பிரமிடுகள் மற்றும் தொடர்புடைய சூத்திரங்கள் மற்றும் கருத்துக்கள் பற்றிய அடிப்படை தகவல்களை இங்கே காணலாம். அவர்கள் அனைவரும் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான தயாரிப்பில் கணித ஆசிரியருடன் படிக்கப்படுகிறார்கள்.

ஒரு விமானம், பலகோணம் என்று கருதுங்கள் , அதில் பொய் மற்றும் ஒரு புள்ளி S, அதில் பொய் இல்லை. பலகோணத்தின் அனைத்து முனைகளிலும் S ஐ இணைப்போம். இதன் விளைவாக வரும் பாலிஹெட்ரான் பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பிரிவுகள் பக்க விலா எலும்புகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பலகோணம் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் புள்ளி S என்பது பிரமிட்டின் மேல். n எண்ணைப் பொறுத்து, பிரமிடு முக்கோண (n=3), நாற்கர (n=4), ஐங்கோண (n=5) மற்றும் பல. மாற்று தலைப்புமுக்கோண பிரமிடு - டெட்ராஹெட்ரான். ஒரு பிரமிட்டின் உயரம் என்பது அதன் மேலிருந்து அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இறங்குவதாகும்.

ஒரு பிரமிடு வழக்கமான என்றால் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒரு வழக்கமான பலகோணம், மற்றும் பிரமிட்டின் உயரத்தின் அடிப்பகுதி (செங்குத்தாக அடித்தளம்) அதன் மையமாகும்.

ஆசிரியரின் கருத்து:
"வழக்கமான பிரமிடு" மற்றும் "வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான்" என்ற கருத்துகளை குழப்ப வேண்டாம். வலது பிரமிட்டில் பக்கவாட்டு விலா எலும்புகள்அடித்தளத்தின் விளிம்புகளுக்கு சமமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரானில் விளிம்புகளின் 6 விளிம்புகளும் சமமாக இருக்கும். இதுதான் அவருடைய வரையறை. சமத்துவம் என்பது பலகோணத்தின் மையம் P ஒத்துப்போகிறது என்பதை நிரூபிப்பது எளிது ஒரு அடிப்படை உயரத்துடன், எனவே ஒரு வழக்கமான டெட்ராஹெட்ரான் ஒரு வழக்கமான பிரமிடு ஆகும்.

அபோதெம் என்றால் என்ன?
ஒரு பிரமிட்டின் அபோதெம் என்பது அதன் பக்க முகத்தின் உயரம் ஆகும். பிரமிடு வழக்கமானதாக இருந்தால், அதன் அனைத்து அபோதெம்களும் சமமாக இருக்கும். தலைகீழ் உண்மை இல்லை.

அவரது சொற்களைப் பற்றி ஒரு கணித ஆசிரியர்: பிரமிடுகளுடன் 80% வேலை இரண்டு வகையான முக்கோணங்கள் மூலம் கட்டப்பட்டது:
1) apothem SK மற்றும் உயரம் SP ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது
2) பக்கவாட்டு விளிம்பு SA மற்றும் அதன் ப்ராஜெக்ஷன் PA ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது

இந்த முக்கோணங்களைப் பற்றிய குறிப்புகளை எளிமைப்படுத்த, ஒரு கணித ஆசிரியர் அவற்றில் முதல் முக்கோணத்தை அழைப்பது மிகவும் வசதியானது. அருவருப்பான, மற்றும் இரண்டாவது விலையுயர்ந்த. துரதிர்ஷ்டவசமாக, எந்தவொரு பாடப்புத்தகத்திலும் இந்த சொற்களை நீங்கள் காண முடியாது, மேலும் ஆசிரியர் அதை ஒருதலைப்பட்சமாக அறிமுகப்படுத்த வேண்டும்.

பிரமிட் தொகுதி சூத்திரம்:
1) , பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு எங்கே, அது பிரமிட்டின் உயரம்
2), பொறிக்கப்பட்ட கோளத்தின் ஆரம் எங்கே, மற்றும் பிரமிட்டின் மொத்த மேற்பரப்பின் பரப்பளவு.
3) , MN என்பது இரண்டு குறுக்கு விளிம்புகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் மற்றும் மீதமுள்ள நான்கு விளிம்புகளின் நடுப்புள்ளிகளால் உருவாக்கப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு ஆகும்.

