விளையாட்டு மாதிரிகளின் கருத்து. கட்டண அணி

ஒரு ஜோடி வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டைக் கவனியுங்கள். வீரரை விடுங்கள் ஆனால்உள்ளது டிதனிப்பட்ட உத்திகள், நாங்கள் குறிப்பிடுகிறோம்

வீரரை விடுங்கள் INகிடைக்கும் பிதனிப்பட்ட உத்திகள், அவற்றைக் குறிக்கலாம். விளையாட்டுக்கு ஒரு பரிமாணம் உண்டு என்கிறார்கள் டிஎக்ஸ் பி.

எந்த ஜோடி உத்திகளின் வீரர்களின் தேர்வின் விளைவாக, விளையாட்டின் முடிவு தனித்துவமாக தீர்மானிக்கப்படுகிறது, அதாவது. வெற்றி ஆனால்;. ஆட்டக்காரர் ஆனால்(நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை) மற்றும் இழப்பு (-ஏய்)ஆட்டக்காரர் INமதிப்புகள் என்று வைத்துக் கொள்வோம் ஆனால்..எந்த ஜோடி உத்திகளுக்கும் பெயர் பெற்றவர் (ஏ:, பி;.). அணி பி =(அ..), நான் == 1, 2, ..., எம்.ஜே = 1, 2, ..., பி,அதன் கூறுகள் உத்திகளுடன் தொடர்புடைய ஊதியங்கள் ஆனால்.மற்றும் பிஜே,அழைக்கப்பட்டது கட்டண அணி,அல்லது விளையாட்டு அணி. பொது வடிவம்அத்தகைய அணி அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 12.1 இந்த அட்டவணையின் வரிசைகள் பிளேயரின் உத்திகளுக்கு ஒத்திருக்கும் ஆனால்,மற்றும் நெடுவரிசைகள் வீரர்களின் உத்திகள் IN

அட்டவணை 12.1

அடுத்த ஆட்டத்துக்கான பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவோம்.

12.1 தேடல் விளையாட்டு.

ஆட்டக்காரர் ஆனால்இரண்டு தங்குமிடங்களில் ஒன்றில் மறைக்க முடியும் (I மற்றும் II); ஆட்டக்காரர் INஒரு வீரரைத் தேடுகிறேன் ஆனால்,அவர் கண்டுபிடித்தால், அவருக்கு 1 டென் அபராதம் விதிக்கப்படும். அலகுகள் இருந்து ஆனால்,இல்லையெனில் வீரருக்கு பணம் கொடுக்கிறது ஆனால் 1 நாள் அலகுகள் விளையாட்டின் ஊதிய மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவது அவசியம்.

டி.எஸ்.எச்.என்.எஸ். பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸை தொகுக்க, ஒவ்வொரு வீரர்களின் நடத்தையையும் பகுப்பாய்வு செய்வது அவசியம். ஆட்டக்காரர் ஆனால்தங்குமிடம் I இல் மறைக்க முடியும் - இந்த மூலோபாயத்தை நாங்கள் குறிக்கிறோம் ஏ v அல்லது தங்குமிடம் II - உத்தி ஆனால். g வீரர் INதங்குமிடம் I - உத்தியில் முதல் வீரரைத் தேடலாம் IN(அல்லது தங்குமிடம் II - உத்தி IN.,.வீரர் என்றால் ஆனால்நான் மறைவிடத்தில் உள்ளது மற்றும் பிளேயரால் அங்கு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது IN,அந்த. இரண்டு உத்திகள் செயல்படுத்தப்படுகின்றன (Α ν IN{), பின்னர் வீரர் ஆனால்அபராதம் செலுத்துகிறது, அதாவது. ஆனால் n = -1. இதேபோல், நாங்கள் பெறுகிறோம் ஆனால். n = -1 (ஆனால் 2, IN.,).வெளிப்படையாக, உத்திகள் (ஏ, IN.,)மற்றும் (R2, /1,) பிளேயருக்கு கொடுக்கவும் ஆனால்வெற்றி 1, அதனால் ஆனால்பி = ஏ. n = I. எனவே, 2x2 அளவுள்ள "தேடல்" விளையாட்டிற்கு, நாம் செலுத்தும் அணியைப் பெறுகிறோம்:

விளையாட்டைக் கவனியுங்கள் டிஎக்ஸ் பிஅணியுடன் பி = ஏ j) , நான் = 1,2, ..., τη; ஜே= 1, 2, ..., மற்றும் உத்திகளில் சிறந்ததைத் தீர்மானிக்கவும் ஆனால்மணிக்கு ஏவி..., ஆனால்மீ. ஒரு உத்தியைத் தேர்ந்தெடுப்பது ஏஜே வீரர் ஆனால்வீரர் எதிர்பார்க்க வேண்டும் INஉத்திகளில் ஒன்றின் மூலம் அதற்கு பதில் அளிப்பார் IN.,அதற்கான ஊதியம் வீரருக்கு ஆனால்குறைந்தபட்சம் (வீரர் INவீரருக்கு "தீங்கு" செய்ய முயல்கிறது ஆனால்).

a மூலம் குறிக்கவும்; வீரரின் குறைந்த ஊதியம் ஆனால்அவர் மூலோபாயம் L தேர்ந்தெடுக்கும் போது; சாத்தியமான அனைத்து வீரர் உத்திகளுக்கும் IN(சிறிய எண்ணிக்கையில் நான்-வது வரிஊதிய அணி), அதாவது.

