தூய மற்றும் கலந்த உத்திகள். தூய மூலோபாய விளையாட்டுகள்

நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்த வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டுகளில், சேணம் புள்ளியுடன் கூடிய விளையாட்டுகள் ஒப்பீட்டளவில் அரிதானவை; மிகவும் பொதுவான வழக்கு "குறைந்த மற்றும் மேல் விலைகள் வேறுபட்டால். அத்தகைய விளையாட்டுகளின் மெட்ரிக்ஸை ஆராய்ந்து, ஒவ்வொரு வீரருக்கும் ஒரு தேர்வு வழங்கப்பட்டால், நாங்கள் ஒரு முடிவுக்கு வந்தோம்

ஒன்று - ஒரே உத்தி., நியாயமான முறையில் செயல்படும் எதிரியை எண்ணி, இந்த தேர்வு மினிமேக்ஸ் கொள்கையால் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும். எங்கள் அதிகபட்ச மூலோபாயத்தை கடைப்பிடிப்பது, எதிராளியின் எந்தவொரு நடத்தைக்கும், விளையாட்டின் குறைந்த விலைக்கு சமமான வெற்றியை நாங்கள் நிச்சயமாக உறுதிப்படுத்துகிறோம். ஒரு இயற்கையான கேள்வி எழுகிறது: நீங்கள் ஒரு "தூய்மையான" மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தாமல், மாற்றாக பயன்படுத்தினால், ஒரு சராசரி ஆதாயத்தை, அதை விட அதிகமாக உத்தரவாதம் அளிக்க முடியுமா? தோராயமாக பல உத்திகள்?

ஒரு குறிப்பிட்ட அதிர்வெண் விகிதத்துடன் ஒரு சீரற்ற சட்டத்தின்படி மாறி மாறி பல தூய உத்திகளைப் பயன்படுத்துவதில் இத்தகைய ஒருங்கிணைந்த உத்திகள் விளையாட்டுக் கோட்பாட்டில் கலப்பு உத்திகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

வெளிப்படையாக, ஒவ்வொரு தூய மூலோபாயமும் ஒரு கலவையான ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், இதில் ஒன்றைத் தவிர அனைத்து உத்திகளும் பூஜ்ஜிய அதிர்வெண்களுடன் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் இது - 1 அதிர்வெண்ணுடன்.

தூய்மையானது மட்டுமல்லாமல், பயன்படுத்துவதும் மாறிவிடும் கலப்பு உத்திகள், ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டுக்கும் ஒரு தீர்வைப் பெற முடியும், அதாவது, இரு வீரர்களும் அவற்றைப் பயன்படுத்தும்போது, \u200b\u200bசெலுத்துதல் விளையாட்டு விலைக்கு சமமாக இருக்கும், மற்றும் எந்த ஒருதலைப்பட்ச விலகலுக்கும் இதுபோன்ற ஒரு (பொதுவாக கலப்பு) உத்திகள். உகந்த மூலோபாயம், ஊதியம் மட்டுமே மாறக்கூடும், மாறுபட்டவர்களுக்கு பாதகமானது.

மேலேயுள்ள அறிக்கை விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் முக்கிய தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுபவற்றின் உள்ளடக்கத்தை உருவாக்குகிறது. இந்த தேற்றம் முதன்முதலில் வான் நியூமனால் 1928 இல் நிரூபிக்கப்பட்டது. தேற்றத்தின் அறியப்பட்ட சான்றுகள் ஒப்பீட்டளவில் சிக்கலானவை; எனவே, அதன் சூத்திரத்தை மட்டுமே நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்.

ஒவ்வொரு இறுதி விளையாட்டிலும் குறைந்தது ஒரு தீர்வு உள்ளது (ஒருவேளை கலப்பு உத்திகளின் பகுதியில்).

ஒரு முடிவின் விளைவாக கிடைக்கும் ஆதாயம் விளையாட்டின் செலவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. முக்கிய தேற்றம் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டுக்கும் ஒரு விலை இருப்பதைக் குறிக்கிறது. வெளிப்படையாக, விளையாட்டின் விலை எப்போதும் விளையாட்டின் குறைந்த விலை மற்றும் விளையாட்டின் மேல் விலைக்கு இடையில் உள்ளது:

உண்மையில், நம்முடைய தூய்மையான உத்திகளை மட்டுமே பயன்படுத்தி நமக்கு வழங்கக்கூடிய அதிகபட்ச உத்தரவாத வெற்றிகள் உள்ளன. கலப்பு உத்திகள் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக இருப்பதால், எல்லா தூய்மையானவைகளும், பின்னர், தூய்மையானவற்றுடன் கூடுதலாக, கலவையும் அனுமதிக்கின்றன

உத்திகள், நாங்கள் எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், எங்கள் திறன்களை மோசமாக்குவதில்லை; இதன் விளைவாக,

இதேபோல், எதிராளியின் திறன்களைக் கருத்தில் கொண்டு, அதைக் காண்பிப்போம்

நிரூபிக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மை (3.1) பின்வருமாறு.

கலப்பு உத்திகளுக்கு ஒரு சிறப்பு குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம். எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் கலப்பு மூலோபாயம் AL உத்திகளைப் பயன்படுத்துவதில் இருந்தால், அதிர்வெண்களுடன் இந்த மூலோபாயத்தைக் குறிப்போம்

இதேபோல், எதிரியின் கலப்பு மூலோபாயம் பின்வருமாறு குறிக்கப்படும்:

உத்திகள் கலந்த அதிர்வெண்கள் எங்கே

எஸ், எஸ் என்ற இரண்டு உகந்த கலப்பு உத்திகளைக் கொண்ட விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடித்தோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பொதுவாக, கொடுக்கப்பட்ட வீரருக்கு கிடைக்கக்கூடிய அனைத்து தூய உத்திகளும் அவரது உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தில் சேர்க்கப்படவில்லை, ஆனால் சில மட்டுமே. வீரரின் உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள உத்திகளை அவரது "பயனுள்ள" உத்திகள் என்று அழைப்போம்.

விளையாட்டுக்கான தீர்வு இன்னும் ஒன்றைக் கொண்டுள்ளது என்று மாறிவிடும் அற்புதமான சொத்து: வீரர்களில் ஒருவர் தனது உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தை பின்பற்றினால் 5 (5). பின்னர் செலுத்துதல் மாறாமல் இருக்கும் மற்றும் விளையாட்டின் விலைக்கு சமமாக இருக்கும், மற்ற வீரர் என்ன செய்தாலும், அவர் இருந்தால். அவர்களின் "பயனுள்ள" உத்திகளைத் தாண்டாது. உதாரணமாக, அவர் தனது "பயனுள்ள" உத்திகள் எதையும் தூய்மையான வடிவத்தில் பயன்படுத்தலாம், மேலும் அவற்றை எந்த விகிதத்திலும் கலக்க முடியும்.

இந்த அறிக்கையை நிரூபிப்போம். விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வு இருக்கட்டும். குறிப்பாக, உகந்த கலப்பு மூலோபாயம் மூன்று கலவையைக் கொண்டுள்ளது என்று கருதுவோம்

"பயனுள்ள" உத்திகள் முறையே மூன்று "பயனுள்ள" உத்திகளின் கலவையைக் கொண்டுள்ளது

மேலும், நாங்கள் S மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், எதிரி எந்த விகிதாச்சாரத்திலும் உத்திகளைப் பயன்படுத்தலாம், மேலும் ஆதாயம் மாறாமல் இருக்கும், மேலும் அது விளையாட்டின் விலைக்கு சமமாக இருக்கும்

நான் இயற்பியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப பீடத்தில் பட்டம் பெற்றிருந்தாலும், பல்கலைக்கழகத்தில் எனக்கு விளையாட்டுக் கோட்பாடு கற்பிக்கப்படவில்லை. ஆனால் நான் உள்ளே இருப்பதால் மாணவர் ஆண்டுகள் நான் நிறைய விளையாடினேன், முதலில் விருப்பத்தேர்வில், பின்னர் பாலத்தில், விளையாட்டுக் கோட்பாடு எனக்கு ஆர்வமாக இருந்தது, நான் ஒரு சிறிய பாடப்புத்தகத்தில் தேர்ச்சி பெற்றேன். அண்மையில் மிகைல் தளத்தின் வாசகர் விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் சிக்கலைத் தீர்த்துள்ளார். பணி எனக்கு நேராக வழங்கப்படவில்லை என்பதை உணர்ந்து, விளையாட்டுக் கோட்பாடு குறித்த எனது அறிவை என் நினைவில் புதுப்பிக்க முடிவு செய்தேன். நான் உங்களுக்கு ஒரு சிறிய புத்தகத்தை முன்வைக்கிறேன் - விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் கூறுகளின் பிரபலமான வெளிப்பாடு மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் விளையாட்டுகளைத் தீர்க்க சில முறைகள். இது கிட்டத்தட்ட எந்த ஆதாரத்தையும் கொண்டிருக்கவில்லை மற்றும் கோட்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகளை எடுத்துக்காட்டுகளுடன் விளக்குகிறது. இந்த புத்தகத்தை கணிதவியலாளரும் அறிவியலின் பிரபலப்படுத்தியவருமான எலெனா செர்ஜீவ்னா வென்ட்ஸல் எழுதியுள்ளார். சோவியத் பொறியியலாளர்களின் பல தலைமுறைகள் அவரது பாடநூல் "நிகழ்தகவு கோட்பாடு" இலிருந்து படித்தன. எலெனா செர்கீவ்னாவும் பலவற்றை எழுதினார் இலக்கிய படைப்புகள் I. கிரேக்கோவ் என்ற புனைப்பெயரில்.

எலெனா வென்ட்ஸல். விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் கூறுகள். - எம் .: பிஸ்மாட்கிஸ், 1961 .-- 68 பக்.

பதிவிறக்க Tamil குறுகிய சுருக்கம் வடிவத்தில் அல்லது

§ 1. விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் பொருள். அடிப்படை கருத்துக்கள்

பல நடைமுறை சிக்கல்களை (பொருளாதாரம், இராணுவ விவகாரங்கள் போன்றவற்றில்) தீர்க்கும்போது, \u200b\u200bஇரண்டு (அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட) போரிடும் கட்சிகள் எதிர் குறிக்கோள்களைப் பின்தொடரும் சூழ்நிலைகளையும், ஒவ்வொன்றின் ஒவ்வொரு நிகழ்வின் முடிவுகளையும் பகுப்பாய்வு செய்வது அவசியம். கட்சிகள் எதிரி எந்த நடவடிக்கையை தேர்ந்தெடுப்பார் என்பதைப் பொறுத்தது. இதுபோன்ற சூழ்நிலைகளை "மோதல் சூழ்நிலைகள்" என்று அழைப்போம்.

நடைமுறையின் பல்வேறு பகுதிகளிலிருந்து மோதல் சூழ்நிலைகளுக்கு ஏராளமான எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன. விரோதப் போக்கில் எழும் எந்தவொரு சூழ்நிலையும் மோதல் சூழ்நிலைகளுக்கு சொந்தமானது: எதிரி வெற்றியை அடைவதைத் தடுப்பதற்காக ஒவ்வொரு சண்டைக் கட்சிகளும் அதற்குக் கிடைக்கும் அனைத்து நடவடிக்கைகளையும் எடுக்கின்றன. மோதல் சூழ்நிலைகளில் ஒரு ஆயுத அமைப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது ஏற்படும் சூழ்நிலைகள், அதன் போர் பயன்பாட்டின் முறைகள் மற்றும் பொதுவாக, இராணுவ நடவடிக்கைகளைத் திட்டமிடும்போது ஏற்படும் சூழ்நிலைகள் ஆகியவை அடங்கும்: இந்த பகுதியில் உள்ள ஒவ்வொரு முடிவுகளும் எதிரிகளின் செயல்களைக் கருத்தில் கொண்டு எடுக்கப்பட வேண்டும். எங்களுக்கு. பொருளாதாரத் துறையில் பல சூழ்நிலைகள் (குறிப்பாக இலவச போட்டியின் முன்னிலையில்) மோதல் சூழ்நிலைகளைச் சேர்ந்தவை; வர்த்தக நிறுவனங்கள் சண்டைக் கட்சிகளாக செயல்படுகின்றன, தொழில்துறை நிறுவனங்கள் முதலியன

இத்தகைய சூழ்நிலைகளை பகுப்பாய்வு செய்ய வேண்டிய அவசியம் ஒரு சிறப்பு கணித எந்திரத்திற்கு வழிவகுத்தது. விளையாட்டுக் கோட்பாடு அடிப்படையில் மோதல் சூழ்நிலைகளின் கணிதக் கோட்பாட்டைத் தவிர வேறில்லை. ஒரு மோதல் சூழ்நிலையின் போது ஒவ்வொரு எதிரிகளுக்கும் ஒரு பகுத்தறிவு நடவடிக்கைக்கான பரிந்துரைகளை உருவாக்குவதே கோட்பாட்டின் குறிக்கோள். நடைமுறையில் இருந்து நேரடியாக எடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு மோதல் சூழ்நிலையும் மிகவும் சிக்கலானது, மேலும் அதன் பகுப்பாய்வு ஏராளமான உதவியாளர் காரணிகளால் இருப்பதால் தடைபடுகிறது. சூழ்நிலையின் கணித பகுப்பாய்வை சாத்தியமாக்குவதற்கு, இரண்டாம் நிலை, தற்செயலான காரணிகளிலிருந்து விலகி, நிலைமையின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட, முறைப்படுத்தப்பட்ட மாதிரியை உருவாக்குவது அவசியம். இந்த மாதிரியை "விளையாட்டு" என்று அழைப்போம்.

விளையாட்டு ஒரு உண்மையான மோதல் சூழ்நிலையிலிருந்து வேறுபடுகிறது, அது நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட விதிகளின்படி நடத்தப்படுகிறது. மோதல் சூழ்நிலைகளின் முறைப்படுத்தப்பட்ட மாதிரிகளை மனிதநேயம் நீண்ட காலமாகப் பயன்படுத்துகிறது, அவை இந்த வார்த்தையின் நேரடி அர்த்தத்தில் விளையாட்டுகள். எடுத்துக்காட்டுகளில் சதுரங்கம், செக்கர்ஸ், அட்டை விளையாட்டு போன்றவை அடங்கும். இந்த விளையாட்டுகள் அனைத்தும் நன்கு அறியப்பட்ட விதிகளின்படி தொடரும் ஒரு போட்டியின் தன்மையைக் கொண்டுள்ளன மற்றும் ஒன்று அல்லது மற்றொரு வீரரின் “வெற்றி” (ஆதாயம்) உடன் முடிவடையும்.

இத்தகைய முறையாக ஒழுங்குபடுத்தப்பட்ட, செயற்கையாக ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட விளையாட்டுகள் மிகவும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகின்றன பொருத்தமான பொருள் விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கருத்துக்களை விளக்குவதற்கும் மாஸ்டர் செய்வதற்கும். இத்தகைய விளையாட்டுகளின் நடைமுறையிலிருந்து கடன் பெறப்பட்ட சொற்கள் பிற மோதல் சூழ்நிலைகளின் பகுப்பாய்விலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: அவற்றில் பங்கேற்கும் கட்சிகள் வழக்கமாக "வீரர்கள்" என்று குறிப்பிடப்படுகின்றன, மேலும் மோதலின் விளைவாக ஒரு கட்சியின் "வெற்றி" .

விளையாட்டில், இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட எதிரிகளின் நலன்கள் மோதுகின்றன; முதல் வழக்கில், விளையாட்டு "இரட்டையர்" என்று அழைக்கப்படுகிறது, இரண்டாவது - "பல". பல விளையாட்டில் பங்கேற்பாளர்கள் அதன் போக்கில் கூட்டணிகளை உருவாக்கலாம் - நிரந்தர அல்லது தற்காலிக. இரண்டு நிரந்தர கூட்டணிகளின் முன்னிலையில், பல விளையாட்டு ஒரு ஜோடியாக மாறும். ஜோடி விளையாட்டுகள் மிகப் பெரிய நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை; இங்கே இதுபோன்ற விளையாட்டுகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம்.

ஆரம்ப விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் விளக்கக்காட்சியை சில அடிப்படைக் கருத்துக்களை உருவாக்குவதன் மூலம் தொடங்குகிறோம். இரட்டையர் விளையாட்டை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம், இதில் A மற்றும் B ஆகிய இரு வீரர்கள் எதிர் நலன்களைக் கொண்டுள்ளனர். "விளையாட்டு" என்பதன் மூலம், ஏ மற்றும் பி பக்கங்களின் தொடர்ச்சியான செயல்களைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வைக் குறிக்கிறோம். விளையாட்டு கணித பகுப்பாய்விற்கு உட்படுத்தப்படுவதற்கு, விளையாட்டின் விதிகள் துல்லியமாக வடிவமைக்கப்பட வேண்டும். "விளையாட்டின் விதிகள்" என்பதன் மூலம், இரு தரப்பினரின் செயல்களுக்கான சாத்தியமான விருப்பங்களை ஒழுங்குபடுத்தும் நிலைமைகளின் அமைப்பு, ஒவ்வொரு பக்கமும் மற்றவரின் நடத்தை, மாற்று "நகர்வுகளின்" வரிசை (தனிப்பட்ட முடிவுகள் விளையாட்டின் போது), அத்துடன் கொடுக்கப்பட்ட நகர்வுகளின் விளையாட்டின் முடிவு அல்லது முடிவு. இந்த முடிவு (ஆதாயம் அல்லது இழப்பு) எப்போதும் அளவு அல்ல, ஆனால் வழக்கமாக ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான அளவீட்டை அமைப்பதன் மூலம், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையால் அதை வெளிப்படுத்த முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சதுரங்க விளையாட்டில், ஆதாயத்தை வழக்கமாக +1, இழப்பு –1, 0 என்ற மதிப்பை ஒதுக்கலாம்.

ஒரு வீரர் மற்றதை இழந்ததை வென்றால் ஒரு விளையாட்டு பூஜ்ஜிய தொகை விளையாட்டு என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதாவது. இரு கட்சிகளின் வெற்றிகளின் தொகை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். பூஜ்ஜிய தொகை விளையாட்டில், வீரர்களின் நலன்கள் அதற்கு நேர்மாறானவை. இங்கே இதுபோன்ற விளையாட்டுகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்வோம்.

பூஜ்ஜிய தொகை விளையாட்டில், ஒரு வீரரின் ஊதியம் மற்றவரின் செலுத்துதலுடன் சமம் எதிர் அடையாளம், பின்னர், வெளிப்படையாக, அத்தகைய விளையாட்டை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது, \u200b\u200bஒரு வீரரின் ஊதியத்தை ஒருவர் பரிசீலிக்க முடியும். உதாரணமாக, பிளேயர் ஏ ஆக இருக்கட்டும். பின்வருவனவற்றில், வசதிக்காக, நாங்கள் வழக்கமாக பக்கத்தை “நாங்கள்” என்றும், பக்க பி - “எதிரி” என்றும் அழைப்போம்.

இந்த வழக்கில், பக்க A (“நாங்கள்”) எப்போதும் “வெற்றி” என்றும், பக்க B (“எதிர்ப்பாளர்”) “தோல்வி” என்றும் கருதப்படும். இந்த முறையான நிபந்தனை முதல் வீரருக்கு எந்த உண்மையான நன்மையையும் குறிக்கவில்லை; வென்ற அடையாளம் தலைகீழாக இருந்தால் அது எதிர்மாறாக மாற்றப்படுவதைக் காண்பது எளிது.

தொடர்ச்சியான கட்டங்கள் அல்லது "நகர்வுகள்" கொண்டதாக விளையாட்டின் வளர்ச்சியை நாம் கற்பனை செய்வோம். விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் நகர்வு என்பது விளையாட்டின் விதிகளால் வழங்கப்பட்ட விருப்பங்களில் ஒன்றின் தேர்வாகும். நகர்வுகள் தனிப்பட்ட மற்றும் சீரற்றதாக பிரிக்கப்படுகின்றன. ஒரு தனிப்பட்ட நடவடிக்கை என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையில் சாத்தியமான நகர்வுகள் மற்றும் அதை செயல்படுத்துவதில் ஒரு வீரரின் நனவான தேர்வாகும். தனிப்பட்ட நகர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு சதுரங்க விளையாட்டில் எந்த நடவடிக்கையும். அடுத்த நகர்வைச் செய்வதன் மூலம், குழுவில் உள்ள துண்டுகள் ஒரு குறிப்பிட்ட ஏற்பாட்டிற்கு சாத்தியமான விருப்பங்களில் ஒன்றை வீரர் உணர்வுபூர்வமாக தேர்வு செய்கிறார். ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட நகர்வுக்கும் சாத்தியமான விருப்பங்களின் தொகுப்பு விளையாட்டின் விதிகளால் கட்டுப்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் இரு தரப்பினரின் முந்தைய நகர்வுகளின் முழுமையைப் பொறுத்தது.

ஒரு சீரற்ற நடவடிக்கை என்பது பல சாத்தியக்கூறுகளிலிருந்து ஒரு தேர்வாகும், இது வீரரின் முடிவால் அல்ல, ஆனால் சீரற்ற தேர்வின் சில பொறிமுறையால் (ஒரு நாணயம், ஒரு பகடை, கலக்கு மற்றும் கையாளுதல் அட்டைகள் போன்றவை) மேற்கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, விருப்பமான வீரர்களில் ஒருவருக்கு முதல் அட்டையை வழங்குவது 32 சமமான சாத்தியமான விருப்பங்களைக் கொண்ட ஒரு சீரற்ற நடவடிக்கை. விளையாட்டு கணித ரீதியாக வரையறுக்கப்படுவதற்கு, விளையாட்டின் விதிகள் ஒவ்வொரு சீரற்ற நகர்வுக்கும் சாத்தியமான விளைவுகளின் நிகழ்தகவு விநியோகத்தைக் குறிக்க வேண்டும்.

சில விளையாட்டுகளில் சீரற்ற நகர்வுகள் (முற்றிலும் சூதாட்டம் என்று அழைக்கப்படுபவை) அல்லது தனிப்பட்ட நகர்வுகள் (சதுரங்கம், செக்கர்ஸ்) மட்டுமே இருக்க முடியும். பெரும்பாலானவை சீட்டாட்டம் விளையாட்டுகளுக்கு சொந்தமானது கலப்பு வகை, அதாவது. சீரற்ற மற்றும் தனிப்பட்ட நகர்வுகள் இரண்டையும் கொண்டுள்ளது.

விளையாட்டுகள் அவற்றின் நகர்வுகளின் தன்மையால் (தனிப்பட்ட, சீரற்ற) மட்டுமல்லாமல், மற்ற வீரர்களின் செயல்கள் குறித்து ஒவ்வொரு வீரருக்கும் கிடைக்கும் தகவல்களின் தன்மை மற்றும் அளவு ஆகியவற்றால் வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. ஒரு சிறப்பு வகுப்பு விளையாட்டுகள் "விளையாட்டுகளுடன்" என்று அழைக்கப்படுகின்றன முழுமையான தகவல்". முழுமையான தகவல்களைக் கொண்ட ஒரு விளையாட்டு, ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட நகர்விலும் ஒவ்வொரு வீரருக்கும் தனிப்பட்ட மற்றும் சீரற்ற அனைத்து முந்தைய நகர்வுகளின் முடிவுகளையும் தெரியும். முழுமையான தகவல்களைக் கொண்ட விளையாட்டுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளில் சதுரங்கம், செக்கர்ஸ் மற்றும் "ந ots ட்ஸ் மற்றும் சிலுவைகள்" என்ற பிரபலமான விளையாட்டு ஆகியவை அடங்கும்.

நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்த பெரும்பாலான விளையாட்டுகள் முழுமையான தகவல்களைக் கொண்ட விளையாட்டுகளின் வகுப்பைச் சேர்ந்தவை அல்ல, ஏனெனில் எதிரியின் செயல்களைப் பற்றிய நிச்சயமற்ற தன்மை பொதுவாக மோதல் சூழ்நிலைகளின் ஒரு முக்கிய அங்கமாகும்.

விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கருத்துகளில் ஒன்று "மூலோபாயம்" என்ற கருத்து. ஒரு வீரரின் மூலோபாயம் என்பது விதிகளின் தொகுப்பாகும், இது விளையாட்டின் போது உருவாகியுள்ள சூழ்நிலையைப் பொறுத்து கொடுக்கப்பட்ட வீரரின் ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட நகர்வுக்கான தேர்வை தனித்துவமாக தீர்மானிக்கிறது. வழக்கமாக, ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட நகர்வுக்கான முடிவும் (தேர்வு) விளையாட்டின் போது வீரரால் செய்யப்படுகிறது, இது வளர்ந்த குறிப்பிட்ட சூழ்நிலையைப் பொறுத்து. இருப்பினும், கோட்பாட்டளவில், இந்த முடிவுகள் அனைத்தும் வீரரால் முன்கூட்டியே எடுக்கப்படுகின்றன என்று நாம் கற்பனை செய்தால் விஷயங்கள் மாறாது. இதைச் செய்ய, வீரர் விளையாட்டின் போது சாத்தியமான அனைத்து சூழ்நிலைகளின் பட்டியலையும் முன்கூட்டியே தொகுத்து, அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் தனது சொந்த தீர்வை வழங்க வேண்டும். கொள்கையளவில் (நடைமுறையில் இல்லையென்றால்) எந்த விளையாட்டுக்கும் இது சாத்தியமாகும். அத்தகைய முடிவு முறை பின்பற்றப்பட்டால், வீரர் ஒரு குறிப்பிட்ட மூலோபாயத்தைத் தேர்ந்தெடுத்துள்ளார் என்று அர்த்தம்.

ஒரு மூலோபாயத்தைத் தேர்ந்தெடுத்த ஒரு வீரர் இப்போது விளையாட்டில் தனிப்பட்ட முறையில் பங்கேற்க முடியாது, ஆனால் ஆர்வமற்ற நபர் (நீதிபதி) அவருக்கு விண்ணப்பிக்கும் விதிகளின் பட்டியலுடன் அவரது பங்கேற்பை மாற்றவும். மூலோபாயம் ஒரு குறிப்பிட்ட நிரலின் வடிவத்தில் ஆட்டோமேட்டனுக்கும் கொடுக்கப்படலாம். இன்று கணினிகள் இப்படித்தான் சதுரங்கம் விளையாடுகின்றன. "மூலோபாயம்" என்ற கருத்தை உணர, விளையாட்டில் தனிப்பட்ட நகர்வுகள் இருக்க வேண்டும்; சீரற்ற நகர்வுகளை மட்டுமே கொண்ட விளையாட்டுகளில், எந்த உத்திகளும் இல்லை.

சாத்தியமான உத்திகளின் எண்ணிக்கையைப் பொறுத்து, விளையாட்டுகள் "வரையறுக்கப்பட்டவை" மற்றும் "முடிவற்றவை" என்று பிரிக்கப்படுகின்றன. ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டு என்பது ஒவ்வொரு வீரருக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான உத்திகளைக் கொண்ட ஒரு விளையாட்டு. A வீரர் கொண்ட இறுதி ஆட்டம் மீ உத்திகள் மற்றும் வீரர் பி - n உத்திகள் mxn விளையாட்டு என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

A மற்றும் B (“நாங்கள்” மற்றும் “எதிர்ப்பாளர்”) என்ற இரண்டு வீரர்களின் mxn விளையாட்டைக் கவனியுங்கள். எங்கள் உத்திகள் A 1, A 2,…, A m எதிரியின் உத்திகள் B 1, B 2,…, B n. ஒவ்வொரு பக்கமும் ஒரு குறிப்பிட்ட மூலோபாயத்தைத் தேர்வுசெய்யட்டும்; எங்களுக்கு அது A i ஆக இருக்கும், எதிரிக்கு B j. விளையாட்டு தனிப்பட்ட நகர்வுகளை மட்டுமே கொண்டிருந்தால், A i, B j உத்திகளின் தேர்வு விளையாட்டின் முடிவை தனித்துவமாக தீர்மானிக்கிறது - எங்கள் வெற்றிகள். இதை ஒரு ஐ.ஜே எனக் குறிப்பிடுவோம். தனிப்பட்ட, சீரற்ற நகர்வுகளுக்கு மேலதிகமாக, விளையாட்டு இருந்தால், ஒரு ஜோடி உத்திகளுக்கான ஊதியம் A i, B j என்பது அனைத்து சீரற்ற நகர்வுகளின் விளைவுகளையும் பொறுத்து ஒரு சீரற்ற மதிப்பு. இந்த வழக்கில், எதிர்பார்க்கப்படும் ஊதியத்தின் இயல்பான மதிப்பீடு அதன் சராசரி மதிப்பு ( எதிர்பார்க்கப்பட்ட மதிப்பு). ஒரே அடையாளத்தின் மூலம் செலுத்துதல் (சீரற்ற நகர்வுகள் இல்லாத விளையாட்டில்) மற்றும் அதன் சராசரி மதிப்பு (சீரற்ற நகர்வுகள் கொண்ட ஒரு விளையாட்டில்) இரண்டையும் குறிப்போம்.

ஒவ்வொரு ஜோடி உத்திகளுக்கும் ஒரு ij செலுத்துதல் (அல்லது சராசரி செலுத்துதல்) மதிப்புகளை எங்களுக்குத் தெரியப்படுத்துங்கள். மதிப்புகள் ஒரு செவ்வக அட்டவணை (மேட்ரிக்ஸ்) வடிவத்தில் எழுதப்படலாம், அவற்றின் வரிசைகள் எங்கள் உத்திகளுக்கு (A i) ஒத்திருக்கும், மற்றும் நெடுவரிசைகள் எதிரியின் உத்திகளுக்கு (B j) ஒத்திருக்கும். அத்தகைய அட்டவணை செலுத்துதல் அணி அல்லது வெறுமனே விளையாட்டு அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது. விளையாட்டு அணி mxn படம் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒன்று.

படம். 1. மேட்ரிக்ஸ் mxn

சுருக்கமாக நாம் விளையாட்டின் மேட்ரிக்ஸைக் குறிப்போம் den ij. விளையாட்டுகளின் சில அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஏ மற்றும் பி என்ற இரண்டு வீரர்கள், ஒருவரை ஒருவர் பார்க்காமல், ஒரு நாணயத்தை தலைகீழாக மேசை, சின்னம் அல்லது வால்கள் மீது வைக்கவும். வீரர்கள் ஒரே பக்கங்களைத் தேர்ந்தெடுத்திருந்தால் (இருவருக்கும் கோட் ஆப்ஸ் அல்லது இருவருக்கும் வால்கள் உள்ளன), பின்னர் பிளேயர் ஏ இரண்டு நாணயங்களையும் எடுத்துக்கொள்கிறார்; இல்லையெனில் அவை பிளேயர் பி ஆல் எடுக்கப்படுகின்றன. விளையாட்டை பகுப்பாய்வு செய்து அதன் மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவது அவசியம். முடிவு. விளையாட்டு இரண்டு நகர்வுகளை மட்டுமே கொண்டுள்ளது: எங்கள் நடவடிக்கை மற்றும் எதிரியின் நடவடிக்கை, இரண்டும் தனிப்பட்டவை. விளையாட்டு முழுமையான தகவல்களைக் கொண்ட விளையாட்டுகளுக்கு சொந்தமானது அல்ல, ஏனென்றால் திருப்பத்தின் தருணத்தில் அதைச் செய்யும் வீரர் மற்றவர் என்ன செய்தார் என்று தெரியவில்லை. ஒவ்வொரு வீரருக்கும் ஒரே ஒரு தனிப்பட்ட நடவடிக்கை மட்டுமே இருப்பதால், இந்த ஒற்றை தனிப்பட்ட நகர்வுடன் வீரரின் உத்தி ஒரு தேர்வாகும்.

எங்களிடம் இரண்டு உத்திகள் உள்ளன: A 1 - ஒரு கோட் ஆப் ஆயுதங்களையும், A 2 - வால்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கும்; எதிராளிக்கு ஒரே இரண்டு உத்திகள் உள்ளன: பி 1 - கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் மற்றும் பி 2 - வால்கள். எனவே, இந்த விளையாட்டு 2 × 2 விளையாட்டு. ஒரு நாணயத்தின் வெற்றிகளை +1 என்று கருதுவோம். விளையாட்டு மேட்ரிக்ஸ்:

இந்த விளையாட்டின் எடுத்துக்காட்டு மூலம், அடிப்படையானது, விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் சில அத்தியாவசிய யோசனைகளை நீங்கள் புரிந்து கொள்ளலாம். கொடுக்கப்பட்ட விளையாட்டு ஒரு முறை மட்டுமே செயல்படுத்தப்படுகிறது என்று முதலில் வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர், வெளிப்படையாக, மற்றவர்களை விட நியாயமான எந்த வீரர்களின் "உத்திகள்" பற்றி பேசுவதில் அர்த்தமில்லை. ஒரே காரணத்துடன் ஒவ்வொரு வீரர்களும் எந்த முடிவும் எடுக்க முடியும். இருப்பினும், விளையாட்டு மீண்டும் செய்யப்படும்போது, \u200b\u200bநிலைமை மாறுகிறது.

உண்மையில், நாம் (பிளேயர் ஏ) நமக்காக சில உத்திகளைத் தேர்ந்தெடுத்துள்ளோம் (சொல்லுங்கள், ஏ 1) மற்றும் அதனுடன் ஒட்டிக்கொள்கிறோம். பின்னர், முதல் சில நகர்வுகளின் முடிவுகளின்படி, எதிரி எங்கள் மூலோபாயத்தை யூகித்து, அதற்கு எங்களுக்கு மிகக் குறைந்த சாதகமான வழியில் பதிலளிப்பார், அதாவது. வால்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். எந்தவொரு மூலோபாயத்தையும் எப்போதும் பயன்படுத்துவது எங்களுக்கு லாபகரமானது; இழக்கும் பக்கத்தில் இருக்கக்கூடாது என்பதற்காக, நாம் சில நேரங்களில் கோட் ஆப் ஆயுதங்களைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும், சில நேரங்களில் - வால்கள். எவ்வாறாயினும், ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில் (எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்றிற்குப் பிறகு) நாங்கள் கோட்டுகள் மற்றும் வால்களை மாற்றினால், எதிரி இதைப் பற்றி யூகிக்கவும், இந்த மூலோபாயத்திற்கு எங்களுக்கு மோசமான வழியில் பதிலளிக்கவும் முடியும். வெளிப்படையாக, எதிரிக்கு எங்கள் மூலோபாயம் தெரியாது என்பதை உறுதி செய்வதற்கான ஒரு நம்பகமான வழி, ஒவ்வொரு அசைவிலும் தேர்வை ஒழுங்கமைப்பதே, அதை நாம் முன்கூட்டியே அறியாதபோது (இதை அடையலாம், எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நாணயத்தைத் தூக்கி எறிவதன் மூலம்). எனவே, உள்ளுணர்வு பகுத்தறிவின் மூலம் விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் இன்றியமையாத கருத்துக்களில் ஒன்று - "கலப்பு மூலோபாயம்" என்ற கருத்தாக்கத்திற்கு வருகிறோம், அதாவது. "தூய" உத்திகள் - இந்த விஷயத்தில் A 1 மற்றும் A 2 - சில அதிர்வெண்களுடன் தோராயமாக மாற்றுகின்றன. இந்த எடுத்துக்காட்டில், சமச்சீர் கருத்தில் இருந்து, A 1 மற்றும் A 2 உத்திகள் ஒரே அதிர்வெண்ணுடன் மாற்றப்பட வேண்டும் என்பது முன்கூட்டியே தெளிவாகிறது; மிகவும் சிக்கலான விளையாட்டுகளில், தீர்வு அற்பமானதல்ல.

எடுத்துக்காட்டு 2. ஏ மற்றும் பி பிளேயர்கள் ஒருவருக்கொருவர் ஒரே நேரத்தில் மற்றும் சுயாதீனமாக மூன்று எண்களில் ஒவ்வொன்றையும் எழுதுகிறார்கள்: 1, 2 அல்லது 3. எழுதப்பட்ட எண்களின் தொகை சமமாக இருந்தால், பி இந்த தொகையை ரூபிள்களில் செலுத்துகிறது; அது ஒற்றைப்படை என்றால், மாறாக, A இந்த தொகையை B க்கு செலுத்துகிறது. விளையாட்டை பகுப்பாய்வு செய்து அதன் மேட்ரிக்ஸை வரைய வேண்டும்.

முடிவு. விளையாட்டு இரண்டு நகர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது; இரண்டும் தனிப்பட்டவை. எங்களிடம் (அ) மூன்று உத்திகள் உள்ளன: ஒரு 1 - எழுது 1; மற்றும் 2 - எழுது 2; மற்றும் 3 - எழுது 3. எதிர்ப்பாளருக்கு (பி) ஒரே மூன்று உத்திகள் உள்ளன. விளையாட்டு 3 × 3 விளையாட்டு:

வெளிப்படையாக, முந்தைய விஷயத்தைப் போலவே, நாம் தேர்ந்தெடுக்கும் எந்தவொரு மூலோபாயத்திற்கும் எதிரி மிக மோசமான முறையில் பதிலளிக்க முடியும். உண்மையில், நாம் தேர்வு செய்தால், எடுத்துக்காட்டாக, மூலோபாயம் A1, எதிரி எப்போதும் மூலோபாயம் B2 உடன் பதிலளிப்பார்; மூலோபாயம் A 2 இல் - மூலோபாயம் B 3 மூலம்; மூலோபாயம் A 3 - மூலோபாயம் B 2 மூலம்; எனவே, ஒரு குறிப்பிட்ட மூலோபாயத்தின் எந்தவொரு தேர்வும் தவிர்க்க முடியாமல் நம்மை இழப்புக்கு இட்டுச் செல்லும் (இருப்பினும், எதிரி அதே துன்பகரமான சூழ்நிலையில் இருப்பதை மறந்துவிட வேண்டிய அவசியமில்லை). இந்த விளையாட்டின் தீர்வு (அதாவது, இரு வீரர்களின் மிகவும் சாதகமான உத்திகளின் தொகுப்பு) § 5 இல் வழங்கப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.எங்களிடம் மூன்று வகையான ஆயுதங்கள் உள்ளன: А 1, А 2, 3; எதிரிக்கு மூன்று வகையான விமானங்கள் உள்ளன: பி 1, பி 2, பி 3. எங்கள் பணி விமானத்தைத் தாக்குவது; எதிரியின் பணி அவரை பாதிக்காமல் வைத்திருப்பது. ஆயுதம் A 1 ஐப் பயன்படுத்தும் போது, \u200b\u200bவிமானம் B 1, B 2, B 3 முறையே தாக்கப்படுகின்றன, நிகழ்தகவுகள் 0.9, 0.4 மற்றும் 0.2; ஆயுதம் A 2 உடன் - 0.3, 0.6 மற்றும் 0.8 நிகழ்தகவுகளுடன்; ஒரு 3 ஆயுதங்களுடன் - 0.5, 0.7 மற்றும் 0.2 நிகழ்தகவுகளுடன். விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் அடிப்படையில் நிலைமையை வகுக்க வேண்டியது அவசியம்.

முடிவு. நிலைமையை இரண்டு தனிப்பட்ட நகர்வுகள் மற்றும் ஒரு சீரற்ற விளையாட்டுடன் 3 × 3 விளையாட்டு என்று கருதலாம். எங்கள் தனிப்பட்ட நடவடிக்கை ஆயுத வகை தேர்வு; எதிரியின் தனிப்பட்ட நடவடிக்கை - போரில் பங்கேற்பதற்கான விமானத்தின் தேர்வு. சீரற்ற நடவடிக்கை - ஆயுதங்களின் பயன்பாடு; இந்த நடவடிக்கை விமானத்தின் தோல்வி அல்லது தோல்வியுடன் முடிவடையும். விமானம் தாக்கப்பட்டால் பூஜ்யம் இல்லையெனில் எங்கள் ஊதியம் ஒன்றாகும். எங்கள் உத்திகள் மூன்று ஆயுத விருப்பங்கள்; எதிரி உத்திகள் - மூன்று விமான விருப்பங்கள். கொடுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு ஜோடி உத்திகளுக்கும் செலுத்த வேண்டிய சராசரி மதிப்பு, கொடுக்கப்பட்ட ஆயுதத்தை ஒரு குறிப்பிட்ட விமானத்தைத் தாக்கும் நிகழ்தகவைத் தவிர வேறில்லை. விளையாட்டு மேட்ரிக்ஸ்:

விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் குறிக்கோள் பரிந்துரைகளை வழங்குவதாகும் நியாயமான நடத்தை வீரர்கள் மோதல் சூழ்நிலைகள், அதாவது. அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் "உகந்த மூலோபாயத்தை" தீர்மானித்தல். விளையாட்டுக் கோட்பாட்டில் ஒரு வீரரின் உகந்த மூலோபாயம், ஒரு விளையாட்டு, விளையாட்டு பல முறை மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படும்போது, \u200b\u200bகொடுக்கப்பட்ட வீரருக்கு அதிகபட்ச சராசரி ஆதாயத்தை (அல்லது குறைந்தபட்ச சராசரி இழப்பு) வழங்குகிறது. இந்த மூலோபாயத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதில், எதிரி நம்மைப் போலவே புத்திசாலித்தனமாக இருக்கிறான் என்ற அனுமானமே பகுத்தறிவின் அடிப்படையாகும், மேலும் நமது இலக்கை அடைவதைத் தடுக்க எல்லாவற்றையும் செய்கிறது.

விளையாட்டுக் கோட்பாட்டில், அனைத்து பரிந்துரைகளும் இந்த கொள்கைகளின் அடிப்படையில் செய்யப்படுகின்றன; எனவே, ஒவ்வொரு உண்மையான மூலோபாயத்திலும் தவிர்க்க முடியாமல் இருக்கும் அபாயத்தின் கூறுகளையும், ஒவ்வொரு வீரரின் தவறான கணக்கீடுகளையும் தவறுகளையும் இது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாது. விளையாட்டு கோட்பாடு, எதையும் போல கணித மாதிரி சிக்கலான நிகழ்வு அதன் வரம்புகளைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றில் மிக முக்கியமானது, ஆதாயம் செயற்கையாக ஒன்றாகக் குறைக்கப்படுகிறது ஒருமை... பெரும்பாலான நடைமுறை மோதல் சூழ்நிலைகளில், ஒரு நியாயமான மூலோபாயத்தை உருவாக்கும்போது, \u200b\u200bஒன்று அல்ல, ஆனால் பல எண் அளவுருக்கள் - நிகழ்வின் வெற்றிக்கான அளவுகோல்களை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம். ஒரு அளவுகோலில் உகந்ததாக இருக்கும் ஒரு மூலோபாயம் மற்றவர்களுக்கு உகந்ததாக இருக்காது. இருப்பினும், இந்த வரம்புகளை அறிந்திருப்பதுடன், விளையாட்டு முறைகளால் பெறப்பட்ட பரிந்துரைகளை கண்மூடித்தனமாக கடைப்பிடிக்காததால், ஒருவர் இன்னும் "உகந்ததாக" இல்லாவிட்டால், குறைந்தபட்சம், "ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய" மூலோபாயத்தை உருவாக்க விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் கணித எந்திரத்தை நியாயமான முறையில் பயன்படுத்தலாம் .

§ 2. விளையாட்டின் குறைந்த மற்றும் மேல் விலை. மினிமேக்ஸ் கொள்கை

படம் போல ஒரு மேட்ரிக்ஸுடன் ஒரு mxn விளையாட்டைக் கவனியுங்கள். 1. எங்கள் மூலோபாயத்தின் எண்ணிக்கையை நான் கடிதத்தால் குறிப்போம்; j என்ற எழுத்து என்பது எதிராளியின் மூலோபாயத்தின் எண்ணிக்கை. எங்கள் உகந்த மூலோபாயத்தை தீர்மானிக்க, பணியை நாமே அமைத்துக்கொள்வோம். A 1 இல் தொடங்கி எங்கள் ஒவ்வொரு உத்திகளையும் தொடர்ச்சியாக பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

மூலோபாயத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது А i, எதிரி அதற்கு பதிலளிப்பார் என்ற உண்மையை நாம் எப்போதும் நம்ப வேண்டும் В j அதற்கான எங்கள் ஊதியம் а ij மிகக் குறைவு. செலுத்துதலின் இந்த மதிப்பை தீர்மானிப்போம், அதாவது. ஒரு ஐ.ஜே. எண்களின் குறைந்தபட்சம் நான்வது வரி. இதை α i ஆல் குறிப்போம்:

இங்கே, குறைந்தபட்ச அடையாளம் (குறைந்தபட்ச ஓவர் ஜே) இந்த அளவுருவின் மதிப்புகளின் குறைந்தபட்சத்தைக் குறிக்கிறது. எண்களை எழுதுவோம் α i; கூடுதல் நெடுவரிசையாக வலதுபுறத்தில் உள்ள மேட்ரிக்ஸுக்கு அடுத்தது:

எந்தவொரு மூலோபாயத்தையும் தேர்ந்தெடுப்பது, எதிராளியின் நியாயமான செயல்களின் விளைவாக நாம் α i ஐ விட அதிகமாக வெல்ல மாட்டோம் என்ற உண்மையை நாம் நம்ப வேண்டும். இயற்கையாகவே, மிகவும் கவனமாக செயல்படுவதும், மிகவும் நியாயமான எதிரியை எண்ணுவதும் (அதாவது எந்த ஆபத்தையும் தவிர்ப்பது), α i எண் அதிகபட்சமாக இருக்கும் மூலோபாயத்தில் நாம் நிறுத்த வேண்டும். இந்த அதிகபட்ச மதிப்பைக் குறிப்போம் α:

அல்லது, சூத்திரத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது (2.1),

மதிப்பு the விளையாட்டின் குறைந்த விலை என்று அழைக்கப்படுகிறது, வேறுவிதமாகக் கூறினால் - மாக்சிமின் வெற்றி அல்லது வெறுமனே மாக்சிமின். எண் α அணியின் ஒரு குறிப்பிட்ட வரியில் உள்ளது; இந்த வரிக்கு ஒத்த பிளேயர் A இன் மூலோபாயம் மாக்சிமின் மூலோபாயம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, நாங்கள் மாக்சிமின் மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், எதிரியின் எந்தவொரு நடத்தைக்கும் நாம் ஒரு ஊதியம் உறுதி செய்யப்படுகிறோம், குறைந்தது than க்கும் குறைவாக இல்லை. எனவே, α இன் மதிப்பு "குறைந்த விளையாட்டு விலை" என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது மிகவும் எச்சரிக்கையான ("மறுகாப்பீடு") மூலோபாயத்தை கடைப்பிடிப்பதன் மூலம் நமக்கு வழங்கக்கூடிய உத்தரவாதமான குறைந்தபட்சமாகும்.

வெளிப்படையாக, இதேபோன்ற பகுத்தறிவை எதிராளியான பி. க்கு மேற்கொள்ள முடியும். எதிரி நம் வெற்றிகளைக் குறைப்பதில் ஆர்வம் காட்டுவதால், அவர் தனது ஒவ்வொரு உத்திகளையும் பார்வையில் இருந்து பார்க்க வேண்டும் அதிகபட்ச வெற்றி இந்த மூலோபாயத்துடன். எனவே, மேட்ரிக்ஸின் கீழே, ஒவ்வொரு நெடுவரிசைக்கும் அதிகபட்ச மதிப்புகளை எழுதுவோம்:

குறைந்தபட்ச β j ஐக் கண்டறியவும்:

மதிப்பு the விளையாட்டின் மேல் விலை என்று அழைக்கப்படுகிறது, வேறுவிதமாகக் கூறினால், “மினிமேக்ஸ்”. மினிமேக்ஸ் ஆதாயத்துடன் தொடர்புடைய எதிரியின் மூலோபாயம் அவரது "மினிமேக்ஸ் உத்தி" என்று அழைக்கப்படுகிறது. அவரது மிகவும் எச்சரிக்கையான மினிமேக்ஸ் மூலோபாயத்தை கடைப்பிடிப்பதன் மூலம், எதிரி பின்வருவனவற்றை தனக்கு உறுதிப்படுத்திக் கொள்கிறான்: நாம் அவருக்கு எதிராக என்ன செய்தாலும், அவர் எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் β ஐ விட பெரிய தொகையை இழப்பார். எச்சரிக்கையான கொள்கை, வீரர்களுக்கு பொருத்தமான உத்திகளை (மாக்சிமின் மற்றும் மினிமேக்ஸ்) தேர்வு செய்வதைக் கட்டளையிடுகிறது, இது பெரும்பாலும் விளையாட்டுக் கோட்பாடு மற்றும் அதன் பயன்பாடுகளில் “மினிமேக்ஸ் கொள்கை” என்று அழைக்கப்படுகிறது. வீரர்களின் மிகவும் கவனமாக மாக்சிமின் மற்றும் மினிமேக்ஸ் உத்திகள் சில நேரங்களில் குறிக்கப்படுகின்றன பொது சொல் "மினிமேக்ஸ் உத்திகள்".