ஒரு பிரமிட்டின் உயரத்தின் அடித்தளத்தின் சொத்து:

பின்வரும் நிபந்தனைகளில் ஒன்று பூர்த்தி செய்யப்பட்டால், புள்ளி P (படத்தைப் பார்க்கவும்) பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் உள்ள பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது:
1) அனைத்து அபோதெம்களும் சமம்
2) அனைத்தும் பக்க முகங்கள்அடித்தளத்திற்கு சமமாக சாய்ந்துள்ளது
3) அனைத்து அபோதெம்களும் பிரமிட்டின் உயரத்திற்கு சமமாக சாய்ந்திருக்கும்
4) பிரமிட்டின் உயரம் அனைத்து பக்க முகங்களுக்கும் சமமாக சாய்ந்துள்ளது

கணித ஆசிரியரின் கருத்து: எல்லா புள்ளிகளுக்கும் பொதுவான ஒன்று உள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் பொது சொத்து: ஒரு வழி அல்லது வேறு, பக்கவாட்டு முகங்கள் எல்லா இடங்களிலும் ஈடுபட்டுள்ளன (அப்போதெம்கள் அவற்றின் கூறுகள்). எனவே, ஆசிரியர் குறைவான துல்லியமான, ஆனால் கற்றல், உருவாக்கம் ஆகியவற்றிற்கு மிகவும் வசதியானதை வழங்க முடியும்: P புள்ளி பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி, அதன் பக்கவாட்டு முகங்களைப் பற்றி ஏதேனும் சமமான தகவல்கள் இருந்தால். அதை நிரூபிக்க, அனைத்து அபோதெம் முக்கோணங்களும் சமம் என்பதைக் காட்டினால் போதும்.

மூன்று நிபந்தனைகளில் ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், புள்ளி P ஆனது பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கு அருகில் உள்ள வட்டத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகிறது:
1) அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் சமம்
2) அனைத்து பக்க விலா எலும்புகளும் அடித்தளத்திற்கு சமமாக சாய்ந்துள்ளன
3) அனைத்து பக்க விலா எலும்புகளும் சமமாக உயரத்திற்கு சாய்ந்திருக்கும்

பிரமிட். துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு

பிரமிட்ஒரு பாலிஹெட்ரான், அதன் முகங்களில் ஒன்று பலகோணம் ( அடிப்படை ), மற்றும் மற்ற அனைத்து முகங்களும் பொதுவான உச்சியுடன் கூடிய முக்கோணங்கள் ( பக்க முகங்கள் ) (படம் 15). பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது சரி , அதன் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான பலகோணமாக இருந்தால் மற்றும் பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அடித்தளத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டிருந்தால் (படம் 16). அனைத்து விளிம்புகளும் சமமான ஒரு முக்கோண பிரமிடு என்று அழைக்கப்படுகிறது டெட்ராஹெட்ரான் .

பக்கவாட்டு விலா எலும்புஒரு பிரமிட்டின் பக்க முகத்தின் பக்கமானது அடித்தளத்திற்கு சொந்தமானது அல்ல உயரம் பிரமிடு என்பது அதன் மேலிருந்து அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு உள்ள தூரம். வழக்கமான பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு விளிம்புகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருக்கும், அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களும் சமமாக இருக்கும் சமபக்க முக்கோணங்கள். உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்க முகத்தின் உயரம் அழைக்கப்படுகிறது apothem . மூலைவிட்ட பிரிவு ஒரே முகத்திற்குச் சொந்தமில்லாத இரண்டு பக்கவாட்டு விளிம்புகள் வழியாக செல்லும் விமானம் மூலம் பிரமிட்டின் ஒரு பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

பக்கவாட்டு பரப்பளவுபிரமிடு என்பது அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். மொத்த பரப்பளவு அனைத்து பக்க முகங்கள் மற்றும் அடித்தளத்தின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

தேற்றங்கள்

1. ஒரு பிரமிட்டில் அனைத்து பக்கவாட்டு விளிம்புகளும் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு சமமாக சாய்ந்திருந்தால், பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அடித்தளத்திற்கு அருகில் வட்டத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

2. ஒரு பிரமிட்டின் அனைத்து பக்க விளிம்புகளும் சமமான நீளங்களைக் கொண்டிருந்தால், பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அடித்தளத்திற்கு அருகில் வட்டத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

3. ஒரு பிரமிட்டில் உள்ள அனைத்து முகங்களும் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு சமமாக சாய்ந்திருந்தால், பிரமிட்டின் மேற்பகுதி அடிவாரத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

தன்னிச்சையான பிரமிட்டின் அளவைக் கணக்கிட, சரியான சூத்திரம்:

எங்கே வி- தொகுதி;

எஸ் அடிப்படை- அடிப்படை பகுதி;

எச்- பிரமிட்டின் உயரம்.

