වෙනස ප්රගති සූත්රය සොයා ගන්නේ කෙසේද. අංක ගණිත ප්රගතියක n වැනි වාරය සඳහා සූත්රය
කුමක් ද ප්රධාන කරුණසූත්‍ර?
මෙම සූත්රය ඔබට සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි ඕනෑම ඔහුගේ අංකය අනුව " n" .
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ පළමු පදය ද දැන සිටිය යුතුය a 1සහ ප්රගතියේ වෙනස ඈ, හොඳයි, මෙම පරාමිතීන් නොමැතිව ඔබට නිශ්චිත ප්රගතියක් ලිවිය නොහැක.
මෙම සූත්රය කටපාඩම් කිරීම (හෝ ක්‍රිබ් කිරීම) ප්රමාණවත් නොවේ. ඔබ එහි සාරය තේරුම් ගත යුතු අතර විවිධ ගැටළු වලදී සූත්රය යෙදිය යුතුය. ඒ වගේම නියම මොහොතේ අමතක කරන්න එපා, ඔව්...) කොහොමද අමතක කරන්න එපා- මම දන්නේ නැහැ. මෙහි මතක තියාගන්නේ කොහොමද කියලාඅවශ්ය නම්, මම ඔබට අනිවාර්යයෙන්ම උපදෙස් දෙන්නෙමි. පාඩම අවසානය දක්වා සම්පූර්ණ කරන අය සඳහා.)
එහෙනම් අපි බලමු n වැනි වාරයේ සූත්රය අංක ගණිතමය ප්රගතිය.
පොදුවේ ගත් කල සූත්‍රයක් යනු කුමක්ද? මාර්ගය වන විට, ඔබ එය කියවා නොමැති නම් බලන්න. එහි සෑම දෙයක්ම සරලයි. එය කුමක්දැයි සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත n වන වාරය.
ප්රගතිය සාමාන්ය දැක්මඉලක්කම් මාලාවක් ලෙස ලිවිය හැක:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- අංක ගණිතමය ප්රගතියක පළමු පදය දක්වයි, a 3- තෙවන සාමාජික, a 4- හතරවන, සහ එසේ ය. අපි පස්වන වාරය ගැන උනන්දුවක් දක්වන්නේ නම්, අපි සමඟ වැඩ කරන බව කියමු a 5, එකසිය විස්ස නම් - එස් 120 ක්.
අපි එය සාමාන්ය අර්ථයෙන් නිර්වචනය කරන්නේ කෙසේද? ඕනෑමඅංක ගණිතමය ප්රගතියක පදය, සමඟ ඕනෑමඅංකය? හරිම සරලයි! මෙවැනි:
a n
ඒක තමයි ඒක අංක ගණිතමය ප්රගතියක n වැනි වාරය. n අක්ෂරය සියලුම සාමාජික අංක එකවර සඟවයි: 1, 2, 3, 4, සහ යනාදිය.
එවැනි වාර්තාවක් අපට ලබා දෙන්නේ කුමක්ද? නිකමට හිතන්න, අංකයක් වෙනුවට ඔවුන් ලිව්වේ ලිපියක්...
මෙම සටහන අපට ලබා දෙයි බලවත් මෙවලමක්අංක ගණිත ප්රගතිය සමඟ වැඩ කිරීම සඳහා. අංකනය භාවිතා කිරීම a n, අපට ඉක්මනින් සොයා ගත හැක ඕනෑමසාමාජික ඕනෑමඅංක ගණිතමය ප්රගතිය. සහ වෙනත් ප්රගති ගැටළු රාශියක් විසඳන්න. ඔබ තවදුරටත් ඔබම දකිනු ඇත.
අංක ගණිත ප්රගතියක n වැනි වාරය සඳහා සූත්‍රයේ:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- අංක ගණිත ප්රගතියක පළමු පදය;
n- සාමාජික අංකය.
සූත්රය ඕනෑම ප්රගතියක ප්රධාන පරාමිතීන් සම්බන්ධ කරයි: a n; a 1; ඈසහ n. සියලුම ප්රගති ගැටළු මෙම පරාමිතීන් වටා භ්‍රමණය වේ.
නිශ්චිත ප්රගතියක් ලිවීමට nth term සූත්රය ද භාවිතා කළ හැක. උදාහරණයක් ලෙස, ප්රගතිය කොන්දේසිය මගින් නිශ්චිතව දක්වා ඇති බව ගැටලුව පැවසිය හැක:
a n = 5 + (n-1) 2.
ඒ වගේ ප්රශ්නයක් අන්තිමට වෙන්න පුළුවන්... මාලාවක්වත් වෙනසක්වත් නෑ... ඒත්, සූත්රය එක්ක කොන්දේසිය සංසන්දනය කරලා බැලුවම මේ ප්‍රගතියේදී ඒක තේරුම් ගන්න ලේසියි. a 1 =5, සහ d=2.
එය ඊටත් වඩා නරක විය හැකිය!) අපි එකම කොන්දේසිය ගතහොත්: a n = 5 + (n-1) 2,ඔව්, වරහන් විවෘත කර සමාන ඒවා ගෙන එන්නද? අපට නව සූත්‍රයක් ලැබේ:
a n = 3 + 2n.
මෙය හුදෙක් පොදු නොවේ, නමුත් නිශ්චිත ප්රගතියක් සඳහා. මේ වළේ සැඟවී ඇත. සමහර අය සිතන්නේ පළමු වාරය තුනක් බවයි. ඇත්ත වශයෙන්ම පළමු වාරය පහක් වුවද ... ටිකක් අඩු අපි එවැනි වෙනස් කළ සූත්‍රයක් සමඟ වැඩ කරන්නෙමු.
ප්රගති ගැටළු වලදී තවත් අංකනයක් ඇත - a n+1. මෙය, ඔබ අනුමාන කළ පරිදි, ප්රගතියේ "n plus first" පදයයි. එහි තේරුම සරල හා හානිකර නොවේ.) මෙය ප්රගතියේ සාමාජිකයෙකි, එහි අංකය n ට වඩා වැඩි සංඛ්‍යාවකින් එකකි. උදාහරණයක් ලෙස, යම් ගැටලුවකදී අපි ගනිමු a nපස්වන වාරය එවිට a n+1හයවන සාමාජිකයා වනු ඇත. ආදිය.
බොහෝ විට තනතුර a n+1පුනරාවර්තන සූත්‍රවල දක්නට ලැබේ. මෙම භයානක වචනයට බිය නොවන්න!) මෙය අංක ගණිතමය ප්රගතියක සාමාජිකයෙකු ප්රකාශ කිරීමේ ක්‍රමයක් පමණි. පෙර එක හරහා.පුනරාවර්තන සූත්‍රයක් භාවිතා කරමින් මෙම ආකෘතියේ අංක ගණිතමය ප්රගතියක් ලබා දී ඇතැයි කියමු:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
හතරවන - තුන්වන හරහා, පස්වන - සිව්වන හරහා, සහ එසේ ය. අපි වහාම විසිවන වාරය ගණනය කරන්නේ කෙසේද? a 20? නමුත් ක්‍රමයක් නැත!) අපි 19 වන වාරය සොයා ගන්නා තුරු, අපට 20 ගණන් කළ නොහැක. පුනරාවර්තන සූත්රය සහ n වැනි පදයේ සූත්රය අතර මූලික වෙනස මෙයයි. පුනරාවර්තන ක්රියා හරහා පමණි කලින්පදය, සහ nth පදයේ සූත්රය හරහා වේ පලමුසහ ඉඩ දෙයි කෙලින්මඕනෑම සාමාජිකයෙකු එහි අංකයෙන් සොයා ගන්න. සම්පූර්ණ සංඛ්යා මාලාවම අනුපිළිවෙලින් ගණනය නොකර.
අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයකදී, පුනරාවර්තන සූත්‍රයක් සාමාන්ය එකක් බවට පත් කිරීම පහසුය. අඛණ්ඩ පද යුගලයක් ගණන් කරන්න, වෙනස ගණනය කරන්න d,අවශ්ය නම්, පළමු වාරය සොයා ගන්න a 1, සූත්රය එහි සුපුරුදු ආකාරයෙන් ලියන්න, එය සමඟ වැඩ කරන්න. එවැනි කාර්යයන් බොහෝ විට රාජ්ය විද්යා ඇකඩමියේ හමු වේ.