அனைத்து எண்களிலும் a (r = 1,2,..., டி)மிகப் பெரியதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்: . கூப்பிடலாம் மற்றும் விளையாட்டின் குறைந்த விலை,அல்லது அதிகபட்ச ஊதியம் (அதிகபட்சம்).இது பிளேயர் B இன் எந்தவொரு மூலோபாயத்திற்கும் வீரர் A இன் உத்தரவாதமான ஊதியம்.இதன் விளைவாக,

(12.2)

மாக்சிமினுடன் தொடர்புடைய மூலோபாயம் அழைக்கப்படுகிறது அதிகபட்ச உத்தி.ஆட்டக்காரர் INவீரரின் ஊதியத்தைக் குறைப்பதில் ஆர்வம் ஆனால்;ஒரு மூலோபாயத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது IN.,இது அதிகபட்ச சாத்தியமான ஊதியத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்கிறது ஆனால்.குறிக்கவும்

அனைத்து எண்களிலும் β. சிறியதை தேர்வு செய்யவும்

மற்றும் β ஐ அழைக்கவும் சிறந்த விளையாட்டு விலை, அல்லது மினிமேக்ஸ் ஊதியம் (மினிமேக்ஸ்).இது வீரர் B இன் உத்தரவாத இழப்பு.இதன் விளைவாக,

(12.4)

மினிமேக்ஸ் உத்தி என்று அழைக்கப்படுகிறது குறைந்தபட்ச உத்தி.

மிகவும் "எச்சரிக்கையான" மினிமேக்ஸ் மற்றும் மாக்சிமின் உத்திகளைத் தேர்வு செய்ய வீரர்களுக்குக் கட்டளையிடும் கொள்கை கொள்கை என்று அழைக்கப்படுகிறது. மினிமேக்ஸ்.ஒவ்வொரு வீரரும் எதிராளியின் எதிர் இலக்கை அடைய முயல்கிறார்கள் என்ற நியாயமான அனுமானத்திலிருந்து இந்தக் கொள்கை பின்பற்றப்படுகிறது. பிரச்சனை 12.1 இல் விளையாட்டின் குறைந்த மற்றும் மேல் விலை மற்றும் தொடர்புடைய உத்திகளை நிர்ணயிப்போம். பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள்

பிரச்சனை 12.1 இலிருந்து. மூலோபாயம் A, (மேட்ரிக்ஸின் முதல் வரிசை) தேர்ந்தெடுக்கும் போது, ​​குறைந்தபட்ச ஊதியம் a, =min(-l; 1) = -1 க்கு சமம் மற்றும் பிளேயரின் உத்தி β1 உடன் ஒத்துள்ளது INஒரு மூலோபாயத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது எல் 2 (மேட்ரிக்ஸின் இரண்டாவது வரிசை) குறைந்தபட்ச ஊதியம் ஆனால் 2 = நிமிடம்(எல்; -1) = -1, இது உத்தி மூலம் அடையப்படுகிறது IN.,.

உங்களுக்கு உத்திரவாதம் அதிகபட்ச வெற்றிவீரரின் எந்த மூலோபாயத்திற்கும் IN, அதாவது விளையாட்டின் குறைந்த விலை a = அதிகபட்சம்(a, a2) = max(-l; -1) = -1, வீரர் ஆனால்எந்த உத்தியையும் தேர்வு செய்யலாம்: Aj அல்லது ஆனால் 2, அதாவது அவரது உத்திகளில் ஏதேனும் அதிகபட்சம்.

உத்தி B, (நெடுவரிசை 1) தேர்வு, பிளேயர் INஎன்பதை வீரர் புரிந்து கொள்கிறார் ஆனால்ஒரு உத்தியுடன் பதிலளிப்பார் ஆனால் 2 உங்கள் ஆதாயத்தை அதிகரிக்க (இழப்பு IN).எனவே, வீரரின் அதிகபட்ச இழப்பு INஅவர் மூலோபாயம் B ஐத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​β, = அதிகபட்சம்(-1; 1) = 1க்கு சமம்.

இதேபோல், பி பிளேயரின் அதிகபட்ச இழப்பு (ஆதாயம் ஆனால்) அவர் உத்தியை தேர்ந்தெடுக்கும்போது B2 (நெடுவரிசை 2) என்பது β2 = max(l; -1) = 1 க்கு சமம்.

எனவே, வீரரின் எந்த மூலோபாயத்திற்கும் ஆனால்வீரர் B இன் உத்தரவாதமான குறைந்தபட்ச இழப்பு β = πιίη(β1, β2) = நிமிடம்(l; 1) = 1-க்கு சமம்- விளையாட்டின் மேல் விலை.