வழக்கமான பிரமிடுக்கு, பின்வரும் சூத்திரங்கள் சரியானவை:

எங்கே ப- அடிப்படை சுற்றளவு;

h a- apothem;

எச்- உயரம்;

எஸ் முழு

எஸ் பக்கம்

எஸ் அடிப்படை- அடிப்படை பகுதி;

வி- வழக்கமான பிரமிட்டின் அளவு.

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடுபிரமிட்டின் அடித்தளத்திற்கும், பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கு இணையான ஒரு வெட்டு விமானத்திற்கும் இடையில் மூடப்பட்டிருக்கும் பிரமிட்டின் பகுதி என்று அழைக்கப்படுகிறது (படம் 17). வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு இது ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் ஒரு பகுதியாகும்

காரணங்கள்துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு - ஒத்த பலகோணங்கள். பக்க முகங்கள் - ட்ரேப்சாய்டுகள். உயரம் ஒரு துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு அதன் தளங்களுக்கு இடையே உள்ள தூரம். மூலைவிட்டம் ஒரு துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடு என்பது ஒரே முகத்தில் படாத அதன் செங்குத்துகளை இணைக்கும் ஒரு பிரிவாகும். மூலைவிட்ட பிரிவு ஒரே முகத்திற்குச் சொந்தமில்லாத இரண்டு பக்கவாட்டு விளிம்புகள் வழியாகச் செல்லும் விமானத்தால் துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் ஒரு பகுதி.

துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடுக்கு பின்வரும் சூத்திரங்கள் செல்லுபடியாகும்:

(4)

எங்கே எஸ் 1 , எஸ் 2 - மேல் மற்றும் கீழ் தளங்களின் பகுதிகள்;

எஸ் முழு- மொத்த பரப்பளவு;

எஸ் பக்கம்- பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு;

எச்- உயரம்;

வி- துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் அளவு.

வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடுக்கான சூத்திரம் சரியானது:

எங்கே ப 1 , ப 2 - தளங்களின் சுற்றளவு;

h a- வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் அபோதெம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டில், அடிவாரத்தில் இருமுனை கோணம் 60º ஆகும். அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு பக்க விளிம்பின் சாய்வின் கோணத்தின் தொடுகோடு கண்டுபிடிக்கவும்.

தீர்வு.ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 18).

பிரமிடு வழக்கமானது, அதாவது அடிவாரத்தில் ஒரு சமபக்க முக்கோணம் உள்ளது மற்றும் அனைத்து பக்க முகங்களும் சமமான ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்கள் ஆகும். அடிவாரத்தில் உள்ள டைஹெட்ரல் கோணம் என்பது பிரமிட்டின் பக்க முகத்தை அடித்தளத்தின் விமானத்திற்குச் சாய்க்கும் கோணமாகும். நேரியல் கோணம் என்பது கோணம் அஇரண்டு செங்குத்துகளுக்கு இடையில்: முதலியன. பிரமிட்டின் மேற்பகுதி முக்கோணத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது (முக்கோணத்தின் வட்ட வட்டத்தின் மையம் மற்றும் பொறிக்கப்பட்ட வட்டம் ஏபிசி) பக்க விளிம்பின் சாய்வின் கோணம் (உதாரணமாக எஸ்.பி.) என்பது விளிம்பிற்கும் அடித்தளத்தின் மீது அதன் திட்டத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணமாகும். விலா எலும்புக்கு எஸ்.பி.இந்த கோணம் கோணமாக இருக்கும் எஸ்.பி.டி. தொடுதலைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் கால்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் SOமற்றும் ஓ.பி.. பிரிவின் நீளம் இருக்கட்டும் BDசமம் 3 ஏ. புள்ளி பற்றிபிரிவு BDபகுதிகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது: மேலும் நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் SO: இதிலிருந்து நாம் காண்கிறோம்:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 2.வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட நாற்கர பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறியவும், அதன் தளங்களின் மூலைவிட்டங்கள் செ.மீ மற்றும் செ.மீ.க்கு சமமாக இருந்தால், அதன் உயரம் 4 செ.மீ.

தீர்வு.துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் (4). தளங்களின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்க, அடிப்படை சதுரங்களின் பக்கங்களை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அவற்றின் மூலைவிட்டங்களை அறிந்து கொள்ளுங்கள். தளங்களின் பக்கங்கள் முறையே 2 செ.மீ மற்றும் 8 செ.மீ., அதாவது தளங்களின் பகுதிகள் மற்றும் அனைத்து தரவையும் சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் அளவைக் கணக்கிடுகிறோம்:

பதில்: 112 செமீ 3.

எடுத்துக்காட்டு 3.வழக்கமான முக்கோண துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும், அதன் தளங்களின் பக்கங்கள் 10 செ.மீ மற்றும் 4 செ.மீ. மற்றும் பிரமிட்டின் உயரம் 2 செ.மீ.