අංක ගණිත ප්රගතියක n වැනි වාරය සඳහා සූත්රය යෙදීම.
පළමුව, සූත්‍රයේ සෘජු යෙදුම දෙස බලමු. පෙර පාඩම අවසානයේ ගැටලුවක් විය:
අංක ගණිතමය ප්රගතියක් (a n) ලබා දී ඇත. 1 =3 සහ d=1/6 නම් 121 සොයන්න.
මෙම ගැටළුව කිසිදු සූත්‍රයකින් තොරව සරලව අංක ගණිත ප්රගතියක අර්ථය මත පදනම්ව විසඳා ගත හැක. එකතු කර එකතු කරන්න... පැයක් හෝ දෙකක්.)
සහ සූත්රය අනුව, විසඳුම විනාඩියකට වඩා අඩු කාලයක් ගතවනු ඇත. ඔබට එය කාලය ගත හැක.) අපි තීරණය කරමු.
කොන්දේසි සූත්රය භාවිතා කිරීම සඳහා සියලු දත්ත සපයයි: a 1 =3, d=1/6.සමාන වන්නේ කුමක්දැයි සොයා ගැනීමට එය ඉතිරිව ඇත n.ප්රශ්නයක් නැහැ! අපි හොයාගන්න ඕන a 121. එබැවින් අපි මෙසේ ලියමු.
අවධානය යොමු කරන්න! දර්ශකයක් වෙනුවට nනිශ්චිත අංකයක් දර්ශනය විය: 121. එය තරමක් තාර්කික ය.) අපි අංක ගණිත ප්රගතියේ සාමාජිකයා ගැන උනන්දු වෙමු අංක එකසිය විසි එක.මෙය අපගේ වනු ඇත n.අර්ථය මෙයයි n= 121 අපි තවදුරටත් සූත්රය තුළට, වරහන් තුළ ආදේශ කරන්නෙමු. අපි සියලුම සංඛ්යා සූත්‍රයට ආදේශ කර ගණනය කරන්නෙමු:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
ඒක තමයි. ඉක්මනින්ම කෙනෙකුට පන්සිය දහවන වාරය සහ දහස් තුන්වන වාරය ඕනෑම එකක් සොයාගත හැකිය. අපි ඒ වෙනුවට දැම්මා nලිපියේ දර්ශකයේ අපේක්ෂිත අංකය " ඒ"සහ වරහන් තුළ, සහ අපි ගණන් කරන්නෙමු.
මම ඔබට කාරණය මතක් කර දෙන්නම්: මෙම සූත්රය ඔබට සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි ඕනෑමඅංක ගණිතමය ප්රගති පදය ඔහුගේ අංකය අනුව " n" .
ප්‍රශ්නය වඩාත් කපටි ලෙස විසඳා ගනිමු. අපි පහත ගැටලුවට මුහුණ දෙමු:
17 =-2 නම්, අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ පළමු පදය සොයන්න (a n); d=-0.5.
ඔබට කිසියම් දුෂ්කරතාවයක් ඇත්නම්, පළමු පියවර මම ඔබට කියමි. අංක ගණිත ප්රගතියක n වැනි වාරය සඳහා සූත්රය ලියන්න!ඔව් ඔව්. ඔබේ සටහන් පොතේ ඔබේ දෑතින් ලියන්න:
| a n = a 1 + (n-1)d |
දැන්, සූත්‍රයේ අකුරු දෙස බලන විට, අප සතුව ඇති දත්ත සහ නැති වී ඇති දේ අපට වැටහෙනවාද? ඇත d=-0.5,දහහත්වැනි සාමාජිකයෙක් ඉන්නවා... ඒකද? ඔබ එය එසේ යැයි සිතන්නේ නම්, ඔබ ගැටලුව විසඳන්නේ නැත, ඔව් ...
අපට තවමත් අංකයක් තිබේ n! තත්වයේ ඇත a 17 =-2සැඟවී ඇත පරාමිති දෙකක්.මෙය දහහත්වන වාරයේ (-2) අගය සහ එහි අංකය (17) යන දෙකම වේ. එම. n=17.මෙම "ට්රයිෆල්" බොහෝ විට හිස පසුකර යන අතර, එය නොමැතිව, ("ට්රයිෆල්" නොමැතිව, හිස නොවේ!) ගැටළුව විසඳිය නොහැක. නමුත් ... සහ හිසක් නොමැතිව.)
දැන් අපට මෝඩ ලෙස අපගේ දත්ත සූත්‍රයට ආදේශ කළ හැකිය:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0.5)
අනේ ඔව්, a 17අපි දන්නවා ඒක -2 කියලා. හරි, අපි ආදේශ කරමු:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0.5)
මූලික වශයෙන් එපමණයි. එය සූත්රයෙන් අංක ගණිත ප්රගතියේ පළමු පදය ප්රකාශ කිරීමට සහ එය ගණනය කිරීමට ඉතිරිව ඇත. පිළිතුර වනු ඇත: a 1 = 6.
මෙම තාක්ෂණය - සූත්‍රයක් ලිවීම සහ දන්නා දත්ත සරලව ආදේශ කිරීම - සරල කාර්යයන් සඳහා විශාල උපකාරයකි. හොඳයි, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට සූත්‍රයකින් විචල්‍යයක් ප්රකාශ කිරීමට හැකි විය යුතුය, නමුත් කුමක් කළ යුතුද!? මෙම නිපුණතාවය නොමැතිව, ගණිතය කිසිසේත් ඉගෙන ගත නොහැක ...
තවත් ජනප්‍රිය ප්‍රහේලිකාවක්:
a 1 =2 නම්, අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ වෙනස සොයන්න (a n); a 15 =12.
අපි මොනවද කරන්නේ? ඔබ පුදුමයට පත් වනු ඇත, අපි සූත්රය ලියන්නෙමු!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
අපි දන්නා දේ සලකා බලමු: a 1 =2; a 15 =12; සහ (මම විශේෂයෙන් අවධාරණය කරමි!) n=15. මෙය සූත්‍රයට ආදේශ කිරීමට නිදහස් වන්න:
12=2 + (15-1)d
අපි අංක ගණිතය කරන්නෙමු.)
12=2 + 14d
ඈ=10/14 = 5/7
මෙය නිවැරදි පිළිතුරයි.
ඉතින්, සඳහා කාර්යයන් a n, a 1සහ ඈතීරණය කළා. ඉතිරිව ඇත්තේ අංකය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගැනීමයි:
අංක 99 යනු අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ (a n) සාමාජිකයෙකි, මෙහි a 1 =12; d=3. මෙම සාමාජිකයාගේ අංකය සොයා ගන්න.
අපි දන්නා ප්රමාණ n වැනි පදයේ සූත්‍රයට ආදේශ කරමු:
a n = 12 + (n-1) 3
මුලින්ම බැලූ බැල්මට, මෙහි නොදන්නා ප්රමාණ දෙකක් තිබේ: a n සහ n.එහෙත් a n- මෙය අංකයක් සහිත ප්රගතියේ සමහර සාමාජිකයෙකි n...ඒ වගේම අපි මේ ප්රගතියේ සාමාජිකයා දන්නවා! එය 99. එහි අංකය අපි නොදනිමු. n,ඉතින් මේ නම්බර් එක තමයි හොයාගන්න ඕන. අපි ප්රගතිය 99 හි පදය සූත්‍රයට ආදේශ කරමු:
99 = 12 + (n-1) 3
අපි සූත්රයෙන් ප්රකාශ කරමු n, අපි හිතනවා. අපට පිළිතුර ලැබේ: n=30.