எடுத்துக்காட்டுகளாக, and 1 இன் 1, 2 மற்றும் 3 எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான குறைந்த மற்றும் மேல் விளையாட்டு விலைகள் மற்றும் மினிமேக்ஸ் உத்திகளை வரையறுக்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.எடுத்துக்காட்டு 1 § 1 பின்வரும் மேட்ரிக்ஸுடன் ஒரு விளையாட்டை அளிக்கிறது:

Values \u200b\u200bi மற்றும் β j மதிப்புகள் முறையே -1 மற்றும் +1 க்கு சமமானவை என்பதால், குறைந்த மற்றும் மேல் விளையாட்டு விலைகளும் –1 மற்றும் +1: α \u003d –1, β \u003d +1. பிளேயர் A இன் எந்தவொரு மூலோபாயமும் அவரது அதிகபட்சம், மற்றும் பிளேயர் B இன் எந்தவொரு மூலோபாயமும் அவரது மினிமேக்ஸ் உத்தி ஆகும். முடிவு அற்பமானது: அவரது எந்தவொரு உத்திகளையும் ஒட்டிக்கொள்வதன் மூலம், வீரர் A அவர் 1 ஐ விட அதிகமாக இழக்க மாட்டார் என்று உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும்; பிளேயர் பி அவர்களுக்கும் உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு 2. எடுத்துக்காட்டு 2 § 1 ஒரு மேட்ரிக்ஸுடன் ஒரு விளையாட்டை அளிக்கிறது:

விளையாட்டின் குறைந்த விலை α \u003d –3; விளையாட்டின் மேல் விலை β \u003d 4. எங்கள் அதிகபட்ச உத்தி А 1; முறையாக அதைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், குறைந்தபட்சம் –3 ஐ வெல்வோம் என்று உறுதியாக எதிர்பார்க்கலாம் (அதிகபட்சம் 3 ஐ இழக்கலாம்). பி 1 மற்றும் பி 2 ஆகிய எந்தவொரு உத்திகளும் எதிராளியின் மினிமேக்ஸ் உத்தி; அவற்றை முறையாகப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், அவர் 4 ஐ விட அதிகமாக இழக்க மாட்டார் என்று உத்தரவாதம் அளிக்க முடியும். எங்கள் அதிகபட்ச மூலோபாயத்திலிருந்து நாம் விலகிவிட்டால் (எடுத்துக்காட்டாக, மூலோபாயம் A2 ஐத் தேர்வுசெய்க), விரோதி B யைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் இதற்கு "தண்டிக்க" முடியும் 3 மற்றும் எங்கள் வெற்றிகளைக் குறைப்பது -5; அதேபோல், எதிரியின் மினிமேக்ஸ் மூலோபாயத்திலிருந்து பின்வாங்குவது அவரது இழப்பை 6 ஆக உயர்த்தும்.

எடுத்துக்காட்டு 3.எடுத்துக்காட்டு 3 § 1 ஒரு மேட்ரிக்ஸுடன் ஒரு விளையாட்டை அளிக்கிறது:

விளையாட்டின் குறைந்த விலை α \u003d 0.3; விளையாட்டின் மேல் மதிப்பு β \u003d 0.7. எங்கள் மிகவும் பழமைவாத (மாக்சிமின்) மூலோபாயம் A 2; A2 ஆயுதத்தைப் பயன்படுத்தி, எல்லா நிகழ்வுகளிலும் சராசரியாக 0.3 ஆக விமானத்தை அடிப்போம் என்று நாங்கள் உத்தரவாதம் அளிக்கிறோம். மிகவும் எச்சரிக்கையான (மினிமேக்ஸ்) எதிரி மூலோபாயம் பி 2; இந்த விமானத்தைப் பயன்படுத்தி, எல்லா நிகழ்வுகளிலும் 0.7 க்கு மேல் அவர் தாக்கப்படுவார் என்று எதிரி உறுதியாக நம்பலாம்.

கடைசி உதாரணம் ஒன்றை நிரூபிக்க வசதியானது முக்கியமான சொத்து மினிமேக்ஸ் உத்திகள் - அவற்றின் உறுதியற்ற தன்மை. எங்கள் மிகவும் எச்சரிக்கையான (மாக்சிமின்) மூலோபாயம் А 2 ஐப் பயன்படுத்துவோம், எதிரி - அவருடைய மிகவும் எச்சரிக்கையான (மினிமேக்ஸ்) மூலோபாயம் В 2. இரு எதிரிகளும் இந்த உத்திகளைக் கடைப்பிடிக்கும் வரை, சராசரி ஊதியம் 0.6; இது குறைந்த ஒன்றை விட அதிகம், ஆனால் விளையாட்டின் மேல் விலையை விட குறைவாக உள்ளது. இப்போது நாம் மூலோபாயம் A 2 ஐப் பயன்படுத்துகிறோம் என்பதை எதிரி அறிந்திருக்கிறார் என்று வைத்துக் கொள்வோம்; அவர் உடனடியாக B 1 மூலோபாயத்துடன் பதிலளிப்பார் மற்றும் வெற்றிகளை 0.3 ஆகக் குறைப்பார். இதையொட்டி, மூலோபாயம் B 1 க்கு ஒரு நல்ல பதில் உள்ளது: மூலோபாயம் A 1, இது எங்களுக்கு 0.9 வெற்றியைத் தருகிறது, மற்றும் பல.

எனவே, இரு வீரர்களும் தங்கள் மினிமேக்ஸ் உத்திகளைப் பயன்படுத்தும் நிலை நிலையற்றது மற்றும் எதிரணியின் மூலோபாயத்தைப் பற்றி பெறப்பட்ட தகவல்களால் மீறப்படலாம். இருப்பினும், மினிமேக்ஸ் உத்திகள் நிலையானதாக இருக்கும் சில விளையாட்டுகள் உள்ளன. குறைந்த விலை மேல் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் விளையாட்டுகள் இவை: α \u003d β. விளையாட்டின் குறைந்த விலை மேல் ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால், அவற்றின் மொத்த மதிப்பு விளையாட்டின் நிகர விலை (சில நேரங்களில் விளையாட்டின் விலை) என்று அழைக்கப்படுகிறது, அதை letter என்ற எழுத்தின் மூலம் குறிப்போம்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். மேட்ரிக்ஸால் 4 × 4 விளையாட்டு வழங்கப்படட்டும்:

விளையாட்டின் குறைந்த விலையைக் கண்டுபிடிப்போம்: α \u003d 0.6. விளையாட்டின் மேல் விலையைக் கண்டுபிடிப்போம்: β \u003d 0.6. அவை ஒரே மாதிரியாக மாறியது, எனவே, விளையாட்டு நிகர விலை α \u003d β \u003d ν \u003d 0.6 க்கு சமம். செலுத்துதல் மேட்ரிக்ஸில் சிறப்பிக்கப்பட்டுள்ள உறுப்பு 0.6, அதன் வரிசையில் குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதன் நெடுவரிசையில் அதிகபட்சம். வடிவவியலில், ஒரே மாதிரியான சொத்துக்களைக் கொண்ட ஒரு மேற்பரப்பில் ஒரு புள்ளி (ஒரே நேரத்தில் குறைந்தபட்சம் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அதிகபட்சம் மற்றொன்று) ஒரு சேணம் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது; ஒப்புமை மூலம், இந்த சொல் விளையாட்டுக் கோட்பாட்டிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த சொத்துடன் கூடிய மேட்ரிக்ஸின் ஒரு உறுப்பு மேட்ரிக்ஸின் சேணம் புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் ஒரு விளையாட்டுக்கு சேணம் புள்ளி இருப்பதாகக் கூறப்படுகிறது.

சேணம் புள்ளி ஒரு ஜோடி மினிமேக்ஸ் உத்திகளுக்கு ஒத்திருக்கிறது (இந்த எடுத்துக்காட்டில், A 3 மற்றும் B 2). இந்த உத்திகள் உகந்தவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவற்றின் கலவையானது விளையாட்டுக்கான தீர்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது. விளையாட்டுக்கான தீர்வு பின்வரும் குறிப்பிடத்தக்க சொத்துக்களைக் கொண்டுள்ளது. வீரர்களில் ஒருவர் (எடுத்துக்காட்டாக, ஏ) அவரது உகந்த மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், மற்ற வீரர் (பி) அவரது உகந்த மூலோபாயத்திலிருந்து எந்த வகையிலும் விலகினால், ஒரு விலகலைச் செய்த வீரருக்கு, இது ஒருபோதும் பயனளிக்காது, அத்தகைய ஒரு பிளேயர் பி இன் விலகல் வெற்றிகளை மாற்றாமல் விடலாம், மிக மோசமான நிலையில் - அதை அதிகரிக்கவும். மாறாக, பி அதன் உகந்த மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், மற்றும் A அதன் சொந்தத்திலிருந்து விலகிச் சென்றால், இது எந்த வகையிலும் A க்கு பயனளிக்காது.

இந்த அறிக்கையை விளையாட்டின் எடுத்துக்காட்டு மூலம் எளிதில் சரிபார்க்க முடியும். ஒரு சேணம் புள்ளியுடன் ஒரு விளையாட்டின் விஷயத்தில், மினிமேக்ஸ் உத்திகள் ஒரு வகையான "ஸ்திரத்தன்மையை" கொண்டிருப்பதை நாங்கள் காண்கிறோம்: ஒரு பக்கம் அதன் மினிமேக்ஸ் மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், மற்றொன்று அதன் சொந்தத்திலிருந்து விலகிச் செல்வது லாபகரமானதாக இருக்கலாம். இந்த விஷயத்தில், எதிரி தனது உகந்த மூலோபாயத்தைத் தேர்ந்தெடுத்தார் என்ற எந்த வீரரின் அறிவும் வீரரின் சொந்த நடத்தையை மாற்ற முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்க: அவர் தனது சொந்த நலன்களுக்கு எதிராக செயல்பட விரும்பவில்லை என்றால், அவர் தனது உகந்த மூலோபாயத்தை கடைபிடிக்க வேண்டும். ஒரு சேணம் புள்ளி விளையாட்டில் ஒரு ஜோடி உகந்த உத்திகள், அது போலவே, ஒரு "சமநிலை நிலை": உகந்த மூலோபாயத்திலிருந்து எந்தவொரு விலகலும் விலகிய வீரரை சாதகமற்ற விளைவுகளுக்கு இட்டுச் சென்று, தனது அசல் நிலைக்குத் திரும்பும்படி கட்டாயப்படுத்துகிறது.

எனவே, ஒரு சேணம் புள்ளியுடன் ஒவ்வொரு விளையாட்டுக்கும், இருபுறமும் ஒரு ஜோடி உகந்த உத்திகளை வரையறுக்கும் ஒரு தீர்வு உள்ளது, இது பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

1) இரு கட்சிகளும் தங்களது உகந்த உத்திகளைக் கடைப்பிடித்தால், சராசரி ஊதியம் விளையாட்டின் நிகர விலைக்கு சமம் ν, இது ஒரே நேரத்தில் அதன் குறைந்த மற்றும் உயர் விலையாகும்.

2) கட்சிகளில் ஒன்று அதன் உகந்த மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், மற்றொன்று அதன் சொந்தத்திலிருந்து விலகிச் சென்றால், விலகும் பக்கமானது இதிலிருந்து மட்டுமே இழக்கக்கூடும், எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் அதன் ஆதாயத்தை அதிகரிக்க முடியாது.

ஒரு சேணம் புள்ளியுடன் கூடிய விளையாட்டுகளின் வர்க்கம் ஒரு தத்துவார்த்த மற்றும் நடைமுறைக் கண்ணோட்டத்தில் மிகவும் ஆர்வமாக உள்ளது. விளையாட்டுக் கோட்பாட்டில், குறிப்பாக, முழுமையான தகவல்களைக் கொண்ட ஒவ்வொரு விளையாட்டுக்கும் ஒரு சேணம் புள்ளி உள்ளது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, எனவே, இதுபோன்ற ஒவ்வொரு விளையாட்டுக்கும் ஒரு தீர்வு உள்ளது, அதாவது. இரு தரப்பினரின் உகந்த உத்திகள் ஒரு ஜோடி உள்ளது, இது விளையாட்டு விலைக்கு சமமான சராசரி ஊதியத்தை அளிக்கிறது. முழுமையான தகவல்களைக் கொண்ட ஒரு விளையாட்டு தனிப்பட்ட நகர்வுகளை மட்டுமே கொண்டிருந்தால், ஒவ்வொரு பக்கமும் அதன் உகந்த மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தும்போது, \u200b\u200bஅது எப்போதும் முற்றிலும் திட்டவட்டமான முடிவில் முடிவடைய வேண்டும், அதாவது, விளையாட்டின் விலைக்கு சமமான ஒரு வெற்றி.

முழுமையான தகவல்களைக் கொண்ட ஒரு விளையாட்டுக்கான எடுத்துக்காட்டு, நாங்கள் தருகிறோம் பிரபலமான விளையாட்டு நாணயங்களை அடுக்கி வைப்பதன் மூலம் வட்ட மேசை... இரண்டு வீரர்கள் மாறி மாறி வட்ட அட்டவணையில் ஒரே மாதிரியான நாணயங்களை வைக்கின்றனர், ஒவ்வொரு முறையும் நாணயத்தின் மையத்தின் தன்னிச்சையான நிலையைத் தேர்ந்தெடுக்கின்றனர்; நாணயங்களை ஒன்றுடன் ஒன்று அனுமதிக்க முடியாது. கடைசி நாணயத்தை வைக்கும் வீரர் வெற்றி பெறுகிறார் (மற்றவர்களுக்கு இடமில்லாதபோது). வெளிப்படையாக, இந்த விளையாட்டின் விளைவு எப்போதுமே ஒரு முன்கூட்டியே முடிவாகும், மேலும் நாணயத்தை முதலிடம் வகிக்கும் வீரருக்கு நம்பகமான வெற்றியை உறுதி செய்யும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட உத்தி உள்ளது. அதாவது, அவர் முதலில் ஒரு நாணயத்தை மேசையின் மையத்தில் வைக்க வேண்டும், பின்னர் ஒவ்வொரு எதிரியின் நகர்வுக்கும் சமச்சீர் நகர்வுடன் பதிலளிக்க வேண்டும். இந்த விஷயத்தில், இரண்டாவது வீரர் விளையாட்டின் முன்னரே தீர்மானிக்கப்பட்ட முடிவை மாற்றாமல் அவர் விரும்பியபடி நடந்து கொள்ள முடியும். எனவே, உகந்த மூலோபாயத்தை அறியாத வீரர்களுக்கு மட்டுமே இந்த விளையாட்டு அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். முழுமையான தகவலுடன் சதுரங்கம் மற்றும் பிற விளையாட்டுகளுடன் நிலைமை ஒத்திருக்கிறது; இந்த விளையாட்டுகளில் ஏதேனும் ஒரு சேணம் புள்ளி மற்றும் ஒவ்வொரு வீரருக்கும் அவரது உகந்த மூலோபாயத்தைக் குறிக்கும் தீர்வு உள்ளது; சதுரங்க விளையாட்டின் தீர்வு கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை, ஏனென்றால் சதுரங்கத்தில் சாத்தியமான நகர்வுகளின் சேர்க்கைகளின் எண்ணிக்கை மிகப் பெரியது, கட்டண மேட்ரிக்ஸை உருவாக்கி அதில் ஒரு சேணம் புள்ளியைக் கண்டுபிடிக்க முடியும்.

§ 3. தூய மற்றும் கலப்பு உத்திகள். கலப்பு உத்திகளில் விளையாட்டின் தீர்வு

நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்த வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டுகளில், சேணம் புள்ளியுடன் கூடிய விளையாட்டுகள் ஒப்பீட்டளவில் அரிதானவை; விளையாட்டின் கீழ் மற்றும் மேல் விலைகள் வேறுபட்டிருக்கும்போது மிகவும் பொதுவானது. அத்தகைய விளையாட்டுகளின் மெட்ரிக்ஸை ஆராய்ந்து, ஒவ்வொரு வீரருக்கும் ஒரு மூலோபாயத்தின் தேர்வு வழங்கப்பட்டால், நியாயமான முறையில் செயல்படும் எதிரியை எண்ணி, இந்த தேர்வு மினிமேக்ஸ் கொள்கையால் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். எங்கள் அதிகபட்ச மூலோபாயத்தை கடைப்பிடிப்பது, எதிரியின் எந்தவொரு நடத்தைக்கும், விளையாட்டின் குறைந்த விலைக்கு சமமான ஆதாயத்தை நாங்கள் தெரிந்தே உறுதிப்படுத்துகிறோம் α. ஒரு இயல்பான கேள்வி எழுகிறது: ஒரு "தூய்மையான" மூலோபாயத்தை நாம் பயன்படுத்தாவிட்டால், ஆனால் தோராயமாக பல உத்திகளை மாற்றினால், than ஐ விட அதிகமான சராசரி ஊதியத்தை தனக்கு உத்தரவாதம் அளிக்க முடியுமா? ஒரு குறிப்பிட்ட அதிர்வெண் விகிதத்துடன் ஒரு சீரற்ற சட்டத்தின்படி மாறி மாறி, பல தூய உத்திகளைப் பயன்படுத்துவதில் இத்தகைய ஒருங்கிணைந்த உத்திகள் விளையாட்டுக் கோட்பாட்டில் கலப்பு உத்திகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

வெளிப்படையாக, ஒவ்வொரு தூய மூலோபாயமும் ஒரு கலவையான ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாகும், இதில் ஒன்றைத் தவிர அனைத்து உத்திகளும் பூஜ்ஜிய அதிர்வெண்களுடன் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் இது - 1 அதிர்வெண்ணுடன் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது தூய்மையானது மட்டுமல்ல, கலப்பு உத்திகள், ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டு தீர்வுக்கும் ஒருவர் பெறலாம், அதாவது. ஒரு ஜோடி (பொதுவாக கலப்பு) உத்திகள், அதாவது இரு வீரர்களும் அவற்றைப் பயன்படுத்தும்போது, \u200b\u200bசெலுத்துதல் விளையாட்டு விலைக்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் உகந்த மூலோபாயத்திலிருந்து எந்தவொரு ஒரு பக்க விலகலுக்கும், ஊதியம் சாதகமற்ற திசையில் மட்டுமே மாற முடியும் மாறுபட்ட.

மேலேயுள்ள அறிக்கை விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் முக்கிய தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுபவற்றின் உள்ளடக்கத்தை உருவாக்குகிறது. இந்த தேற்றம் முதன்முதலில் வான் நியூமனால் 1928 இல் நிரூபிக்கப்பட்டது. தேற்றத்தின் அறியப்பட்ட சான்றுகள் ஒப்பீட்டளவில் சிக்கலானவை; எனவே, அதன் சூத்திரத்தை மட்டுமே நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்.

ஒவ்வொரு இறுதி விளையாட்டிலும் குறைந்தது ஒரு தீர்வு உள்ளது (ஒருவேளை கலப்பு உத்திகளின் பகுதியில்).

ஒரு முடிவின் விளைவாக கிடைக்கும் ஆதாயம் விளையாட்டின் செலவு என்று அழைக்கப்படுகிறது. முக்கிய தேற்றம் ஒவ்வொரு வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டுக்கும் ஒரு விலை இருப்பதைக் குறிக்கிறது. வெளிப்படையாக, விளையாட்டின் விலை ν எப்போதும் விளையாட்டின் குறைந்த விலை மற்றும் விளையாட்டின் மேல் விலை between க்கு இடையில் உள்ளது:

(3.1) α ≤ ν β

உண்மையில், pure என்பது நமது தூய்மையான உத்திகளை மட்டுமே பயன்படுத்தி நமக்கு வழங்கக்கூடிய அதிகபட்ச உத்தரவாத ஊதியமாகும். கலப்பு உத்திகள் ஒரு குறிப்பிட்ட சந்தர்ப்பத்தில், எல்லா தூய்மையானவையும் உள்ளடக்கியிருப்பதால், தூய்மையானவற்றுடன் கூடுதலாக, கலவையான உத்திகளையும் அனுமதிப்பதால், நாங்கள் எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், எங்கள் திறன்களை மோசமாக்குவதில்லை; எனவே, ν α. இதேபோல், எதிரியின் திறன்களைக் கருத்தில் கொண்டு, show ≤ that என்பதைக் காட்டுகிறோம், இது நிரூபிக்கப்பட்ட சமத்துவமின்மையைக் குறிக்கிறது (3.1).

கலப்பு உத்திகளுக்கு ஒரு சிறப்பு குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம். எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் கலப்பு மூலோபாயம் p 1, p 2, p 3, மற்றும் p 1 + p 2 + p 3 \u003d 1 அதிர்வெண்களுடன் A 1, A 2, A 3 உத்திகளைப் பயன்படுத்துவதில் இருந்தால், இந்த மூலோபாயத்தை நாங்கள் குறிப்பிடுவோம்

இதேபோல், எதிரியின் கலப்பு மூலோபாயம் பின்வருமாறு குறிக்கப்படும்:

q 1, q 2, q 3 ஆகியவை B 1, B 2, B 3 உத்திகள் கலந்த அதிர்வெண்கள்; q 1 + q 2 + q 3 \u003d 1.

S A *, S B * ஆகிய இரண்டு உகந்த கலப்பு உத்திகளைக் கொண்ட விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடித்தோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பொதுவான விஷயத்தில், கொடுக்கப்பட்ட வீரருக்கு கிடைக்கக்கூடிய அனைத்து தூய உத்திகளும் அவரது உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தில் சேர்க்கப்படவில்லை, ஆனால் சில மட்டுமே. வீரரின் உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள உத்திகளை அவரது "பயனுள்ள" உத்திகள் என்று அழைப்போம். விளையாட்டிற்கான தீர்வுக்கு இன்னும் ஒரு குறிப்பிடத்தக்க சொத்து உள்ளது என்று மாறிவிடும்: வீரர்களில் ஒருவர் தனது உகந்த கலப்பு மூலோபாயம் SA * (SB *) ஐக் கடைப்பிடித்தால், செலுத்துதல் மாறாமல் இருக்கும் மற்றும் விளையாட்டின் விலைக்கு சமமாக இருக்கும் ν, பொருட்படுத்தாமல் மற்ற வீரர் என்ன செய்கிறார், அதன் "பயனுள்ள" உத்திகளைத் தாண்டினால் தவிர. உதாரணமாக, அவர் தனது "பயனுள்ள" உத்திகள் எதையும் தூய்மையான வடிவத்தில் பயன்படுத்தலாம், மேலும் அவற்றை எந்த விகிதத்திலும் கலக்க முடியும்.