தீர்வு.ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 19).

இந்த பிரமிட்டின் பக்க முகம் ஒரு ஐசோசெல்ஸ் ட்ரேப்சாய்டு ஆகும். ஒரு ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியைக் கணக்கிட, நீங்கள் அடிப்படை மற்றும் உயரத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். நிபந்தனைக்கு ஏற்ப அடிப்படைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, உயரம் மட்டும் தெரியவில்லை. அவளை எங்கிருந்து கண்டுபிடிப்போம் ஏ 1 ஈஒரு புள்ளியில் இருந்து செங்குத்தாக ஏ 1 கீழ் தளத்தின் விமானத்தில், ஏ 1 டி- இருந்து செங்குத்தாக ஏ 1 ஒன்றுக்கு ஏசி. ஏ 1 ஈ= 2 செ.மீ., இது பிரமிட்டின் உயரம் என்பதால். கண்டுபிடிக்க DEமேல் காட்சியைக் காட்டும் கூடுதல் வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 20). புள்ளி பற்றி- மேல் மற்றும் கீழ் தளங்களின் மையங்களின் திட்டம். இருந்து (படம். 20 பார்க்க) மற்றும் மறுபுறம் சரி- வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஆரம் மற்றும் ஓம்- ஒரு வட்டத்தில் பொறிக்கப்பட்ட ஆரம்:

MK = DE.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி

பக்க முக பகுதி:

பதில்:

எடுத்துக்காட்டு 4.பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு ஐசோசெல்ஸ் ட்ரேப்சாய்டு உள்ளது, அதன் தளங்கள் ஏமற்றும் பி (அ> பி) ஒவ்வொரு பக்க முகமும் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கு சமமான கோணத்தை உருவாக்குகிறது ஜே. பிரமிட்டின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 21). பிரமிட்டின் மொத்த பரப்பளவு SABCDபகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் ட்ரெப்சாய்டின் பகுதிக்கு சமம் ஏபிசிடி.

பிரமிட்டின் அனைத்து முகங்களும் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கு சமமாக சாய்ந்திருந்தால், உச்சியானது அடிவாரத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது என்ற கூற்றைப் பயன்படுத்துவோம். புள்ளி பற்றி- உச்சித் திட்டம் எஸ்பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில். முக்கோணம் SODமுக்கோணத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ராஜெக்ஷன் ஆகும் CSDதளத்தின் விமானத்திற்கு. ஒரு விமான உருவத்தின் ஆர்த்தோகனல் ப்ரொஜெக்ஷனின் பகுதியில் உள்ள தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

அது போலவே அர்த்தம் இதனால், ட்ரெப்சாய்டின் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் குறைக்கப்பட்டது ஏபிசிடி. ஒரு ட்ரேப்சாய்டு வரைவோம் ஏபிசிடிதனித்தனியாக (படம் 22). புள்ளி பற்றி- ஒரு ட்ரேப்சாய்டில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு வட்டத்தின் மையம்.

ஒரு வட்டத்தை ஒரு ட்ரேப்சாய்டில் பொறிக்க முடியும் என்பதால், அல்லது பித்தகோரியன் தேற்றத்தில் இருந்து நாம்

கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பணிகளை நாங்கள் தொடர்ந்து பரிசீலித்து வருகிறோம். நிபந்தனை கொடுக்கப்பட்டிருக்கும் சிக்கல்களை நாங்கள் ஏற்கனவே ஆய்வு செய்துள்ளோம், மேலும் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகள் அல்லது ஒரு கோணத்திற்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிய வேண்டும்.

ஒரு பிரமிட் என்பது ஒரு பாலிஹெட்ரான், அதன் அடிப்பகுதி பலகோணம், மீதமுள்ள முகங்கள் முக்கோணங்கள், மேலும் அவை பொதுவான உச்சியைக் கொண்டுள்ளன.

ஒரு வழக்கமான பிரமிடு என்பது ஒரு பிரமிடு ஆகும், அதன் அடிப்பகுதியில் ஒரு வழக்கமான பலகோணம் உள்ளது, மேலும் அதன் உச்சியானது அடித்தளத்தின் மையத்தில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு - அடித்தளம் ஒரு சதுரம் (சதுரம்) குறுக்குவெட்டு புள்ளியில் பிரமிட்டின் மேற்பகுதி திட்டமிடப்பட்டுள்ளது.