பிளேயர் B இன் எந்த உத்தியும் மினிமேக்ஸ் ஆகும். அட்டவணையைச் சேர்ப்பதன் மூலம். 12.1 வரி β; மற்றும் நெடுவரிசை a;, நாங்கள் அட்டவணையைப் பெறுகிறோம். 12.2 கூடுதல் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் சந்திப்பில், கேம்களின் மேல் மற்றும் குறைந்த விலைகளை பதிவு செய்வோம்.

அட்டவணை 12.2

மேலே உள்ள சிக்கல் 12.1 இல், விளையாட்டின் மேல் மற்றும் குறைந்த செலவுகள் வேறுபட்டவை: ஒரு எஃப் β.

விளையாட்டின் மேல் மற்றும் குறைந்த விலைகள் ஒரே மாதிரியாக இருந்தால் பொதுவான பொருள்மேல் மற்றும் குறைந்த விலைவிளையாட்டு α = β = υ அழைக்கப்படுகிறது விளையாட்டின் நிகர விலை,அல்லது விளையாட்டின் விலை.விளையாட்டின் விலையுடன் தொடர்புடைய மினிமேக்ஸ் உத்திகள் உகந்த உத்திகள்மற்றும் அவற்றின் முழுமை உகந்த தீர்வுஅல்லது முடிவுவிளையாட்டுகள். இந்த வழக்கில் வீரர் ஆனால்அதிகபட்ச உத்தரவாதத்தைப் பெறுகிறது (வீரரின் நடத்தையிலிருந்து சுயாதீனமாக) IN)ஊதியம் υ, மற்றும் வீரர் INகுறைந்தபட்ச உத்தரவாதத்தை அடைகிறது (பிளேயர் L இன் நடத்தையைப் பொருட்படுத்தாமல்) இழப்பு υ. விளையாட்டிற்கு தீர்வு இருப்பதாக கூறப்படுகிறது ஸ்திரத்தன்மை,அந்த. வீரர்களில் ஒருவர் தனது உகந்த மூலோபாயத்தில் ஒட்டிக்கொண்டால், மற்றவர் தனது உகந்த உத்தியிலிருந்து விலகுவது சாதகமாக இருக்காது.

ஜோடி தூய உத்திகள் ஆனால்.மற்றும் B. அதனுடன் தொடர்புடைய உறுப்பு r அதன் நெடுவரிசையில் பெரியதாகவும் அதன் வரிசையில் சிறியதாகவும் இருந்தால் மட்டுமே விளையாட்டிற்கு உகந்த தீர்வை வழங்குகிறது. அத்தகைய சூழ்நிலை, அது இருந்தால், அழைக்கப்படுகிறது சேணம் புள்ளி(ஒரு சேணத்தின் மேற்பரப்பைப் போன்றது, இது ஒரு திசையில் மேலேயும் மற்றொன்று கீழேயும் வளைகிறது).

குறிக்கவும் ஆனால்*மற்றும் IN*ஒரு ஜோடி தூய உத்திகள், அதில் ஒரு சேணம் புள்ளியுடன் சிக்கலில் விளையாட்டின் தீர்வு அடையப்படுகிறது. ஒவ்வொரு ஜோடி உத்திகளிலும் முதல் வீரரின் பேஆஃப் செயல்பாட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்: பி(ஏ:, IN-) = மற்றும் மணிக்கு. சேணம் புள்ளியில் உகந்த நிலை இரட்டை சமத்துவமின்மையை பூர்த்தி செய்கிறது: பி(ஏஜ், பி*)<Р(А*, В*)<Р(А", В ), இது அனைவருக்கும் உண்மை நான் = 1, 2, ..., m;j = 1, 2, ..., பி.உண்மையில், மூலோபாயத்தின் தேர்வு ஆனால்* உகந்த மூலோபாயத்தின் கீழ் முதல் வீரர் IN"இரண்டாவது வீரர் குறைந்தபட்ச சாத்தியமான ஊதியத்தை அதிகரிக்கிறார்: பி(ஏ*, பி")> பி(ஏஜி IN"),மற்றும் மூலோபாயத்தின் தேர்வு பி"இரண்டாவது வீரர், முதல்வரின் உகந்த உத்தியுடன், அதிகபட்ச இழப்பைக் குறைக்கிறார்: P(D , IN*)<Р(А", В).

12.2 பேஆஃப் மேட்ரிக்ஸால் வழங்கப்பட்ட விளையாட்டின் குறைந்த மற்றும் மேல் விலையைத் தீர்மானிக்கவும்

விளையாட்டுக்கு சேணம் புள்ளி உள்ளதா?

அட்டவணை 12 3

தீர்வு.அனைத்து கணக்கீடுகளும் ஒரு அட்டவணையில் வசதியாக மேற்கொள்ளப்படுகின்றன, அதில் மேட்ரிக்ஸுடன் கூடுதலாக ஆர்,நுழைந்த நெடுவரிசை a; மற்றும் வரி)