§ 4. விளையாட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகள். விளையாட்டு 2எக்ஸ்2 மற்றும் 2எக்ஸ்n

விளையாட்டு mxn க்கு ஒரு சேணம் புள்ளி இல்லை என்றால், ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பது பொதுவாக மிகவும் கடினமான பணியாகும், குறிப்பாக பெரிய m மற்றும் n க்கு. சில நேரங்களில் தேவையற்றவற்றை நீக்குவதன் மூலம் உத்திகளின் எண்ணிக்கையை குறைப்பதன் மூலம் இந்த பணியை எளிதாக்கலாம். அதிகப்படியான உத்திகள் அ) நகல் மற்றும் ஆ) வெளிப்படையாக லாபம் ஈட்டாதவை. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு மேட்ரிக்ஸுடன் ஒரு விளையாட்டைக் கவனியுங்கள்:

மூலோபாயம் А 3 சரியாக மீண்டும் ("நகல்கள்") மூலோபாயம் А 1 என்பதை உறுதிப்படுத்துவது எளிது, எனவே, இந்த இரண்டு உத்திகளில் ஏதேனும் ஒன்றை நீக்க முடியும். மேலும், A 1 மற்றும் A 2 வரிகளை ஒப்பிடுகையில், A2 வரியின் ஒவ்வொரு உறுப்பு A 1 வரியின் தொடர்புடைய உறுப்பு குறைவாக (அல்லது அதற்கு சமமாக) இருப்பதைக் காண்கிறோம். வெளிப்படையாக, நாம் ஒருபோதும் A2 மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தக்கூடாது, அது வேண்டுமென்றே லாபகரமானது. A 3 மற்றும் A 2 ஐ நீக்குவதன் மூலம், மேட்ரிக்ஸை மேலும் கொண்டு வருகிறோம் எளிய மனம்... மேலும், பி 3 மூலோபாயம் வெளிப்படையாக எதிரிக்கு லாபம் ஈட்டாது என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம்; அதை நீக்கி, மேட்ரிக்ஸை அதன் இறுதி வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம்:

எனவே, 4 × 4 விளையாட்டு 2 × 3 விளையாட்டாக நகல் மற்றும் வெளிப்படையாக தீங்கு விளைவிக்கும் உத்திகளை நீக்குவதன் மூலம் குறைக்கப்படுகிறது.

நகல் மற்றும் வெளிப்படையாக சாதகமற்ற உத்திகளை நீக்குவதற்கான செயல்முறை எப்போதும் விளையாட்டின் முடிவுக்கு முன்னதாக இருக்க வேண்டும். வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டுகளின் எளிமையான வழக்குகள், எப்போதும் அடிப்படை முறைகளால் தீர்க்கப்படக்கூடியவை, 2 × 2 மற்றும் 2xn விளையாட்டுகள்.

மேட்ரிக்ஸுடன் 2 × 2 விளையாட்டைக் கவனியுங்கள்:

இரண்டு வழக்குகள் இங்கே ஏற்படலாம்: 1) விளையாட்டுக்கு ஒரு சேணம் புள்ளி உள்ளது; 2) விளையாட்டுக்கு சேணம் புள்ளி இல்லை. முதல் வழக்கில், தீர்வு வெளிப்படையானது: இது ஒரு சேணம் புள்ளியில் வெட்டும் ஒரு ஜோடி உத்திகள். மூலம், 2 × 2 விளையாட்டில், ஒரு சேணம் புள்ளியின் இருப்பு எப்போதும் வேண்டுமென்றே தீங்கு விளைவிக்கும் உத்திகளின் இருப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது, இது பூர்வாங்க பகுப்பாய்வில் நீக்கப்பட வேண்டும்.

எந்த சேணம் புள்ளியும் இருக்கக்கூடாது, எனவே, விளையாட்டின் குறைந்த விலை மேல் ஒன்றிற்கு சமமாக இருக்காது: α ≠ β. பிளேயர் A இன் உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தைக் கண்டுபிடிக்க இது தேவை:

எதிராளியின் செயல்கள் எதுவாக இருந்தாலும் (அவர் தனது "பயனுள்ள" உத்திகளின் வரம்புகளைத் தாண்டாவிட்டால்), செலுத்துதல் விளையாட்டு விலைக்கு சமமாக இருக்கும் என்பது சொத்துக்களால் வேறுபடுகிறது. 2 × 2 விளையாட்டில், இரு எதிரி உத்திகளும் "பயனுள்ளவை", இல்லையெனில் விளையாட்டு ஒரு தூய மூலோபாய தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் (சேணம் புள்ளி). இதன் பொருள் என்னவென்றால், எங்கள் உகந்த மூலோபாயத்தை (4.1) கடைபிடித்தால், சராசரி ஊதியத்தை மாற்றாமல் விரோதி தனது தூய உத்திகள் B 1, B 2 ஐப் பயன்படுத்தலாம். எனவே நமக்கு இரண்டு சமன்பாடுகள் உள்ளன:

இதிலிருந்து, p 1 + p 2 \u003d 1 என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, நாம் பெறுகிறோம்:

P 1, p 2 மதிப்புகளை எந்த சமன்பாட்டிலும் (4.2) மாற்றுவதன் மூலம் விளையாட்டின் மதிப்பைக் காண்கிறோம்.

விளையாட்டின் விலை தெரிந்தால், எதிரியின் உகந்த மூலோபாயத்தை தீர்மானிக்க

ஒரு சமன்பாடு போதும், எடுத்துக்காட்டாக:

q 1 + q 2 \u003d 1 என்று கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால், எங்களிடம்:

எடுத்துக்காட்டு 1. எடுத்துக்காட்டு 1 § 1 இல் கருதப்படும் 2 × 2 விளையாட்டின் தீர்வைக் கொண்டு, மேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்போம்:

விளையாட்டுக்கு சேணம் புள்ளி இல்லை (α \u003d –1; β \u003d +1), எனவே, தீர்வு கலப்பு உத்திகளின் களத்தில் இருக்க வேண்டும்:

நீங்கள் p 1, p 2, q 1 மற்றும் q 2 ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். ப 1 க்கு சமன்பாடு உள்ளது

1 * ப 1 + (–1) (1 - ப 1) \u003d (–1) ப 1 + 1 (1 - ப 1)

எங்கிருந்து ப 1 \u003d 1/2, ப 2 \u003d 1/2.

இதேபோல், நாம் காண்கிறோம்: q 1 \u003d 1/2, q 2 \u003d 1/2, \u003d 0.

இதன் விளைவாக, ஒவ்வொரு வீரருக்கும் உகந்த மூலோபாயம் அவர்களின் இரு தூய உத்திகளையும் தோராயமாக மாற்றுவதாகும், அவை ஒவ்வொன்றையும் சமமாக அடிக்கடி பயன்படுத்துகின்றன; இந்த வழக்கில், சராசரி செலுத்துதல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

இதன் விளைவாக முன்கூட்டியே போதுமான அளவு தெளிவாக இருந்தது. அடுத்த எடுத்துக்காட்டில், மேலும் பார்ப்போம் கடினமான விளையாட்டு, அதற்கான தீர்வு அவ்வளவு தெளிவாக இல்லை. எடுத்துக்காட்டு "மோசடி" அல்லது "ஏமாற்றும்" விளையாட்டுகள் என்று அழைக்கப்படும் விளையாட்டுகளின் அடிப்படை எடுத்துக்காட்டு. நடைமுறையில், மோதல் சூழ்நிலைகளில், அவை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன வெவ்வேறு வழிகள் எதிரிகளை தவறாக வழிநடத்துதல் (தவறான தகவல், தவறான இலக்குகளை வைப்பது போன்றவை). எடுத்துக்காட்டு, அதன் எளிமை இருந்தபோதிலும், மிகவும் போதனையானது.

எடுத்துக்காட்டு 2. விளையாட்டு பின்வருமாறு. இரண்டு அட்டைகள் உள்ளன: ஒரு சீட்டு மற்றும் ஒரு டியூஸ். பிளேயர் ஏ அவற்றில் ஒன்றை சீரற்ற முறையில் ஈர்க்கிறது; அவர் எந்த அட்டையை எடுத்தார் என்று பி பார்க்கவில்லை. A ஒரு சீட்டு எடுத்தால், அவர் அறிவிக்கிறார்: “எனக்கு ஒரு சீட்டு இருக்கிறது,” மற்றும் எதிராளியிடமிருந்து 1 ரூபிள் கோருகிறது. A ஒரு டியூஸை வெளியே எடுத்தால், அவர் A 1) “எனக்கு ஒரு சீட்டு இருக்கிறது” என்று சொல்லலாம் மற்றும் எதிராளியிடமிருந்து 1 ரூபிள் கோரலாம், அல்லது A 2) தனக்கு ஒரு டியூஸ் இருப்பதை ஒப்புக்கொண்டு எதிராளிக்கு 1 ரூபிள் செலுத்தலாம்.

எதிரி, அவருக்கு 1 ரூபிள் தானாக முன்வந்தால், அதை ஏற்றுக்கொள்ள முடியும். அவரிடம் 1 ரூபிள் கோரப்பட்டால், அவர் பி 1) பிளேயர் ஏ-ஐ ஒரு சீட்டு வைத்திருப்பதாக நம்பி அவருக்கு 1 ரூபிள் கொடுக்கலாம், அல்லது பி 2) அந்த அறிக்கையை உறுதிப்படுத்த ஒரு காசோலையை கோரலாம். காசோலை அது மாறிவிடும் உண்மையில் ஒரு சீட்டு உள்ளது, B ஒரு 2 ரூபிள் செலுத்த வேண்டும். A ஏமாற்றுகிறது மற்றும் அவருக்கு ஒரு டியூஸ் இருந்தால், வீரர் A வீரர் B 2 ரூபிள் செலுத்துகிறார். விளையாட்டை பகுப்பாய்வு செய்வது மற்றும் ஒவ்வொரு வீரர்களுக்கும் உகந்த மூலோபாயத்தைக் கண்டறிவது அவசியம்.

முடிவு. விளையாட்டு ஒப்பீட்டளவில் சிக்கலான கட்டமைப்பைக் கொண்டுள்ளது; இது ஒரு கட்டாய சீரற்ற நகர்வைக் கொண்டுள்ளது - பிளேயர் A இன் இரண்டு அட்டைகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்கிறது - மற்றும் இரண்டு தனிப்பட்ட நகர்வுகள், இருப்பினும், அவசியமில்லை. உண்மையில், A ஒரு சீட்டு எடுத்தால், அவர் எந்தவொரு தனிப்பட்ட நடவடிக்கையும் எடுக்கவில்லை: அவருக்கு ஒரே ஒரு வாய்ப்பு மட்டுமே வழங்கப்படுகிறது - 1 ரூபிள் கோருவதற்கு, அவர் அதைச் செய்கிறார். இந்த வழக்கில், ஒரு தனிப்பட்ட நடவடிக்கை - நம்புவது அல்லது நம்பாதது (அதாவது 1 ரூபிள் செலுத்த வேண்டும் அல்லது செலுத்தக்கூடாது) - பிளேயர் பி க்கு மாற்றப்படுகிறது. முதல் சீரற்ற நடவடிக்கையின் விளைவாக A இரண்டைப் பெற்றால், அவருக்கு தனிப்பட்ட முறையில் வழங்கப்படுகிறது நகர்த்து: 1 ரூபிள் செலுத்துங்கள் அல்லது எதிரிகளை ஏமாற்ற முயற்சிக்கவும், 1 ரூபிள் கோரவும் (சுருக்கமாக: "ஏமாற்ற வேண்டாம்" அல்லது "ஏமாற்ற"). A முதல் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்தால், B 1 ரூபிளை மட்டுமே ஏற்றுக்கொள்ள வேண்டும்; A பிந்தையதைத் தேர்வுசெய்தால், பிளேயர் B க்கு தனிப்பட்ட நடவடிக்கை வழங்கப்படுகிறது: A ஐ நம்புங்கள் அல்லது நம்ப வேண்டாம் (அதாவது, 1 ரூபிள் அல்லது கோரிக்கை சரிபார்ப்பை செலுத்துங்கள்).

ஒவ்வொரு வீரரின் உத்திகளும் தனிப்பட்ட நடவடிக்கை எடுக்கப்படும்போது வீரர் எவ்வாறு செயல்பட வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கும் விதிகள். வெளிப்படையாக, A க்கு இரண்டு உத்திகள் மட்டுமே உள்ளன: A 1 - ஏமாற்ற, A 2 - ஏமாற்ற வேண்டாம். B க்கு இரண்டு உத்திகள் உள்ளன: B 1 - நம்ப, B 2 - நம்பக்கூடாது. விளையாட்டு மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவோம். இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு மூலோபாயங்களின் சராசரி ஊதியத்தையும் கணக்கிடுகிறோம்.

1. ஒரு 1 பி 1 (ஒரு ஏமாற்றுகிறது, பி நம்புகிறது). A க்கு ஒரு சீட்டு கிடைத்தால் (இதன் நிகழ்தகவு is என்றால், அவருக்கு தனிப்பட்ட நடவடிக்கை வழங்கப்படுவதில்லை; அவர் 1 ரூபிள் கோருகிறார், மற்றும் வீரர் B அவரை நம்புகிறார்; ரூபிள்களில் A இன் ஆதாயம் 1. A இரண்டைப் பெற்றால் (இதன் நிகழ்தகவு மேலும் ½), அவரது மூலோபாயத்தின்படி, அவர் 1 ரூபிள் ஏமாற்றுகிறார் மற்றும் கோருகிறார்; அவரை நம்புகிறார் மற்றும் செலுத்துகிறார்; செலுத்துதல் A யும் 1 க்கு சமம். சராசரி ஊதியம்: ஒரு 11 \u003d ½ * 1 + ½ * 1 \u003d 1.

2. ஒரு 1 பி 2 (ஒரு ஏமாற்று, பி நம்பவில்லை). A க்கு ஒரு சீட்டு கிடைத்தால், அவருக்கு தனிப்பட்ட நகர்வு இல்லை; அவருக்கு 1 ரூபிள் தேவை; அவரது மூலோபாயத்தின்படி, அவர் நம்பவில்லை, காசோலையின் விளைவாக, 2 ரூபிள் செலுத்துகிறார் (A இன் ஆதாயம் +2). A ஒரு டூஸைப் பெற்றால், அவரது மூலோபாயத்தின்படி, அவர் 1 ரூபிள் கோருகிறார்; பி, தனது சொந்த படி, நம்பவில்லை; இதன் விளைவாக, A 2 ரூபிள் செலுத்துகிறது (A இன் ஆதாயம் -2). சராசரி செலுத்துதல்: ஒரு 12 \u003d ½ * (+ 2) + ½ * (- 2) \u003d 0.

3. ஒரு 2 பி 1 (ஏ ஏமாற்றாது, பி நம்புகிறது). A ஒரு சீட்டு வெளியே எடுத்தால், அவர் 1 ரூபிள் கோருகிறார்; பி, அவரது மூலோபாயத்தின் படி, செலுத்துகிறது; A இன் ஆதாயம் +1 ஆகும். A ஒரு டியூஸை வெளியே எடுத்தால், அவர் தனது மூலோபாயத்தின்படி 1 ரூபிள் செலுத்துகிறார்; எஞ்சியிருப்பதை ஏற்றுக்கொள்வதே (A இன் ஆதாயம் –1). சராசரி செலுத்துதல்: ஒரு 21 \u003d ½ * (+ 1) + ½ * (- 1) \u003d 0.

4. ஒரு 2 பி 2 (ஏ ஏமாற்றாது, பி நம்பவில்லை). A ஒரு சீட்டு வெளியே எடுத்தால், அவர் 1 ரூபிள் கோருகிறார்; பி காசோலைகள் மற்றும், காசோலையின் விளைவாக, 2 ரூபிள் செலுத்துகிறது (வெற்றி +2). A ஒரு டியூஸை வெளியே எடுத்தால், அவர் 1 ரூபிள் செலுத்துகிறார்; எஞ்சியிருப்பது ஏற்றுக்கொள்வதுதான் (செலுத்துதல் 1). சராசரி செலுத்துதல்: ஒரு 22 \u003d ½ * (+ 2) + ½ * (- 1) \u003d.

நாங்கள் விளையாட்டு மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குகிறோம்:

மேட்ரிக்ஸுக்கு சேணம் புள்ளி இல்லை. விளையாட்டின் குறைந்த விலை α \u003d 0, விளையாட்டின் மேல் விலை β \u003d is. கலப்பு உத்திகள் துறையில் விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வைக் காண்போம். சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல் (4.3), நாம் பெறுகிறோம்:

அந்த. பிளேயர் ஏ தனது முதல் மூலோபாயத்தை (ஏமாற்றுபவர்) எல்லா நிகழ்வுகளிலும் மூன்றில் ஒரு பகுதியிலும், இரண்டாவதாக (ஏமாற்றுபவர்) மூன்றில் இரண்டு பங்கிலும் பயன்படுத்த வேண்டும். இந்த வழக்கில், அவர் விளையாட்டின் விலையை சராசரியாக வெல்வார் ν \u003d 1/3.

Conditions \u003d 1/3 மதிப்பு இந்த நிலைமைகளின் கீழ் விளையாட்டு A க்கு நன்மை பயக்கும் மற்றும் B க்கு சாதகமற்றது என்பதைக் குறிக்கிறது. அவரது உகந்த மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தி, A எப்போதும் தன்னை ஒரு நேர்மறையான சராசரி ஊதியத்துடன் வழங்க முடியும். A தனது மிகவும் எச்சரிக்கையான (மாக்சிமின்) மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தியிருந்தால் (இந்த விஷயத்தில், A 1 மற்றும் A 2 ஆகிய இரண்டு உத்திகளும் மாக்சிமின்), அவருக்கு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான சராசரி ஊதியம் இருக்கும். எனவே, ஒரு கலப்பு மூலோபாயத்தின் பயன்பாடு B க்கு மேல் தனது நன்மையை உணர ஒரு வாய்ப்பை அளிக்கிறது, இது விளையாட்டின் கொடுக்கப்பட்ட விதிகளின் கீழ் எழுகிறது.

உகந்த மூலோபாயத்தை வரையறுப்போம். நம்மிடம்: q 1 * 1 + q 2 * 0 \u003d 1/3, q 1 \u003d 1/3, q 2 \u003d 2/3. எங்கிருந்து

அதாவது. பிளேயர் பி எல்லா நிகழ்வுகளிலும் மூன்றில் ஒரு பங்கை நம்ப வேண்டும் மற்றும் சரிபார்க்காமல் அவருக்கு 1 ரூபிள் செலுத்த வேண்டும், மூன்றில் இரண்டு பங்கு வழக்குகளில் - சரிபார்க்கவும். பின்னர் அவர் சராசரியாக ஒவ்வொரு ஆட்டத்திற்கும் 1/3 இழப்பார். அவர் தனது மினிமேக்ஸ் தூய மூலோபாயம் பி 2 ஐப் பயன்படுத்தினால் (நம்ப வேண்டாம்), அவர் ஒவ்வொரு விளையாட்டுக்கும் சராசரியாக 1/2 இழப்பார்.

2 × 2 விளையாட்டுக்கான தீர்வுக்கு எளிய வடிவியல் விளக்கம் கொடுக்கப்படலாம். மேட்ரிக்ஸுடன் 2 × 2 விளையாட்டு இருக்கட்டும்

1 நீளத்துடன் அப்சிஸ்ஸா அச்சின் ஒரு பகுதியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் (படம் 4.1). பிரிவின் இடது முனை (அப்சிஸ்ஸா x \u003d 0 உடன் புள்ளி) மூலோபாயம் A 1 ஐ குறிக்கும்; பிரிவின் வலது முனை (x \u003d 1) - மூலோபாயம் A 2. புள்ளிகள் А 1 மற்றும் А 2: அச்சு மூலம் அப்சிஸ்ஸா அச்சுக்கு இரண்டு செங்குத்தாக வரைவோம் நான்-நான் மற்றும் அச்சு II - II... அச்சில் நான்-நான் A 1 மூலோபாயத்திற்கான வெற்றிகளை நாங்கள் ஒத்திவைப்போம்; அச்சில் II - II - மூலோபாயம் A 2 க்கு வெற்றி. எதிராளியின் மூலோபாயம் பி 1 ஐ கவனியுங்கள்; இது அச்சுகளில் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொடுக்கிறது நான்-நான் மற்றும் II - II முறையே 11 மற்றும் 21 என ஆணையிடுகிறது. இந்த புள்ளிகள் மூலம் பி 1 பி 1 என்ற நேர் கோட்டை வரைவோம். வெளிப்படையாக, எதிரியின் மூலோபாயம் B 1 உடன் இருந்தால் கலப்பு மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவோம்

எங்கள் சராசரி ஊதியம், இந்த விஷயத்தில் 11 p 1 + a 21 p 2 க்கு சமம், B 1 B 1 வரியில் M புள்ளியால் குறிக்கப்படுகிறது; இந்த புள்ளியின் அப்சிஸ்ஸா ப 2 க்கு சமம். மூலோபாயம் В 1 இன் செலுத்துதலைக் குறிக்கும் line 1 В 1 என்ற நேர் கோடு வழக்கமாக "மூலோபாயம் В 1" என்று அழைக்கப்படும்.

வெளிப்படையாக, மூலோபாயம் B2 ஐ அதே வழியில் உருவாக்க முடியும் (படம் 4.2).

S A * என்ற உகந்த மூலோபாயத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது, குறைந்தபட்ச ஊதியம் (B இன் எந்தவொரு நடத்தைக்கும்) அதிகபட்சமாக மாறும். இதற்காக, பி 1, பி 2, அதாவது உத்திகளுக்கான ஊதியத்தின் குறைந்த வரம்பை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம். உடைந்த வரி B 1 NB 2 படத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. தைரியமான கோடுடன் 4.2. இந்த குறைந்த வரம்பு வீரர் A இன் கலப்பு உத்திகள் எதற்கும் குறைந்தபட்ச ஊதியத்தை வெளிப்படுத்தும்; புள்ளி N, இந்த குறைந்தபட்ச ஆதாயம் அதன் அதிகபட்சத்தை எட்டுகிறது, இது முடிவையும் விளையாட்டின் விலையையும் தீர்மானிக்கிறது. புள்ளி N இன் ஆர்டினேட் விளையாட்டின் விலை that என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது, மற்றும் அதன் அப்சிஸ்ஸா p 2 க்கு சமம் - உகந்த கலப்பு மூலோபாயம் S A * இல் மூலோபாயம் A 2 ஐப் பயன்படுத்துவதற்கான அதிர்வெண்.

எங்கள் விஷயத்தில், விளையாட்டின் முடிவு உத்திகளின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியால் தீர்மானிக்கப்பட்டது. இருப்பினும், இது எப்போதும் இருக்காது; அத்தி. 4.3 உத்திகளைக் குறுக்கிடும் போதிலும், தீர்வு இரு வீரர்களுக்கும் தூய உத்திகள் (A 2 மற்றும் B 2), மற்றும் விளையாட்டின் விலை ν \u003d a 22 ஆகியவற்றைக் கொடுக்கும். இந்த வழக்கில், மேட்ரிக்ஸுக்கு ஒரு சேணம் புள்ளி உள்ளது, மேலும் மூலோபாயம் A 1 வெளிப்படையாக லாபகரமானது எதிரியின் எந்தவொரு தூய மூலோபாயத்திற்கும், இது A2 ஐ விட குறைவான லாபத்தை அளிக்கிறது.

வழக்கில், விரோதி வேண்டுமென்றே சாதகமற்ற மூலோபாயத்தைக் கொண்டிருக்கும்போது, \u200b\u200bவடிவியல் விளக்கம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. 4.4.

இந்த வழக்கில், செலுத்துதலின் குறைந்த வரம்பு மூலோபாயம் பி 1 உடன் ஒத்துப்போகிறது, மூலோபாயம் பி 2 வெளிப்படையாக எதிராளிக்கு லாபகரமானது.

வடிவியல் விளக்கம் விளையாட்டின் குறைந்த மற்றும் மேல் விலைகளையும் காட்சிப்படுத்துவதை சாத்தியமாக்குகிறது (படம் 4.5).

எடுத்துக்காட்டுவதற்கு, 1 மற்றும் 2 எடுத்துக்காட்டுகளில் கருதப்படும் 2 × 2 விளையாட்டுகளின் வடிவியல் விளக்கங்களை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம் (படம் 4.6 மற்றும் 4.7).

எந்த 2 × 2 விளையாட்டையும் அடிப்படை தந்திரங்களால் தீர்க்க முடியும் என்பதை உறுதிசெய்துள்ளோம். எந்த 2xn விளையாட்டையும் அதே வழியில் தீர்க்க முடியும். எங்களிடம் இரண்டு உத்திகள் மட்டுமே உள்ளன, எதிரிக்கு தன்னிச்சையான எண் உள்ளது.