எம்எல் - அபோதெம்
∠MLO - பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் இருமுனை கோணம்
∠MCO - பக்கவாட்டு விளிம்பிற்கும் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதிக்கும் இடையே உள்ள கோணம்

இந்த கட்டுரையில் ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சிக்கல்களைப் பார்ப்போம். நீங்கள் சில உறுப்பு, பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு, தொகுதி, உயரம் ஆகியவற்றைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். நிச்சயமாக, நீங்கள் பித்தகோரியன் தேற்றம், ஒரு பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதிக்கான சூத்திரம் மற்றும் ஒரு பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரம் ஆகியவற்றை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

கட்டுரையில் ஸ்டீரியோமெட்ரியில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்க தேவையான சூத்திரங்களை "" வழங்குகிறது. எனவே, பணிகள்:

SABCDபுள்ளி ஓ- அடித்தளத்தின் மையம்,எஸ்உச்சி, SO = 51, ஏ.சி.= 136. பக்க விளிம்பைக் கண்டறியவும்எஸ்.சி..

இந்த வழக்கில், அடிப்படை ஒரு சதுரம். இதன் பொருள் AC மற்றும் BD ஆகிய மூலைவிட்டங்கள் சமமாக உள்ளன, அவை வெட்டும் மற்றும் வெட்டும் புள்ளியால் பிரிக்கப்படுகின்றன. ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டில் அதன் மேல் இருந்து கீழே விழுந்த உயரம் பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் மையத்தின் வழியாக செல்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. எனவே SO என்பது உயரமும் முக்கோணமும் ஆகும்SOCசெவ்வக. பின்னர் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் படி:

வேரை எவ்வாறு பிரித்தெடுப்பது பெரிய எண்ணிக்கை.

பதில்: 85

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டில் SABCDபுள்ளி ஓ- அடித்தளத்தின் மையம், எஸ்உச்சி, SO = 4, ஏ.சி.= 6. பக்க விளிம்பைக் கண்டறியவும் எஸ்.சி..

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டில் SABCDபுள்ளி ஓ- அடித்தளத்தின் மையம், எஸ்உச்சி, எஸ்.சி. = 5, ஏ.சி.= 6. பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் SO.

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டில் SABCDபுள்ளி ஓ- அடித்தளத்தின் மையம், எஸ்உச்சி, SO = 4, எஸ்.சி.= 5. பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் ஏ.சி..

SABC ஆர்- விலா எலும்பின் நடுப்பகுதி கி.மு., எஸ்- மேல். என்பது தெரிந்ததே ஏபி= 7, ஏ எஸ்.ஆர்.= 16. பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும்.

ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அடித்தளம் மற்றும் அபோதெம் ஆகியவற்றின் சுற்றளவின் பாதி உற்பத்திக்கு சமம் (அபோதெம் என்பது அதன் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகத்தின் உயரம்):

அல்லது நாம் இதைச் சொல்லலாம்: பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு மூன்று பக்கவாட்டு முகங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டில் உள்ள பக்கவாட்டு முகங்கள் சம பரப்பளவு கொண்ட முக்கோணங்களாகும். இந்த வழக்கில்:

பதில்: 168

நீங்களே முடிவு செய்யுங்கள்:

வழக்கமான முக்கோண பிரமிடில் SABC ஆர்- விலா எலும்பின் நடுப்பகுதி கி.மு., எஸ்- மேல். என்பது தெரிந்ததே ஏபி= 1, ஏ எஸ்.ஆர்.= 2. பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதியைக் கண்டறியவும்.

வழக்கமான முக்கோண பிரமிடில் SABC ஆர்- விலா எலும்பின் நடுப்பகுதி கி.மு., எஸ்- மேல். என்பது தெரிந்ததே ஏபி= 1, மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு 3. பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் எஸ்.ஆர்..

வழக்கமான முக்கோண பிரமிடில் SABC எல்- விலா எலும்பின் நடுப்பகுதி கி.மு., எஸ்- மேல். என்பது தெரிந்ததே எஸ்.எல்= 2, மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு 3. பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் ஏபி.

வழக்கமான முக்கோண பிரமிடில் SABC எம். ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஏபிசி 25 ஆகும், பிரமிட்டின் கன அளவு 100. பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் எம்.எஸ்.

பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி ஒரு சமபக்க முக்கோணமாகும். அதனால் தான் எம்அடித்தளத்தின் மையம், மற்றும்எம்.எஸ்- ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் உயரம்SABC. பிரமிட்டின் அளவு SABCசமம்: தீர்வு காண்க

வழக்கமான முக்கோண பிரமிடில் SABCஅடிப்பகுதியின் இடைநிலைகள் புள்ளியில் வெட்டுகின்றன எம். ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஏபிசிசமம் 3, எம்.எஸ்= 1. பிரமிட்டின் அளவைக் கண்டறியவும்.

