiga AOD. Mari kita ambil kira itu<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Kami mendapat persamaan d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Kami mempunyai sistem Menolak yang pertama daripada persamaan kedua, kita mendapat 2d 1 d 2 √2 = 80 atau d 1 d 2 = 80 / (2√2) = 20√2 4.S ABCD = 1/2 AC · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2 / 2 = 10. Nota: Dalam masalah ini dan dalam masalah sebelumnya, tidak perlu menyelesaikan sepenuhnya sistem, dengan meramalkan bahawa dalam masalah ini, untuk mengira kawasan, kita memerlukan produk pepenjuru. Jawapan: 10. Tugasan 7. Luas segiempat selari ialah 96, dan sisinya ialah 8 dan 15. Cari segi empat sama pepenjuru yang lebih kecil. Penyelesaian.
1.S ABCD = AB · AD · dosa BAD. Mari kita buat penggantian dalam formula. Kita dapat 96 = 8 15 dosa BURUK. Oleh itu dosa ВAD = 4/5. 2. Cari cos BAD. dosa 2 BURUK + cos 2 BURUK = 1. (4/5) 2 + cos 2 BAD = 1.cos 2 BAD = 9/25. Menurut pernyataan masalah, kita dapati panjang pepenjuru yang lebih kecil. Diagonal BD akan menjadi lebih kecil jika sudut BAD tajam. Maka cos BAD = 3/5. 3. Daripada segi tiga ABD dengan teorem kosinus kita dapati kuasa dua pepenjuru BD. BD 2 = AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 = 145. Jawapan: 145.
Masih ada soalan? Tidak pasti bagaimana untuk menyelesaikan masalah geometri? tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan. Kawasan selari. Dalam banyak masalah dalam geometri yang berkaitan dengan pengiraan kawasan, termasuk tugasan untuk peperiksaan, formula untuk luas segi empat selari dan segi tiga digunakan. Terdapat beberapa daripada mereka, di sini kita akan mempertimbangkannya. Terlalu mudah untuk menghitung formula ini; bahan seperti ini sudah cukup dalam buku rujukan dan di pelbagai laman web. Saya ingin menyampaikan intipati - supaya anda tidak menjejalkannya, tetapi memahami dan mudah mengingati pada bila-bila masa. Selepas mempelajari bahan artikel, anda akan faham bahawa anda tidak perlu mempelajari formula ini sama sekali. Secara objektif, mereka sangat biasa dalam keputusan yang mereka hafal untuk masa yang lama. 1.
Jadi mari kita lihat segi empat selari. Definisi berbunyi: Kenapa begitu? Semudah itu! Untuk menunjukkan dengan jelas apa maksud formula, kami akan melakukan beberapa pembinaan tambahan, iaitu, kami akan merancang ketinggian: Luas segi tiga (2) adalah sama dengan luas segi tiga (1) - tanda kedua kesamaan segitiga bersudut tegak "di sepanjang kaki dan hipotenus." Sekarang kita secara mental "memotong" yang kedua dan memindahkannya dengan menimpanya pada yang pertama - kita mendapat segi empat tepat, yang luasnya akan sama dengan luas segi empat selari asal: Luas segi empat tepat diketahui sama dengan hasil darab sisi bersebelahannya. Seperti yang anda boleh lihat dari lakaran, satu sisi segi empat tepat yang terhasil adalah sama dengan sisi segi empat selari, dan satu lagi adalah sama dengan ketinggian segi empat selari. Oleh itu, kami memperoleh formula untuk luas segi empat selari S = a ∙ h a 2. Mari kita sambung, satu lagi formula untuk kawasannya. Kami ada: Mari kita tentukan sisi sebagai a dan b, sudut di antara mereka ialah γ "gamma", ketinggian ialah h a. Pertimbangkan segi tiga bersudut tegak:
(
(Oleh kerana dalam segi tiga bersudut tegak, kaki, yang terletak bertentangan dengan sudut 30 °, adalah sama dengan separuh hipotenus).
cara kawasannya.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor - daftar.
Pelajaran pertama adalah percuma!
Luas formula selari