දැන් එකම මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළුවක්, නමුත් වඩා නිර්මාණශීලී):
අංක 117 අංක ගණිත ප්‍රගමනයේ (a n) සාමාජිකයෙක්ද යන්න තීරණය කරන්න:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
ආයෙත් සූත්රය ලියමු. මොකක්ද, පරාමිති නැද්ද? හ්ම්... ඇයි අපිට ඇස් දෙන්නේ?) අපි ප්රගතියේ පළමු වාරය දකිනවාද? අපි දකිනවා. මෙය -3.6. ඔබට ආරක්ෂිතව ලිවිය හැකිය: a 1 = -3.6.වෙනස ඈමාලාවෙන් කියන්න පුළුවන්ද? අංක ගණිතමය ප්රගතියක වෙනස කුමක්දැයි ඔබ දන්නේ නම් එය පහසු ය:
d = -2.4 - (-3.6) = 1.2
ඉතින්, අපි සරලම දේ කළා. නොදන්නා අංකය සමඟ කටයුතු කිරීමට එය ඉතිරිව ඇත nසහ නොතේරෙන අංකය 117. පෙර ගැටලුවේදී, අවම වශයෙන් එය ලබා දුන් ප්රගතියේ පදය බව දැන සිටියේය. ඒත් මෙතන අපි දන්නෙත් නෑ... මොනවා කරන්නද!? හොඳයි, කුමක් කළ යුතුද, කුමක් කළ යුතුද ... සක්රිය කරන්න නිර්මාණාත්මක කුසලතා!)
අප උපකල්පනය කරන්න 117 යනු අපගේ ප්රගතියේ සාමාජිකයෙකු බව ය. නොදන්නා අංකයක් සමඟ n. තවද, පෙර ගැටලුවේ මෙන්, අපි මෙම අංකය සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරමු. එම. අපි සූත්රය ලියන්නෙමු (ඔව්, ඔව්!)) සහ අපගේ අංක ආදේශ කරන්න:
117 = -3.6 + (n-1) 1.2
නැවතත් අපි සූත්රයෙන් ප්රකාශ කරමුn, අපි ගණන් කර ලබා ගනිමු:
අපොයි! අංකය හැරී ගියේය භාගික!එකසිය එකහමාරක්. සහ ප්‍රගතියෙහි භාගික සංඛ්යා විය නොහැකියි.අපට ගත හැකි නිගමනය කුමක්ද? ඔව්! අංක 117 නොවේඅපගේ ප්රගතියේ සාමාජිකයෙක්. එය සියය සහ පළමු සහ එකසිය දෙවන වාර අතර කොහේ හරි ය. අංකය ස්වභාවික බවට පත් වූවා නම්, i.e. ධන නිඛිලයකි, එවිට සංඛ්‍යාව සොයාගත් සංඛ්‍යාව සමඟ ප්රගතියේ සාමාජිකයෙකු වනු ඇත. අපගේ නඩුවේදී, ගැටලුවට පිළිතුර වනුයේ: නැත.
කාර්යය පදනම් කරගත් සැබෑ විකල්පය GIA:
අංක ගණිතමය ප්රගතියක් කොන්දේසිය මගින් දෙනු ලැබේ:
a n = -4 + 6.8n
ප්රගතියේ පළමු සහ දහවන පද සොයන්න.
මෙහි ප්රගතිය අසාමාන්ය ආකාරයකින් සකසා ඇත. යම් ආකාරයක සූත්‍රයක් ... එය සිදු වේ.) කෙසේ වෙතත්, මෙම සූත්රය (මා ඉහත ලියා ඇති පරිදි) - අංක ගණිතමය ප්රගතියක n වැනි වාරය සඳහා වන සූත්රය ද වේ!ඇයත් ඉඩ දෙනවා ප්රගතියේ ඕනෑම සාමාජිකයෙකු එහි අංකයෙන් සොයා ගන්න.
අපි පළමු සාමාජිකයා සොයමින් සිටිමු. හිතන කෙනා. පළමු පදය සෘණ හතර මාරාන්තික ලෙස වැරදියි!) ගැටලුවේ සූත්රය වෙනස් කර ඇති නිසා. එහි අංක ගණිතමය ප්රගතියේ පළමු පදය සැඟවී ඇත.කමක් නැහැ, අපි දැන් එය සොයා ගනිමු.)
පෙර ගැටළු වලදී මෙන්, අපි ආදේශ කරමු n=1මෙම සූත්‍රයට:
a 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
මෙතන! පළමු වාරය 2.8, -4 නොවේ!
අපි දසවන වාරය එකම ආකාරයකින් සොයන්නෙමු:
a 10 = -4 + 6.8 10 = 64
ඒක තමයි.
දැන්, මෙම රේඛා කියවා ඇති අයට, පොරොන්දු වූ ප්‍රසාද දීමනාව.)
රාජ්ය විභාගයේ හෝ ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයේ දුෂ්කර සටන් තත්වයකදී, අංක ගණිත ප්රගතියක n වැනි වාරය සඳහා ප්රයෝජනවත් සූත්රය ඔබට අමතක වී ඇතැයි සිතමු. මට යමක් මතකයි, නමුත් කෙසේ හෝ අවිනිශ්චිතව ... හෝ nඑහි, හෝ n+1, හෝ n-1...කෙසේ විය යුතුද!?
සන්සුන්! මෙම සූත්රය ව්‍යුත්පන්න කිරීමට පහසුය. ඉතා දැඩි ලෙස නොවේ, නමුත් විශ්වාසය සඳහා සහ නිවැරදි තීරණයනියත වශයෙන්ම ප්රමාණවත්!) නිගමනයක් කිරීමට, අංක ගණිතමය ප්රගතියක මූලික අර්ථය මතක තබා ගැනීමට සහ මිනිත්තු දෙකක කාලයක් තිබීම ප්රමාණවත් වේ. ඔබට චිත්රයක් ඇඳීමට අවශ්යයි. පැහැදිලිකම සඳහා.
අංක රේඛාවක් අඳින්න සහ එහි පළමු එක සලකුණු කරන්න. දෙවන, තෙවන, ආදිය. සාමාජිකයින්. තවද අපි වෙනස සටහන් කරමු ඈසාමාජිකයන් අතර. මෙවැනි:
අපි පින්තූරය දෙස බලා සිතන්නෙමු: දෙවන පදය සමාන වන්නේ කුමක් ද? දෙවැනි එක ඈ:
ඒ 2 =a 1 + 1 ඈ
තුන්වන වාරය කුමක්ද? තුන්වනපදය පළමු වාර ප්ලස් සමාන වේ දෙක ඈ.
ඒ 3 =a 1 + 2 ඈ
ඔබට එය ලැබෙනවාද? මම සමහර වචන තද අකුරින් උද්දීපනය කරන්නේ නිකම්ම නොවේ. හොඳයි, තවත් එක් පියවරක්).
හතරවන වාරය කුමක්ද? හතරවනපදය පළමු වාර ප්ලස් සමාන වේ තුන් ඈ.
ඒ 4 =a 1 + 3 ඈ
හිඩැස් ගණන බව අවබෝධ කර ගැනීමට කාලයයි, i.e. ඈ, සැමවිටම ඔබ සොයන සාමාජික සංඛ්‍යාවට වඩා එකක් අඩුවෙන් n. එනම් අංකයටය n, අවකාශ ගණනකැමැත්ත n-1.එබැවින්, සූත්රය වනු ඇත (වෙනස්කම් නොමැතිව!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
පොදුවේ ගත් කල, ගණිතයේ බොහෝ ගැටළු විසඳීම සඳහා දෘශ්‍ය පින්තූර ඉතා උපකාරී වේ. පින්තූර නොසලකා හරින්න එපා. නමුත් පින්තූරයක් ඇඳීම අපහසු නම්, ... සූත්‍රයක් පමණි!) ඊට අමතරව, nth පදයේ සූත්රය ඔබට ගණිතයේ සමස්ත ප්‍රබල අවි ගබඩාව විසඳුමට සම්බන්ධ කිරීමට ඉඩ සලසයි - සමීකරණ, අසමානතා, පද්ධති ආදිය. ඔබට සමීකරණයට පින්තූරයක් ඇතුළු කළ නොහැක...
ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා කාර්යයන්.