வழக்கமான முக்கோண பிரமிடில் SABCஅடிப்பகுதியின் இடைநிலைகள் புள்ளியில் வெட்டுகின்றன எம். பிரமிட்டின் அளவு 1, எம்.எஸ்= 1. முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் ஏபிசி.

இங்கே முடிக்கலாம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சிக்கல்கள் ஒன்று அல்லது இரண்டு படிகளில் தீர்க்கப்படுகின்றன. எதிர்காலத்தில், புரட்சியின் உடல்கள் வழங்கப்படும் இந்த பகுதியிலிருந்து பிற சிக்கல்களை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம், அதை தவறவிடாதீர்கள்!

உங்களுக்கு நல்ல அதிர்ஷ்டம்!

உண்மையுள்ள, அலெக்சாண்டர் க்ருடிட்ஸ்கிக்.

பி.எஸ்: சமூக வலைப்பின்னல்களில் தளத்தைப் பற்றி நீங்கள் சொன்னால் நான் நன்றியுள்ளவனாக இருப்பேன்.

இந்த வீடியோ டுடோரியல் பயனர்களுக்கு பிரமிட் தீம் பற்றிய யோசனையைப் பெற உதவும். சரியான பிரமிடு. இந்தப் பாடத்தில் நாம் பிரமிடு என்ற கருத்தைப் பற்றி அறிந்து அதற்கு ஒரு வரையறை கொடுப்போம். வழக்கமான பிரமிடு என்றால் என்ன, அதன் பண்புகள் என்ன என்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம். வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பற்றிய தேற்றத்தை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம்.

இந்தப் பாடத்தில் நாம் பிரமிடு என்ற கருத்தைப் பற்றி அறிந்து அதற்கு ஒரு வரையறை கொடுப்போம்.

பலகோணத்தைக் கவனியுங்கள் ஏ 1 ஏ 2...ஒரு என், இது α விமானத்தில் உள்ளது, மற்றும் புள்ளி பி, இது α விமானத்தில் பொய் இல்லை (படம் 1). புள்ளிகளை இணைப்போம் பிசிகரங்களுடன் A 1, A 2, A 3, … ஒரு என். நாம் பெறுகிறோம் nமுக்கோணங்கள்: ஏ 1 ஏ 2 ஆர், ஏ 2 ஏ 3 ஆர்மற்றும் பல.

வரையறை. பாலிஹெட்ரான் RA 1 A 2 ...A n, ஆனது n-சதுரம் ஏ 1 ஏ 2...ஒரு என்மற்றும் nமுக்கோணங்கள் RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 அழைக்கப்படுகிறது n- நிலக்கரி பிரமிடு. அரிசி. 1.

அரிசி. 1

ஒரு நாற்கர பிரமிட்டைக் கவனியுங்கள் PABCD(படம் 2).

ஆர்- பிரமிட்டின் மேல்.

ஏபிசிடி- பிரமிட்டின் அடித்தளம்.

ஆர்.ஏ- பக்க விலா எலும்பு.

ஏபி- அடிப்படை விலா எலும்பு.

புள்ளியில் இருந்து ஆர்செங்குத்தாக விடுவோம் ஆர்.என்அடிப்படை விமானத்திற்கு ஏபிசிடி. செங்குத்தாக வரையப்பட்டிருப்பது பிரமிட்டின் உயரம்.

அரிசி. 2

பிரமிட்டின் முழு மேற்பரப்பு பக்கவாட்டு மேற்பரப்பைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, அனைத்து பக்கவாட்டு முகங்களின் பரப்பளவு மற்றும் அடித்தளத்தின் பரப்பளவு:

S முழு = S பக்க + S முக்கிய

ஒரு பிரமிடு சரியானது என அழைக்கப்படுகிறது:

• அதன் அடிப்படை ஒரு வழக்கமான பலகோணம்;
• பிரமிட்டின் மேற்பகுதியை அடித்தளத்தின் மையத்துடன் இணைக்கும் பிரிவு அதன் உயரம்.

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி விளக்கம்

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டைக் கவனியுங்கள் PABCD(படம் 3).

ஆர்- பிரமிட்டின் மேல். பிரமிட்டின் அடிப்படை ஏபிசிடி- ஒரு வழக்கமான நாற்கரம், அதாவது ஒரு சதுரம். புள்ளி பற்றி, மூலைவிட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளி, சதுரத்தின் மையமாகும். பொருள் ROபிரமிட்டின் உயரம் ஆகும்.