எங்களிடம் இரண்டு உத்திகள் உள்ளன என்று வைத்துக்கொள்வோம்: А 1, А 2, மற்றும் எதிரி - n உத்திகள்: В 1, В 2, ..., В n. அணி ‖a ij given கொடுக்கப்பட்டுள்ளது; இது இரண்டு வரிசைகள் மற்றும் n நெடுவரிசைகளைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டு உத்திகளைப் போலவே, சிக்கலுக்கு ஒரு வடிவியல் விளக்கத்தையும் தருகிறோம்; n எதிரியின் உத்திகள் n நேர் கோடுகளால் குறிக்கப்படுகின்றன (படம் 4.8). வெற்றிகளின் கீழ் எல்லையை (உடைந்த வரி B 1 MNB 2) உருவாக்கி, அதில் அதிகபட்ச புள்ளியுடன் N புள்ளியைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த புள்ளி விளையாட்டுக்கான தீர்வு (மூலோபாயம்) தருகிறது ) புள்ளி N இன் ஆர்டினேட் விளையாட்டின் விலைக்கு சமம், மற்றும் அப்சிஸ்ஸா A 2 மூலோபாயத்தின் அதிர்வெண் p 2 க்கு சமம்.

இந்த வழக்கில், இரண்டு "பயனுள்ள" உத்திகளின் கலவையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் எதிராளியின் உகந்த மூலோபாயம் பெறப்படுகிறது: பி 2 மற்றும் பி 4, புள்ளி N இல் வெட்டுகிறது. வியூகம் பி 3 வெளிப்படையாக லாபகரமானது, மற்றும் உத்தி பி 1 உகந்த மூலோபாயம் எஸ்.ஏ. *. A தனது உகந்த மூலோபாயத்துடன் ஒட்டிக்கொண்டால், அதன் "பயனுள்ள" உத்திகள் B ஐப் பயன்படுத்துவதில் எந்த மாற்றமும் மாறாது, இருப்பினும், B 1 அல்லது B 3 உத்திகளுக்கு மாறினால் அது மாறும். விளையாட்டுக் கோட்பாட்டில், எந்தவொரு வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டு mxn க்கும் ஒரு தீர்வு உள்ளது என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, இதில் இருபுறமும் உள்ள "பயனுள்ள" உத்திகளின் எண்ணிக்கை குறைந்தபட்சம் m மற்றும் n ஆகிய இரண்டு எண்களைத் தாண்டாது. குறிப்பாக, 2xm விளையாட்டு எப்போதும் ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்கிறது, இதில் இரண்டு பக்கங்களுக்கும் மேலாக இரண்டு "பயனுள்ள" உத்திகள் பங்கேற்கவில்லை.

ஒரு வடிவியல் விளக்கத்தைப் பயன்படுத்தி, எந்த 2xm விளையாட்டையும் தீர்க்க ஒரு எளிய வழியைக் கொடுக்க முடியும். வரைபடத்திலிருந்து நேரடியாக, எதிரி B j மற்றும் B k இன் ஒரு ஜோடி "பயனுள்ள" உத்திகளைக் காண்கிறோம், இது N புள்ளியில் வெட்டுகிறது (இரண்டு உத்திகள் N புள்ளியில் குறுக்கிட்டால், அவற்றில் இரண்டையும் எடுத்துக்கொள்கிறோம்). வீரர் A தனது உகந்த மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், அதன் "பயனுள்ள" உத்திகளுக்கு அவர் B ஐப் பயன்படுத்தும் விகிதத்தைப் பொறுத்து செலுத்துதல் சார்ந்து இருக்காது என்பதை நாங்கள் அறிவோம்.

இந்த சமன்பாடுகள் மற்றும் நிபந்தனை p 2 \u003d 1 - p 1 ஆகியவற்றிலிருந்து, p1, p2 மற்றும் விளையாட்டின் விலை find ஆகியவற்றைக் காண்கிறோம். விளையாட்டின் விலையை அறிந்து, உகந்த மூலோபாயத்தை உடனடியாக தீர்மானிக்க முடியும் பிளேயர் பி. இதற்கு, எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு தீர்க்கப்படுகிறது: qja 1 j + qka 1 k \u003d ν, அங்கு qj + qk \u003d 1. நாம் m உத்திகளைக் கொண்டிருக்கும்போது, \u200b\u200bஎதிரிக்கு இரண்டு மட்டுமே இருக்கும்போது, \u200b\u200bவெளிப்படையாக, சிக்கல் முற்றிலும் ஒத்த வழியில் தீர்க்கப்படுகிறது; வெற்றியின் அடையாளத்தை எதிர்மாறாக மாற்றுவதன் மூலம், வீரர் A ஐ "வென்றது" என்பதிலிருந்து "தோல்வி" ஆக மாற்ற முடியும் என்பதை கவனிக்க போதுமானது. வென்ற அடையாளத்தை மாற்றாமல் விளையாட்டை நீங்கள் தீர்க்கலாம்; பின்னர் சிக்கல் நேரடியாக B க்கு தீர்க்கப்படுகிறது, ஆனால் குறைவானது அல்ல, ஆனால் மேல் செலுத்துதல் கட்டமைக்கப்படுகிறது (படம் 4.9). எல்லையில், குறைந்தபட்ச ஆர்டினேட் கொண்ட ஒரு புள்ளி N கோரப்படுகிறது, இது விளையாட்டு விலை is.

2 × 2 மற்றும் 2xm விளையாட்டுகளின் பல எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொண்டு தீர்க்கவும், அவை நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்த விளையாட்டுகளின் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 3.சைட் ஏ இரண்டு குண்டுவீச்சுகளை எதிரி பகுதிக்கு அனுப்புகிறது பி நான் மற்றும் II; நான் முன்னால் பறக்கிறது, II - பின்னால். குண்டுவெடிப்பாளர்களில் ஒருவர் - இது எது என்று முன்கூட்டியே தெரியவில்லை - குண்டை எடுத்துச் செல்ல வேண்டும், மற்றொன்று எஸ்கார்ட்டின் செயல்பாட்டை செய்கிறது. எதிரிகளின் பகுதியில், குண்டுவீச்சுக்காரர்கள் ஒரு பக்க பி ஃபைட்டரால் தாக்கப்படுகிறார்கள். குண்டுவீச்சுக்காரர்கள் பல்வேறு வகையான தீயணைப்பு பீரங்கிகளால் ஆயுதம் ஏந்தியுள்ளனர். போர் பின் குண்டுவீச்சைத் தாக்கினால் II, பின்னர் இந்த குண்டுவீச்சின் பீரங்கிகள் மட்டுமே அதன் மீது சுடுகின்றன; அவர் முன் குண்டுவீச்சைத் தாக்கினால், இரு குண்டுவெடிப்பாளர்களின் பீரங்கிகளும் அவர் மீது துப்பாக்கிச் சூடு நடத்துகின்றன. முதல் வழக்கில் ஒரு போராளியைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு இரண்டாவது 0.7 இல் 0.3 ஆகும்.

தற்காப்பு குண்டுவெடிப்புத் தீயினால் போர்வீரர் சுடப்படாவிட்டால், அது அதன் விருப்பத்தின் இலக்கை 0.6 நிகழ்தகவுடன் தாக்குகிறது. குண்டுவெடிப்பாளர்களின் பணி வெடிகுண்டை இலக்குக்கு கொண்டு செல்வது; இதைத் தடுப்பதே போராளியின் பணி, அதாவது. ஒரு கேரியர் குண்டுவெடிப்பை சுட்டுவிடுங்கள். கட்சிகளின் உகந்த உத்திகளைத் தேர்வு செய்வது அவசியம்:

a) பக்க A க்கு: எந்த குண்டுவீச்சு கேரியராக பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்?

b) பக்க B க்கு: எந்த குண்டுவீச்சு தாக்க வேண்டும்?

முடிவு. 2 × 2 விளையாட்டின் எளிய வழக்கு எங்களிடம் உள்ளது; வெற்றி-நிகழ்தகவு கேரியரின் தோல்வி அல்ல. எங்கள் உத்திகள்: ஒரு 1 - கேரியர் - குண்டுதாரி நான்; ஒரு 2 - கேரியர் - குண்டுதாரி II... எதிரி உத்திகள்: பி 1 - குண்டுவீச்சு தாக்கப்படுகிறது நான்; பி 2 - குண்டுவெடிப்பு தாக்குதல்கள் II... விளையாட்டு மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குவோம், அதாவது. உத்திகள் ஒவ்வொரு சேர்க்கை சராசரி ஊதிய கண்டுபிடிக்க.

1.A 1 பி 1 (கேரியர் நான், தாக்கப்படுகிறது நான்). குண்டுவீச்சுக்காரர்கள் போராளியை சுட்டு வீழ்த்தினால், அல்லது கீழே சுடவில்லை என்றால் கேரியர் தாக்கப்படாது, ஆனால் அது அதன் இலக்கை அடையாது: ஒரு 11 \u003d 0.7 + 0.3 * 0.4 \u003d 0.82.

2.A 2 பி 1 (கேரியர் II, தாக்கப்படுகிறது நான்). a 21 \u003d 1

3.A 1 பி 2 (கேரியர் நான், தாக்கப்படுகிறது II). ஒரு 12 \u003d 1

4.A 2 B 2 (கேரியர் II, தாக்கப்படுகிறது II). ஒரு 22 \u003d 0.3 + 0.7 * 0.4 \u003d 0.58

விளையாட்டு அணி படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

விளையாட்டின் கீழ் விலை 0.82; மேல் விலை 1. மேட்ரிக்ஸுக்கு சேணம் புள்ளி இல்லை; கலப்பு உத்திகள் துறையில் ஒரு தீர்வை நாங்கள் தேடுகிறோம். எங்களிடம் உள்ளது:

p 1 * 0.82 + ப 2 * 1 \u003d

p 1 * 1 + p 2 * 0.58 \u003d

ப 1 \u003d 0.7; ப 2 \u003d 0.3

எங்கள் உகந்த உத்தி அதாவது, ஒரு கேரியராக, நீங்கள் அடிக்கடி தேர்வு செய்ய வேண்டும் நான்விட II... விளையாட்டின் விலை ν \u003d 0.874. Ing தெரிந்தால், q 1 மற்றும் q 2 ஐ தீர்மானிக்கிறோம் - எதிரி S B * இன் உகந்த மூலோபாயத்தில் B 1 மற்றும் B 2 உத்திகளின் அதிர்வெண்கள். எங்களிடம் உள்ளது: q 1 * 0.82 + q 2 * 1 \u003d 0.874 மற்றும் q 2 \u003d 1 - q 1, எங்கிருந்து q 1 \u003d 0.7; q 2 \u003d 0.3, அதாவது, எதிராளியின் உகந்த உத்தி .

எடுத்துக்காட்டு 4.சைட் ஏ பொருளைத் தாக்குகிறது, பக்க பி அதை பாதுகாக்கிறது. சைட் ஏ இரண்டு விமானங்களைக் கொண்டுள்ளது; பக்க B இல் மூன்று விமான எதிர்ப்பு துப்பாக்கிகள் உள்ளன. ஒவ்வொரு விமானமும் ஒரு சக்திவாய்ந்த அழிக்கும் ஆயுதத்தைக் கொண்டுள்ளன; பொருளைத் தாக்கும் பொருட்டு, குறைந்தபட்சம் ஒரு விமானமாவது அதை உடைக்க போதுமானது. பக்க ஒரு விமானம் பொருளை அணுக மூன்று திசைகளில் ஏதேனும் ஒன்றைத் தேர்வு செய்யலாம்: நான், II, III (அத்தி. 4.10). எதிரி (பக்க B) தனது துப்பாக்கிகளை எந்த திசையிலும் வைக்க முடியும்; இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு ஆயுதமும் தொடர்புடைய இடத்தின் பகுதியை மட்டுமே சுடும் இந்த திசை, மற்றும் அண்டை திசைகளை சுடாது. ஒவ்வொரு துப்பாக்கியும் ஒரு விமானத்தில் மட்டுமே சுட முடியும்; சுடப்பட்ட விமானம் நிகழ்தகவுடன் தாக்கப்பட்டுள்ளது 1. துப்பாக்கிகள் எங்கு அமைந்துள்ளன என்பது பக்க A க்குத் தெரியாது; பக்க B க்கு விமானங்கள் எங்கிருந்து வரும் என்று தெரியாது. பக்க A இன் பணி பொருளைத் தாக்குவது; அவரது தோல்வியைத் தடுப்பதே B பக்கத்தின் பணி. விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியவும்.

முடிவு. விளையாட்டு 2 × 3 விளையாட்டு. செலுத்துதல் என்பது பொருளைத் தாக்கும் நிகழ்தகவு. எங்கள் சாத்தியமான உத்திகள்: ஒரு 1 - ஒரு நேரத்தில் ஒரு விமானத்தை இரண்டு வெவ்வேறு திசைகளில் அனுப்புங்கள். மற்றும் 2 - இரண்டு விமானங்களையும் ஒரே திசையில் அனுப்புங்கள். எதிரி உத்திகள்: பி 1 - ஒவ்வொரு திசையிலும் ஒரு ஆயுதத்தை வைக்கவும்; 2 இல் - இரண்டு துப்பாக்கிகளை ஒரு திசையிலும் மற்றொன்று திசையிலும் வைக்கவும்; 3 இல் - மூன்று துப்பாக்கிகளையும் ஒரே திசையில் வைக்கவும். விளையாட்டின் மேட்ரிக்ஸை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்.

1.A 1 B 1 (விமானங்கள் பறக்கின்றன வெவ்வேறு திசைகள்; துப்பாக்கிகள் ஒரு நேரத்தில் வைக்கப்படுகின்றன). வெளிப்படையாக, இந்த விஷயத்தில், ஒரு விமானம் கூட பொருளை உடைக்காது: ஒரு 11 \u003d 0.

2. А 2 1 (விமானங்கள் ஒரே திசையில் பறக்கின்றன; துப்பாக்கிகள் ஒவ்வொன்றாக வைக்கப்படுகின்றன). வெளிப்படையாக, இந்த விஷயத்தில், ஒரு விமானம் துப்பாக்கிச் சூடு இல்லாமல் பொருளுக்குச் செல்லும்: ஒரு 21 \u003d 1.

3. 1 2 (விமானங்கள் ஒரு நேரத்தில் ஒன்று பறக்கின்றன; எதிரி இரண்டு திசைகளையும் பாதுகாத்து மூன்றாவது பாதுகாப்பற்ற நிலையில் விடுகிறான்). குறைந்தபட்சம் ஒரு விமானம் பொருளை உடைக்கும் நிகழ்தகவு, அவற்றில் ஒன்று பாதுகாப்பற்ற திசையைத் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்தகவுக்கு சமம்: ஒரு 12 \u003d 2/3.

. குறைந்தபட்சம் ஒரு விமானம் பொருளை உடைக்கும் நிகழ்தகவு ஒரு ஜோடி விமானங்கள் உண்மையில் பாதுகாப்பற்ற திசையைத் தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்தகவுக்கு சமம்: ஒரு 22 \u003d 2/3.

5. ஒரு 1 பி 3 (விமானங்கள் ஒரு நேரத்தில் பறக்கின்றன; எதிரி மூன்று துப்பாக்கிகளுடன் ஒரே ஒரு திசையை மட்டுமே பாதுகாக்கிறான்): ஒரு 13 \u003d 1.

6. А 2 В 3 (இரண்டு விமானங்களும் ஒன்றாக பறக்கின்றன; எதிரி மூன்று துப்பாக்கிகளுடன் ஒரு திசையை மட்டுமே பாதுகாக்கிறான்). பொருளைத் தாக்க, விமானம் பாதுகாப்பற்ற திசையைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்: ஒரு 23 \u003d 2/3.

விளையாட்டு மேட்ரிக்ஸ்:

மேட்ரிக்ஸ் В 3 உடன் ஒப்பிடும்போது strategy 3 மூலோபாயம் வெளிப்படையாக பாதகமானது என்பதைக் காட்டுகிறது (இது முன்கூட்டியே தீர்க்கப்பட்டிருக்கலாம்). மூலோபாயத்தை கடத்தல் 3 இல், விளையாட்டு 2 × 2 விளையாட்டாக குறைக்கப்படுகிறது:

மேட்ரிக்ஸில் ஒரு சேணம் புள்ளி உள்ளது: 2/3 விளையாட்டின் கீழ் விலை முதல்வருடன் ஒத்துப்போகிறது. அதே நேரத்தில், எங்களுக்கு (அ) A 1 மூலோபாயம் வெளிப்படையாக லாபகரமானது என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். முடிவு: A மற்றும் B இருபுறமும் எப்போதும் அவற்றின் தூய உத்திகள் A 2 மற்றும் B 2 ஐப் பயன்படுத்த வேண்டும், அதாவது. நாம் 2 க்குள் விமானங்களை அனுப்ப வேண்டும், ஜோடி அனுப்பப்படும் திசையை சீரற்ற முறையில் தேர்வுசெய்கிறோம்; விரோதி தனது ஆயுதங்களை பின்வரும் வழியில் வைக்க வேண்டும்: இரண்டு ஒரு திசையில், மற்றொன்று, இந்த திசைகளின் தேர்வும் தோராயமாக செய்யப்பட வேண்டும் (இங்கே, நாம் பார்ப்பது போல், ஏற்கனவே "தூய உத்திகள்" வாய்ப்பின் ஒரு கூறுகளை உள்ளடக்கியது) . இந்த உகந்த உத்திகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் எப்போதும் 2/3 என்ற நிலையான சராசரி ஊதியத்தைப் பெறுவோம் (அதாவது பொருள் 2/3 நிகழ்தகவுடன் தாக்கப்படும்). விளையாட்டுக்கான தீர்வு மட்டும் இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்க; முடிவைத் தவிர சுத்தமான உத்திகள், பிளேயர் A இன் கலப்பு உத்திகளின் முழு பகுதியும் உள்ளது, அவை உகந்தவை, p 1 \u003d 0 முதல் p 1 \u003d 1/3 வரை (படம் 4.11).

எடுத்துக்காட்டாக, எங்கள் உத்திகள் A1 மற்றும் A2 ஐ 1/3 மற்றும் 2/3 என்ற விகிதாச்சாரத்தில் பயன்படுத்தினால் 2/3 அதே சராசரி ஊதியம் பெறப்படும் என்பதை நேரடியாகப் பார்ப்பது எளிது.

எடுத்துக்காட்டு 5. முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ள அதே நிபந்தனைகள், ஆனால் தாக்குதலின் நான்கு திசைகளும் நமக்கு சாத்தியம், மற்றும் எதிரிக்கு நான்கு ஆயுதங்கள் உள்ளன.

முடிவு.எங்களிடம் இன்னும் இரண்டு சாத்தியமான உத்திகள் உள்ளன: ஒரு 1 - ஒரு நேரத்தில் ஒரு விமானத்தை அனுப்புங்கள், A 2 - இரண்டு விமானங்களை ஒன்றாக அனுப்புங்கள். எதிரிக்கு ஐந்து சாத்தியமான உத்திகள் உள்ளன: பி 1 - ஒவ்வொரு திசையிலும் ஒரு ஆயுதத்தை வைக்கவும்; 2 இல் - இரண்டு துப்பாக்கிகளை இரண்டு வெவ்வேறு திசைகளில் வைக்கவும்; 3 இல் - இரண்டு துப்பாக்கிகளை ஒரு திசையிலும், ஒரு நேரத்தில் மற்றொன்றிலும் வைக்கவும்; 4 மணிக்கு, மூன்று துப்பாக்கிகளை ஒரு திசையிலும் மற்றொன்று திசையிலும் வைக்கவும்; 5 மணிக்கு - நான்கு துப்பாக்கிகளையும் ஒரே திசையில் வைக்கவும். உத்திகள் В 4, В 5 முன்கூட்டியே லாபகரமானவை என நிராகரிக்கப்படும். முந்தைய எடுத்துக்காட்டுக்கு ஒத்ததாக, நாங்கள் விளையாட்டு மேட்ரிக்ஸை உருவாக்குகிறோம்:

குறைந்த விளையாட்டு விலை 1/2, மேல் ஒன்று 3/4. மேட்ரிக்ஸுக்கு சேணம் புள்ளி இல்லை; தீர்வு கலப்பு உத்திகள் பகுதியில் உள்ளது. வடிவியல் விளக்கத்தைப் பயன்படுத்தி (படம் 4.12), எதிரியின் "பயனுள்ள" உத்திகளைத் தனிமைப்படுத்துவோம்: பி 1 மற்றும் பி 2.

P 1 மற்றும் p 2 அதிர்வெண்கள் சமன்பாடுகளிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகின்றன: p 1 * 0 + (1 - p 1) * 1 \u003d ν மற்றும் p 1 * 5/6 + (1 - p 1) * 1/2 \u003d; எங்கிருந்து ப 1 \u003d 3/8; ப 2 \u003d 5/8; \u003d 5/8, அதாவது. எங்கள் உகந்த மூலோபாயம் ... அதைப் பயன்படுத்தி, சராசரியாக 5/8 வெற்றிகளைப் பெறுவோம். விளையாட்டின் விலையை அறிந்தால் ν \u003d 5/8, எதிரியின் “பயனுள்ள” உத்திகளில் q 1 மற்றும் q 2 அதிர்வெண்களைக் காண்கிறோம்: q 1 * 0 + (1 - q 1) * 5/6 \u003d 5/8, q 1 \u003d ¼, q 2 \u003d. எதிரியின் உகந்த மூலோபாயம்: .

எடுத்துக்காட்டு 6. சைட் ஏ இரண்டு உத்திகள் ஏ 1 மற்றும் ஏ 2, பக்க பி நான்கு பி 1, பி 2, பி 3 மற்றும் பி 4 ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது. விளையாட்டு அணி படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:

விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியவும்.

முடிவு. குறைந்த விளையாட்டு விலை 3; மேல் 4. வடிவியல் விளக்கம் (படம் 4.13) பிளேயரின் பி இன் பயனுள்ள உத்திகள் பி 1 மற்றும் பி 2 அல்லது பி 2 மற்றும் பி 4 என்பதைக் காட்டுகிறது:

பிளேயர் A எண்ணற்ற பல உகந்த கலப்பு உத்திகளைக் கொண்டுள்ளது: உகந்த மூலோபாயத்தில், p 1 1/5 முதல் 4/5 வரை மாறுபடும். விளையாட்டின் விலை ν \u003d 4. பிளேயர் பி ஒரு தூய்மையான உகந்த மூலோபாயம் பி 2 ஐக் கொண்டுள்ளது.

§ 5. வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான முறைகள்

இதுவரை, 2xn வகையின் மிக அடிப்படையான விளையாட்டுகளை மட்டுமே நாங்கள் கருத்தில் கொண்டுள்ளோம், அவை மிக எளிதாக தீர்க்கப்பட்டு வசதியான மற்றும் உள்ளுணர்வு வடிவியல் விளக்கத்தை அனுமதிக்கின்றன. பொதுவான விஷயத்தில், mxn விளையாட்டை தீர்ப்பது மிகவும் கடினமான பிரச்சினையாகும், மேலும் சிக்கலின் சிக்கலானது மற்றும் அதைத் தீர்க்க தேவையான கணக்கீடுகளின் அளவு m மற்றும் n ஐ அதிகரிப்பதன் மூலம் வியத்தகு அளவில் அதிகரிக்கிறது. இருப்பினும், இந்த சிரமங்கள் ஒரு அடிப்படை இயல்புடையவை அல்ல, அவை மிகப் பெரிய அளவிலான கணக்கீடுகளுடன் மட்டுமே தொடர்புடையவை, அவை சில சந்தர்ப்பங்களில் நடைமுறையில் சாத்தியமற்றதாக மாறக்கூடும். ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான முறையின் அடிப்படை அம்சம் எந்த மீ.

3xn விளையாட்டின் எடுத்துக்காட்டுடன் இதை விளக்குவோம். அதற்கு ஒரு வடிவியல் விளக்கத்தைக் கொடுப்போம் - ஏற்கனவே ஒரு இடஞ்சார்ந்த ஒன்று. எங்கள் மூன்று உத்திகள் A 1, A 2 மற்றும் A 3 ஆகியவை விமானத்தில் மூன்று புள்ளிகளால் சித்தரிக்கப்படும் ஹோய்; முதல் தோற்றம் (படம் 5.1), இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது - அச்சுகளில் உள்ளது ஓ மற்றும் OU ஆரம்பத்தில் இருந்து 1 தூரத்தில்.