උණුසුම් කිරීමට:
1. අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ දී (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. 3 සොයා ගන්න.
ඉඟිය: පින්තූරයට අනුව, ගැටළුව තත්පර 20 කින් විසඳිය හැකිය ... සූත්රය අනුව, එය වඩාත් අපහසු වේ. නමුත් සූත්රය ප්‍රගුණ කිරීම සඳහා, එය වඩාත් ප්රයෝජනවත් වේ.) 555 වගන්තියේ, මෙම ගැටළුව පින්තූරය සහ සූත්රය යන දෙකම භාවිතයෙන් විසඳනු ලැබේ. වෙනස දැනෙන්න!)
තවද මෙය තවදුරටත් උණුසුම් කිරීමක් නොවේ.)
2. අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ දී (a n) a 85 =19.1; a 236 =49, 3. 3 සොයන්න.
මොකක්ද, ඔබට පින්තූරයක් ඇඳීමට අවශ්ය නැද්ද?) ඇත්තෙන්ම! සූත්‍රයට අනුව වඩා හොඳයි, ඔව්...
3. අංක ගණිතමය ප්රගතිය කොන්දේසිය මගින් දෙනු ලැබේ:a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. මෙම ප්රගතියේ එකසිය විසිපස්වන වාරය සොයන්න.
මෙම කාර්යයේ දී, ප්රගතිය පුනරාවර්තන ආකාරයෙන් නියම කර ඇත. නමුත් එකසිය විසිපස්වන වාරයට ගණන් කිරීම... සෑම කෙනෙකුටම එවැනි වික්‍රමයක් කිරීමට හැකියාවක් නැත.) නමුත් nth term හි සූත්රය සෑම කෙනෙකුගේම බලය ඇත!
4. අංක ගණිතමය ප්රගතියක් ලබා දී ඇත (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
ප්රගතියේ කුඩාම ධන පද ගණන සොයන්න.
5. කාර්යය 4 හි කොන්දේසි අනුව, ප්රගතියේ කුඩාම ධනාත්මක සහ විශාලතම සෘණ පදවල එකතුව සොයා ගන්න.
6. වැඩිවන අංක ගණිත ප්රගතියක පස්වන සහ දොළොස්වන පදවල ගුණිතය -2.5 ට සමාන වන අතර තුන්වන සහ එකොළොස්වන පදවල එකතුව බිංදුවට සමාන වේ. 14 සොයා ගන්න.
පහසුම කාර්යය නොවේ, ඔව් ...) "ඇඟිලි තුඩු" ක්රමය මෙහි ක්රියා නොකරනු ඇත. ඔබට සූත්ර ලිවීමට සහ සමීකරණ විසඳීමට සිදුවේ.
පිළිතුරු (අවුල් සහගතව):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
සිදුවීද? එය හොඳයි!)
සෑම දෙයක්ම සාර්ථක නොවේද? සිදුවේ. මාර්ගය වන විට, අවසාන කාර්යයේ එක් සියුම් කරුණක් තිබේ. ගැටලුව කියවීමේදී සැලකිලිමත් විය යුතුය. සහ තර්කනය.
මෙම සියලු ගැටලු සඳහා විසඳුම 555 වගන්තියේ සවිස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කර ඇත. සහ හතරවන සඳහා ෆැන්ටසියේ අංගය සහ හයවන සඳහා සියුම් මොහොතක් සහ සාමාන්ය ප්රවේශයන් nth පදයේ සූත්රය සම්බන්ධ ඕනෑම ගැටළුවක් විසඳීමට - සියල්ල ලියා ඇත. මම නිර්දේශ කරන්නේ.
ඔබ මෙම අඩවියට කැමති නම්...
මාර්ගය වන විට, මට ඔබ සඳහා තවත් රසවත් අඩවි කිහිපයක් තිබේ.)
ඔබට උදාහරණ විසඳීමට පුරුදු වී ඔබේ මට්ටම සොයා ගත හැකිය. ක්ෂණික සත්‍යාපනය සමඟ පරීක්ෂා කිරීම. අපි ඉගෙන ගනිමු - උනන්දුවෙන්!)
ඔබට කාර්යයන් සහ ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ දැන හඳුනා ගත හැකිය.
සමහර අය "ප්රගතිය" යන වචනය ප්‍රවේශමෙන් සලකයි, කොටස් වලින් ඉතා සංකීර්ණ යෙදුමක් ලෙස උසස් ගණිතය. මේ අතර, සරලම අංක ගණිතමය ප්රගතිය වන්නේ කුලී රථ මීටරයේ කාර්යයයි (ඒවා තවමත් පවතින තැන). සහ සාරය තේරුම් ගන්න (සහ ගණිතයේ "සාරය ලබා ගැනීම" වඩා වැදගත් දෙයක් නැත) අංක ගණිතමය අනුපිළිවෙලඔබ මූලික සංකල්ප කිහිපයක් තේරුම් ගත් පසු එය එතරම් අපහසු නොවේ.
ගණිතමය සංඛ්යා අනුපිළිවෙල
සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලක් සාමාන්යයෙන් සංඛ්යා මාලාවක් ලෙස හැඳින්වේ, ඒ සෑම එකක්ම තමන්ගේම අංකයක් ඇත.
a 1 යනු අනුපිළිවෙලෙහි පළමු සාමාජිකයා වේ;
සහ 2 යනු අනුපිළිවෙලෙහි දෙවන පදයයි;
සහ 7 අනුපිළිවෙලෙහි හත්වන සාමාජිකයා වේ;
සහ n යනු අනුපිළිවෙලෙහි n වන සාමාජිකයා වේ;
කෙසේ වෙතත්, අත්තනෝමතික සංඛ්යා සහ සංඛ්යා සමූහයක් අපට උනන්දුවක් නොදක්වයි. ගණිතමය වශයෙන් පැහැදිලිව සූත්‍රගත කළ හැකි සම්බන්ධතාවයකින් n වැනි පදයේ අගය එහි සාමාන්ය අංකයට සම්බන්ධ වන සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලක් කෙරෙහි අපගේ අවධානය යොමු කරන්නෙමු. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්: n වන අංකයේ සංඛ්‍යාත්මක අගය n හි යම් ශ්‍රිතයකි.
a යනු සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලක සාමාජිකයෙකුගේ අගයයි;
n යනු එහි අනුක්‍රමික අංකයයි;
f(n) යනු ශ්‍රිතයක් වන අතර, සංඛ්‍යාත්මක අනුක්‍රමයේ n යන සාමාන්ය අංකය තර්කය වේ.
අර්ථ දැක්වීම
ගණිතමය ප්රගතියක් සාමාන්යයෙන් සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ, එහි එක් එක් ඊළඟ පදය එකම සංඛ්‍යාවෙන් පෙර එකට වඩා විශාල (අඩු) වේ. ගණිතමය අනුපිළිවෙලක n වැනි පදය සඳහා සූත්රය පහත පරිදි වේ:
a n - අංක ගණිත ප්රගතියේ වත්මන් සාමාජිකයාගේ අගය;
a n+1 - ඊළඟ අංකයේ සූත්රය;
d - වෙනස (නිශ්චිත සංඛ්යාවක්).
වෙනස ධන (d>0) නම්, සලකා බලනු ලබන ශ්‍රේණියේ එක් එක් ඊළඟ සාමාජිකයා පෙර එකට වඩා වැඩි වන අතර එවැනි අංක ගණිතමය ප්රගතියක් වැඩි වන බව තීරණය කිරීම පහසුය.
පහත ප්‍රස්ථාරයේ සංඛ්යා අනුපිළිවෙල "වැඩිවීම" ලෙස හඳුන්වන්නේ මන්දැයි බැලීම පහසුය.