அரிசி. 3

விளக்கம்: சரியானதில் nஒரு முக்கோணத்தில், பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் மையமும், வட்ட வட்டத்தின் மையமும் ஒன்றிணைகின்றன. இந்த மையம் பலகோணத்தின் மையம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில நேரங்களில் அவர்கள் உச்சியை மையத்தில் திட்டமிடுவதாக கூறுகிறார்கள்.

அதன் உச்சியில் இருந்து வரையப்பட்ட வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகத்தின் உயரம் அழைக்கப்படுகிறது apothemமற்றும் நியமிக்கப்பட்டுள்ளது h a.

1. வழக்கமான பிரமிட்டின் அனைத்து பக்கவாட்டு விளிம்புகளும் சமம்;

2. பக்க முகங்கள் சம ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்கள்.

வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி இந்த பண்புகளுக்கான ஆதாரத்தை வழங்குவோம்.

கொடுக்கப்பட்டது: PABCD- வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு,

ஏபிசிடி- சதுரம்,

RO- பிரமிட்டின் உயரம்.

நிரூபிக்கவும்:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP படம் பார்க்கவும். 4.

அரிசி. 4

ஆதாரம்.

RO- பிரமிட்டின் உயரம். அதாவது நேராக ROவிமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஏபிசி, எனவே நேரடியாக JSC, VO, SOமற்றும் செய்யஅதில் கிடக்கிறது. எனவே முக்கோணங்கள் ROA, ROV, ROS, ROD- செவ்வக.

ஒரு சதுரத்தைக் கவனியுங்கள் ஏபிசிடி. ஒரு சதுரத்தின் பண்புகளில் இருந்து அது பின்வருமாறு AO = VO = CO = செய்ய

பின்னர் வலது முக்கோணங்கள் ROA, ROV, ROS, RODகால் RO- பொது மற்றும் கால்கள் JSC, VO, SOமற்றும் செய்யசமமாக உள்ளன, அதாவது இந்த முக்கோணங்கள் இரண்டு பக்கங்களிலும் சமமாக இருக்கும். முக்கோணங்களின் சமத்துவத்திலிருந்து பிரிவுகளின் சமத்துவத்தைப் பின்பற்றுகிறது, RA = PB = RS = PD.புள்ளி 1 நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பிரிவுகள் ஏபிமற்றும் சூரியன்அவை ஒரே சதுரத்தின் பக்கங்களாக இருப்பதால் சமம், RA = PB = RS. எனவே முக்கோணங்கள் ஏ.வி.ஆர்மற்றும் VSR -ஐசோசெல்ஸ் மற்றும் மூன்று பக்கங்களிலும் சமமானது.

அதே வழியில் நாம் அந்த முக்கோணங்களைக் காண்கிறோம் ஏபிபி, விசிபி, சிடிபி, டிஏபிபத்தி 2 இல் நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய சமபக்கங்கள் மற்றும் சமமானவை.

வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அடித்தளத்தின் சுற்றளவு மற்றும் அபோதெமின் பாதி உற்பத்திக்கு சமம்:

இதை நிரூபிக்க, வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டைத் தேர்வு செய்வோம்.

கொடுக்கப்பட்டது: RAVS- சரி முக்கோண பிரமிடு.

AB = BC = AC.

RO- உயரம்.

நிரூபிக்கவும்: . படம் பார்க்கவும். 5.

அரிசி. 5

ஆதாரம்.

RAVS- வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு. அதாவது ஏபி= ஏசி = கி.மு. விடுங்கள் பற்றி- முக்கோணத்தின் மையம் ஏபிசி, பிறகு ROபிரமிட்டின் உயரம் ஆகும். பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் ஒரு சமபக்க முக்கோணம் உள்ளது ஏபிசி. என்பதை கவனிக்கவும் .

முக்கோணங்கள் RAV, RVS, RSA- சம ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்கள் (சொத்து மூலம்). ஒரு முக்கோண பிரமிடு மூன்று பக்க முகங்களைக் கொண்டுள்ளது: RAV, RVS, RSA. இதன் பொருள் பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு:

S பக்க = 3S RAW

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் அடிவாரத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் 3 மீ, பிரமிட்டின் உயரம் 4 மீ.

கொடுக்கப்பட்டது: வழக்கமான நாற்கர பிரமிடு ஏபிசிடி,

ஏபிசிடி- சதுரம்,

ஆர்= 3 மீ,

RO- பிரமிட்டின் உயரம்,

RO= 4 மீ.

கண்டுபிடி: எஸ் பக்கம். படம் பார்க்கவும். 6.

அரிசி. 6

தீர்வு.

நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தின்படி, .

முதலில் அடித்தளத்தின் பக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏபி. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் பொறிக்கப்பட்ட ஒரு வட்டத்தின் ஆரம் 3 மீ என்று நமக்குத் தெரியும்.