A 1, A 2 மற்றும் A 3 புள்ளிகள் மூலம் அச்சுகள் வரையப்படுகின்றன நான் – நான், II – II மற்றும் III – IIIவிமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஹோய்... அச்சில் நான் – நான் ஆதாயங்கள் அச்சுகளில் A 1 மூலோபாயத்துடன் டெபாசிட் செய்யப்படுகின்றன II – II மற்றும் III – III - A 2, A 3 உத்திகளைக் கொண்ட வெற்றிகள். எதிரி B j இன் ஒவ்வொரு மூலோபாயமும் ஒரு விமானம் அச்சுகளில் வெட்டப்படுவதன் மூலம் சித்தரிக்கப்படுகிறது நான் – நான், II – II மற்றும் III – III தொடர்புடைய உத்திகள் A 1, A 2 மற்றும் A 3 மற்றும் மூலோபாயம் B j க்கான செலுத்துதல்களுக்கு சமமான பகுதிகள். இவ்வாறு எதிரியின் அனைத்து உத்திகளையும் கட்டியெழுப்பியதால், A 1, A 2 மற்றும் A 3 முக்கோணத்தின் மீது விமானங்களின் குடும்பத்தைப் பெறுகிறோம் (படம் 5.2). இந்த குடும்பத்தைப் பொறுத்தவரை, நாங்கள் 2xn வழக்கில் செய்ததைப் போலவே குறைந்த ஊதிய எல்லையையும் உருவாக்கலாம், மேலும் இந்த எல்லை புள்ளி N ஐ விமானத்திற்கு மேலே அதிகபட்ச உயரத்துடன் காணலாம் ஹோய்... இந்த உயரம் விளையாட்டின் செலவாக இருக்கும்.

உகந்த மூலோபாயம் SA * இல் A 1, A 2 மற்றும் A 3 உத்திகளின் p 1, p 2, p 3 அதிர்வெண்கள் N புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்புகளால் (x, y) தீர்மானிக்கப்படும், அதாவது: p 2 \u003d x, p 3 \u003d y, ப 1 \u003d 1 - ப 2 - ப 3. இருப்பினும், அத்தகைய வடிவியல் கட்டுமானம், 3xn வழக்குக்கு கூட, செயல்படுத்த எளிதானது அல்ல, மேலும் கற்பனையின் அதிக நேரமும் முயற்சியும் தேவைப்படுகிறது. இருப்பினும், ஒரு விளையாட்டின் பொதுவான விஷயத்தில், இது ஒரு மீ-பரிமாண இடத்திற்கு மாற்றப்பட்டு அனைத்து தெளிவையும் இழக்கிறது, இருப்பினும் பல நிகழ்வுகளில் வடிவியல் சொற்களைப் பயன்படுத்துவது பயனுள்ளதாக மாறும். Mxn கேம்களைத் தீர்க்கும்போது, \u200b\u200bநடைமுறையில் வடிவியல் ஒப்புமைகளைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது, ஆனால் கணக்கீட்டு பகுப்பாய்வு முறைகள், குறிப்பாக கணினிகளில் ஒரு சிக்கலைத் தீர்க்க இந்த முறைகள் மட்டுமே பொருத்தமானவை என்பதால்.

இந்த முறைகள் அனைத்தும் அடுத்தடுத்த சோதனைகள் மூலம் ஒரு சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு முக்கியமாக கொதிக்கின்றன, ஆனால் சோதனைகளின் வரிசையை வரிசைப்படுத்துவது ஒரு வழிமுறையை உருவாக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது, இது மிகவும் சிக்கனமான வழியில் தீர்வுக்கு வழிவகுக்கிறது. "லீனியர் புரோகிராமிங்" முறை என்று அழைக்கப்படும் mxn கேம்களைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு கணக்கீட்டு முறையை இங்கே சுருக்கமாக வாசிப்போம். இதற்காக, mxn விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கலின் பொதுவான அறிக்கையை முதலில் தருகிறோம். மீ உத்திகள் A 1, A 2,…, A மீ மற்றும் பிளேயர் A மற்றும் n உத்திகள் B 1, B 2,…, பிளேயர் B இன் B n கொடுக்கப்பட வேண்டும் மற்றும் ஒரு செலுத்தும் அணி ‖a i j given வழங்கப்படும். விளையாட்டுக்கு தீர்வு காண இது தேவைப்படுகிறது, அதாவது. A மற்றும் B வீரர்களின் இரண்டு உகந்த கலப்பு உத்திகள்

எங்கே p 1 + p 2 + ... + p m \u003d 1; q 1 + q 2 +… + q n \u003d 1 (p i மற்றும் q j எண்கள் சில பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கலாம்).

எங்கள் உகந்த மூலோபாயம் S A * எங்களுக்கு எதிராளியின் எந்தவொரு நடத்தைக்கும் less க்கும் குறைவான ஊதியம் மற்றும் அவரது உகந்த நடத்தைக்கு (மூலோபாயம் S B *) சமமான ஊதியம் வழங்க வேண்டும். இதேபோல், S B * என்ற மூலோபாயம் எதிராளியை இழப்புடன் வழங்க வேண்டும், அது நம்முடைய எந்தவொரு நடத்தைக்கும் our சமமாகவும், நமது உகந்த நடத்தைக்கு (மூலோபாயம் S A *) சமமாகவும் இருக்கும்.

விளையாட்டின் விலையின் மதிப்பு this இந்த விஷயத்தில் எங்களுக்குத் தெரியாது; அது சிலருக்கு சமம் என்று கருதுவோம் நேர்மறை எண்... அவ்வாறு நம்புகிறோம், பகுத்தறிவின் பொதுவான தன்மையை நாங்கள் மீறுவதில்லை; ν\u003e 0 க்கு, மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளும் ia i j ne அல்லாததாக இருப்பது வெளிப்படையாக போதுமானது. Alwaysa i j elements போதுமான பெரிய நேர்மறை மதிப்பைச் சேர்ப்பதன் மூலம் இதை எப்போதும் அடைய முடியும் எல்; விளையாட்டின் விலை அதிகரிக்கும் எல்மற்றும் முடிவு மாறாது.

எங்கள் உகந்த மூலோபாயம் S A * ஐ தேர்ந்தெடுத்துள்ளோம் என்று வைத்துக்கொள்வோம். எதிரியின் மூலோபாயத்துடன் எங்கள் சராசரி ஊதியம் B j ஆக இருக்கும்: a j \u003d p 1 a 1j + p 2 a 2j +… + p m a mj. எங்கள் உகந்த மூலோபாயம் S A * க்கு சொத்து உள்ளது, எதிரியின் எந்தவொரு நடத்தைக்கும், இது than க்கும் குறைவான ஊதியத்தை வழங்குகிறது; எனவே, ஒரு ஜெ எண்களில் of ஐ விட குறைவாக இருக்கக்கூடாது. நாங்கள் பல நிபந்தனைகளைப் பெறுகிறோம்:

சமத்துவமின்மைகளை (5.1) நேர்மறையான மதிப்பால் பிரித்து குறிக்கிறோம்

பின்னர் நிபந்தனைகளை (5.1) வடிவத்தில் எழுதலாம்

இங்கு ξ 1, ξ 2,…, m என்பது எதிர்மறை அல்லாத எண்கள். 1 + p 2 +… + p m \u003d 1 என்பதால், ξ 1, ξ 2,…, ξ m அளவு நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்கிறது

(5.3) ξ 1 + ξ 2 +… + ξ m \u003d 1 /.

எங்கள் உத்தரவாத வெற்றிகளை முடிந்தவரை செய்ய விரும்புகிறோம்; வெளிப்படையாக, அதே நேரத்தில் வலது பகுதி சமத்துவம் (5.3) குறைந்தபட்ச மதிப்பை எடுக்கும். எனவே, விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் பின்வரும் கணித சிக்கலாகக் குறைக்கப்படுகிறது: non 1, ξ 2,…, ξ m திருப்திகரமான நிலைமைகளை (5.2) நிர்ணயிப்பதன் மூலம் அவற்றின் தொகை Φ \u003d ξ 1 + 2 +… + ξ மீ குறைவாக இருந்தது.

வழக்கமாக, தீவிர மதிப்புகளை (மாக்ஸிமா மற்றும் மினிமா) கண்டுபிடிப்பதில் தொடர்புடைய சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது, \u200b\u200bசெயல்பாடு வேறுபடுத்தப்பட்டு, வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும். இந்த விஷயத்தில் இதுபோன்ற ஒரு நுட்பம் பயனற்றது, ஏனென்றால் function, செயல்பாடு குறைந்தபட்சமாகக் குறைக்கப்பட வேண்டியது நேரியல், மற்றும் அனைத்து வாதங்களுக்கும் பொருந்தக்கூடிய அதன் வழித்தோன்றல்கள் ஒற்றுமைக்கு சமம், அதாவது. எங்கும் மறைந்துவிடாதீர்கள். இதன் விளைவாக, செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் வாதங்களின் மாறுபாட்டின் வரம்பின் எல்லையில் எங்காவது அடையப்படுகிறது, இது வாதங்கள் மற்றும் நிபந்தனைகளின் எதிர்மறை அல்லாத தேவையின் அடிப்படையில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது (5.2). தீவிரமான மதிப்புகளை வேறுபடுத்துவதன் மூலம் கண்டுபிடிப்பதற்கான முறையும் அந்த சந்தர்ப்பங்களில் பொருத்தமற்றது, இது விளையாட்டைத் தீர்ப்பதற்கு குறைந்த (அல்லது குறைந்தபட்சம் மேல்) செலுத்துதலின் வரம்பை நிர்ணயிக்கும் போது, \u200b\u200bஎடுத்துக்காட்டாக, நாங்கள் தீர்க்கும்போது செய்ததைப் போல 2xn விளையாட்டுகள். உண்மையில், கீழ் எல்லை நேர் கோடுகளின் பிரிவுகளால் ஆனது, மேலும் அதிகபட்சம் அடையப்படுவது வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் இடத்தில் அல்ல (அத்தகைய புள்ளி எதுவும் இல்லை), ஆனால் இடைவெளியின் எல்லையில் அல்லது புள்ளியில் நேரான பிரிவுகளின் குறுக்குவெட்டு.

நடைமுறையில் மிகவும் பொதுவான இத்தகைய சிக்கல்களைத் தீர்க்க, கணிதத்தில் ஒரு சிறப்பு நேரியல் நிரலாக்க கருவி உருவாக்கப்பட்டுள்ளது. நேரியல் நிரலாக்க சிக்கல் பின்வருமாறு முன்வைக்கப்படுகிறது. நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்பு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

Ξ 1, ξ 2,…, ξ m திருப்திகரமான நிலைமைகள் (5.4) மற்றும் அதே நேரத்தில் ξ 1, 2,…, ities அளவுகளின் கொடுக்கப்பட்ட ஒரேவிதமான நேரியல் செயல்பாட்டைக் குறைப்பதன் அளவுகளின் சார்பற்ற மதிப்புகளைக் கண்டறிவது அவசியம். m (நேரியல் வடிவம்): Φ \u003d c 1 ξ 1 + c 2 ξ 2 +… + cm ξ m

விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் மேலே உள்ள சிக்கல் c 1 \u003d c 2 \u003d… \u003d cm \u003d 1 க்கான நேரியல் நிரலாக்க சிக்கலின் சிறப்பு நிகழ்வு என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது. முதல் பார்வையில், நிபந்தனைகள் (5.2) சமமானவை அல்ல என்று தோன்றலாம் நிபந்தனைகள் (5.4), ஏனெனில் சம அறிகுறிகளுக்கு பதிலாக அவை சமத்துவமின்மை அறிகுறிகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. இருப்பினும், புதிய கற்பனையான எதிர்மறை அல்லாத மாறிகள் z 1, z 2,…, z n மற்றும் எழுத்து நிலைமைகளை (5.2) வடிவத்தில் அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் சமத்துவமின்மை அறிகுறிகளிலிருந்து விடுபடுவது எளிது:

குறைந்தபட்ச வடிவமாக குறைக்கப்பட வேண்டிய form வடிவம் Φ \u003d 1 + ξ 2 +… + ξ மீ. நேரியல் நிரலாக்க கருவி ஒப்பீட்டளவில் குறைந்த எண்ணிக்கையிலான வரிசை மாதிரிகள் மூலம் கூறப்பட்ட தேவைகளை பூர்த்தி செய்யும் ξ 1, ξ 2,…, ξ m மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதை சாத்தியமாக்குகிறது. அதிக தெளிவுக்காக, குறிப்பிட்ட கேம்களைத் தீர்க்கும் பொருளில் இந்த சாதனத்தின் பயன்பாட்டை நேரடியாக இங்கு காண்பிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. மேட்ரிக்ஸுடன் எடுத்துக்காட்டு 2 § 1 இல் கொடுக்கப்பட்ட 3 × 3 விளையாட்டுக்கு தீர்வு காண இது தேவைப்படுகிறது:

எல்லாவற்றையும் ஒரு ஐ.ஜே. அல்லாததாக மாற்ற, எல் \u003d 5 அணியின் அனைத்து கூறுகளையும் சேர்க்கிறோம். நாங்கள் மேட்ரிக்ஸைப் பெறுகிறோம்:

இந்த வழக்கில், விளையாட்டின் விலை 5 ஆக அதிகரிக்கும், மற்றும் முடிவு மாறாது.

S A * என்ற உகந்த மூலோபாயத்தை வரையறுப்போம். நிபந்தனைகள் (5.2) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன:

இங்கு ξ 1 \u003d ப 1 / ν, ξ 2 \u003d ப 2 / ν, ξ 3 \u003d ப 3 /. சமத்துவமின்மை அறிகுறிகளிலிருந்து விடுபட, போலி மாறிகள் z 1, z 2, z 3; நிபந்தனைகள் (5.6) வடிவத்தில் எழுதப்படும்:

நேரியல் வடிவம் form வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: Φ \u003d ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 மற்றும் முடிந்தவரை சிறியதாக மாற்றப்பட வேண்டும். பி மூன்று உத்திகளும் “பயனுள்ளவை” என்றால், மூன்று போலி மாறிகள் z 1, z 2, z 3 மறைந்துவிடும் (அதாவது, விளையாட்டு விலைக்கு சமமான ஊதியம் each ஒவ்வொரு மூலோபாயத்திற்கும் பி j அடையப்படும்). ஆனால் மூன்று உத்திகளும் "பயனுள்ளவை" என்று சொல்ல எங்களுக்கு இன்னும் எந்த காரணமும் இல்லை. இதைச் சரிபார்க்க, z 1, z 2, z 3 என்ற போலி மாறிகள் அடிப்படையில் form படிவத்தை வெளிப்படுத்த முயற்சிப்போம், அவற்றை நாம் அடைய முடியுமா என்று பார்ப்போம், அவை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமானதாக கருதி, படிவத்தின் குறைந்தபட்சம். இதைச் செய்ய, ξ 1, ξ 2, ξ 3 மாறிகள் தொடர்பாக சமன்பாடுகளை (5.7) தீர்க்கிறோம் (அதாவது, போலி மாறிகள் z 1, z 2, z 3 ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் ξ 1, ξ 2, ξ 3 ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம். ):

1, ξ 2, ξ 3 ஐச் சேர்த்தால், நாம் பெறுகிறோம்: Φ \u003d 1/5 + z 1/20 + z 2/10 + z 3/20. இங்கே அனைத்து z க்கான குணகங்களும் நேர்மறையானவை; எனவே, பூஜ்ஜியத்திற்கு மேலே z 1, z 2, z 3 இன் அதிகரிப்பு form வடிவத்தில் அதிகரிப்புக்கு மட்டுமே வழிவகுக்கும், மேலும் இது மிகக் குறைவாக இருக்க வேண்டும் என்று நாங்கள் விரும்புகிறோம். ஆகையால், form வடிவத்தை குறைந்தபட்சமாக மாற்றும் z 1, z 2, z 3 மதிப்புகள் z 1 \u003d z 2 \u003d z 3 \u003d 0. ஆகையால், form வடிவத்தின் குறைந்தபட்ச மதிப்பு: 1 / ν \u003d 1 / 5, விளையாட்டின் விலை எங்கிருந்து ν \u003d 5. பூஜ்ஜிய மதிப்புகளை z 1, z 2, z 3 சூத்திரங்களில் (5.8) மாற்றினால், நாம் காண்கிறோம்: ξ 1 \u003d 1/20, 2 \u003d 1/10, 3 \u003d 1/20, அல்லது, அவற்றை ν, ப 1 \u003d 1/4, ப 2 \u003d 1/2, ப 3 \u003d 1/4 ஆல் பெருக்கி. இதனால், உகந்த உத்தி A கண்டறியப்பட்டுள்ளது: , அதாவது. எல்லா நிகழ்வுகளிலும் ஒரு காலாண்டில் எண் 1 ஐயும், பாதி வழக்குகளில் 2 ஐயும், மீதமுள்ள காலாண்டுகளில் 3 ஐயும் எழுத வேண்டும்.

விளையாட்டின் விலையை அறிந்தால் ν \u003d 5, ஏற்கனவே அறியப்பட்ட முறைகளைப் பயன்படுத்தி எதிராளியின் உகந்த மூலோபாயத்தைக் கண்டறிய முடியும் ... இதைச் செய்ய, நாங்கள் எங்கள் இரண்டு "பயனுள்ள" உத்திகளைப் பயன்படுத்துவோம் (எடுத்துக்காட்டாக, A 2 மற்றும் A 3) மற்றும் சமன்பாடுகளை எழுதுவோம்:

9q 1 + 11 (1-q 2 -q 1) \u003d 5,

எங்கிருந்து q 1 \u003d q3 \u003d 1/4; q 2 \u003d 1/2. எதிரியின் உகந்த மூலோபாயம் நம்முடையது போலவே இருக்கும்: ... இப்போது அசல் (மாற்றப்படவில்லை) விளையாட்டுக்கு செல்லலாம். இதைச் செய்ய, மேட்ரிக்ஸின் உறுப்புகளில் சேர்க்கப்பட்ட எல் \u003d 5 மதிப்பை விளையாட்டின் விலையிலிருந்து ν \u003d 5 ஆகக் கழிக்க வேண்டும். அசல் விளையாட்டின் விலையை நாங்கள் பெறுகிறோம் v 0 \u003d 0. எனவே, இரு கட்சிகளின் உகந்த உத்திகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான சராசரி ஊதியத்தை வழங்குகின்றன; விளையாட்டு இரு தரப்பினருக்கும் சமமாக நன்மை பயக்கும் அல்லது பாதகமானது.

எடுத்துக்காட்டு 2. ஸ்போர்ட்ஸ் கிளப் ஏ அணியின் ஏ 1, ஏ 2 மற்றும் ஏ 3 அமைப்பிற்கு மூன்று விருப்பங்கள் உள்ளன. கிளப் பி - பி 1, பி 2 மற்றும் பி 3 ஆகிய மூன்று விருப்பங்களிலும். போட்டியில் பங்கேற்க விண்ணப்பிக்கும்போது, \u200b\u200bஎதிராளி எந்த வரிசையைத் தேர்ந்தெடுப்பார் என்பது எந்தவொரு கிளப்பிற்கும் தெரியாது. கிளப்பின் நிகழ்தகவுகள் வெவ்வேறு வரிசைகளின் கீழ் வெற்றி பெறுவது, கடந்த கூட்டங்களின் அனுபவத்திலிருந்து தோராயமாக அறியப்பட்டவை, மேட்ரிக்ஸால் வழங்கப்படுகின்றன:

அதிகபட்ச சராசரி வெற்றிகளைப் பெறுவதற்கு கிளப்புகள் ஒவ்வொரு அணியையும் ஒருவருக்கொருவர் எதிர்த்து விளையாட வேண்டும் என்பதைக் கண்டறியவும்.

முடிவு. விளையாட்டின் குறைந்த விலை 0.4; மேல் 0.6; கலப்பு உத்திகள் துறையில் ஒரு தீர்வை நாங்கள் தேடுகிறோம். பின்னங்களைக் கையாளக்கூடாது என்பதற்காக, மேட்ரிக்ஸின் அனைத்து கூறுகளையும் 10 ஆல் பெருக்குகிறோம்; இந்த வழக்கில், விளையாட்டின் விலை 10 மடங்கு அதிகரிக்கும், மற்றும் முடிவு மாறாது. எங்களுக்கு அணி கிடைக்கிறது:

நிபந்தனைகள் (5.5) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன:

மற்றும் குறைந்தபட்ச நிபந்தனை Φ \u003d 1 + ξ 2 + 3 \u003d நிமிடம்.

எதிராளியின் மூன்று உத்திகளும் "பயனுள்ளவை" என்பதை சரிபார்க்கவும். ஒரு கருதுகோளாக, நாம் முதலில் போலி மாறிகள் z 1, z 2, z 3 பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று கருதுகிறோம், மேலும் சரிபார்ப்புக்கு ξ 1, ξ 2, ξ 3 க்கு சமன்பாடுகளை (5.10) தீர்க்கிறோம்:

(5.12) 136Φ \u003d 30 + 13z 1 + 18z 2 - 51z 3

ஃபார்முலா (5.12), பூஜ்ஜியத்தின் மதிப்பிடப்பட்ட மதிப்புடன் ஒப்பிடுகையில் z 1 மற்றும் z 2 மாறிகள் அதிகரிப்பு only ஐ மட்டுமே அதிகரிக்க முடியும் என்பதைக் காட்டுகிறது, அதே நேரத்தில் z 3 இன் அதிகரிப்பு குறையலாம். இருப்பினும், z 3 இன் அதிகரிப்பு கவனமாக செய்யப்பட வேண்டும், இதனால் z 1, ξ 2, ξ 3, z 3 ஐப் பொறுத்து மதிப்புகள் இந்த விஷயத்தில் எதிர்மறையாக மாறாது. எனவே, சமத்துவங்களின் வலது புறங்களில் (5.11), நாம் z 1 மற்றும் z 2 மதிப்புகளை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக அமைப்போம், மேலும் z 3 மதிப்பை அனுமதிக்கப்பட்ட வரம்புகளுக்கு அதிகரிப்போம் (எந்த மதிப்புகள் வரை 1, ξ 2, ξ 3 மறைந்துவிடும்). (5.11) இல் உள்ள இரண்டாவது சமத்துவத்திலிருந்து z 3 இன் அதிகரிப்பு ξ 2 மதிப்புக்கு "பாதுகாப்பானது" என்பதைக் காணலாம் - இது இதிலிருந்து மட்டுமே அதிகரிக்கிறது. Ξ 1 மற்றும் ξ 3 அளவுகளைப் பொறுத்தவரை, இங்கே z 3 இன் அதிகரிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட வரம்பு வரை மட்டுமே சாத்தியமாகும். 3 1 அளவு z 3 \u003d 10/23 இல் மறைந்துவிடும்; ξ 3 அளவு முன்பே மறைந்துவிடும், ஏற்கனவே z 3 \u003d 1/4. எனவே, z 3 ஐ அதன் அதிகபட்ச அனுமதிக்கக்கூடிய மதிப்பு z 3 \u003d 1/4 ஐக் கொடுத்தால், இந்த விஷயத்தில் பூஜ்ஜியமாக ξ 3 மதிப்பைப் பெறுவோம்.