වෙනස සෘණ වන අවස්ථා වලදී (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
නිශ්චිත සාමාජික වටිනාකම
සමහර විට ඕනෑම අත්තනෝමතික පදයක අගය නිර්ණය කිරීම අවශ්ය වේ a n ගණිතමය ප්රගතිය. පළමු සිට අපේක්ෂිත එක දක්වා අංක ගණිත ප්රගතියේ සියලුම සාමාජිකයින්ගේ අගයන් අනුක්‍රමිකව ගණනය කිරීමෙන් මෙය කළ හැකිය. කෙසේ වෙතත්, මෙම මාර්ගය සෑම විටම පිළිගත නොහැකි නම්, උදාහරණයක් ලෙස, පන්දහසේ හෝ අට-මිලියන වාරයේ වටිනාකම සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ. සාම්ප්රදායික ගණනය කිරීම් සඳහා බොහෝ කාලයක් ගතවනු ඇත. කෙසේ වෙතත්, ඇතැම් සූත්ර භාවිතයෙන් නිශ්චිත ගණිතමය ප්රගතියක් අධ්‍යයනය කළ හැක. n වැනි පදය සඳහා සූත්‍රයක් ද ඇත: අංක ගණිත ප්රගතියක ඕනෑම පදයක අගය ප්රගතියේ වෙනස සමඟ ප්රගතියේ පළමු පදයේ එකතුව ලෙස තීරණය කළ හැකිය, අපේක්ෂිත පදයේ සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කළ විට, අඩු වේ. එක.
ප්රගතිය වැඩි කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා සූත්රය විශ්වීය වේ.
දී ඇති පදයක අගය ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක්
අංක ගණිත ප්‍රගමනයක n වැනි පදයේ අගය සෙවීමේ පහත ගැටලුව විසඳා ගනිමු.
කොන්දේසිය: පරාමිතීන් සහිත අංක ගණිතමය ප්රගතියක් ඇත:
අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පදය 3 වේ;
සංඛ්යා ශ්‍රේණියේ වෙනස 1.2 කි.
කාර්යය: ඔබ නියමයන් 214 ක අගය සොයා ගත යුතුය
විසඳුම: දී ඇති පදයක අගය තීරණය කිරීම සඳහා, අපි සූත්රය භාවිතා කරමු:
a(n) = a1 + d(n-1)
ගැටළු ප්‍රකාශයේ දත්ත ප්‍රකාශනයට ආදේශ කිරීම, අපට ඇත්තේ:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
පිළිතුර: අනුපිළිවෙලෙහි 214 වන වාරය 258.6 ට සමාන වේ.
මෙම ගණනය කිරීමේ ක්රමයේ වාසි පැහැදිලිය - සම්පූර්ණ විසඳුම පේළි 2 කට වඩා ගත නොවේ.
දී ඇති පද ගණනක එකතුව
බොහෝ විට, දී ඇති අංක ගණිත ශ්‍රේණියක, එහි සමහර කොටස්වල අගයන්හි එකතුව තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, එක් එක් පදයේ අගයන් ගණනය කර ඒවා එකතු කිරීම අවශ්ය නොවේ. මෙම ක්රමය අදාළ වන්නේ එකතුව සොයාගත යුතු පද සංඛ්‍යාව කුඩා නම්ය. වෙනත් අවස්ථාවල දී, පහත සූත්රය භාවිතා කිරීම වඩාත් පහසු වේ.
1 සිට n දක්වා වූ ගණිතමය ප්රගතියක නියමවල එකතුව පළමු සහ n වැනි පදවල එකතුවට සමාන වේ, n පදයේ සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කර දෙකකින් බෙදනු ලැබේ. සූත්‍රයේ nth පදයේ අගය ලිපියේ පෙර ඡේදයේ ප්‍රකාශනය මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්නේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ:
ගණනය කිරීමේ උදාහරණය
උදාහරණයක් ලෙස, පහත සඳහන් කොන්දේසි සමඟ ගැටළුවක් විසඳා ගනිමු:
අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පදය ශුන්ය වේ;
වෙනස 0.5 කි.
ගැටලුව සඳහා 56 සිට 101 දක්වා ශ්‍රේණියේ නියමවල එකතුව තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්. ප්රගතියේ ප්‍රමාණය තීරණය කිරීම සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමු:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
පළමුව, අපගේ ගැටලුවේ දී ඇති කොන්දේසි සූත්‍රයට ආදේශ කිරීමෙන් ප්රගතියේ නියමයන් 101 ක අගයන්ගේ එකතුව අපි තීරණය කරමු:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
නිසැකවම, 56 සිට 101 දක්වා ප්රගතියේ නියමයන්ගේ එකතුව සොයා ගැනීම සඳහා, S 101 වෙතින් S 55 අඩු කිරීම අවශ්ය වේ.
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1)) ∙55/2 = 742.5
මේ අනුව, මෙම උදාහරණය සඳහා අංක ගණිතමය ප්රගතියේ එකතුව වන්නේ:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5
අංක ගණිත ප්රගතියේ ප්‍රායෝගික යෙදුමේ උදාහරණය
ලිපිය අවසානයේ, පළමු ඡේදයේ දක්වා ඇති අංක ගණිතමය අනුපිළිවෙලක උදාහරණය වෙත ආපසු යමු - ටැක්සිමීටරයක් (ටැක්සි කාර් මීටරයක්). අපි මෙම උදාහරණය සලකා බලමු.
කුලී රථයකට නැඟීමට (කිලෝමීටර් 3 ක ගමන් ඇතුළත්) රුබල් 50 ක් වැය වේ. සෑම ඊළඟ කිලෝමීටරයකටම රූබල් 22 / කි.මී. ගමන් දුර කිලෝමීටර 30 කි. සංචාරයේ පිරිවැය ගණනය කරන්න.
1. පළමු කිලෝමීටර් 3 ඉවත දමමු, එහි මිල ගොඩබෑමේ පිරිවැයට ඇතුළත් වේ.
30 - 3 = 27 කි.මී.
2. වැඩිදුර ගණනය කිරීම අංක ගණිත අංක ශ්‍රේණියක් විග්‍රහ කිරීමට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ.
සාමාජික අංකය - ගමන් කළ කිලෝමීටර් ගණන (පළමු තුන අඩු).
සාමාජිකයාගේ වටිනාකම එකතුව වේ.
මෙම ගැටලුවේ පළමු වාරය 1 = 50 rubles ට සමාන වනු ඇත.
ප්රගති වෙනස d = 22 r.
අප උනන්දු වන අංකය වන්නේ අංක ගණිත ප්රගතියේ (27+1) වන වාරයේ අගයයි - 27 වන කිලෝමීටරය අවසානයේ මීටර් කියවීම 27.999... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
අත්තනෝමතික ලෙස දිගු කාලයක් සඳහා දින දර්ශන දත්ත ගණනය කිරීම් පදනම් වන්නේ යම් සංඛ්‍යාත්මක අනුපිළිවෙලක් විස්තර කරන සූත්ර මතය. තාරකා විද්‍යාවේදී, කක්ෂයේ දිග ජ්‍යාමිතිකව ආකාශ වස්තුවේ තාරකාවට ඇති දුර මත රඳා පවතී. මීට අමතරව, විවිධ සංඛ්යා ශ්‍රේණි සංඛ්‍යාලේඛන සහ ගණිතයේ වෙනත් ව්‍යවහාරික ක්ෂේත්‍රවල සාර්ථකව භාවිතා වේ.
තවත් ආකාරයේ සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක් ජ්යාමිතික වේ
ජ්යාමිතික ප්රගතිය අංක ගණිත ප්‍රගතියට සාපේක්ෂව වැඩි වෙනස්වීම් අනුපාත මගින් සංලක්ෂිත වේ. දේශපාලනයේ, සමාජ විද්‍යාවේ සහ වෛද්‍ය විද්‍යාවේ දී, විශේෂිත සංසිද්ධියක් පැතිරීමේ ඉහළ වේගය පෙන්වීම සඳහා, උදාහරණයක් ලෙස, වසංගතයක් අතරතුර රෝගයක්, ක්‍රියාවලිය ජ්යාමිතික ප්‍රගතියකින් වර්ධනය වන බව ඔවුන් පවසන්නේ අහම්බයක් නොවේ.