பின்னர், எம்.

சதுரத்தின் சுற்றளவைக் கண்டறியவும் ஏபிசிடி 6 மீ பக்கத்துடன்:

ஒரு முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள் BCD. விடுங்கள் எம்- பக்கத்தின் நடுவில் DC. ஏனெனில் பற்றி- நடுத்தர BD, அது (மீ)

முக்கோணம் DPC- ஐசோசெல்ஸ். எம்- நடுத்தர DC. அதாவது, ஆர்.எம்- இடைநிலை, எனவே முக்கோணத்தில் உயரம் DPC. பிறகு ஆர்.எம்- பிரமிட்டின் அபோதெம்.

RO- பிரமிட்டின் உயரம். பின்னர், நேராக ROவிமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஏபிசி, எனவே நேரடியாக ஓம், அதில் கிடக்கிறது. துறவறத்தை கண்டுபிடிப்போம் ஆர்.எம்இருந்து வலது முக்கோணம் ரோம்.

இப்போது நாம் கண்டுபிடிக்க முடியும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்புபிரமிடுகள்:

பதில்: 60 மீ2.

ஒரு வழக்கமான முக்கோண பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியைச் சுற்றியுள்ள வட்டத்தின் ஆரம் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு 18 மீ 2 ஆகும். அபோதெமின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

கொடுக்கப்பட்டது: ஏபிசிபி- வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு,

AB = BC = SA,

ஆர்= மீ,

எஸ் பக்க = 18 மீ2.

கண்டுபிடி: . படம் பார்க்கவும். 7.

அரிசி. 7

தீர்வு.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் ஏபிசிசுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு பக்கத்தைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏபிஇந்த முக்கோணம் சைன்களின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறது.

பக்கத்தை அறிவது வழக்கமான முக்கோணம்(m), அதன் சுற்றளவைக் கண்டுபிடிப்போம்.

ஒரு வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பகுதியில் தேற்றம் மூலம், எங்கே h a- பிரமிட்டின் அபோதெம். பிறகு:

பதில்: 4 மீ.

எனவே, ஒரு பிரமிடு என்றால் என்ன, வழக்கமான பிரமிடு என்றால் என்ன, வழக்கமான பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு பற்றிய தேற்றத்தை நாங்கள் நிரூபித்தோம். அடுத்த பாடத்தில் துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிட்டைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம்.

குறிப்புகள்

1. வடிவியல். 10-11 வகுப்புகள்: மாணவர்களுக்கான பாடநூல் கல்வி நிறுவனங்கள்(அடிப்படை மற்றும் சுயவிவர நிலைகள்) / I. M. ஸ்மிர்னோவா, V. A. ஸ்மிர்னோவ். - 5வது பதிப்பு., ரெவ். மற்றும் கூடுதல் - எம்.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill.
2. வடிவியல். 10-11 தரம்: பொதுக் கல்விக்கான பாடநூல் கல்வி நிறுவனங்கள்/ Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: ill.
3. வடிவியல். தரம் 10: கணிதம்/E பற்றிய ஆழ்ந்த மற்றும் சிறப்புப் படிப்புடன் பொதுக் கல்வி நிறுவனங்களுக்கான பாடநூல். வி. போடோஸ்குவேவ், எல்.ஐ. ஸ்வாலிச். - 6வது பதிப்பு., ஸ்டீரியோடைப். - எம்.: பஸ்டர்ட், 008. - 233 ப.: நோய்.

1. இணைய போர்டல் "யக்லாஸ்" ()
2. இன்டர்நெட் போர்டல் “கல்வியியல் யோசனைகளின் திருவிழா “செப்டம்பர் முதல்” ()
3. இணைய போர்டல் “Slideshare.net” ()

வீட்டுப்பாடம்

1. ஒரு வழக்கமான பலகோணம் ஒரு ஒழுங்கற்ற பிரமிட்டின் அடிப்படையாக இருக்க முடியுமா?
2. வழக்கமான பிரமிட்டின் இணையான விளிம்புகள் செங்குத்தாக இருப்பதை நிரூபிக்கவும்.
3. ஒரு வழக்கமான நாற்கர பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியின் பக்கத்திலுள்ள இருமுனைக் கோணத்தின் மதிப்பைக் கண்டறியவும், பிரமிட்டின் அபோதெம் அதன் அடித்தளத்தின் பக்கத்திற்கு சமமாக இருந்தால்.
4. RAVS- வழக்கமான முக்கோண பிரமிடு. பிரமிட்டின் அடிப்பகுதியில் டைஹெட்ரல் கோணத்தின் நேரியல் கோணத்தை உருவாக்கவும்.