Z படிவம் z 1 \u003d 0, z 2 \u003d 0, ξ 3 \u003d 0 இல் குறைந்தபட்சமாக மாறுகிறதா என்பதைச் சரிபார்க்க, பூஜ்ஜியம் z 1, z 2, ξ 3 எனக் கூறப்படும் மீதமுள்ள (nonzero) மாறிகளை வெளிப்படுத்துகிறோம். Ξ 1, ξ 2 மற்றும் z 3 ஐப் பொறுத்து சமன்பாடுகளை (5.10) தீர்க்கிறது, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(5.13) 32Φ \u003d 7 + Зz 1 + 4z 2 + ξ 3

சூத்திரம் (5.13) இலிருந்து z 1, z 2, ξ 3 ஆகியவற்றின் அதிகரிப்பு அவற்றின் பூஜ்ஜிய மதிப்புகளை விட of வடிவத்தை மட்டுமே அதிகரிக்க முடியும் என்பதைக் காணலாம். எனவே, விளையாட்டுக்கான தீர்வு கண்டறியப்பட்டுள்ளது; இது z 1 \u003d z 2 \u003d ξ 3 \u003d 0, எங்கிருந்து ξ 1 \u003d 1/32, ξ 2 \u003d 3/16, z 3 \u003d 1/4 மதிப்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சூத்திரத்திற்கு மாற்றாக (5.13), விளையாட்டின் விலையை நாங்கள் காண்கிறோம் ν: 32Φ \u003d 7 \u003d 32 /; \u003d 32/7. எங்கள் உகந்த உத்தி: ... 1/7 மற்றும் 6/7 அதிர்வெண்களில் "பயனுள்ள" உத்திகள் (கலவைகள் A 1 மற்றும் A 2) பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்; கலவை A 3 - ஒருபோதும் பொருந்தாது.

எதிரியின் உகந்த மூலோபாயத்தைக் கண்டுபிடிக்க, பொதுவான விஷயத்தில், நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்யலாம்: செலுத்துதலின் அடையாளத்தை எதிர்மாறாக மாற்றவும், மேட்ரிக்ஸின் உறுப்புகளுக்கு ஒரு நிலையான மதிப்பு L ஐச் சேர்த்து அவற்றை எதிர்மறையாக மாற்றவும், தீர்க்கவும் எதிரியின் பிரச்சனையை நாமே தீர்த்துக் கொண்ட அதே வழியில். இருப்பினும், விளையாட்டின் விலை எங்களுக்கு முன்பே தெரியும் என்பது சிக்கலை ஓரளவு எளிதாக்குகிறது. மேலும், இதில் குறிப்பிட்ட வழக்கு Z 3 இன் மதிப்பு பூஜ்ஜியமாக இல்லை என்பதால், எதிரியின் B 1 மற்றும் B 2 ஆகிய இரண்டு "பயனுள்ள" உத்திகள் மட்டுமே தீர்வில் பங்கேற்கின்றன என்பதன் மூலம் பணி மேலும் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது, எனவே, மூலோபாயம் B 3 உடன், விளையாட்டின் விலை எட்டப்படவில்லை. பிளேயர் A இன் எந்த "பயனுள்ள" மூலோபாயத்தையும் தேர்வு செய்வது, எடுத்துக்காட்டாக A 1, ஒருவர் q 1 மற்றும் q 2 அதிர்வெண்களைக் காணலாம். இதைச் செய்ய, நாம் 8q 1 + 2 (1 - q 1) \u003d 32/7, எங்கிருந்து q 1 \u003d 3/7, q 2 \u003d 4/7; எதிரியின் உகந்த மூலோபாயம்: , அதாவது. எதிரி B 3 கலவையைப் பயன்படுத்தக்கூடாது, மேலும் B 1 மற்றும் B2 கலவைகள் 3/7 மற்றும் 4/7 அதிர்வெண்களுடன் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்.

அசல் மேட்ரிக்ஸுக்குத் திரும்பி, விளையாட்டின் உண்மையான மதிப்பை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம் ν 0 \u003d 32/7: 10 \u003d 0.457. இதன் பொருள் அதிக எண்ணிக்கையிலான கூட்டங்கள் கிளப் A இன் வெற்றிகளின் எண்ணிக்கை அனைத்து கூட்டங்களிலும் 0.457 ஆக இருக்கும்.

§ 6. விளையாட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான தோராயமான முறைகள்

பெரும்பாலும் நடைமுறை சிக்கல்களில் விளையாட்டுக்கு சரியான தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை; விளையாட்டு விலைக்கு நெருக்கமான சராசரி ஊதியத்தை வழங்கும் தோராயமான தீர்வைக் கண்டால் போதும். மேட்ரிக்ஸின் எளிய பகுப்பாய்வு மற்றும் விளையாட்டின் குறைந்த (α) மற்றும் மேல் (β) விலைகளை நிர்ணயிப்பதன் மூலம் விளையாட்டின் மதிப்பைப் பற்றிய தோராயமான அறிவை வழங்க முடியும். And மற்றும் close நெருக்கமாக இருந்தால், நடைமுறையில் சரியான தீர்வைத் தேட வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் தூய மினிமேக்ஸ் உத்திகளைத் தேர்வுசெய்தால் போதும். And மற்றும் close நெருக்கமாக இல்லாத சந்தர்ப்பங்களில், விளையாட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எண்ணியல் முறைகளைப் பயன்படுத்தி ஒரு நடைமுறை தீர்வைப் பெற முடியும், இதிலிருந்து மறு செய்கை முறையை சுருக்கமாக எடுத்துக்காட்டுகிறோம்.

மறு செய்கை முறையின் யோசனை பின்வருமாறு. ஒரு "சிந்தனை சோதனை" விளையாடுகிறது, இதில் எதிரிகள் A மற்றும் B தங்கள் உத்திகளை ஒருவருக்கொருவர் பயன்படுத்துகிறார்கள். சோதனையானது தொடக்க விளையாட்டுகளின் வரிசையைக் கொண்டுள்ளது, ஒவ்வொன்றும் கொடுக்கப்பட்ட விளையாட்டின் அணி உள்ளது. நாங்கள் (பிளேயர் ஏ) தன்னிச்சையாக எங்கள் உத்திகளில் ஒன்றைத் தேர்வு செய்கிறோம், எடுத்துக்காட்டாக, நான். எதிரி தனது மூலோபாயத்துடன் பதிலளிப்பார் B j, இது எங்களுக்கு மிகவும் நன்மை பயக்கும், அதாவது. மூலோபாயத்திற்கான ஊதியத்தை குறைந்தபட்சமாக மாற்றுகிறது. இந்த நடவடிக்கைக்கு எங்கள் மூலோபாயம் А k உடன் பதிலளிக்கிறோம், இது எதிர்ப்பாளர் B j மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தும் போது அதிகபட்ச சராசரி ஊதியத்தை அளிக்கிறது. மேலும் - மீண்டும் எதிரியின் முறை. அவர் எங்கள் ஜோடி நகர்வுகளுக்கு A i மற்றும் A k க்கு தனது மூலோபாயம் B j உடன் பதிலளிப்பார், இது இந்த இரண்டு உத்திகளுக்கும் (A i, A k) மிகச்சிறிய சராசரி ஊதியத்தை அளிக்கிறது, மற்றும் பல. செயல்பாட்டு செயல்முறையின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும், ஒவ்வொரு வீரரும் மற்ற வீரரின் எந்தவொரு நகர்வுக்கும் தனது சொந்த மூலோபாயத்துடன் பதிலளிப்பார், இது அவரது முந்தைய நகர்வுகளுடன் ஒப்பிடும்போது உகந்ததாகும், இது ஒருவித கலப்பு மூலோபாயமாகக் கருதப்படுகிறது, இதில் தூய உத்திகள் விகிதாச்சாரத்தில் வழங்கப்படுகின்றன அவற்றின் பயன்பாட்டின் அதிர்வெண்.

இந்த முறை, வீரர்களின் உண்மையான நடைமுறை "பயிற்சியின்" ஒரு மாதிரியாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் அனுபவத்தின் மூலம் எதிராளி நடந்துகொள்ளும் விதம் மற்றும் தனக்கு நன்மை பயக்கும் வகையில் பதிலளிக்க முயற்சிக்கும் போது. கற்றல் செயல்முறையின் இத்தகைய பிரதிபலிப்பு நீண்ட காலமாகத் தொடர்ந்தால், ஒரு ஜோடி நகர்வுகளுக்கு (அடிப்படை விளையாட்டு) சராசரி ஊதியம் விளையாட்டின் விலைக்குச் செல்லும், மற்றும் அதிர்வெண்கள் p 1 ... p m; இந்த பேரணியில் வீரர்களின் உத்திகள் சந்திக்கும் q 1 ... q n, உகந்த உத்திகளை தீர்மானிக்கும் அதிர்வெண்களை அணுகும். கணக்கீடுகள் முறையின் குவிப்பு மிகவும் மெதுவாக இருப்பதைக் காட்டுகின்றன, ஆனால் இது அதிவேக கணக்கிடும் இயந்திரங்களுக்கு ஒரு தடையல்ல.

முந்தைய பிரிவின் எடுத்துக்காட்டு 2 இல் தீர்க்கப்பட்ட 3 × 3 விளையாட்டின் எடுத்துக்காட்டைப் பயன்படுத்தி செயல்பாட்டு முறையின் பயன்பாட்டை விளக்குவோம். விளையாட்டு மேட்ரிக்ஸால் வழங்கப்படுகிறது:

மறுபயன்பாட்டு செயல்முறையின் முதல் 18 படிகளை அட்டவணை 6.1 காட்டுகிறது. முதல் நெடுவரிசையில் தொடக்க விளையாட்டின் எண்ணிக்கை (ஒரு ஜோடி நகர்வுகள்) உள்ளது n; இரண்டாவது - எண் நான் பிளேயர் A இன் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உத்தி; அடுத்த மூன்றில் - முதல் "திரட்டப்பட்ட வெற்றிகள்" n எதிரி உத்திகள் B 1, B 2, B 3 கொண்ட விளையாட்டுகள். இந்த மதிப்புகளில் மிகச் சிறியது அடிக்கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது. அடுத்து எண் வருகிறது j எதிரியால் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட மூலோபாயம், அதன்படி, திரட்டப்பட்ட ஆதாயம் n இந்த மதிப்புகளில் A 1, A 2, A 3 உத்திகளைக் கொண்ட விளையாட்டுகள், அதிகபட்சம் மேலே இருந்து அடிக்கோடிட்டுக் காட்டப்படுகிறது. அடிக்கோடிட்ட மதிப்புகள் மற்ற வீரரின் மறுமொழி மூலோபாயத்தின் தேர்வை தீர்மானிக்கிறது. பின்வரும் வரைபடங்கள் தொடர்ச்சியாகக் காட்டுகின்றன: குறைந்தபட்ச சராசரி செலுத்துதல் games, விளையாட்டுகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்பட்ட குறைந்தபட்ச திரட்டப்பட்ட ஊதியத்திற்கு சமம் n; அதிகபட்ச சராசரி வெற்றிகளால் வகுக்கப்பட்ட அதிகபட்ச திரட்டப்பட்ட வெற்றிகளுக்கு சமம் n, மற்றும் அவற்றின் எண்கணித சராசரி ν * \u003d (+) / 2. அதிகரிக்கும் போது n மூன்று அளவுகளும் ν, மற்றும் ν * விளையாட்டின் விலையை அணுகும், ஆனால் மதிப்பு ν *, இயற்கையாகவே, அதை ஒப்பீட்டளவில் வேகமாக அணுகும்.

அட்டவணை 6.1.

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து நீங்கள் காணக்கூடியபடி, மறு செய்கைகளின் ஒருங்கிணைப்பு மிகவும் மெதுவாக உள்ளது, ஆனால் இன்னும், இதுபோன்ற ஒரு சிறிய கணக்கீடு கூட விளையாட்டு விலையின் தோராயமான மதிப்பைக் கண்டுபிடித்து "பயனுள்ள" உத்திகளின் பரவலை வெளிப்படுத்துகிறது. கணக்கிடும் இயந்திரங்களைப் பயன்படுத்தும் போது, \u200b\u200bமுறையின் மதிப்பு கணிசமாக அதிகரிக்கிறது. விளையாட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான செயல்பாட்டு முறையின் நன்மை என்னவென்றால், உத்திகளின் எண்ணிக்கை அதிகரிக்கும்போது கணக்கீடுகளின் அளவு மற்றும் சிக்கலானது ஒப்பீட்டளவில் பலவீனமாகிறது. மீ மற்றும் n.

§ 7. சில எல்லையற்ற விளையாட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்

முடிவில்லாத விளையாட்டு என்பது ஒரு விளையாட்டு, இதில் குறைந்தது ஒரு பக்கமாவது எண்ணற்ற உத்திகளைக் கொண்டுள்ளது. இத்தகைய விளையாட்டுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான முறைகள் இன்னும் போதுமான அளவில் உருவாக்கப்படவில்லை. இருப்பினும், நடைமுறையில், சில சிறப்பு வழக்குகள் ஆர்வமாக இருக்கலாம், இது ஒப்பீட்டளவில் எளிமையான தீர்வை ஒப்புக்கொள்கிறது. ஏ மற்றும் பி ஆகிய இரண்டு எதிரிகளின் விளையாட்டைக் கவனியுங்கள், ஒவ்வொன்றும் எல்லையற்ற (கணக்கிட முடியாத) உத்திகளைக் கொண்டிருக்கின்றன; பிளேயர் A க்கான இந்த உத்திகள் ஒத்திருக்கும் வெவ்வேறு அர்த்தங்கள் தொடர்ந்து அளவுருவை மாற்றுகிறது எக்ஸ், மற்றும் for - அளவுருவுக்கு இல்... இந்த வழக்கில், மேட்ரிக்ஸ் ‖a ij of க்கு பதிலாக, தொடர்ச்சியாக மாறுபடும் இரண்டு வாதங்களின் சில செயல்பாடுகளால் விளையாட்டு வரையறுக்கப்படுகிறது a (x, y), அதை நாங்கள் செலுத்துதல் செயல்பாடு என்று அழைப்போம் (செயல்பாடு தானே என்பதை நினைவில் கொள்க a (x, y) தொடர்ச்சியாக இருக்க வேண்டியதில்லை). வெற்றி செயல்பாடு a (x, y) சில மேற்பரப்பால் வடிவியல் ரீதியாக குறிப்பிடப்படலாம் a (x, y) மாறும் வாதங்களின் பரப்பளவில் (x, y) (அத்தி. 7.1)

செலுத்துதல் செயல்பாட்டின் பகுப்பாய்வு a (x, y) கட்டண மேட்ரிக்ஸின் பகுப்பாய்விற்கு ஒத்ததாக செய்யப்படுகிறது. முதலில், விளையாட்டின் குறைந்த விலை α காணப்படுகிறது; இதற்காக, இது ஒவ்வொன்றிற்கும் தீர்மானிக்கப்படுகிறது எக்ஸ் குறைந்தபட்ச செயல்பாடு a (x, y) எல்லோருக்கும் இல்:, இந்த மதிப்புகளின் அதிகபட்சம் அனைவருக்கும் தேடப்படுகிறது எக்ஸ் (அதிகபட்சம்):

விளையாட்டின் மேல் விலை (மினிமேக்ஸ்) அதே வழியில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

\u003d \u003d When போது வழக்கைக் கவனியுங்கள். விளையாட்டின் மதிப்பு always எப்போதும் α மற்றும் between க்கு இடையில் இருப்பதால், அவற்றின் மொத்த மதிப்பு ஆகும். சமத்துவம் α \u003d β என்பது மேற்பரப்பு என்று பொருள் a (x, y) ஒரு சேணம் புள்ளி உள்ளது, அதாவது, x 0, y 0 ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட ஒரு புள்ளி a (x, y) ஒரே நேரத்தில் குறைவாக உள்ளது இல் மற்றும் அதிகபட்சம் எக்ஸ் (அத்தி. 7.2).

மதிப்பு a (x, y) இந்த கட்டத்தில் விளையாட்டின் விலை is: \u003d a (x 0, y 0). ஒரு சேணம் புள்ளியின் இருப்பு என்பது இந்த எல்லையற்ற விளையாட்டுக்கு ஒரு தூய மூலோபாய தீர்வைக் கொண்டுள்ளது; x 0, y 0 உகந்த தூய்மையான உத்திகளைக் குறிக்கும் A மற்றும் B. பொதுவாக, case ≠ when போது, \u200b\u200bகலப்பு உத்திகள் துறையில் மட்டுமே விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வு இருக்க முடியும் (ஒருவேளை அது மட்டும் அல்ல). எல்லையற்ற விளையாட்டுகளுக்கான கலப்பு மூலோபாயம் உத்திகளுக்கு சில நிகழ்தகவு விநியோகம் உள்ளது எக்ஸ் மற்றும் இல்சீரற்ற மாறிகள் என்று கருதப்படுகிறது. இந்த விநியோகம் தொடர்ச்சியாகவும் அடர்த்திகளால் தீர்மானிக்கப்படலாம் f 1 (எக்ஸ்) மற்றும் f 2 (y); தனித்தனியாக இருக்க முடியும், பின்னர் உகந்த உத்திகள் சில நன்ஜெரோ நிகழ்தகவுகளுடன் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தனித்தனி தூய உத்திகளின் தொகுப்பைக் கொண்டிருக்கும்.

எல்லையற்ற விளையாட்டுக்கு சேணம் புள்ளி இல்லாதபோது, \u200b\u200bவிளையாட்டின் குறைந்த மற்றும் மேல் விலைகளின் காட்சி வடிவியல் விளக்கம் கொடுக்கப்படலாம். செலுத்துதல் செயல்பாட்டுடன் எல்லையற்ற விளையாட்டைக் கவனியுங்கள் a (x, y)மற்றும் உத்திகள் x, yவரி பிரிவுகளை தொடர்ந்து நிரப்புகிறது (x 1, x 2) மற்றும் (y 1, y 2)... விளையாட்டின் குறைந்த விலையை தீர்மானிக்க α, நீங்கள் மேற்பரப்பில் "பார்க்க" வேண்டும் a (x, y) அச்சில் இருந்து இல், அதாவது. அதை ஒரு விமானத்தில் திட்டமிடவும் xOa (அத்தி. 7.3). X \u003d x 1 மற்றும் x \u003d x 2 என்ற நேர் கோடுகளால் பக்கங்களிலும், KB மற்றும் K N வளைவுகளாலும் ஒரு குறிப்பிட்ட உருவத்தை நாங்கள் பெறுகிறோம். விளையாட்டின் குறைந்த விலை α, வெளிப்படையாக, இதைவிட வேறு ஒன்றும் இல்லை வளைவின் அதிகபட்ச ஆர்டினேட் K N.

இதேபோல், விளையாட்டின் மேல் விலையைக் கண்டுபிடிக்க one ஒருவர் மேற்பரப்பில் “பார்க்க” வேண்டும் a (x, y) அச்சில் இருந்து எக்ஸ் (திட்ட மேற்பரப்பு விமானம் யோவா) மற்றும் மேல் எல்லையின் குறைந்தபட்ச ஆர்டினேட்டைக் கண்டுபிடி K திட்டத்தில் (படம், 7.4).

முடிவற்ற விளையாட்டுகளின் இரண்டு அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1. வீரர்கள் A மற்றும் B ஒவ்வொன்றும் கணக்கிட முடியாத சாத்தியமான உத்திகளைக் கொண்டுள்ளன எக்ஸ்மற்றும் இல், மற்றும் 0 ≤ x 1; 0 ≤ y 1. a (x, y) - (x - y) 2 என்ற வெளிப்பாட்டால் a க்கான செலுத்துதல் செயல்பாடு வழங்கப்படுகிறது. விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு, மேற்பரப்பு a (x, y) என்பது ஒரு பரவளைய சிலிண்டர் (படம் 7.5) மற்றும் சேணம் புள்ளி இல்லை. விளையாட்டின் குறைந்த விலையை தீர்மானிக்கவும்; அனைவருக்கும் வெளிப்படையானது எக்ஸ்; எனவே \u003d 0. விளையாட்டின் மேல் விலையை தீர்மானிப்போம். இதைச் செய்ய, ஒரு நிலையானதைக் காண்கிறோம் இல்

இந்த வழக்கில், அதிகபட்சம் எப்போதும் இடைவெளியின் எல்லையில் (x \u003d 0 அல்லது x \u003d 1 இல்) அடையும், அதாவது. இது y 2 இன் மதிப்புகளுக்கு சமம்; (1 - y) 2, இது பெரியது. இந்த செயல்பாடுகளின் வரைபடங்களை வரைவோம் (படம் 7.6), அதாவது. மேற்பரப்பு திட்டம் a (x, y) விமானத்தில் யோவா... படத்தில் உள்ள தைரியமான வரி. 7.6 செயல்பாட்டைக் காட்டுகிறது. வெளிப்படையாக, அதன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு y \u003d 1/2 இல் எட்டப்படுகிறது மற்றும் 1/4 க்கு சமம். எனவே, விளையாட்டின் மேல் விலை β \u003d 1/4 ஆகும். இந்த வழக்கில், விளையாட்டின் மேல் விலை விளையாட்டின் விலையுடன் ஒத்துப்போகிறது. உண்மையில், பிளேயர் A ஒரு கலப்பு மூலோபாயத்தை S A \u003d பயன்படுத்தலாம் , இதில் x \u003d 0 மற்றும் x \u003d 1 என்ற தீவிர மதிப்புகள் ஒரே அதிர்வெண்களுடன் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன; பிளேயர் B இன் எந்தவொரு மூலோபாயத்திற்கும் பிளேயர் A இன் சராசரி ஊதியம் இதற்கு சமமாக இருக்கும்: 2y 2 + ½ (1 - y) 2. எந்த மதிப்புகளுக்கும் இந்த அளவு என்பதை சரிபார்க்க எளிதானது இல் 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் value க்கும் குறையாத மதிப்பு உள்ளது: ½y 2 + ½ (1 - y) 2.

எனவே, இந்த கலப்பு மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தி பிளேயர் ஏ, மேல் விளையாட்டு விலைக்கு சமமான ஊதியத்தை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளலாம்; விளையாட்டின் விலை மேல் விலையை விட அதிகமாக இருக்க முடியாது என்பதால் இந்த மூலோபாயம் S A உகந்த: S A \u003d S A *.

பிளேயர் பி இன் உகந்த மூலோபாயத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எஞ்சியிருக்கிறது. வெளிப்படையாக, விளையாட்டின் விலை the விளையாட்டின் மேல் விலைக்கு சமமாக இருந்தால், பிளேயர் பி இன் உகந்த மூலோபாயம் எப்போதும் அவரது தூய மினிமேக்ஸ் மூலோபாயமாக இருக்கும், இது அவருக்கு உத்தரவாதம் அளிக்கிறது விளையாட்டின் மேல் விலை. இந்த வழக்கில், அத்தகைய உத்தி y 0 \u003d is ஆகும். உண்மையில், இந்த மூலோபாயத்துடன், A வீரர் என்ன செய்தாலும், அவரது ஊதியம் than ஐ விட அதிகமாக இருக்காது. இது வெளிப்படையான சமத்துவமின்மையிலிருந்து (x - ½) 2 \u003d x (x –1) + ¼ from from

எடுத்துக்காட்டு 2. சைட் ஏ ("நாங்கள்") எதிரி விமானம் பி மீது துப்பாக்கிச் சூடு நடத்துகிறது. ஷெல்லிங்கைத் தவிர்ப்பதற்காக, எதிரி சில அதிக சுமைகளைக் கொண்டு சூழ்ச்சி செய்யலாம் இல், அவர் தனது விருப்பப்படி, மதிப்புகளை இணைக்க முடியும் இல் \u003d 0 (நேரான இயக்கம்) முதல் இல் = இல் அதிகபட்சம் (அதிகபட்ச வளைவின் வட்டத்தில் விமானம்). நாங்கள் யூகிக்கிறோம் இல் அதிகபட்சம் அளவீட்டு அலகு, அதாவது. போடு இல் அதிகபட்சம் \u003d 1. எதிரிக்கு எதிரான போராட்டத்தில், எறிபொருளின் விமானத்தின் போது இலக்கின் இயக்கம் குறித்த ஒன்று அல்லது மற்றொரு கருதுகோளின் அடிப்படையில் நாம் பார்க்கும் சாதனங்களைப் பயன்படுத்தலாம். அதிக சுமை எக்ஸ் இந்த கற்பனையான சூழ்ச்சியில், இது 0 முதல் 1 வரையிலான எந்த மதிப்புக்கும் சமம் என்று கருதலாம். எங்கள் பணி எதிரியைத் தாக்குவது; எதிரியின் பணி பாதிக்கப்படாமல் இருப்பதுதான். தரவு வெற்றி நிகழ்தகவு எக்ஸ் மற்றும் இல் தோராயமாக சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: a (x, y) \u003d , எங்கே இல் - எதிரி பயன்படுத்தும் அதிக சுமை; x - ஓவர்லோட் பார்வையில் கணக்கிடப்படுகிறது. இரு கட்சிகளின் உகந்த உத்திகளை தீர்மானிக்க இது தேவைப்படுகிறது.