ජ්යාමිතික සංඛ්යා ශ්‍රේණියේ N වන පදය පෙර එකට වඩා වෙනස් වන්නේ එය යම් නියත සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමෙනි - හරය, උදාහරණයක් ලෙස, පළමු පදය 1 වේ, හරය අනුරූපව 2 ට සමාන වේ, එවිට:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - ජ්යාමිතික ප්රගතියේ වත්මන් පදයේ අගය;
b n+1 - ජ්යාමිතික ප්රගතියේ ඊළඟ පදයේ සූත්රය;
q යනු ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයේ හරයයි (ස්ථාවර සංඛ්යාවක්).
අංක ගණිත ප්රගතියක ප්‍රස්ථාරය සරල රේඛාවක් නම්, ජ්යාමිතික ප්රගතියක් තරමක් වෙනස් චිත්රයක් පින්තාරු කරයි:
අංක ගණිතයේ දී මෙන්, ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයට අත්තනෝමතික පදයක අගය සඳහා සූත්‍රයක් ඇත. ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක ඕනෑම n වැනි පදයක් පළමු පදයේ ගුණිතයට සමාන වන අතර n හි බලයට ප්‍රගමනයේ හරය එකකින් අඩු වේ:
උදාහරණයක්. අපට පළමු පදය 3 ට සමාන වන අතර ප්රගතියේ හරය 1.5 ට සමාන ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ඇත. අපි ප්රගතියේ 5 වන වාරය සොයා ගනිමු
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875
දී ඇති පද ගණනක එකතුව විශේෂ සූත්‍රයක් භාවිතයෙන් ද ගණනය කෙරේ. ජ්යාමිතික ප්රගතියක පළමු n පදවල එකතුව ප්රගතියේ n වැනි පදයේ ගුණිතය සහ එහි හරය සහ ප්රගතියේ පළමු පදය අතර වෙනසට සමාන වේ, එකකින් අඩු කරන ලද හරයෙන් බෙදනු ලැබේ:
ඉහත සාකච්ඡා කළ සූත්රය භාවිතයෙන් b n ප්‍රතිස්ථාපනය කළහොත්, සලකා බලන සංඛ්යා ශ්‍රේණියේ පළමු n නියමවල එකතුවේ අගය පෝරමය ගනී:
උදාහරණයක්. ජ්යාමිතික ප්‍රගමනය ආරම්භ වන්නේ 1 ට සමාන පළමු පදයෙනි. හරය 3 ලෙස සකසා ඇත. අපි පළමු පද අටේ එකතුව සොයා ගනිමු.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
සංඛ්යා අනුක්‍රමයක් පිළිබඳ සංකල්පයෙන් ගම්‍ය වන්නේ සෑම ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක්ම යම් තාත්වික අගයකට අනුරූප වන බවයි. එවැනි සංඛ්යා මාලාවක් අත්තනෝමතික හෝ ඇතැම් ගුණාංග තිබිය හැක - ප්රගතියක්. අවසාන අවස්ථාවෙහිදී, අනුපිළිවෙලෙහි එක් එක් අනුයාත මූලද්රව්ය (සාමාජිකයා) පෙර එක භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක.
අංක ගණිතමය ප්රගතියක් යනු සංඛ්‍යාත්මක අගයන්හි අනුපිළිවෙලකි, එහි අසල්වැසි සාමාජිකයින් එකම සංඛ්‍යාවකින් එකිනෙකාගෙන් වෙනස් වේ (2 වන සිට ආරම්භ වන ශ්‍රේණියේ සියලුම අංග සමාන ගුණාංගයක් ඇත). මෙම අංකය - පෙර සහ පසු නියමයන් අතර වෙනස - නියත වන අතර එය ප්රගති වෙනස ලෙස හැඳින්වේ.
ප්රගති වෙනස: අර්ථ දැක්වීම
j අගයන්ගෙන් සමන්විත අනුක්‍රමයක් සලකා බලන්න A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j අයත් වන්නේ N ස්වභාවික සංඛ්යා සමූහයටය. අංක ගණිතයකි ප්රගතිය, එහි නිර්වචනයට අනුව, අනුපිළිවෙලකි, එහි a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) =… = a(j) – a(j-1) = d. අගය d යනු මෙම ප්රගතියේ අපේක්ෂිත වෙනසයි.
d = a (j) - a (j-1).
ඉස්මතු කරන්න:
- වැඩිවන ප්රගතියක්, මෙම අවස්ථාවේදී d > 0. උදාහරණය: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- ප්රගතිය අඩු කිරීම, පසුව ඩී< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
වෙනස්කම් ප්රගතිය සහ එහි අත්තනෝමතික මූලද්රව්ය
ප්රගතියේ අත්තනෝමතික නියමයන් 2ක් දන්නේ නම් (i-th, k-th), එවිට දී ඇති අනුපිළිවෙලක් සඳහා වෙනස සම්බන්ධතාවය මත පදනම්ව තීරණය කළ හැක:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, එනම් d = (a(i) – a(k))/(i-k).
ප්රගතියේ වෙනස සහ එහි පළමු වාරය
මෙම ප්‍රකාශනය අනුක්‍රමික මූලද්‍රව්‍යයේ අංකය දන්නා අවස්ථාවන්හිදී පමණක් නොදන්නා අගයක් තීරණය කිරීමට උපකාරී වේ.
ප්රගති වෙනස සහ එහි එකතුව
ප්රගතියක එකතුව යනු එහි නියමවල එකතුවයි. එහි පළමු j මූලද්‍රව්‍යවල සම්පූර්ණ අගය ගණනය කිරීමට, සුදුසු සූත්රය භාවිතා කරන්න:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, නමුත් සිට a(j) = a(1) + d(j – 1), එවිට S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
අංක ගණිත හා ජ්යාමිතික ප්රගතිය
න්යායික තොරතුරු
න්යායික තොරතුරු
අංක ගණිතමය ප්රගතිය |
ජ්යාමිතික ප්රගතිය |
|
අර්ථ දැක්වීම |
අංක ගණිතමය ප්රගතිය a nයනු එක් එක් සාමාජිකයා, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන අනුපිළිවෙලකි, එම අංකයට එකතු කරන ලද පෙර සාමාජිකයාට සමාන වේ ඈ (ඈ- ප්රගති වෙනස) |
ජ්යාමිතික ප්රගතිය b nයනු ශුන්ය නොවන සංඛ්යා අනුපිළිවෙලකි, එහි සෑම පදයක්ම, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන අතර, එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කළ පෙර පදයට සමාන වේ q (q- ප්රගතියේ හරය) |
පුනරාවර්තන සූත්රය |
ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා n |
ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා n |
සූත්රය n වන වාරය |
a n = a 1 + d (n - 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| ලාක්ෂණික දේපල |  |
|
| පළමු n නියමවල එකතුව |  |
 |
අදහස් සහිත කාර්යයන් සඳහා උදාහරණ
අභ්‍යාස 1
අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ දී ( a n) a 1 = -6, a 2
n වන පදයේ සූත්රය අනුව:
a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 ඈ
කොන්දේසිය අනුව:
a 1= -6, එවිට a 22= -6 + 21 ඈ .
ප්රගතියේ වෙනස සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ:
ඈ = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
පිළිතුර : a 22 = -48.
කාර්යය 2
ජ්යාමිතික ප්රගතියේ පස්වන පදය සොයන්න: -3; 6;....
1 වන ක්රමය (n-කාලීන සූත්රය භාවිතා කරමින්)
ජ්යාමිතික ප්රගතියක n වැනි වාරයේ සූත්‍රයට අනුව:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
නිසා b 1 = -3,
2 වන ක්රමය (පුනරාවර්තන සූත්රය භාවිතා කිරීම)
ප්රගතියේ හරය -2 (q = -2) බැවින්:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
පිළිතුර : b 5 = -48.
කාර්යය 3
අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ දී ( a n ) a 74 = 34; a 76= 156. මෙම ප්රගතියේ හැත්තෑ පස්වන වාරය සොයන්න.
අංක ගණිතමය ප්රගතියක් සඳහා, ලාක්ෂණික ගුණයට ස්වරූපය ඇත 
.
එබැවින්:
.
අපි දත්ත සූත්‍රයට ආදේශ කරමු:
පිළිතුර: 95.
කාර්යය 4
අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයේ දී ( a n ) a n= 3n - 4. පළමු පද දහහතේ එකතුව සොයන්න.
අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක පළමු n පදවල එකතුව සෙවීමට, සූත්ර දෙකක් භාවිතා වේ:
.
මෙම නඩුවේ භාවිතා කිරීමට වඩාත් පහසු ඒවා මොනවාද?
කොන්දේසිය අනුව, මුල් ප්රගතියේ n වැනි වාරයේ සූත්රය දනී ( a n) a n= 3n - 4. ඔබට වහාම සොයා ගත හැක සහ a 1, සහ a 16සොයා නොගෙන ඩී. එබැවින්, අපි පළමු සූත්රය භාවිතා කරමු.
පිළිතුර: 368.
කාර්යය 5
අංක ගණිතමය ප්රගතියේ ( a n) a 1 = -6; a 2= -8. ප්රගතියේ විසිදෙවන පදය සොයන්න.
n වන පදයේ සූත්රය අනුව:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.
කොන්දේසිය අනුව, නම් a 1= -6, එවිට a 22= -6 + 21d . ප්රගතියේ වෙනස සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ:
ඈ = a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2
a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
පිළිතුර : a 22 = -48.
කාර්යය 6
ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයේ අඛණ්ඩ පද කිහිපයක් ලියා ඇත:
x ලෙස ලේබල් කර ඇති ප්රගතියේ පදය සොයන්න.
විසඳන විට, අපි n වැනි වාරය සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමු b n = b 1 ∙ q n - 1සදහා ජ්යාමිතික ප්රගතිය. ප්රගතියේ පළමු වාරය. ප්රගති q හි හරය සොයා ගැනීමට, ඔබ ලබා දී ඇති ප්‍රගතියෙහි ඕනෑම කොන්දේසියක් ගෙන පෙර එකින් බෙදිය යුතුය. අපගේ උදාහරණයේ දී, අපට ගෙන බෙදිය හැකිය. අපි q = 3 ලබා ගනිමු. n වෙනුවට, අපි සූත්‍රයේ 3 ආදේශ කරමු, මන්ද එය ලබා දී ඇති ජ්යාමිතික ප්රගතියක තුන්වන පදය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන බැවිනි.
සොයාගත් අගයන් සූත්‍රයට ආදේශ කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
.
පිළිතුර : .
කාර්යය 7
nth පදයේ සූත්රය මගින් ලබා දෙන අංක ගණිතමය ප්‍රගතියෙන්, කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වන එක තෝරන්න. a 27 > 9:
ලබා දී ඇති කොන්දේසිය ප්රගතියේ 27 වන වාරය සඳහා තෘප්තිමත් විය යුතු බැවින්, අපි එක් එක් ප්රගති හතරෙන් n වෙනුවට 27 ආදේශ කරමු. 4 වන ප්‍රගතියේදී අපට ලැබෙන්නේ:
.
පිළිතුර: 4.
කාර්යය 8
අංක ගණිතමය ප්රගතියේ දී a 1= 3, ඈ = -1.5. සඳහන් කරන්න ඉහළම අගයඅසමානතාවය පවතින n a n > -6.
අංක ගණිත ප්රගතිය ගැන බොහෝ අය අසා ඇත, නමුත් එය කුමක්දැයි සෑම කෙනෙකුටම හොඳ අදහසක් නැත. මෙම ලිපියෙන් අපි අනුරූප නිර්වචනය ලබා දෙන අතර, අංක ගණිතමය ප්රගතියක වෙනස සොයා ගන්නේ කෙසේද යන ප්‍රශ්නය ද සලකා බලා උදාහරණ ගණනාවක් ලබා දෙන්නෙමු.
ගණිතමය අර්ථ දැක්වීම
එසේ නම් අපි කතා කරන්නේගණිතමය හෝ වීජීය ප්රගතිය ගැන (මෙම සංකල්ප එකම දෙය නිර්වචනය කරයි), මෙයින් අදහස් කරන්නේ තෘප්තිමත් වන නිශ්චිත සංඛ්යා ශ්‍රේණියක් ඇති බවයි ඊළඟ නීතිය: ශ්‍රේණියක සෑම යාබද සංඛ්යා දෙකක්ම එකම අගයකින් වෙනස් වේ. ගණිතමය වශයෙන් එය මෙසේ ලියා ඇත:
මෙහි n යනු අනුපිළිවෙලෙහි n මූලද්රව්ය සංඛ්‍යාව වන අතර d යනු ප්රගතියේ වෙනස වේ (එහි නම ඉදිරිපත් කරන ලද සූත්රයෙන් පහත දැක්වේ).
වෙනස දැනගැනීමෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? අසල්වැසි සංඛ්යා එකිනෙකින් "දුර" කොපමණද යන්න ගැන. කෙසේ වෙතත්, d පිළිබඳ දැනුම සම්පූර්ණ ප්රගතිය තීරණය කිරීම (ප්‍රතිස්ථාපනය) සඳහා අවශ්ය නමුත් ප්රමාණවත් නොවේ. තවත් එක් අංකයක් දැන ගැනීම අවශ්ය වේ, එය සලකා බලනු ලබන ශ්‍රේණියේ ඕනෑම අංගයක් විය හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, 4, a10, නමුත්, රීතියක් ලෙස, ඔවුන් පළමු අංකය භාවිතා කරයි, එනම් 1.
ප්රගති මූලද්රව්ය නිර්ණය කිරීම සඳහා සූත්ර
සාමාන්යයෙන්, ඉහත තොරතුරු දැනටමත් විසඳුම වෙත යාමට ප්රමාණවත් වේ නිශ්චිත කාර්යයන්. එසේ වුවද, අංක ගණිත ප්රගතිය ලබා දීමට පෙර, එහි වෙනස සොයා ගැනීමට අවශ්ය වනු ඇත, අපි යුවලක් ඉදිරිපත් කරමු ප්රයෝජනවත් සූත්ර, එමගින් ගැටළු විසඳීමේ පසුකාලීන ක්රියාවලියට පහසුකම් සැලසීම.
n අංකය සහිත අනුක්‍රමයේ ඕනෑම මූලද්‍රව්‍යයක් පහත පරිදි සොයාගත හැකි බව පෙන්වීම පහසුය:
a n = a 1 + (n - 1) * d
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඕනෑම කෙනෙකුට සරල සෙවීමකින් මෙම සූත්රය පරීක්ෂා කළ හැකිය: ඔබ n = 1 ආදේශ කළහොත්, ඔබට පළමු මූලද්රව්යය ලැබේ, ඔබ n = 2 ආදේශ කළහොත්, ප්‍රකාශනය මඟින් පළමු අංකයේ එකතුව සහ වෙනස ලබා දෙයි, යනාදිය.
බොහෝ ගැටළු වල කොන්දේසි සකස් කර ඇත්තේ එලෙසිනි ප්රසිද්ධ යුවළක්අනුපිළිවෙලෙහි අංක ද ලබා දී ඇති සංඛ්යා, සම්පූර්ණ සංඛ්යා ශ්‍රේණියම ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම අවශ්ය වේ (වෙනස සහ පළමු මූලද්රව්යය සොයා ගන්න). දැන් අපි මෙම ගැටළුව පොදු ස්වරූපයෙන් විසඳන්නෙමු.