முடிவு. வெளிப்படையாக, நாம் p \u003d 1 ஐ அமைத்தால் விளையாட்டின் தீர்வு மாறாது a (x, y) படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள மேற்பரப்பால் சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது. 7.7.

இது ஒரு உருளை மேற்பரப்பு, அதன் ஜெனரேட்ரிக்ஸ்கள் ஒருங்கிணைப்பு கோணத்தின் இருபுறத்திற்கு இணையாக உள்ளன ஹோய், மற்றும் ஜெனரேட்ரிக்ஸுக்கு செங்குத்தாக ஒரு விமானத்தின் பிரிவு ஒரு சாதாரண விநியோக வளைவின் வகையின் வளைவு ஆகும். மேலே முன்மொழியப்பட்ட விளையாட்டின் குறைந்த மற்றும் மேல் விலைகளின் வடிவியல் விளக்கத்தைப் பயன்படுத்தி, β \u003d 1 (படம் 7.8) மற்றும் (படம் 7.9) ஆகியவற்றைக் காண்கிறோம். விளையாட்டுக்கு சேணம் புள்ளி இல்லை; கலப்பு உத்திகள் பகுதியில் தீர்வு காணப்பட வேண்டும். முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ள சிக்கலுடன் சிக்கல் ஓரளவு ஒத்திருக்கிறது. உண்மையில், சிறிய மதிப்புகளுக்கு கே செயல்பாடு ஒரு செயல்பாடு போல செயல்படுகிறது - (x - y) 2, மற்றும் முந்தைய உதாரணத்தின் தீர்வில் A மற்றும் B வீரர்களின் பாத்திரங்கள் மாற்றப்பட்டால் விளையாட்டின் தீர்வு பெறப்படும்; அந்த. எங்கள் உகந்த மூலோபாயம் x \u003d 1/2 என்ற தூய மூலோபாயமாக இருக்கும், மேலும் எதிரி SB \u003d இன் உகந்த மூலோபாயம் y \u003d 0 மற்றும் y \u003d 1 ஆகிய தீவிர உத்திகளை ஒரே அதிர்வெண்களுடன் பயன்படுத்துவதாகும். இதன் பொருள் எல்லா சந்தர்ப்பங்களிலும் நாம் வேண்டும் குறுக்கு நாற்காலியைப் பயன்படுத்தவும், அதிக சுமை x \u003d 1/2 க்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் எதிரி எல்லா நிகழ்வுகளிலும் பாதி, மற்றும் பாதியில் - ஒரு சூழ்ச்சியைப் பயன்படுத்தக்கூடாது.

படம். 7.8 படம். 7.9.

இந்த தீர்வு k values \u200b\u200b2 மதிப்புகளுக்கு செல்லுபடியாகும் என்பதை நிரூபிப்பது எளிது. உண்மையில், எதிரியின் மூலோபாயம் S B \u003d மற்றும் எங்கள் மூலோபாயத்திற்கான சராசரி ஊதியம் எக்ஸ் செயல்பாடு மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது , மதிப்புகள் k ≤ 2 க்கு அதிகபட்சம் х \u003d 1/2 ஆகும், இது விளையாட்டின் குறைந்த விலைக்கு சமம் α. இதன் விளைவாக, S B மூலோபாயத்தின் பயன்பாடு எதிரிக்கு மீறாத இழப்பை உறுதி செய்கிறது, இதிலிருந்து α - விளையாட்டின் குறைந்த விலை - விளையாட்டின் விலை is என்பது தெளிவாகிறது.

K\u003e 2 க்கு, ஒரு (x) செயல்பாடு இரண்டு மாக்சிமா (படம் 7.10) ஐக் கொண்டுள்ளது, இது x \u003d 1/2 ஐ x 0 மற்றும் 1 - x 0 புள்ளிகளில் சமச்சீராக அமைந்துள்ளது, மேலும் x 0 இன் மதிப்பு k ஐப் பொறுத்தது .

வெளிப்படையாக, க்கு கே \u003d 2 x 0 \u003d 1 - x 0 \u003d; அதிகரிக்கும் போது கே புள்ளிகள் x 0 மற்றும் 1 - x 0 தனித்தனியாக நகர்ந்து, தீவிர புள்ளிகளுக்கு (0 மற்றும் 1) நெருங்கி வருகின்றன. எனவே, விளையாட்டின் முடிவு k ஐப் பொறுத்தது. K க்கு ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை அமைப்போம், எடுத்துக்காட்டாக, k \u003d 3, மற்றும் விளையாட்டுக்கு ஒரு தீர்வைக் காணலாம்; இதற்காக நாம் ஒரு (x) வளைவின் அதிகபட்சத்தின் abscissa x 0 ஐ வரையறுக்கிறோம். A (x) செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து, x 0 ஐ தீர்மானிக்க சமன்பாட்டை எழுதுகிறோம்:

இந்த சமன்பாடு மூன்று வேர்களைக் கொண்டுள்ளது: x \u003d 1/2 (குறைந்தபட்சம் எட்டப்பட்ட இடத்தில்) மற்றும் x 0, 1 - x 0, அதிகபட்சத்தை எட்டிய இடத்தில். சமன்பாட்டை எண்ணியல் ரீதியாக தீர்க்கும்போது, \u200b\u200bதோராயமாக x 0 ≈ 0.07 ஐக் காண்கிறோம்; 1 - x 0 0.93.

இந்த விஷயத்தில் விளையாட்டுக்கான தீர்வு பின்வரும் ஜோடி உத்திகள் என்பதை நிரூபிப்போம்:

எங்கள் மூலோபாயம் மற்றும் எதிரியின் மூலோபாயத்துடன் இல் சராசரி ஊதியம்

குறைந்தபட்சம் 1 (y) ஐ 0 இல் கண்டறியவும்< у < 1. Функция a 1 (y) симметрична относительно y = 1/2 и может иметь только один или два максимума; ее минимум, во всяком случае, достигается либо в середине отрезка (0, 1), либо на его концах. Полагая у = 0 (или у = 1), найдем

Y \u003d 1/2 ஐ அமைத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்

இது 1 (0) ஐ விட அதிகம்; எனவே, விளையாட்டின் விலை 1 (0) க்கும் குறைவாக இல்லை:

இப்போது விரோதி S B * மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துகிறார் என்று சொல்லலாம், மேலும் x மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். பின்னர் சராசரி ஊதியம் இருக்கும்

ஆனால் நாம் x 0 ஐ துல்லியமாக தேர்ந்தெடுத்துள்ளோம், இதனால் x \u003d x 0 இல் அதிகபட்ச வெளிப்பாடு (7.2) அடையும்; இதன் விளைவாக,

அந்த. S B * என்ற மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தி எதிர்ப்பாளர், 0.530 ஐ விட அதிகமான இழப்பைத் தடுக்க முடியும்; எனவே, ν \u003d 0.530 என்பது விளையாட்டின் விலை, மற்றும் S A * மற்றும் S B * உத்திகள் ஒரு தீர்வைக் கொடுக்கும். இதன் பொருள் நாம் x \u003d 0.07 மற்றும் x \u003d 0.93 ஆகியவற்றைக் கொண்ட காட்சிகளை ஒரே அதிர்வெண்ணுடன் பயன்படுத்த வேண்டும், மேலும் எதிரி ஒரே அதிர்வெண்ணைக் கொண்டு சூழ்ச்சி செய்யக்கூடாது மற்றும் அதிகபட்ச சுமைகளுடன் சூழ்ச்சி செய்யக்கூடாது.

செலுத்துதல் ν \u003d 0.530 என்பது விளையாட்டின் குறைந்த விலையை விட குறிப்பிடத்தக்கதாகும் , இது எங்களது அதிகபட்ச மூலோபாயம் x 0 \u003d 1/2 ஐப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் நமக்கு வழங்க முடியும்.

ஒன்று நடைமுறை வழிகள் எல்லையற்ற விளையாட்டுகளைத் தீர்ப்பது வரையறுக்கப்பட்டவற்றுக்கான தோராயமான குறைப்பு ஆகும். இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு வீரருக்கும் சாத்தியமான முழு உத்திகள் வழக்கமாக ஒரு மூலோபாயமாக இணைக்கப்படுகின்றன. இந்த வழியில், நிச்சயமாக, விளையாட்டுக்கு தோராயமான தீர்வை மட்டுமே பெற முடியும், ஆனால் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் சரியான தீர்வு தேவையில்லை.

எவ்வாறாயினும், இந்த நுட்பம் பயன்படுத்தப்படும்போது, \u200b\u200bஅசல் எல்லையற்ற விளையாட்டின் தீர்வு தூய உத்திகளில் சாத்தியமான சந்தர்ப்பங்களில் கூட கலப்பு உத்திகள் துறையில் தீர்வுகள் தோன்றக்கூடும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், அதாவது. எல்லையற்ற விளையாட்டுக்கு ஒரு சேணம் புள்ளி இருக்கும்போது. எல்லையற்ற விளையாட்டை ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டாகக் குறைப்பதன் மூலம், ஒரு கலவையான தீர்வு பெறப்பட்டால், அதில் இரண்டு அருகிலுள்ள “பயனுள்ள” உத்திகள் மட்டுமே அடங்கும், பின்னர் அவற்றுக்கு இடையேயான அசல் எல்லையற்ற விளையாட்டின் இடைநிலை தூய மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்த முயற்சிப்பது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்.

முடிவில், எல்லையற்ற விளையாட்டுகள், வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டுகளைப் போலன்றி, ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்கவில்லை என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். தீர்வு இல்லாத எல்லையற்ற விளையாட்டுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு கொடுப்போம். இரண்டு வீரர்கள் ஒவ்வொரு முழு எண்ணிற்கும் பெயரிடுகிறார்கள். பெயரிடப்பட்டது மேலும் மற்ற 1 ரூபிளிலிருந்து பெறுகிறது. இருவரும் ஒரே எண்ணை அழைத்தால், விளையாட்டு டிராவில் முடிகிறது. விளையாட்டு வெளிப்படையாக ஒரு தீர்வைக் கொண்டிருக்க முடியாது. இருப்பினும், எல்லையற்ற விளையாட்டுகளின் வகுப்புகள் உள்ளன, அதற்கான தீர்வு நிச்சயமாக உள்ளது.

பிளேயர் A இன் கலப்பு மூலோபாயம் SA என்பது தூய உத்திகள் A1, A2, ..., Am with நிகழ்தகவுகள் p1, p2, ..., pi, ..., pm மற்றும் நிகழ்தகவுகளின் தொகை 1 க்கு சமம்: பிளேயர் A இன் கலப்பு உத்திகள் ஒரு மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில் அல்லது ஒரு சரம் SA \u003d (p1, p2, ..., pi, ..., pm) என எழுதப்படுகின்றன. இதேபோல், பிளேயர் B இன் கலப்பு உத்திகள் குறிக்கப்படுகின்றன :, அல்லது, SB \u003d (q1, q2, ..., qi, ..., qn), அங்கு உத்திகளின் தோற்றத்தின் நிகழ்தகவுகளின் தொகை 1 க்கு சமம்: தூய உத்திகள் கலவையானவற்றின் சிறப்பு நிகழ்வாக கருதப்படலாம் மற்றும் 1 ஒரு தூய மூலோபாயத்துடன் ஒத்திருக்கும் ஒரு சரம் மூலம் வழங்கப்படுகிறது. மினிமேக்ஸ் கொள்கையின் அடிப்படையில், விளையாட்டின் உகந்த தீர்வு (அல்லது தீர்வு) தீர்மானிக்கப்படுகிறது: இது ஒரு ஜோடி உகந்த உத்திகள் S * A, S * B, பொது விஷயத்தில், கலப்பு, வைத்திருத்தல் பின்வரும் சொத்து: வீரர்களில் ஒருவர் தனது சொந்த உகந்த மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், மற்றவர் தனது சொந்தத்திலிருந்து விலகிச் செல்வது லாபகரமாக இருக்க முடியாது. உகந்த தீர்வுடன் தொடர்புடைய ஊதியம் விளையாட்டின் செலவு என அழைக்கப்படுகிறது. விளையாட்டின் விலை சமத்துவமின்மையை திருப்தி செய்கிறது :? ? v? ? (3.5) எங்கே? மற்றும்? - கீழே மற்றும் சிறந்த விலைகள் விளையாட்டுகள். விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் பின்வரும் முக்கிய தேற்றம் உண்மை - நியூமனின் தேற்றம். ஒவ்வொரு இறுதி விளையாட்டிலும் குறைந்தது ஒரு உகந்த தீர்வைக் கொண்டிருக்கலாம், இது கலப்பு உத்திகள் மத்தியில் இருக்கலாம். S * A \u003d (p * 1, p * 2, ..., p * i, ..., p * m) மற்றும் S * B \u003d (q * 1, q * 2, ..., q * i, ..., q * n) ஒரு ஜோடி உகந்த உத்திகள். ஒரு நொஜெரோ நிகழ்தகவுடன் உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தில் ஒரு தூய மூலோபாயம் சேர்க்கப்பட்டால், அது செயலில் அழைக்கப்படுகிறது. செயலில் உள்ள உத்திகள் குறித்த தேற்றம் செல்லுபடியாகும்: வீரர்களில் ஒருவர் தனது உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தை கடைபிடித்தால், இரண்டாவது வீரர் தனது செயலில் உள்ள உத்திகளின் வரம்புகளுக்கு அப்பால் செல்லவில்லை என்றால், செலுத்துதல் மாறாமல், விளையாட்டின் விலைக்கு சமமாக இருக்கும். இந்த தேற்றம் மிகவும் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது - இது ஒரு சேணம் புள்ளி இல்லாத நிலையில் உகந்த உத்திகளைக் கண்டறிய குறிப்பிட்ட மாதிரிகளை வழங்குகிறது. 2 × 2 விளையாட்டைக் கவனியுங்கள், இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட விளையாட்டின் எளிய வழக்கு. அத்தகைய விளையாட்டுக்கு ஒரு சேணம் புள்ளி இருந்தால், உகந்த தீர்வு இந்த புள்ளியுடன் தொடர்புடைய ஒரு ஜோடி தூய உத்திகள். சேணம் புள்ளி இல்லாத ஒரு விளையாட்டு, விளையாட்டுக் கோட்பாட்டின் முக்கிய தேற்றத்திற்கு ஏற்ப, ஒரு உகந்த தீர்வு உள்ளது மற்றும் ஒரு ஜோடி கலப்பு உத்திகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது S * A \u003d (p * 1, p * 2) மற்றும் S * B \u003d (q * 1, q * 2) ... அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க, செயலில் உள்ள உத்திகள் குறித்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம். வீரர் A தனது உகந்த மூலோபாயமான S "A ஐ கடைபிடித்தால், அவரது சராசரி ஊதியம் விளையாட்டு v இன் விலைக்கு சமமாக இருக்கும், B எந்த செயலில் மூலோபாய வீரர் B பயன்படுத்தினாலும் சரி. 2 × 2 விளையாட்டுக்கு, எதிரியின் எந்தவொரு தூய மூலோபாயமும் சேணம் புள்ளி இல்லாவிட்டால் செயலில் இருக்கும். பிளேயர் A இன் செலுத்துதல் (பிளேயர் B இன் இழப்பு) - சீரற்ற மதிப்பு, கணித எதிர்பார்ப்பு (சராசரி மதிப்பு) இது விளையாட்டின் விலை. ஆகையால், வீரர் A இன் சராசரி ஊதியம் (உகந்த மூலோபாயம்) எதிராளியின் 1 மற்றும் 2 வது உத்திகள் இரண்டிற்கும் v க்கு சமமாக இருக்கும். ஊதிய மேட்ரிக்ஸால் விளையாட்டைக் குறிப்பிடட்டும். பிளேயர் A இன் சராசரி ஊதியம் அவர் உகந்த கலப்பு மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்தினால், மற்றும் வீரர் B தூய மூலோபாயம் B1 ஐப் பயன்படுத்துகிறார் (இது ஊதிய மேட்ரிக்ஸ் P இன் 1 வது நெடுவரிசைக்கு ஒத்திருக்கிறது), விளையாட்டின் விலை v: a11 p * 1 + a21 p * 2 \u003d v. 2 வது வீரர் மூலோபாயம் B2 ஐப் பயன்படுத்தினால் பிளேயர் A க்கு அதே சராசரி ஊதியம் கிடைக்கும், அதாவது. a12 ப * 1 + அ 22 ப * 2 \u003d வி. P * 1 + p * 2 \u003d 1 என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம், உகந்த மூலோபாயம் S "A மற்றும் விளையாட்டின் விலையை தீர்மானிக்க சமன்பாடுகளின் அமைப்பைப் பெறுகிறோம்: (3.6) இந்த அமைப்பைத் தீர்க்கும்போது, \u200b\u200bஉகந்த மூலோபாயத்தைப் பெறுகிறோம் (3.7 ) மற்றும் விளையாட்டின் விலை (3.8). எஸ்.பி. * ஐக் கண்டறியும் போது செயலில் உள்ள உத்திகள் - பிளேயர் பி இன் உகந்த மூலோபாயம், பிளேயர் ஏ (ஏ 1 அல்லது ஏ 2) இன் எந்தவொரு தூய மூலோபாயத்திற்கும், பிளேயர் பி இன் சராசரி இழப்புக்கு சமம் என்பதைக் காண்கிறோம் விளையாட்டு விலை v, அதாவது (3.9) பின்னர் உகந்த மூலோபாயம் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: (3.10)

"சுத்தமான" உத்திகள்

நாங்கள் ஏற்கனவே ஜம்ப்களை நன்கு அறிந்திருக்கிறோம். இருப்பினும், எந்தவொரு மூலோபாயத்தின் சங்கிலியிலிருந்தும் நெரிசல்கள் அகற்றப்பட்டால் என்ன ஆகும்? எங்களுக்கு ஒரு "சுத்தமான மூலோபாயம்" கிடைக்கும். தூய்மையான உத்திகள் செயல்களின் சங்கிலியில் உள்ளன, அவை வேர் முதல் உற்பத்தி பகுதி வரை, பயனற்ற துணை உத்திகள் (ஜம்ப்கள்) இல்லை, மேலும் இது பெரும்பாலும் மனதில் உள்ள அனைத்து இணைப்புகளும் இருப்பதன் மூலம் மட்டுமே சாட்சியமளிக்க முடியும்.

நிச்சயமாக, மூலோபாயத்தைப் பயன்படுத்துவதன் அனைத்து சாத்தியமான விளைவுகளின் பார்வையில், எங்களுக்கு மிகவும் அனுபவம் வாய்ந்ததாக இருப்பதால், மிகவும் பயனுள்ளவற்றைப் பற்றி பேசுவது கடினம், எனவே சில இடைநிலை உத்திகள், ஆனால் அது இருந்து மூலோபாயம் முடிந்தவரை பயனுள்ளதாக இருக்க வேண்டும் என்பது எங்கள் அனுபவம்.

தூய உத்திகள் என்ற கருத்தும் இந்த பொருட்களில் முக்கிய ஒன்றாகும், எனவே நான் ஒரு எடுத்துக்காட்டு தருகிறேன்:

சாயங்காலம். நீங்கள் உங்கள் வீட்டுப் பகுதியில் அவசர அவசரமாக இருக்கிறீர்கள். பால் ஓடுகிறது. "ஒருவித சந்தேகத்திற்கிடமான வகையை" கடந்தால், உங்கள் முகவரியில் "ஏய், நீ, [தணிக்கை மூலம் வெட்டப்பட்டது]. இங்கே செல்ல வேண்டாம், தலை பனி வரும்! "

நீ என்ன செய்வாய்? பல விருப்பங்கள் இருக்கலாம். யாரோ விஷயங்களை வரிசைப்படுத்தச் செல்வார்கள், யாரோ பயந்து தங்கள் வேகத்தை விரைவுபடுத்துவார்கள், யாரோ எதையாவது திரும்பக் கூச்சலிடுவார்கள். இருப்பினும், இந்த விஷயத்தில் நடத்தையின் தூய மூலோபாயம் என்ன?

ஒரு அந்நியன் தெருவில் உங்களிடம் ஏதோ கத்துகிறான். உங்களிடம் உங்கள் சொந்த வணிகம் உள்ளது, அதில் நீங்கள் உண்மையில் செல்கிறீர்கள். உரையின் அடிப்படையில் ஆராயும்போது, \u200b\u200bஇந்த நபருடன் தொடர்புகொள்வதன் மூலம் உங்களுக்கு சாதகமான நன்மைகள் கிடைக்க வாய்ப்பில்லை. தர்க்கரீதியான முடிவு: அமைதியாக உங்கள் வணிகத்தைப் பற்றிப் பேசுங்கள். நிழல் இல்லாமல், அது “அமைதியானது” என்பதில் உங்கள் கவனத்தை ஈர்க்கிறேன் எதிர்மறை உணர்ச்சிகள், ஆனால் என்ன நடக்கிறது என்பதில் ஆரோக்கியமான அலட்சியத்துடன். எத்தனை பேர் அதைச் செய்வார்கள்? பெரும்பான்மையான சிறுபான்மையினரை நான் நினைக்கிறேன். ஏன்?

பெரும்பாலான மக்கள் சுய பாதுகாப்பிற்காக கீழ் அடுக்குகளில் பிணைக்கப்பட்டுள்ள ஆழ்நிலை உத்திகள் முழுவதையும் கொண்டிருப்பதால், குறிப்பாக இவை பின்வருமாறு: "எப்போதும் முரட்டுத்தனத்துடன் முரட்டுத்தனமாக நடந்து கொள்ளுங்கள்", "யாராவது மோசமான விஷயங்களைச் சொன்னால், நீங்கள் ஓட வேண்டும்" , "யாராவது முரட்டுத்தனமாக இருந்தால் - நீங்கள் அவரது முகத்தை நிரப்ப வேண்டும்", "யாராவது முரட்டுத்தனமாக இருந்தால், ஒரு ஆபத்து உள்ளது", மற்றும் வேறுபட்ட மாறுபாடுகளில். நிச்சயமாக, எல்லோரும் ஒருவித செயலில் நடவடிக்கை எடுக்க மாட்டார்கள், ஆனால் உணர்வுபூர்வமாக இது கிட்டத்தட்ட அனைவரையும் பாதிக்கும். அது ஒரு கேன்ட்.

தூய உத்திகள் எப்போதும் உணர்ச்சி ரீதியாக நடுநிலை அல்லது நேர்மறையானவை, இது உங்கள் மூளையில் இயல்பானது, நீங்கள் அதைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

"ஏன் தூய உத்திகள்?" என்ற குறிப்புகளில் தூய உத்திகளைப் பற்றி கொஞ்சம் படிக்கலாம். மற்றும் ஹவுஸ், ஹாப்கின்ஸ், முதலியன ..

உத்திகள் 1. “மூலோபாயம்” என்ற வார்த்தையின் வரையறை: அ) கிரேக்க வார்த்தையான “உத்திகள்” என்பதிலிருந்து வருகிறது, இதன் பொருள்: “இராணுவத் தலைவர்”, “அறிவியல், போர் கலை”, “சமூக, அரசியல் போராட்டத்தின் தலைமை கலை.” பி) ஒரு இலக்கை அடைய அல்லது லாபகரமான ஒரு விரிவான திட்டம்

உத்திகள் நீங்கள் நினைத்து, ஒரு செயல்திட்டத்தைத் தேர்வுசெய்தால், உங்கள் கற்றல் முற்றிலும் மாறுபட்ட தரத்திற்குச் செல்லும். வியூகம் என்பது ஒட்டுமொத்த திட்டமாகும். கொடுக்கப்பட்ட பொதுவான வரி இது உண்மையான நிலைமைகள்... இவை குறிக்கோள்கள், காலக்கெடுக்கள், கணிக்க முடியாத தன்மை மற்றும் பன்முகத்தன்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது ... இது துடிப்பின் உணர்வு