එබැවින්, අංක n සහ m සහිත මූලද්රව්ය දෙකක් ලබා දෙන්න. ඉහත ලබාගත් සූත්රය භාවිතා කරමින්, ඔබට සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් නිර්මාණය කළ හැකිය:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d
නොදන්නා ප්රමාණ සොයා ගැනීමට, අපි දන්නා දේ භාවිතා කරමු සරල උපක්රමයඑවැනි පද්ධතියකට විසඳුම්: වම් සහ දකුණු පැති යුගල වශයෙන් අඩු කරන්න, සමානාත්මතාවය වලංගු වේ. අපිට තියෙනවා:
a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)
මේ අනුව, අපි නොදන්නා එකක් (a 1) බැහැර කර ඇත. දැන් අපට d තීරණය කිරීම සඳහා අවසාන ප්‍රකාශනය ලිවිය හැකිය:
d = (a n - a m) / (n - m), මෙහි n > m
අපට ඉතා සරල සූත්‍රයක් ලැබුණි: ගැටලුවේ කොන්දේසි වලට අනුකූලව d වෙනස ගණනය කිරීම සඳහා, අවශ්ය වන්නේ මූලද්රව්ය සහ ඒවායේ අනුක්‍රමික අංක අතර ඇති වෙනස්කම්වල අනුපාතය ගැනීම පමණි. එකක් කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ යුතුය වැදගත් කරුණක්අවධානය: "ඉහළම" සහ "පහළම" සාමාජිකයන් අතර වෙනස්කම් ගනු ලැබේ, එනම්, n > m ("ඉහළම" යනු අනුපිළිවෙලෙහි ආරම්භයේ සිට තවදුරටත් පිහිටා ඇති එකයි, එහි නිරපේක්ෂ අගය වඩා වැඩි හෝ අඩු විය හැක. "කනිෂ්ඨ" මූලද්රව්යය) .
වෙනස d ප්රගතිය සඳහා වන ප්‍රකාශනය පළමු පදයේ අගය ලබා ගැනීම සඳහා ගැටලුව විසඳීමේ ආරම්භයේදී ඕනෑම සමීකරණයකට ආදේශ කළ යුතුය.
පරිගණක තාක්‍ෂණ සංවර්ධනයේ අපගේ යුගයේදී, බොහෝ පාසල් සිසුන් අන්තර්ජාලයේ ඔවුන්ගේ පැවරුම් සඳහා විසඳුම් සෙවීමට උත්සාහ කරයි, එබැවින් මෙම වර්ගයේ ප්‍රශ්න බොහෝ විට පැන නගී: අංක ගණිත ප්රගතියක වෙනස අන්තර්ජාලය හරහා සොයා ගන්න. එවැනි ඉල්ලීමක් සඳහා, සෙවුම් යන්ත්‍රය වෙබ් පිටු ගණනාවක් ආපසු ලබා දෙනු ඇත, ඒ වෙත යාමෙන් ඔබට කොන්දේසියෙන් දන්නා දත්ත ඇතුළත් කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත (මෙය ප්රගතියේ පද දෙකක් හෝ ඒවායින් නිශ්චිත සංඛ්‍යාවක එකතුව විය හැකිය. ) සහ ක්ෂණික පිළිතුරක් ලැබේ. කෙසේ වෙතත්, ගැටලුව විසඳීම සඳහා මෙම ප්රවේශය ශිෂ්යයාගේ සංවර්ධනය හා ඔහුට පවරා ඇති කාර්යයේ සාරය පිළිබඳ අවබෝධය අනුව ඵලදායී නොවේ.
සූත්ර භාවිතා නොකර විසඳුම
ලබා දී ඇති සූත්ර කිසිවක් භාවිතා නොකර පළමු ගැටළුව විසඳා ගනිමු. ශ්‍රේණියේ මූලද්රව්ය ලබා දෙන්න: a6 = 3, a9 = 18. අංක ගණිත ප්රගතියේ වෙනස සොයන්න.
දන්නා මූලද්රව්ය පේළියක එකිනෙකට සමීප වේ. ලොකුම එක ලබා ගැනීමට වෙනස d කුඩාම එකට කී වතාවක් එකතු කළ යුතුද? තුන් වරක් (පළමු වරට d එකතු කිරීම, අපි 7 වන මූලද්රව්යය ලබා ගනිමු, දෙවන වරට - අටවන, අවසාන වශයෙන්, තුන්වන වරට - නවවන). 18 ලබා ගැනීමට තුන් වරක් එකතු කළ යුතු අංකය කුමක්ද? මෙය අංක පහයි. ඇත්තටම:
මේ අනුව, නොදන්නා වෙනස d = 5.
ඇත්ත වශයෙන්ම, විසඳුම සුදුසු සූත්රය භාවිතා කර සිදු කළ හැකි නමුත් මෙය හිතාමතාම සිදු නොකළේය. ගැටලුවට විසඳුම පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක පැහැදිලි කිරීමක් පැහැදිලි විය යුතුය දීප්තිමත් උදාහරණයක්අංක ගණිතමය ප්රගතියක් යනු කුමක්ද?
පෙර කාර්යයට සමාන කාර්යයක්
දැන් අපි සමාන ගැටළුවක් විසඳමු, නමුත් ආදාන දත්ත වෙනස් කරන්න. එබැවින්, ඔබ a3 = 2, a9 = 19 නම් සොයා ගත යුතුය.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට නැවතත් "හිස මත" විසඳුම් ක්රමය වෙත යොමු විය හැකිය. නමුත් ශ්‍රේණියේ මූලද්රව්ය ලබා දී ඇති බැවින්, එකිනෙකට සාපේක්ෂව දුරස්ථ වන බැවින්, මෙම ක්රමය සම්පූර්ණයෙන්ම පහසු නොවනු ඇත. නමුත් ලැබෙන සූත්රය භාවිතා කිරීමෙන් ඉක්මනින් පිළිතුර වෙත අපව යොමු කරනු ඇත:
d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83
මෙන්න අපි අවසාන අංකය වට කර ඇත. මෙම වට කිරීම දෝෂයකට තුඩු දුන් ප්‍රමාණය ප්‍රතිඵලය පරීක්ෂා කිරීමෙන් විනිශ්චය කළ හැක:
a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98
මෙම ප්‍රතිඵලය කොන්දේසියේ දී ඇති අගයට වඩා වෙනස් වන්නේ 0.1%කින් පමණි. එබැවින්, ආසන්නතම සියය දක්වා භාවිතා කරන වටකුරු කිරීම සැලකිය හැකිය සාර්ථක තේරීම.
පදයක් සඳහා සූත්රය යෙදීම සම්බන්ධ ගැටළු
අපි සලකා බලමු සම්භාව්ය උදාහරණයක්නොදන්නා d තීරණය කිරීම සඳහා කාර්යයන්: a1 = 12, a5 = 40 නම් ගණිතමය ප්රගතියේ වෙනස සොයා ගන්න.
නොදන්නා වීජීය අනුක්‍රමයක සංඛ්යා දෙකක් ලබා දී, ඉන් එකක් a 1 මූලද්රව්යය වන විට, ඔබ දිගු වේලාවක් සිතීමට අවශ්ය නැත, නමුත් වහාම a n පදය සඳහා සූත්රය යෙදිය යුතුය. මෙම අවස්ථාවේදී අපට ඇත්තේ:
a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7
බෙදීමේදී අපට නිශ්චිත අංකය ලැබුණි, එබැවින් පෙර ඡේදයේ සිදු කළ පරිදි ගණනය කරන ලද ප්රතිඵලයේ නිරවද්යතාව පරීක්ෂා කිරීමෙහි තේරුමක් නැත.
අපි තවත් සමාන ගැටලුවක් විසඳා ගනිමු: a1 = 16, a8 = 37 නම් ගණිතමය ප්‍රගමනයක වෙනස සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ.
අපි පෙර ප්‍රවේශයට සමාන ප්‍රවේශයක් භාවිතා කර ලබා ගනිමු:
a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3
අංක ගණිත ප්රගතිය ගැන ඔබ දැනගත යුතු තවත් මොනවාද?
නොදන්නා වෙනසක් හෝ තනි මූලද්රව්ය සොයා ගැනීමේ ගැටළු වලට අමතරව, අනුපිළිවෙලක පළමු පදවල එකතුවේ ගැටළු විසඳීමට බොහෝ විට අවශ්ය වේ. මෙම ගැටළු සලකා බැලීම ලිපියේ විෂය පථයෙන් ඔබ්බට ය, කෙසේ වෙතත්, තොරතුරු වල සම්පූර්ණත්වය සඳහා, අපි ශ්‍රේණියක n සංඛ්යා එකතුව සඳහා සාමාන්ය සූත්‍රයක් ඉදිරිපත් කරමු:
∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2
